PROBLEMAS DE FRACCIONES

1. Se han destinado 2/3 de la superficie de una finca para sembrar cereal. Por un problema en la tierra se ha dejado sin cultivar 1/6 de la superficie que se iba a utilizar. ¿Qué fracción de la finca se ha utilizado para sembrar el cereal? Si se ha dejado sin cultivar 1/6 de 2/3 de la superficie total, es que se han cultivado 5/6

de 2/3 de dicha superficie: 5

6·

2

3=

5

9 de la superficie total

2. Si he leído los 6/7 de las 252 páginas de un libro, y después leo los 2/3 de las páginas que me quedan, ¿cuántas páginas me faltan para acabar el libro?

Si he leído los 6/7 de 252, he dejado sin leer 1/7 de 252: 1

7· 252 = 36

Después leo los 2/3 de 36, dejo sin leer 1/3 de 36: 1

3· 36 = 12, es decir, me faltan 12

páginas para acabar el libro. 3. Marta ha utilizado 3/5 del dinero que tiene en comprar unos discos, y 1/2 de lo que le

quedaba, en un regalo para su hermana. Si le quedan 6 €, ¿qué dinero tenía al principio? Llamo x al dinero que tenía. Utiliza 3/5 para discos, le sobran 2/5 de x. De esos 2/5 que

le quedaban, gasta ½ en un regalo, luego le queda el otro ½: 1

2·

2

5· 𝑥 es lo que le queda

expresado en fracción. Si cuenta ese dinero, son 6€, luego planteo la ecuación: 1

2·

2

5·

𝑥 = 6; Despejo y obtengo x=30€ 4. Una segadora siega los 3/5 de una finca en una jornada, y otra segadora, los 2/7 en el

mismo tiempo. ¿Qué fracción de la finca habrán segado en una jornada si trabajan las dos a la vez?

Solo habrá que sumar ambas fracciones: 3

5+

2

7=

31

35

5. Elvira y José han consumido los 2/3 de una botella de refresco, y después se han bebido 1/6 del total. ¿Qué fracción del total queda en la botella? Primero consumen 2/3 del total y luego 1/6 también del total (ojo, no de lo que quedaba!!)

Luego: 2

3+

1

6=

5

6 es lo que han consumido. Obviamente queda 1/6 de la botella.

6. De una botella de agua de un litro y medio se han gastado 3/4 partes. ¿Cuánta agua queda?

Tenemos 1,5 litros y gastamos ¾ partes, quedará ¼ de 1,5 litros: 1

4· 1,5 =

3

8 partes

7. En una clase, 8/25 del alumnado han obtenido una calificación superior a suficiente, y 1/2 ha obtenido suficiente. ¿Qué fracción del total del alumnado de la clase ha suspendido?

Habrá suspendido todo el alumnado excepto 8/25 y ½ del total: 1 −8

25−

1

2=

9

50 del

total. 8. De una garrafa de agua se han sacado 3/7; y una hora después, la mitad de lo que

quedaba. ¿Qué fracción del total de agua se ha consumido? Se sacan 3/7 del agua, quedan 4/7 del total. Luego se saca ½ de 4/7 del total, luego

quedará ½ de 4/7 del total: 1

2·

4

7=

2

7 del total. Se habrán consumido 5/7 del total.

9. De un trozo de cuerda se han cortado 2/5 del total, y ha quedado un trozo de 21 cm. ¿Cuál era la longitud de la cuerda? Se cortan 2/5 del total, luego quedan 3/5 del total, que son 21 cm. Llamemos x al total.

3

5· 𝑥 = 21

Despejamos x=35 cm 10. Entre Ernesto y su padre están organizando su biblioteca. Ernesto ha colocado 3/10 de

los libros, y su padre, 3/5 del total. Si aún les quedan 64 libros sin colocar, ¿cuántos libros tienen en la biblioteca?

Entre los dos han colocado 3

10+

3

5=

9

10 del total de libros que hay en la biblioteca, que

llamaremos x. Quedan sin colocar 1/10 del total, que contándolos resultan ser 64: 1

10· 𝑥 = 64

Despejando obtenemos x=640 libros. 11. ¿Cuántas botellas de 3/2 de litro se pueden llenar con 72 litros de agua?

Repartamos 72 litros en botellas de 3/2:

72:3

2=

72·2

3= 48 botellas.

12. Se tiene un depósito para trigo lleno con 3/8 de su capacidad. Se le añaden 132 kg y se llena hasta 5/6 de su capacidad. ¿Cuál es la capacidad del depósito?

Llamemos x a la capacidad del depósito. 3

8· 𝑥 + 132 =

5

6· 𝑥

Resolvemos con la calculadora: x=288 kg.

Definición de potencia:𝑎𝑏 es el producto de a por sí misma b veces. Se lee “a elevado a b”.

25 es el producto de 2 por sí mismo 5 veces: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

CASOS PARTICULARES:

𝑎1 = 𝑎

𝑎0 = 1

00 = 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 01 = 0

10 = 1

0𝑎 = 0

¿Qué pasa si la base es negativa?

Miraremos si el exponente es:• PAR:

• IMPAR:

El resultado será POSITIVO

El resultado será NEGATIVO

−2 2 = +4

−2 3 = −8

¡MUCHA ATENCIÓN! ¿Qué diferencia hay?

−3 2

−32

La base es negativa (-3) y el exponente es par, el resultado será positivo

La base es positiva 3 y el exponente nos da igual cómo sea, el – se copia

= 9

= −9

EJEMPLOS:

25 =

(−2)5=

34 =

(−1)6=

(−1)37=

(−3)4=

15 =

(−1)5=

(−2)2=

(−5)0=

32

−32

81

1

−1

81

1

−1

4

1

−24 =

(−1)3=

−34=

(−1)7=

(−1)2=

(−3)3=

10 =

(−1)1=

(−2)3=

(−5)0=

−16

−1

−81

−1

1

−27

1

−1

−8

1

−25

(−2)5

−24

= − 32= −32= −16

−15

(−1)5

04

=− 1= −1= 0

(−2)4

−14

(−1)4

= 16= −1= 1

− −3 =−33 =

− 3 3 =

3−27−27

−3 3 =− −33 =

30 =

−27271

− −30 =− −3 0 =

−33 =

1−1−27

−30 =− 3 0 =−3 0 =

−1−11

− 3 2 =

−3 2 =

− 33 =

−9

9

−27

Potencias con exponente negativo

𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛1

𝑎−𝑛= 𝑎+𝑛

−1

272−4 =

1

16

−1−4=−1

(−1)−4=1

−3−1 =−1

3

−3−3 =

−3 −3 =1

−3 3=

=1

−27

1.Expresa estas potencias como potencias de exponente positivo:

3−4 =

108

1210

9−5 =

1

34

1

10−8=

1

12−10=

1

95

2. Halla el valor de las siguientes potencias:

2−4 =

−1

2

−10

=

1

24=

1

16

2

−1

10

= 210 = 1024

3−5 =

−2 −6 =

1

35=

1

243

1

−2

6

=1

−2 6=

1

64

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS

PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE

𝑎𝑛 · 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚

DIVISIÓN DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE

𝑎𝑛: 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚

POTENCIA DE UNA POTENCIA

𝑎𝑛 𝑚 = 𝑎𝑛·𝑚

PRODUCTO DE POTENCIAS CON EL MISMO EXPONENTE:

𝑎𝑛 · 𝑏𝑛 = 𝑎 · 𝑏 𝑛

DIVISIÓN DE POTENCIAS CON EL MISMO EXPONENTE:

𝑎𝑛: 𝑏𝑛 = 𝑎: 𝑏 𝑛

3. Reduce a una sola potencia los siguientes productos:

4−2 · 47 · 45 =

2

3

3

·2

3

−4

=

410

2

3

−1

=3

2

5−10 · 57 · 56 =

−3 8 · −3 −10 · −3 6 =

53

−3 4 = 34

4. Reduce a una sola potencia los siguientes cocientes:

127: 125 =

−7 −20: −7 4 =

122

−7 −24

46: 4−9 = 46−(−9) = 415

5−8: 5−10 = 5−8−(−10) = 52

5. Reduce a una sola potencia las siguientes expresiones:

4−3 −2 −5 = 4−30 =1

430

32 −1 −4 = 38

10−4 −3 2 = 1024

REDUCE A UNA ÚNICA POTENCIA:63 · 6 · 65 =−7 9: −7 5 =

−2 4 3 =

−2 9: −2 4 · −2 2 =

69

−7 4 =

−2 12 =

74

212

−2 9: −2 5 2 = −2 9: −2 10 =

−2 −1 = −1

2

205: −4 5 =

129: −3 9 · −4 9 =

20: −4 5 =

−5 5 = −55 = −3125

129: 129 =

120 = 1

−5 9 · 208: −4 8 =

63 2 · −7 5 · −7 =

57 4 · 54 3 =

−5 9 · −5 8 = −5 17

66 · −7 6 = −42 6 =426

528+12 = 540

−5 8: −5 4 · −5 =

85 4: −2 12 · −4 12 =

𝑎5 3: 𝑎7 2 =

−5 4 · −5 =

−5 5 =

820: 812 = 88

𝑎15: 𝑎14 =𝑎1 = 𝑎

−55=−3125

25 · 8 · 27 · 16 =

32 3 · 27 · 94 =

25 · 23 · 27 · 24 =

219

36 · 33 · 32 4 =

36 · 33 · 38 = 317

315: 813 =

𝑚3 · 𝑚 2: 𝑚2 4 =

−10 20: −2 9 · 59 2 =

315: 34 3 =315: 312 =33 = 27

𝑚4 2:𝑚8 =𝑚8:𝑚8 = 𝑚0 = 1

1020: −10 9 2 =1020: −10 18 =

1020: 1018 = 102 =100

−3 5 · −2 5 3 · 64 2 =

𝑎3 · 𝑎4 2: 𝑎15: 𝑎13 2 =

65 3 · 68 = 615 · 68 = 623

𝑎7 2: 𝑎2 2 = 𝑎14: 𝑎4 = 𝑎10

MATEMÁTICAS 2º ESO

:

1. −(−3) =

2. −33 =

3. −(3)3 =

4. (−3)3 =

5. −(−33) =

6. 30 =

7. −30 =

8. −(3)0 =

9. (−3)0 =

10. −(−30) =

11. −(−3)0 =

12. −33 =

13. −(3)3 =

14. (−3)3 =

15. −(33) =

16. −3−1 =

17. −3−3 =

18. −(3)−3 =

19. (−3)−3 =

20. −(−3−3) =

21. 3−1 =

22. −3−1 =

23. −(3)−1 =

24. (−3)−1 =

25. −(−3−1) =

26. −(−3)−1 =

27. −3−3 =

28. −(3)−3 =

29. (−3)−3 =

30. −(−3−3) =

MATEMÁTICAS 2º ESO

:

1. −(−3) =

2. −33 =

3. −(3)3 =

4. (−3)3 =

5. −(−33) =

6. 30 =

7. −30 =

8. −(3)0 =

9. (−3)0 =

10. −(−30) =

11. −(−3)0 =

12. −33 =

13. −(3)3 =

14. (−3)3 =

15. −(33) =

16. −3−1 =

17. −3−3 =

18. −(3)−3 =

19. (−3)−3 =

20. −(−3−3) =

21. 3−1 =

22. −3−1 =

23. −(3)−1 =

24. (−3)−1 =

25. −(−3−1) =

26. −(−3)−1 =

27. −3−3 =

28. −(3)−3 =

29. (−3)−3 =

30. −(−3−3) =

MENSAJE SECRETO Tienes que descifrar el mensaje secreto. Para eso, realiza estas operaciones. Cada resultado corresponde a una letra o a un número que aparece en la tabla del código secreto. El número de la operación te indica el sitio de la letra en el mensaje.

1) 32

35−5·64

23

−8=

2) 163

4 + (−64)1

3 =

3) (125

8)−1

3=

4) (𝑎+𝑏)0

9−1=

5) 1252

3 − (−8)2

3 =

6) 93

2 + 4−3

2 −217

8=

7) 82

3 − 80 + 8 · 2−2 =

8) 𝑎

𝑢· (

𝑎−2·𝑢0

𝑎·𝑢−6)

1

3=

9) [4 · (−8)−1

3 + (−32)2

5] · 2 =

10)

[(3

5)2]3

·(3

5)0

(9

25)3 =

11) 𝑎−5·(𝑏·𝑢)−4·𝑎3

𝑎−2·(𝑏4)−1·𝑢−5=

12)

(−1

4)−1

·(−1

4)2

(−1

4)2 =

13) −(−

1

2)2:(−

1

2)−3

(−1

2)1·(−

1

2)3:(−

1

2)−1 =

14) 81

−12+729

−23

9−2+81−32

=

15) 21−2·(4·21)3·44

(4−1)−7=

16) 3 · (1

9)

3

2− (

1

4)−2

+143

9=

Coloca aquí tu mensaje:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16