TEORÍA DE LA CONFIABILIDAD

Ámbar Oliveras, Manlyn Rivera, Jonathan Soto

Funciones de estructura

Si tenemos un sistemaXi = 1, funcionando

0, fallo El vector x indica qué componentes

están funcionando y cuales están fallando. Además (x) indica si los componentes funcionan o fallan cuando el vector de estado es x.

Componentes de un sistema Si los componentes paralelos son

ϕ(x)=max{x1, x2,..., xn}=1-(1-x1)(1-x2)...(1-xn). Si ϕ(x)=1 entonces x es el vector de paso: traza los componentes de paso. Si el fallo de cualquiera de los componentes resulta en fallo del sistema entonces el vector de paso en mínimo. Correspondientemente, si ϕ(x)=0 entonces x es un vector de corte y, si en el caso de que la reparación de un componente x resulta en que el sistema funcione entonces el vector de corte es mínimo.

Ejemplo: Sistemas complicados se pueden arreglar en serie o paralelo.

Confiabilidad de los Sistemas Independientes Ahora xi es una variable aleatoria de tal

manera que:P [xi = 1] = pi = 1 –p {xi =0}

El componente de pi que indica que el componente i está funcionando se llama confiable.

Se define por rr = {P (x)= 1} donde x = {x1, x2, ……xn}

Por tanto r(p) es la función de confiabilidad.

Confiabilidad de los Sistemas Independientes (continuación) Proposición: Si r(p) es la función de

confiabilidad de un sistema de componentes independientes entonces r(p) es una función creciente de p. 

Vamos a ver la siguiente situación: Un sistema que contiene n diferentes

componentes se va a construir de un grupo de componentes guardados de tal manera que hay dos de cada componente. Como debemos utilizar el grupo de componentes de manera tal que maximicemos la probabilidad de obtener un sistema que funcione.

Confiabilidad de los Sistemas Independientes (continuación) Debemos crear dos sistemas por tanto

P {Por lo menos uno de los dos funciona} 1-P{Ninguno de los dos funciona}

1-[(1-r(p))(1-r(p’))] pi y p’ es la probabilidad de que el

primer componente funciona Teorema: Por cada función de

confiabilidad r y los vectores p y p’ r[1-(1-p)(1-p’)] [1-r(p)][1-r(p’)]

Límites de la función de confiabilidad La función de confiabilidad es muy difícil

de calcular si seguimos los métodos usuales. Es necesario encontrar otro método que nos permita evaluar r(p) de una manera menos tediosa y más efectiva.

Límites de inclusión y exclusión El primero de estos métodos es el

llamado de inclusión y exclusión. Para este método necesitamos la fórmula para la probabilidad de la unión de eventos E1, E2, …, En:

Límites de inclusión y exclusión cont.. Del cual podemos deducir el siguiente

conjunto de desigualdades:

Límites de inclusión y exclusión cont… Si dejamos que Ei represente el conjunto

de eventos que contiene los recorridos mínimos de la función, y tomando en cuenta que el sistema funciona si y sólo si al menos uno de los eventos en Ei ocurre, sabemos que la función de confiabilidad r(p) satisface la siguiente ecuación:

Límites por intersección de conjuntos Un segundo método para obtener los

límites de la función r(p) está basado en la expresión de la probabilidad deseada como la intersección de ciertos eventos.

En este caso, definimos Di como el conjunto de eventos en que al menos uno de los componentes ha fallado. Dado que el sistema fallaría si y sólo si al menos uno de los componentes en cada uno de los recorridos mínimos falla, tenemos que:

Límites por intersección de conjuntos (continuación)

Donde

Por lo tanto

De modo que

Vida útil del sistema

Si tenemos un sistema cuyo tiempo de vida sigue una distribución F, sabemos que el sistema funcionará por un tiempo mayor a t si y sólo si está funcionando apropiadamente en el tiempo t. Si aplicamos la definición de r(p), tenemos:

Vida útil del sistema (continuación) Donde Representa la probabilidad de que el

componente i tenga una expectativa de vida útil mayor a t.

Esta ecuación tiene distintas aplicaciones dependiendo del tipo de sistema y el tipo de distribución utilizada. Por ejemplo, en un sistema de series, donde el tiempo de vida útil es igual al tiempo de vida mínimo de los componentes, la vida útil del sistema está dada por:

Vida útil del sistema (continuación) Por otra parte, en un sistema en paralelo

el tiempo de vida útil es igual al tiempo de vida máximo de los componentes, y su función de distribución está dada por:

Para una distribución continua G, λ(t) representa la función de tasa de fallos de G y está dada por:

Vida útil del sistema (continuación) Donde

La función Λ(t) se conoce como la función de peligro y está dada por:

La distribución de un sistema posee una tasa ascendente de fallos promedio si: (aumenta si t > 0)

Reparación de un Sistema Considere un sistema de componentes n con

r función de fiabilidad (p). Supongamos que los componentes de las funciones que por un tiempo una distribución exponencial con tasa λi y luego falla, una vez que no se necesita un tiempo exponencial con una tasa de μ i para ser reparado, i = 1,2 ,...... n. Todos los componentes actúan de forma independiente. Supongamos que todos los componentes son inicialmente de trabajo y que:

Reparación de un Sistema Continuación Para determinar la disponibilidad

usamos la siguiente formula cuando t tiende a

Donde A(t) es la disponibilidad en el tiempo t y A es la disponibilidad limitada.

Reparación de un Sistema Continuación Por lo tanto, A solo depende de la

distribución dentro y fuera a través de sus medios. Se puede demostrar con la teoría de los procesos regenerativos en que A también será igual a la larga proporción de tiempo en el que el sistema estará en funcionamiento.

Ejemplo para un sistema en serie:

Reparación de un Sistema Continuación Continuamos con el ejemplo de sistema

en serie

Por lo tanto

Y…

Reparación de un Sistema Continuación El sistema anterior se alternará entre los

períodos en que está en marcha y los períodos en que está abajo. Llamemos Ui y Di, i ≥ 1, la longitud de la i-ésima arriba y abajo respectivamente.

Entonces, tenemos que cuando n →∞ este debe converger en A, a largo plazo la proporción de tiempo que el sistema está para arriba. Por lo tanto,

Reparación de un Sistema Continuación Para resolver para U y D usamos la razón

o tasa en cual el sistema falla,

Ahora, del sistema se van de arriba a abajo cuando me componente falla si los estados de los otros componentes x1 ,..., xi-1 ,..., xn son tales que

Estos son los estados para otros componentes que tienen que ser como,

Reparación de un Sistema Continuación Dado que los componentes que, en

promedio, tienen un fracaso cada unidades de tiempo, se deduce que la velocidad a la que los componentes que no es igual a

Además, los estados de los otros componentes serán tales que si se examina el ejemplo anterior se mantiene con probabilidad

Reparación de un Sistema Continuación Dado es una variable al

azar de bernoulli Ahora utilizando la siguiente ecuación,

Obtenemos finalmente que,

Reparación de un Sistema Continuación Ejemplo para un sistema en serie

Mientras que en Paralelo

Reparación de un Sistema Continuación Las fórmulas anteriores mantienen la

continuidad arbitraria arriba y abajo con las distribuciones

que denotan, respectivamente, la media arriba y abajo los tiempos de los componentes i, i = 1 ,..., n.

Referencias

Ross, Sheldom M. (2000) Introduction to Probability Models. Sixth Edition. Academic Press.

Teoría de la Confiabilidad http://focuslab.lfp.uba.ar/public/CursoTError

es2k4/Monografias2005/Ana_E_Luna.pdf Teoría de la Confiabilidad http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/M

atematicas/academicos/emartinez/magister/index.html

Teoría de la Confiabilidad  http://books.google.com/books/