UNIVERSIDAD ADVENTISTA DE BOLIVIA

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN Y HUMANIDADES

EL RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO EN LA RESOLUCIÓN

DE PROBLEMAS CON FRACCIONES DE LOS ESTUDIANTES DE

PRIMER AÑO DEL NIVEL SECUNDARIO DE LA UNIDAD

EDUCATIVA JUAN PABLO II DEL DISTRITO DE COLQUIRI

EN LA GESTIÓN 2012

TESIS

Presentada como requisito para obtener

el grado académico de Licenciada en

Ciencias de la Educación

Por

Carmen Rosa Ventura Choque

Tutor

MSc. Rolando Castillo Limachi

Cochabamba, julio de 2012

DEDICATORIA

A Dios por permitirme llegar hasta este punto y haberme dado salud, ser el manantial de vida y darme lo necesario para seguir adelante día a día hacia el logro de mis objetivos, además de su infinita bondad y amor.

A mi hermano Edgar Joaquín Ventura Choque (†).

A mi madre por su apoyo, por sus consejos, por la motivación constante que me ha permitido ser una persona de bien.

A mi padre y hermanos, sobrinos  por los ejemplos de perseverancia y constancia para salir adelante.

AGRADECIMIENTO

Al Lic. Rolando Castillo por su apoyo y paciencia en la conclusión del presente trabajo.

A los docentes de la Universidad Adventista de Bolivia por transmitirme sus conocimientos para poder escalar un peldaño más en mi formación profesional.

A los estudiantes del primero de secundaria, del núcleo Valle Hermoso, quienes fueron factor principal para la investigación.

A mi colega de trabajo por el apoyo moral y su motivación para seguir adelante.

A los estudiantes de la Unidad Educativa “Pipini”.

A la Prof. Luisa Zamora por su apoyo incondicional en la investigación.

RESUMEN

En la presente investigación se aborda la temática del nivel de razonamiento lógico

matemático en la resolución de problemas con fracciones de los/as estudiantes de primer

año del nivel secundario de la unidad educativa Juan Pablo II en la gestión 2012, sustentado

en un estudio descriptivo, analítico, no experimental y cuantitativo en base a tres

instrumentos: test de razonamiento lógico matemático, prueba de resolución de problemas

con fracciones y cuestionario, mismos que fueron aplicados a una muestra que asciende a

41 estudiantes de nivel secundario.

De manera general, los resultados obtenidos muestran porcentajes altos con respuestas

correctas aunque no puede descartarse los otros porcentajes, que si bien son relativamente

bajos mantienen su presencia en la resolución de dicho test de razonamiento. Similar

panorama presenta la resolución de problemas con fracciones donde llama la atención la

copia de resultados sin sustento en procedimiento alguno o el mismo es incorrecto.

Las conclusiones demuestran una falta de conocimiento teórico sobre razonamiento lógico

matemático tanto de estudiantes como de profesores, que dio lugar a que no exista un

desarrollo permanente del mismo y ello incide no sólo en los temas de fracciones sino en la

materia de matemática que requiere del razonamiento lógico matemático.

Palabras claves: Razonamiento lógico matemático, problemas, fracciones.

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN ……………………………..………………………………...…… 1

CAPÍTULO 1

EL PROBLEMA……………………………………………..…………………….….. 4

1.1 Antecedentes ……………….................................................................................... 4

1.2 Contextualización del problema............................................................................... 6

1.2.1 Aspecto generales del Distrito de Colquiri y el cantón Uyuni.............................. 7

1.2.2 Aspecto social……………………..….................................................................. 9

1.2.3 Aspecto económico…………………………………...…………………………. 11

1.2.4 Aspecto cultural………………………………………………...……………..… 12

1.2.5 Aspecto educativo…...……………………………………………………..……. 14

1.2.6 Unidad educativa………………...……………………………………………… 15

1.2.6.1 Referencias generales de la unidad educativa………………………………… 15

1.2.6.2 Infraestructura de la unidad educativa……………………..…………………. 16

1.2.6.3 Mobiliario y equipamiento………….……………………………………..….. 16

1.2.6.4 Personal docente…...………………………………………………………….. 17

1.2.6.5 Personal administrativo…………………………………..………………….... 17

1.2.6.6 Estudiantes……...…..…………………………………………………………. 18

1.2.6.7 Actividades curriculares………...…………………………………………….. 19

1.2.6.8 Actividades extracurriculares……………...………………………………….. 19

1.3 Justificación………...………………………………………………………..……. 19

1.4 Planteamiento del problema..................................................................................... 20

1.5 Formulación del problema........................................................................................ 21

1.6 Hipótesis…………...………………………………………………………..…….. 21

1.7 Objetivos................................................................................................................... 21

1.7. Objetivo general ..................................................................................................... 21

1.7.2 Objetivos específicos............................................................................................. 21

1.8 Operacionalización de variables……………...…………………………………... 22

CAPÍTULO 2

MARCO TEÓRICO……………………………………..……………………………. 24

2.1 Razonamiento……...……………………………………………………………… 24

2.1.1 Tipos de razonamiento.……..………..……………………….………………..... 25

2.1.2 Importancia del razonamiento……....…………..………………………………. 26

2.1.3 Elementos del razonamiento………..………………………………………........ 27

2.1.4 Proceso del razonamiento………...………………………………………...…… 28

2.2 La lógica………….……………….......................................................................... 29

2.2.1 Tipos de lógica…................................................................................................... 30

2.2.2 La lógica matemática............................................................................................. 31

2.2.3 La lógica y el razonamiento………………........................................................... 32

2.3 Razonamiento lógico matemático………………..……………………………...… 32

2.3.1 Etapas del razonamiento lógico matemático………..…...…………………….... 33

2.3.1.1 Niveles del razonamiento lógico matemático……...………………………….. 35

2.3.1.2 Desarrollo del razonamiento lógico matemático…………...…………………. 38

2.3.1.3 Competencias del razonamiento lógico matemático a ser desarrolladas……… 40

2.3.1.4 Estrategias del razonamiento lógico matemático………..……………….…… 41

2.3.1.5 Estrategia de las tres columnas en base al método de Polya ……………….… 42

2.3.2 Importancia del razonamiento lógico matemático…………...………………….. 45

2.3.3 Componentes del razonamiento lógico matemático……...…………………….. 46

2.3.4 Condiciones del razonamiento lógico matemático………...……………………. 47

2.4 Los problemas …………………………………………………………………….. 48

2.4.1 Tipos de problemas …………………...………………………………………… 49

2.4.2 Elementos o componentes de los problemas…………...……………………..… 51

2.4.3 Los problemas en la enseñanza ……………..…………………………….…..… 52

2.4.4 Resolución de problemas…………………………………………………...…… 53

2.5 Área de la matemática………………..…………………………………………… 56

2.5.1 Componentes del área de la matemática……………...………………………… 57

2.5.2 Ramas de la matemática……………………………………………...…………. 57

2.5.3 Objetivos de la enseñanza de la matemática…………………………………….. 59

2.5.4 Problemas de enseñanza………...………………………………………………. 60

2.5.5 Enfoque de la enseñanza…………...……………………………………………. 62

2.6 Fracciones …………...………………………………………………………….… 63

2.6.1 Términos de una fracción………...………………………………………….…. 64

2.6.2 Propiedades de las fracciones……...……………………………………………. 66

2.6.3 Tipos de fracciones …………………...………………………………………… 68

2.6.4 Operaciones con fracciones ………...…………………………………………... 70

2.7 Resolución de problemas con fracciones…...……………………………………... 74

2.7.1 Métodos para la resolución de problemas con fracciones…….………………… 74

2.7.1.1 Ejemplos de resolución de problemas con fracciones…...…………………… 77

CAPÍTULO 3

DISEÑO METODOLÓGICO…….……………………………………………….….. 82

3.1 Tipo de estudio......................................................................................................... 82

3.2 Población estudiantil................................................................................................. 83

3.3 Técnica e instrumento de la investigación................................................................ 83

3.4 Proceso de recolección y procesamiento de datos………………………………… 84

3.5 Proceso de análisis e interpretación de la información……………………………. 85

CAPÍTULO 4

ANÁLISIS DE DATOS………………………….………………………………….... 86

4.1 Presentación de información cuantitativa................................................................. 86

4.2 Información de los estudiantes….......................................................................... 86

4.2.1 Información test de razonamiento lógico matemático........................................ 87

4.2.2 Información de la prueba de resolución de problemas con fracciones……...… 107

4.2.3 Información de los cuestionarios………………...…………………………… 117

4.2.4 Información de los/profesores/as....................................................................... 127

CONCLUSIONES…………………………………………………..…………….... 142

RECOMENDACIONES………………..…………………………………………...… 154

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS………………………………………………... 156

ANEXOS

INTRODUCCIÓN

La ciencia de la matemática y el contenido de la misma que se enseña a los/as estudiantes

de diversos niveles están orientados a la transmisión de la cultura basada en las cantidades,

los números, en sí en los problemas cuantitativos que exigen dedicación y por sobre todo la

aplicación del razonamiento y la lógica.

El razonamiento lógico matemático que es considerado una capacidad que utiliza todos los

recursos para resolver diversas situaciones planteadas a través de ejercicios y problemas

matemáticos como también aquellos que se presentan en la vida cotidiana.

A pesar de la elevada abstracción del razonamiento lógico matemático es necesario su

desarrollo en todas las personas para que logren solucionar sus problemas a través de la

aplicación de soluciones que implican acercamiento, comprensión, análisis y evaluación de

los hechos que circundan los mismos.

Por tanto en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática la resolución de

problemas se ha convertido en un medio eficaz para desarrollar dicho razonamiento y es

justamente, la determinación del nivel de dicho razonamiento el que da parámetros para

entender la situación en la cual se encuentran las personas.

Justamente, la escuela o la unidad educativa es la que otorga las condiciones necesarias

para determinar dicho nivel a través de investigaciones sobre el razonamiento lógico

matemático como en el caso de los/as estudiantes de la Unidad Educativa Juan Pablo II del

Distrito de Colquiri.

La Unidad Educativa mencionada se encuentra en la cuarta sección de Colquiri de la

provincia Inquisivi del departamento de La Paz; exactamente, está situada al Sudeste de la

ciudad de La Paz y se asienta en el valle interandino de Uyuni, en el pueblo del cantón

Uyuni, a una distancia de 310 km y a una altura aproximada de 3.600 m.s.n.m.

1

El razonamiento lógico de los/as estudiantes no está desarrollado debido al mecanismo de

aprendizaje de la matemática. A pesar que en la currícula se indica que el profesor de

matemáticas debe preocuparse por el razonamiento lógico matemático, ello no ocurre ya

que se centran más en el contenido que en el desarrollo de las habilidades.

Por tanto, los/as estudiantes tienen problemas en matemáticas ya que no pueden resolver los

problemas con fracciones ya que esto exige la aplicación de habilidades como el

razonamiento lógico matemático. El razonamiento lógico matemático que desarrollan

influye en la resolución de problemas con fracciones.

Bajo esta perspectiva, este trabajo de investigación tiene como objetivo. Determinar el nivel

de razonamiento lógico matemático y su incidencia en la resolución de problemas con

fracciones. Para alcanzar el mismo se ha planteado cuatro objetivos específicos que son:

Identificar criterios de valoración sobre el razonamiento lógico matemático en estudiantes

y docentes, determinar el nivel de razonamiento lógico matemático por parte de los/as

estudiantes, determinar el nivel resolución de problemas con fracciones por parte de los/as

estudiantes e identificar las dificultades que presentan en la resolución de problemas con

fracciones.

Para una mejor comprensión, se ha subdividido este documento en diferentes capítulos que

están estrechamente relacionados, como se explica a continuación:

En el capítulo uno se presenta el Problema con los antecedentes, contextualización del

problema en base a diversos aspectos del Distrito de Colquiri y el cantón Uyuni, datos

generales de la unidad educativa y de sus estudiantes. Asimismo, se tiene la justificación,

planteamiento y formulación del problema, hipótesis, objetivos y operacionalización de

variables.

El capítulo dos muestra el Marco teórico que se sustenta en conceptos teóricos relevantes

para la investigación como: razonamiento, lógica, razonamiento lógico matemático, los

problemas, área de matemática, fracciones y la resolución de problemas con fracciones que

contiene diversos ejemplos adecuados al contexto de la investigación.

2

El capítulo tres describe el Diseño metodológico con el tipo genérico de estudio que resalta

una investigación descriptiva, analítica, no experimental y cuantitativa, población y muestra

conformada por 41 estudiantes, técnicas e instrumentos de la investigación, proceso de

recolección y procesamiento de datos.

El capítulo cuatro contiene el análisis de datos, mismo que presenta la información

proveniente de los instrumentos como el test de razonamiento lógico matemático, prueba de

resolución de problemas con fracciones y cuestionarios. Dicha información cuantitativa

incluida en tablas y gráficos corresponde tanto a los/as profesores como a los/as

estudiantes.

Finalmente, se presentan las conclusiones realizadas a partir de los objetivos planteados y

sustentados con la información recolectada. Las recomendaciones se realizan a profesores,

estudiantes, autoridades del establecimiento, padres y madres de familia por considerarlos

actores del proceso de enseñanza-aprendizaje.

3

CAPÍTULO 1

EL PROBLEMA

1.1 Antecedentes

La presente investigación trata el tema del razonamiento lógico matemático en la resolución

de problemas con fracciones, mismo que se enmarca en la ciencia de la matemática que

conforma el plan curricular de educación formal. Al respecto, en Bolivia las normativas

vigentes señalan que la formación de los/as estudiantes debe fusionar la teoría y la práctica,

es decir, no sólo debe existir una preparación cognitiva sino también científica, técnica,

tecnológica y productiva con miras a desarrollar las competencias.

Para ello, el Estado boliviano ha ratificado su responsabilidad financiera para con la

educación a través de su sostenimiento para que todas las personas puedan gozar de la

misma, es decir, existe el compromiso asumido por las autoridades correspondientes para

que la educación pública sea gratuita desde primaria hasta secundaria, y que se desarrolle

en un ambiente armónico donde no exista discriminación entre bolivianos/as.

La consolidación de los postulados de las tendencias pedagógicas que trajo consigo la

implementación de la Ley 070, del 20 de diciembre del 2010, denominada Avelino Siñani -

Elizardo Pérez; en base a la misma el gobierno boliviano diseñó un plan curricular, el año

pasado, para su aplicación en la gestión escolar 2012 con miras a la consolidación de

importantes cambios en beneficio de la educación boliviana.

Así, el objetivo principal que resalta la Ley 070, es la formación integral de los/as

estudiantes con “pensamiento crítico y propositivo, acción transformadora en valores socio

comunitarios”; razón por la cual, este nuevo proceso de formación toma en cuenta cuatro

dimensiones que resaltan: ser, saber, hacer y decidir.

La primera dimensión “ser” se orienta a la espiritualidad, la segunda al conocimiento, el

tercero a la práctica o productividad y la última que es el “decidir” resalta la organizativa y

la toma de decisiones.

4

Respecto a la materia de matemática, entre otras, se indica que sufrirá cambios en sus

contenidos para que sean aplicables en la vida cotidiana, dejando de lado la elevada

abstracción de la misma ya que se sustenta que los contenidos no son acordes a la realidad

boliviana. Por tanto, la enseñanza que se recibe en esta materia, o no se la utiliza o se olvida

completamente, y los/as estudiantes no pueden poner en práctica dichos conocimientos.

A pesar de ello, en el colegio Juan Pablo II, unidad de análisis de esta investigación, se

trabaja enmarcado en la antigua ley educativa; razón por la cual no se ha registrado ninguna

mejora por falta de capacitación a los profesores y las profesoras; a ello deben sumarse

otros factores como: la falta de vías de acceso a la comunidad, ya que no existen caminos ni

las condiciones necesarias para mejorar la educación.

Tampoco han existido esfuerzos propios al interior de la institución educativa que se

plasmen en la realización de ferias u olimpiadas matemáticas para los diferentes niveles,

mucho menos se ha planificado proyectos para el área de matemática por parte de las

autoridades o de los/as profesores/as; a pesar de que su Plan Operativo Anual (POA)

registra la realización de diferentes actividades como el encuentro de olimpiadas

estudiantiles de la cuarta sección municipal de Colquiri.

Los hechos mencionados, dan lugar a que se frustre la participación de los/as educandos en

las Olimpiadas Científicas Plurinacional de Bolivia donde se busca “incentivar a la

juventud al estudio de la Astronomía, Astrofísica, Biología, Matemática, Física,

Informática con el propósito de generar mayores capacidades científicas y tecnológicas

como aporte al desarrollo productivo, económico y social del país”.

Finalmente, en la comunidad no existe la presencia de alguna ONG u organismo

internacional que apoye en la mejora de la calidad de la educación de los/as estudiantes, ni

tampoco se dio la presentación de algún proyecto o intención a futuro para el área de

matemática por parte de funcionarios de las instituciones mencionadas.

5

1.2 Contextualización del problema

El departamento de La Paz está ubicado al Noroeste de Bolivia, tiene una superficie de

133.985 km2 y su capital es la ciudad de Nuestra Señora de La Paz que se constituye en la

sede de gobierno por cobijar los poderes: ejecutivo y legislativo, hecho que la convirtió en

una de las ciudades más importantes del país. Entre sus límites destacan tanto

departamentos como países, a decir: al Norte con el departamento de Pando, al Sur con el

departamento de Oruro, al Este con Beni y Cochabamba y al Oeste con Perú y Chile, lo

cual ha favorecido la fluidez del comercio con los países mencionados (Ver anexo Nº 1).

Según INE (2001). Respecto a su estructura física, los datos del Gobierno Autónomo

Departamental destacan una división “en 20 provincias, 85 municipios (antes llamadas

secciones de provincia y mal llamadas secciones municipales y 438 cantones (que ya no

forman parte de la Organización Territorial del Estado)”. Dichas provincias son: Abel

Iturralde, Aroma, Bautista Saavedra, Caranavi, Heliodoro Camacho, Gualberto Villarroel,

Ingavi, Inquisivi, Juan Manuel Pando, José Ramón Loayza, Larecaja, Los Andes, Manco

Kápac, Muñecas, Nor Yungas, Omasuyos, Pacajes, Pedro Domingo Murillo y Sud Yungas.

La población que habita en estas provincias asciende a un total de 2.349.885 habitantes y la

distribución se muestra en el Cuadro Nº 1.

Cuadro Nº 1

El departamento de La Paz y sus habitantes

HabitantesHombres Mujeres Total1.164.818 1.185.067 2.349.885

Total 2.349.885 Fuente: INE (2001).

Según el Instituto Nacional de Estadística (2005) los pueblos indígenas que habitan en el

departamento de La Paz son: siriono, tacana, leco, mosetene, quechua y aymara. Cabe

resaltar que “un 59.66% es indígena y representa a 1.402.184 del total de habitantes del

departamento de La Paz” (INE, 2005, p. 33).

6

Por lo tanto, La Paz se caracteriza por su síntesis poblacional donde destacan pueblos

indígenas, migrantes de otros departamentos y países que practican sus costumbres y las

entremezclan con las propias.

Respecto a los idiomas, este departamento es plurilingüe por los habitantes que cobija, sin

embargo se utiliza como “idiomas oficiales el castellano, aymara y quechua otorgándose

protección a los idiomas de las naciones y pueblos indígenas” (www.cambio.bo) asentados

en este territorio. Esto ha dado lugar a que muchas personas sean bilingües, es decir, que

hablan castellano y aymara o castellano y quechua; generalmente, son personas mayores

que se caracterizan por la práctica de dos idiomas ya que las nuevas generaciones hablan

más castellano ya que han migrado a la ciudad de La Paz.

Las actividades económicas del departamento se concentran tanto en la ciudad de La Paz

como El Alto donde se han instalado muchas empresas de diferentes rubros. A ello se

suma, la minería, producción de alimentos naturales y procesados, comercio informal,

exportación de productos y otros.

Tanto la ubicación del departamento como su territorio, le han convertido en un sitio no

solamente visitado sino centro de producción y generador de trabajo. Por ello, el

departamento continúa en constante crecimiento poblacional.

1.2.1 Aspectos generales del Distrito de Colquiri y el cantón Uyuni

En 1838 se creó una nueva provincia en el departamento paceño, llamada “Provincia de

Montenegro” en homenaje a la victoria en Montenegro donde se libró una batalla en contra

de las fuerzas argentinas. Sin embargo, en el año 1844 dicha provincia cambió de nombre

porque “se restablece la provincia creada por el Art. 1 del D.S. de 16 de julio de 1838,

compuesta de los cantones Inquisivi, Ichoca, Cavari, Mohoza y Suri, en el Departamento de

La Paz se denominará provincia INGAVI y el cantón Inquisivi será su capital” (Meneses,

2010, p. 3).

A pesar de ello, en 1866 salió otro decreto supremo que indicaba que la provincia Inquisivi

7

quedaba anexada al departamento de Cochabamba dejando de pertenecer al departamento

de La Paz. Frente a estas decisiones políticas y arbitrarias para el pueblo de Inquisivi se

tomó la determinación de no obedecer los dos decretos supremos anteriores y el 2 de

noviembre de 1884 se oficializó, mediante ley, la creación de la provincia Inquisivi con su

capital Inquisivi.

En la actualidad, la provincia Inquisivi, perteneciente al departamento de La Paz, está

dividida en seis secciones: “Inquisivi, Quime, Cajuata, Colquiri, Ichoca y Villa Libertad

Licoma” (INE, 2005, p. 36) y 35 cantones. De las secciones mencionadas, la más

importante para esta investigación es la cuarta sección que es Colquiri cuya población total

asciende a 19.442 habitantes, de quienes 10.103 son hombres y 9.339 mujeres (INE, 2001).

La cuarta sección municipal Colquiri está conformado por los cantones: Caluyo, Coriri,

Lanza, Uyuni, Huaylla Marca y Villa Huancocota, según lo indica la Embajada de Bolivia

en el Ecuador (www.embajadabolivia.ec), los cuales son más conocidos como el Distrito de

Colquiri que se caracteriza por los centros mineros que existen en dicho lugar.

Así, el valle interandino de Uyuni se encuentra al Sudeste de la ciudad de La Paz a una

distancia de 310 Km. de la misma, asentado en el pueblo del cantón Uyuni. Dicho cantón

está a una altura de 3.600 m.s.n.m. y está bajo la jurisdicción de la cuarta sección del

distrito de Colquiri (Ver anexo Nº 2).

El viaje desde la ciudad de La Paz hasta el cantón Uyuni dura, aproximadamente, 6 horas y

dista 70 km de la ciudad de Oruro, razón por la cual, muchas veces se han denunciado

avasallamiento por parte de los pobladores que han dado lugar a varios enfrentamientos

sustentados en problemas de límites que es reconocido por las autoridades “los límites

político administrativos están basados en el trabajo realizado por el Comité de Límites, el

mismo que no cuenta con aprobación del Congreso Nacional por lo tanto no tiene carácter

oficial” (Periódico Extra, 2010, p. 24).

El clima del lugar es semicálido y su topografía es accidentada con pendientes lo que la

convierte en un cantón inaccesible por falta de vías de acceso a la comunidad que está

8

situada en una hoyada, especialmente, donde se encuentra ubicado el colegio Juan Pablo II,

unidad de análisis de esta investigación.

1.2.2 Aspecto social

La comunidad es la que determina los principios de la organización social a través de sus

autoridades políticas, sindicales, administrativas y su base en general, siendo estas

autoridades respetadas y reconocidas legalmente. El cuadro Nº 2 muestra el detalle.

Cuadro Nº 2

Autoridades del cantón Uyuni

Autoridad política Coordinador territorial

Autoridad Sindical Central agraria que representa a sus dos comunidades y sus respectivos secretarios generales

Autoridad administrativa Cívica

Junta de vecinos, agente cantonal y la oficialía de registro civil

Fuente: Elaboración propia (2012).

Las diversas autoridades tienen la función de velar por el funcionamiento del cantón de

Uyuni, donde también existe un centro de salud de menor nivel ya que no cuenta con

médicos especializados o personal numeroso, sino solamente es para medicina general.

Generalmente, en los centros de salud ubicados en comunidades rurales alejadas al eje

troncal, solamente se atienden casos fisiológicos y patológicos que no revisten mayor

gravedad y por tanto no requieren instrumental especializado para su atención o

tratamiento. En caso de presentarse otro tipo de enfermedades, los pacientes deben

trasladarse a un hospital, muchas veces a las ciudades.

Así, la falta de recursos económicos, servicios médicos y la distancia han dado lugar a que

muchos pobladores opten por la medicina tradicional para curar sus dolencias;

especialmente, la gente mayor es la que más utiliza las plantas medicinales suministrándose

ellos mismos o recurriendo a algún “yatiri” (curandero ancestral).

9

El yatiri o curandero es la persona que practica la medicina tradicional sin ser médico y es

quien aconseja sobre alguna enfermedad, lo cual ha convertido esta práctica en algo común

donde no falta el mate de coca o el acullico para el dolor de estómago o de muelas o la

puesta de hojas de coca sobre la frente para el dolor de cabeza.

Respecto a la estructura social, muy pocos (por no decir contados) son profesionales y no

prestan servicios en el lugar sino que prefieren quedarse en la ciudad de La Paz ya que

existen mayores oportunidades para ellos; razón por la cual, la mayor parte de los

pobladores son agricultores y otros se dedican a la ganadería de donde obtienen sus

recursos económicos.

A ello debe sumarse que en el cantón Uyuni no existe la presencia de organizaciones no

gubernamentales (ONG’s), ni tampoco existe la implementación o planificación de algún

tipo de proyecto de ayuda a los comunarios, quienes aplican sus conocimientos ancestrales

en sus diferentes labores de siembra y cosecha, lo cual pasa de generación en generación.

Sobre el tema de las organizaciones sociales la comunidad tiene una OTB que es una

organización tradicional propia del área rural, con lo cual se busca impulsar la participación

de quienes la conforman para la planificación de proyectos que beneficien a las

comunidades del distrito.

La presencia de la Confederación Nacional de Mujeres Campesinas Indígenas y Originarias

de Bolivia “Bartolina Sisa” (CNMCIOB-BS) a través de una representante a nivel

provincial, es decir, de la provincia Inquisivi, con lo cual debería impulsarse proyectos a

favor de los cantones que conforman dicha provincia.

Luego están los sindicatos agrarios que son organizaciones productivas y sociales

manejadas por la comunidad para regular las relaciones internas y externas, es decir, con las

autoridades regionales y las juntas vecinales conformada por los vecinos, pobladores del

lugar quienes velan por el interés de la misma.

10

Asimismo, existen clubes de madres quienes se agrupan con la finalidad de conseguir algún

recurso económico extra para solventar los gastos de sus familias tomándose en cuenta que

en el cantón no existe ayuda por parte de organismos no gubernamentales u otras entidades.

Por lo tanto, se dedican a los tejidos de chompas, chalinas, guantes, carteras, mantas y

artesanías.

1.2.3 Aspecto económico

Según plan operativo anual POA (2011). Las actividades económicas de los pobladores del

cantón Uyuni se concentran en el comercio informal de diferentes productos provenientes

de la siembra y cosecha que realizan en sus parcelas donde participan la mayoría de los

miembros de la familia. También se dedican a la ganadería aunque en menor proporción y

ello les ayuda a cubrir sus necesidades básicas.

La agricultura se caracteriza por el cultivo de la papa, hortalizas y una gran variedad de

plantas, muchas de ellas medicinales como también para consumo, lo cual se ha convertido

en el principal ingreso de recursos desde tiempos ancestrales donde la siembra de la papa se

consideraba como una labor ardua y respetada entre los comunarios.

El comercio informal es resultado de la agricultura, ya que los productos son

comercializados en la ciudad de La Paz, Oruro, en las ferias de la región y en las capitales

de las diferentes provincias del departamento de Oruro. Esta fuente también es generadora

de los ingresos económicos de los pobladores.

Respecto a la ganadería, la crianza de animales como las ovejas y las vacas son,

generalmente, para sustento propio y muy poco para la comercialización, ya que más

comercializan productos agrícolas; razón por la cual, este cantón es considerado y conocido

como cantón agrícola.

Finalmente, la pobreza es uno de los factores que afecta a la mayoría de las familias del

cantón Uyuni ya que los pocos recursos económicos que logran obtener tanto de la

ganadería como de la agricultura si bien ayuda al sostenimiento de sus familias no logra

11

cubrir todas sus necesidades porque son familias numerosas que tienen hasta ocho

miembros y en el caso de los hijos no todos asisten a la escuela.

1.2.4 Aspecto cultural

Como toda población rural el cantón Uyuni celebra el 6 de agosto, fecha en que se recuerda

las fiestas patrias, sin embargo, los festejos comienzan días antes ya que no debe olvidarse

que con el gobierno actual, el 2 de agosto se ha convertido en el Día de la Revolución

Agraria, Productiva y Comunitaria antes denominada “Día del indio” a través de un decreto

supremo emitido en 1937 por el entonces presidente Germán Busch” (La Prensa, 2011, p.

11).

Todo festejo es celebrado por los pobladores quienes aprovechan dichas fechas para lucir

sus trajes típicos que son llamativos porque llevan colores fuertes con adornos que resaltan

en los mismos. Los hombres mayores generalmente llevan sombreros y los más jóvenes

gorras, chaleco, chompa o chamarra que acompaña al pantalón y abarcas, zapatos o tenis.

Las mujeres visten polleras, blusas, mantilla y sombrero.

Los pobladores del cantón Uyuni son descendientes de aymaras y una parte desciende de

quechuas; razón por la cual, algunas personas mayores hablan hasta tres idiomas, son

trilingües donde se incluye el castellano. En el caso de los/as niños/as y los/as jóvenes su

primera lengua es el castellano y como segunda el aymara por ello se les considera

bilingües y esto da lugar a que las clases en las unidades educativas se dicten en ambos

idiomas.

Las nuevas generaciones del cantón Uyuni conservan algunas costumbres ancestrales como

rito, mito y la música autóctona aunque no puede negarse su atracción por la música que se

impone en las ciudades y que de una u otra forma se hace presente en este cantón. Por su

parte, son los mayores quienes aún practican las tradiciones heredadas de sus antepasados

como la wajt’a que es una ofrenda a la pachamama.

El cantón Uyuni es netamente agrícola y la wajt’a (agradecimiento a la tierra), ya que es

como un favor que le piden para que de buenos frutos la tierra y así poderlos comercializar.

12

En esta ofrenda también se incluye el cigarro, hoja de coca y alcohol que se entremezclan

según el rito y el celebrante del mismo que hace sus peticiones.

El ayni colaboración reciproca (hoy por ti, mañana por mi) es característico del cantón ya

que muchas veces se requiere para la siembra la ayuda de otros comunarios y justamente el

ayni implica reciprocidad ya que algunos miembros de otras familias prestan ayuda a otros

comunarios y éstos devolverán el favor de la misma manera cuando así lo requiera la otra

familia.

Al ser el lugar donde viven algo muy importante para los pobladores del cantón Uyuni,

también se practica la mink’a (trabajos donde se requiere la participación de las diferentes

familias a favor del cantón). Esto se conoce en otros lugares como trabajo comunal y

requiere del esfuerzo de todos para levantar alguna obra que no solamente favorecerá a la

comunidad sino también es un símbolo de unidad.

Respecto a la religión la mayoría profesa la religión católica que a pesar de haber sido

impuesta, muchos la mantienen. Sin embargo, no puede negarse la presencia de otras

religiones que tratan de influir en ellos/as como: adventistas, cristianos, mormones,

metodistas, además de otros.

Sobre las fiestas patronales, se celebra el 16 de julio la Virgen del Carmen en la mayoría de

las provincias del departamento de La Paz, el 25 de julio se celebra en el cantón Uyuni a

Santiago conocido como el “Tata Santiago” que se considera el santo contra los enemigos.

Las fiestas patronales en devoción a los santos y a las vírgenes son consideradas por los

pobladores como una forma de creencia religiosa.Tanto en las fiestas patronales como en

otras la música autóctona está presente y es propia de esta región: la zampoñaza y la

tarqueada que acompañan muchas veces a las danzas autóctonas.

Los sicuris “cuyo significado es tañedores de sicu: siringa o flauta de pan (cada bailarín

lleva su tambor, alargado, grande) y la moseñada o mohoceños que son orquestas de

pincollos (flauta dulce o de pico) muy grandes (taicas: madres) que se tañen como el fagot,

mediante un tubo adicional” (Bedregal y Gonzales, 1956, p.14).

13

1.2.5 Aspecto educativo

La educación en el cantón Uyuni comenzó con la educación pública y gratuita, es decir, se

instauró la educación estatal, a pesar de ello, los pobladores no asistían a la misma; razón

por la cual, en la actualidad muy pocos son profesionales y la mayoría prefiere trabajar o

sembrar antes que estudiar ya que requieren de recursos económicos para sustento propio y

de la familia.

Se puede afirmar que existe una educación no formal que consiste en la transmisión de los

conocimientos de padres a hijos/as donde los mayores tratan de perpetuar los usos y

costumbres de sus ancestros para que vayan pasando de generación en generación. Sin

embargo, ello no ha sido posible ya que los/as jóvenes prefieren adoptar otras costumbres

propias de las ciudades.

Cabe recordar que el Núcleo Valle Hermoso donde está incluida la institución educativa

Juan Pablo II está situado en el valle interandino de Uyuni y tiene una cobertura de nueve

unidades educativas y los organismos responsables se muestran en el siguiente cuadro Nº 3.

Cuadro Nº 3

Organismos responsables

A nivel normativo - Servicio Departamental de Educación de La Paz- Dirección Distrital de Educación de Colquiri

A nivel de asesoramiento

- Unidad Departamental de Servicios Técnicos Pedagógicos

- Dirección Distrital de Educación Colquiri- Técnicos de Recursos de la Dirección Distrital

A nivel de coordinación

- Honorable Alcaldía Municipal de Colquiri- Comité de Vigilancia del Municipio Consejos

Educativos Comunitarios del Núcleo- Consejos Educativos Comunitarios de las unidades

educativas- Junta de vecinos- Sindicatos agrarios de las comunidades.

Fuente: Plan Operativo Anual. Núcleo Valle Hermoso Colegio Juan Pablo II (2011).

14

No existe algún tipo de enseñanza no formal o alternativa por parte de organizaciones no

gubernamentales (ONG’s) u otras instituciones que planifiquen proyectos de capacitación

para mejorar los sembradíos, fumigación y otros que beneficien a la comunidad, por lo que

existe cierto abandono en el lugar donde los pobladores deben buscar maneras para

subsistir.

A ello se suma que existen problemas en los tiempos de siembra y cosecha ya que los

padres y las madres no permiten que sus hijos vayan a las unidades educativas ya que deben

ayudar tanto en la siembra como en la cosecha. Asimismo, los/as estudiantes deben caminar

diariamente entre 1 a 1 ½ horas todos los días para dirigirse a la unidad educativa, lo cual

les cansa y ello no les permite asimilar los contenidos de las materias.

1.2.6 Unidad educativa

El colegio donde se centra esta investigación se denomina Juan Pablo II, a continuación se

registran datos e información del mismo.

1.2.6.1 Referencias generales de la Unidad Educativa

Juan Pablo II se encuentra ubicada en la cuarta sección de Colquiri de la provincia Inquisivi

del departamento de La Paz; exactamente, está situada al Sudeste de la ciudad de La Paz y

se asienta en el valle interandino de Uyuni, en el pueblo del cantón Uyuni, a una distancia

de 310 km y a una altura aproximada de 3.600 m.s.n.m.

Forma parte del Núcleo Educativo Valle Hermoso, dependiente del Distrito Educativo de

Colquiri que está compuesto por siete Unidades Educativas: “Uyuni (Central), Calamarca,

Coacoani, Juruma, Pipini, Porvenir y Juan Pablo II y en educación alternativa actualmente

funcionan cinco puntos” (Ramírez, 2009, p. 4).

Su misión es

Mejorar la calidad de los servicios de educación, fortaleciendo el nivel de

conocimiento de los profesores para formar integralmente alumnos activos

participativos, analíticos, críticos, reflexivos, comunicativos, capaces de resolver

15

problemas de la vida diaria para que en lo futuro puedan personas competentes en

las actividades profesionales y útiles a la sociedad (POA, 2011, p. 4).

En el Plan Operativo Anual (POA), la misión apunta a la consolidación del entendimiento

de los hechos a partir de la desfragmentación de los mismos en sus mínimos elementos para

que logren profundizar en dichas particularidades y reconstruyan dichos hechos pero con un

conocimiento más profundo que les lleve a pensar, es decir, preguntarse a sí mismos sobre

el proceso realizado.

En su visión destaca el

Formar hombres y mujeres con mística de igualdad, identificados con su realidad

socio-cultural capacitados para la búsqueda de soluciones a problemas de la vida

cotidiana de la comunidad y del país de la forma tal que pueda coadyuvar al

desarrollo auto sostenible de nuestra patria Bolivia (POA, 2011, p. 5).

Respecto a la visión, se apunta más a una igualdad basada en los derechos y los deberes

tanto de hombres como de mujeres sin apartarse de su realidad, de su entorno y partir del

mismo identificar los problemas para solucionarlos mediante procesos y procedimientos

acordes a la realidad en que viven.

1.2.6.2 Infraestructura de la unidad educativa

La infraestructura es relativamente aceptable ya que cuenta con aulas para todos los cursos

de sexto de primaria a sexto de secundaria, un patio que es utilizado para las clases de

educación física, actos educativos, horas de descanso de los/as estudiantes etc, también

tiene algo de servicios básicos como ser agua potable, luz eléctrica pero no cuenta con el

sistema sanitario.

1.2.6.3 Mobiliario y equipamiento

La Unidad Educativa no cuenta con todo el mobiliario necesario para desarrollar las

actividades lo cual afecta en el desarrollo de avance de temas de las diferentes materias, ya

que por la distancia y otros factores, los requerimientos incluidos en el Plan Operativo

Anual (POA) no se toman en cuenta.

16

1.2.6.4 Personal Docente

El personal docente es normalista, quienes en su mayoría son varones encargadas de

impartir diferentes materias en dicho establecimiento, como se muestra en el siguiente

cuadro Nº 4.

Cuadro Nº 4

Personal docente y su formación académica

Género Docentes Normalistas LicenciaturaVarones 8 8 0

Mujeres 3 2 1Total 11 10 1

Fuente: Elaboración propia (2012).

Actualmente el personal docente, detallado en el cuadro Nº 4, cursa clases a nivel

licenciatura en diversas universidades privadas y modalidades, esto debido a su forma de

trabajo ya que se ausentan de la ciudad de La Paz durante semanas y hasta meses sin poder

salir por motivos tales como: distancia, bloqueos y mal estado de los caminos, arduo

trabajo y otros.

1.2.6.5 Personal Administrativo

El plantel administrativo se conforma por el prof. Santiago Hipólito Paxi Tambo es el

director de la unidad educativa Juan Pablo II y se constituye en la máxima autoridad del

establecimiento. Entre sus funciones se tiene previsto: la planificación, organización,

dirección y supervisión de los procesos pedagógicos, control de las actividades

administrativas y todo lo referente a la unidad educativa.

Asimismo, se cuenta con una secretaria que se dedica a la recepción, registro, distribución y

archivo de la documentación. Un portero quien apoya en las tareas secretariales, custodia el

material y equipamiento de usos común de los diferentes ciclos y realiza el mantenimiento

de la unidad educativa, es decir, aseo de las aulas, baños y demás dependencias.

17

1.2.6.6 Estudiantes

La unidad educativa Juan Pablo II cuenta con 119 estudiantes de quienes 71 son varones y

48 son mujeres, como se observa en el siguiente cuadro Nº 5 denominada estadística de

estudiantes de la mencionada unidad.

Cuadro Nº 5

Estadística de estudiantes unidad educativa Juan Pablo II

GradosInscritos Efectivos

Prom. %V M Total V M TotalSexto 7 4 11 7 4 11 11 100Séptimo 22 19 41 22 19 41 41 100Octavo 16 12 28 16 12 28 28 100Primero 13 8 21 13 8 21 21 100Segundo 12 7 19 12 7 19 19 100Tercero 10 7 17 10 7 17 17 100Cuarto 4 3 7 4 3 7 7 100TOTAL 71 48 119 71 48 119 119 100

Fuente: Dirección Distrital Colquiri. Colegio Juan Pablo II (2012).

Los/as educandos son bilingües porque hablan tanto aymará como castellano, siendo su

lengua primaria el aymará porque sus padres son considerados descendientes de la cultura

aymara. A pesar de ello, la comunicación entre los comunarios se realiza mediante el

castellano lo cual se ha asentado en sus hijos sin olvidar su lengua materna que es usada en

ciertas oportunidades.

La religión que practican es la católica por influencia de sus padres, aunque últimamente se

incorporó la religión evangélica, sin dejar de lado las creencias en diversos dioses de la

naturaleza como la pachamama (madre tierra), illa (amuleto ancestral), achachillas (Dios

ancestral) y otros que son venerados en ciertas fechas relevantes para la comunidad donde

también participan los/as estudiantes para que no olviden las costumbres ancestrales.

Las familias de los alumnos son numerosas ya que cuentan con más de seis miembros que

son considerados como núcleos principales de la comunidad. Estas familias habitan

viviendas rústicas, dispersas y alejadas de la unidad educativa aproximadamente se

18

encuentran a una distancia de una a una hora y media de caminata que recorren todos los

días dichos estudiantes para llegar a su establecimiento educativo.

1.2.6.7 Actividades curriculares

Las actividades curriculares responden a los programas de las materias donde también se

incluye las formas de evaluación (diagnóstica, sumativa y formativa). Asimismo, se toma

en cuenta la preparación de los/as estudiantes, tanto a nivel primario como secundario, para

el encuentro de olimpiadas de la cuarta sección municipal de Colquiri en diferentes áreas de

aprendizaje.

1.2.6.8 Actividades extracurriculares

Respecto a las actividades extra curriculares, éstas se desenvuelven continuamente durante

la gestión escolar ya que se realizan eventos deportivos, festival de danza a nivel de

núcleos, concursos de canto, de baile y de poesía, deportes, bandas de guerra y algunos

festejos propios de la comunidad donde participan las familias.

1.3 Justificación

Esta investigación se justifica tomando en cuenta que la matemática se constituye en una

actividad constructiva que no solamente requiere de la memorización de números,

cantidades o fórmulas sino que va hacia un nivel de abstracción que requiere métodos que

coadyuven a ordenar y a analizar dicha información para obtener conclusiones que ayuden

en la resolución de diversos problemas matemáticos.

Así, lo importante es el razonamiento que es una característica del ser humano y cuya

diferencia lo eleva ante los otros seres, por tanto, razonar en matemáticas exige ordenar las

ideas y ello conlleva un proceso que amerita seguirse cuidadosamente ya que se avanza de

abstracción en abstracción para llegar a una solución que es válida tanto por el resultado

como el procedimiento aplicado.

Es justamente que en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la resolución de problemas

con fracciones donde se requiere el razonamiento lógico matemático que, posteriormente,

19

será aplicado a situaciones de su cotidianidad tanto fuera como dentro de su comunidad ya

sea en la compra de productos, semillas, parcelas de tierra o trueque entre comunarios.

Por lo tanto, esta investigación se justifica en lo social porque con la determinación del

nivel de razonamiento lógico matemático en la resolución de problemas con fracciones se

obtendrá resultados que orienten a mejorar o reforzar los conocimientos de los/as

alumnos/as para que ellos/as contribuyan en las actividades que realizan a favor de sus

familias tanto en el cultivo como en la comercialización de los productos.

En lo teórico, este trabajo investigativo se justifica ya que se realiza la revisión de

conceptos teóricos correspondientes a diversas disciplinas como: matemática, ciencias de la

educación y lógica, a partir de las cuales se construye un marco teórico que orienta el

proceso investigativo y por lo tanto se constituye en una construcción abstracta relevante de

la investigación.

En lo metodológico, la creación de herramientas como un test de razonamiento lógico

matemático, una prueba de resolución de problemas con fracciones y cuestionarios

constituyen un aporte para futuras investigaciones que traten problemas similares. Dichas

herramientas pueden ser modificadas o utilizadas por otros/as estudiantes o investigadores.

1.4 Planteamiento del problema

La materia de matemática se constituye en un tema de controversia dentro del proceso de

enseñanza y aprendizaje no solamente para los/as estudiantes y los/as profesores/as sino

también para los padres y las madres de familia, quienes son los/as encargados/as de

financiar los estudios de sus hijos/as con la esperanza de que logren una profesión a futuro.

Tal el caso del colegio Juan Pablo II del Distrito de Colquiri cuyos colegiales de primero de

secundaria resuelven mecánicamente los problemas con fracciones sin dar ningún

significado al contenido; asimismo, no relacionan estos conocimientos con sus actividades

cotidianas; razón por la cual, dan poca importancia al aprendizaje de dichos contenidos de

la materia de matemática.

20

Su razonamiento lógico no está desarrollado debido al mecanismo de aprendizaje de la

matemática. A pesar que en la currícula se indica que el profesor de matemáticas debe

preocuparse por el razonamiento lógico matemático, ello no ocurre ya que se centran más

en el contenido que en el desarrollo de las habilidades.

Por tanto, se identifican problemas en matemáticas ya que no pueden resolver los

problemas con fracciones ya que esto exige la aplicación de habilidades como el

razonamiento lógico matemático. El razonamiento lógico matemático que desarrollan los/as

estudiantes influye en la resolución de problemas con fracciones.

1.5 Formulación del problema

¿Cómo el razonamiento lógico matemático incide en la resolución de problemas de

fracciones en los/as estudiantes del primer año del nivel secundario de la Unidad Educativa

Juan Pablo II del Distrito de Colquiri en el primer trimestre de la gestión 2012?

1.6 Hipótesis

El nivel alto de razonamiento lógico matemático incide positivamente en la resolución de

problemas con fracciones de los estudiantes de primero de secundaria.

1.7 Objetivos

1.7.1 Objetivo general

Determinar el nivel de razonamiento lógico matemático y su incidencia en la resolución de

problemas con fracciones de los/as estudiantes del primer año del nivel secundario de la

Unidad Educativa Juan Pablo II del Distrito de Colquiri en la gestión 2012.

1.7.2 Objetivos específicos

Identificar criterios de valoración sobre el razonamiento lógico matemático en

estudiantes y docentes.

Determinar el nivel de razonamiento lógico matemático por parte de los/as estudiantes.

Determinar el nivel de resolución de problemas con fracciones por parte de los

estudiantes.

21

Identificar las dificultades que presentan los/as estudiantes en la resolución de

problemas con fracciones.

1.8 Operacionalización de variables

Variable 1: Razonamiento lógico matemático

Variable 2: Resolución de problemas con fracciones

22

Cuadro Nº 6

Operacionalización de variables

Variable Definición conceptual

Indicadores Instrumentos

Razonamiento lógico matemático

El razonamiento lógico matemático es el uso de premisas matemáticas para llegar a la solución.

Alto- Estudiante deduce consecuencias

de los enunciados.- Estudiante resuelve problemas de

lógica- Estudiante comprende las

relaciones lógicasMedio- A veces, el estudiante deduce las

consecuencias lógicas- Estudiante trata de comprender las

relaciones lógicas- Estudiante trata de resolver

problemas de lógicaBajo- Estudiante no deduce

consecuencias lógicas- Estudiante no comprende

relaciones lógicas- No resuelve los problemas de

lógica

Test de razonamiento lógico aplicado a los estudiantes

Cuestionario aplicado a estudiantes y profesores

Resolución de problemas con fracciones

La resolución de problemas con fracciones es considerada como un instrumento de aplicación de los conceptos aprendidos sobre fracciones en situaciones de la vida real.

Bueno- Estudiante entiende conceptos del

enunciado.- Traduce el enunciado al lenguaje

matemático adecuado.- Aplica la operación matemática

adecuada al problema. - Encuentra la solución al problemaRegular- Trata de entender conceptos del

enunciado.- A veces el estudiante traduce al

lenguaje matemático adecuado.- El estudiante trata de aplicar la

operación matemática adecuada al problema.

- A veces el estudiante soluciona al problema

Deficiente- No entiende el enunciado- No traduce al lenguaje matemático- No aplica operaciones matemáticas

Prueba de resolución de problemas con fracciones aplicado a estudiantes

Cuestionario aplicado a estudiantes y profesores

Fuente: Elaboración propia (2012).

23

CAPÍTULO 2

MARCO TEÓRICO

2.1 Razonamiento

El razonamiento es característica fundamental de los seres humanos ya que está presente

tanto en la vida cotidiana como en la profesional. Es más, algunos autores indican que

muchos éxitos o fracasos de las personas dependen en gran medida del razonamiento que se

haya aplicado.

Por tanto, cuando se habla de razonamiento debe entenderse el mismo como un proceso

donde se da una conexión de proposiciones que desembocan en una conclusión. Así lo

confirma Gutiérrez “El razonamiento es la sucesión lógica de juicios que desembocan en

una conclusión, la forma más perfecta y compleja del razonamiento, es la conceptual”

(Gutiérrez, 2004, p. 78).

Por su parte, Canedo indica que el “razonamiento es un proceso de pensar donde

intervienen diversos momentos intelectivos enlazados entre sí, de manera que el último

deriva del primero” (1978, p. 87). Para este autor la psicología es la ciencia encargada del

estudio del razonamiento.

A su vez, Lucas citado por Saguillo (2008, p. 316) define el razonamiento como “un

proceso de conexión entre alguna cosa que es conocida o creída y un concepto o idea que

puede ser aceptado por otros”. El razonamiento es considerado como inferencia de datos

que implica un proceso conectivo de los mismos.

Las anteriores definiciones consideran el razonamiento como un proceso, es decir, como un

conjunto de etapas interrelacionadas donde se conectan datos conocidos o creídos y a los

cuales se dirige la atención de la mente para captar cualidades y relaciones para desembocar

en ciertas conclusiones respecto del primero.

En consecuencia, el razonamiento coadyuva no solamente en investigaciones sino también

en el crecimiento del propio conocimiento científico que como su nombre indica, ayuda a

24

ser ciencia y por tanto se le otorga gran importancia al razonamiento porque sin su

intervención en el proceso investigativo solamente existirían especulaciones o creencias.

2.1.1 Tipos de razonamiento

En base a las explicaciones de Aristóteles, Fonseca (2000, p. 172) presenta una tipología

del razonamiento donde destaca cinco tipos: “razonamiento por ejemplos, analogía, causa,

generalización y signo”. Algunos de estos tipos se basan en los entimemas y paradigmas

tratados, en su tiempo, por el filósofo griego mencionado que se presentan más adelante:

- Razonamiento por ejemplos consiste en buscar varios ejemplos conocidos para llegar a

una conclusión. Al utilizarse ejemplos se trata de un razonamiento inductivo, ya que son

específicos que conducen a una generalización. Este tipo de razonamiento es un legado

del filósofo Aristóteles.

- Razonamiento por analogía es un tipo de razonamiento también es inductivo ya que se

relacionan eventos similares conocidos. En otras palabras, se busca en la mente aquellos

casos semejantes, análogos que ayuden a una generalización. Es necesario aclarar que los

eventos deben ser propios al contexto donde se interviene.

- Razonamiento por signo, resaltan ciertos síntomas o señales que pueden dar a entender

la existencia de algo. “Este razonamiento nos puede dar indicios, o mostrar alguna luz,

para decidir si la proposición es válida o no. El signo también puede ser indicador del

curso que sigue una acción”.

- Razonamiento por causa, resalta las causas anteriores y sus consecuencias, a partir de

las cuales se obtienen otras causas y un posible consecuente. Lo importante es la

determinación del efecto que puede ocurrir. En otras palabras, existe una cadena causal ya

que al obtener un efecto, éste se transformará en causa y así sucesivamente.

- Razonamiento por generalización, es un razonamiento de tipo deductivo conformado

por dos premisas y una conclusión, donde la primera premisa es denominada mayor

25

porque contiene información general y la otra premisa es menor por ser más particular a

partir de ambas se tiene una conclusión.

La tipología presentada muestra dos razonamientos que son usados frecuentemente por las

personas: deductivo e inductivo; a pesar de existir una separación entre ambos

razonamientos en el fondo se complementan y son necesarios para una detallada

explicación de los hechos.

Por su parte Canedo (1978, p. 90) clasifica el razonamiento “en simples y compuestos,

donde los primeros se obtienen de manera directa”, como en el ejemplo: Todas las aves son

vertebradas, luego ningún ave es invertebrada. Respecto a los “razonamientos complejos

consiste en obtener un juicio que no es directo sino que median otros intermedios”.

En la propuesta presentada, “los razonamientos complejos son aquellos denominados

deductivos” por Fonseca (2000, p. 172) y también son los entimemas de Aristóteles como

se muestra en los siguientes párrafos. Esto significa que los tipos de razonamiento en

esencia mantienen las mismas características a pesar del transcurso del tiempo.

Finalmente, la propuesta aristotélica traducida por Bernabé (2004, p. 58) resalta dos tipos

de razonamientos: entimemas y paradigmas “el ejemplo sea un razonamiento inductivo y el

entimema un razonamiento, si bien basados en pocas premisas” que van de lo general a lo

particular.

En el caso de los entimemas, que son razonamientos deductivos, se conforman de tres

elementos: dos premisas y una conclusión. La primera premisa es la mayor y la otra la

menor de la cual se deduce una conclusión; mientras que los ejemplos se caracterizan por

utilizar ejemplos conocidos y similares y sacar un conclusión.

2.1.2 Importancia del razonamiento

Según Bernabé (2004) la importancia del razonamiento reside en que al ser considerado

como un proceso o un conjunto de actividades mentales donde se dan la conexión de ideas

siguiendo ciertas reglas o procedimientos, es una facultad humana que coadyuva en la

26

resolución de problemas que no solamente se presentan en la parte académica sino también

en la vida cotidiana.

Así, los diferentes tipos de razonamiento nos ayudan en la organización de las ideas y a

partir de las mismas sacar una conclusión que se convierte en la solución, tal cual lo señala

Fonseca (2000). Generalmente, las personas utilizan más la deducción y la inducción y

aunque no están conscientes de los procesos que se realizan al interior de su pensamiento,

se puede deducir en su forma de hablar o ejemplificar ciertas situaciones.

Añade Canedo (1978, p. 92) que el razonamiento es importante porque “presenta un orden

lógico que conduce a la verdad de una o varias proposiciones” y más allá de todo ello es

una característica inherente del ser humano, por tanto, razonar debe ser algo común y no

particular aunque muchos/as estudiantes consideran dicha acción como una exigencia poco

común.

En consecuencia, la importancia del razonamiento se traduce tanto en lo interior como en el

exterior del individuo. En el interior ya que ayuda a estructurar el conocimiento a partir de

ciertos mecanismos y en el exterior porque ese conocimiento estructurado ayuda a resolver

problemas que se presentan día a día en diferentes ámbitos donde las personas desarrollan

sus actividades.

2.1.3 Elementos del razonamiento

De acuerdo a lo que señala Seijas (2003, p. 5) cuando se habla de los elementos del

razonamiento, claramente, deben diferenciarse dos de ellos: contenido y forma ya que dos o

más razonamientos pueden tener la misma forma pero sus contenidos pueden ser diferentes.

El contenido se constituye a partir de los objetos y las propiedades que refieren las

expresiones lingüísticas, lo cual conduce a que una proposición pueda ser falsa o

verdadera, mientras que la forma es el resultado de la abstracción del contenido de las

expresiones lingüísticas y la sustitución de las mismas por símbolos.

Al referirse a los elementos del razonamiento, Canedo (1978, p. 88) destaca “los juicios y

los conceptos”. Los primeros reciben el nombre de antecedentes que son equiparables a las

27

deducciones donde intervienen las premisas y la conclusión; mientras que los conceptos se

caracterizan por ser silogismos donde intervienen tres términos o simples, es decir, sujeto y

predicado.

Por lo tanto, debe entenderse los elementos como partes o características del razonamiento

siendo que algunos autores destacan la forma de estructurar los mismos mientras que para

otros tanto la forma como el contenido son importantes ya que ello provoca diferencias que

conllevan a connotaciones diversas.

2.1.4 Proceso del razonamiento

El razonamiento no sólo realiza inferencias tales como las inmediatas, deducción,

refutación, demostración directa, indirecta y cualquier otro tipo de razonamiento, sino que

también sirve para otras actividades como el convencer sobre un punto de vista ya sea a una

persona o un grupo de ellas, pero sustentado en razones válidas.

El razonamiento es un proceso de inferir conclusiones derivadas de ciertos datos o

fundamentos, los fundamentos pueden estar formados por varios tipos de evidencias

y estas evidencias están relacionadas con la cultura o sociedad de cada individuo,

pues las inferencias se conectan con las creencias, actitudes y valores ya aceptados

(Fonseca, 2000, p. 172).

Así, Toulmin citado en Velásquez (2008, p. 34) señala que el proceso de razonamiento

debe seguir seis pasos: “conclusión, fundamentos, garantía, apoyos, modalidad y posible

refutación”, debe aclararse que este proceso no es lineal sino que avanza y retrocede, es un

proceso tan abstracto que no puede verse a simple vista y que es propio de cada persona.

La conclusión se constituye en el elemento central que se establece. Es una conclusión a la

que se llega con el razonamiento y sirve de idea central a la proposición misma.

Seguidamente se tiene los fundamentos que ayudan a sostener la proposición que pueden

ser buenas afirmaciones o razones que sirvan de apoyo para la conclusión.

28

Una vez que se tiene la conclusión y se ha propuesto los fundamentos necesarios para dicha

conclusión, entonces se puede justificar cada idea o aspecto de los fundamentos para

asegurar que éstos sean válidos, a ello se denomina la garantía. En palabras de Fonseca

“estos tres elementos son los que se consideran básicos para el proceso de razonamiento”

(Fonseca, 2000, p. 171).

Si bien se ha planteado la garantía, ésta merece ser justificada para ser aceptada, por tanto,

es necesario sustentarla con razones o más datos que la apoyen, lo cual se convierte en los

apoyos. Hasta aquí, el proceso va en su cuarta etapa y reforzada con datos y evidencias que

ayuden a la justificar.

Seguidamente, se tiene la modalidad que es una calificación de lo expresado que ayuda a

determinar si éste tiene fuerza necesaria para servir a la conclusión o proposición. La

modalidad de la calidad puede ser cierta (completa verdad o certeza), probable (posibilidad

de que haya verdad o certeza) o aceptable (poca la verdad o certeza). Finalmente, la posible

refutación como su nombre indica existe una negativa de la otra parte a nuestra proceso lo

cual lleva a reconsiderar los apoyos o fuerza de los argumentos.

2.2 La lógica

Para entender la palabra lógica debe remitirse a su etimología que viene de la voz griega

“logos” misma que tiene muchos significados como: razón, discurso, palabra, ciencia,

tratado, pensamiento y otros. A pesar de ello, muchos autores, entre ellos Canedo (1978,

p. 165) “relaciona la lógica con el pensamiento”, es decir, se indica que la lógica es la

ciencia de los pensamientos.

Lefebvre afirma que Aristóteles consideraba la “lógica como la teoría del logos en acto:

razón y razonamiento, coherencia del discurso, lenguaje del ciudadano que vive en la

ciudad política y que busca los medios de deducir para convencer (y no para seducir)

medios diferentes de la sofística” (2006, p. 2).

Añade, Gutiérrez que la lógica “intenta descubrir cuáles son los elementos que constituyen

el razonamiento y cuáles son las funciones que enlazan a dicho elementos” (2004, p. 79).

29

En otras palabras, la lógica trata de entender la forma en que las personas ordenan sus

pensamiento para comprenden el mundo donde viven.

Las definiciones de lógica apuntan al logos o razón, que en la antigüedad era necesaria para

exposición de argumentos ya que sino se sabía razonar no se podía argumentar, ello

demuestra que la lógica era algo común, sin embargo, con el pasar del tiempo la lógica se

ha vuelto más compleja ya que se orienta al ordenamiento de los pensamientos.

2.2.1 Tipos de lógica

En base a las explicaciones del autor Canedo (1978, p. 32) se tiene una primera tipología de

la lógica: “general o teórica y especial o aplicada”. La primera estudia en general los

pensamientos sin tomar en cuenta su contenido ni tampoco relacionándola con el mismo,

por ello, enfatiza el estudio de conceptos, juicios y razonamientos.

Por su parte, la lógica especial o aplicada se centra en los pensamientos aplicados a cada

ciencia y a sus métodos; razón por la cual, existe la lógica matemática, lógica de la

naturaleza, lógica de la educación y otras, porque son pensamientos específicos que

requiere cada una de ellas.

Otras clasificaciones tratan la lógica formal y la lógica simbólica, cuya diferencia radica en

que la primera estudia la estructura de los actos de pensar, concepto, juicio, razonamiento y

demostración mientras que la segunda expresa detalladamente y muestra con todo rigor las

leyes fundamentales del pensamiento.

“La lógica formal puede considerarse como uno de los sistemas de reducción del

contenido, por el cual el entendimiento llega a formas sin contenido, a formas puras y

rigurosas, en las que el pensamiento sólo tiene que ver consigo mismo, es decir con nada

sustancial” (Lefebvre, 2006, p. 150).

Por tanto, los tipos de lógica resaltan el pensamiento y en ellos, sus métodos, las formas en

cómo se estructuran, algunos estudian de forma general o aplicada a alguna ciencia lo cual

30

le otorga matices diferentes. Otros destacan la forma haciendo abstracción del contenido de

los pensamientos.

2.2.2 La lógica matemática

A partir de los anteriores párrafos, la lógica matemática puede considerarse como un tipo

de lógica aplicada o especializada, es decir, es aquella que se desarrolla en una ciencia

específica como la matemática. Así, se entiende que la lógica matemática estudia la

relación entre la proporción lógica y sus valores de verdad, sin tener en cuenta las

interpretaciones concretas.

La lógica matemática estudia todos los buenos sistemas formales en relación con el

modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como

conjuntos, números, demostraciones y computación. La lógica matemática suele

dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría

de conjuntos y teoría de la recursión (Porras, 2010, p. 1).

La lógica matemática estudia aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y

estudiadas matemáticamente. Algunos autores la asemejan a la lógica simbólica, otros

añaden que la lógica matemática y la simbólica son la misma, ya que se basa en la lógica

aristotélica pero más abstracta y aplicada al álgebra.

La lógica simbólica o matemática ha nacido de la matemática. Su fundador es

Leibniz quien redescubrió los principios de la lógica coligativa, anteriormente

descubiertos por los megáricos y medievales, avanzó mucho más que ellos y aplicó

un lenguaje simbólico en las inferencias (Canedo, 1978, p.165).

Por su parte Saguillo (2008, p. 43) considera a la “lógica matemática como una rama de la

matemática aplicada para la construcción de modelos” donde se utiliza un lenguaje

matemático con la finalidad de explicar el fenómeno lógico que está inserto en el lenguaje

utilizado por los científicos.

31

De esta manera, la lógica matemática se entiende como un método aplicado, es decir, que si

la lógica se entiende como un método para la adquisición de conocimientos, aplicada a la

matemática se convierte en el camino para adquirir conocimiento de dicha ciencia. Así, la

lógica matemática se aplica para la resolución de problemas de esta índole.

2.2.3 La lógica y el razonamiento

Debe recordarse que se ha definido la “lógica como el estudio del pensamiento”, tal cual lo

señala Canedo (1978, p. 165), es decir, cómo las personas estructuran el mismo, cuál es la

manera de ordenar dicho pensamiento, de lo cual se deduce que “existen diversas formas o

tipologías de razonamiento” como indicaba Fonseca (2000, p. 175).

Por otra parte, en el razonamiento resaltan “las proposiciones que son afirmaciones o

negaciones de algo y que conducen a una conclusión. Al indicarse que el razonamiento es

una sucesión lógica de juicios” (Gutiérrez, 2004, p. 78). Se entiende que está orientado a la

resolución de problemas.

A partir de ello, muchos autores tratan del razonamiento lógico que es un proceso mental

caracterizado por las denominadas premisas de las cuales se infiere una conclusión. Esta

conclusión puede no derivar de una consecuencia lógica de las premisas propuestas pero

aún así existe un razonamiento.

2.3 Razonamiento lógico matemático

Desde los conceptos básicos hasta las operaciones elementales que se aprenden en el nivel

primario “dependen de la construcción de nociones lógicas” (Cofre y Tapia, 2008, p. 29), lo

cual fue demostrado por Jean Piaget.

Por tanto, cada ejercicio u operación aplica la lógica y es, justamente, el proceso de

enseñanza de la matemática que debe favorecerla tomando en cuenta que la lógica se va

desarrollando en los primeros contactos de la persona con su entorno y las actividades

escolares deben reforzar la misma.

32

Las relaciones sociales son las que sirven de base para la construcción del

pensamiento lógico-matemático en el cual, según Piaget, están las funciones lógicas

que sirven de base para la matemática como clasificación, seriación, noción de

número y la representación gráfica, y las funciones infralógicas que se construyen

lentamente como son la noción del espacio y el tiempo (Velásquez, 2008, p. 4).

Debe resaltarse que conforme el ser humano crece no sólo física sino intelectualmente

requiere esquemas internos más complejos, es decir, con bastante y variada información

pero, a su vez, ordenada que conformará su inteligencia. El desorden en la información

acumulada dará lugar a ciertas dificultades en las personas quienes no podrán

desenvolverse con todo su potencial.

Si bien, la importancia e influencia del razonamiento lógico matemático ha sido resaltado

en diferentes párrafos, lo interesante es conocer exactamente en qué consiste el mismo y

para ello debe entenderse que se parte del pensamiento donde se realizan diferentes

procedimientos generales donde interviene la lógica con sus leyes y reglas.

En la práctica, “los procedimientos lógicos siempre aparecen ligados a un contenido

concreto” (Riverón, 2001, p. 1) que depende del campo de aplicación y que la añade un

componente específico, es una estrecha interrelación con el componente general.

En palabras de Riverón (2001) y otros, la aplicación de los procedimientos lógicos se

realiza a un área específica, en este caso la matemática, cuyas características propias tienen

que concuasar con dichos procedimientos y éstos a su vez, deben respetar los

procedimientos generales del pensamiento.

2.3.1 Etapas del razonamiento lógico matemático

A continuación se ejemplifica las etapas del razonamiento lógico matemático adecuado al

tema de investigación. Por tanto, cuando los/as estudiantes realizan fracciones o resolución

de problemas, los procedimientos lógicos específicos son los que se ejecutan y en caso de

que se apliquen los procedimientos inadecuados, los resultados también serán adversos.

33

Un problema donde aparezcan dos, tres cantidades que hay que restar, sumar, dividir o

multiplicar no es un hecho, “sino que el estudiante debe hacer una demostración lógica y

matemática” (Riverón, 2001, p. 4).

Al tomar solamente un ejemplo básico, como el de la suma, debe recordarse que en esta

simple operación se dan suboperaciones que mantienen procedimientos específicos

comenzando por la posición de las cifras y que en todas se desarrolla el pensamiento lógico

matemático. En este punto, nuevamente retorna el tema de las estructuras aprendidas,

aquellas que se forman y las cuales necesariamente deberán contener elementos de la

matemática que puedan entender lo que plantea la suma, la resta o algún problema.

Como indicó Piaget, el problema que surge en este punto es que existe una gran diferencia

entre los signos y los símbolos, siendo que los primeros rescatan algún aspecto del objeto

que representan mientras que en los segundo no existe lo cual le hace diferente. Se enfatiza

lo dicho, ya que en los primeros años de aprendizaje de la matemática, generalmente, son

símbolos que se utilizan por lo que no se crea mayor problema, sin embargo, con el avance

de los cursos y la profundización de los contenidos curriculares, son los signos que se van

imponiendo.

En la siguiente figura Nº 1 se muestra el paso de lo concreto a lo abstracto y en la misma se

trata de explicar el razonamiento lógico matemático.

34

Figura Nº 1

Paso de lo concreto a lo abstracto

Fuente: Tomado de Robert Rigal (2006, p. 305).

2.3.1.1 Niveles del razonamiento lógico matemático

El Observatorio Plurinacional de la Calidad Educativa dependiente del Ministerio de

Educación de Bolivia (2011) señala que el razonamiento lógico debe enfocarse hacia la

vida, a la producción, es decir, sustenta la unión entre la educación y la vida, donde se

desenvuelven diariamente las personas.

35

MANIPULACIÓN

Separar y reagrupar a partir de criterios

SITUACIÓN

Grupo de objetos

COMPRENSIÓN

- Un objeto tiene varias propiedades distintas.

- Objetos diferentes pueden tener propiedades comunes.

INTERIORIZACIÓN POR INTEGRACIÓN

Cuando el número de criterios aumenta para una misma colección de objetos, el número de objetos por clase disminuye; una clase global incluye las sub-clases.

REPRESENTACIÓN ABSTRACTA

Colecciones idénticas en cantidad de objetos diferentes tienen el mismo cardinal, el número como símbolo.

GENERALIZACIÓN

El número se aplica a una cantidad definida de objetos y la caracteriza, pero se disocia también de ella; 6 es 2 veces más grande que 3, independientemente de los elementos.

En esta perspectiva definen el razonamiento lógico matemático como: Capacidad de

utilizar un conjunto de herramientas, destrezas y recursos (cálculos mentales,

aproximaciones, números, operaciones, algoritmos, cuantificaciones, etc.)

imprescindibles para poder desenvolverse en la vida para resolverse situaciones de la

cotidianidad (Observatorio Plurinacional, 2011, p. 2).

Por lo tanto, el razonamiento lógico matemático a pesar de su nivel de abstracción es

necesario para las personas ya que se aplican a la cotidianidad donde surgen diferentes

problemas que ameritan ser resueltos de la manera más acertada; razón por la cual, las

personas deben acercarse, comprender, analizar y comprender todos los hechos que se dan

en esa realidad.

La aprehensión de los conocimientos es gradual y por tanto, debe iniciarse el mismo con

temas básicos para que paulatinamente se vaya profundizando en los mismos y así se pueda

entender los conocimientos más complejos. En base a estos postulados, se ha considerado

tres niveles de razonamiento lógico matemático que se sustentan en la estructura secuencial

de los contenidos planteados en los diseños curriculares, siendo que el nivel 2 es aplicable a

esta investigación.

Nivel 1: En este nivel el estudiante resuelve ejercicios formales eminentemente

reproductivos (saber leer y escribir números, establecer relaciones de orden en el sistema de

número naturales, reconocer figuras planas y utilizar algoritmos rutinarios usuales), es

decir, en este nivel están presentes aquellos contenidos, habilidades y capacidades que

conforman la base para la comprensión matemática.

Por lo tanto, el contenido curricular de este nivel toma en cuenta los siguientes puntos que

resaltan el razonamiento: “razonamiento operacional, razonamiento numérico,

razonamiento con medidas, razonamiento de espacio y forma, seriación, tratamiento de la

información y la lógica”, tal como lo señala el Observatorio Plurinacional (2011, p. 12-13).

El nivel 2: Se centra en los problemas cotidianos que deben ser solucionados por vías

creativas ya que este tipo de problemas son productivos y ameritan mayores niveles de

36

razonamiento aunque debe aclararse que no deben dejarse de reproducir ciertas técnicas

aprendidas en las aulas.

Este nivel comprende: “razonamiento numérico, proporcionalidad, porcentajes, fracciones,

razonamiento de espacio y forma, seriación, transformaciones lógicas y tratamiento

informativo” (Observatorio Plurinacional, 2011, p. 3). Lo importante en estos contenidos

es entender la forma en que razonan los estudiantes, es decir, cómo utilizan los/as

estudiantes el razonamiento lógico matemático y para ello, es necesario aplicar cierta

valoración que indique dichas formas.

En consecuencia, la valoración general que se rescata de la escala de valoración de

razonamiento lógico matemático propuesto por el Observatorio Plurinacional (2011) es:

Nivel Alto de 7 a 9 ítemes correctos al aplicar alguna prueba.

Nivel Medio de 4 a 6 ítemes correctos al aplicar la prueba.

Nivel Bajo de 0 a 3 correctos al aplicar la prueba.

Cada uno de estos niveles valorados responde a la complejidad de las operaciones

matemáticas planteadas que responden a los contenidos propuestos en el nivel 2 que

incluye el razonamiento lógico matemático delimitado por el Observatorio Plurinacional y

se constituye en un factor muy importante.

Por lo expuesto, estos niveles de valoración podrían ser adecuados según los contenidos de

la materia y por supuesto, tomando en cuenta dos factores fundamentales, el lugar y los/as

estudiantes, ya que si bien en el área urbano es donde se trata de cumplir con los contenidos

curriculares no ocurre lo mismo en el área rural que por diferentes motivos, como: idioma,

contexto, costumbres y tradiciones, los contenidos no logran cumplirse a cabalidad.

Esto significa que los instrumentos a ser aplicados para estudios que traten del

razonamiento lógico matemático deben tomar en cuenta los factores mencionados y sobre

todo, enmarcarse en los contenidos avanzados o programados para la gestión respectiva, de

37

lo contrario la evaluación con instrumentos cuyo contenido es ajeno al conocimiento de

los/as estudiantes dará resultados negativos.

El nivel 3: Se centra en los problemas cotidianos que deben ser solucionados por vías

creativas ya que este tipo de problemas son productivos y ameritan mayores niveles de

razonamiento aunque debe aclararse que no deben dejarse de reproducir ciertas técnicas

aprendidas en las aulas.

El estudiante resuelve problemas propiamente dichos, donde la vía por lo general no

es conocida para la mayoría de los estudiantes y dónde el nivel de producción de los

mismos es más elevado. En este nivel, los estudiantes son capaces de reconoces

estructuras matemáticas complejas y resolver problemas que no implican

necesariamente el uso de estrategias, procedimientos y algoritmos rutinarios, sino que

posibilitan la puesta en escena de estrategias, razonamientos y planes no rutinarios

que exigen al estudiante poner en juego su conocimiento matemático (Observatorio

Plurinacional, 2011, p.13).

En el nivel 3 debe abordarse los siguientes temas de avance: razonamiento numérico,

transformaciones lógicas, geometría, porcentajes, probabilidades, proporcionalidad,

tratamiento de la información y lógica, todos apuntan a la consolidación del razonamiento

lógico matemático.

2.3.1.2 Desarrollo del razonamiento lógico matemático

Para el desarrollo del razonamiento lógico matemático se deben seguir “ciertos principios

orientadores que deben ser aplicados en el aula”, tomándose en cuenta que ella cobija tanto

a niños como a adolescentes en proceso de formación tal cual lo señala Andonegui (2004,

p. 7- 10).

La enseñanza de la matemática debe basarse en la diversidad, esto significa que el profesor

debe presentar y manejar diversos sistemas de representación de conceptos matemáticos ya

que no debe olvidar que la ciencia de la matemática tiene varias ramas y por ende diferentes

38

entes abstractos. A ello se suma la aplicación de procedimientos matemáticos como suma

de fracciones, máximo común divisor y otros.

La construcción del conocimiento matemático debe tomar en cuenta las estrategias de

enseñanza que aplican los profesores y que requieren ser acordes a los estilos de

aprendizaje de los estudiantes, lo cual también afecta en las formas de resolver los

problemas donde se pueden aplicar diferentes vías.

La comprensión de los conceptos para establecer su relación con los procedimientos debe

partir por dar un significado a cada concepto, el cual puede basarse en las opiniones de

algún autor o ser construido por los mismos estudiantes con la orientación de sus

profesores, quienes deben incentivar el análisis y la crítica en ellos. El entendimiento de

significados como sumar fracciones o multiplicarlas o el máximo común divisor ayuda a

los estudiantes a romper con ese aprendizaje mecánico de la matemática.

La construcción de una actitud positiva a la matemática no debe basarse en actividades

lúdicas que muchas veces distraen a los estudiantes sino que debe crearse seguridad y

confianza en cada uno de ellos para que entienda y construya el conocimiento matemático,

ello puede lograrse de manera progresiva, deteniéndose en aquello que no se entiende y

debe hacérselo hasta entenderlo.

Finalmente, hay que plantearse una matemática que se aplique al contexto en el cual se

desenvuelven los estudiantes, buscando situaciones que exijan la aplicación de los

conocimientos adquiridos y donde cada estudiantes pueda aplicar una forma propia para

resolver los problemas planteados.

En palabras de Andonegui (2004) el desarrollo del razonamiento lógico matemático debe

seguir un proceso cuya etapas no solamente toman en cuenta a dicha ciencia como tal sino

aplicable a la vida diaria y exigiendo de los estudiantes un entendimiento de conceptos

básicos que sean posteriormente aplicados a su vida cotidiana.

39

2.3.1.3 Competencias del razonamiento lógico matemático a ser desarrolladas

El razonamiento lógico matemático exige el desarrollo específico de ciertas competencias

que deben ser tomadas en cuenta no solamente por los profesores sino también por los

estudiantes ya que es un tema muy importante.

Por ello, García, Pérez y Oliva citados por Andonegui (2004) indican que dichas

competencias son cinco como se explica en las siguientes líneas.

Desarrollo de procesos lógicos se constituye en la primera competencia porque se sigue

diferentes procedimientos que comprende desde la observación hasta la toma de decisiones.

El observar la información lleva a entender las semejanzas y diferencias de los objetos que

serán descritos, analizados y que dan inicio a los razonamientos.

Por otra parte se tiene la elaboración y aplicación de modelos que se constituye en la

segunda competencia que resalta la relación entre la realidad y la operación matemática.

Esto significa que el conocimiento previo de modelos quedan grabados en la mente de los

estudiantes, quienes deben aplicarlos a situaciones nuevas previo análisis de las semejanzas

y diferencias existentes.

La resolución de problemas matemáticos como la tercera competencia, considera la

posibilidad de que cada estudiante aplique distintas alternativas para resolver un problema.

En ese intento de resolución se dan subprocesos donde se ensaya, construye y reconstruye

nuevas respuestas que ayuden a alcanzar una solución adecuada.

La cuarta competencia se basa en la comunicación de las ideas donde debe resaltar el

dominio del lenguaje no solamente el común sino el lenguaje técnico ya que no debe

olvidarse que se trata de una expresión matemáticas donde los signos y los símbolos son las

características predominantes.

La quinta competencia se traduce en el sentido numérico porque debe establecerse

diferentes relaciones donde cada elemento tiene un significado acorde a su ubicación en la

40

fila correspondiente. El reconocimiento, la comprensión y aplicación del cero juega un

papel importante en dicho sentido común.

2.3.1.4 Estrategias del razonamiento lógico matemático

Según Lujambio (2011, p. 15-20) las estrategias para desarrollar el razonamiento lógico

matemático deben resaltar principalmente la comprensión lectora porque el estudiante debe

relacionarse con el enunciado que se plantea en el problema.

De esta manera, los profesores en sus clases deben fomentar la lectura constante y resolver

problemas del tipo ensayo ya que exige la utilización de la heurística, la cual debe

entenderse como la estrategia que es sinónimo de creatividad, sin dejar de lado las fórmulas

u operaciones matemáticas que refieren al memorismo. Es decir, existe una conjunción

entre creatividad y memorismo.

Por otra parte está la capacidad matematizadora que es necesaria desarrollar con la

representación de símbolos a partir de un enunciado en lenguaje común. Algunos autores

señalan que en esta etapa se da la traducción de un lenguaje a otro porque debe emplearse

una comunicación matemática propia de la ciencia en cuestión.

Seguidamente debe apuntarse hacia la capacidad investigadora que implica la revisión de

diferentes documentos bibliográficos que contengan datos matemáticos tanto teóricos como

prácticos porque el método científico tiene una secuencia lógica para dar conclusiones ya

que utiliza constantemente el razonamiento lógico.

Una vez ejercitadas las capacidades mencionadas debe proseguirse con la capacidad

problematizadora porque debe practicarse el planteamiento y resolución de preguntas de

este tipo ya que es necesario causar un “conflicto cognitivo” donde no sea ni muy fácil ni

muy difícil para que no exista desmotivación.

En esta etapa debe exigirse la argumentación lógica de las soluciones a los problemas

planteados, como por ejemplo: Todo número natural elevado a cero es igual a la unidad,

41

excepto el cero; o también cuando un número pasa al otro lado de la igualdad cambia de

signo. En el ejemplo mencionado se relaciona razonamiento y demostración.

Tanto el profesor como la profesora deben hacer practicar a sus estudiantes todo lo

aprendido, ya que la práctica constante creará un ambiente de confianza de los estudiantes

hacia los ejercicios o problemas matemáticos; razón por la cual, se aconseja que

semanalmente se realicen cinco ejercicios de razonamiento lógico matemático.

2.3.1.5 Estrategia de las tres columnas en base al método de Polya

El método Polya citado por González (2000) es utilizado en la resolución de problemas

donde elemento fundamental es el razonamiento lógico matemático; razón por la cual, se

menciona las cuatro etapas esenciales como se explica a continuación.

Primera etapa trata de la comprensión del problema que aunque parece algo obvio es una de

las más complejas ya que se debe entender cuál es el problema que se tiene que abordar,

esto debe estar muy claro porque es casi generalizado el divorcio que existe entre quien

formula el problema y quien resuelve dicho problema.

Así, esta primera etapa demanda que los/as estudiantes realicen ciertas acciones como:

- Lean el problema comprensivamente.

- Usen objetos para representarlos.

- Pregunten: ¿Cuáles son los datos? (lo que se conoce)

- ¿Cuáles son las incógnitas? (Lo que se busca)

- Encuentren la relación entre los datos y las incógnitas.

- Hagan esquemas o gráficos convenientes de la situación, para su

visualización.

- Comprendan, que se busca.

- Determinen las condiciones que soportan los datos mencionados en el

problema

- Construyan tablas de datos

42

- Busquen soluciones por aproximación.

Segunda etapa, una vez que se haya seguido paso a paso las exigencias de la primera etapa

debe pasarse al trazado del plan para resolver el problema y esto constituye la segunda

etapa donde hay que realizar un planteamiento de una manera lógica, flexible y recursiva,

alejada del mecanismo, ensayando diversas estrategias. Para ello, se debe responder a las

siguientes preguntas y realizar ciertas acciones.

- ¿Este problema es parecido a otros ya que se conoce?

- ¿Se puede plantear el problema de otra forma?

- Imaginar un problema parecido, pero de manera sencilla.

- Simplificar la situación, descomponiendo el problema en partes, según la

información.

- Suponer que el problema ya está resuelto; ¿Cómo se relaciona la

situación de llegada con la de partida?

- ¿Utilizan todos los datos cuando se hace el plan?

- Determinar estrategias auxiliares que requiere la solución.

- Aproximarse por el cálculo mental si es posible.

Tercera etapa, realizados los ensayos correspondientes para los diferentes planes diseñados

y que, por supuesto, hayan respondido las preguntas de la segunda etapa, toca ejecutar el

plan correspondiente, es decir, poner en práctica el plan tomando en cuenta que el

pensamiento no es lineal y que debe avanzarse y retrocederse ya que el diseño puede variar

al ponerlo en práctica.

- Al ejecutar el plan se debe comprobar cada uno de los pasos

desarrollados.

- ¿Se puede ver claramente que cada paso es correcto?

- Antes de hacer algo se debe pensar ¿Qué se consigue con esto?

- Se debe acompañar cada operación matemática con una explicación,

comentando lo que se hace.

43

- Cuando se tropieza con alguna dificultad que nos deja bloqueados, se

debe volver al principio, reordenar las ideas y probar de nuevo.

- ¿Cuál fue la estrategia usada?

Cuarta etapa contempla la comprobación de los resultados, lo cual se constituye en algo

importante porque supone la confrontación con el contexto del resultado obtenido por el

modelo del problema resuelto y su contraste con la realidad que se quería resolver. Para

determinar si la solución encontrada es correcta o no, se debe seguir los siguientes pasos.

- Leer de nuevo el enunciado y comparar si lo que se pedía se ha

averiguado.

- Fijarse en la solución. ¿Parece lógicamente posible? ¿Tiene sentido?

- ¿Se puede comprobar la solución?

- ¿Hay algún otro modo de resolver el problema?

- ¿Se puede hallar alguna otra solución?

- Sintetizar la solución a través de una explicación que indique claramente

lo que se ha hallado.

- Se debe utilizar el resultado obtenido y el proceso seguido para formular

y plantear nuevos problemas.

- Hacer un proceso de reflexión

Tras la descripción detallada del método Polya en sus cuatro etapas, se observa que el

mismo es completo y lógico porque cada etapa no solamente explica lo que contiene cada

etapa sino que formular una serie de preguntas que coadyuvan a comprobar si dicha etapa

fue realizada correctamente o también se puede detectar algún error.

Una vez concluida la explicación del método Polya, se continúa con la explicación de la

estrategia de las tres columnas que consiste en construir un cuadro con tres columnas donde

se insertan datos que provienen del enunciado de un determinado problema.

44

Así, la primera columna lleva el título de datos que son extraídos del enunciado que se

encuentra en un lenguaje común y que debe ser traducido al lenguaje matemático. Para ello,

el estudiante debe estar familiarizado con el mismo.

La segunda columna lleva el título de operación que como su nombre indica son las

operaciones que deben realizarse según la exigencia del problema. En esta columna se

aplican tanto operaciones matemáticas como lógicas para determinar la respuesta o

solucionar el problema.

La última columna se titula respuesta y muestra la solución pero la misma no debe

entenderse como un número frío y desligado del contexto sino por el contrario debe

responderse según lo que plantea el problema, el cual refiere a un contexto determinado. Es

decir, la mayoría de los estudiantes piensan que cuando encuentran la fracción termina su

trabajo sin embargo esto es un error porque deben responder a aquello que se desconoce.

Así, si la pregunta señalara ¿Cuánto queda de queso? La respuesta será queda ½ queso y no

solamente escribir ½.

2.3.2 Importancia del razonamiento lógico matemático

La importancia del razonamiento lógico matemático es que se desarrolla aquella capacidad

que ayuda a relacionar los objetos a través de la experiencia directa lo cual favorece en la

organización del pensamiento, según destaca Rigal (2006, p. 307). Para ello, los problemas

matemáticos que se plantean en la asignatura de matemática son adecuados para este tipo

de razonamiento.

Así, los profesores y las profesoras deben planificar diferentes actividades como: juegos,

elaboración de proyectos y actividades que exijan a los/as estudiantes desarrollar un

pensamiento diferente a través de la observación, exploración, comparación, clasificación,

seriación, medición y otros, sobre diferentes hechos porque les ayuda a organizar su

pensamiento en diferentes grados que a su vez “dependen de la construcción de nociones

lógicas” (Cofre y Tapia, 2008, p. 29).

45

Resaltan Díaz y García (2004, p. 63) “que el alumno piense sobre cualquier actividad

matemática” ya que debe recordarse que el conocimiento y comprensión de las matemáticas

elementales está en función de la construcción de las nociones lógicas (contar, leer y

escribir números, realizar cálculos aritméticos, razonar y resolver problemas) donde el

medio y las experiencias previas juegan un rol determinante.

Entonces, el razonamiento lógico matemático es sumamente importante porque ayuda en el

desarrollo de las capacidades de las personas y para ello, la matemática y sus contenidos

deben orientarse a fortalecer tal objetivo a través de la realización de diferentes trabajos o

prácticas donde los/as estudiantes piensen en estrategias o formas para elaborarlas.

En esta perspectiva, el rol de los/as profesores/as es fundamental ya que son ellos/as

quienes deben guiar a los/as estudiantes en cada práctica dejando que creen formas de

solución o planteamientos, donde no exista la imposición de contenidos sino mas bien la

modificación de ellos según las necesidades de los/as estudiantes.

2.3.3 Componentes del razonamiento lógico matemático

Según Castañón (2010) los componentes del razonamiento lógico matemático son:

- Autorregulación, trata del obedecimiento a una petición, del inicio o conclusión de

alguna actividad según la situación, de los actos verbales, en otras palabras se está

hablando de la exigencia del comportamiento socialmente aprobado, por tanto, requiere

control en todos los aspectos.

- Números, diferentes teorías señalan que no se puede enseñar el conteo y la aritmética de

manera directa ya que primero deben desarrollar requisitos lógicos, algunos surgieron

primero las definiciones teóricos, significados, para fusionar con la práctica. Si bien este

es un trabajo individual, no puede dudarse que favorece la transmisión social.

- Asumir roles, abarca tres dimensiones: física, psicológica y social. En la primera la

percepción dependerá de la propia perspectiva del individuo, en la segunda depende de la

actitud y de las creencias, incluso el aprendizaje puede depender de los sentimientos

46

personales y de las experiencias anteriores; finalmente, en lo social es necesario conocer

especialmente la perspectiva de otra persona y ponerse en su lugar.

- Clasificación, los teóricos definen la clasificación como una agrupación jerárquica que se

realiza según la clase; razón por la cual, se está tratando de la formación de clases según

ciertas características de los elementos que se pretendan agrupar. Por lo tanto, cuando se

habla de características se entiende como lo más sobresaliente.

- Secuencia y patrón, el primero refiere a ordenar un conjunto de objetos o eventos que

ocurren a través del tiempo en forma sucesiva o lineal, es decir, una cosa viene después

de otros según un orden establecido y que puede predecirse, mientras que el segundo

concepto habla de una serie ordenada de elementos que se repiten conforme a la regla de

alternar los mismos uno por uno, según los turnos y variando una de sus dimensiones

(forma, color, tamaño).

- Distinción de símbolos, se basa en las características distintivas ya que a pesar que un

elemento puede formar parte de un grupo existen características propias porque no

pueden existir dos objetos idénticos a pesar de ser una misma clase. Es justamente, la

distinción que debe resaltarse.

Los componentes de autorregulación, concepto de número, comparación, asumiendo roles,

clasificación, secuencia y patrón y distinción de símbolos, desarrollan en las personas

determinadas funciones cognitivas que se activan según el tipo de relación que se

establecen con los objetos del mundo exterior.

2.3.4 Condiciones del razonamiento lógico matemático

Para desarrollar el razonamiento lógico matemático deben crearse situaciones que exijan a

los/as estudiantes a utilizar todo su potencial, es decir, dejar a los/as estudiantes que piensen

en operaciones matemáticas diferentes, tal cual lo señalaba Díaz y García (2004, p. 63), con

la finalidad de dar paso a su creatividad.

Así, estas condiciones, generalmente, deben estar a cargo de los profesores y las profesoras

quienes, también, deben entender que es un proceso que se desarrolla paso a paso,

47

comenzando por “crear situaciones, primeramente, sencillas y posteriormente más

complejas”, como lo afirma Castañón (2010).

Por tanto, las condiciones se van creando desde los primeros años de estudio donde debe

optarse por contenidos que fusionen teoría y práctica, donde se visualice a estudiantes

analíticos y críticos dejando de lado aquella pasividad que, en su mayoría, es un legado de

las generaciones pasadas que fueron sometidas a la educación bancaria denominada así por

Freire citado en Beltrán (2001, p. 15), donde “los banqueros que eran los profesores y las

profesoras, quienes depositaban ‘su conocimiento’ según lo que creían y querían en sus

estudiantes para que a futuro respondan acorde a lo depositado”.

Es justamente, la ciencia de la matemática que favorece y crea las condiciones necesarias

para el razonamiento lógico matemático cuyos problemas matemáticos elevan a diferentes

niveles de abstracción pero sujetos a situaciones reales que no son indiferentes a los/as

estudiantes, a quienes se les debe hacer entender el gran valor que esconden la resolución

de problemas matemáticos.

2.4 Los problemas

Un problema se entiende como una situación que crea conflicto o alguna otra dificultad y

por tanto, debe buscarse una solución que se convierta en una respuesta correcta. Al

respecto, el autor Polya señala que “tener un problema significa buscar de forma consciente

una acción apropiada para lograr un objetivo claramente concebido pero no alcanzable de

forma inmediata” (Polya citado por García, 2001, p. 6).

Lo interesante de los problemas no es su solución sino más bien el modo en que se llegó a

solucionar ya que se necesita conocimientos matemáticos y heurísticos para resolverlos. Por

tanto, los/as estudiantes deben aplicar los conocimientos adquiridos en sus diferentes clases

y luego aplicar los que fueren necesarios.

Un problema lo es en la medida en que el sujeto al que se le plantea (o que se

plantea él mismo) dispone de los elementos para comprender la situación que el

48

problema describe y no dispone de un sistema de respuestas totalmente constituido

que le permita responder de manera inmediata (Parra, 1990, p. 22).

Por tanto, un problema se entiende como aquello que se presenta al estudiante y éste no

puede resolverlo y a pesar de aplicar sus conocimientos no pueda encontrar respuestas que

le ayuden a comprender lo que se plantea en dicho enunciado, lo cual le llevará a recurrir

tanto a sus capacidades como habilidades.

Martínez (2000, p. 45) indica que “es una situación en la que a partir de un cierto estado de

cosas inicial se trata de alcanzar una meta identificando y aplicando el único procedimiento

adecuado o seleccionando uno entre varios posibles”. Esta definición resalta principio y

final donde se toma en cuenta el medio que vendría ser el procedimiento.

El concepto de problema destaca la situación que crea incertidumbre al no poderla resolver

y ello se convierte en un reto para las personas, ya que buscan todos los medios a su

alcance como también los modos que logren dar una respuesta a dicha problemática y así

responder inmediatamente.

2.4.1 Tipos de problemas

Al existir diferentes autores que han tratado de explicar los tipos de problemas se ha

generado diversas clasificaciones; razón por la cual, se toma la propuesta de Mialaret

(1986) como se explica a continuación:

- Problemas por etapas, se caracteriza por su resolución ya que para consolidar la misma

debe aplicarse más de una operación y son cada una de éstas las que constituyen una

etapa que si bien parecieran individuales al final constituyen un todo cuyas etapas se

encuentran interrelacionadas.

- Problemas de situación problemática, como su nombre indica debe recurrirse a la

situación problemática para encontrar la solución; razón por la cual, los/as estudiantes

deben elaborar estrategias de solución donde la creatividad es la que debe primar y

consolidar la respuesta.

49

- Problemas incompletos o de soluciones múltiples, cuya característica se centra en los

datos ya que a partir de los mismos se pueden resolver varios problemas, lo cual permite

la creación de nuevos problemas pero con la misma información proporcionada que

ameritarán diversos métodos.

- Por el contenido que está involucrado, refiere a una tipología según los problemas

planteados, como: problemas de geometría, problemas con fracciones, problemas de

pensamiento divergente, problemas de operación aritmética, problemas de medición,

además de otros.

- Por características propias de los problemas, donde resaltan aquellos problemas que

no cuentan con los datos necesarios para su resolución, lo que permite a los/as estudiantes

la identificación y búsqueda de datos faltantes para encontrar la solución requerida como

también de los procedimientos necesarios.

Estos tipos de problemas se caracterizan por el contenido y la forma de abordarlos, ya que

en muchos de ellos se aplican varias operaciones más que en otros donde resaltan los datos

presentados, a partir de los cuales puedan plantearse otros problemas que requieran

solución.

Otros tipos de problemas que destaca González (2000, p. 5) son: “problemas de enunciado

verbal, problemas de razonamiento lógico, problemas ligados a juegos y pasatiempos”,

como se explica cada uno a continuación. Así, dentro de los problemas de enunciado verbal

se tiene una subdivisión que engloba a tres subtipos: problemas aritméticos, geométricos,

de azar y probabilidad, cada uno con características propias.

- Los problemas aritméticos cuyo enunciado destaca relaciones cuantitativas entre datos

numéricos y su resolución requiere operaciones aritméticas. En este tipo de problemas se

engloba los de medidas y sistema métrico decimal. En este tipo de problemas se

enmarcan los tratados en esta investigación.

50

- Problemas geométricos se orientan a la geometría que estudia las propiedades y las

medidas de las figuras en el plano o en el espacio, razón por la cual, se trabajan

contenidos y conceptos geométricos. Asimismo, se utiliza sistema de coordenadas y

métodos del análisis matemático.

- Problemas de azar y probabilidad se caracterizan por plantear diversas situaciones

mediante la utilización de juegos de azar, votaciones, fenómenos reales, frecuencias y

otros. En el caso de las frecuencias las mismas se representan en porcentajes que pueden

ser graficados.

González (2000, p. 6) prosigue y refiere a los problemas de razonamiento lógico donde

pueden o no existir enunciados verbales, como “el razonamiento inductivo, análisis de

proposiciones: utilización precisa del lenguaje si sumo dos números impares el resultado es

par ¿verdadero?”. Además de las demostraciones y justificaciones.

Asimismo, González (2000, p. 6) indica “los problemas ligados a juegos y pasatiempos

donde ingresan los con o sin enunciado verbal”. Estos juegos destacan ya que la aparición

de problemas y ejercicios mentales favorecen la aplicación del conocimiento matemático

adquirido y estimula la búsqueda de estrategias que desarrollan la inteligencia.

Estos tipos de problemas destacan por incluir problemas de razonamiento lógico donde

convergen los tipos de razonamiento ya que se toma en cuenta el inductivo, el deductivo a

través de la aplicación de proposiciones y las justificaciones que se sustentarían en las

argumentaciones que son construidas en base a razonamientos.

2.4.2 Elementos o componentes de los problemas

Guzmán y Alonzo citados por Carmona y Jaramillo señalan que en un problema, tratándose

de fracciones, intervienen tres términos que son “un número natural que representa una

parte del todo (P), otro número natural que representa el todo (T) y una fracción (f)” (2010,

p. 15). Así, en cada problema necesariamente deben existir por lo menos dos términos para

establecer, entre ellos,  la correspondiente relación y hallar un tercero o según se señale en

el problema.

51

Para Herreros (2006, p. 2) un problema tiene cuatro componentes: “las metas, los datos, las

restricciones y los métodos”. El primero refiere a lo que se desea lograr en una situación, el

segundo son los elementos, la información conocida por los/as estudiantes, las restricciones

se traducen en aquellos factores que limitan la resolución del mismo y los métodos son las

operaciones que pueden utilizarse para resolver el problema planteado.

Los componentes nombrados destacan por ser generales pero muestran su importancia ya

que presentan lo fundamental que se traduce en los métodos que son las operaciones

matemáticas a ser aplicadas y los datos conocidos o la información disponible para que el

estudiante resuelva el problema.

Por su parte, Mucha (2009, p. 27) presenta como componentes de un problema matemático:

“los datos, incógnita y la condición”. El primero se incluye en el enunciado, la incógnita es

la parte del problema que se requiere determinar, lo cual se logra resolviendo el problema y

finalmente la condición que es el nexo entre los datos y la incógnita.

Las propuestas presentadas sobre los elementos o componentes del problema destacan por

los datos incluidos en el enunciado donde implícitamente se incluyen las operaciones

matemáticas necesarias para resolver el mismo, es decir, los métodos o las formas

requeridas.

2.4.3 Los problemas en la enseñanza

La matemática se enriquece con el planteamiento de problemas ya que induce a los/as

estudiantes a pensar, a aplicar todos sus conocimientos matemáticos y heurísticos y con ello

se logre un aprendizaje significativo que no sólo se plasme en la teoría sino que se fusione a

la práctica. “aprender matemáticas es hacer matemáticas y los problemas de matemáticas es

uno de los campos por excelencia del aprendizaje matemático” (González, 2000, p. 3).

Por lo expuesto, los problemas incentivan la creatividad de los/as estudiantes porque

indirectamente les exige el planteamiento de soluciones atractivas, donde se describan todas

52

las conexiones posibles y cuyos procedimientos favorezcan a la formación del proceso del

pensamiento individual y colectivo.

La enseñanza problemática concibe el conocimiento como un proceso en el cual se

desarrollan formas de pensamiento, es decir, formas de realidad y en el que

interviene y se desarrolla la creatividad. En este proceso se propone al alumno

situaciones problemáticas que lo conduzcan a la construcción del conocimiento y al

desarrollo de sus habilidades de pensamiento básicas y superiores, en lugar de

mecanización (Llantada y Majimutov citado por Ortiz, 1986, p.101).

De esta manera, es necesario recordar que cada persona cuando no puede resolver algún

problema con los conocimientos que dispone tiende a buscar otros nuevos. Por ello, en el

proceso del pensamiento no solamente se aplica lo que se sabe o conoce sino que por la

exigencia misma se van formando otros conocimientos y procedimientos.

Garret citado por Núñez (2008) añade que la enseñanza problemática es identificada como

una actividad importante para las ciencias y para la vida diaria porque ayuda a los/as

estudiantes a desarrollar sus habilidades operacionales formales, el pensamiento

proporcional y el pensamiento lógico-deductivo.

Bajo esta perspectiva, el planteamiento de problemas se constituye en el corazón de las

matemáticas ya que en su resolución convergen diversas habilidades que ayudan al

crecimiento intelectual de las personas porque aplican y crean métodos que satisfagan la

problemática en busca de una solución satisfactoria.

2.4.4 Resolución de problemas

La resolución de problemas conforma un grupo muy importantes para la enseñanza de la

matemática y como se puede evidenciar para llegar a la misma, los/as estudiantes deben

comprender desde las nociones básicas, noción de número, operaciones, símbolos de dichas

operaciones, además de otros.

53

La enseñanza activa debe basarse en presentar a los/as estudiantes situaciones

problemáticas, de modo que susciten su interés y se sienta motivado a buscar los

medios para estudiarlas y resolverlas… La resolución de problemas es instrumento

de aplicación de los conceptos aprendidos en situaciones de la vida real (Díaz y

García, 2004, p. 58).

Es que la resolución de problemas se ha convertido en el objetivo de la enseñanza de la

matemática, ya que no sólo los/as estudiantes deben entender que los números son para

ejercicios de colegio, o ejemplificar con materiales concretos sino deben llevar más allá su

conocimiento, es decir, aplicar a los problemas de la vida cotidiana.

Por lo tanto, los problemas planteados pueden ser simples o complejos, pueden presentar

datos completos o incompletos, tener una o más formas de solucionarlos, en estos casos se

demuestra que la matemática se aplica a diversas situaciones y por tanto puede tomar

diversas formas.

La introducción de problemas no debe aplazarse hasta que se haya dominado las técnicas

formales básicas, sino que deben integrarse desde el principio para que ello no genere

dificultades….Los problemas seleccionados deben comenzar con enunciados sencillos

(Díaz y García, 2004, p. 60).

Si en las anteriores operaciones se requería un procedimiento más aún en la resolución de

problemas ya que debe existir una decodificación del enunciado o problema para que exista

una representación mental u operación que debe ser traducida al lenguaje matemático en

busca de su solución.

Es claro que la resolución de problemas se entiende como el paso de un extremo a otro,

donde uno se llama problema y la otra solución o problema resuelto. Ahora, ese puente que

une a ambos o que los separa es, justamente, la operación mental que los/as estudiantes

deben realizar.

54

Un claro ejemplo de ello es “que cuando uno tiene que subir al piso 5 tiene dos opciones:

utiliza las gradas o el ascensor, en ambos casos se sube 1er piso, 2do piso, etc., hasta llegar

al piso 5to”, es una secuencia donde se respeta el orden y el mismo guarda cierta lógica ya

que no puede llegarse al 5to piso sin pasar por los otros.

Si bien no existe una receta mágica aplicable a todos los problemas, ya que todos son

diferentes, si existen procedimientos que pueden seguirse, lo cual se resume en cuatro

pasos: “Traducción del problema, integración del problema, planificación de la ejecución y

la ejecución misma” (Núñez, 2008, p. 3).

De esta manera, según Núñez (2008) los cuatro pasos a seguir en la resolución de

problemas se explican a continuación:

- Primer paso. Todo problema se sustenta en conceptos de otros autores, en este caso tal

vez del propio profesor o extraído de algún libro, que elaboran los mismos en base a

problemas que ellos han enfrentado o han sido creados para un fin educativo. Justamente,

las dificultades se inician en esta primera y esencial etapa donde el estudiante debe

entender esos conceptos del problema y posteriormente traducirlos a proposiciones o a un

lenguaje matemático. Entonces, debe comprenderse qué plantea el problema.

- Segundo paso. Ahora, cuando se habla de integración del problema se entiende como

una representación coherente de las proposiciones traducidas. Aquí surge la manera cómo

el alumno ha entendido dicho problema, esto significa la forma que utiliza para

solucionarlo, tal vez a partir de una suma, resta, potenciación o cualquier otra operación

que amerite aplicar a las proposiciones.

- Tercer paso. Cuando se habla de la planificación de la solución, es como un plan, una

estrategia que indique las actividades o pasos a seguir. Generalmente, lo que hacen

muchos/as estudiantes es buscar problemas parecidos, es decir, planificación similar que

les evita mayores problemas.

- Cuarto paso. El último paso consiste en encontrar la solución tras realizar diferentes

operaciones y esta última fase es la que puede verificar si el plan o estrategia aplicada ha

55

sido la correcta. En este paso puede considerarse la denominada verificación que se

realiza mediante la sustitución de los datos encontrados en el problema planteado.

Muchas veces, los/as estudiantes suponen que si aplican ‘al pie de la letra’ una regla van a

llegar a la respuesta o solución correcta, sin embargo deben tener en cuenta que a pesar de

que dos problemas sean similares pueden tener diversas formas de resolverlo, es decir,

métodos. Además de que cada situación planteada requiere de ciertas operaciones

matemáticas.

2.5 Área de la matemática

Para Quezada citado en González y Paniagua (2010, p. 32) la matemática “es el estudio de

las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas

utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas”.

Este concepto dista mucho del utilizado en el pasado donde solamente se la consideraba

como ciencia de la cantidad (magnitudes y número o a la generalización de ambos); sin

embargo, con la llegada del siglo XIX se la calificó como la ciencia de las relaciones o que

produce condiciones necesarias.

Por otra parte, existen definiciones que resaltan las cualidades de la matemática:

Las matemáticas son muchas cosas a la vez. Son una ciencia, un lenguaje, un arte

(sí, sin duda) un método para pensar y conocer…Son un lenguaje, el lenguaje de la

ciencia y de la tecnología. Un poderosísimo lenguaje que ayuda a pensar

rigurosamente porque obliga a precisar y delimitar exactamente el ámbito de validez

de sus conclusiones (Cartagena, 2002, p. 9).

En palabras de Arranz (2005, p. 9), la matemática es un “lenguaje que se utiliza en distintas

áreas por su precisión y rigurosidad” que exigen bastante dedicación de la persona ya que

conllevan un valor cultural que se transmite desde el pasado donde las civilizaciones

antiguas como los egipcios y los sumerios dieron sus mejores aportes.

56

Históricamente la matemática nació como una ciencia natural que se ocupaba de los

problemas cuantitativos del mundo sensible y con la evolución de la civilización humana se

fue convirtiendo en una disciplina cada vez más abstracta.

Este motivo ha dado lugar a que la definición de “la palabra matemática se constituyera en

indescifrables desatinos”, por la dificultad de alcanzar unanimidad en las opiniones

expresadas, tal como lo explica Quezada citado en González y Paniagua (2010. p. 16-41).

Por tanto, la ciencia de la matemática y el contenido de la misma que se enseñaza a los/as

estudiantes está orientado a la transmisión de la cultura basada en las cantidades, números,

en sí en los problemas cuantitativos que exigen dedicación y por sobre todo la aplicación

del razonamiento y la lógica.

2.5.1 Componentes del área de la matemática

El área de la matemática, en el nivel primario, está organizado en tres componentes cuyo

orden de representación no supone una secuencia de enseñanza, ya que se los trabaja de

manera interrelacionada y según las experiencias que tienen los niños y las niñas en su vida

cotidiana. Según Urioste citado por Huayllani (2006) estos componentes son:

- Número y operación que enfatiza el estudio acerca de la naturaleza de los conjuntos

numéricos, sus formas de representación son las propiedades que les caracterizan y sus

operaciones.

- Espacialidad y geometría que posibilita al niño describir y representar la realidad,

sistematizar las relaciones y propiedades que se establecen entre los objetos y sus formas

geométricos mediante la modelización.

- Medida, que posibilita la convergencia natural del número, la geometría y el entorno

físico, además, este componente se desarrolla paralelamente a la numeración porque la

medida siempre requiere ser cuantificada.

57

Los componentes presentados no son una secuencia lineal sino que existe una estrecha

interrelación entre los mismos porque primero se comienza con la enseñanza de conceptos

teóricos que a pesar de ser considerado, para algunos, no relevante es necesario que se

entienda cada término que posteriormente serán incluidos en la resolución de problemas.

2.5.2 Ramas de la matemática

En base a las explicaciones del Prof. Orellana (2002, p. 46-48) las ramas de la matemáticas

son: “Aritmética, Algebra, Geometría plana y del espacio, Geometría analítica, Lógica,

Probabilidad, Estadística, Cálculo, Conjuntos y Matemática aplicada”.

- La Aritmética etimológicamente significa habilidad con los números y su definición

indica que es el estudio de los números y las situaciones modeladas por ellos. Encierra

diferentes temas como conjuntos numéricos, clasificación de números, sistemas de

numeración, las cuatro operaciones (suma, resta, división y multiplicación), sus

correspondientes propiedades y la teoría de los números.

- El Algebra es otra rama de la matemática que estudia las cantidades generales, en otras

palabras es una ampliación a los estudios realizados por la aritmética y por supuesto,

basado en ella.

Por ello, se considera al Algebra como una rama esencial por su nivel de abstracción

porque trata del manejo de “expresiones simbólicas, combinadas por operaciones de

suma, resta, diferencia, producto y cociente que da lugar a expresiones algebraicas”.

- La Geometría plana y del espacio centra su estudio en las figuras y sus propiedades,

basándose en las mediciones y caracterizaciones de sus partes a través de la construcción.

La enseñanza de la misma se basa en la explicación de conceptos previos, postulados de

la geometría plana, segmento, ángulo, medidas de ángulo, tipos de ángulo, rectas

perpendiculares, triángulos, rectas notables de triángulo, polígonos y otros.

- La Geometría analítica es otra rama que estudia las curvas y sus propiedades a través de

su caracterización algebraica correspondiente en un plano o espacio cartesiano. Por su

58

parte, la Lógica es una rama que estudia los valores de verdad de situaciones y sus

equivalencias. Es considerada la base para el pensamiento matemático.

- La Probabilidad estudia el orden del azar ya que busca de cierta manera expresar de

forma numérica las posibilidades de ocurrencia de un evento en que está envuelto el azar,

esto significa según la casualidad. Asimismo, se centra en sus propiedades y

complementa con teoría de conjuntos.

- La Estadística, generalmente, coadyuva en la investigación ya que por sí misma estudia

la recolección, análisis e interpretación de datos numéricos. Generalmente, la estadística

es utilizada en investigaciones cuantitativas donde se trata de obtener la mayor

objetividad posible en los resultados.

- El Cálculo estudia las funciones y las consecuencias de los cambios en ellas, mientras

que los Conjuntos, si bien muchos no lo consideran una rama, debe entenderse que los

mismos no solamente se constituyen en base para la aritmética sino que concluye en

situaciones tan complejas como las estructuras algebraicas.

- La Matemática aplicada se constituye en un resumen de las demás ramas porque refiere

a todos los métodos y herramientas matemáticas que pueden ser utilizados en el análisis

o solución de problemas pertenecientes al área de las ciencias aplicadas o a las ciencias

sociales.

A partir de la anterior explicación se deduce que las ramas de la matemática son un tipo de

división o categoría que conforma dicha ciencia, tomándose como referencia la ciencia

madre o macro. En consecuencia, las presentadas en anteriores párrafos sirven de referencia

ya que debe entenderse que muchos autores han realizado otras subdivisiones en base a las

existentes lo cual da lugar a que no exista una barrera entre ambas, por el contrario se

interrelacionan.

2.5.3 Objetivos de la enseñanza de la matemática

59

La enseñanza de las matemáticas ha estado a menudo muy determinada, no solo por

la estructura interna del conocimiento matemático, sino también por objetivos de

desarrollo intelectual general: se destacaba que las Matemáticas contribuyen al

desarrollo de capacidades cognitivas abstractas y formales, de razonamiento,

abstracción, deducción, reflexión y análisis (Ministerio de Educación y Ciencia,

1999, p. 14).

Por tanto, uno de los objetivos de la matemática es el pensar con lógica y precisión porque

proporciona al estudiante tanto orden como disciplina; lo cual ha sido comprobado en

términos psicológicos ya que se señala que a través de la matemática se estructura

razonamientos lógicos en el individuo.

Godino (2003, p. 89) analiza las razones que refuerzan la enseñanza de la matemática,

comenzando por “destacar las competencias numéricas, geométricas, estadísticas y de

medida; la aplicación de la misma a la vida profesional; la formación de un razonamiento

crítico basado en la objetividad”, además de otros.

Así, la matemática es muy importante ya que está presente en todo lo que rodea a las

personas y gracias a ella se han logrado muchos descubrimientos científicos de valor

incalculable. Sin embargo, no sólo está en lo científico sino también en la vida cotidiana ya

que sin ella no se podrían realizar algunas estimaciones de tiempo, distancia, velocidad,

cantidad, capacidad entre las muchas que a diario se realizan.

2.5.4 Problemas de enseñanza

Según Ocaña (2010) los problemas de enseñanza son varios y provienen de diferentes

fuentes como se demuestra a continuación:

Para entender los problemas de la enseñanza de la matemática se debe comenzar por

analizar el tipo de paradigma que se utiliza en clases, generalmente destaca el tradicional

donde el docente se convierte en transmisor de conocimientos y el estudiante es el simple

receptor, es decir, existe unidireccionalidad, verticalidad que dan lugar a una pasividad

extrema de los/as estudiantes.

60

Por otra parte, se tiene que cada profesor/a tiene un método propio de enseñanza que

desarrolla en sus clases y el mismo es considerado como apropiado; sin embargo, muchas

veces no se toma en cuenta que el curso no es homogéneo y ello no se refiere a la

apariencia física sino a los estilos de aprendizaje de los/as estudiantes.

Esta falencia transforma en estudiantes pasivos y muchas veces indisciplinados que por

falta de comprensión buscan formas de expresar sus sentimientos. Por tanto, debe

recordarse que el grupo de estudiantes con quienes se trabaja puede estar conformado por

“estilos de aprendizaje diferentes como: auditivos, visuales y kinestésico”.

Por tanto, un visual requiere de imágenes para comprender, un auditivo debe escuchar la

explicación mientras que un/a kinestésico/a se basa en que la información se procesa

asociándola a las sensaciones y movimientos del cuerpo.

Muchos profesores comentan que cuando corrigen los ejercicios de sus estudiantes notan

físicamente si algo está mal o bien, o que las faltas de ortografía les molesta y lo expresan

de forma física.

Otro problema en la enseñanza es el nivel de conocimiento del docente sobre la matemática

ya que muchos si bien han estudiado en diferentes instituciones no tienen conocimientos

profundos o no actualizan los mismos y esto no ayuda a despejar las dudas de los/as

estudiantes, generando en ellos/as más incertidumbre respecto a los temas avanzados.

En base a las explicaciones vertidas, otro problema proveniente de la enseñanza es la forma

de evaluar a los/as estudiantes ya que no se toma en cuenta estos tipos de aprendizaje y ello

genera que muchos opten por un solo tipo de evaluación donde se miden ciertos conceptos

y los procedimientos enseñados.

Como se pudo verificar, los problemas de la enseñanza de la matemática también se

constituyen en un obstáculo para el aprendizaje de dichos contenidos, ya que éstos deben

ser compartidos utilizando un lenguaje sencillo y sin ambigüedades ya que las primeras

61

clases, que generalmente son teóricas, se constituyen en los pilares del resto de temas de

avance para los/as estudiantes.

Por su parte, Ruiz (2008) señala como problemas de enseñanza-aprendizaje de las

matemáticas, a: la competencia del profesor de matemáticas donde existe solo transmisión

de contenidos; el trabajo diferenciado con los estudiantes donde no se toma en cuenta las

características psicológicas correspondientes a los/as estudiantes; contextualización de la

matemática ya que debe orientarse a la adquisición de competencias; el contenido

matemático como un todo donde exista la conformación de un sistema interrelacionado.

Esta propuesta ratifica que los problemas inmersos en el proceso de enseñanza-aprendizaje

de la matemática y en si de toda ciencia, toma en cuenta factores que proceden de ambas

partes ya que no debe olvidarse que en dicho proceso intervienen profesores y estudiantes,

sin dejar de lado también lo que surge de la misma ciencia.

2.5.5 Enfoque de la enseñanza

Debe entenderse que “la matemática no solamente son números y operaciones sino también

una forma de producir y de hacer pensar” a los/as estudiantes, tal como lo señalan Llantada

y Majimutov en Ortiz (1986, p. 101) razón por la cual, el análisis de las respuestas

individuales deben ser compartidas con el resto del grupo, tratando de crear un ambiente

placentero de discusión matemática con miras a lograr la mejor respuesta a la problemática

y/o ejercicio planteados.

Así, se rescatará no sólo las mejores respuestas sino también los métodos o esas

operaciones mentales “que desarrollan sus habilidades operacionales formales, el

pensamiento proporcional y el pensamiento lógico-deductivo” Garret citado por Núñez

(2008, p. 56) y que ayudan a llegar a los resultados obtenidos.

Todo ello ayuda a entender la forma en que cada estudiante aplica las reglas matemáticas

ya que todo ello es un proceso creativo que si se lo maneja correctamente puede dar lugar a

varias opciones para llegar a un mismo fin.

62

La simbolización de un problema es un aprendizaje constructivo, por lo tanto

individual y distinto, en el cual cada uno utiliza sus propias estrategias. Así, la

incorporación de nuevas formas de resolución de problemas crea un conflicto con los

viejos conocimientos y por ello se tiene a rechazarlas … porque no existe una única

forma de resolver problemas (Bobo, 2009, p. 5).

En otras palabras, de lo que se trata es de dejar atrás lo tradicional y dar paso a algo nuevo

donde los/as profesores/as se conviertan en facilitadotes/as del proceso donde exista

horizontalidad que de lugar a la participación voluntaria de los/as estudiantes y donde

equivocarse no sea un ‘delito’ sino más bien un ‘pretexto’ para aprender más. Las

estrategias propias que surjan de los/as estudiantes no deben encerrarse en las aulas sino

compartirse con otros estudiantes de las nuevas generaciones.

2.6 Fracciones

El denominativo de fracción no puede atribuírsele a ningún autor en especial ya que la

misma era conocida por los babilonios, egipcios y griegos, es decir, civilizaciones

existentes antes de Cristo y de quienes la humanidad en su conjunto legaron muchos

conocimientos sistematizados en lo que hoy se conoce como ciencias.

Aunque, algunos señalan que en el siglo XII, Juan de Luna realizó la traducción del libro

Aritmética de Al’Khwarizmi donde se mencionaba la palabra árabe al-kasr, misma que se

tradujo al latín como fractio que significa quebrar, romper, como lo confirma Corbalán en

su siguiente cita.

Corbalán señala que el término fracción es de “origen latino, viene de fraction = división,

fractura o rotura. Fue usada por primera vez por Juan de Luna, en el siglo XII, cuando al

traducir el libro de Al’Khwarizmi utilizó fractio como traducción latina de al-kasr” (2007,

p. 151).

En la actualidad, existen diversas definiciones como la propuesta por Orellana, quien

conceptualiza la fracción como “aquel número que indica una o varias parte de un todo”

63

(2002, p. 11). En esencia esta definición viene a rescatar el significado etimológico de

división del todo.

En base a las explicaciones de Orellana, se entiende que la fracción surge de un todo, de

una unidad, una parte entera, misma que puede ser dividida o fracturada en tantas partes se

consideren y a pesar de ello, siguen relacionadas con el todo, ya que al agrupar nuevamente

las partes fraccionadas se obtiene el todo.

Una fracción es el cociente indicado de dos reales de la forma a/b si b 0 donde el

numerador (del latín numeratus, para contar) a indica el número de partes tomadas de

la unidad y el denominador (del latín denominatus, llamar por el nombre) b indica el

número de partes en que fue dividida la unidad. Una fracción es una comparación

entre dos cantidades, a la raya de la fracción se le llama razón (Jiménez, 2006, p. 60).

La última definición resalta por las palabras latinas rescatadas, de donde derivan los dos

términos de una fracción. La forma de los reales representada mediante símbolos como el

término razón que otorga a la raya de la fracción. Si bien ambas definiciones de los autores

mencionados difieren no sólo en extensión sino también en el contenido, debe resaltarse

que en esencia son iguales porque llegan a la misma conclusión para definir fracción.

2.6.1 Términos de una fracción

La palabra ‘términos’ debe entenderse como los elementos o aquellas partes que están

interrelacionadas en una expresión matemática como la fracción, la cual consta de dos

términos: Numerador y denominador.

Gutiérrez (2007, p. 14) señala que una fracción tiene la forma donde a y b son números

enteros y b 0. El número a es llamado numerador y b es el denominador. El número b (o

denominador) indica el número de partes en que se ha dividido la unidad y el número a (o

numerador) indica la cantidad de esas partes.

Figura Nº 2

64

Términos de una fracción

Fuente: Gutiérrez (2007, p. 14)

En el ejemplo propuesto por Gutiérrez (2007) se muestra una torta dividida en 4 partes, lo

cual representa al denominador, mientras que si se toma o come una parte de dicha torta

(numerador) se indica que es una de las partes que conforma el todo (torta), es decir, una

parte fraccionada.

Por su parte, Pastor explica que el numerador indica las partes seleccionadas de un todo o la

unidad, mientras que el denominador señala las partes en que se dividió esa unidad o ese

todo; sin embargo, “cuando el numerador es mayor que el denominador se divide en partes

iguales más de una unidad” (Pastor, 2010, p. 177), lo cual se muestra a continuación:

Figura Nº 3

Términos de una fracción

De esta manera, tanto numerador como denominador son los términos de una fracción, en

este caso y representados en las barras, respectivamente. Cabe resaltar que la

primera fracción es propia y la segunda es impropia, ambas conforman los tipos de

fracciones que existen.

En la propuesta de Cofré y Tapia se señala que toda fracción es un par ordenado de número

naturales, llamados numerador el antecedente del par y denominador el consecuente del

65

Numerador

Denominador

Numerador

Denominador

par. “Estos pares ordenados de la forma (a, b) con b 0 son elementos del producto

cartesiano” (Cofré y Tapia, 2008, p. 175). Se muestra un ejemplo:

Figura Nº 4

Términos de una fracción

(5, 7)

Fuente: Cofré y Tapia (2008, p. 175)

Por tanto, el denominador es el número que se escribe debajo la raya fraccionaria y el

mismo indica las partes en que se divide el todo, mientras que el numerador que está

ubicado encima de la raya es el que señala el número de partes que se considera o que se

toma.

2.6.2 Propiedades de las fracciones

Respecto a las propiedades de las fracciones, Aldape y Toral (2005) presentan la siguiente

explicación:

- Si se multiplica el numerador o se divide el denominador de una fracción por un número

entero, el valor de la fracción aumenta. Por ejemplo:

Multiplicar el numerador de la fracción propia por 2,

se obtiene la fracción impropia , donde éste es mayor que la otra fracción.

66

Numerador

Denominador

- Si se divide el numerador o se multiplica el denominador de una fracción por un número

entero, el valor de la fracción disminuye.

Dividir entre 3 el numerador de la fracción , se obtiene .

- Si se multiplican o dividen ambos términos de una fracción por la misma cantidad, no

cambia el valor de la fracción.

Los dos términos de la fracción multiplicar por 3, se obtiene : =

- Todas las fracciones que se obtienen multiplicando o dividiendo el numerador y

denominador de una fracción por el mismo número, son equivalentes, como en:

= = = = =

= = = = =

Cada una de las propiedades explicadas constituyen una base para las operaciones con

fracciones, especialmente, suma y resta ya que muestran en detalle lo que ocurre cuando se

multiplica o divide ya sea el numerador o denominador de una fracción o también cuando

ambos elementos de la fracción son sometidos a dichas operaciones.

Asimismo, se toma en cuenta las explicaciones de Méndez citado por Editorial Lexus

(2008) que propone cinco propiedades de las fracciones y las mismas se explican en los

siguientes párrafos cada una con su respectiva ejemplificación.

- Si al multiplicarse o dividirse tanto el numerador como el denominador por un mismo

número, la fracción no varía. Ejemplo: = = .

67

- De varias fracciones homogéneas, es mayor la que tiene mayor numerador. Ejemplo:

> > .

- De varias fracciones heterogéneas que tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene

menor denominador. Por ejemplo: > > .

- El m.c.m. de dos o más fracciones irreductibles es igual al m.c.m. de los numeradores

dividido entre el MCD de los denominadores. Por ejemplo: , , irreductibles:

m.c.m. = .

- El MCD de dos o más fracciones irreductibles es igual al MCD de los numeradores

dividido entre el m.c.m. de los denominadores. Se tiene las fracciones: , , ,

irreductibles: m.c.m. = .

Las cinco propiedades de las fracciones se centran tanto en el numerador como en el

denominador de cada una de ellas. En la primera propiedad se debe multiplicar o dividir

tanto numerador como denominador; en la segunda resaltan las fracciones homogéneas; en

la tercera las fracciones heterogéneas; en la cuarta y quinta propiedades se resalta el

mínimo común múltiplo (m.c.m.) y el máximo común divisor (MCD), respectivamente.

2.6.3 Tipos de fracciones

La clasificación de las fracciones difiere según los autores porque resaltan diversas

características de las mismas; razón por la cual, Orellana resalta dos tipos de números

fraccionarios: “homogéneos y heterogéneos. En los primeros el denominador es igual para

todos y en los otros los denominadores son distintos” (Orellana, 2002, p. 12).

Tipos de números fraccionarios

+ + = Homogéneos + + = Heterogéneos

68

Lo que resalta en la anterior explicación es que dicha tipología se realiza a partir de la

inclusión de más de dos fracciones sobre las cuales se muestra la igualdad o la diferencia

existente en sus denominadores, es decir, las mismas se identifican en cualquier tipo de

operación con fracciones.

El CEPA Centro Oriente destaca dos clases o tipos de fracciones: “Propias e impropias”

(CEPA, 2010, p. 4– 5). Las fracciones propias se caracterizan por tener un numerador

menor que el denominador y las impropias son el contrarios de las primeras, ya que su

numerador es igual o mayor que el denominador.

Tipos de fracciones

; ; = Propias ; ; = Impropias

La anterior explicación destaca la individualidad de cada fracción sobre lo cual se sustenta

dicha tipología que resalta la diferencia de cada numerador en comparación con su propio

denominador. Por lo tanto, para la graficación correspondiente debe observarse

detenidamente ambos términos de la fracción.

A las anteriores propuestas, también puede sumarse la fracción que combina un número

entero y una fracción propia, a la cual se denomina fracción mixta.

Fracciones mixtas

; ;

Jiménez en su libro de matemáticas refiere siete tipos de fracciones: común, propia,

impropia, mixta, decimal, unitaria y continua. Las cuatro primeras fueron mencionadas por

otros autores y explicadas párrafos arriba, mientras que las tres últimas se explican a

continuación.

Según Jiménez (2006) la fracción decimal se destaca por su denominador que es una

potencia de base 10; la fracción unitaria se denomina a aquella que tiene el numerador 1 y

69

finalmente, la fracción continua expresa a los números reales más conveniente para estudiar

sus propiedades aritméticas que la expresión en decimales.

Fracciones: decimal, unitaria y continua

; ; ; ;

Decimal Unitaria Continua

Los tipos de fracciones presentados muestran una variedad, generalmente, se centran en el

denominador que puede ser igual o diferente. La otra tipología toma en cuenta el

numerador pudiendo ser menor o mayor y finalmente, se tiene denominadores con potencia

de base 10, las unitarias y fracciones continuas, cada una de ellas con características

propias.

2.6.4 Operaciones con fracciones

Según Gutiérrez (2007) las operaciones con fracciones son: suma, resta, multiplicación y

división como se explica en los siguientes párrafos.

- Suma y resta, para estas dos operaciones debe tomarse en cuenta los denominadores, ya

que si éstos son iguales se mantiene el mismo denominador y se suma o resta los

numeradores. La suma de: + + = = ; mientras que para la

resta de:

- - = =, todo ello se ejemplifica a continuación.

+ = = ó 2 - + = =

Fuente: Gutiérrez (2007, p. 16).

Cuando los denominadores son diferentes “el método para sumar o restar fracciones

consiste en reducir estas fracciones al mínimo común denominador y luego sumar o restar

70

en caso de fracciones de igual denominador” Gutiérrez (2007, p. 17), entonces se tiene

+ = .

Suma y resta de fracciones con denominadores diferentes

+ + = = El nuevo denominador es 12 que es el m.c.m. de los

denominadores 3; 2 y 4.

- = = El nuevo denominador es 6 que es el m.c.m. de los

denominadores 3 y 2

- Multiplicación, cuando se tiene dos o más fracciones el producto se obtiene

multiplicando numeradores con numeradores y denominadores entre sí, es decir:

x = , tal cual señala Gutiérrez (2007).

Multiplicación de fracciones

x = = ; x = x = =

- División, para la división de fracciones “se invierte la fracción divisor y luego se

multiplican, es decir: = ”, según lo indica Gutiérrez (2007, p. 19).

= = ; = = =

Las operaciones con fracciones explicadas se caracterizan por tener reglas específicas que

deben ser aplicadas al momento de resolver alguna operación ya que el desconocimiento de

alguna, provocará que los/as estudiantes cometan errores no solo en esta etapa inicial sino

también en la resolución de problemas donde se aplican las operaciones con fracciones.

71

Otra explicación sobre las operaciones con fracciones son las sugeridas por Orellana (2002)

suma, resta, multiplicación y división. Por tratarse de números fracciones, en cada una de

dichas operaciones se tiene que aplicar ciertas reglas que deben ser conocidas por los/as

estudiantes.

- Suma, cuando las fracciones tienen los mismos denominadores y sus numeradores

diferentes, se suma estos últimos y se coloca el mismo denominador, como se observa a

continuación:

+ + = + + = =

A diferencia de los ejemplos presentados, la suma de fracciones con diferentes

denominadores debe comenzar por hallar el común denominador multiplicando los

denominadores, el producto obtenido debe dividirse con cada denominador de las

fracciones y multiplicarse el resultado con los numeradores correspondientes.

+ + = = = =

- Resta, esta operación tanto de las fracciones que tienen los mismos denominadores como

de aquellas que tienen diferentes, tiene el mismo procedimiento que en el caso de la suma

(ver arriba suma), tal cual lo señala Orellana (2002).

- = = - = =

- Multiplicación, para multiplicar fracciones se debe, primeramente, multiplicar los

numeradores cuyo resultado es el numerador de la nueva fracción y luego multiplicar los

72

Paso 1

Paso 2 Paso 3 Paso 4

denominadores para obtener el denominador de la nueva, como se muestra a

continuación:

x = x = =

- División, para dividir fracciones se tiene que multiplicar extremos y medios en forma

cruzada, el numerador de la fracción 1 con el denominador de la fracción 2 (estos

conforman el nuevo numerador) y el denominador de la fracción 1 con el numerador de la

fracción 2 (hacen del denominador), tal cual se muestra a continuación:

= = =

Como se presentó en al anterior ejemplo, “la nueva fracción (llámese resultado) es producto

de extremos y medios de otras fracciones que se dividen”, como lo sustenta Orellana (2002,

p. 12).

Las operaciones con fracciones descritas párrafos arriba mantienen los mismos

procedimientos que los expuestos por Gutiérrez (2007) lo cual confirma que a pesar de ser

diferentes autores respetan las reglas matemáticas que son convencionales y por lo tanto

deben mantenerse en la enseñanza de las fracciones y porque no decirlo de la ciencia de la

matemática.

2.7 Resolución de problemas con fracciones

Según Gutiérrez (2004, p. 77) “la resolución de problemas es un proceso donde los/as

estudiantes aplican sus habilidades adquiridas”. También se entiende el uso de todas las

capacidades intelectuales de quien aprende para encontrar alternativas viables ante una

situación que requiere ser resuelto.

Por lo tanto, los/as profesores/as deben plantear los problemas con diferentes grados de

dificultad para que los/as estudiantes pueden entender las preposiciones que contiene y

73

logren traducirlo al lenguaje matemático correspondiente en donde se aplica tanto

habilidades como capacidades intelectuales.

Por su parte, Bautista (2007) define la resolución de problemas con fracciones como el

enunciado cuya esencia debe ser resuelta por diversas operaciones de suma, resta,

multiplicación y división de fracciones que inicialmente se plantean en casos sencillos

(igual denominador en el caso de las sumas y restas) y posteriormente en casos más

complejos (diferentes denominadores y otros).

A su vez, Guzmán (1984, p. 19) entiende que la resolución de problemas se constituye en

“el corazón de las matemáticas” porque genera hábitos de pensamiento, motivaciones,

actitudes, ideas para el desarrollo de herramientas y otras más. Así, se considera a la

resolución de problemas como la parte fundamental de la ciencia de la matemática.

La anterior definición se centra en la importancia de las matemáticas por considerarlas en

un motor principal que se constituye en generador de muchos hábitos que favorecen a las

personas porque exigen de las mismas tanto razonamiento como lógica. A ello, se suma la

aplicación de herramientas, estrategias, métodos matemáticos que coadyuvan en la

realización de las operaciones que se exija en el planteamiento.

2.7. 1 Métodos para la resolución de problemas con fracciones

Para Gutiérrez (2007, p. 14-20) “al ser la resolución de problemas un proceso debe

aplicarse las capacidades intelectuales” y ello implica que debe realizarse las operaciones

con fracciones que amerita el enunciado. En consecuencia se deduce que para resolver un

problema se debe:

Leer varias veces lo que plantea el enunciado, es decir, se debe entender a cabalidad lo

que dice el problema, como en el ejemplo planteado, si la mamá de Crispín tiene una torta

redonda, la corta en 4 partes iguales y da a Crispín una de esas partes, entonces le esta

dando ¼ de la torta.

74

Tras la comprensión debe traducirse el enunciado utilizando las fracciones que se

identificaron en el problema, es decir, debe emplearse un lenguaje matemático que por

supuesto utiliza fracciones donde se muestra claramente qué tipo de operación se

realizará: suma, resta, multiplicación o división de fracciones.

Posteriormente, se debe realizar la operación con fracciones sin olvidar la aplicación de

los métodos que existen para sumar o restar fracciones (sean iguales o diferentes

denominadores) así también la multiplicación y la división (donde se invierten la fracción

divisor).

Al obtenerse el resultado que estará expresado en una fracción, debe interpretarse según

el contexto que rodea al planteamiento, es decir, si se pregunta ¿Cuánto le falta pagar a

Raúl? La respuesta será le falta Bs. para pagar la deuda correspondiente.

En los anteriores pasos propuestos para resolver problemas con fracciones se enfatiza la

aplicación de operación con fracciones tomándose en cuenta que no es lo mismo sumar

fracciones con igual denominador a fracciones con diferentes denominadores. Es más, un

solo enunciado puede implicar la realización de suma de fracciones y el resultado de ésta

tener que restar a otra cantidad.

Para ello, “el conocimiento profundo de operaciones con fracciones sumado a la realización

de ejercicios y la resolución de problemas con fracciones se constituyen en pilares”, según

Gutiérrez (2007, p. 15) para encontrar la solución necesaria que responda a lo que pide el

enunciado y dentro el contexto correspondiente.

Por su parte González y Paniagua (2010) señalan que para la resolución de un problema

con fracciones deben seguirse los siguientes pasos:

La enunciación de una situación problema correspondiente a un contexto cualquiera guarda

relación con un campo del saber determinado. Este problema enunciado en un lenguaje

natural requiere de una interpretación o lectura comprensiva para su traducción en un

lenguaje simbólico o matemático.

75

El siguiente paso es plantear las fracciones sobre las cuales se aplican una serie de

propiedades, operaciones y métodos que son necesarios para encontrar la solución. No debe

olvidarse que se aplica lo que requiera las fracciones planteadas, es decir, las operaciones

matemáticas.

Posteriormente, se interpreta dentro del contexto y se devuelve la respuesta utilizando un

lenguaje natural para su comprensión. Esto significa que no puede dejarse el resultado en

números ya que es necesario que todos los/as estudiantes entiendan en su lenguaje natural.

Muchas veces, al encontrar la solución se entiende que el problema ha concluido sin

embargo, puede pasarse a la etapa de la comprobación que implica utilizar los datos

numéricos encontrados (que son parte de la solución) y sustituirlos en el problema donde

corresponda.

Los cuatros pasos mencionados están estrechamente relacionados y puede entenderse que el

primero es el fundamental ya que en el se da tanto la comprensión del enunciado como su

posterior traducción al lenguaje matemático. Muchas veces los/as estudiantes no

comprenden el problema y por tanto no pueden hacer dicha traducción con lo cual no

consiguen resolver el problema planteado.

Finalmente, Bautista (2007) señala los pasos para resolver problemas con fracciones.

Comprender el concepto y los significados de las fracciones que se incluyen en el

enunciado del problema. Debe recordarse que los problemas llevan implícitas ciertas

cantidades fracciones; razón por la cual, se debe comprender y completar las frases para

tener clara la fracción. Por ejemplo: Nos falta la cuarta parte del recorrido al cantón

Uyuni, me he gastado la tercera parte de la paga del jornal.

Una vez comprendido, se procede a identificar las fracciones que requiere el problema.

Muchas veces es posible que se identifiquen dos, tres fracciones o tal vez más

dependiendo de la complejidad del enunciado. Esto se llama la traducción al lenguaje

matemático donde ya no existen palabras sino fracciones.

76

La identificación clara de las fracciones indicarán las operaciones con fracciones que

ameritan aplicarse. Por ejemplo en el problema que indica que de un queso, Juan comió

dos octavos, Luis tres octavos y Clara un octavo ¿Cuántos octavos se han comido entre

los tres? Aquí se requiere una suma con fracciones y es una fracción con denominadores

iguales.

Concluidas la operaciones matemática solamente resta interpretar el resultado, es decir, a

las fracciones encontradas se les debe dar un significado acorde a lo que se enunciado en

el problema. Así continuando con el ejemplo del queso, la interpretación indicará que los

tres comieron 6/8 del queso.

En esta propuesta resalta la comprensión de conceptos y significados de las fracciones, es

decir, que debe entenderse palabra por palabra lo que plantea el problema ya que muchas

veces se tienen frases incompletas que confunden a los/as estudiantes por el

desconocimiento, justamente, de los significados. La lectura del problema hasta que quede

claro ayudará a proseguir con los demás pasos.

2.7.1.1 Ejemplos de resolución de problemas con fracciones

De Gutiérrez (2007) se proponen los siguientes problemas con fracciones que han sido

adecuados al contexto de la investigación:

Ejemplo 1: Un niño de la comunidad Pipini de la provincia Inquisivi tiene Bs. y su

hermanito menor le da Bs. ¿Cuánto le falta para tener Bs. 1?

Procedimiento: Como primer paso se analiza que en el enunciado se pide que Bs. debe

sumarse a Bs. . Realizada dicha operación debe restarse la cantidad encontrada a Bs. 1.

+ = = Primera operación

77

1 - = = Segunda operación que contiene la solución

Solución: Al niño de la comunidad Pipini de la provincia Inquisivi le falta para tener

Bs. 1.

Ejemplo 2: Don Pablo es dueño de la mitad de una estancia, si vende de su parte ¿Qué

parte de la finca le queda?

Procedimiento: Al analizar se tiene que trabajar con la mitad de la estancia que representa

cuando dice que se vende significa restar . Entonces solamente es una resta de

fracciones:

- = =

Solución: A don Pablo, dueño de la mitad de una estancia, le queda tras la venta de

de su parte.

González y Paniagua (2010) presentan los siguientes ejemplos sobre la resolución de

problemas con fracciones. Cabe resaltar que los mismos fueron contextualizados acorde al

trabajo de investigación.

Ejemplo 1: La señora Patricia preparó un pastel de naranja para tomar té con sus vecinas,

después de la reunión comunal. Si repartió el pastel en partes iguales entre ella y las

señoras: Virginia, Rosicela, Lorena y Valeria ¿Qué fracción del pastel comieron en total

las tres últimas señoras?

78

Solución: El número de porciones de pastel que comieron las señoras: Rosicela, Lorena y

Valeria, fue 3 y el número total de porciones era 5, entonces la fracción debe conformarse

por dichos números donde el numerador es 3 y el denominador 5.

3 de 5 es igual a entonces

En el ejemplo 1, el procedimiento fue sencillo porque se contó el número de personas (5

señoras) y se prestó atención a las partes en que se dividió dicho pastel para

posteriormente conformar la fracción. Este problema solamente muestra la conformación

de fracciones de ahí que no resulta difícil de solucionarlo.

Ejemplo 2: Lourdes compró dos panes redondos de chamillo para sus hijas. Raisa, su hija

menor, comió e Isela, la mayor, comió ¿Qué cantidad de los panes redondos de

chamillo comieron en total las hijas de Lourdes?

Procedimiento: El tamaño de pizza que comió Raisa debe sumarse al de Isela

=

Solución: La cantidad que comieron en total las hijas de Lourdes es de .

En el ejemplo 2 se tiene una suma con denominadores iguales; razón por la cual, el

procedimiento responde a la regla que indica que se pone el mismo denominador y se

suma los numeradores.

Ejemplo 3: Lorena compró de un pliego de papel sábana. Rosicela, su hermana, se

olvidó comprar dicho papel y le pidió del pliego ¿Qué tamaño del pliego le quedó a

Lorena?

79

Procedimiento: Debe restarse del pliego pedido por Rosicela al pliego de papel que

compró Lorena .

- = =

Solución: A Lorena le quedó del pliego de papel sábana que compró.

El ejemplo 3 es una resta de fracciones con diferentes denominadores; razón por la cual,

se procedió a restar ambas fracciones, tomándose en cuenta la operación que debe existir

entre denominadores.

Ejemplo 4: En las dos terceras partes de un terreno de Mallasa se van a sembrar diferentes

tipos de papas. Si la cuarta parte fue sembrada con papa negra ¿Qué parte del terreno

ocupa la papa negra?

Procedimiento: Debe multiplicarse del terreno de Mallasa con de papa negra.

x = =

Solución: La fracción significa que la sexta parte del terreno sembrado es papa negra.

En el ejemplo 4 se tiene una multiplicación de fracciones entre el tamaño del terreno por

el tamaño de la parte sembrada con papa negra.

En los cuatro ejemplos presentados, se tiene ejercicios con cada una de las operaciones con

fracciones (suma, resta, multiplicación). Sin embargo, a medida que los/as estudiantes van

profundizando sus conocimientos se puede plantear problemas que incluyan las cuatro

operaciones de manera que sea un poco más complejo y se haga trabajar su razonamiento

lógico matemático.

80

Ejemplo 5: Para vender en la feria comunal, Patricia horneó pan y rollo de queso. El pan

lleva kilo de harina y kilo de azúcar. El rollo de queso tiene de harina; de harina

blanca flor y de azúcar ¿Cuál de las dos masas tiene más ingredientes en total?

Procedimiento: Debe sumarse los ingredientes utilizados en el pan y por otro lado los

ingredientes del rollo de queso.

+ = = ingredientes del pan; + + = =

ingredientes del rollo de queso; = = entonces

<

Solución: El rollo de queso lleva menos ingredientes que el pan.

Bautista (2007, p. 269-270) propone los siguientes problemas con fracciones, mismos que

también fueron adecuados al trabajo de investigación.

Ejemplo 1: Para el ajtapi, doña María llevó 1/8 de bolsa de papa negra y doña Patricia

llevó 2/8 de la misma papa ¿Cuánto de papa en total se tiene para el ajtapi?

Procedimiento: Debe sumarse de doña María con de doña Patricia.

+ = =

Solución: Para el ajtapi se tiene en total de papa negra.

CAPÍTULO 3

DISEÑO METODOLÓGICO

3.1 Tipo de estudio

81

El trabajo de investigación realizado, por sus características es cuantitativo tiene un diseño

no experimental es de tipo analítico. La intensión es determinar el nivel de razonamiento

lógico matemático en la resolución de problemas con fracciones en estudiantes de primero

de secundaria del Colegio Juan Pablo II del Distrito de Colquiri.

Esta investigación también es cuantitativa porque va a existir un recuento de los datos

obtenidos, es decir, la frecuencia de las respuestas de las cuales se sacarán porcentajes que

posteriormente serán graficados en barras para determinar el nivel de razonamiento lógico

matemático de los/as estudiantes.

Este trabajo se caracteriza por ser ‘no experimental’ ya que se observan los hechos tal cual

ocurren sin crear ninguna situación o someter a algún experimento a los/as estudiantes. Por

lo tanto, en ese contexto natural se realiza el levantamiento de datos a través de la

aplicación de los diferentes instrumentos creados (test de razonamiento lógico matemático,

prueba de resolución de problemas con fracciones, cuestionario para estudiantes y

cuestionario para docentes de la materia de matemática) para dicho cometido.

De esta manera, esta investigación es descriptiva porque en términos científicos muestra

como es y como se manifiesta el razonamiento lógico matemático y su incidencia en la

resolución de problemas con fracciones en los/as estudiantes de primero de secundaria.

Asimismo, esta investigación es analítica porque analizar implica descomponer el todo en

partes y estudiar cada una de ellas detenidamente para nuevamente reconstruir ese todo. En

consecuencia se analiza el razonamiento lógico matemático de los/as estudiantes para

posteriormente diagnosticar dicha capacidad.

3.2 Población estudiantil

La población de esta investigación asciende a 41 estudiantes, conformado por varones y

mujeres, de primero de nivel secundario de la unidad educativa Juan Pablo II del Distrito de

Colquiri. En esta población se toma en cuenta a los/as estudiantes con ciertas características

82

comunes como: ser estudiante de primero de secundaria y asistir a la misma unidad

educativa.

Por lo expuesto, la muestra está conformada por los 41 estudiantes, entre varones y

mujeres, de primero de secundaria. Cabe resaltar que la población total fue tomada como

muestra debido a la poca cantidad de estudiantes inscritos y asistentes al curso

correspondiente donde se lleva a cabo esta investigación. En el siguiente cuadro Nº 7 se

detalla la muestra.

Cuadro Nº 7

Población estudiantil según género

Sexo 1ro secundaria Total

Varones 22 22

Mujeres 19 19

Totales 41 41

Fuente: Elaboración propia (2012).

Asimismo, conforma la muestra los/as profesores/as de matemática que imparten clases al

primero de secundaria, quienes son normalistas y en su mayoría son varones (11) pero

también dictan clases tres mujeres, entre quienes una es de la especialidad de matemática.

Actualmente, los/as profesores/as cursan clases a nivel licenciatura.

3.3 Técnicas e instrumentos de la investigación

Para esta investigación se emplea el cuestionario, “éste consiste en un conjunto de

preguntas respecto a una o más variables” (Hernández et al, 1998, p. 276).

Las preguntas son de elección según los aspectos que se desea medir y se utiliza tanto en

docentes como estudiantes como se explica en el siguiente párrafos.

El cuestionario dirigido a los/as estudiantes contiene 10 preguntas de tipo abiertas y de

elección, cada una de ellas se orienta a medir dos variables: razonamiento lógico

matemático y la resolución de problemas con fracciones, con lo cual se obtiene más

respuestas de opinión (Ver anexo Nº 5).

83

El cuestionario dirigido a los/as profesores/as de la materia de matemática contiene 15

preguntas de tipo abiertas y de elección con las cuales se profundiza en temas de

razonamiento lógico matemático de los/as estudiantes y las dificultades sobre resolución de

problemas, además de otros datos relevantes para esta investigación (Ver anexo Nº 6).

El test de razonamiento lógico matemático contiene 20 preguntas entre ejercicios y

problemas a ser resueltos por los/as estudiantes con lo cual se pretende medir justamente

este tipo de razonamiento. Los ejercicios contenidos en este test son numéricos y fueron

adecuados al contexto en el cual se trabaja y el tiempo de aplicación del test será de 90

minutos (una clase completa de matemáticas) (Ver anexo Nº 3).

La valoración general que se aplica es la escala propuesta por el Observatorio Plurinacional

(2011) como sigue:

Nivel Alto de 7 a 9 ítemes correctos al aplicar alguna prueba.

Nivel Medio de 4 a 6 ítemes correctos al aplicar la prueba.

Nivel Bajo de 0 a 3 correctos al aplicar la prueba.

Escala de calificación en porcentaje para el test de razonamiento lógico matemático:

Elaboración propia

Nivel Alto de 67% a 100%

Nivel Medio de 34% a 66 %

Nivel Bajo de 0% a 33%

Finalmente, la prueba de resolución de problemas a ser aplicado a los/as estudiantes de

primero de secundaria contiene diversas problemáticas a ser resultas. En total suman 10

problemas con fracciones, mismos que fueron contextualizados y aplicados a la vida

cotidiana de los/as estudiantes (Ver anexo Nº 4).

3.4 Proceso de recolección y procesamiento de datos

Para la recolección de datos se procede de la siguiente manera:

- Concluida la revisión de los instrumentos por parte del tutor se procede a validar los

instrumentos, tomando para ello una submuestra del mismo curso, es decir, de primero

de secundaria compuesta por 20 estudiantes.

84

- Validados los instrumentos y con las respectivas correcciones que pudieran surgir, se

hace el levantamiento de datos aplicado a la muestra de la investigación, previo permiso

a la Dirección de la Unidad Educativa Juan Pablo II ya que se utiliza el horario de la

clase de matemática.

- Una vez llenados las boletas y los tests se continúa con el procesamiento de datos,

previo clasificación para la revisión y tabulación respectiva.

Para el procesamiento de datos se realizará los siguientes pasos:

- Se realizará el conteo de las respuestas para posteriormente consolidar la tabulación, es

decir, la presentación en tablas de frecuencia.

- Uso del procesador de texto de Microsoft Excel para realizar las gráficas con los datos

obtenidos correspondientes a las tablas estadísticas.

3.5 Proceso de análisis e interpretación de la información

Para el análisis de los datos recogidos mediante los instrumentos se tiene:

- Se analiza los resultados porcentaje por porcentaje que se muestran tanto en las tablas

como en los gráficos.

Para la interpretación de los datos se procede de la siguiente manera:

- En la interpretación se cruza información del marco teórico con los resultados apoyados

en los criterios de la investigadora.

CAPÍTULO 4

ANÁLISIS DE DATOS

4.1 Presentación de información cuantitativa

85

Los resultados obtenidos en el levantamiento de datos se presentan a continuación. En una

primera parte se muestra la información recolectada de los/as estudiantes y en la segunda

parte todo lo referido a los/as profesores/as.

4.2 Información de los estudiantes

En el levantamiento de datos se utilizó tres instrumentos: Test de razonamiento lógico

matemático, prueba de resolución de problemas y un cuestionario, mismos que se detallan

en los siguientes párrafos a partir del numeral 4.1.1.1.

4.2.1Información del test de razonamiento lógico matemático

Ítem Nº 1

¿Qué números continuarán esta serie 15 20 25?

86

5

95

0

1020304050

60708090

100

Serie correcta Serie incorrecta

Tabla Nº 1

Indicador F %Serie correcta 39 95Serie incorrecta 2 5Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 1

Un 95% de los/as estudiantes continuó la serie correctamente, mientras que un 5% falló en

dicha serie. Esto significa que la mayoría de los/as estudiantes continuaron la serie

correctamente y ello se evidencia en el 5% que representa lo incorrecto. Por lo tanto, este

ejercicio muestra un nivel alto de razonamiento lógico matemático porque pueden deducir

consecuencias de los enunciados, comprenden las relaciones que existen entre los números

y resuelven el problema con facilidad donde destaca la lógica. En otras, palabras los/as

estudiantes tienen conocimientos de números y con la ayuda de este tipo de ejercicios y la

aritmética pueden desarrollarse aún más su nivel de razonamiento lógico y aplicarlo a

distintos ejercicios y problemas matemáticos.

Ítem Nº 2

Completa el siguiente recuadro utilizando los siguientes signos: +; - ; / ; x

Tabla Nº 2

87

2

4949

0

10

20

30

40

50

60

Signos correctos Signos incorrectos Blancos

Indicador F %Signos correctos 20 49Signos incorrectos 20 49Blancos 1 2Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 2

Porcentajes iguales de 49% se registra entre la utilización correcta de los signos y la

utilización incorrecta, los blancos ascienden a un 2%. Esto significa que entre los/as

estudiantes existe una mitad que puede resolver este tipo de ejercicios y la otra no, lo cual

se traduce en la dificultad de símbolos y operaciones ya que los estudiantes no pueden

diferenciar las características propias de cada símbolo cuando forma parte de una operación

matemática, lo cual impide que resuelvan el ejercicio correspondiente. Por lo tanto, se tiene

un nivel medio de razonamiento lógico matemático ya que a veces deducen consecuencias

y tratan de comprender las relaciones entre los números.

Ítem Nº 3

Completa los números que faltan 100 90 80

Tabla Nº 3

88

Indicador F %Números faltantes correctos 37 90

Números faltantes incorrectos 3 7Blancos 1 3Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 3

El 90% que es el porcentaje más alto se registra en números faltantes correctos, seguido de

un 7% que corresponde a los incorrectos y un 3% a los blancos, a pesar de sumarse tanto

blancos como incorrectos el porcentaje obtenido no llega ni siquiera a una cuarta parte del

porcentaje alto. Esto significa que la mayoría de los/as estudiantes se dio cuenta del número

faltante después de 80 y ello se comprueba en los números incorrectos que es mínimo. En

consecuencia el nivel de razonamiento lógico matemático aplicado en este ejercicio es alto

porque los/as estudiantes deducen las consecuencias del ejercicio, comprenden la relación

entre los números y pueden resolver el ejercicio planteado.

Ítem Nº 4

Une cada fracción con su nombre

Tabla Nº 4

89

Indicador F %Correcto 39 95Incorrecto 2 5Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 4

La mayoría de los/as estudiantes realizó correctamente la unión entre la fracción y su

nombre que representa un 95% mientras que el resto (5%) tuvo problemas; la diferencia

entre ambos porcentajes asciende a más de un 90%. Esto significa que los/as estudiantes

conocen la parte teórica de las fracciones (nombres) donde se les enseña conceptos del

lenguaje matemático que a pesar de constituirse en algo básico se constituye en lo más

importante para la resolución de los diferentes ejercicios; razón por la cual, han aplicado un

nivel alto de razonamiento lógico matemático porque deducen consecuencias entre lo literal

y lo simbólico.

Ítem Nº 5

Si 15 es triple de 5, 10 es el doble de …

Tabla Nº 5

95

5

0102030405060708090

100

Correcto Incorrecto

90

98

20

20

40

60

80

100

120

Doble de 5 Blancos

Indicador F %Doble de 5 40 98Blancos 1 2Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 5

El 98% de los/as estudiantes señaló que 10 es el doble de 5; mientras que un 2% no

respondió la pregunta, existiendo una diferencia entre ambos de más del 96%. Esto

significa que las nociones de la multiplicación están siendo aplicadas por los/as estudiantes

ya que deducen que el número 10 contiene al 5 dos veces. Respecto al porcentaje en blanco,

posiblemente se deba a que no se hayan percatado del mismo o que no haya tiempo

suficiente para la realización de todos los ejercicios. En consecuencia, se aplicó un nivel

alto de razonamiento lógico matemático porque existe deducción y analogía, siendo éste

verificado a partir del ejemplo utilizado.

Ítem Nº 6

Si un entero tiene ¿Cuántos medios tendrá un entero?

91

66

34

0

10

20

30

40

50

60

70

Dos medios Blancos

Tabla Nº 6

Indicador F %Dos medios 27 66Blancos 14 34Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 6

Para el 66% de los/as estudiantes un entero tiene dos medios mientras que un 34% no

respondió la pregunta, dejando en blanco dicho espacio; entre ambos porcentajes existe una

diferencia de 32%. Esto implica que los/as estudiantes han desarrollado requisitos lógicos

que tratan sobre las fracciones y por ello lograron responder a la pregunta. Por tanto, en este

ejercicio se tiene la aplicación de un nivel medio de razonamiento lógico matemático ya

que el porcentaje (34%) de los blancos equivale a casi el 50% del total de las respuestas

correctas, lo cual demuestran que existen problemas de deducción en las fracciones a pesar

de existir una ejemplo no pudieron aplicar la analogía.

Ítem Nº 7

Ordena las siguientes fracciones de mayor a menor ; ;

92

36

59

5

0

10

20

30

40

50

60

70

Correcto Incorrecto Blancos

Tabla Nº 7

Indicador F %Correcto 15 36Incorrecto 24 59Blancos 2 5Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 7

El 59% de las respuestas fueron incorrectas frente a un 36% que respondieron

correctamente a la pregunta, a esto se suma un 5% de blancos que representa un porcentaje

representativo. La suma de porcentajes blancos y correctos da un 41% que casi alcanza al

porcentaje mayor. Esto significa que los/as estudiantes tienen problemas de secuencia y

patrón ya que no pueden ordenar las fracciones a pesar que las mismas se encontraban

ordenadas de mayor a menor. Por lo tanto, es posible que no se hayan realizado ejercicios

de este tipo con sus respectivas gráficas para que entiendan dichas diferencias. En

consecuencia, se aplicó un nivel medio de razonamiento lógico matemático.

Ítem Nº 8

Utilizando círculos representa las siguientes fracciones ;

93

59

7

34

0

10

20

30

40

50

60

70

Correcto Incorrecto Blancos

Tabla Nº 8

Indicador F %Correcto 14 34Incorrecto 24 59Blancos 3 7Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 8

En este ejercicio el porcentaje de incorrectos (59%) supera a los correctos que tiene un 34%

como también un 7% de blancos. En caso de sumarse tanto incorrectos como blancos se

tendría un 66%. Esto significa que los/as estudiantes presentan problemas de números, es

decir, que no han desarrollado requisitos lógicos que traten sobre la graficación de

fracciones, es decir, sus estructuras mentales no contienen dicha información, razón por la

cual, no existe información teórica que pueda fusionarse a la practica, ni alguna experiencia

similar. Por lo tanto, aplicaron un nivel medio de razonamiento lógico matemático.

Ítem Nº 9

SACO es a ASCO como 7683 es a:

Tabla Nº 9

94

Indicador F %Correcto 33 80Incorrecto 6 15Blancos 2 5Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 9

El 80% de los/as estudiantes respondió correcto que fue 6783 es a 7683, el 15% indicó de

los/as estudiantes respondió de forma incorrecta, mientras que el 5% de los/as estudiantes

no respondió a la pregunta y dejaron en blanco. Esto significa que los/as estudiantes

entendieron el ejercicio de razonamiento ya que la mayoría proporcionó la respuesta

correcta y esto demuestra que no tienen problemas de patrón que significa que dichos

estudiantes pueden deducir a pesar de que existe alteración en el orden de los números

proporcionados en el ejercicio. Por lo tanto, en este ejercicio se tiene un nivel alto de

razonamiento lógico matemático tanto por la deducción como la lógica demostrada.

Ítem Nº 10

DIDIIDID es a 49499494 como DIIDIIDD es a:

Tabla Nº 10

95

Indicador F %Correcto 30 73Incorrecto 11 27Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 10

El porcentaje más alto (73%) respondió correctamente que es 49949944, un 27% de los/as

estudiantes respondió incorrectamente. Esto significa que la mayoría de los/as estudiantes

respondió de forma correcta el ejercicio propuesto, razón por la cual, se señala que no

tienen problemas de patrón porque deducen a pesar de la alteración numérica que existe. En

consecuencia, en esta prueba se registró un nivel alto de razonamiento lógico matemático

por la comprensión del ejercicio proporcionado.

Ítem Nº 11

En 10 el 5 cuantas veces estará contenido

Tabla Nº 11

96

Indicador F %Correcto 17 41Incorrectos 6 15Blancos 18 44Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 11

El porcentaje más alto 44% se tiene en blancos, un 41% respondió de forma correcto que el

10 contiene 2 veces al 5 y un 15% dio una respuesta incorrecta. Al sumar los blancos y los

incorrectos se obtiene un porcentaje de 59% que supera a la respuesta correcta, a pesar de

que el ejercicio era sencillo ya que solamente implicaba una multiplicación. Esto significa

que los/as estudiantes tienen problemas de distinción de símbolos ya que no pudieron

reconocer las características propias de los números propuestos en el ejercicio. En

consecuencia, se tiene un nivel medio de razonamiento lógico matemático ya que no

pueden deducir correctamente ya que no entienden las relaciones que existen entre 10 y 5.

Ítem Nº 12

¿Cuántas lechugas le quedan a Mario?

Tabla Nº 12

97

Indicador F %Correcto 36 88Incorrecto 4 10Blancos 1 2Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 12

Un 88% respondió correctamente, señaló que a Mario le quedan dos lechugas, el 10% de

los/as estudiantes respondieron incorrectamente a la pregunta y un 2% no respondió. El

porcentaje mayor indica la respuesta correcta ya que le quedan dos lechugas a Mario, cuyo

resultado se encuentra aplicando la resta. Esto significa que los/as estudiantes aplicaron la

operación matemática adecuada ya que lograron solucionar el problema. En consecuencia

se aplicó un nivel alto de razonamiento lógico matemático ya que los otros porcentajes no

son representativos frente al primero.

Ítem Nº 13

¿Qué edad tendrá Gonzalo cuanto tenga el doble de edad Jesús?

Tabla Nº 13

98

Indicador F %Correcto 20 49Incorrecto 20 49Blancos 1 2Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 13

El 49% respondió correctamente los/as estudiantes señalaron que Gonzalo tendrá 16 años

cuando Jesús tenga el doble de edad, un 49% respondió incorrectamente e indican que

Gonzalo tendrá 20 años, un 2% no respondió a la pregunta. Esto significa que el la suma de

porcentajes incorrecto mas blancos dan 51% lo que constituye que más de la mitad de

los/as estudiantes respondieron de forma errónea. Por lo tanto, los/as estudiantes no

aplicaron las operaciones matemáticas correctamente que eran la multiplicación y la suma

para llegar a la solución del problema. En consecuencia, se aplicó un nivel medio de

razonamiento lógico matemático porque no deducen.

Ítem Nº 14

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

99

Tabla Nº 14

Indicador F %Correcto 3 8Incorrecto 33 80Blancos 5 12Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 14

Un 8% respondió correctamente e indicó que Eva es tan rápida como Sara, un 80%

respondió incorrectamente porque dijo que Eva es más lenta que Sara, el 12% no

respondieron a la pregunta. Esto significa que los/as estudiantes no aplicaron correctamente

su razonamiento lógico matemático porque Eva es tan rápida como Sara, lo cual se deduce

del enunciado. En consecuencia se tiene un nivel bajo de razonamiento lógico matemático

porque los/as estudiantes no pueden deducir ni resolver problemas de lógica planteada.

Ítem Nº 15

¿Cuántos saquillos tengo en total?

100

Tabla Nº 15

Indicador F %Correcto 15 37Incorrecto 23 56Blancos 3 7Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 15

El 37% respondió correctamente señalando que son 33 saquillos en total, un 56%

respondieron de forma incorrecta, los blancos ascienden a un 7%. Esto significa que los/as

estudiantes aplicaron un nivel medio de razonamiento lógico matemático porque trataron de

resolver los problemas de lógica; sin embargo, tienen dificultades en la deducción porque

no comprenden las relaciones de números.

Ítem Nº 16

¿Cuántas cabezas de animal hay?

101

Tabla Nº 16

Indicador F %Correcto 31 75Incorrecto 6 15Blancos 4 10Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 16

El 75% de los/as estudiantes respondieron correctamente señalaron 74 cabezas, un 15%

respondió de forma incorrecta y un 10% no respondió a la pregunta. En general, los/as

estudiantes aplicaron el procedimiento adecuado que implicaba una suma de las cabezas de

los animales mencionados y la solución debía mencionar el número de cabezas. Por lo

tanto, se tiene un nivel alto de razonamiento lógico matemático porque la mayoría logró

resolver el problema de lógica planteado.

Ítem Nº 17

¿Cuántas patas de animal hay?

102

Tabla Nº 17

Indicador F %Correcto 34 83Incorrecto 4 10Blancos 3 7Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 17

El 83% respondió correctamente, un 10% respondió de forma incorrecta y un 7% no

respondieron la pregunta. Esto implica que la mayoría de los/as estudiantes respondió

correctamente ya que se tiene 60 patas de animales, cuya solución se obtenía con la

aplicación de operaciones de multiplicación y suma; razón por la cual, se tiene un

procedimiento matemático adecuado. En este problema se aplicó un nivel alto de

razonamiento lógico matemático y que resolvieron el problema de lógica.

Ítem Nº 18

103

¿Cuántos animales con plumas hay?

Tabla Nº 18

Indicador F %Correcto 26 63Incorrecto 12 29Blancos 3 8Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 18

Un 63% indica que hay 2 gallinas, seguido de un 29% que respondieron incorrectamente, el

8% de los/as estudiantes no respondieron la pregunta. Esto significa que los/as estudiantes

aplicaron el procedimiento correcto que consistía en diferenciar a los animales por lo que

cubre sus cuerpos llegando a dar con la solución. Por lo tanto, los/as estudiantes aplicaron

un nivel medio de razonamiento lógico matemático porque resolvieron el ejercicio,

dedujeron consecuencias del enunciado y comprendieron las relaciones existentes en el

mismo.

104

Ítem Nº 19

¿Cuántos espaldares y patas hay en total?

Tabla Nº 19

Indicador F %Correcto 31 77Incorrecto 6 15Blancos 4 8Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 19

El 77% indica que son 40 patas y 10 espaldares mientras que un 15% respondió

incorrectamente señala que son 40 patas y se tiene un 8% de blancos. Esto significa que la

mayoría de los/as estudiantes respondió correctamente la pregunta. En consecuencia se

aplicó un nivel alto de razonamiento lógico matemático porque resolvieron el problema con

lógica, aplicando las operaciones matemáticas necesarias (multiplicación y suma),

dedujeron las consecuencias de los enunciados y entendieron las relaciones existentes entre

los elementos del objeto (silla).

105

Ítem Nº 20

¿Cuántos hocicos hay en total?

Tabla Nº 20

Indicador F %Correcto 24 77Incorrecto 14 34Blancos 3 9Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 20

El 77% indica que son 7 hocicos, un 34% señala de forma incorrecta, los blancos ascienden

a un 9%. Esto significa que la mayoría de los/as estudiantes realizó el procedimiento

adecuado que consistía en diferenciar la parte prolongada de la cabeza de algunos animales

(hocico). Por lo tanto, los/as estudiantes aplicaron un nivel alto de razonamiento lógico

matemático porque comprendieron la relación de las partes del cuerpo de un animal,

dedujeron consecuencias del enunciado y lograron resolver la pregunta planteada.

106

63

20 17

0

10

20

30

40

50

60

70

Lectura y gráfica Gráfica Blancos

4.2.2 Información de la prueba de resolución de problemas con fracciones

Ítem Nº 21

Cómo se leen las siguientes fracciones y grafica las mismas

Tabla Nº 21

Indicador F %Lectura y gráfica 26 63Gráfica 8 20Blancos 7 17Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 21

El porcentaje mayor 63% representa a los/as estudiantes que realizaron lectura y gráfica de

fracciones y el 20% indica que solamente algunos de ellos realizaron la gráfica mientras

que los blancos asciende a 17%. Esto significa que la mayoría de los/as estudiantes realizó

el ejercicio de forma completa mientras que los otros no se orientan en la lectura de las

fracciones, es decir, presentan problemas de números (específicamente la parte teórica que

corresponde a las nociones básicas de fracciones). En general, los/as estudiantes entienden

los conceptos teóricos, convierten al lenguaje matemático y aplican las operaciones

necesarias y encuentran la solución al problema planteado.

107

Ítem Nº 22

¿Cuál es la fracción que representa las bebidas consumidas por los profesores?

Tabla Nº 22

Indicador F %Procedimiento, reglas, resultado 25 62Resultados anulados 12 29Blancos 4 9Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 22

El 62% realizó el procedimiento, aplicando reglas y logrando el resultado, un 29% fueron

anulados sus resultados por copia de resultados y los blancos ascienden a un 9%. Esto

significa que la mayoría de los/as estudiantes aplicó su conocimiento acumulado ya que no

solamente siguieron ciertos pasos sino que solucionaron el problema planteado, sin

embargo, existe un porcentaje menor, pero significativo, que al no poder realizar el

procedimiento, copió el resultado sin realizar procedimiento alguno. A pesar de ello, la

mayoría de los/as estudiantes han entendido los conceptos del enunciado, lo cual facilitó la

traducción al lenguaje matemático para realizar la operación adecuada y encontrar la

solución.

108

Ítem Nº 23

¿Qué fracción representa lo que se ha comido la profesora Carmen?

Tabla Nº 23

Indicador F %Procedimiento, reglas, resultado 23 56Resultados anulados 10 24Blancos 8 20Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 23

Un 56% de los/as estudiantes aplicó el procedimiento, las reglas y logró resolver el

problema, un 24% solamente copió el resultado por tanto se anulo los resultados y un 20%

corresponde a los blancos. Esto implica que la mayoría de los/as estudiantes cuenta con los

conocimientos necesarios para resolver problemas con fracciones mientras que otro

porcentaje no puede aplicar dichos conocimientos ya que no cuenta con los mismos, lo cual

podría relacionarse con problemas de heurística, falta de interés y comprensión lectora. A

pesar de ello, la mayoría identificada trata de resolver los problemas comenzando por

entender el enunciado y poder traducir al lenguaje matemático para la aplicación de los

procedimientos necesarios.

109

Ítem Nº 24

¿Cuánto le costaron los libros?

Tabla Nº 24

Indicador F %Procedimiento, reglas, resultado 27 66Resultados anulados 3 7Blancos 11 27Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 24

El 66% aplicó procedimiento, reglas y encontró la solución, un 27% no realizó dicho

problema y un 7% copió el resultado por tanto se anulo los resultados. Esto significa que la

mayoría de los/as estudiantes encontró la solución al problema aplicando diversos métodos

y las operaciones acordes al mismo, pero existe un porcentaje, nada significativo que no

solucionó el problema por dificultades en la comprensión del enunciado, la conversión al

lenguaje matemático y la aplicación de operaciones matemáticas, los/as otros/as estudiantes

al no poder resolver el problema copió la respuesta que esta fue anulad.

110

Ítem Nº 25

¿Cuánto dinero se ha llevado cada hijo?

Tabla Nº 25

Indicador F %Procedimiento, reglas, resultado 29 71Resultados anulados 3 7Blancos 9 22Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 25

El porcentaje mayor (71%) representa a los/as estudiantes que realizaron el procedimiento,

la aplicación de reglas y encontraron la solución, un 22% no realizó el problema y un 7%

copió el resultado el cual fue anulado. Esto significa de la mayoría de los/as estudiantes

aplica los conocimientos teóricos aprendidos, razón por la cual, pueden solucionar los

problemas con fracciones, sin embargo también existe un número de estudiantes que no ha

asimilado los conceptos teóricos y ello no les permite aplicar los procedimientos, además

que al no comprender el enunciado no pueden realizar la traducción al lenguaje

matemático, lo cual se refleja en los resultados obtenidos.

111

98

20

20

40

60

80

100

120

Procedimiento, regla, resultado Resultado

Ítem Nº 26

¿Cuántos comunarios viajan en transporte público?

Tabla Nº 26

Indicador F %Procedimiento, regla, resultado 40 98Resultado 1 2Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 26

En este problema, la mayoría de los/as estudiantes que representa un 98% aplicó

correctamente el procedimiento incluida las reglas para encontrar la solución

correspondiente, mientras que un 2% solo llego al resultado. En consecuencia, la mayoría

de los/as estudiantes entendió el contenido del enunciado para posteriormente traducirlo al

lenguaje matemático y aplicar las operaciones que se requieran para encontrar la solución.

Respecto a quienes llegaron al resultado demuestran que no entendieron el enunciado que

se constituye en el primer paso para la resolución de problemas y esto les dificulta para

proseguir con los otros pasos.

112

2

20

78

0102030405060708090

P rocedimiento, regla,solución

Resultado blancos

Ítem Nº 27

¿Cuánta semilla de papa tenía en total?

Tabla Nº 27

Indicador F %Procedimiento, regla, solución 32 78Resultado 8 20blancos 1 2Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 27

La mayoría de los/as estudiantes que representa el 78% resolvió el problema, un 20% copió

el resultado y los blancos ascienden a un 2%. Esto significa que la mayoría de los/as

estudiantes conocen diferentes métodos para solucionar problemas como también aplican

las reglas de las fracciones, de lo cual se deduce que tienen sólidos conocimientos teóricos,

sin embargo existen algunos/as estudiantes que no lograron entender el problema por tanto

no pudieron traducirlo ni tampoco solucionarlo, lo cual se relacionaría con algunas

dificultades como la comprensión lectora o la falta de interés por la materia.

113

2

22

76

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Procedimiento, regla,solución

Resultado blancos

Ítem Nº 28

¿Qué fracción del terreno le queda libre?

Tabla Nº 28

Indicador F %Procedimiento, regla, solución 31 76Resultado 9 22blancos 1 2Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 28

El 76% de los/as estudiantes realizaron el procedimiento, aplicaron las reglas y encontraron

la solución, un 22% solamente copió el resultado mientras que los blancos ascienden a un

2%. Esto significa que la mayoría de los/as estudiantes tiene conocimientos previos

adquiridos que se constituyen en la base para la resolución de problemas frente a un

porcentaje significativo que muestra resultados copiados que no se apoyan en ningún

procedimiento, ni mucho menos existe una interpretación de los datos para la aplicación de

las operaciones matemáticas adecuadas para solucionar el problema.

114

61

37

2

0

10

20

30

40

50

60

70

Procedimiento, regla,solución

Resultado blancos

Ítem Nº 29

¿Cuántas toneladas transporta la camioneta en 8 viajes?

Tabla Nº 29

Indicador F %Procedimiento, regla, solución 25 61Resultado 15 37blancos 1 2Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 29

El porcentaje mayor 61% representa a los/as estudiantes que realizaron procedimiento,

aplicación de reglas y encontraron la solución, el 37% solamente copió el resultado y un

2% representa a los blancos. Al sumar los porcentajes de resultado copiado y blancos se

tiene un 39% que equivale a la mitad del porcentaje mayor. Esto significa que los/as

estudiantes aprehendieron los conocimientos teóricos; razón por la cual, resolvieron el

problema planteado aplicando los métodos adecuados; sin embargo existe un porcentaje

significativo que no pudo resolver dicho problema y esto podría relacionarse con la

comprensión lectora.

115

54

46

42

44

46

48

50

52

54

56

Procedimiento Resultado

Ítem Nº 30

¿Cuánto le costaron las ovejas?

Tabla Nº 30

Indicador F %Procedimiento, regla, solución 22 54Resultado 19 46Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 30

El 54% de los/as estudiantes aplicó el procedimiento matemático adecuado para resolver el

problema, mientras que un porcentaje de 46% solamente llego al resultado. Al observar la

diferencia entre ambos porcentajes se tiene un 8% que no es tan representativo porque

demuestra que es poca la diferencia. En general, se entiende que el conocimiento teórico

fue fusionado a la práctica, logrando resolver correctamente el problema. Sin embargo,

existe una cantidad considerable de estudiantes que no resolvió el problema a pesar de su

sencillez, de lo cual se deduce que no comprendieron el enunciado o no leyeron las veces

necesarias el mismo para entender el problema y está relacionada a la falta de comprensión

lectora.

116

60

17

2 27 5 7

0

10

20

30

40

50

60

70

4.2.3 Información de los cuestionarios

Ítem Nº 31

¿Qué es el razonamiento lógico matemático?

Tabla Nº 31

Indicador F %Pensar 24 60Razonar, analizar 7 17No es fácil 1 2Usar la cabeza 1 2Saber matemática 3 7Fácil 2 5Blancos 3 7Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 31

El 60% define el razonamiento lógico matemático como pensar, seguido de un 17% que

indica que es razonar, analizar, porcentajes similares (7%) se registra entre saber

matemáticas y blancos, un 5% señala que es fácil y porcentajes similares de 2% existen

entre usar la cabeza y no es fácil. Esto significa que los/as estudiantes no tienen una

definición clara sobre razonamiento lógico matemático porque utilizan palabras que no son

117

56

23

11 10

0

10

20

30

40

50

60

Muy importante Importante Nada importante blancos

sinónimos a pesar que están relacionadas el significado es diferente lo cual da lugar a cierta

ambigüedad en la conceptualización y crea dudas en los mismos estudiantes.

Ítem Nº 32

El razonamiento lógico matemático es…

Tabla Nº 32

Indicador F %Muy importante 25 56Importante 10 23Nada importante 3 11blancos 3 10Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 32

El porcentaje mayor de 56% indica que el razonamiento lógico matemático es muy

importante, seguido de un 23% que señala que es importante, un 11% dice que no es nada

importante y los blancos ascienden a un 10%; este porcentaje al fusionarse al nada

importante da un 21% que sobrepasa al porcentaje de importante. En general, los/as

estudiantes están conscientes de la importancia del razonamiento lógico matemático ya que

el mismo es valorado como muy importante e importante, sin embargo, también existe un

grupo de estudiantes que al no responder la pregunta (blancos) da a entender que este tipo

de razonamiento no es importante o que no es necesario para las matemáticas.

118

39

12

7

42

05

1015202530354045

Dificil Facil Muy fácil blancos

Ítem Nº 33

El uso del razonamiento lógico matemático es…

Tabla Nº 33

Indicador F %Difícil 16 39Fácil 17 42Muy fácil 5 12blancos 3 7Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 33

El porcentaje mayor de 42% indica que el uso del razonamiento lógico matemático es fácil,

un 39% señala que es difícil, un 12% dice que es muy fácil y los blancos ascienden a un

7%. Esto significa que para los/as estudiantes la utilización del razonamiento lógico

matemático es algo común y necesario para las matemáticas, sin embargo, existe un

porcentaje aproximado al primero que afirma que es difícil, ello probablemente a que en

sus estructuras mentales no tienen acomodada la información de manera ordenada, lo cual

les imposibilita y dificulta la utilización de dicho razonamiento.

119

34

42

12 12

05

1015202530354045

Muchas Pocas Nada blancos

Ítem Nº 34

¿Cuántas actividades se realizan para desarrollar tu razonamiento lógico matemático?

Tabla Nº 34

Indicador F %Muchas 14 34Pocas 17 42Nada 5 12blancos 5 12Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 34

El 42% de los/as estudiantes afirma que son pocas las actividades que se realizan para el

desarrollo del razonamiento lógico matemático, un 34% señala que son muchas las

actividades y porcentajes iguales (12%) se tiene entre nada de ejercicios y blancos. Al

sumar los porcentajes de pocas, nada y blancos da un 66% que confirma pocas actividades

para fomentar dicho razonamiento. Por lo tanto, los/as estudiantes indican que realizan

pocas actividades orientadas al razonamiento frente a un porcentaje representativo que

afirma la realización de actividades, posiblemente, no se hagan pruebas ni test de

razonamiento.

120

66

7

1710

0

10

20

30

40

50

60

70

Si No Tal vez blancos

Ítem Nº 35

¿El razonamiento lógico matemático es necesario para tus clases de matemáticas?

Tabla Nº 35

Indicador F %Si 27 66No 3 7Tal vez 7 17blancos 4 10Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 35

Un 66% afirma que es necesario para sus clases de matemáticas, un 17% dice que tal vez,

los blancos ascienden a un 10% y un 7% niega dicha necesidad. La sumatoria entre los no,

tal vez y blancos es de 34% que se constituye en la mitad del porcentaje mayor (66%). Esto

significa que los/as estudiantes relacionan tanto razonamiento lógico matemático con las

matemáticas y a partir de ello, afirman la necesidad de dicho razonamiento para las

matemáticas como las fracciones y la resolución de problemas con fracciones. Más allá de

dicha relación no comprenden a cabalidad la relevancia de dicho conocimiento.

121

12

25

17

75

32

2

0

5

10

15

20

25

30

35

Ítem Nº 36

Definición de resolución de problemas con fracciones

Tabla Nº 36

Indicador F %Muy difícil 5 12Analizar 10 25No sé 7 17Leer problemas 3 7Entender-resolver 2 5Situación difícil 13 32Cuestión para averiguar 1 2Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 36

El porcentaje mayor de 32% define resolución de un problema como situación difícil, un

25% indica que es analizar, un 17% no pudo definir, un 12% dice que es muy difícil, un

7% señala que es leer problemas, un 5% expresa que es entender-resolver y un 2% indica

que es una cuestión para averiguar. Si bien existe un porcentaje alto de estudiantes que

puede definir la resolución de problemas con fracciones, dicho porcentaje no es

122

51

39

5 5

0

10

20

30

40

50

60

Difícil Fácil Muy fácil Blancos

representativo frente a los otros porcentajes que resaltan ciertas características de la

definición aunque son ambiguas, lo cual crea dificultad para entender cualquier definición.

Ítem Nº 37

Cómo es la resolución de problemas con fracciones

Tabla Nº 37

Indicador F %Difícil 21 51Fácil 16 39Muy fácil 2 5Blancos 2 5Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 37

El 51% indica que la resolución de problemas es difícil, un 39% señala que es fácil y

porcentajes iguales (5%) se tiene entre muy fácil y los blancos. Entre los porcentajes de

difícil y fácil existe una diferencia de 12% que equivaldría a muy fácil y blancos. Esto

implica que la mayoría de los/as estudiantes considera la resolución de problemas como

algo difícil porque no realizan este tipo de ejercicios en clases, lo cual les crea cierta

dificultad cuando intentan resolver los mismos. A pesar de ello, existe otro porcentaje de

estudiantes que considera como fácil y muy fácil, lo cual da entender que este grupo de

estudiantes entendió el enunciado del problema y lograron traducir al lenguaje matemático.

123

29

64

2 5

0

10

20

30

40

50

60

70

Siempre Algunas veces Nunca Blancos

Ítem Nº 38

¿Entiendes las explicaciones en clases sobre resolución de problemas con fracciones?

Tabla Nº 38

Indicador F %Siempre 12 29Algunas veces 26 64Nunca 1 2Blancos 2 5Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 38

Un 64% de los/as estudiantes entiende algunas veces las explicaciones sobre resolución de

problemas, un 29% siempre entiende, un 5% no respondió y un 2% nunca entiende. Esto

significa que la mayoría de los/as estudiantes algunas veces entiende las explicaciones de lo

cual se deduce que existen dificultades que podrían deberse a la metodología aplicada por

los/as profesores/as, falta de conocimiento previo sobre el tema donde aprenden pasos para

resolver problemas y principalmente nociones básicas sobre fracciones, falta de atención

por parte de los/as estudiantes y comprensión lectora que se constituye en un factor

elemental en la resolución de problemas.

124

37 37

12 12

2

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Ley de signos Operacionesmatematicas

P rocedimiento Resultado blancos

Ítem Nº 39

Dificultades para resolver problemas con fracciones

Tabla Nº 39

Indicador F %Ley de signos 15 37Operaciones matemáticas 15 37Procedimiento 5 12Resultado 5 12blancos 1 2Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 39

Porcentajes iguales (37%) se registran entre ley de signos y operaciones matemáticas como

también en procedimiento y resultado, ambos con un 12%, los blancos ascienden a un 2%.

De los porcentajes iguales se deduce que el problema se genera en el procedimiento ya que

si no aplican algún método no pueden obtener la solución. Esto significa que la parte

teórica donde se aprende elementos de las fracciones, propiedades y las operaciones con

fracciones no han sido correctamente asimiladas por los/as estudiantes; asimismo,

125

73

15

5 7

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Si No Tal vez Blancos

indirectamente existe el problema de comprensión lectora ya que si no entienden el

problema no pueden aplicar el procedimiento adecuado ni llegar a la solución.

Ítem Nº 40

¿Es importante aplicar el razonamiento lógico matemático en la resolución

de problemas con fracciones?

Tabla Nº 40

Indicador F %Si 30 73No 6 15Tal vez 2 5Blancos 3 7Total 41 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 40

El 73% afirma la importancia de aplicar el razonamiento lógico matemático en la

resolución de problemas con fracciones, un 15% indica que no es importante, los blancos

ascienden a un 7% y un 5% indica que tal vez sea importante. Al sumar los porcentajes de

no es importante, tal vez y blancos se tiene un 27% que casi equivaldría a la mitad del

porcentaje mayor. Esto significa que los/as estudiantes comprenden la importancia del

razonamiento lógico matemático y más aún la necesidad de aplicar dicho razonamiento en

126

1918 18 18 18

9

02468

101214161820

la resolución de problemas con fracciones; sin embargo, no debe obviarse que existe otro

porcentaje que no comprende la importancia de dicho razonamiento.

4.2.4 Información de los/as profesores/as

Ítem Nº 41

¿Puede dar una definición de razonamiento lógico matemático?

Tabla Nº 41

Indicador F %Análisis concreto 2 19Pensamiento deducido con número 2 18No 2 18Razón al problema 2 18Capacidad lógica 2 18Ciencia 1 9Total 11 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 41

Porcentajes iguales (18%) y un 19% se registra en cinco barras que señalan que el

razonamiento lógico matemático es: análisis concreto, pensamiento deducido con números,

no respondieron, razón al problema y capacidad lógica; mientras que un 9% considera que

es una ciencia. Esto significa que las definiciones proporcionadas por los/as profesores son

127

55

45

0

10

20

30

40

50

60

Muy importante Importante

ambiguas ya que utilizan palabras que suponen son sinónimas del razonamiento lógico

matemático pero el significado de las mismas, en algunos casos, es contradictorio mientras

que otras resaltan solamente algunas características de dicho razonamiento.

Ítem Nº 42

¿Es importante el razonamiento lógico matemático en su materia?

Tabla Nº 42

Indicador Frecuencia Porcentaje Muy importante 6 55Importante 5 45Total 11 100

Fuente: Elaboración propia (2012).

Gráfico Nº 42

Para el 55% de los/as profesores/as es muy importante el razonamiento lógico matemática

en su materia, mientras que un 45% lo considera importante. Esto significa, que los/as

profesores están conscientes de la importancia del razonamiento lógico matemático en la

materia que ellos/as dictan y por lo tanto, saben que deben cultivar la misma a través de

diferentes actividades que pueden basarse en ejercicios y problemas. Debe resaltarse que la

importancia atribuida a dicho razonamiento por parte de los/as profesores/as no se sustenta

en el conocimiento mismo de dicha capacidad sino que al contener la palabra matemática

relacionaron con la materia.

128

91

9

0

20

40

60

80

100

Siempre Algunas veces

Ítem Nº 43

Usted cree que la matemática debe favorecer al razonamiento lógico matemático

Tabla Nº 43

Indicador F %Siempre 10 91Algunas veces 1 9Total 11 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 43

Para el 91% de los/as profesores la matemática debe favorecer al razonamiento lógico

matemático mientras que un 9% señala que algunas veces debe favorecerla. Esto significa

que existe desacuerdo, entre los/as profesores/as, en que la matemática se transforma en un

medio para desarrollar el razonamiento lógico matemático y aunque existe un porcentaje

mínimo en duda, la mayoría afirma lo contrario. Sin embargo, se observa que nuevamente

los/as profesores han relacionado la materia de matemáticas con el razonamiento lógico

matemático y a partir de ello, es que suponen que la primera debe favorecer a la segunda.

129

Ítem Nº 44

Cómo es el razonamiento lógico matemático de sus estudiantes

Tabla Nº 44

Indicador F %Muy bueno 0 0Bueno 6 55Regular 3 27blancos 2 18Total 11 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 44

El 55% de los/as profesores/as afirma que el razonamiento lógico matemático de sus

estudiantes es bueno, otro 27% señala que es regular y un 18% no respondió. Se observa

que la opción de muy bueno no tiene porcentaje alguno, lo cual indica que ni siquiera un

estudiante tiene un razonamiento lógico matemático muy bueno. Si se suma los porcentajes

de regular y blancos se tiene un 45% que casi alcanza al porcentaje mayor. Por lo tanto,

más de la mitad de los/as profesores está consciente del nivel medio de razonamiento lógico

matemático de sus estudiantes, de lo cual se deduce que también tienen conocimiento de

que dichos/as estudiantes tienen dificultades en la materia

130

0.00

55

27

18

0.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

Muy bueno Bueno Regular blancos

18

73

9

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1020

3040

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6070

80

Ejercicios Problemas Problemas reales

Ítem Nº 45

¿Cómo desarrolla el razonamiento lógico matemático de sus estudiantes?

Tabla Nº 45

Indicador F %Ejercicios 2 18Problemas 8 73Problemas reales 1 9Total 11 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 45

El 73% de los/as profesores utiliza problemas para desarrollar el razonamiento lógico

matemático de sus estudiantes, un 18% indica ejercicios y un 9% problemas reales. Se

deduce que el porcentaje alto representa a aquellos problemas que son tomados de otros

autores y muestran un contexto ajeno a la realidad de los/as estudiantes. Esto significa que

los/as profesores, generalmente, plantean problemas que se plantean en los libros o que

pudieran ser adecuados al tema de avance y consideran los mismos como los mejores

medios para desarrollar el razonamiento lógico matemático. Sobre el porcentaje que indica

131

36

55

9

0

10

20

30

40

50

60

Si No Tal vez

problemas reales se entiende que son aquellos basados en la cotidianidad de los/as

estudiantes.

Ítem Nº 46

En su opinión el razonamiento lógico matemático se desarrolla mejor según la complejidad

de los ejercicios o problemas

Tabla Nº 46

Indicador F %Si 4 36No 6 55Tal vez 1 9Total 11 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 46

El 55% de los/as profesores/as afirma que la complejidad de los ejercicios o problemas no

desarrolla mejor el razonamiento lógico matemático, un 36% señala que si y un 9% dice tal

vez. Esto significa que los/as profesores/as desconocen el valor de los problemas y

ejercicios matemáticos para con el razonamiento lógico matemático ya que dichos

problemas exigen la aplicación de habilidades, capacidades, métodos, operaciones que

132

27

73

00

1020

3040

50

6070

80

Muchos Pocos Nada

desarrollan dicho razonamiento; razón por la cual, la utilización de problemas sencillos van

despertando el interés de los/as estudiantes para posteriormente ingresarles en grados de

mayor complejidad.

Ítem Nº 47

¿Cuántos ejercicios deberían realizarse en clase para desarrollar el razonamiento lógico

matemático de sus estudiantes?

Tabla Nº 47

Indicador F %Muchos 3 27Pocos 8 73Nada 0 0Total 11 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 47

El 73% de los/as profesores/as indica que con pocos ejercicios en clase se desarrolla el

razonamiento lógico matemático de sus estudiantes y un 27% señala con muchos. Esto

significa que los/as profesores no dan muchos ejercicios o problemas a sus estudiantes y no

están conscientes de que cuantos más ejercicios y en diferentes grados de complejidad se

presenten los mismos, se desarrolla mejor el razonamiento lógico matemático. De ello se

deduce que aún persiste el desconocimiento sobre el razonamiento lógico matemático y que

133

73

0

189

0

10

20

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50

60

70

80

Si No Tal vez Blancos

no se está dando espacio en clases a los ejercicios ni a la resolución de problemas lo cual va

en detrimento de los/as estudiantes.

Ítem Nº 48

Para usted, si un estudiante no desarrolla su razonamiento lógico matemático no puede

realizar ejercicios ni resoluciones de problemas

Tabla Nº 48

Indicador F %Si 8 73No 0 0Tal vez 2 18Blancos 1 9Total 11 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 48

El 73% afirma que si un estudiante no desarrolla su razonamiento lógico matemático no

puede realizar ejercicios ni resoluciones de problemas, un 18% señala que tal vez y los

blancos ascienden a un 9%, la opción no, no presenta ningún porcentaje, lo cual significa

que ningún docente niega la afirmación del enunciado. Por lo tanto, los/as profesores/as

reconocen la importancia del razonamiento lógico matemáticas en ejercicios y problemas,

mientras que del porcentaje 18% se deduce que pueden existir otros factores que también

134

19

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18 18 18

0

5

10

15

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30

Dividirnumeros

enteros enpartes

P roblematizarejercicios

fraccionarios

Analizar,razonar,resolver

Bosquejarproblemas

reales

Blancos

influyen en la resolución de dichos ejercicios, como aquellos problemas internos o producto

de la metodología aplicada.

Ítem Nº 49

¿En que consiste la resolución de problemas con fracciones?

Tabla Nº 49

Indicador F %Dividir números enteros en partes 2 19Problematizar ejercicios fraccionarios 3 27Analizar, razonar, resolver 2 18Bosquejar problemas reales 2 18Blancos 2 18Total 11 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 49

Para el 27% de los/as profesores/as la resolución de problemas es problematizar ejercicios

fraccionarios, un 19% señala dividir números y porcentajes iguales (18%) indican que es:

analizar, razonar, resolver; bosquejar problemas reales también se incluyen los blancos.

Esto significa que los/as profesores/as entienden que en un problema se debe razonar,

135

55

18 18

0.00

9

0

10

20

30

40

50

60

Uno a tres Cuatro a seis Más de seis Ninguno Blancos

analizar problemas cotidianos y de otros autores, que requieren de una solución que

satisfaga lo que plantea; sin embargo, ninguno de ellos/as dio una respuesta clara donde se

incluya las operaciones matemáticas, la conversión al lenguaje matemático.

Ítem Nº 50

¿Cuántos ejercicios de resolución de problemas con fracciones da en sus clases?

Tabla Nº 50

Indicador F %Uno a tres 6 55Cuatro a seis 2 18Más de seis 2 18Ninguno 0 0Blancos 1 9Total 11 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 50

El 55% de los/as profesores/as indica que en sus clases se realizan entre uno y tres

ejercicios de resolución de problemas con fracciones, porcentajes iguales de 18% indican

que dan entre cuatro y seis o más de seis y un 9% no respondió. Debe resaltarse que la

opción de ninguno no obtuvo porcentaje, lo cual implica que en clases se ejercita la

matemática. Por lo tanto, la mayoría de los/as profesores no dan tanta importancia a la

realización de ejercicios y problemas con fracciones ya que tres de éstos no pueden

136

0.00

45 45

10

0.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

Resultado P rocedimiento Ambos Blancos

desarrollar el razonamiento lógico de los/as estudiantes porque se debe ir de lo sencillo a lo

complejo.

Ítem Nº 51

En este tipo de ejercicios de resolución de problemas, qué es más importante para usted ¿el

resultado o el procedimiento?

Tabla Nº 51

Indicador F %Resultado 0 0Procedimiento 5 45Ambos (resultado, procedimiento) 5 45Blancos 1 10Total 11 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 51

Un 45% de los/as profesores/as señala que el procedimiento aplicado en la resolución de un

problema es lo más importante, mientras que el mismo porcentaje (45%) señala que son dos

factores procedimiento y resultado, un 10% dejó en blanco la respuesta, mientras que la

opción de resultado no obtuvo porcentaje alguno. Esto significa que existe un grupo de

profesores/as que apuesta por la aplicación de diversos procedimientos, es decir, tratan de

137

36

27 27

10

05

10

15202530

3540

Según sucreatividad

Lo que se lesenseñó

Aplicar reglasmatemáticas

Blancos

incentivar la creatividad de los/as estudiantes, mientras que el otro grupo si bien apunta a

fomentar dicha creatividad también consideran importante la solución al problema.

Ítem Nº 52

¿Cuál es el procedimiento que deberían aplicar los estudiantes para la resolución de

problemas con fracciones?

Tabla Nº 52

Indicador F %Según su creatividad 4 36Lo que se les enseñó 3 27Aplicar reglas matemáticas 3 27Blancos 1 10Total 11 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 52

Un 36% de los/as profesores/as señala que el procedimiento aplicado depende de su

creatividad, un 27% indica que deben aplicar lo enseñado, un porcentaje similar añade que

deben aplicar reglas matemáticas y un 10% corresponde a los blancos. Debe resaltarse que

entre el primer porcentaje señalado y el segundo existe una leve diferencia de 10%. Esto

138

9 9 9

36

9 9

19

0

5

10

15

20

25

30

35

40

significa que no todos/as los/as profesores/as están de acuerdo en que los/as estudiantes

busquen nuevos métodos para resolver problemas con fracciones sino que deben aplicar los

pasos que les fueron transmitidos para resolver los mismos, respetando las reglas

matemáticas.

Ítem Nº 53

¿Cuáles son las dificultades que tienen los estudiantes al momento de resolver los

problemas con fracciones?

Tabla Nº 53

Indicador F %Dividir números enteros 1 9Falta resolver problemas mentalmente 1 9No identifican procedimiento 1 9Lectura comprensiva 4 36Ley de signos 1 9Fracciones homogéneas y heterogéneas 1 9Blancos 2 19Total 11 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 53

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36

27 27

10

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Bueno Regular Deficiente Blancos

El 36% señala que las dificultades se concentran en la lectura comprensiva y porcentajes

similares de 9% indican que: dividir número enteros, resolución de problemas

mentalmente, no identifican el procedimiento, ley de signos, fracciones homogéneas y

heterogéneas, los blancos ascienden a un 19%. Esto significa que las dificultades

comienzan por la comprensión lectora, sin embargo también se identifican problemas

teóricos donde se tiene los tipos de fracciones, signos, tipos de procedimientos y problemas

que imposibilitan a los/as estudiantes a que resuelvan los problemas con fracciones.

Ítem Nº 54

El nivel de razonamiento lógico matemático de sus estudiantes es…

Tabla Nº 54

Indicador F %Bueno 4 36Regular 3 27Deficiente 3 27Blancos 1 10Total 11 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 54

El 36% de los/as profesores/as indica que el nivel de razonamiento lógico matemático de

sus estudiantes es bueno, porcentajes iguales de 27% señalan que es regular y deficiente

mientras que existe un 10% de blancos. Si se suma los porcentajes de regular, deficiente y

blancos se tiene un 64% que sobrepasa al porcentaje de bueno. Esto significa que si bien

140

10

18 18

9

18

9

18

0

5

10

15

20

existe un buen nivel de razonamiento lógico matemático, el mismo no tiende a mejorar ya

que la sumatoria de los otros porcentajes indica que dicho nivel tiende a bajar; razón por la

cual, no se está desarrollando el razonamiento lógico matemático de los/as estudiantes ya

que no se da tanta importancia a los ejercicios y problemas en la materia.

Ítem Nº 55

¿Cómo se puede mejorar el razonamiento lógico matemático de sus estudiantes para que

puedan resolver los problemas con fracciones sin dificultades?

Tabla Nº 55

Indicador F %Apoyo en resolución de fracciones 1 10Practicando 2 18Resolviendo problemas 2 18Lectura comprensiva 1 9Juegos 2 18Razonando 1 9Blancos 2 18Total 11 100

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico Nº 55

Porcentajes iguales de 18% señalan que se puede mejorar el razonamiento lógico

matemático de los estudiantes a través de la práctica, resolviendo problemas, juegos y

también se incluye los blancos. Otros porcentajes iguales de 9% se tiene en: lectura

141

comprensiva, razonamiento y un 10% apoyo en resolución de problemas. Esto significa que

la práctica de resolución de problemas es uno de los medios para mejorar el razonamiento

lógico matemático como también la incorporación de juegos didácticos tomándose el alto

nivel de abstracción de la materia que dificulta muchas veces su enseñanza.

CONCLUSIONES

Las conclusiones que se vierten a continuación se realizaron en base a la investigación

llevada a cabo en la unidad educativa Juan Pablo II del cantón Uyuni del distrito de

Colquiri en el primer trimestre del 2012 y dichas conclusiones se muestran según los

objetivos logrados.

Objetivo general

Determinar el nivel de razonamiento lógico matemático y su incidencia en la resolución de

problemas con fracciones de los/as estudiantes del primer año del nivel secundario de la

unidad educativa Juan Pablo II del Distrito de Colquiri en la gestión 2012.

Los/as estudiantes de la Unidad Educativa Juan Pablo II del Distrito de Colquiri tienen un

nivel alto de razonamiento lógico matemático lo cual está demostrado en el anexo Nº 7, ya

que se registran pocas dificultades que se concentran, especialmente, en el desconocimiento

de conceptos teóricos producto de una falta de transmisión de conocimientos sobre dicha

capacidad por parte de sus profesores/as, quienes presentan falencias teóricas al respecto.

Si bien existen resultados favorables en muchos de los ejercicios propuestos en el test de

razonamiento lógico matemático, no puede obviarse la existencia de porcentajes que

muestran respuestas incorrectas y en el peor de los casos respuestas en blanco, los cuales

sumados dan porcentajes que se aproximan a los favorables.

Cabe resaltar que la parte teórica en cualquier ciencia o materia se constituye en una parte

fundamental ya que se traduce como un primer acercamiento de los/as estudiantes para con

el objeto de estudio del cual debe conocerse y aprehenderse sus definiciones conceptuales,

142

características, tipologías, elementos, relaciones y otros que posteriormente se constituirán

en el sustento de la correspondiente puesta en práctica, es decir, de la resolución de

problemas.

Es necesario recalcar que a través de esta investigación se les ha posibilitado a los/as

estudiantes el conocimiento tanto del test de razonamiento lógico matemático como de su

resolución, ya que anteriormente no han sido sometidos a pruebas similares ni en otras

circunstancias, lo cual ha sido favorable y valorado por ellos/as, quienes ahora están

conscientes sobre algunos aspectos del razonamiento lógico matemático.

En la presente investigación, se ha comprobado estadísticamente esta incidencia dado que

uno de los objetivos de la estadística es hacer inferencias con respecto a los parámetros de

la población desconocida, basada en la información obtenida mediante datos muéstrales.

Estas inferencias se expresan en una de dos maneras: Como estimaciones de los parámetros

respectivos o como pruebas de hipótesis referentes a sus valores. En este caso se ha tomado

como prueba de hipótesis, para tal efecto se plantearon las hipótesis alternativas y nulas,

como se muestra más adelante.

Objetivos específicos

Identificar criterios de valoración sobre el razonamiento lógico matemático en

estudiantes y docentes

El razonamiento lógico matemático se constituye en una palabra de difícil definición para

algunos/as ya que engloba, indirectamente, otros conceptos que interrelacionados deben

expresar una sola idea, lo cual se muestra en los ítemes Nº 31 y 41. Ello da lugar a que

muchos/as definan el razonamiento lógico matemático a través de un solo concepto que

expresa una parte del pensamiento que representa.

Las anteriores afirmaciones se sustentan en respuestas tales como: pensar, razonar, analizar,

saber matemática, usar la cabeza, un ‘no es fácil’ como se evidencia en el ítem Nº 31 donde

143

un 60% de los estudiantes se inclina por pensar; mientras que los profesores tienen

respuestas diversas (análisis concreto, pensamiento deducido con números, razón al

problema y capacidad lógica) pero con porcentajes iguales de 17% que definen o tratan de

definir al razonamiento lógico matemático sin darse cuenta que las palabras mencionadas ni

son sinónimas ni expresan el verdadero significado.

A pesar de que el ítem Nº 32 muestra un 56% de importancia que se otorga al razonamiento

lógico matemático y un 42% de los estudiantes asevera que la utilización de dicho

razonamiento es ‘fácil’, lo cual da a entender que es común y no un privilegio o algo

particular, no se logra salir de la ambigüedad que persiste en las definiciones tanto en

estudiantes como profesores y por lo tanto, no se le valora en su justa dimensión, como se

evidencia en el ítem Nº 34 donde un 42% de los estudiantes indica que se realizan pocas

actividades para desarrollar el razonamiento lógico matemático.

Es que, tanto profesores como estudiantes entienden que el desarrollo del razonamiento

lógico matemático se logra a través de la realización de pocas actividades matemáticas

como se comprueba en el ítem Nº 34, ya que los porcentajes son diferentes entre ejercicios

con un 18%, problemas con un 73% y otros con un 9%.

Además que el ítem Nº 47 tiene un 73% de los profesores quienes aseveran que dan pocos

ejercicios y centrándose en problemas que muchas veces no pasan de cuatro, como se

verifica en el ítem Nº 50 donde un 55% señala que dan de uno a tres ejercicios, lo cual

contradice la afirmación de ambos de que el razonamiento lógico matemático es importante

para las matemáticas.

Bajo esta perspectiva, un 55% de los profesores valoran el razonamiento lógico matemático

de los/as estudiantes como bueno, lo cual se evidencia en el ítem Nº 44, sin embargo, esta

calificación no tiende a mejorar en la práctica ya que si bien los ejercicios simples y los

problemas sencillos ayudan a dicho razonamiento no están conscientes de que son los

problemas con mayores grados de complejidad los que favorecen en gran medida al

razonamiento lógico matemático. Un 55% de los profesores afirma que el razonamiento

lógico matemático no se desarrolla con la complejidad de los ejercicios o problemas.

144

Así, tanto los problemas como los ejercicios complejos son los que exigen de los/as

estudiantes la aplicación de todos sus conocimientos tanto teóricos como prácticos ya que

requieren una solución y la misma implica la aplicación de comprensión lectora,

interpretación, traducción a un lenguaje matemático, selección de un procedimiento, reglas

y otros que solamente una mente activa puede aportar, según señalan los profesores en el

ítem Nº 52 ya que un 36% afirma que los estudiantes deben aplicar su creatividad para

realizar ejercicios y otros.

En consecuencia, la ausencia de un conocimiento teórico sobre razonamiento lógico

matemático tanto en profesores como en estudiantes es algo que debe llamar a la reflexión

para que exista un reforzamiento de dicho tema para posteriormente se aplique en la

práctica y de esta manera pueda desarrollar a plenitud el razonamiento lógico matemático

en beneficio de la sociedad en su conjunto.

Determinar el nivel de razonamientos lógicos matemáticos por parte de los/as

estudiantes.

El test de razonamiento lógico matemático realizado a los/as estudiantes de la unidad

educativa Juan Pablo II contenía 20 ejercicios como se evidencia desde el ítem Nº 1 hasta el

ítem Nº 20, todos ellos numéricos, con diferentes características que exigían de dichos

estudiantes la aplicación de conocimientos adquiridos no solamente en clase sino también

provenientes de su contexto.

Así, aquellos ejercicios que requerían ser resueltos por deducción lógica como los ítemes

Nº 1 y Nº 3, no solamente exigió de los/as estudiantes el significado, es decir, la parte

teórica, sino también la operación aritmética que le ayudara a llegar al resultado incluido,

donde se registró un nivel alto de razonamiento lógico matemático. En el ítem Nº 4 se

obtuvo porcentaje alto de 95%, de igual manera ocurrió en el ítem Nº 5 con un 98% de

aciertos.

En los ejercicios de lógica, la serie de números donde tenían que analizar la relación

numérica fue realizada correctamente en la mayoría de los casos, aunque no puede negarse

145

que a pesar de la sencillez de dichos ejercicios hubo tanto series incorrectas como blancos,

lo cual debe tomarse en cuenta, lo cual se evidencia en los ítemes Nº 2.

Los ejercicios de ordenamiento numérico de fracciones presentaron más falencias ya que el

59% de ejercicios incorrectos superó a los correctos 36% como se muestra en el ítem Nº 7,

lo cual lleva a pensar que no existe un conocimiento teórico básico sobre fracciones,

especialmente, en los tipos de fracciones lo cual repercute en otros ejercicios.

La graficación de fracciones fue otro tipo de ejercicios aplicados donde también se

registraron porcentajes medios con un 59% en el ítem Nº 8, es decir, soluciones incorrectas

que se traducen más que todo en la falta de lectura de las instrucciones ya que no cumplen

con lo que se solicita sino se responde según su criterio.

En los ejercicios de razonamiento lógico se registran niveles altos en todos los casos lo cual

demuestra que existe capacidad para realizar deducciones inductivas ya que tienen la

habilidad de relacionar de manera razonable los grupos de datos que se presentan en los

ejercicios y cuyas respuestas son coherentes, como se evidencia en los ítemes Nº 9 y Nº 10,

cuyos porcentajes fueron 81% y 74% respectivamente.

En los problemas que abarcan los el ítems Nº 13, Nº15 y Nº 18 se tiene resultados

satisfactorios de 49%, 49%, 64% en el ítem Nº 16, aunque existen algunos porcentajes altos

de respuestas incorrectas como 88% del ítem Nº 14, se podría afirmar que se aplicó, en

general, un razonamiento lógico matemático medio que se sustenta en las respuestas

correctas obtenidas, sin embargo, ningún test muestra la traducción al lenguaje matemático

y aplicación de la operación matemática utilizada para llegar a la solución.

En consecuencia, el razonamiento lógico matemático de los/as estudiantes del Colegio Juan

Pablo II es alto ya que las repuestas registradas en los diferentes ejercicios y problemas

incluidos en el test muestran pocas falencias de distinta naturaleza que no afectan en gran

medida al juicio vertido.

146

Determinar el grado práctico en la resolución de problemas con fracciones por parte de

los/as estudiantes.

Cuando se habla de resolución de problemas con fracciones se entiende como la aplicación

de varios pasos que deben seguirse para llegar a una solución. Si bien los/as profesores/as

enseñan cierto método aplicable en estos casos, no debe olvidarse que la creatividad es un

factor que está presente en cada problema, como lo afirman los profesores en el ítem Nº 52

ya que un 36% resalta que los estudiantes deben aplicar su creatividad para realizar

ejercicios y otros.

Así, debe resaltarse que las soluciones encontradas por los/as estudiantes en todos los

problemas fueron correctas y debe destacarse que para llegar a las mismas aplicaron

diversos métodos que no solamente se sustentaron en las operaciones matemáticas que son

necesarias sino también en las gráficas, simplificación y en la regla de tres, como se

verifica desde el ítem Nº 21 hasta el Nº 30, cuyos porcentajes son: 63%, 61%, 56%, 66%

que se traducen como la aplicación de procedimiento, reglas matemáticas y la solución.

Sobre la graficación, los/as estudiantes utilizaron los dibujos acordes al enunciado del

problema, así cuando se habló de bebidas consumidas dibujaron botellas como se muestra

en el ítem Nº 22 mientras que cuando se solicitó la graficación de fracciones la mayoría

optó por representaciones en barras como en los ítemes Nº 23 y Nº 28, lo cual demuestra la

repetición de conocimientos adquiridos en clases.

La simplificación se aplicó en el ítem Nº 29 donde un 61% de los estudiantes aplicó la

reducción de la fracción a través de la descomposición tanto del numerador como del

denominador en sus correspondientes factores primos y lograron encontrar la solución al

problema planteado.

Respecto a la regla de tres, la misma fue aplicada por un 98% de los estudiantes como se

verifica en el ítem Nº 26 y debe recordarse que dicha regla se apoya en los criterios de las

magnitudes proporcionales, es decir, es una forma de resolver problemas cuando existe una

incógnita y dos o tres valores conocidos con los cuales se realiza operaciones de

multiplicación y división para encontrar la solución.

147

Por lo expuesto, el grado práctico en la resolución de problemas con fracciones por parte de

los/as estudiantes ha sido bueno ya que entendieron los conceptos del enunciado, tradujeron

los mismos a un lenguaje matemático adecuado donde se fusionó un procedimiento creativo

basado en graficación, aplicación de la regla de tres y la simplificación con lo cual lograron

obtener la solución al problema.

Identificar las dificultades que presentan los/as estudiantes en la resolución de

problemas con fracciones.

Las dificultades que presentan los/as estudiantes en la resolución de problemas con

fracciones no solamente se rescatan de los test y pruebas aplicadas sino también de la

opinión de los propios actores ya que si bien se tiene un juicio valorativo favorable que se

traduce en bueno, no puede olvidarse los otros porcentajes que representan las fallas o los

blancos.

Por lo tanto, una dificultad proviene de la propia creación del estudiante ya que un 51%

considera la resolución de problemas como algo ‘difícil’ como se observa en el ítem Nº 37.

Esta sola apreciación da lugar a cierto temor que levanta una barrera inconsciente para que

ellos/as no puedan aplicar su creatividad a plenitud, optando por dejar en blanco dichos

problemas sin intentar, en muchos casos, realizar ningún paso que de inicio a la resolución.

Desde el ítem Nº 21 hasta el ítem Nº 30 se observa porcentajes en blanco, siendo los más

altos: 27% del ítem Nº 24 y 22% del ítem Nº 25.

Otra dificultad se traduce en las explicaciones proporcionadas por los/as profesores/as ya

que un 64% de los/as estudiantes entiende algunas veces dichas explicaciones, como se

evidencia en el ítem Nº 38, lo cual puede originarse en: lenguaje utilizado, metodología

empleada, la ejemplificación que puede resultar ajena a su contexto, estilos de aprendizaje

de los propios estudiantes, la no utilización de medios didácticos y otros.

A ello se suma aquellas dificultades que provienen de los mismos problemas como: la ley

de signos con un 37% y las operaciones matemáticas con otro 37% que deben aplicarse

según el enunciado correspondiente, la heurística también está presente ya que muchos/as

148

estudiantes no pueden realizar los procedimientos o métodos como se verifica en el ítem Nº

39 y por lo tanto, no pueden encontrar la solución que requiere el planteamiento.

Posiblemente la anterior dificultad esté relacionada con la falta de práctica tomando en

cuenta que un 55% de los/as profesores/as da entre uno a tres problemas para resolver como

se muestra en el ítem Nº 50, donde tanto procedimiento como resultado son importantes

para ellos/as lo cual se refleja en el 45% del ítem Nº 51. Sin embargo, son éstos quienes

identifican que la dificultad mayor se traduce en la comprensión lectora que, si se analiza,

es fundamental en estos problemas. Un 36% de los profesores sostiene que la lectura

comprensiva es una de las mayores dificultades como se verifica en el ítem Nº 53.

En consecuencia, las dificultades que presentan los/as estudiantes en la resolución de

problemas con fracciones provienen de diferentes fuentes: estudiantes, profesores, misma

matemática (fracciones) y ello va a persistir hasta el momento en que no se busque una

solución que tome en cuenta cada uno de estos factores.

Hipótesis

La hipótesis de esta investigación señalaba que:

H1: El nivel alto de razonamiento lógico matemático incide positivamente en la resolución

de problemas con fracciones de los estudiantes de primero de secundaria.

La mencionada hipótesis ha sido comprobada ya que al considerarse al razonamiento lógico

matemático como algo muy importante para las matemáticas y a su vez que ésta favorece

en el desarrollo de dicho razonamiento puede deducirse que el nivel de razonamiento lógico

matemático incide positivamente en la resolución de problemas con fracciones.

Ello se argumenta en base a los resultados obtenidos en esta investigación que demuestran

que al tener un nivel de razonamiento lógico matemático alto, los/as estudiantes han

logrado solucionar todos los problemas propuestos en la prueba y que dichas soluciones se

sustenta en procedimientos creativos que toman en cuenta la graficación, simplificación y

la aplicación de la regla de tres.

149

En cuanto a las hipótesis estadísticas se tiene lo siguiente:

H1=Hipótesis alternativa

El nivel de razonamiento lógico matemático incide en el tiempo para la resolución de

problemas con fracciones de los estudiantes de primero de secundaria.

La respuesta es afirmativa dado que el 68% de los estudiantes resolvieron los problemas

satisfactoriamente, lo que implica que tienen razonamiento alto y medio.

Si bien el 58% define el razonamiento lógico como “pensar”, ello implica no tienen hay

una definición clara sobre razonamiento lógico matemático, sin embargo lo consideran muy

importante 56%, pero difícil 39%; respecto a las actividades se realizan para desarrollar su

razonamiento lógico matemático ellos indican pocas 41%, pero son necesarias las clases de

matemáticas 66%.

En cuanto a la resolución de problemas con fracciones el 32% indicó que es una situación

muy difícil porque sólo algunas veces entienden las explicaciones en clases sobre

resolución de problemas con fracciones, 63% y que existen dificultades para resolver

problemas en cuanto a la ley de signos y operaciones matemáticas con 37% cada una. Sin

embargo es importante aplicar el razonamiento lógico matemático en la resolución de

problemas con fracciones 73%.

H0=Hipótesis nula

El nivel de razonamiento lógico matemático no incide en el tiempo para la resolución de

problemas con fracciones de los estudiantes de primero de secundaria.

Esta hipótesis no se llegó a corroborar dado que el 32% del total de estudiantes no resolvió

los problemas propuestos satisfactoriamente.

El procedimiento de toma de decisión que conduce a la aceptación o rechazo de hipótesis

estadística es llamado prueba de hipótesis y habiéndose procesado los datos, se realizó la

prueba de hipótesis con los siguientes resultados:

Contrastes de hipótesis

150

A partir de un nivel de confianza 1 − α o el de significación α. El valor del parámetro

muestral está dentro de la zona de la aceptación, se acepta la hipótesis con un nivel de

significación α., caso contrario se rechaza.

El tiempo que tardan los estudiantes de la unidad educativa Juan Pablo II en la

resolución de problemas sigue una ley normal con media desconocida y desviación

típica 0,5 minutos. Para una muestra aleatoria de 41 estudiantes se obtuvo un tiempo

medio de 5,2 minutos aproximadamente.

En primera instancia. Se calcula el intervalo de confianza al nivel del 95% para el

tiempo medio que se tarda en resolver problemas.

Luego, se indica el tamaño muestral necesario para estimar dicho tiempo medio con un el

error de ± 0,5 minutos y un nivel de confianza del 95%.

=196

Entonces el tiempo promedio en la resolución de problemas en los estudiantes es de 4

minutos.

151

Verificación: Valor obtenido de la media de la muestra: 4.

Decisión: No se acepta la hipótesis nula H0.

Error de tipo II. Se comete cuando la hipótesis nula es falsa y, como consecuencia del

contraste se acepta.

H0 Verdadera Falsa

AceptarDecisón correcta

Probabilidad = 1 − α

Decisión incorrecta:

ERROR DE TIPO II

RechazarERROR DE TIPO I

Probabilidad = αDecisión correcta

La probabilidad de cometer Error de tipo II depende del verdadero valor del parámetro. Se

hace tanto menor cuanto mayor sea n. Por lo tanto, esta gráfica demuestra que los

resultados del razonamiento lógico-matemático son significativamente superiores e

influyen en la resolución de problemas con fracciones

Donde:

Elementos de una prueba de Hipótesis:

La hipótesis nula es H0, es la suposición que se quiere probar. 

La hipótesis alternativa es H1 la cual es enunciada de tal forma que permite la posibilidad

de muchos valores del parámetro poblacional.

Estadístico de prueba

Es una función de las mediciones muéstrales ( ) s x, en el cual se fundamenta la decisión

estadística.

Región de rechazo

152

Especifica los valores del estadístico de la prueba para los cuales se rechaza la hipótesis

nula, en esta región existe una diferencia significativa entre el estadístico de la muestra y el

supuesto parámetro de la población.

Región de aceptación

Es la región donde no existe diferencia significativa entre el estado de la muestra y el

supuesto parámetro de la población. Aceptaremos H0 si el estadístico muestral cae en esta

región.

Tipo de pruebas de hipótesis

Existen: de dos colas y de una cola, que puede ser izquierda (cuando se acepta la hipótesis

nula) o derecha cuando se rechaza la hipótesis nula que es la que se adopta en este caso.

Por ello, llegando al objetivo general a partir de los resultados y corroborando con las

estadísticas, el nivel medio de razonamiento lógico matemático incide de igual manera en la

resolución de problemas con fracciones, es decir, que se tiene un promedio regular, en

general, en los problemas resueltos por los/as estudiantes ya que si bien muchos/as lograron

encontrar la solución a través de procedimientos creativos, no puede negarse que existen

estudiantes que han copiado las respuestas sin mostrar procedimiento alguno o los mismos

son incorrectos a lo cual se suma las respuestas en blanco. La media aritmética de la prueba

de problemas que resolvieron correctamente es de 68% que es considerado como un

razonamiento bueno o satisfactorio.

Lo explicado en el anterior párrafo podría deberse a las diversas dificultades que afrontan

los/as estudiantes de esta unidad educativa y las mismas tienen diferentes fuentes que

comienzan en el mismo estudiante, en los/as profesores/as, en la materia de matemáticas y

porque no decirlo en el tema investigado, ya que debe recordarse que para el primer año del

nivel secundario todo estudiante cuenta con un conocimiento acumulado de anteriores

cursos como también su relacionamiento con el contexto se ha incrementado.

El desarrollo del razonamiento lógico matemático a través de diversas actividades como:

juegos, test, pruebas, olimpiadas y otras favorecerán a los estudiantes y se incrementará la

incidencia de dicho razonamiento en el tiempo de la resolución de problemas con

153

fracciones que ameritan especial atención por parte de los profesores ya que es un tema de

suma importancia para su desenvolvimiento tanto en su vida cotidiana como profesional.

RECOMENDACIONES

En base a las conclusiones obtenidas, se recomienda lo siguiente:

Los/as profesores/as de la unidad educativa Juan Pablo II del Distrito de Colquiri deberían

profundizar sus conocimientos sobre el razonamiento lógico matemático para

posteriormente transmitir a sus estudiantes todo lo aprendido y de esta manera logren

despejar las dudas correspondientes.

La implementación de crucigramas, sopas letras, test de razonamiento lógico matemáticos,

preguntas de razonamiento y otros en la materia de matemáticas en diversos niveles,

favorecería el desarrollo del razonamiento lógico matemático de los/as estudiantes, quienes

no presentarían tantas dificultades en los siguientes cursos. Dicha implementación podría

proponerse a través de un proyecto educativo y en una fase pilota.

La utilización de un lenguaje sencillo y claro coadyuvaría en las clases de matemáticas

como también el empleo de diversos materiales, medios didácticos, que ayudarían a los/as

estudiantes que tienen diferentes estilos de aprendizaje y los cuales directamente inciden en

su formación.

Debe recordarse que no todos/a los/as estudiantes asimilan de igual manera la materia,

existen algunos/as que tras varias repeticiones y ejercicios logran entender las

explicaciones; razón por la cual, deberían los/as profesores/as explicar más de dos veces lo

154

avanzado donde se tome en cuenta la interpretación teórica como la ejemplificación y

adecuación a su contexto por parte de los/as estudiantes.

Los/as estudiantes de esta unidad educativa deben prestar mayor atención a las

explicaciones de los/as profesores/as y más aún preguntar para despejar las dudas que

tengan respecto a algún tema para que en los siguientes temas de avance no presenten

vacíos en su conocimiento.

Los/as estudiantes deben solicitar a sus profesores/as de matemáticas que se revisen en

clases tanto ejercicios como problemas matemáticos que forman parte de su tarea en casa.

Dentro de estos espacios de revisión deberían dar lugar al intercambio de conocimiento en

grupo y con el resto de sus compañeros.

Las autoridades de la unidad educativa deben brindar el apoyo necesario a los/as

profesores/as para que lleven a cabo diversas investigaciones y la elaboración de proyectos

a favor de los/as estudiantes. Asimismo, deben incentivar al alumnado para que desarrollen

sus diversas capacidades a través de concursos al interior de la unidad educativa y

posteriormente entre otras unidades.

Los padres y las madres de familia también juegan un rol importante que ya deben respetar

el espacio de tiempo dedicado a la elaboración de trabajos colegiales por parte de sus

hijos/as. La concientización por parte de todos/as ellos/as sobre la relevancia de la

educación es primordial para contar con estudiantes que favorezcan a la sociedad en su

conjunto.

155

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Aldape, Alexandro y Toral, Carlos (2005). Matemáticas 2. México: Editorial Progreso

S.A.

Andonegui, Martín (2004). El desarrollo del pensamiento lógico matemático. Colección de

procesos educativos N º 25. Ed. Fe y Alegría.

Bautista, Juan (2007). “Fracciones”. Capítulo 3.

http://www.iesprofesorjuanbautista.es/IMG

pdf_3-Fracciones.pdf

Bedregal, Yolanda y González, Antonio (1956). Calendario folklórico del departamento de

La Paz. La Paz. Honorable Municipalidad de La Paz. Dirección General de Cultura.

Beltrán, Luis Ramiro (2001). Un adiós a Aristóteles: La comunicación horizontal. La Paz.

Universidad Católica.

Bernabé, Alberto (2004). Retórica aristotélica. Madrid. Alianza Editorial.

Bobo, Eloy-Luis (2009). Algunas ideas para resolver problemas. Zamora-España.

Asociación Castellano y Leonesa de Educación Matemática “Miguel de Guzmán.

Bolivia (2010). Ley Avelino Siñani - Elizardo Pérez. Ley N° 070. La Paz.

156

Canedo, Juvenal (1978). Lógica formal y simbólica. La Paz. Talleres-Escuela Don Bosco.

Carmona, Nidia y Jaramillo, Dora (2010). El razonamiento en el desarrollo del

pensamiento lógico a través de una unidad didáctica basada en el enfoque de

resolución de problemas. Maestría en Educación. Universidad Tecnológica de Pereira

Cartagena, Carmen (2002). El lenguaje de las matemáticas en sus aplicaciones. Instituto

Superior de Formación del Profesorado. Ministerio de Educación, Cultura y Deporte.

Castañón, Natalia (2010). “Componentes del pensamiento lógico matemático”.

http://matematicas.conocimientos.com.ve/2010/01/componentes-del-pensamiento-

logico.html

CEPA Centro Oriente (2010). “Las fracciones”. http://blog.educastur.es/manuelfv/files2010

/02/las-fracciones.pdf

Cofre, Alicia y Tapia, Lucila (2008). Cómo desarrollar el razonamiento lógico y

matemático. Santiago de Chile: Editorial Universitaria.

Corbalán, Fernando (2007). Matemáticas de la vida misma. España: Editorial GRAO, de

IRIF, S.L.

Díaz, Francisco y García, José (2004). Evaluación criterial del área de matemáticas.

España: CISSPRAXIS S.A.

Dirección Distrital Colquiri (2011). Estadística de estudiantes unidad educativa Juan

Pablo II. La Paz.

Embajada de Bolivia en el Ecuador (2010). “Municipio de Colquiri”.

www.embajadabolivia.ec.

157

Fonseca, Socorro (2000). Comunicación oral. Fundamentos y práctica estratégica.

México: Ed. Prentice Hall.

García, Juan (2001). Didáctica de la matemática: Una visión general. España.

Gobierno Autónomo Departamental de La Paz. “El departamento de La Paz”.

www.gobernacionlapaz.gob.bo

Godino, Juan (2003). Didáctica de las matemáticas para maestros. Granada: Universidad

de Granada.

González, J. L. (2000). Didáctica de la matemática. UMA. España.

González, Maria Cristina y Paniagua, Juan Guillermo (2010). Interpretación de problemas

matemáticos 1. Medellín: Instituto Tecnológico Metropolitano.

Gutiérrez, Feliciano (2004). Evaluación de aula. La Paz: Editorial Kipus.

Gutiérrez, Pedro (2007). Matemáticas. La Paz: Editorial La Hoguera.

Guzmán, Miguel de (1984). Aventuras matemáticas. Barcelona: Ed. Labor.

Hernández, Carolina (2010). “Dificultades de aprendizaje: ¿Cuál es el rol de la escuela?”.

En 12ntes digital. Argentina.

Hernández Sampieri, Roberto, Fernández, Carlos y Baptista Pilar (1998). Metodología de

la investigación. Segunda edición. México: McGraw-Hill.

Hernández Sampieri, Roberto, Fernández, Carlos y Baptista, Pilar (2006). Metodología de

la investigación. Cuarta edición. México: McGraw-Hill.

158

Herreros, Oscar (2006). “¿Qué es un problema y qué componentes lo definen?”.

http://consultaparapadres.blogspot.com/2006/11/qu-es-un-problema-y-qu-

componentes-lo.html

Huayllani, Fidelia (2006). Estrategias de enseñanza de la matemática en contexto

multicultural. Tesis de maestría. Cochabamba: PROEIB Andes.

Instituto Nacional de Estadística (2001). “Habitantes del departamento de La Paz”.

www.ine.gob.bo.

Instituto Nacional de Estadística (2005). Bolivia: Características sociodemográficas de la

población indígena. La Paz: Editorial Multimac.

Jiménez Hernández, José de Jesús (2006). Matemáticas 1 Aritmética y preálgebra. México:

Umbral Editorial.

Lefebvre, Henri (2006). Lógica formal, Lógica dialectica. México: Siglo XXI.

Lujambio, Alonso (2011). Estrategias para desarrollar la capacidad del razonamiento

lógico matemático. México: Supervisión Escolar y Jefatura de Enseñanza.

Martínez, José y Mederos Otilio (2000). La resolución de problemas como un medio para

el desarrollo, la formación y la generalización del concepto de media aritmética.

www.iberomat.uji.es/carpetas

Meneses, J. (2010). “Colquiri”. http://colquiri.jimdo.com/inicio/datos-de-interes/

Mialaret, G. (1986). Las matemáticas: cómo se aprende cómo se enseña. Madrid: Visor.

Ministerio de Educación y Ciencia (1999). Área de Matemática. Primaria. Volumen 12.

España.

159

Mucha, Dennis (2009). Estrategias para desarrollar la capacidad de razonamiento lógico

matemático. Huancayo.

Núcleo Valle Hermoso (2011). Programa Operativo Anual. Colegio Juan Pablo II. La Paz.

Núñez, Fresia (2008). “Aprendizaje de los conceptos básicos”. http//www.rmm.cl/index_

sub.php?id_contenido=20947&id_seccion=11425&id_portal=2028

Observatorio Plurinacional de la Calidad Educativa (2011). Situación de los procesos de

aprendizaje. Cuadernillo 3. La Paz.

Ocaña, José Andrés (2010). Mapas mentales y estilos de aprendizaje. Editorial Club

Universitario.

Orellana M, Javier. (2002). Matemática integral. Cochabamba: Editorial Nazca.

Ortiz, Alexander (1986). Metodología de la enseñanza problémica en el aula de clase.

Colombia: Ediciones Asiesca.

Parra, Cecilia (1990). Matemática. Fracciones y números decimales. Buenos Aires:

Secretaria de Educación.

Pastor Fernández, Andrea (2010). Cultura general. Madrid: Ediciones Paraninfo.

Periódico Cambio (2010). Departamento de La Paz. www.cambio.bo

Periódico Extra (2010). La Paz “La tea que no se apaga”. Edición especial. La Paz.

Periódico La Prensa (2011). El 2 de agosto, Día de la Revolución Agraria en Bolivia.

Sección actualidad. La Paz.

Porras, Jesús (2010). “Lógica matemática”. http://www.derivadas.es/page/2/

160

Ramírez, Julio (2009). Historial de la unidad educativa central Uyuni. La Paz.

Rigal, Robert (2006). Educación motriz y educación psicomotriz en preescolar y primaria.

Barcelona: INDE Publicaciones.

Riverón, Otoniel, MARTIN, Juan, GONZALES, Idalia y GOMEZ, Angel (2001).

Influencia de los problemas matemáticos en el desarrollo del pensamiento lógico.

Cuba: Universidad de Ciego de Avila.

Ruiz, José Manuel (2008). “Problemas actuales de la enseñanza aprendizaje de la

matemática. http://www.rieoei.org/deloslectores/2359Socarras-Maq.pdf

Saguillo, José Miguel (2008). El pensamiento lógico matemático. Elementos de heurística

y apodíctica demostrativa. Madrid: Ediciones Akal.

Seijas, Luis (2003). “Elementos y tipos del razonamiento”. www.monografias.com

Velásquez, Edis (2008). Pensamiento lógico matemático en la educación básica.

Venezuela.

161

ANEXOS

Anexo Nº 1

MAPA DEPARTAMENTO DE LA PAZ

MAPA DEL DEPARTAMENTO DE LA PAZ

Provincia Inquisivi – Cuarta sección Colquiri donde se ubica el cantón Uyuni

Anexo Nº 2

MAPA PROVINCIA INQUISIVI

MAPA PROVINCIA INQUISIVI

Cuarta sección Colquiri – Cantón Uyuni

Anexo Nº 3

TEST DE RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

TEST DE RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

Instrucciones: Estudiantes, este test forma parte de una investigación educativa, razón por la cual, solicito leer cada pregunta y responder según lo que se indica. Gracias por la colaboración.

1. ¿Qué números continuarán esta serie?

15 20 25 _____ _____ _____ _____

2. Completa el siguiente recuadro utilizando los siguientes signos: +; - ; / ; x

45 _____ 40 = 5 40 _____ 5 = 8

250 ______ 50 = 300 72 ______ 5 = 360

100 _____ 50 = 50 100 _______ 5 = 20

3. Completa los números que faltan

100 90 80 _____ _____ _____ _____

4. Une cada fracción con su nombre

Un cuarto Dos tercios Un décimo Tres quintos

5. Si 15 es triple de 5, 10 el doble de ……………….

6. Si un entero tiene ¿Cuántos medios tendrá un entero?..............................

7. Ordena las siguientes fracciones de mayor a menor ; ;

8. Utilizando círculos representa las siguientes fracciones ;

9. SACO es a ASCO como 7683 es a:

a) 8376 b) 6783 c) 3867 d) 3678

10. DIDIIDID es a 49499494 como DIIDIIDD es a:

a) 94494499 b) 49949944 c) 49499494 d) 94944949 e) 49944949

11. Si en 10 el 2 está contenido 5 veces; en 10 el 5 cuantas veces estará contenido…….

12. Mario ha ido a la feria comunal a comprar lechugas, la vendedora le ha dado 6 lechugas, Mario se quedó con una y dos se la dio a su hermana, otra se le ha caído en la tierra. ¿Cuántas lechugas le quedan a Mario?

a) 2 b) 5 c) 4 d) Ninguna

13. Jesús, el vecino, tiene 4 años. Su hermano mayor, Gonzalo, es tres veces mayor que él. ¿Qué edad tendrá Gonzalo cuanto tenga el doble de edad que Jesús?

a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) 22

14. Juan es más rápido que Sara y Eva es más lenta que Juan ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

a) Eva es más rápida que Sara b) Eva es más lenta que Sarac) Eva es tan rápida como Sara d) No se sabe si Sara es más rápida que Eva

15. Tengo 3 saquillos de papa de igual tamaño. Dentro de cada uno de los tres saquillos hay otras dos más pequeñas y en cada una de éstas otras cuatro aún menores ¿Cuántos saquillos tengo en total?

a) 9 b) 24 c) 33 d) 30

16. En un corral hay 35 gallinas, 2 gallos, 25 pollitos y 12 palomas ¿Cuántas cabezas de

animal hay? ……………………………

17.En el campo hay 2 gallos, 4 perros y 10 vacas ¿Cuántas patas de animal hay?

……………………………

18. En el corral hay 3 chanchos, 2 gallinas y 2 caballos ¿Cuántos animales con plumas

hay?...............................

19. Si en un aula tengo 10 sillas ¿Cuántos espaldares y patas hay en total?

20. En la comunidad, doña María tiene 3 perros, 5 gallinas y 4 chanchos ¿Cuántos hocicos

hay en total?

TABLA Y GRAFICO DE RESULTADOS DEL TEST LOGICO MATEMATICO

Resultados obtenidos estadísticamente del test de razonamiento lógico matemático sobre 20 preguntas distribuidos por ítems.

Preguntas Alto Medio BajoItem 1 XItem 2 XItem 3 XItem 4 XItem 5 XItem 6 XItem 7 XItem 8 XItem 9 X

Item 10 XItem 11 XItem 12 XItem 13 XItem 14 XItem 15 XItem 16 XItem 17 XItem 18 XItem 19 XItem 20 X

TOTALES 11 8 1En % 55 40 5

Grafico del test [%]

Anexo Nº 4

PRUEBA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON FRACCIONES

PRUEBA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON FRACCIONES

Instrucciones: Leer atentamente cada enunciado y responder.

1. Escribe cómo se leen las siguientes fracciones y grafica las mismas:

a) b) c) d)

1. En la reunión de padres de familia de la comunidad de Colquiri, los profesores de ciencias naturales han bebido dos refrescos de una docena que contiene la caja ¿Cuál es la fracción que representa las bebidas consumidas por los profesores? Da el resultado mostrando la operación realizada.

R…………………….

2. En la fiesta comunal, la profesora Carmen se ha comido 2 trozos de un queso dividido en 6 partes iguales ¿Qué fracción representa lo que se ha comido la profesora Carmen?. Da el resultado mostrando la operación realizada.

R…………………….

3. El director del colegio tenía ahorrado 18.000 dólares para comprar computadoras para el

colegio, pero ha sacado del dinero para comprar libros ¿Cuánto le costaron los libros? Da el

resultado mostrando la operación realizada.

R………

5. La familia Quispe que vive en Colquiri tiene 3 hijos a quienes han regalado 120 dólares. El

primero se llevó del total, el segundo y el tercero el resto ¿Cuánto dinero se ha llevado

cada uno de ellos? Realiza la operación correspondiente para obtener el resultado

R……………………………….

6. El 60% de los comunarios viaja en transporte público hacia La Paz. Si el número total de los comunarios es de 1200 ¿Cuántos comunarios viajan en transporte público?

R………………………………..

7. Hoy se me cayó en el camino mi bolsa con 18 semillas de papa que tenía para sembrar y que

corresponden a de lo que tenía en total ¿Cuánta semilla de papa tenía en total?

R………………………………

8. Un comunario que tiene su terreno cerca el mío ha sembrado de su terreno con semilla de

papa negra y con semilla de papa imilla ¿Qué fracción del terreno le queda libre?

R………………………………………………

9. En la comunidad, se están haciendo varias obras y han alquilado una camioneta para transportar

arena. La camioneta transporta en cada viaje de tonelada de arena ¿Cuántas toneladas

transporta en 8 viajes?

R…………………………………….

10. La portera del colegio Juan Pablo II ha ahorrado Bs. 18.000 para comprar un terreno en otra

comunidad, pero ha sacado del dinero para comprar ovejas ¿Cuánto le costaron las ovejas?

Realiza la operación mostrando los pasos

R…………………………………………

Anexo Nº 5

CUESTIONARIO PARA ESTUDIANTES

CUESTIONARIO

Por favor responde el siguiente cuestionario, dichos resultados son confidenciales y servirán para una investigación educativa realizada en el colegio Juan Pablo II

1. Para ti, ¿qué es el razonamiento lógico matemático?

R. …………………………………….

2. El razonamiento lógico matemático es…… (Encierra en un círculo la respuesta)

a) Muy importante b) Importante c) Nada importante

3. Para ti, usar tu razonamiento lógico matemático es…..

a) Difícil b) Fácil c) Muy fácil

4. En tus clases de matemáticas ¿Cuántas actividades se realizan para desarrollar tu razonamiento lógico matemático?

a) Muchas b) Pocas c) Nada

5. En tu opinión ¿el razonamiento lógico matemático es necesario para las clases de matemáticas?

a) Si b) No c) Tal vez

6. Puedes definir que es la resolución de problemas con fracciones

R. …………………………………….

7. Para ti, resolver problemas con fracciones es…………

a) Difícil b) Fácil c) Muy fácil

8. ¿Entiendes las explicaciones en clases sobre resolución de problemas con fracciones?

a) Siempre b) Algunas veces c) Nunca

9. Las dificultades que tienes para resolver problemas con fracciones son..

a) ley de signos b) operaciones matemáticas c) procedimiento d) resultado

10. Para la resolución de problemas con fracciones ¿es importante aplicar el razonamiento lógico matemático?

a) Si b) No c) Tal vez

Anexo Nº 6

CUESTIONARIO PARA PROFESORES

CUESTIONARIO

Por favor responda el siguiente cuestionario, dichos resultados son confidenciales y servirán para una investigación educativa realizada en el colegio Juan Pablo II

1. ¿Puede dar una definición de razonamiento lógico matemático?

R…………………………………………

2. En su opinión ¿Es importante el razonamiento lógico matemático en su materia? Elija una respuesta y encierre en un círculo.

a) Muy importante b) Importante c) Nada importante

3. Usted cree que la matemática debe favorecer al razonamiento lógico matemático

a) Siempre b) Algunas veces c) Nunca

4. Para usted el razonamiento lógico matemático de sus estudiantes es…………

a) Muy bueno b) bueno c) Regular

5. ¿Cómo desarrolla el razonamiento lógico matemático de sus estudiantes? Puede elegir más de una opción

a) Ejercicios b) Problemas c) Otros……………

6. En su opinión el razonamiento lógico matemático se desarrolla mejor según la complejidad de los ejercicios o problemas….

a) Si b) No c) Tal vez

7. ¿Cuántos ejercicios deberían realizarse en clase para desarrollar el razonamiento lógico matemático de sus estudiantes?

a) Muchos b) Pocos c) Nada

8. Para usted, si un estudiante no desarrolla su razonamiento lógico matemático no puede realizar ejercicios ni resoluciones de problemas

a) Si b) No c) Tal vez

9. ¿En que consiste la resolución de problemas con fracciones?

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10. ¿Cuántos ejercicios de resolución de problemas con fracciones da en sus clases? Elija una opción

a) Uno a tres b) cuatro a seis c) Mas de seis d) Ninguno

11. En este tipo de ejercicios de resolución de problemas, qué es más importante para usted ¿el resultado o el procedimiento? Elija una opción

a) Resultado b) Procedimiento c) Ambos

12. ¿Cuál es el procedimiento que deberían aplicar los estudiantes para la resolución de problemas con fracciones? Puede elegir mas de una opción

a) Según su creatividad b) Lo que se les enseñó c) Aplicar reglas matemáticas

13. ¿Cuáles son las dificultades que tiene los estudiantes al momento de resolver los problemas con fracciones?

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14. En su opinión, el nivel de razonamiento lógico matemático de sus estudiantes es….

a) Bueno b) Regular c)Deficiente

15. En su opinión ¿Cómo se puede mejorar el razonamiento lógico matemático de sus estudiantes para que puedan resolver los problemas con fracciones sin dificultades?

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