Tema 7.Esfuerzo Combinados.

5/22/2018 Tema 7.Esfuerzo Combinados.

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U.N.E.F.M. / Ing. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Pgina 166

TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS

7.1.- CONTENIDOS CURRICULARES.OBJETIVO DIDCTICO: CALCULAR LOS ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZOS DE CORTE MXIMO EN SISTEMAS

SOMETIDOS A CONDICIONES DE CARGAS COMBINADAS

CONCEPTUALES PROCEDIMIENTALES ACTITUDINALES

Sistemas sometidos a cargas de diferentes tipos:fuerza axial, fuerza cortante, momento flector ymomento torsor

Esfuerzos producidos por traccin, flexin y torsincombinados

Esfuerzos producidos por compresin, flexion ytorsin combinados

Variacin del esfuerzo en un puntoEsfuerzos principalesEsfuerzo de corte mximoClculo analticoClculo de MohrSistemas de rboles y ejes de mquinas

Clculo de esfuerzos ensistemas sometidos a cargascombinadas

Clculo del esfuerzo en unpunto

Determinacin de losesfuerzos principales

Utilizando el mtodoanaltico y el clculo deMohr

Clculo de esfuerzos enrboles para la transmisin

de potencia

Cooperacin en laresolucin de ejerciciosprcticos en clase.

Actitud crtica ante lassoluciones encontradasal resolver un problema

(Machado, Ral 2006)

7.2.- INTRODUCCIN.

En los temas anteriores se desarrollaron mtodos para determinar las distribuciones del esfuerzo en unmiembro sometido a carga axial interna, a fuerza cortante, a momento flexionante o a momentotorsionante. Sin embargo, la seccin transversal de un miembro suele estar sometida simultneamente avarios de estos tipos de cargas y, en consecuencia, el mtodo de superposicin, si es aplicable, puede usarsepara determinar la distribucin resultante del esfuerzo causado por las cargas. En aplicaciones primero sedetermina la distribucin del esfuerzo debido a una carga y luego se superponen esas distribuciones paradeterminar la distribucin resultante del esfuerzo.

Hay cuatro combinaciones posibles de cargas: (1) axial y flexin, (2) axial y torsin, (3) torsin y flexin, y (4)axial, torsin y flexin. Se comenzar por el caso (1) combinacin de esfuerzos axiales y por flexin, ya quees el ms sencillo pues intervienen esfuerzos normales . En todos los dems casos intervienen esfuerzosnormales y cortantes, por lo que requieren un mayor estudio.

7.3.- COMBINACIN DE ESFUERZOS AXIALES Y POR FLEXIN.

Cuando un elemento est sometido a cargas axiales y de flexin como se muestra en la figura 7-1 Entoncesse debe tratar como una combinacin de las dos cargas.

Figura 7-1: Elementos sometidos a cargas axiales y de flexin.Fuente: Mecnica de Materiales. Fitzgerald


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En este caso se considera flexin con tensin o compresin directa, es decir se presenta adems de laflexin en el elemento, la presencia de fuerzas axiales normales a la seccin transversal, y el esfuerzonormal combinado se calcula como:Esfuerzo = Esfuerzo normal + Esfuerzo por flexinLos esfuerzos combinados flexin-axial son calculados por la siguiente ecuacin:

Los esfuerzos de tensin se consideran positivos, mientras que los esfuerzos de compresin son negativos.Esta convencin de signos ayuda a determinar la naturaleza de los esfuerzos finales. El termino c en elfactor Mc/I puede reemplazarse por la distancia general ya partir del eje neutro, si se requiere el esfuerzoen un punto diferente al de las fibras extremas (externa)

EJERCICIO ILUSTRATIVO 7.1.

Calcular los esfuerzos mximos y localizar el eje neutro en la viga en voladizo de 40mm x 100mm como se

indica en la figura 7-2.

Solucin.

El esfuerzo mximo ocurrir en el extremo empotrado, pues en ese lugar el momento flexionante esmximo. La carga de flexin de la figura 7-2 (c) produce esfuerzos de tensin en las fibras superiores yesfuerzos de compresin en las fibras inferiores. La carga axial de la figura 7-2 (b) produce esfuerzos detensin en todas las fibras. Entonces:

La combinacin de esfuerzos se indica en la figura 7-3. El eje neutro es el plano de esfuerzos nulos, y puedelocalizarse mediante la ecuacin (7-1), o mediante simple geometra. Usando la ecuacin (7-1), se tiene:


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Figura 7-2. Viga sometida a carga axial y de flexin.Fuente: Mecnica de Materiales. Fitzgerald

Figura 7-3. Representacin de los esfuerzos en la viga sometida a la combinacin axial-flexin.Fuente: Mecnica de Materiales. Fitzgerald

7.4.- VARIACIN DEL ESFUERZO CON LA ORIENTACIN DEL ELEMENTO.

La magnitud y el tipo de esfuerzo dependen de la orientacin o inclinacin del elemento a considerar. Comose puede ver en la figura 7-4a, se tiene un slido sometido a la accin de fuerzas de equilibrio, en el cual sehacen pasar por el mismo punto dos secciones de exploracin a-a y b-b, donde a-a es perpendicular a ladireccin de la resultante R de P1y P2, como se indica en la figura 7-4b, y b-b esta inclinada con respecto a laresultante R, como se puede ver en la figura 7-4c. El elemento rayado de la figura 7-4b est sometidonicamente a esfuerzo normal, pero el elemento en el mismo punto que est en la figura 7-4c, estsometido a esfuerzos normal y cortante, producidos por N y T, respectivamente. Entonces se puedeobservar que para un mismo punto de un slido que est sometido a un estado de esfuerzos (ubicados enla interseccin de a-a y b-b), los esfuerzos varan segn la direccin u orientacin del elemento diferencialque se considere en dicho punto.


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Figura 7-4. Slido con dos secciones de exploracin de diferente direccin en un mismo punto.Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel

En las secciones siguientes se estudia cmo varan los esfuerzos con la orientacin del elemento. Esto esmuy importante y lo que se persigue es determinar en qu planos se representan los esfuerzos mximos ycalcular sus valores.

7.5.- ESFUERZOS EN PLANOS DE CUALQUIER DIRECCIN.

En forma general, se hace imposible hallar directamente los valores de los esfuerzos en un plano que tengauna direccin cualquiera. Por ejemplo en el caso de vigas, con la formula de flexin se pueden determinarlos valores del esfuerzo normal que aparecen en el plano perpendicular al eje de la viga. Tambin se puedecalcular el esfuerzo cortante en estos dos planos. En el caso de torsin, con su correspondiente formula seobtiene el valor del esfuerzo cortante en planos perpendiculares al eje de la barra. Entonces cuando unabarra est sometida simultneamente a flexin y a torsin, como se muestra en la figura 7-5, se calculan losesfuerzos correspondientes a ambos tipos de esfuerzo, pero solamente si los elementos estn orientadoscomo se puede ver en esta figura. Pero existir una determinada posicin u orientacin en donde el

esfuerzo normal ser mximo, como lo indica la figura 7-4. Existen dos mtodos para determinar estaposicin u orientacin del elemento, y del valor del esfuerzo normal cuando es mximo. Los cuales son: elanaltico usando expresiones matemticas, y el otro mtodo es el grafico utilizando el crculo de Mohr.

Figura 7-5. Barra sometida simultneamente a flexin y a torsin.Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel.


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7.6.- ESFUERZO EN UN PUNTO.

El esfuerzo en un punto define el esfuerzo medio uniformemente distribuido sobre un elemento diferencialde rea. En la figura 7-6 se muestra el esfuerzo normal en la direccin X que existe en un punto decoordenadas x,y,z, el cual es el esfuerzo uniforme que acta sobre el rea diferencial dydz.

Figura 7-6. Esfuerzo en un punto.Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel

Cuando el esfuerzo en un punto se define por las componentes que actan en varias direcciones en elespacio, se puede representar por los esfuerzos que actan sobre un elemento diferencial de volumen que

rodee el punto considerado. Por ejemplox

,y

yxy

los esfuerzos en un punto. En la figura 7-7 se

muestra las componentes del esfuerzo presentes en un elemento diferencial.

Figura 7-7. Componentes de un esfuerzo (estado de esfuerzos).Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel

En esta seccin, solo se considera el estado plano o bidimensional de esfuerzos, en el que los esfuerzosactan paralelamente a un plano, tal como el XY. En un estado tridimensional de esfuerzos la cara Z de un

elemento queda sometida a la accin de un esfuerzo normalz

, as como los esfuerzos cortantesxz

, yz ,

que se producen en las caras X y Y, respectivamente, los esfuerzosxz

yyz

son numricamente iguales.


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7.7.- MTODO ANALTICO PARA EL CLCULO DEL ESFUERZO EN UN PUNTOCUANDO VARA LA DIRECCIN DE LA SECCIN DE EXPLORACIN.

Los esfuerzos varan con la orientacin de los planos que pasan por el punto, o lo que es lo mismo decir quelos esfuerzos en las caras del elemento varan cuando lo hace la posicin angular de este elemento.

Para realizar el anlisis de la variacin del esfuerzo segn la orientacin del elemento, se procede a cortar elelemento inicial mediante un plano y se aplican las condiciones de equilibrio esttico a cualquiera de laspartes (figura 7-8).

Figura 7-8. Variacin de las componentes del esfuerzo. Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel


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Dividiendo ambos miembros de esta ecuacin entre el factor comn A (rea), y sabiendo que y sonnumricamente iguales y utilizando las identidades trigonomtricas siguientes:

cos222

2cos1

2

2cos1cos

22sensensen

Entonces las ecuaciones (a) y (b) se escriben en la forma

7.8.- ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZO CORTANTE MXIMO.

Si se deriva la expresin (7-2) con respecto a , y se anula se obtienen los planos donde estn los esfuerzosnormales mximo y mnimo.

Anlogamente, los planos del esfuerzo cortante mximo queda definido por:

La ecuacin (7-4) da dos valores de 2 que difieren en 180, por lo que los planos de esfuerzo normalmximo y mnimo son perpendiculares entre s. Lo mismo ocurre en la ecuacin (7-5) con los planos deesfuerzo cortante mximo, que estn a 90. Los esfuerzos normales mximo y mnimo se llaman esfuerzosprincipales.

La ecuacin (7-4) es reciproca y de signo contrario a la ecuacin (7-5), lo cual significa que los valores de 2definidos por ambas difieren en 90, esto es, los planos de esfuerzo cortante mximo estn inclinados 45respecto de los planos de los esfuerzos principales.

Sustituyendo los valores de 2 de las ecuaciones (7-4) y (7-5) en la ecuacin (7-2) y (7-3) se obtienen las

siguientes expresiones de los esfuerzos principales y del esfuerzo cortante mximo:


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Para el estado de esfuerzo plano de la figura 7-9, determine: a) Los planos principales, b) Los esfuerzosprincipales, c) El esfuerzo cortante mximo y el esfuerzo normal correspondiente

Figura 7-9

Solucin:a) Planos principales: Siguiendo la convencin usual de signos, las componentes del esfuerzo se escribencomo: Sustituyendo en la ecuacin (7-4):

b) Esfuerzos principales: La ecuacin (7-6) da:

Los planos principales y los esfuerzos principales se esquematizan en la figura 7-10. haciendo = 26.6 en laecuacin (7-2), se verifica que el esfuerzo normal en la cara BC de elemento es el esfuerzo mximo:

Figura 7-10


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c) Esfuerzos cortantes mximos: de la ecuacin (7-7) se obtiene

Puesto que mxy mntienen signos opuestos, el valor obtenido para mxrepresenta el valor mximo del

esfuerzo cortante en el punto considerado. La orientacin de los planos de esfuerzo cortante mximo y elsentido de los esfuerzos cortantes se determinan mejor efectuando un corte a lo largo del plano diagonalAC del elemento de la figura 7-10. Como los planos principales contienen las caras Ab y BC del elemento, elplano diagonal AC debe ser uno de los planos de esfuerzo cortante mximo (figura 7-11). Adems lascondiciones de equilibrio para el elemento prismtico ABC requieren que los esfuerzos cortantes en ACestn dirigidos como se indica. En la figura 7-12 se muestra el elemento cbico correspondiente al esfuerzocortante mximo.

Figura 7-11

El esfuerzo normal en cada una de las cuatro caras del elemento correspondiente a la condicin de esfuerzocortante mximo es:

Figura 7.12


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7.9.- MTODO GRFICO (CRCULO DE MOHR) PARA EL CLCULO DEL ESFUERZO ENUN PUNTO CUANDO VARA LA DIRECCIN DE LA SECCIN DE EXPLORACIN.

Para un caso de estado de esfuerzos bidimensionales pueden ser utilizadas las ecuaciones anteriormentededucidas, pero existe una interpretacin grafica de estas formulas que hizo el ingeniero alemn Otto Mohr(1882) que evita tener que recordarlas. En esta interpretacin se utiliza un crculo, por lo que se ha llamado

circulo de Mohr. Realizando el dibujo a escala se pueden se pueden obtener los resultados grficamente,aunque en general solo se puede utilizar un esquema, y los resultados se obtienen analticamente como sever ms adelante.

Las ecuaciones (7-2) y (7-3) son las ecuaciones paramtricas de una circunferencia. Entonces:

Elevando al cuadrado, sumando y simplificando,

Pero ,y son constantes que definen el estado plano de esfuerzos, las cuales son conocidas, y y son variables. Entonces,

es una constante C, que representa el centro de una circunferencia, y elsegundo miembro de la ecuacin (a) es otra constante R, que representa el radio de una circunferencia, demanera que la ecuacin (a) queda de la siguiente manera:

Figura 7-13. Circulo de Mohr correspondiente a un estado general de esfuerzos.Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel


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7.10.- REGLAS PARA GRAFICAR EL CRCULO DE MOHR.

1.- Sobre un sistema de ejes de coordenadas rectangulares , se ubican los puntosxyx

,

yyxy

,

. Estos puntos representan los esfuerzos normales y cortantes que actan sobre la cara X y Y de unelemento. Se considera positiva la tensin y negativa la compresin. El esfuerzo cortante es positivo si el

momento respecto del centro del elemento es en el sentido de reloj.

2.- Se unen los puntos situados mediante una recta. El segmento de dicha recta comprendido entre los dospuntos es el dimetro de una circunferencia cuyo centro es la interseccin con el eje .

3.- Para los diferentes planos que pasan por el punto en estudio, las componentes del esfuerzo normal ycortante, estn representadas por las coordenadas de un punto que se mueve a lo largo del crculo deMohr.

4.- El radio de la circunferencia, correspondiente a un punto dado de ella. Representa el eje normal al planocuyas componentes de esfuerzo vienen dadas por las coordenadas de ese punto del crculo.

5.- El ngulo entre los radios de dos puntos del crculo de Mohr es el doble del ngulo entre las normales alos dos planos que representan estos dos puntos. El sentido de rotacin del ngulo es el mismo en lacircunferencia que en la realidad, es decir, si el eje N forma un ngulo con el eje X en sentido contrario aldel reloj, el radio de N de la circunferencia forma un ngulo 2 con el eje X en sentido contrario al del reloj.

Figura 7-14. Circulo de Mohr correspondiente a un estado general de esfuerzos.Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel


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En la figura 7-15 se dan los datos de cierto estado plano de esfuerzos. Determinar los esfuerzos normales ycortantes en (a) los planos principales, (b) los planos de esfuerzo cortante mximo y (c) los planos cuyasnormales forman ngulos de 36.8oy +126.8ocon el eje X.Solucin:En la figura 7-15b se representa el crculo de Mohr correspondiente al estado plano de esfuerzo

dado. Los esfuerzos en la cara X se representan en A, de abscisa 32 y ordenada -20. El esfuerzo xy esnegativo porque el momento respecto del centro del elemento es contrario al del reloj, como se ve en lafigura 7-15a. Los esfuerzos en la cara Y vienen representados por el punto B, cuya abscisa es -10(compresin) y ordenada 20 (positiva por ser igual al del reloj el sentido del momento yx ). Uniendo A y B setiene el dimetro del circulo de Mohr cuyo centro est en el punto medio entre las abscisas A y B, o sea 11Mpa del origen 0. El radio se calcula como la hipotenusa del triangulo de catetos 21 y 20, y vale 29.

Figura 7-15 Crculo de Mohr correspondiente a un estado general de esfuerzos.Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel

Los esfuerzos principales vienen representados por los puntos D y E, donde el esfuerzo cortante(ordenadas) es nulo. Su valor viene dado por :

El radio CD forma un ngulo de 2, con sentido contrario al del reloj, medido desde CA, que representa al

eje X. Se tiene de donde 2 =43.6o y = 21.8o. Con arreglo a estos resultados, en lafigura 7-15a se representan los esfuerzos principales que actan sobre los planos principales.

Los esfuerzos en los planos de esfuerzo cortante mximo vienen dados por las coordenadas de los puntos F

y G, y sus valores son mx =29, min = -29 y = 11 en ambos planos. El radio CF est a 90o en sentido

contrario al del reloj a partir de CD, por lo que la normal al plano principal mximo, o sea, a 45 oen sentido

contrario al reloj del plano principal, o sea, a 45 +21.8 del eje X, como se representa en la figura 7-26b.


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Para terminar el problema, los esfuerzos en el plano cuya normal est a +36.8o del eje X estn

representadas por el punto H, interseccin del radio CH con el circulo de Mohr (regla 3). Por la regla 5, el

ngulo ACH = 2 x 36.8o = 73.6oy el ngulo HCD = 73.6o- 43.6o= 30o. Las coordenadas del punto H son, por

tanto,

Los esfuerzos en el plano cuya normal est a + 126.8 o respecto del eje X los representa el punto I. Los

puntos H e I estn a 180 o, puesto que los planos que representan estn a 90 o.

Las coordenadas de I son:

Figura. 7-16 croquis estados de esfuerzos.Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel


Una fuerza nica horizontal de magnitud P = 150 lb se aplica el extremo D de la palanca ABD.Sabiendo que la porcin AB de la palanca tiene un dimetro de 1.2 in., determine: a) Los esfuerzosnormal y cortante en un elemento situado en el punto H, con lados paralelos a los ejesxyy; b) Losplanos principales y los esfuerzos principales en el punto H.


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Figura. 7-17

Solucin:Sistema de par de fuerzas: Se reemplaza P por un sistema equivalente de par de fuerzas en elcentro C de la seccin transversal que contiene al punto H.

Figura. 7-18

a)Esfuerzos x, y, xyen el punto H. usando la convencin de signos mostrada en la figura 7-19, sedetermina el sentido y el signo de cada componente del esfuerzo examinado cuidadosamente elesquema del sistema de par de fuerzas en el punto C:

Figura. 7-19


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Note que la fuerza cortante P no causa esfuerzo cortante en H.

b)Los planos principales y esfuerzos principales: Sustituyendo los valores de los esfuerzos en laecuacin (7-4), se determina la orientacin de los planos principales:

Figura. 7-20

Sustituyendo en la ecuacin (7-6), se establecen las magnitudes de los esfuerzos principales:

Figura. 7-21

Considerando la cara ab del elemento mostrado en la figura, se hace P= -30.5 en la ecuacin (7-2) y se halla x= -4.68 ksi. Se concluye que los esfuerzos principales son los que se muestran.


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Para el estado de esfuerzo plano mostrado en la figura, determine: a) Los esfuerzos principales y los planosprincipales, b) las componentes del esfuerzo ejercidas sobre el elemento obtenido rotando el elementodado 30 en sentido contrario a las agujas del reloj

Figura. 7-22

Solucin:

Construccin del Crculo de Mohr: Note que en una cara perpendicular al eje x, el esfuerzo normal es detensin y el esfuerzo cortante tiende a rotar el elemento en el sentido de las agujas del reloj. As se elaborala grfica de X en un punto 100 unidas a la derecha del eje vertical y 48 unidas sobre el eje horizontal. Enforma similar, se examinan las componentes del esfuerzo en la cara superior y se elabora la grfica delpunto Y (60, -48). Uniendo los puntos X y Y mediante una recta, se define el centro C del Crculo de Mohr. Laabscisa de C, que representa permy el radio R del crculo pueden medirse directamente o calcularse comose muestra a continuacin:

Figura. 7-23Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel

a) Planos principales y esfuerzos principales: Se rota el dimetro XY en el sentido de las agujas del reloj 2Phasta que coincida con el dimetro AB, se tiene:


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Los esfuerzos principales estn representados por as abscisas de los puntos Ay B:

Como la rotacin que trae XY hasta AB es en el sentido de las agujas del reloj, la rotacin que trae Oxal eje Oa, que

corresponde a mx, es tambin en el mismo sentido. Se obtiene la orientacin mostrada en los planos principales.


b)Componentes del esfuerzo en elemento rotado a 30: Los puntos XyY que corresponden en el Crculo de Mohr alas componentes del esfuerzo en el elemento rotado, se obtiene girando XY en el sentido contrario a las agujas delreloj, un ngulo 2= 60, se tiene:

Como X se localiza por encima del eje horizontal, el esfuerzo cortante en la cara normal a Ox tiende a rotar elelemento en el sentido de las agujas del reloj

Figura 7-26Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel


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7.11.- APLICACIN DEL CRCULO DE MOHR A CARGAS COMBINADAS.

La aplicacin ms importante del clculo de los esfuerzos combinados es el diseo de elementos sometidosa cargas combinadas, o a la determinacin de las cargas de seguridad. El crculo de Mohr, al representargrficamente las variaciones de esfuerzo en ciertas condiciones, da una idea ms clara del problema que el

mero clculo analtico. El procedimiento habitual es considerar un pequeo elemento en el que se puedancalcular los esfuerzos producidos por los tres tipos fundamentales de cargas: axial, de flexin y de torsin. Elestudio del crculo de Mohr para este elemento indica el criterio a seguir en el diseo. Los ejerciciosilustrativos que se presentan a continuacin son tpicos de los procedimientos que se utilizan en la prctica


Un eje de 100 mm de dimetro que gira a 30 r/s est sometido a unas cargas de flexin que le producen unmomento flexionante mximo de 2500 N.m. Calcular el par torsor mximo y la potencia mxima quepuede actuar al mismo tiempo sobre el eje, sin que el esfuerzo cortante exceda de 80 MPa ni el esfuerzonormal de 100 MPa.

Solucin: El momento flexionante producir unos esfuerzos de flexin mximos en las fibras superior e

inferior de valor:

Al aplicar un par torsor T, an desconocido, se producir un esfuerzo cortante de torsin, mximo en la

superficie exterior del eje, que acta tambin sobre el mismo elemento de la fibra superior o inferior del

mismo. En la figura 7-27a se representa este estado de esfuerzo. Aunque el esfuerzo cortante de torsin,

representado por tpara distinguirlo del esfuerzo cortante mximo resultante, es desconocido, se puede

dibujar un crculo de Mohr en funcin de tal esfuerzo, como se representa en la figura 7-27b.

Para que aparezca un esfuerzo cortante combinado de 80 MPa, el radio del circulo debe ser R = 80. Sin

embargo, el radio del circulo que d como esfuerzo normal mximo 100MPa debe satisfacer la condicin

= 100 = OC + R= 40 + R , de donde R= 60Mpa.

Es evidente que el radio apropiado ha de ser menor R y R, es decir, en el caso que se trata, 60MPa, para

que de esta manera no se sobrepasen los esfuerzos admisibles. Hallando R, por eltriangulo rayado de la

figura 7-27b, se calcula el esfuerzo cortante por torsin, que puede combinarse con el esfuerzo por

flexin. Se tiene as que:

La formula de torsin permite calcular el momento torsionante necesario para que resulte este esfuerzo

cortante,


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Y en funcin del momento, la potencia mxima que pueda aplicarse, est dada por

Figura. 7-27


Un eje macizo se somete a flexin y torsin simultneamente, producidas por un momento torsionante T yun momento M. Expresar el esfuerzo cortante mximo y el esfuerzo normal mximo resultantes, en funcinde T, de M y de radio r del eje. Aplicar las relaciones obtenidas al caso de un eje sometido a un par T =1200N.m y M = 900 N.m, para determinar su dimetro, si los esfuerzos admisibles son de 70MPa a cortantey 100MPa a flexin.

Solucin:

La flexin y la torsin simultneas aparecen con frecuencia en el diseo de ejes rotatorios. Las formulas quese desarrollan son muy tiles, pero su aplicacin est limitada al caso en que se conozcan T y M. Encualquier otra circunstancia se debe utilizar el crculo de Mohr.


En la figura 7-28a se representa el estado de esfuerzo de un elemento de un eje sometido a flexin y torsin

simultneas, y en la figura 7-28b, el crculo de Mohr correspondiente. El esfuerzo cortante mximo es igual


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al radio R de la circunferencia, y del triangulo rayado se obtiene

Las formulas de torsin y de la flexin, particularizadas para un eje circular macizo se escriben en la forma:

Sustituyendo estos valores en (a) resulta:

Haciendo , se obtiene finalmente:

La semejanza entre la ecuacin (7-10) y la formula de torsin en (7-8) sugiere que a T ese le llame momento

torsionante equivalente.

La ecuacin que se obtiene para el esfuerzo normal mximo, anloga a la formula de la flexin, obliga a

introducir el concepto de momento flexionante equivalente Me, y se determina de la manera siguiente. En

la figura 7-32b, el esfuerzo normal mximo resultante vale . Teniendo en cuenta que

resulta:

Multiplicando por dos y dividiendo igualmente entre dos el segundo miembro,

Que es la misma frmula de la flexin (b), pero en la que se tiene el momento equivalente

.Las ecuaciones (7-10) y (7-11) son pues, las mismas formulas de la torsin y de la flexin. Lo nico que se

debe recordar son los valores de los momentos equivalentes a torsin y a flexin respectivamente, dados

por:


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En el caso particular del ejemplo, y de acuerdo con los datos del enunciado, los momentos equivalentes de

torsin y de flexin son:

El radio del rbol para que el esfuerzo cortante mximo no exceda el admisible, segn la ecuacin (7-10),

viene dado por:

El radio del eje para que el esfuerzo normal mximo no exceda al admisible, segn la ecuacin (7-11), viene

dado por:

El mayor de estos dos valores obtenidos cumple ambas condiciones y, por lo tanto, es el dimetro

necesario. d= 2x 24.8 = 49.6 mm



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Disear un eje circular macizo que pueda soportar las cargas indicadas en la figura 9-25 si max 70 MPa ymax 120MPa. Las correas de transmisin de las poleas B y C son verticales y las de la polea E sonhorizontales. Se desprecian el peso de las poleas y el del rbol.


Solucin:

Las cargas aplicadas, producen, adems de una torsin, una flexin en el plano horizontal y otra en lavertical. En las figuras 7-33b y 7-33c se han representado los diagramas de momento flexionantes en dichos

planos. El momento flexionante resultante en cualquier seccin viene dado por . Por tanto,en los puntos B, C y D los momentos flexionantes son y y

. Combinando estos momentos con la distribucin de momentos torsionantes en el eje, figura 7-

33d, se deduce que las secciones ms peligrosas son C y D.

Como en estos puntos se conocen los valores del momento torsionante y del momento flexionante, se

aplica el mtodo del ejercicio anterior. Las cuales son y , entonceslos momentos equivalentes a torsin y a flexin en aquellos puntos son:

En C:


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Y en D:

En las ecuaciones (9.11) y (9.12) se han tenido en cuenta los valores mximos de M ey Te. Como el mximo

momento Tetiene lugar en C y el mximo Meaparece en D, resulta:

El mayor de estos dos valores determina el radio necesario. De ah que el del eje sea d= 2x 37.7 = 75.4 mm.

En vista de que los ejes tienen dimetro estndar, deben especificarse unos de 80 mm

7.12.- AUTOEVALUACIN.Instrucciones:

Lea con cuidado y despacio cada pregunta. Si no ha entendido algo, no se apresure en el proceso, consulte la teoracorrespondiente.

Esta herramienta para autoevaluacin, est diseada para ayudarle a evaluar sus conocimientos sobre el presente tema, por lotanto cuando est considerando las preguntas, contstelas basndose en los fundamentos tericos.

No conteste basndose en falsos supuestos tericos Cada tema es progresivo, es decir, ir avanzando y aprovechando lo que aprendi del tema anterior. Por ltimo, saque sus propias conclusiones de manera reflexiva de lo aprendido y cmo lo podr aplicar estos conocimientos en

el campo laboral.

1.- Cual es el procedimiento a seguir cuando se tiene un slido sometido a cargas combinadas de tipo axial yde flexion.

2.- Deduzca las ecuaciones de los esfuerzos normal y tangencial para una seccin inclinada.

3.- Cual es el valor del esfuerzo tangencial cuando la seccin coincide con el plano principal.

4.- Escriba la ecuacin para ubicar el centro del crculo de Mohr.

5.- Escriba la ecuacin para ubicar el radio del crculo de Mohr.

6.- Dibuje el crculo de Mohr para un estado de esfuerzos cualquiera e indique la ubicacin de los esfuerzosprincipales y el esfuerzo cortante mximo.

7.- Escriba las ecuaciones de esfuerzo mximo normal y esfuerzo mximo tangencial para un eje que estsometido a torsin y a flexion.


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7.13.- RESUMEN DE ECUACIONES.

ESFUERZOS COMBINADOS FLEXIN-AXIAL:

ECUACIONES DE ESFUERZO NORMAL Y ESFUERZO TANGENCIAL EN UN PLANO DE ANGULO :

ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZO CORTANTE MXIMO:

ECUACIONES PARA CALCULAR LOS PLANOS DONDE ESTN LOS ESFUERZOS NORMALES MXIMO YMNIMO:

ECUACIONES PARA CALCULAR LOS PLANOS LOS PLANOS DEL ESFUERZO CORTANTE MXIMO:

CENTRO DE CRCULO DE MOHR:

RADIO DE CRCULO DE MOHR:

MOMENTOS EQUIVALENTES A TORSIN:


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MOMENTOS EQUIVALENTES A FLEXION:

MOMENTO EQUIVALENTE

.

ESFUERZOS MXIMO PARA UN EJE SOMETIDO A FLEXION A TORSIN:


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7.14.- EJERCICIOS PROPUESTOS.

701.-Una pequea mnsula en dos barras de 90 mm x 20 mm (Figura P-701) soporta una carga de 84 kN,inclinada segn una pendiente de 2 a 1. Determinar los esfuerzos mximos en la seccin A-A de la mnsula.

Figura P-701

Resp. 702.-La barra indicada en la figura P-702 tiene una seccin transversal rectangular de 30 mm x 120 mm.Cuando el esfuerzo admisible en la barra es de 140 MPa. Cul es la carga mxima que puede aplicarse?

Figura P-702

703.-la pequea barra de izaje indicada en la figura P-703 est formada por un tubo de acero estndar de 6pulg y de 5 pies de longitud. Se aplica una carga P = 7000 lb al centro. Determinar los esfuerzos mximosque se producirn.


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Figura P-703

Resp. 704.- Determinar los esfuerzos mximos en el poste redondo de 300 mm de dimetro indicado en la figuraP-704 cuando P = 24000 N.

Figura P-704 y P-705

705.- Determinar la carga mxima P que puede aplicarse al poste redondo de 300 mm de dimetro indicadoen la figura P-704, dado que el esfuerzo admisible es de 10 MPa.

Resp. 706.- Determinar los esfuerzos mximos en la viga de acero W 8 x 18 indicada en la figura P-706

Figura P-706

707.-Determinar la carga mxima O que puede aplicarse a la vigueta de acero W 6 x 16, indicada en lafigura P-707. El esfuerzo admisible es de 22 klb/pulg2.

Figura P-707

Resp.


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708.-Las secciones A-A y B-B del mecanismo indicado en la figura P-708 son de 3 pulg x pulg. Determinarlos esfuerzos en esas secciones, suponiendo que P1= 5000 lb.


709.- Determinar el valor mximo de P1y el valor correspondiente de P2para el mecanismo indicado en lafigura P-708 El esfuerzo admisible en las secciones A-A y B-B es de 16000 lb/pulg2.

Resp.

710 a 713.-Para el estado de esfuerzo dado, determine los esfuerzos normales y cortantes ejercidos sobrela cara oblicua del elemento triangular sombreado en las figuras. Resolver por el mtodo analtico y por elmtodo grafico (crculo de Mohr).

Figura P-710 Figura P-711 Figura P-712 Figura P-713

Resp.


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714 a 717.- Para el esfuerzo dado, calcule: a) Los planos principales, b) Los esfuerzos principales. c) Laorientacin de los planos de esfuerzo cortante mximo, d) El esfuerzo cortante mximo en el plano, e) Elesfuerzo normal correspondiente

Figura P-714 Figura P-715 Figura P-716 Figura P-717

718.-El tubo de acero AB tiene un dimetro exterior de 102 mm y un espesor de pare de 6 mm, si se sabeque el brazo CD est rgidamente fijo al tubo, determinar los esfuerzos principales y el esfuerzo cortantemximo en el punto H.


Resp. 719.-El tubo de acero AB tiene un dimetro externo de 102 mm y un espesor de pared de 6 mm. Si el brazoCD se encuentra fijo con rigidez al tubo, encuentre los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante mximoen el punto K.

720.- Se aplica una fuerza vertical de 400 lb en el punto D a un equipo fijo al eje AB slido con dimetro de1 in. Calcule los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante mximo en el punto H localizado encima del eje,como se muestra en la figura.


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Figura P-720

Resp. 721.-Un mecnico usa una matraca para aflojar un tornillo en el punto E. Si se sabe que el mecnico aplicauna fuerza vertical de 24 lb en el punto A, determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante mximoen el punto H localizado sobre el eje con dimetro de in.

Figura P-721

722.- Para el estado de esfuerzos planos que muestra la figura, determine el valor ms grande ypara elque el esfuerzo cortante mximo en el plano es menor o igual que 15 ksi

Resp. 40.9 ksi

Figura P-722


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723.- Determine el dimetro ms pequeo permisible del eje slidoABCD, si se sabe que perm= 60 MPa yque el radio del disco Bes r = 80 mm

Figura P-723 y 724

724.-Encuentre el dimetro ms pequeo permisible del eje slido ABCD, sabiendo que perm= 60 MPa yque el radio del disco Bes r = 120 mm.

725.- Se aplican las fuerzas verticales P1 y horizontal P2a los discos soldados al eje slido AD, segn seilustra en la figura. Si el dimetro del eje es de 1.75 in. y perm = 8 ksi, calcule la magnitud ms grandepermisible de la fuerza P2

Figura P-725

Resp. 873 lb.

726.-El eje slido ABCy los engranes que se muestran en la figura se utilizan para transmitir 10 kW del

motor Ma un elemento de mquina conectado al engrane D. Si el motor gira a 240 rpm y perm= 60 MPa,encuentre el dimetro ms pequeo permisible del ejeABC.


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Figura P-726

727.-Suponga que el eje ABCdel ejercicio 726 es hueco y tiene un dimetro exterior de 50 mm, calcule sums grande dimetro interior permisible.

728.-El slido ABgira a 600 rpm y transmite 80 kW del motor Ma un elemento de mquina conectado alengrane F. si se sabe que perm= 60 MPa, determine el dimetro ms pequeo que puede permitirse para el

ejeAB.

Resp. 57.7 mm.

Figura P-728

Tema 7.Esfuerzo Combinados.

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