Teoría de Interpolación

Diseñador: Hernán SalazarSAIA B

Instructor:Domingo Méndez

Muchas veces, de una función sólo conocemos un conjunto de valores.

Si queremos calcular el valor de la función para una abscisa diferente de las conocidas, debemos utilizar otra función que la aproxime y, naturalmente, el valor que obtengamos será una aproximación del valor real.

También puede suceder que sepamos la

expresión analítica de la

función, pero sea lo suficientemente

complicada como para calcular

aproximaciones a los valores de la función a

partir de otros ya conocidos.

Tabla De Diferencias

Dados los valores de una función desconocida correspondiente a dichos valores de x, ¿cuál es el comportamiento de la función?; el propósito es determinar dicho comportamiento, con las muestras de los pares de datos (x, f(x)); se encontrará un polinomio que satisfaga un conjunto de puntos seleccionados (xi, f(xi)) donde los valores que aporten el Polinomio y la función se comportan casi de la misma manera, en el intervalo en cuestión.

Polinomio Interpolante de

Newton-GregoryCuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le puede aproximar al polinomio que se le parece. Una forma sencilla de escribir un polinomio que pasa por un conjunto de puntos equiespaciados, es la fórmula del Polinomio Interpolante de Newton-Gregory (en avance y retroceso).

Fórmula de Avance

++…

Fórmula de Retroceso++…

Polinomio Interpolante de

Gauss Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del Método de Newton-Gregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla de diferencias; Por ejemplo la fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zigzag, es decir los valores desde el punto de partida Xo serán seleccionados en forma de zigzag.

Interpolación Usando Splines

Los dos tipos de polinomios por pedazos que hemos discutidos hasta ahora

tienen la desventaja de que su segunda derivada no es continua en los puntos de

interpolación. Se ha observado que en

aplicaciones gráficas, el ojo humano es capaz de

detectar discontinuidades en la segundas derivadas de una función, haciendo que

los gráficos con este tipo de funciones no luzcan

uniformes.

Esto motiva el uso de los splines que son funciones s(x) continuas por pedazos con las siguientes propiedades: 1. s(x) es polinomio cúbico en . 2. existen y son continuas en . 3. s(x) interpola a la función f en los datos 4. s(x) es continua en el intervaloSi escribimos , entonces tenemos un total de 4n desconocidas. Las condiciones 2) y 4) nos dan 3(n-1) ecuaciones mientras que de 3) obtenemos n+1 para un total de 4n-3(n-1)-(n+1)=2 grados de libertad. Estos grados de libertad se fijan imponiendo condiciones de frontera adicionales en s(x). Defina . Como s(x) es cúbico en , entonces s"(x) es lineal