Tema v

TEMA V: TRANSFORMADA Z

LA TRANSFORMADA z TIENE EL MISMO PAPEL PARA LAS SEÑALES, LOS SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO Y SISTEMAS LTI, QUE LA TRANSFORMADA DE LÁPLACE EN EL ANALISIS DE LAS SEÑALES Y SISTEMAS CONTINUOS EN EL TIEMPO

TRANSFORMADA Z

LA TRANSFORMADA Z DE UNA SEÑAL DISCRETA EN EL TIEMPO x(n) SE DEFINE COMO LA SERIE DE POTENCIAS

n

nznxzX )()(

DONDE z ES UNA VARIABLE COMPLEJA, POR COMODIDAD LA TRANSFORMADA z DE UNA SEÑAL x(n) SE DESIGNA

)()( nxZzX

TRANSFORMADA Z

DADO QUE LA TRANSFORMADA z ES UNA SERIE INFINITA DE POTENCIAS, SOLO EXISTE PARA AQUELLOS VALORES DE z PARA QUE LA SERIE CONVERJA

LA REGION DE CONVERGENCIA ROC DE X(Z) ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS VALORES DE z PARA LOS QUE X(Z) TOMA UN VALOR FINITO

TRANSFORMADA Z

EJEMPLOS:

5321

1

1

7521)(

1,0,7,5,2,1

zzzzzx

x

ROC: plano z completo excepto z = 0

TRANSFORMADA Z

EJEMPLOS:

3112

2

2

7521)(

1,0,7,5,2,1

zzzzzx

x

ROC: plano z completo excepto z = 0 y z = infinito

TRANSFORMADA Z

EJEMPLOS:

75432

3

3

7521)(

1,0,7,5,2,1,0,0

zzzzzzx

x


TRANSFORMADA Z

EJEMPLOS:

1)()(

4

4

zxnx

ROC: plano z completo

TRANSFORMADA Z

EJEMPLOS:

kzzx

kknx

)(

0),(

5

5


TRANSFORMADA Z

EJEMPLOS:

kzzx

kknx

)(

0),(

6

6

ROC: plano z completo excepto z = infinito

TRANSFORMADA Z

EJEMPLOS:

21:

21

1)(

21)(

1

0

1

zROC

zzX

zzXn

n

)(21)( nunx

n

Plano z

r=1/2

Im(z)

Re(z)

x

TRANSFORMADA Z

EJEMPLOS:

21:

21

6

31

7)(

216

317)(

11

0

1

0

1

zROC

zzzX

zzzXn

n

n

n

)(216)(

317)( nununx

nn

Plano z

r=1/2

Im(z)

Re(z)

xx1/3

TRANSFORMADA Z

EJEMPLOS:

azROCza

zX

zazXn

n

:1

11)(

1)(

1

0

1

1)( nuanx nPlano z

a

Im(z)

Re(z)

x

TRANSFORMADA Z

EJEMPLOS:

11

0

1

0

1

11

111)(

1)(

zzbzX

zbzzXn

n

n

n

1)( nubuunx nn Plano z

α

Im(z)

Re(z)

xbx

b

TRANSFORMADA Z

EJEMPLOS:

bzROCzzb

zX

zbzzXn

n

n

n

:1

11

11)(

1)(

11

0

1

0

1

1)( nubuunx nn Plano z

α

Im(z)

Re(z)

xb

x

b

TRANSFORMADA Z UNILATERAL

LA TRANSFORMADA Z DE UNA SEÑAL DISCRETA EN EL TIEMPO x(n) SE DEFINE COMO LA SERIE DE POTENCIAS

0

)()(n

nznxzX

DONDE z ES UNA VARIABLE COMPLEJA, POR COMODIDAD LA TRANSFORMADA z DE UNA SEÑAL x(n) SE DESIGNA

)()( nxZzX


EJEMPLOS: 5321

1

1

7521)(

1,0,7,5,2,1

zzzzzX

x



EJEMPLOS:

31

2

2

75)(

1,0,7,5,2,1

zzzX

x



EJEMPLOS:

75432

3

3

7521)(

1,0,7,5,2,1,0,0

zzzzzzX

x



EJEMPLOS:

1)(

)(

4

4

zX

nx



EJEMPLOS:

kzzX

kknx

)(

0),(

5

5



EJEMPLOS:

0)(

0),(

6

6

zX

kknx



CARACTERISTICAS:

•NO TIENE INFORMACION PARA LOS INSTANTES n < 0•ES UNÍVOCA SOLO PARA SEÑALES CAUSALES•LA TRANSFORMADA Z UNILATERAL DE x(n) ES IDENTICA A LA TRANSFORMADA Z BILATERAL DE x(n)u(n)•PUESTO QUE x(n)u(n) ES CAUSAL, ROC DE SU TRANSFORMADA Y POR TANTO LA ROC X+(Z), ES SIEMPRE LA REGION EXTERNA A LA CIRCUNFERENCIA•EN ESTA TRANSFORMADA NO ES NECESARIO HACER REFERENCIA A ROC

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z

LINEALIDAD

X(z) Determine

)()3(4)2(3)(

Ejemplo)()()()()(

entonces)()(

y)()(

Si

22112211

22

11

nunx

zXazXanxanxanx

zXnx

zXnx

nn

Z

Z

Z

PROPIEDADES DE LA ROC DE LA TRANSFORMADA Z

PROPIEDAD 1: LA ROC DE X(z) CONSISTE DE UN ANILLO EN EL PLANO Z CENTRADO ALREDEDOR DEL ORIGEN

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA ZDESPLAZAMIENTO TEMPORAL

)(Xy (z)X Determine

1,0,3,2,1,0,0)()2()(

y

1,0,3,2,1)()2()(

1,0,3,2,1)(Ejemplo

)()(

entonces)()(

Si

32

3

13

2

12

1

z

nxnxnx

nxnxnx

nx

zXzknx

zXnx

kZ

Z

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA ZCAMBIO DE ESCALA EN EL DOMINIO Z

X(z) Determine)()cos()(

Ejemplo

:ROC ),()(

entonces

:ROC ,)()(

Si

0

211

21

nunwanx

razrazaXnxa

rzrzXnx

n

Zn

Z

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA ZINVERSIÓN TEMPORAL

X(z) Determine)()(

Ejemplo

11:ROC ),()(

entonces

:ROC ,)()(

Si

12

1

21

nunx

rz

rzXnx

rzrzXnx

Z

Z

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA ZDIFERENCIACION EN EL DOMINIO z

X(z) Determine)()(

Ejemplo

r:ROC ,)()(

entonces

:ROC ,)()(

Si

21

21

nunanx

rzdzzdXznnx

rzrzXnx

n

Z

Z

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA ZCONVOLUCION DE DOS SECUENCIAS

caso otroen ,050 ,1

)(

1,2,1)(x:señales las de n convolució la Calcule

:Ejemploy de

iaconvergenc de regiones las deón intersecci la menos, al es de ROC La)()()()(*)()(

entonces

:ROC ,)()(

y

:ROC ,)()(

Si

2

1

21

2121

4322

2111

nnx

nx(n)

(z)X(z)XX(z)

zXzXzXnxnxnx

rzrzXnx

rzrzXnx

z

Z

Z

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA ZMULTIPLICACION DE DOS SECUENCIAS

vX(v)X

C

dvvvzXvX

jzXnxnxnx

zXnx

zXnx

C

z

Z

Z

1y acomún región laen encuentra

sey origen el contiene que cerrado contornoun es Donde

)(21)()()()(

entonces)()(

y)()(

Si

21

12121

22

11

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