Teorías de Didáctica de Las Matemáticas

8/18/2019 Teorías de Didáctica de Las Matemáticas

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Escuela Normal de Estudios Superiores del Magisterio

Potosino“Por la excelencia del Magisterio”

Compendio

Nombre(s):Contreras Granja María Alejandra

Galván Martínez Juan JesúsFlores García Verence de JesúsM!ndez "oc#a Juan $ablo

Matera:%ntroducc&n a la 'nseanza de las

Matemátcas

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la imitación de las eplicaciones del profesor en clase o con apego a los m+todosilustrados en los tetos escolares. "a teoría de situaciones didácticas propone el

estudio de las condiciones en las cuales se constituyen los conocimientosmatemáticos# y se considera que el control de esas condiciones permitiráreproducir y optimizar los procesos de adquisición escolar del conocimiento.e parte de la base de que el conocimiento de los fenómenos relativos a laenseñanza de las matemáticas no es un resultado de la simple fusión deconocimientos provenientes de dominios independientes, como son lasmatemáticas, la psicología y la pedagogía, sino que requiere de investigacionesespecíficas.-or otra parte la investigación de los fenómenos relativos a la enseñanza de lasmatemáticas tampoco puede reducirse a la observación y análisis de los procesosque tienen lugar cotidianamente en las aulas, puesto que su ob!etivo es la

determinación de las condiciones en las que se produce la apropiación delsaber por los alumnos, y para esto necesita e!ercer un cierto grado de control sobreellas, lo que implica que el investigador debe participar en la producción o diseño/de las situaciones didácticas que analiza."a presencia de un conteto escolar no es esencial en la definición de unasituación didáctica# lo que sí es esencial es su carácter intencional, el %aber sidoconstruido con el propósito eplícito de que alguien aprenda algo. El ob!etivocentral de la didáctica de la matemática es averiguar cómo funcionan lassituaciones didácticas, es decir, cuáles de las características de cada situaciónresultan determinantes para la evolución del comportamiento de los alumnos y,subsecuentemente, de sus conocimientos. Esto no significa que sólo interese

analizar las situaciones didácticas eitosas. 0ncluso si una situación didácticafracasa en su propósito de enseñar, su análisis puede constituir un aporte a ladidáctica, si permite identificar los aspectos de la situación que resultarondeterminantes de su fracaso. -ara analizar las situaciones didácticas, en la teoríase modelan utilizando elementos de la teoría de !uegos y de la teoría de lainformación. -ara una situación de la didáctica determinada se identifica el estadoinicial y el con!unto de los diversos estados posibles, entre los que se encuentra elestado final que corresponde a la solución del problema involucrado en lasituación. e %acen eplícitas las reglas que permiten pasar de un estado a otro."a situación se describe, entonces, en t+rminos de las decisiones que los alumnospueden tomar en cada momento y de las diferentes estrategias que pueden

adoptar para llegar al estado final.1tro factor que facilita el aspecto de las situaciones didácticas es su clasificación.e distinguen, entre las situaciones que se producen para su estudioeperimental, cuatro tipos cuya secuencia en los procesos didácticos queorganizan es la siguiente2

(. "as situaciones de acción, en las que se genera una interacción entre losalumnos y el medio físico. "os alumnos deben tomar las decisiones que

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%agan falta para organizar su actividad de resolución del problemaplanteado.

3. "as situaciones de formulación, cuyo ob!etivo es la comunicación eninformaciones entre alumnos. -ara eso deben modificar el lengua!e queutilizan %abitualmente, precisándolo y adecuándolo a las informaciones quedeben comunicar.4. "as situaciones de validación, en las que se trata de convencer a uno o avarios interlocutores de la validez de las afirmaciones que se %acen. Eneste caso los alumnos deben elaborar pruebas para demostrar susafirmaciones. )o basta la comprobación empírica de que lo que dicen escierto# %ay que eplicar que necesariamente debe ser así.5. "as situaciones de institucionalización, destinadas a establecer convenciones sociales. En estas situaciones se intenta que el con!unto de

alumnos de una clase asuma la significación socialmente establecido de unsaber que %a sido elaborado por ellos en situaciones de acción, deformulación y de validación.

6na parte importante del análisis de una situación didáctica lo constituye laidentificación de las variables didácticas y el estudio tanto teórico comoeperimental de sus efectos. "o que interesa son los intervalos de valores deestas variables que son determinantes para la aparición del conocimiento que lasituación didáctica pretende enseñar. e tratan de precisar las condiciones de lasque depende que sea ese el conocimiento que interviene y no otro. Entre lasvariables que intervienen en una situación %ay algunas, denominadas variables decomando, que pueden ser manipuladas por el maestro para %acer evolucionar los

comportamientos de los alumnos. u identificación resulta particularmenteimportante.El análisis de una situación didáctica pasa por su comparación con otrassituaciones didácticas, obtenidas mediante transformaciones de la primera.E!emplo, el esfuerzo de modelación de una situación didáctica está subordinado alpropósito de identificar los elementos que podrían variarse para lograr efectosdidácticos diferentes de los que se obtendrían con la situación original. econstituye así toda una familia de situaciones didácticas relativas al conocimientoespecífico que se quiere enseñar, con la %ipótesis de que cada una de ellas %aráfuncionar dic%o conocimiento ba!o una modalidad diferente. e postula que entreestas situaciones eiste una, a la que se designa como situación fundamental, que

es capaz de engendrar a todas las demás, a trav+s de la asignación de diversosrangos de variación o valores particulares a las variables que las caracterizan. 6nasituación es fundamental respecto del conocimiento que interesa enseñar, cuandoes posible, mediante el !uego de las variables presentes en ella, %acerla coincidir con cualquier situación en la cual intervenga ese conocimiento.*e este modo el empleo de las situaciones didácticas no plantea, de ningunamanera, promover a priori un cierto tipo de pedagogía, por razones ideológicas sinel respaldo de los resultados eperimentales correspondientes. in embargo, las

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situaciones didácticas diseñadas y sometidas a eperimentación obedecen aciertas características, en función de los presupuestos epistemológicos

subyacentes a su producción.En efecto, se considera que todo conocimiento es una respuesta, una adaptaciónque la %umanidad %a logrado ante situaciones que %a enfrentado o anteproblemas que se %a planteado. "os conocimientos que %an surgido en contetosfuncionales como instrumentos para la adaptación, son transformadosposteriormente con el propósito de relacionarlos con otros conocimientos, deconservarlos y de transmitirlos, adoptando la modalidad de ob!etos culturales. 6nsaber cultural que se encuentre desligado de su g+nesis constituye un producto dedescontetualizado y despersonalizado. Es a partir de esta modalidad que losconocimientos ingresan en los programas escolares. "a forma como los sistemaseducativos organizan la enseñanza de los temas incluidos en los programas

escolares implica una determinada concepción de los procesos de adquisición delos conocimientos.7asta la fec%a %a predominado una concepción seg8n la cual basta condescomponer un saber en su modalidad cultural, en pequeños trozos aislados yluego organizar su ingestión por los alumnos en periodos breves y biendelimitados seg8n secuencias determinadas sobre la base del análisis del propiosaber. Esta manera de organizar la enseñanza no atribuye importancia al contetoespecífico, a la situación específica, donde los conocimientos se adquieren, ni a susignificación y valor funcional, durante su adquisición.Este planteamiento se apoya en la tesis de que la persona que prende necesitaconstruir por sí mismo sus conocimientos mediante un proceso adaptativo similar

al que realizaron los productores originales de los conocimientos que se quiereenseñar. e trata entonces de producir una g+nesis artificial de los conocimientos,de que los alumnos aprendan %aciendo funcionar el saber, o más bien, de que elsaber aparezca para el alumno como un medio de seleccionar, anticipar, e!ecutar ycontrolar las estrategias que aplica a la resolución del problema planteado por lasituación didáctica.

2. TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA

9ves C%evallard es el principal eponente de esta teoría, dada a conocer en (::3.

En la enseñanza usual, rara vez se introducirá un concepto en los mismosproblemas en los que funcionó como medio o a partir de los cuales los sabios losinventaron, siempre se toman en cuenta saberes o reorganizaciones de lossaberes creados con posterioridad, para %acer menos comple!o el concepto. eproduce así, un desfase inevitable entre el ob!eto de saber y el ob!eto deenseñanza.

El proceso a trav+s del cual se adaptan los saberes a los diferentes medios, es

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decir, proceso de transformación o adecuación del saber matemático erudito alsaber matemático a enseñar en el aula es el que se %a llamado transposición

didáctica.

En palabras de 0ves C%evallard, transposición didáctica es ;el con!unto de lastransformaciones que sufre un saber con el fin de ser enseñado.<

-ara comprender las fases de este fenómeno, se debe comenzar por analizar lascaracterísticas que posee el ob!eto de saber. Este ob!eto de saber corresponde aun conocimiento que pertenece al saber erudito o saber sabio, es decir, aquel queposeen y al cual siguen aportando los matemáticos profesionales e investigadores.

Este conocimiento el del saber erudito/, para ser comunicado a la comunidad

científica con el rigor y generalización que se eige, %a sido despersonalizado ydescontetualizado# lo que quiere decir, que se %a %ec%o desaparecer en +l todo loque constituye su %istoria, el camino que se recorrió para su creación odescubrimiento2 las refleiones in8tiles y los errores que se %ayan cometido en elcurso de la investigación, referencias al tiempo en que se %izo la misma, lasmotivaciones personales del investigador y las estrategias de descubrimientoutilizadas lo que constituye la epistemología del saber en cuestión/.

A%ora bien, de todo el saber acumulado en el curso de la %istoria, no todo seenseñará en la escuela y es responsabilidad del sistema social de enseñanzanoósfera/, seleccionar entre los conocimientos del saber sabio aquellos ob!etos

que serán pertinentes en la formación matemática de los alumnos.

6na vez designado los ob!etos de enseñanza, que serán dados a conocer enprogramas promulgados por el =inisterio de Educación, !unto con los fundamentosde su selección, algunas orientaciones metodológicas, un ordenamiento y

!erarquización de los saberes y los ob!etivos que la sociedad espera que se logrena trav+s de ellos, +stos deben ser transformados en conocimientos a adquirir porlos alumnos# de una forma lógica y co%erente, adecuando su estructuración ypresentación a la etapa de desarrollo del alumno y a la forma en que se cree que+stos aprenden %ipótesis de aprendiza!e/.

-ara ello, los epertos reescriben las definiciones y propiedades de estos ob!etosya seleccionados en tetos y manuales, donde se propone una organización y seeponen nociones del -rograma en capítulos, aportando ilustraciones yconstituy+ndose en base de datos para e!ercicios y problemas, que servirán dereferencia para la comunidad escolar.>oda esta elaboración, que tiene su me!or refle!o en los tetos escolares, es lo quese llama saber escolar o saber institucionalizado.

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"o descrito %asta a%ora es un traba!o anterior al del profesor, es la parte de latransposición en que +l no interviene directamente.

En la siguiente fase, quien administra y adapta esta transposición didáctica es elprofesor, +l toma los ob!etos del saber escolar y los organiza en el tiempo deacuerdo a su conocimiento, a su propia relación al saber y a sus propias %ipótesisde aprendiza!e.

Este saber escolar enseñado a los alumnos por el profesor se llama saberenseñado, pero no es eactamente el que retienen los alumnos, sino que en una8ltima etapa de la transposición, son ellos los que tienen a su cargo transformareste saber en saber suyo2 saber del alumno.

saber sabiosaber institucionalizadosaber enseñadosaber del alumno

En síntesis, seg8n la >eoría de la >ransposición *idáctica de 9ves C%evallard, eltraba!o del profesor consiste en realizar para sus alumnos el proceso inverso alque realiza el matemático# su labor será buscar el o los problemas de dondesurgió el saber sabio con el fin de recontetualizarlo, adaptar estos problemas a larealidad de sus alumnos, de modo que ellos los acepten como ;sus problemaseoría

Antropológica de lo *idáctico desde a%ora >A*/ %a estado siempreíntimamente relacionada con la formación inicial y continua de profesores, yello por distintas razones. En primer lugar, porque los profesores en activo%an formado y siguen formando/ parte de muc%os de los equipos deinvestigación que traba!an en el ámbito de la >A*. En segundo lugar

porque, desde sus inicios con la puesta en evidencia del fenómeno de latransposición didáctica C%evallard (:?@/, la >A* fue uno de los primerosenfoques en considerar como ob!eto de estudio e investigación, no sólo lasactividades de enseñanza y aprendiza!e en el aula, sino todo el procesoque va desde la creación y utilización del saber matemático %asta suincorporación en la escuela como saber enseñado. *ic%o ob!eto de estudioincluye además todas las instituciones que participan en este proceso, entrelas que se cuentan el propio profesorado como institución y tambi+n

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aquellas que intervienen en su formación inicial y continua. 9, en tercer lugar, porque muc%os investigadores que traba!an en la >A* se %an visto

involucrados en la formación del profesorado de los distintos niveleseducativos. El anuncio de su 00 Congreso 0nternacional de 3B lo situabaen el ámbito más amplio del e!e ;Enseñar matemáticas2 la profesión y susproblemas< que describía en los t+rminos siguientes2Este e!e se sustenta sobre dos pilares conceptuales principales2

El de la profesión, entendi+ndola como el conjunto de los actores de laenseñanza de las matemáticas, ;del parvulario a la universidad


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metodología o las formas para evaluar, lo que se eval8a o quiereevaluarse, lo que se mide o pretende medir y finalmente las

consecuencias efectivas de aptitudes, actitudes o %abilidades en elalumno como resultado de tal enseñanza.

F El análisis de las concepciones de los estudiantes, de las dificultades yobstáculos que determinan su evolución2 e refiere a las formas ocreencias de los alumnos en relación a como es, pueden o deben ser lasformas de enseñanza, cuál es el papel, responsabilidad u obligación delprofesor, +sta se describe en torno al ob!eto motivo de la investigación.

F El análisis del campo de restricciones donde se va a situar la realizacióndidáctica efectiva2 0mplica información correspondiente a las condicionesen cuanto a tiempo, forma o lugar en que %a surgido o se %a dado elconocimiento, así como las formas o m+todos de su validación, e

inclusive respecto a la manera en que %abitualmente es tratado,estudiado o enseñado.

• "A C1)CE-C0G) 9 E" A)D"00 A -0102 0mplica por una parte, laconsideración de los análisis previos asociados al ob!eto de estudio y alproblema de investigación que se plantea, para concebir en cuanto aestructuración, forma y dimensión la estrategia a diseñar, así como lasvariables involucradas, de los medios o %erramientas requeridas a incorporar para el logro de los ob!etivos.

• "A EA"0HAC0G) *0*DC>0CA2 e refiere a la puesta en marc%a de laestrategia didáctica diseñada, en +sta eplicaremos las condiciones en las quese llevó a la práctica2 el lugar, el curso curricular, los alumnos, la duración, losmomentos, la organización, la dinámica que se siguió, etc.

• E" A)D"00 A -1>E0102 Está constituido por el registro de lasobservaciones durante la realización didáctica, como por e!emplo2 lasestrategias utilizadas por los alumnos, los modelos usados, El avance logrado,las inconsistencias, la frecuencia de ciertas actitudes, las refleiones,

!ustificaciones, argumentaciones, propuestas, presupuestos y las produccionesde los estudiantes, entre otras.

• "A IA"0*AC0G)2 Es de carácter interno, consistente en la confrontación delanálisis a priori y el análisis a posteriori.

5. LA TEORÍA DE LOS CAMPOS CONCEPTUALES DE VERGNAUDe describe la teoría de los campos conceptuales de Iergnaud como posiblereferencial para la enseñanza de las ciencias y para la investigación en esta área.

Además de la descripción en sí, son establecidos algunos puentes entre esa teoríay otros referenciales como, por e!emplo, aprendiza!e significativo, resolución deproblemas y representaciones mentales.

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&+rard Iergnaud, director de investigación del Centro )acional de 0nvestigaciónCientífica C)/ de $rancia, discípulo de -iaget, amplía y re direcciona en suteoría, el foco piagetiano de las operaciones lógicas generales y de las estructurasgenerales del pensamiento para el estudio del funcionamiento cognitivo del;su!etoFensituación


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Campo conceptual es un con!unto informal y %eterog+neo de problemas,situaciones, conceptos, relaciones, estructuras, contenidos y operaciones depensamiento, conectados unos a otros y, probablemente, entrelazados durante elproceso de adquisición. Campo conceptual es definido tambi+n como siendo, enprimer lugar, un con!unto de situaciones cuyo dominio requiere, a su vez, eldominio de varios conceptos, procedimientos y representaciones de naturalezasdistintas. Conceptos son definidos por tres con!untos2 el primero es un con!untodesituaciones que constituyen el referente del concepto, el segundo es uncon!unto de invariantes operatorios teoremas y conceptosFenFacción/ que dan elsignificado del concepto, y el tercero es un con!unto de representacionessimbólicas que componen su significante.

Como son las situaciones que dan sentido a los conceptos es natural definir campo conceptual, sobre todo, como con!unto de situaciones. 6n concepto setornasignificativo a trav+s de una variedad de situaciones (::5, p. 5J/, pero elsentido no está en las situaciones en sí mismas, así como no está en las palabrasni en los símbolos. El sentido es una relación del su!eto con situaciones ysignificantes. -ero precisamente, son los esquemas, i. e. las acciones y suorganización, evocados en el su!eto por una situación o por un significante queconstituyen el sentido de esa situación o de ese significante para ese individuo.Iergnaud considera que los esquemas necesariamente se refieren a situaciones,a tal punto que debería %ablarse de interacción esquemaFsituación en vez deinteracción su!etoFob!eto.

"os esquemas tienen como ingredientes esenciales aquello que Iergnaud llamainvariantes operatorios, i. e., conceptosFenFacción y teoremasFenFacción queconstituyen la parte conceptual de los esquemas, es decir, los conocimientoscontenidos en los esquemas.

>eoremaFenFacción es una proposición considerada como verdadera sobre lo real#conceptoFenFacción es una categoría de pensamiento tenida como pertinente(::J c, p. 33/. Ese conocimiento es principalmente implícito y el aprendiz tienedificultades en eplicarlo o epresarlo, pero eso no significa que tal conocimientono pueda ser eplicitado. Es a trav+s del proceso de eplicitación del conocimiento

implícito a%í el profesor tiene un papel mediador fundamental que losteoremasFenFacción y conceptos en acción pueden tornarse verdaderos teoremasy conceptos científicos. 6na proposición eplícita puede ser debatida, unaproposición tenida como verdadera demanera totalmente implícita, no. Así, elcarácter del conocimiento cambia si es comunicable, debatido y compartido.

"a figura presenta un mapa conceptual para la teoría de Iergnaud, o sea, sudiagrama conceptual destacando los conceptos clave de la teoría y sus principales

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interrelaciones. "as palabras que aparecen sobre las líneas conectando losconceptos eplicitar la naturaleza de la relación entre ellas. -or e!emplo, larelación entre situaciones y conceptos es referente, pues las situaciones son lasque dan sentido al concepto, i. e., constituyen el referente del concepto. 1troe!emplo2 la interacción entre situaciones y esquemas es la fuente primaria de lasrepresentaciones simbólicas y +stas constituyen el significante de un concepto.

6. EL MODELO DE RAZONAMIENTO DE VAN HIELE COMO MARCO PARA

EL APRENDIZAJE COMPRENSIVO DE LA GEOMETRÍA.UN EJEMPLOLOS GIROS

Como indica su nombre, esta teoría de aprendiza!e describe las formas derazonamiento de los estudiantes de &eometría. us autores son los esposos-ierre =. Ian 7iele y *ina Ian 7ieleF&eldof, que en los años @ eran profesores

de &eometría de enseñanza secundaria en 7olanda.

Elaboraron un modelo que eplica, por una parte, como se produce la evolucióndel razonamiento geom+trico de los estudiantes y, por otra parte, cómo puede unprofesor ayudar a sus alumnos para que me!oren la calidad de su razonamiento.

El modelo de Ian 7iele esta formado por dos partes2 la primera es la descripciónde los distintos tipos de razonamiento geom+trico de los estudiantes a lo largo de

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su formación matemática, que van desde el razonamiento visual de los niños depreescolar %asta el formal y abstracto de los estudiantes de las facultades deciencias# estos tipos de razonamiento se denominan los niveles de razonamiento."a segunda parte es una descripción de cómo puede un profesor organizar laactividad en sus clases para que los alumnos sean capaces de acceder al nivel derazonamiento superior al que tienen actualmente# se trata de las fases deaprendiza!e.

"as siguientes son las propiedades más importantes que permiten caracterizar conclaridad cada nivel y diferenciarlo de sus adyacentes2

)ivel ( reconocimiento,

)ivel 3 análisis,)ivel 4 clasificación,

)ivel 5 deducción.

"a importancia práctica de las propiedades del modelo de Ian 7iele radica en quemuestran las líneas básicas que debe seguir un profesor que desee fundamentar sus clases en este modelo de enseñanza. -ropiedades2 recursividad,secuencialidad, especificidad de lengua!e, continuidad, localidad.

Este modelo propone a los profesores una secuencia cíclica de cinco fases de

aprendiza!e para ayudar a los estudiantes a progresar desde un nivel depensamiento al siguiente.

)ivel (2 *e reconocimiento

Es el nivel más elemental de razonamiento.

• "os estudiantes perciben las figuras geom+tricas en su totalidad, de manera

global, como unidades, pudiendo atribuir características irrelevantes en lasdescripciones que %acen.

•

Además, perciben las figuras, como ob!etos individuales, es decir, que noson capaces de generalizar las características que reconocen en una figura,a otra de su misma clase.

• "os estudiantes se limitan a descubrir el espacio físico de las figuras, los

reconocimientos, diferenciación o clasificaciones# las figuras que realiza sebasan en seme!anzas o diferencias físicas globales entre ellas.

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• En muc%as ocasiones las descripciones de las figuras están basadas en su

seme!anza con otros ob!etos no necesariamente geom+tricos que conocen#suelen usar frases como ;... se parece a...


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)ivel 52 *e deducción formal

• Alcanzado este nivel, los estudiantes pueden entender y realizar razonamientos lógicos formales# las demostraciones ya tienen sentido paraellos y sienten la necesidad como 8nico medio para verificar la verdad deuna afirmación.

• "os estudiantes pueden comprender la estructura aiomática de las

matemáticas, es decir, el sentido y la utilidad de t+rminos no definidos,aiomas y teoremas.

• "os estudiantes aceptan la posibilidad de llegar al mismo resultadodesde

distintas premisas y la eistencia de definiciones equivalentes del mismoconcepto.

Ian 7iele recomienda desarrollar las cinco fases en forma secuencial.

Kstas tienen un carácter cíclico, pues se deben e!ecutar en cada nivel. i unalumno logra con las fases, alcanzar el siguiente nivel, +stas se deben desarrollar en ese nuevo nivel# lo que cambia es el contenido, el lengua!e, la forma deresolver los problemas y el grado de dificultad, lo que Ian 7iele llama ;$ases de

Aprendiza!e< son unas etapas en la graduación y organización de las actividadesque debe realizar un estudiante para adquirir las eperiencias que le llevan al nivelsuperior de razonamiento.

"as fases de aprendiza!e propuestas por Ian 7iele son cinco.1r !"#$ I%&'r()*+%. e trata de una fase de toma de contacto2 el profesordebeinformar a los estudiantes sobre el campo de estudio en el que va a traba!ar, qu+tipos de problemas se van a plantear, que materiales se vana utilizar, entre otros.Ksta es tambi+n una fase de información para elprofesor, pues sirve para que +steindague los conocimientos previos de los estudiantes sobre el tema que se va aabordar.

2, !"#2 1rientación dirigida. En esta fase los estudiantes empiezan aeplorar elcampo de estudio por medio de investigaciones basadas en elmaterial que se le

%a proporcionado. El ob!etivo principal de esta fase esconseguir que losestudiantes descubran, comprendan y aprendan cuáles son los conceptos,propiedades, figuras, entre otros, importantes en el área de la &eometría queestán estudiando.

3r !"#$ E-/*))*+%. 6na de las finalidades principales de la tercera fase, es%acer que los estudiantes intercambien sus epectativas, que comenten lasregularidades que %an observado, que epliquen cómo %an resuelto las

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actividades, todo ello dentro de un conteto de diálogo en el grupo. Esta fase tienetambi+n la misión de conseguir que los estudiantes terminen de aprender el nuevovocabulario, correspondiente al nuevo nivel de razonamiento que estánempezando a alcanzar. -or lo tanto, la fase tres no es una fase de aprendiza!e decosas nuevas, sino de revisión del traba!o %ec%o antes, orientada a conclusiones,prácticas y perfeccionamiento en la forma de epresarse.

40 !"#$ Or*#%0)*+% /*r#. A%ora los alumnos deberán aplicar losconocimientosy lengua!e que acaban de adquirir, a otras investigacionesdiferentes de lasanteriores. El campo de estudio ya es en gran parteconocido por los alumnos,pero +stos todavía deben perfeccionar suconocimiento del mismo.

50 !"#$ I%0#r)*+%. A lo largo de las fases anteriores, los estudiantes %an

adquirido nuevos conocimientos y %abilidades, pero todavía deben adquirir unavisión general de los conocimientos y m+todos que tienen a su disposición,relacionando los nuevos conocimientos con otros campos que %ayan estudiadoanteriormente# se trata de condensar en un todo el dominio que %a eplorado suconocimiento. Completada esta fase, los alumnos tendrán a su disposición unanueva red de relaciones mentales, más amplia que la anterior y que la sustituya, y%abrán adquirido un nuevo nivel de razonamiento.

Con todas estas teorías didácticas se pretende que, tanto el alumno comoel docente, tengan las condiciones propicias para la enseñanza F aprendiza!e delas matemáticas.

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