Teoria de conjuntitos.docx

7/23/2019 Teoria de conjuntitos.docx

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TEORIA ELEMENTAL DE CONJUNTOS

Docentes:

Cap.S.PNP Richard Snchez

Postigo

Lic. Marcos Avidemio Gevara

!a"ian

Lic. Marzhe##a Santander

$ida#go CandiaLic. !ederico Pare%a Pinto

&os' Andr's (s)ez Garc*a

Chorri##os+ Ma,o de# a-o /10

Chorri##os+ 12/02/10 3ng. &os' Andr's (s)ez Garc*a


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Conjuntos y Subconjuntos

CONJUNTOSCon%nto es na #ista+ c#ase o co#ecci4n de o"%etos "ien de5inidos+ o"%etos )e+ peden ser

n6meros+ personas+ o #etras+ etc. 7stos o"%etos se ##aman e#ementos o miem"ros de# con%nto.

Los con%ntos se estdian como entidades a"stractas.

7%emp#os partic#ares de con%ntos.

Los n6meros 1+ 8+ 9 , 1/. La so#ci4n de #a ecaci4n x23x2=0Las voca#es de# a#5a"eto: a+ e+ i+ o+ . La personas )e ha"itan #a ierra.

Los estdiantes oms+ Ricardo ,

7nri)e.

Los estdiantes asentes de #a 7sce#a.

Los pa*ses 3ng#aterra+ !rancia ,

Dinamarca.

Las cidades capita#es de 7ropa.

Los n6meros + ;+ nidos.

Con%ntos de5inidos+ o sea presentados+

enmerando de hecho a ss e#ementos

Con%ntos de5inidos ennciando propiedades+ o

sea reg#as+ )e deciden si n o"%eto partic#ar

es o no e#emento de# con%nto.

NOTACION7s sa# denotar #os con%ntos por #etras ma,6sc#as.

A, B, X, Y, ===Los e#ementos de #os con%ntos se representan por #etras min6sc#as

a+ "+ ?+ ,+ ==..A# de5inir n con%nto por #a e5ectiva enmeraci4n de ss e#ementos+ por e%emp#o+ e#A+ )e

consiste en #os n6meros 1+ 8+ 0+ , 1/+ se escri"e

A={1,3,7,10 }

Separando #os e#ementos por comas , encerrndo#o entre ##aves {}. 7sta es #a ##amadaforma tabularde n con%nto . Pero si se de5ine n con%nto ennciando propiedades )e de"en tener ss

e#ementos como+ por e%emp#o+ e#B+ con%nto de todos #os n6meros pares+ entonces se emp#ea na #etra+ por

#o genera#x + para representar n e#emento ca#)iera , se escri"e

B={xx es par }

Lo )e se #ee B es el conjunto de los nmeros x tales que x es par. Se dice )e 'sta es #a

5orma de de5inici4n por compresin o constructivade n con%nto. 'ngase en centa )e #a "arra vertica#

@| se #ee tales que.

De esta manera + escri"imos de nevo #os con%ntos anteriores+ designando #os con%ntos porA

1, A

2, .. , A

10 + respectivamente.



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7%emp#os partic#ares de con%ntos.

Barea de# Cadete: Sigiendo #a pata comp#ete e# cadro acta#A

1={1,3,7,10} A2={xx

23x2=0 }

A9={2,4,6,8, .. } A

10= {x|x esun rio y x est enlos EstadosUnidos }

Si n o"%etoxes e#emento de n con%ntoA+ es decir+ SiAcontiene axcomo no de ss

e#ementos+ se escri"ex A

)e se pede #eer tam"i'n x est en A. Si por e# contrario+ n o"%etoxno es e#emento de n con%ntoA, es

decir+ siAno contiene axentre ss e#ementos+ se escri"exA

7s costm"re en #os escritos matemticos poner na #*nea vertica# @| o"#ica @/ tachandon s*m"o#o para indicar #o opesto o #a negaci4n de# signi5icado de# s*m"o#o. Por e%emp#o+

Si B={x|x es par },entonces3B ,6B ,14B

CONJUNTOS FINITOS E INFINITOSLos con%ntos peden serfinitos o infinitos. 3ntitivamente+ n con%nto es in5inito si consta

de n cierto n6mero de e#ementos distintos+ es decir+ si a# contar #os di5erentes e#ementos de# con%nto e#proceso de contar pede aca"ar. Si no+ e# con%nto es in5inito.

Si M es e# con%nto de #os d*as de #a semana+

entonces M es in5initoSi N= {2,4,6,8, } , N es infinito

Si P{?|? es n rio de #a ierra}, P es tambin finito aunque sea difcil contar los ros delmundo

IGUALDAD DE CONJUNTOS.7# con%ntoAes iga# a# con%ntoBsi am"os tienen #os mismos e#ementos+ es decir+ si cada

e#emento )e pertenece aApertenece tam"i'n aB, si cada e#emento )e pertenece aBpertenece tam"i'n aA. Se denota #a iga#dad de #os con%ntosA,Bpor

A=B



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CONJUNTO VACIOConviene introdcir e# concepto de con%nto vacio+ es decir+ de n con%nto )e carece de

e#ementos. 7ste con%nto se se#e ##amar con%nto vacio

SUBCONJUNTOSSi todo e#emento de n con%ntoAes tam"i'n e#emento de n con%ntoB+ entonces se dice

)eAes un subconjunto de B.Ms c#aro:Aes n s"con%nto deBsi x A imp#ica x B . Se denotaesta re#aci4n escri"iendo

AB)e tam"i'n se pede #eer @A est contenido en B

Con #a anterior de5inici4n de s"con%nto se pede dar de otra manera #a de5inici4n de #a

iga#dad de dos con%ntos. 7sta manera se e?presa asi:Dos con%ntos A , E son iga#es+ AE+ si+ , so#o si+ AB , BA .

Si A es n s"con%nto de E+ se pede escri"ir tam"i'nBA

)e se #ee @B es un superconjunto de A o @B contiene A. F se escri"e+ adems+AB o BA

si A no es s"con%nto de E.Para conc#ir+ se tiene:

SUBCONJUNTO PROPIO



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Pesto )e todo con%ntoA es n s"con%nto de si mismo+ se dir )eBes n subconjunto

propiodeAsi+ en primer #gar+Bes n s"con%nto deA ,+ en segndo #gar+Bno es iga# a A. Mas"revemente+Bes n s"con%nto propio deAsi.

BA y B A

7n a#gnos #i"ros @Bes n s"con%nto deA se denota porBA

, @B es n s"con%nto propio deA se denota porBA

A)* se segir #a notaci4n ,a vista )e no distinge entre s"con%nto , s"con%nto propio.

COMPARABILIDADDos con%ntosA,Bse dice compara"#es si

AB o BA

7sto es+ si no de #os con%ntos es s"con%nto de# otro. 7n cam"io+ dos con%ntosA,Bse dice nocomparablessi

AB y BA

N4tese )eAno es compara"#e conB+ entonces ha, enAn e#emento )e no est enB, ha,

tam"i'n enBn e#emento )e no est enA.

Sean A= {a , b}y B= {a , b , c } . 7ntonces A es compara"#e con E+ pes A es ns"con%nto de E.

Si C={a , b }y D={b , c , d }, C , D no son compara"#es+ pes aC y aD ,c D y cC .

TEOREMA Y DEMOSTRACION7n matemticas pede demostrarse #a verdad de mchas a5irmaciones mediante sposiciones ,

de5iniciones previas. De hecho+ #a esencia de #as matemticas consiste en teoremas , ss demostraciones.Demostremos nestro primer eorema.

SiAes n s"con%nto deB, E es n s"con%nto de C+ entonces A es n s"con%nto de C+

esto es+AB y BC implican AC

D!ost"#c$%n. B'ngase en centa )e de"emos demostrar )e todo e#emento de A estam"i'n n e#emento de C. Sea x n e#emento de A+ esto es+ xA Como A es ns"con%nto de E+ ? pertenece tam"i'n a E+ es decir+ xB . Pero+ por hip4tesis BC por tanto+ todo e#emento de E+ en e# ca# est ?+ es n e#emento de C. $emos demostrado )e? A imp#ica xC . 7n consecencia+ por de5inici4n+ AC .

CONJUNTOS DE CONJUNTOS

Hcrre a veces )e #os e#ementos de n con%nto son a s vez con%ntos por e%emp#o+ e#con%nto de #os s"con%ntos de A. Para evitar decir con%ntos de con%ntos+ se se#e decir @5ami#ia de

con%ntos o @c#ase de con%ntos. 7n ta#es casos , para evitar con5siones+ se emp#ean #etras ing#esas

A, B,====..

Para designar 5ami#ias o c#ases de con%ntos+ ,a )e #as ma,6sc#as denotan ss e#ementos.



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7n geometr*a es corriente ha"#ar de @5ami#ias de rectas o @5ami#ias de crvasI+pes rectas , crvas ,a son e##as mismas con%ntos de pntos.

7# con%nto {{2,3 } , {2 },{5, 6}} es na 5ami#ia de con%ntos. Ss e#ementos son #oscon%ntos {+8}+ {}, {0+


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Sp4ngase )e AB y A B . 7ntonces A , E se descri"en con no de #osdiagramas:

Si A , E no son compara"#es se #es pede representar por e# diagrama de #a

derecha si son dis%ntos o por e# de #a iz)ierda si no #o son.

Sean A={a , b , c , d , } , B={c , d , e , f } . Se i#stran estos con%ntos con ndiagrama de (een de #a 5orma



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