1. 1. Network Science Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio angel.vazquezp@ucuenca.edu.ec Departamento de Ciencias de la Computacin Universidad de Cuenca 8 de noviembre de 2017
2. 2. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 2/58 Objetivos 1. Entender el modelo de redes aleatorias 2. Revisar si los sistemas complejos se pueden modelar con redes aleatorias 3. Entender las principales caractersticas de una red que sigue el modelo de red aleatoria 4. Entender la caracterstica de las redes de mundo pequeo
3. 3. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 3/58 Contenido Modelo de red aleatoria Nmero de enlaces Distribucin de grado Las redes reales no son Poisson La evolucin de una red aleatoria Las redes reales son supercrticas Mundos pequeos Coeficiente de agrupacin
4. 4. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 4/58 Redes aleatorias
5. 5. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 5/58 Modelo de red aleatoria
6. 6. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 6/58 Modelo de red aleatoria Objetivo de Network Science Construir modelos que reproducen las propiedades de redes reales La mayora de redes no son regulares
7. 7. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 7/58 Modelo de red aleatoria La mayora, a primera vista, parecen tener conexiones aleatorias
8. 8. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 8/58 Modelo de red aleatoria La teora de redes aleatorias abraza esta aparente aleatoriedad construyendo y caracterizando redes que son realmente aleatorias Desde una perspectiva de modelizacin, una red es simple: nodos y enlaces El reto es decidir dnde poner los enlaces entre los nodos para reproducir la complejidad de un sistema real
9. 9. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 9/58 Modelo de red aleatoria Red aleatoria (Erds-Rnyi) Una red aleatoria consiste de nodos donde cada par de nodos estn conectados con probabilidad
10. 10. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 10/58 Modelo de red aleatoria
11. 11. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 11/58 Modelo de red aleatoria Construccin 1) Comenzar con nodos aislados 2) Seleccionar un par de nodos y generar un nmero aleatorio entre 0 y 1 3) Si el nmero excede , conectar el par de nodos seleccionado con un enlace, caso contrario dejarlos desconectados 4) Repetir pasos 2) y 3) para cada uno de los pares de nodos (-1)/2
12. 12. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 12/58 Modelo de red aleatoria =0.1 =0.3 =0.5 =0.7 =0.9 =1
13. 13. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 13/58 Nmero de enlaces
14. 14. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 14/58 Nmero de enlaces Cada red aleatoria generada con los mismos parmetros y se ven algo diferentes No slo el diagrama detallado de las conexiones cambian entre cada realizacin, sino tambin el nmero de enlaces Importante determinar cuntos enlaces se esperan para cada realizacin particular con parmetros fijos y
15. 15. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 15/58 Las redes aleatorias son realmente aleatorias
16. 16. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 16/58 Nmero de enlaces La probabilidad de que una red aleatoria tenga exactamente enlaces es el producto de tres trminos. 1) Probabilidad de que L de los intentos por conectar los (-1)/2 pares de nodos hayan resultado en enlaces, 2) Probabilidad de que los restantes (-1)/2- intentos no hayan resultado en un enlace, (1- )(-1)/2- 3) Un factor combinatorio
17. 17. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 17/58 Nmero de enlaces Probabilidad de que una realizacin particular tenga exactamente enlaces Nmero esperado de enlaces
18. 18. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 18/58 Nmero de enlaces Grado promedio de una red aleatoria aleatorio, i.e. varia entre cada realizacin Valor esperado de depende de y p Si p se incrementa, la red es ms densa se incrementa linealmente, 0 a mx Grado promedio de un nodo se incrementa, 0 a -1
19. 19. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 19/58 Distribucin de grado
20. 20. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 20/58 Distribucin de grado Grado medio = 5.24 p(-1) = 4.9 L=131 pLmx = 122.5
21. 21. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 21/58 Distribucin de grado
22. 22. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 22/58 Distribucin de grado Grado medio = 49.948 p(-1) = 50 L=12487 Plmax = 12475
23. 23. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 23/58 Distribucin de grado
24. 24. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 24/58 Distribucin de grado Luego de una realizacin, algunos nodos tienen un grado alto y otros incluso estn aislados La distribucin de grado captura esas diferencias pk es la probabilidad de que un nodo tomado al azar tenga grado k
25. 25. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 25/58 Distribucin binomial En una red aleatoria la probabilidad de que un nodo i tenga exactamente k enlaces es el producto de tres trminos 1) Probabilidad de que k de sus enlaces estn presentes, pk 2) Probabilidad de que los dems (N-1-k) enlaces no estn presentes, (1-p)N-1-k 3) Nmero de maneras en que se pueden seleccionar k enlaces de los N-1 potenciales
26. 26. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 26/58 Distribucin binomial Distribucin de grado de una red aleatoria
27. 27. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 27/58 Distribucin binomial
28. 28. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 28/58 Distribucin de Poisson
29. 29. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 29/58 La distribucin de grado es independiente del tamao de la red
30. 30. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 30/58 Las redes reales no son Poisson
31. 31. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 31/58 Las redes reales no son Poisson Propiedad En una red aleatoria grande el grado de la mayora de los nodos est en una estrecha vecindad de
32. 32. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 32/58 Distribucin de grado, redes reales
33. 33. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 33/58 La evolucin de una red aleatoria
34. 34. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 34/58 La evolucin de una red aleatoria Ejemplo inicial de la fiesta N nodos aislados Enlaces aadidos gradualmente mediante encuentros aleatorios entre los invitados Esto corresponde a un aumento gradual de p, con consecuencias sorprendentes en la topologa de red Para cuantificar el proceso, se inspecciona cmo el tamao del clster conectado ms grande en la red, NG, vara con
35. 35. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 35/58 La evolucin de una red aleatoria Dos casos extremos son fciles de entender: 1) Para p=0 se tiene k = 0, as todos los nodos estn aislados. Por lo tanto el componente ms grande tiene el tamao NG=1 y NG/N0 para un N grande 2) Para p=1 se tiene k= N-1, as la red es un grafo completo y todos los nodos pertenecen a un solo componente. Por lo tanto NG=N y NG/N=1
36. 36. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 36/58 La evolucin de una red aleatoria No grupo grande Rpida emergencia de un grupo grande (componente gigante) k =1 (suficiente) Rgimen subcrtico 0 k 1 (p 1/N) Punto crtico k = 1 (p = 1/N) Rgimen supercrtico k 1 (p 1/N) Rgimen conectado k lnN (p lnN/N)
37. 37. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 37/58 Las redes reales son supercrticas
38. 38. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 38/58 Las redes reales son supercrticas Predicciones importantes en redes reales 1) Una vez se excede =1, un componente gigante debera emerger. As, slo para >1 los nodos se organizan as mismos en una red reconocible 2) Para >ln() todos los componentes son absorbidos por el componente gigante, resultando en una sola red conectada
39. 39. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 39/58 Las redes reales son supercrticas Las redes reales satisfacen el criterio para la existencia de un componente gigante (>1)? El componente gigante contiene a todos los nodos para >ln(), o hay tambin algunos nodos desconectados y componentes? Comparacin de la estructura de una red real para un dado con las predicciones anteriores
40. 40. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 40/58 Las redes reales son supercrticas
41. 41. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 41/58 Las redes reales son supercrticas
42. 42. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 42/58 Mundos pequeos
43. 43. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 43/58 Mundos pequeos Fenmeno de mundo pequeo o seis grados de separacin Implica que la distancia entre dos nodos escogidos al azar de una red es corta Preguntas 1) Qu significa corta? (comparado con qu) 2) Cmo explicar la existencia de estas distancias cortas?
44. 44. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 44/58 Mundos pequeos
45. 45. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 45/58 Mundos pequeos En una red aleatoria con grado promedio , un nodo tiene en promedio: nodos a una distancia de uno (d=1) 2 nodos a una distancia de dos (d=2) 3 nodos a una distancia de tres (d =3) ... d nodos a una distancia de d
46. 46. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 46/58
47. 47. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 47/58 Mundos pequeos E.g. con 1000, (nmero de conocidos), se esperan 106 personas a una distancia de dos y cerca de mil millones a una distancia de tres
48. 48. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 48/58 Mundos pequeos Con ms precisin El nmero esperado de nodos a una distancia d de un nodo es () no debe superar a
49. 49. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 49/58 Mundos pequeos Asumiendo >> 1 Dimetro de una red aleatoria
50. 50. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 50/58 Interpretacin predice la escala del dimetro de la red (mx) en relacin con su tamao () Para la mayora de redes, buena aproximacin a antes que a mx Porque mx es a menudo dominada por unos pocos caminos extremos, y es una media (suprime las fluctuaciones) Propiedad de mundo pequeo
51. 51. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 51/58 Interpretacin En general ln() disminuye rpidamente
52. 54. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 54/58
53. 55. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 55/58 Conceptos y trminos importantes
54. 56. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 56/58 Conceptos y trminos importantes Distribucin de grado Conectividad Longitud de camino promedio Coeficiente de agrupamiento Distribucin de probabilidad binomial Mundos pequeos
55. 57. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 57/58 Referencias Estas diapositivas estn basadas en el libro Network Science de Barabsi (2016). Barabsi, A.-L., 2016. Network Science. Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom.
56. 58. Redes aleatorias Angel Vzquez-Patio 58/58 Preguntas