Teoremas Fundamentales del Cálculo

• Curso: Cálculo Integral CB131U

• Prof: Peña Quiñones, Celestina

• FIIS - UNI

TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CALCULO

Teorema del valor intermedio.- Si f es una función continua sobre [a, b], entonces para cualquier número real A, tal que , existe por lo menos un tal que f(c) = A.

Supuesto que ,

Corolario.- Si M, m son de signo opuesto, entonces existe tal que f(c) = 0

MAm bac ,

bac , baxxfmáxM ,/ baxxfm ,/min

a

ab

b

2c

2c1c

1c

0yAy

X

X

Y Y

Teorema del valor medio para Integrales.- Si f es una función continua

sobre [a, b], entonces existe tal que

Valor medio o promedio de una función.- Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], el valor medio o promedio de f sobre [a, b] es

f(c), tal que

Aplicaciones.- Como , entonces

ó

a) Si entonces sustituyendo en la conclusión del T.V.M para integrales tenemos

tomando el límite obtenemos

b) Si , procediendo como en (a) tenemos

c) Como , se concluye que

bac , abcfdxxfb

a

dxxfabcfb

a

bac , 1,0r

abrac barbc

habhabh ,0, rhbcórhac

dttfh

límcfhc

ch

1

0 dttf

hlímaf

ha

ah

1

0

dttfh

límbfb

hbh

10

hbahbah ,0;

dttfh

límcfhc

ch

1

0

bac ,

Ejemplos.- Evaluar los siguientes límites

1. , donde f es continua sobre [a, b] y

2. , donde f es continua sobre [a, b]

3. 4.

5. 6.

7.

8.

bax ,

x

a

hx

ahdttfdttf

hlím

10

dttdtth

límh

h

h

h

2 22

0

2

011

1

dt

tdt

t

tx

hlím

hxx

h 0 20 2

2

0 1

1

1

1

dtth

límha

hah

2

0 111

dtt

sentdtt

hlím

h

h

h

hh2

2

3

30

cos1

dtt

sentdtt

hlím

h

h

h

hh2

2

3

30

cos1

dttfh

límh

hh

2

0

1

hb

hadttdtt

hlím

h

h

b

ah

25.0

25.0,

25.0

25.0,sectan

1 8

6

2

0

1er. Teorema Fundamental del Cálculo.

Si es una función continua sobre [a, b] y si para todo

, entonces G es derivable sobre [a, b] y G’(x) = f(x)

Corolario.- Si es derivable sobre A = [a, b] y

continua sobre B entonces, si ;

En general, si h, g son funciones derivables y f una función continua tal las composiciones existen, entonces

bax ,

dttfxGx

a:f

BAh : :f

xgxgfxhxhfxGdttfxGxh

xg''',

dttfxG

xh

a xhxhfxG ''

Ejemplos.-

1. Hallar G’(1) si

2. Si es tal que

hallar H’’(0)

3. Si demostrar que G es una función constante

4. Si , demostrar que

5. Si hallar

6. Hallar

:f

dtt

xGx

x

2

11

dttfaxxHsifafx

0

,00

2

0,cos1

tan

xadt

udu

tt

xGx

a

a

t xG ''

dtt

xGx

x2 1

dtxt

fxF

1

0 xfx

xF '

1'' 3

dt

ttsen

xxx

límx

x 2

222

2 2tan

2do. Teorema fundamental del Cálculo.-

Sea una función continua sobre [a, b] y sea F una función derivable sobre [a, b] tal que entonces

:f baxxfxF ,,'

aFbFdxxFb

a '

3,1,2 2 xxxxf

21

1

0 2

x

dx

5.0

0 2

3

1dx

x

x

5,2,342 xxxxf

1

4 2 258

1dx

xx

xdx

x

x

5.1

1 2 1

5.0

Ejemplos

1. Hallar el valor medio de las siguientes funciones

a)

b)

2. Demostrar que

3. Hallar el valor de las siguientes integrales

Cambio de variable en Integral definida

Teorema.- Sea una función continua sobre tal que, y sea Una función integrable sobre Entonces si

:g A B ,A 0, ,g t :f B

, ,x g u a g b g

,B a b

b

af x dx f g u g u du

0 o 0 sobre , g g A

NOTA.- Es importante notar, que el cambio de variable en una integral definida requiere que se cumpla la condición que

con el fin de no alterar el resultado de la integral, también es necesario verificar que

x g u Domf

Integral definida y sustitución trigonométrica

Si el integrando contiene factores de la forma

Es conveniente efectuar una sustitución trigonométrica

a)

b)

c)

2 2 2 2 2 2, ,a x a x x a

, , , 12 2

x sent t x

, , ,2 2

x tant t x

sec , 0, , , 12 2

x t t x

Integral definida y sustitución recíproca

Si el dominio de la función integrando no contiene al cero es conveniente la sustitución

1, 0x x

t

bb b

a aäudv uv vdu

Integral definida e integración por partes

En muchas integrales definidas es útil la integración por partes

Ejemplos.-

Hallar el valor de las siguientes integrales definidas, explicando el método utilizado y sus condiciones.

3

0.5

0.5 21

x dx

x

3

2

32 2 1

x dx

x

3 20

1x x dx2 5 3

01x x dx 1

1

1

3

xdx

x

23

312 2

1

4

xdx

x

22

41

4 xdx

x

4

1 2 29

dx

x x 4 2

34 6x x dx

3 36x x dx

3

6 2

xdx

3 26

2x x dx

6

4 2 2 9

dx

x x

2

1 25 4 1

dx

x x x

10

1 2 28 2 1

dx

x x x

1

2 21 9 1

dx

x x 0

1 senx dx

1

1 29 1

dx

x x 0

1 cos x dx

20

1 cos 2x dx

7

3 2 1 4 2 1

dx

x x x 10.5tan 8

3 48

1

4 2 4dx

sen xsen x

11tan

30

2 tan

1 2 tan

xdxx

1

1 26

dx

x x

2

1 25 4 1

dx

x x x

,

20 1 cos

xsenxdxx

Ejemplos.-

Evaluar las siguientes integrales:

dxx

x

5.0

0 2

3

1dxxx

2

2

35 8

4

1 22 9 xx

dx

2

1 2 145 xxx

dx

1 21

1 x dx

dx

x

x

3

12

32

2

4

1

dx

xx

x

2

02

32 22

54

dxx

x

2

2 32

3

1

7

123 241 xxx

dx

dxxx 2cos2

1

1

1tan dxxx

dxx

x

2

0 3

5

1

dxx

x

2

1 4

24

1

1 2 19xx

dx

1

1 26 xx

dx

x

a

x

xxgdttfdttfSi 2

)()('1

0

2)(,00 dxxfcalcularf

dtt

x

tsen

xgyx

x

2

2

5.4

5.3 22 925 xx

xdx

dxx

x

5.0

1 2

1

dxxxx

3

1 22 4

1

6

2 32 52xx

dx

6

2 54

1

xx

dxx

6

2 3

210

x

dxxx

Hallar el valor medio y el punto ó puntos donde ocurre dicho valor para las siguientes funciones y en los intervalos indicados

24 9 , 1,2f x x x

2 3 1 1, 4,6f x x x x x