El teorema de EuclidesEl teorema de Euclides es muy antiguo y fue descubierto por un matemtico griego con el mismo nombre hace ya ms de dos mil aos pues este de hombre vivi entre los aos 325 a.c.-265 a.c., el teorema ha tenido extensa aplicacin pues de cierta forma completa la comprensin de las relaciones geomtricas existentes en el tringulo rectngulo relacionando los catetos del tringulo con sus proyecciones en la hipotenusa.NDICE 1 Origen y demostracin 2 Teorema de Euclides referido a un cateto 3 Teorema de Euclides referido a la altura 4 Aplicaciones 5 Ejercicios resueltos del Teorema de EuclidesORIGEN Y DEMOSTRACINEuclides se di cuenta de que al trazar la altura con respecto a la hipotenusa en un tringulo rectngulo se da origen a dos tringulos ms aparte del original , los cuales entre si son semejantes y a la vez son semejantes tambin con el tringulo original , lo que implica que sus lados homlogos respectivos son proporcionales.A continuacin se muestra grficamente la altura trazada desde la hipotenusa en el tringulo rectngulo y los tringulos que nacen a partir de su trazado :

Se puede apreciar los ngulos que son congruentes en los tringulos de esta forma se puede verificar la semejanza existente entre los tres tringulos involucrados segn el criterio de semejanza AAA , que dice que si dos tringulos tienen todos sus ngulos iguales son semejantes.Luego de demostrar que los tringulos son semejantes es posible establecer las siguientes proporciones:TEOREMA DE EUCLIDES REFERIDO A UN CATETO En cualquier tringulo rectngulo la medida de cada uno de los catetos es media proporcional geomtrica entre la hipotenusa y la proyeccin del cateto sobre ella. TEOREMA DE EUCLIDES REFERIDO A LA ALTURAEn cualquier tringulo rectngulo la altura trazada segn la hipotenusa es media proporcional geomtrica entre los segmentos que determina esta sobre la hipotenusa.

Adems, mediante un procedimiento algebraico entre las ecuaciones del teorema se puede demostrar que :

APLICACIONESDesde que se propuso hasta la fecha el teorema de Euclides ha sido enseado sin cesar en las escuelas y universidades modernas de todo el mundo, pues posee una extensa gama de aplicaciones en diversas ramas del saber que usan matemticas como ciencias ingenieriles, fsica, qumica y astronoma por lo cual la dimensin de su aporte es incalculable.EJERCICIOS RESUELTOS DEL TEOREMA DE EUCLIDES1.- Considere que en el tringulo que se muestra en la figura 1 la altura con respecto a la hipotenusa tiene un valor de 10 cm , y el segmento q tiene un valor de 5 cm , obtenga el valor del segmento p.Para la resolucin de este problema se usar el teorema de Euclides referido a la altura que nos dice que:

por lo tanto reemplazando con los valores otorgados por el problema se tiene que:

desarrollando la potencia y despejando p se tiene que

2.- Considere que en el tringulo de la Figura 1 el cateto a mide 4 cm y la hipotenusa c mide 5cm, calcule la proyeccin del cateto sobre la hipotenusa.Para resolver este problema se usar el Teorema de Euclides referido a los catetos el cual nos dice que:

reemplazando con los valores otorgados por el problema se tiene que :

desarrollando la potencia y luego despejando p se tiene que :

3.- Considere que en el tringulo de la figura 1 el valor de q es 1,8 cm y el valor de la hipotenusa c es de 5 cm , calcule el valor del cateto b.Para resolver este problema se usar el Teorema de Euclides referido a los catetos el cual nos dice que :

reemplazando con los valores otorgados por el problema se tiene que: b=3