Tema 4: Distribuciones de probabilidad

BIENVENIDAEstimados estudiantes,les doy la bienvenida a esta cuarta semana del Curso, donde estudiaremos los contenidos de las distribuciones discretas tales como la Binomial, Hipergeomtrica y Poisson, para las distribuciones continuas trabajaremos con la distribucin Normal, T-student y Chi cuadrado, para poder llegar as a describir como la probabilidad de un evento se realiza en el futuro.IntroduccinEn esta cuarta semana identificaremos las distribuciones de probabilidad de una variable discreta y continua, resaltando que una distribucin de probabilidad es el resultado de un experimento, la misma que es similar a una distribucin de frecuencias relativas, a diferencia que aqu estamos refirindonos a la probabilidad de realizar un evento en el futuro.Para el desarrollo de esta semana haremos nfasis en las distribuciones: Binomial, Hipergeomtrica, Poisson, Normal, T Student y Chi Cuadrado. Segn Badii & Castillo (2007). Los valores de una variable sirven para describir o clasificar individuos o distinguir entre ellos. La mayora de nosotros hacemos algo ms que simplemente describir, clasificar o distinguir, porque tenemos ideas respecto a las frecuencias relativas de los valores de una variable. En estadstica decimos que la variable tiene una funcin de probabilidad, una funcin de densidad de probabilidad o simplemente una funcin de distribucin.Por lo antes mencionado debemos considerar que las distribuciones de probabilidad se utilizan con nfasis en la toma de decisiones, es por ello que en esta semana analizaremos y elegiremos que distribucin de probabilidad debemos utilizarAprendizajes esperados

Conozcamos ahora las capacidades y actitudes a desarrollar en este primer tema:Capacidades Analiza la diferencia en el uso de la distribucin Binomial, Hipergeomtrica y Poisson Analiza la diferencia en el uso de la distribucin Normal, T Student y Chi Cuadrado.Actitudes Muestra inters por las distribuciones de probabilidad de variable discreta y continuas: Binomial, Hipergeomtrica, Poisson, Normal, T Student y Chi Cuadrado. Participa proactivamente en el foro temtico aportando ideas, comentarios e informacin sobre las distribuciones de probabilidad.

Mapa conceptual referido al tema

Observa detenidamente el siguiente esquema, en el encontrars de un vistazo de manera sintetizada los principales concepto de la temtica que abordaremos. Qu conceptos o categoras te llaman la atencin?continuas

4.1 Distribucin Binomial

Cuando el experimento tipo Bernoulli se repite 2 o ms veces, y si cada experimento o repeticin son independientes unos de otros, la distribucin formada as se llama binomial. As por ejemplo si se escogen 5 piezas de un almacn y se prueban uno por uno y en cada prueba la pieza puede ser declarado apto (xito) o inapto (fracaso), el resultado de cada prueba es independiente del anterior as como del posterior, por lo que se le puede considerar como un fenmeno binomial, pues se repiten varias pruebas del tipo bernoulli. (Tomeo,2003)Definicin:Se dice que una v.a. tiene una distribucin binomial, si tiene las siguientes caractersticas:a.- Cada ensayo, prueba o repeticin tiene 2 resultados: xito y fracaso.b.- La probabilidad del xito es p y la del fracaso es q y permanece constante en cada prueba o ensayo.c.- los n ensayos son independientes.d.- la v.a. X indica el nmero de xitos en las n pruebas.e.- cuando se realiza la seleccin de la muestra, se realiza uno por uno y con reposicin. La poblacin puede ser finita o infinita.f.- la funcin de cuanta es como sigue.

EjemploLa probabilidad de que cierto componente resista una prueba de impacto es de 4/5. Encuentre la probabilidad de que 3 de los 5 componentes siguientes resistan la prueba de impacto.Solucin:Se supone que las pruebas son independientes entre si, donde p = 0,8, para cada una de las 5 pruebas, se considera a la v.a. X como el nmero de componentes que resisten la prueba.

4.2 Distribucin hipergeomtrica

Si la seleccin de la muestra se realiza uno por uno pero sin reposicin de una poblacin finita, entonces el valor de la probabilidad de xito va disminuyendo de seleccin a seleccin, esta variacin ser ms notoria si la poblacin es pequea, en cambio si se tiene una poblacin muy grande estas probabilidades casi son similares.Por otro lado, toda poblacin se puede dividir en dos grupos excluyentes de elementos llamados tambin de xito o que pertenecen al xito y otros que corresponden al fracaso.Se nota claramente que los ensayos o pruebas ya no son independientes, ms an dependen de los ensayos anteriores. Las probabilidades seran como sigue, si se tiene N elementos en la poblacin, de los cuales A corresponden al xito y N-A al fracaso, si de esta poblacin se selecciona un elemento, la probabilidad de que pertenezca al xito es igual a A/N, la probabilidad de xito del siguiente elemento escogido sera (A-1)/(N-1) y as sucesivamente hasta completar los n elementos de la muestra, siendo la probabilidad de xito de este ltimo elemento igual a (A-n+1)/(N-n+1), pero en la prctica no necesariamente todos los elementos escogido pertenecen al xito, sino que habr un combinacin de xitos y fracasos, por lo que la variable X que indica el nmero de xitos en la muestra, tendr una distribucin del tipo hipergeomtrica. (Tomeo, 2003)Definicin:Un experimento hipergeomtrico consiste en escoger una muestra al azar de tamao n, uno a continuacin del otro y sin reposicin de un conjunto de N elementos, que tiene A elementos designados como xitos y con N-A elementos designados como fracasos.Se dice que una v.a. X tiene distribucin hipergeomtrica, si tiene como funcin de cuanta a la siguiente expresin:

4.3 Distribucin de Poisson

Llamada as en honor al probabilista francs Simen Denis Poisson. Es una distribucin de v.a. discreta en la que la variable representa al nmero de xitos en el intervalo de tiempo o espacio, estos eventos son continuos e independientes, lo que significa que el nmero de xitos que ocurren en un intervalo de tiempo dado o espacio son independientes, de los que ocurren en cualquier otro intervalo, pero se supone que la tasa de xitos por unidad de tiempo o espacio permanece constante, esta tasa lo representaremos por l. (Espejel, 2007)Definicin:Si X es una v.a. discreta y cuando la probabilidad de xito es pequea y n es grande en un proceso binomial, donde el producto np se hace constante, o cuando los sucesos se realizan en un intervalo de tiempo o espacio; la distribucin que representa a este tipo de procesos aleatorios se llama Distribucin de Poisson, cuya funcin de cuanta est dada por la siguiente expresin:

Donde es el nmero promedio de ocurrencias por unidad de tiempo o espacio y lt es el nmero promedio de ocurrencias de eventos en el intervalo de tiempo o espacio de tamao t.La aproximacin de una v.a del tipo binomial a una del tipo Poisson, es muy buena si n 30 y p 0,05Existen muchos casos en las que se pueden usar la distribucin de Poisson, tales como: en el nmero de llamadas telefnicas a una central, el nmero de personas que llegan a una posta mdica para ser atendidos, o a la ventanilla de un banco para hacer alguna transaccin, el nmero de tornillos fabricados en un da, el nmero de aviones que llegan a un aeropuerto durante el da, el nmero de barcos que arriban a un puesto en una semana, el nmero de manchitas que puede tener una loseta de 20 cm2, el nmero de bacterias que puede haber en un centmetro cbico de agua, etc., en general todos los problemas llamados lneas de espera, teora de colas o similares. (Espejel, 2007)Ejemplo :Se sabe que el nmero promedio de camiones que llegan a un terminal terrestre durante el da es de 10, las instalaciones del terminal pueden atender como mximo 15 camiones al da. Cul es la probabilidad de que la capacidad de atencin del terminal sea superado en un da cualquiera?Solucin:X = nmero de camiones que llegan al terminal terrestre durante el da para ser atendidos.X= 0, 1, 2, 3,..

4.4 Distribucin Normal

Llamada tambin distribucin gaussiana, es la distribucin de v.a.continuams importante y seguramente la de mayor uso, es la distribucin modelo y sirve de aproximacin para las dems distribuciones, asimismo de acuerdo a la ley de los grandes nmeros muchas estadsticas muestrales tienen distribucin normal.Su grfica se llama curva normal, es una curva simtrica en forma de campana, o acampanada que se extiende sin lmites en ambos sentidos sobre la recta real o eje de las X (abscisas en el eje cartesiano).Muchos fenmenos que ocurren en la naturaleza, en la industria y en cualquier campo tienen distribucin normal, tales como: la temperatura del medio ambiente, la precipitacin pluvial, las mediciones de magnitudes fsicas, el peso y la talla de las personas, etc. sin embargo, hay que tener mucho cuidado para usarlo sin previa comprobacin, pues las consecuencias pueden ser impredecibles. Ejemplo si se disea cierto material para resistir una cantidad dada de presin que se supone se distribuye normalmente alrededor del valor promedio y el diseo se hace con esta suposicin, el material puede verse seriamente daado al aplacrsele una presin elevada pero dentro de los lmites permisibles. Ha sido estudiado por muchos matemticos como La Place, De Moivre, Gauss, etc. (Espejel, 2007)Definicin:Se dice que una variable aleatoria continua X, tiene una distribucin normal, si su funcin de densidad est dada por:

4.5 Distribucin T-Student

4.6 Distribucin Chi Cuadrado

La distribucin ji-cuadrada es la distribucin muestral de S2. O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una poblacin normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendr la distribucin muestral de varianzas.Para estimar la varianza poblacional o la desviacin estndar, se necesita conocer el estadstico X2.

Dondenes el tamao de la muestra, s2 la varianza muestral y la varianza de la poblacin de donde se extrajo la muestra. (Espejel, 2007)Propiedades de las distribuciones X- cuadrada Los valores de X2 son mayores o iguales que 0. La forma de una distribucin X2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un nmero infinito de distribuciones X2. El rea bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1. Las distribuciones X2 no son simtricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, estn sesgadas a la derecha. Cuando n>2, la media de una distribucin X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1). El valor modal de una distribucin X2 se da en el valor (n-3).Ejemplos:Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobs para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribucin normal con una desviacin estndar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.Solucin:Primero se encontrar el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue:

Por ejemplo un encuestador podra desear saber si, el sexo, los antecedentes tnicos o el rango salarial de una persona son factores relevantes en la votacin para una eleccin de algn legislador.La definicin formal de la distribucin es la siguiente:Sean Z1, Z2,,Zk,kdistribuciones normales estandar independientes. Se denomina tambin la distribucin Chi- cuadrado conk grados de libertad.que puede ser cualquier entero positivo incluyendo al 1 y est representado por df.Si x se distribuye mediante una x20, hallar :

Preguntas de anlisis

Estimado estudiante, hemos revisado los contenidos referentes a la cuarta semana, y con el fin de seguir apoyndote en este proceso de enseanza, te sugiero que analices y des respuesta a las siguientes preguntas:1. Qu representa la campana de Gauss?2. Cundo hacer uso de la distribucin normal?3. Cundo aplicar la distribucin binomial?Al respecto para conocer un poco ms sobre este tema, y dar respuesta a las preguntas planteadas a continuacin te invitamos a hacer clic en el siguientebotnUno de los objetivos de la estadstica es el conocimiento cuantitativo de una determinada parcela de la realidad. Para ello, es necesario construir un modelo de esta realidad particular objeto de estudio, partiendo de la premisa de que lo real es siempre ms complejo y multiforme que cualquier modelo que se pueda construir. De todas formas, la formulacin de modelos aceptados por las instituciones responsables y por los usuarios, permite obviar la existencia del error o distancia entre la realidad y el modelo.Los modelos tericos a los que se hace referencia se reducen en muchos casos a (o incluyen en su formulacin) funciones de probabilidad. La teora de la probabilidad tiene su origen en el estudio de los juegos de azar, que impulsaron los primeros estudios sobre clculo de probabilidades en el siglo XVI, aunque no es hasta el siglo XVIII cuando se aborda la probabilidad desde una perspectiva matemtica con la demostracin de la ley dbil de los grandes nmeros segn la cual, al aumentar el nmero de pruebas, la frecuencia de un suceso tiende a aproximarse a un nmero fijo denominado probabilidadFuente: http://dxsp.sergas.es/ApliEdatos/Epidat/Ayuda/4- Ayuda%20Distribuciones%20de%20probabilidad.pdfVideoCon ayuda del siguiente video explicaremos algunas dudas que se hayan presentado durante el transcurso de la cuarta semanahttps://youtu.be/53tb5ezZBCM

Actividad de anlisis y comprensinDespus de haber observado detenidamente el video responde a las siguientes preguntas:1.En una distribucin normal: la media, mediana y moda siempre coinciden

Verdadero

FalsoCorrecto! El que la media, mediana y moda coincidan es una caracterstica de la distribucin normal

2. Fue reconocido por primera vez por:Abraham de Moivre

Verdadero

FalsoBuena eleccin! La distribucin normal fue reconocido por primera vez por el francs Abraham de Moivre

3. La media de la poblacin para una distribucin normal no se encuentra en el centro de la curva

Verdadero

FalsoRespuesta correcta! En una distribucin normal la media se encuentra en el centro de la campana de GaussReferencias bibliogrficas

Lectura recomendada

Ponemos a tu disposicin y te invitamos a revisar dos interesantes documentos que te ayudaran a reforzar y ampliar los temas que hemos estudiado, estos los encontrars en la base de datos e-libros que utiliza nuestra universidad: Documento :EstadsticaURL:http://site.ebrary.com/lib/bibsipansp/docDetail.action?docID=10479465&p00=estad%C3%ADsticaBreve descripcin:El texto se ha elaborado por la necesidad de que exista un texto adecuado para el estudio de la Estadstica en las diferentes especialidades de la educacin superior.Los contenidos y tcnicas que se abordan son presentados teniendo en cuenta la intuicin en la medida de lo posible , evitndose de esta forma demostraciones matemticas que hagan desviar la atencin del lector del objetivo principal, el cual consiste en aprender el uso de las tcnicas estadsticas como herramienta de trabajo.Conclusiones

Luego de haber analizado y desarrollado los contenidos de la cuarta semana llegamos a concluir que las distribuciones de probabilidad se ponen de manifiesto ante las variadas disciplinas del quehacer humano en las cuales este concepto est involucrado, en forma definida o implcita. De una o varias forma, las variaciones posibles en la definicin y aplicacin de lasdistribuciones de probabilidadpermiten comprender su gran complejidad e importancia en la vida diaria de los seres humanos, puesto que se puede disear un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenmenos naturales.Concluyendo as que ya somos capaces de diferenciar el uso de las distribuciones de probabilidad estudiadas y su respectiva aplicacin.