TIM110 Material b

TallerdeMatemticasI Semana3y4

1 UniversidadCNCIdeMxico

TallerdeMatemticasI



Temario1.Laigualdadmatemtica

1.1.Identidadesyecuaciones1.2.Propiedadesdelaigualdad1.3.Propiedadesdelosnmerosreales

2.Ecuacindeprimergradoconunaincgnita2.1.Solucindeunaecuacinlinealmedianteelmtodoformal2.2.Solucindeunaecuacinlinealmedianteelmtododetransposicindetrminos.2.3.Solucindeunaecuacinlinealmedianteelmtodogrfico2.3.1.Ecuacindeprimergradocondosincgnitas2.3.2.Introduccinalasfunciones2.3.3.Planocartesiano2.3.4.Lafuncinlinealysurelacinconlaecuacinlineal2.3.5.Graficacinmediantetabulacin2.3.6.Graficacinapartirdelapendienteylaordenadaalorigen2.3.7.Graficacinpormediodelasinterseccionesconlosejes3.Sistemadeecuacioneslinealescondosincgnitas

3.1.Clasificacindelossistemasdeecuaciones3.2.Mtodosdesolucindesistemas223.2.1.Mtododesumayresta3.2.2.Mtododesustitucin3.2.3.Mtododeigualacin3.2.4.Mtodogrfico

3.2.5.Mtodopordeterminantes4.Sistemadeecuacioneslinealescontresincgnitas4.1.Mtodosdesolucindesistemas334.1.1.Mtodogrfico4.1.2.Mtodopordeterminantes4.1.3.Mtododesustitucin5.Ecuacionescuadrticas

5.1.Mtodosdesolucindeecuacionescuadrticas5.1.1.Mtododesolucinpordespejedeecuacionescuadrticaspuras5.1.2.Mtododesolucinporfactorizacindeecuacionescuadrticasmixtas

5.1.3.Mtododesolucincompletandoeltrinomiocuadradoperfecto5.1.4.Mtododesolucinporfrmulageneral



6.Funcionescuadrticas

6.1.Caractersticasdeunaecuacincuadrtica6.1.1.Elementosdelaparbola6.1.2.Sentidodelaparbola6.1.3.Tiposdesolucionesapartirdesuscoeficientes6.2.Grficadeunaecuacincuadrtica7.Formaestndardeunafuncincuadrtica7.1.Desplazamientovertical7.2.Desplazamientohorizontal



Semana3Sesin9Lostemasarevisareldadehoyson:

1.Laigualdadmatemtica1.1.Identidadesyecuaciones1.2.Propiedadesdelaigualdad1.3.Propiedadesdelosnmerosreales

2.Ecuacindeprimergradoconunaincgnita2.1.Solucindeunaecuacinlinealmedianteelmtodoformal2.2.Solucindeunaecuacinlinealmedianteelmtododetransposicindetrminos.2.3.Solucindeunaecuacinlinealmedianteelmtodogrfico2.3.1.Ecuacindeprimergradocondosincgnitas

1.LaigualdadmatemticaUnaigualdadmatemticasecomponededosexpresionesunidasporelsignoigual.Matemticamente hablando, dos expresiones algebraicas sern iguales si tienenprecisamenteelmismovalor:

expresin1=expresin2Ejemplo 1. Clasifica las siguientes expresiones algebraicas de acuerdo a suscomponentes.

Ahorabien,puedesvisualizaruna igualdadcomounabalanzaenequilibrio,dondeelequilibrionosedebeperdernunca;esdecir,sideun ladodestahaydeterminadacantidadysecolocaoquitaunaparte, lamismapartedeberserretiradaoaadidadelotrolado.

Aadiendo una cantidad x

a ambos lados de la balanza

27243 +=++538 =

( ) 222 2 yxyxyx ++=+012 =a

Como slo tienen nmeros, se denominanigualdades numricas,

mientras que a estas dos se les conoce como igualdades algebraicasdebido a que contienen nmeros y literales.



Ejemplo:Dosvendedoresdeaguafresca,CarlosyClaudia,tienentresjarrasconaguadefrutascadauno.Carloshacolocadoen laprimera jarramedio litrodeaguade jamaica,en lasegundatieneunterciode litrodeaguadehorchatayen latercerjarratieneun litrodeaguadelimn.Claudiahacolocado trescuartosde litrodeaguadenaranjaen laprimera jarra,uncuartode litrode aguademelnen la segunda, y cinco sextosde litrode aguademangoenlatercerajarra.Quharasparasaberculdelosdosvendedorestienemsagua?Carlosquecolocentres jarrasmedio litrodeaguade jamaica,unterciode litrodeaguadehorchatayunlitrodeaguadelimnrespectivamente;oClaudiaquecolocentresjarrastrescuartosdelitrodeaguadenaranja,uncuartodelitrodeaguademelnycincosextosdelitrodeaguademango.Lo primero que debes hacer es plantear una igualdad para cada uno de losvendedores:

Matemticamente puedesdecir que: , y parece bastante lgico, no?

Siguiendo con la balanza, supn que le sumas (aades) una cantidad cualquiera, en este casorepresentada por un vaso de agua, entonces:

Observaque no es tan difcil mantenerel balance en una igualdad matemtica.

Ahora, la pregunta es, ser equivalente la siguiente expresin?

Analiza: 0.5 + 0.5 es igual a 1, por lo tanto, puedes decir que la expresin anterior s es equivalente yque por lo tanto, esa igualdad puede ser tratada como cualquier otra.

Otra forma de presentarte una igualdad es la siguiente:

En esta expresin tienes una parte desconocida, la x, pero rpidamente sabes que el valor de x debeser 0.5 para que el equilibrio de la igualdad se conserve.

kg 0.5 kg 0.5 kg 1 +=

x 0.5 1 +=

Cantidad de aguade Carlos

Cantidad de aguaen la jarra 1


Cantidad de aguaen la jarra 3= + +

Cantidad de aguade Claudia



Cantidad de aguaen la jarra 3= + +



Despus establece una incgnita para cada uno (x para Carlos, y para Claudia), yresulvelas:

Comparandoresultados,losdosvendedorestienenlamismacantidaddeaguaensusjarras.1.1.IdentidadesyecuacionesComosabes,unaigualdadalgebraicasecomponedenmerosyliterales.Enlasiguientefigurapuedesversuclasificacin,tomandoencuentasilaigualdadseverificaparatodososloalgunosnmerosreales.Sehablardeunaidentidadcuandolaigualdad se cumpla para cualquiervalorqueseledasusliterales.Tendrs una ecuacin cuando laigualdad se cumpla slo para algunosvaloresque se ledena sus literalesoincgnitas.Ejemplo.Verificaporqulaexpresinesunaidentidad.Paraqueunaexpresinalgebraicaseauna identidad,esnecesarioque la igualdadsemantenga,auncuandosusliteralestomencualquiervalor.Si arbitrariamente le das los siguientes valores a las literales: a=2, m=3 y n=1,entonces:

131

21 ++=x

6623 ++=x

611=x

65

41

43 ++=y

656 +=y

611=y

651+=y

( ) 22 anamnma =

Los vecuac

PrcVerif1.2.PLasigdefoSean

ExistmenSean

P

R

S

T

Prsu

7 Univers

valores quecin.

ctica34

ficaporqu

Propiedadegualdadestormainmed

na,b,ycn

eotrogrupcionanacona,bycn

ropiedad

Reflexiva

Simtrica S

ransitiva S

incipio deustitucin

Spcq

sidadCNCId

hacen ciert

laexpresi

esdelaiguatienenycumdiata,lascu

merosreal

podepropontinuacin.merosreale

Represenalgebr

a= a

Si a=b, enton

Si a=b y b=ca=c

Si a=b, entonpueden ser utcualquier propque el valor desta cambie.

deMxico

ta la igualda

n

aldadmplenconualesseme

es,entonce

piedadesqu.es,entonce

ntacinraica

a

nces b=a

c, entonces

nces ambas tilizadas en posicin sin e verdad de

32 =y

Tallerd

ad reciben e

es

unaseriedncionanac

es:

ue tepermi

s:

Signifilenguaje

Todo nmeromismo.

Es posible inmiembros desin que sta s

Si dos expresiguales a unaentonces stentre s.

Si dos expresiguales, stasustituidaseproposicin sde verdad ca

5+= x

deMatem

el nombre d

unaecuaci

depropiedacontinuacin

iten resolve

icado en e coloquialo es igual a s

tercambiar lose una igualdadse altere.

siones son a tercera, tas son iguale

siones son as pueden ser n cualquier sin que el valoambie.

mticasI

de solucione

in.

desquesen.

er igualdade

E

Si 3+3+

s d S

enton

s

Si 1+3e1

or

Si 3+1es lo m

3

Siobsevalor dla igucumplirexpresiidentid

I Semana

es o races

puedende

es, las cual

Ejemplo

+x, entonces:+x = 3+x

Si 2+3=5,

nces 5=2+3

3=4 y 4=2 2ntonces:+3 = 2 2

1=4, entoncesmismo escribir

4+1=5que

3+1+1=5

ervas,paracdado a lasaldad siemr, por loin sidad.

3y4

de la

educir

les se

,

s,r

cualquierliterales,mpre setanto, laes una



1.3.PropiedadesdelosnmerosrealesPor ltimo, algunas propiedades de los nmeros reales que necesitas conocer parahacermsfcileltrabajoderesolverecuacionessedescribenacontinuacin.PropiedadconmutativaLa palabra conmutativa viene del verbo conmutar que significa cambiar, en estecaso,serefiereacambiardelugar.Lapropiedadconmutativadicequepuedescambiarelordende losnmerosenunasumaomultiplicacinyapesardeestoobtenerelmismoresultado.Porejemplo:

Ambas operaciones dan como resultado 5 o 5x, no importa cul trmino escribasprimerooculcolocasdespus.Tpuedesconmutar(cambiar)elordendecualquiersumaomultiplicacinsinalterarelresultado,peroOJO!!!,jamsusesestapropiedadconrestasodivisionesporquenosiempreobtendrselmismoresultado.Porejemplo,35noes lomismoque53,ni3x5xequivalea5x3x.Porotro lado,10entre 5 no es igual a 5 entre 10, o 10x entre 5x no equivale a 5x entre 10x. Paracomprobarloefectalasoperacionesyversqueelresultadoesdistinto.PropiedadasociativaLapalabraasociativavienedelverboasociarquesignificajuntaroagrupar,poresotambinlallamanlapropiedaddeagrupamiento.

Propiedad RepresentacinalgebraicaSignificado en

lenguaje coloquial Ejemplo

Propiedadde la suma

Si a=b, entonces a+c=b+c

Puedes sumar el mismo nmero a los dos miembros de una igualdad y sta no se altera.

Si 5+1=4+2, entonces:5+1+3 = 4+2+3

9=9

Propiedad de la resta

Si a=b, entonces a-c=b-c

Puedes restar el mismo nmeroa los dos miembros de una igualdad y sta no se altera.

Si 5+1=4+2, entonces:5+1-2 = 4+2-2

4=4

Propiedad de la multiplicacin

Si a=b, entoncesac=bc

Puedes multiplicar el mismo nmero a los dos miembrosde una igualdad y sta no se altera.

Si 5+1=4+2, entonces:(5+1)3 = (4+2)3

(6)3=(6)318=18

Propiedad de la divisin

Si a=b, entonces Puedes dividir los miembros de una igualdad entre el mismo nmero y sta no se altera.

Si 5+1=4+2, entonces:

523532 =+=+xxxxxx 523532 =+=+



Estapropiedaddicequesiestssumandotresomsnmerosomultiplicandotresomsnmeros,puedesagruparojuntarlosnmerosendiferentesformasyapesardeelloobtenerelmismoresultado.Porejemplo:Si te fijas bien vers que no importa de qu manera se asocien los trminos, elresultadosiempreserelmismo.Lomismopasaconlamultiplicacin:Observaqueelresultadosiempreeselmismo,noimportacomoagrupeslostrminos.Tpuedesasociar(agrupar)encualquierformalasumaomultiplicacinsinalterarelresultado,peroOJO!!!,jamsusesestapropiedadconrestasodivisionesporquenosiempreobtendrselmismoresultado.Observaque(35)6noeslomismoque3(56);obien,(35)6noeslomismoque3(56).PropiedaddistributivaLapalabradistributivavienedelverbodistribuirquesignificarepartir.Estapropiedaddicequesiestsmultiplicandountrminopor lasumadedosomstrminos, puedes multiplicar el primer trmino por cada uno de los otros y luegosumar para obtener el resultado; es decir, distribuyes el producto en la suma. Porejemplo:PropiedadesdelosneutrosExistendosnmerosespecialesentrelosnmerosreales:elceroyeluno.Porqu sonespeciales?Puesporque soncompletamenteneutralesoneutrosantealgunas operaciones; es decir, no pueden hacer nada con ellas, no cambian elresultado.Elceroesneutralfrentealasumaylaresta,yelunoesneutralantelamultiplicacinyladivisin.Alnmero0seleconocecomoneutroaditivoyalnmero1comoneutromultiplicativo.Porejemplo:

mm 303;808;606 =+==+mm 313;818;616 ===

( ) ( ) 1235412354 =++=++( ) ( ) mmmmmmmm 1235412354 =++=++

( ) ( ) 6035460354 ==( ) ( ) 33 6035460354 mmmmmmmm ==

( ) ( ) ( )4232432 +=+( ) ( ) ( )mmmmmmm 4232432 +=+



PropiedadesdelosinversosSirecuerdas,paratodonmerorealpositivo,existedelotroladodelarectanumrica,a la misma distancia del cero, un nmero de la misma magnitud pero de signocontrario.Dichonmeroessusimtrico.Dichos nmeros tienen la caracterstica de que si se suman siempre, dan comoresultadoCERO.Debidoaello,aestosnmerosselesdenominainversosaditivos.Porejemplo:Sedicequeelinversoaditivode10es10yviceversa.Otronmeroimportanteesaquelquemultiplicandoporotronosdacomoresultadoalnmero1.Estenmeroespecialseconocecomo inversomultiplicativoo recproco.Porejemplo:

Comoves,el inversomultiplicativo (orecproco)deunnmeroenteroserepresentamediante launidad sobreelnmeroen cuestin, yel inversomultiplicativodeunafraccin,estambinunafraccincon laspartes invertidas;esdecir,elnumeradordeuna,eseldenominadordeotrayviceversa,sinimportarsiesnegativoopositivo.Prctica35Indica que propiedad de los nmeros reales se est utilizando en cada una de lassiguientesexpresionesalgebraicas.1.2.3.4.5.6.7.

165

561

13

311

818 =

=

=

021

2104401010 =+=+=+

( ) ( )pnmpnm =

+

=

zxyxzyx432

212

43

212

( ) 8513 =+

11083 =++

( ) ( ) 05656 =++

( ) 1221 =

( ) ( )nmnm 12374121212374 +=+



2.EcuacindeprimergradoconunaincgnitaApartirdesta sesin,encadaunode los temasqueversutilizars losconceptosaprendidos en las sesiones anteriores. Tanto el lenguaje algebraico, como laspropiedades de la igualdad, las operaciones con nmeros reales, los productosnotables,entreotros,teservirndebaseparalograrlosprximosaprendizajes.EcuacionesLinealesLasecuacionesconunavariableounaincgnitasonaquellasenlasqueapareceslounaliteraloletra(normalmentelax);ysedicequesondeprimergradocuandodichaliteral est elevada a la potencia 1. Por ello, las ecuaciones se pueden clasificar deacuerdoasugradocomo:Ecuacinlinealodeprimergrado.Ejemplo:Ecuacincuadrticaodesegundogrado.Ejemplo:Ecuacincbicaodetercergrado.Ejemplo:yassucesivamente.Unaecuacin linealoecuacindeprimergradoconuna incgnitaesunaexpresindelaformaAlgunosejemplosson:Cualquierotraecuacinenlaquesedebanrealizaroperaciones,peroqueadoptenesaforma,sern llamadasecuaciones linealesdeprimergradoconuna incgnita,comoporejemplo:Las tres ecuaciones anteriores aunque no tienen la forma ax+b, son ecuaciones deprimer grado con una incgnita, pues slo tienen una variable y est elevada a lapotencia1.Slosetienenquesimplificarparallegaralaformadeseada.2.1.SolucindeunaecuacinlinealmedianteelmtodoformalExistenproblemascotidianosqueseresuelvenpormediodeecuacioneslineales,comola distancia que recorre un objeto con un movimiento uniforme, los costos deproduccin, el inters simple o las mezclas en general. No puedes concebir unaecuacin sin que est relacionada con la resolucin de un problema, ya sea en lasustitucindedatosoeneldespejedealgunaincgnita.Puedesresolverunaecuacindeprimergradodetresformas;porelmtodoformalque ocupa las propiedades de la igualdad, por el mtodo de transposicin o dedespejes,yporelmtodogrfico.Enocasionesteconvienemsutilizarunatcnicapor las caractersticas de la ecuacin, el problema que deseas resolver o lasintencionesquebuscas.

843 =x0352 2 =+ xx

0162 23 =++ xxx

0 con 0 =+ abax,50108 =+x ,75 =x 5132 =+ x

,7287 =+ xx ,235 =+y

( ) ( ) 3712352 =++ aaa



MtodoformalPara resolver ecuaciones lineales mediante el mtodo formal debers indicar laspropiedadesdelaigualdadydelosnmerosrealesqueutilices.Ejemplo:problemadecantidadyvalor.Juantiene15pesosydesearepartirlosentresusdossobrinos.A Pepe le da 3 pesos, cunto le toca a Javier? Plantea la ecuacin y resulvelamatemticamente.SolucinLaecuacindeprimergradoconunaincgnitaporresolveres:Tutrabajoconsisteenaveriguarcuntovalex;mentalmenteyalosabes,perolodebesdemostrarmatemticamente.Paraaislaroaveriguarelvalordexdebesquitarelnmero3;esdecir,debeshacerlocero,yesololograssumndoloconsuinversoaditivoquees3.Recuerdaquetambindebesrestarloal15paranoalterarlaigualdad.Generalmenteenestepaso,setedecael3pasarestandodelotrolado,peroahorayasabesporqu.Entonces:Despusdeefectuarlaoperacin3+3=0,hasobtenidoelcero,entonces te basas en los hechos que viste para el neutroaditivo,conloque0+x=x,ydelotrolado153=12:ConclusinAJavierlecorresponden12pesos.Deahoraenadelantecuandoresuelvascualquiertipodeecuacin,siempredebersercomprobadaparaverificarquelasolucinescorrecta.ComprobacinParacomprobarqueunvaloressolucindeunaecuacin,locolocasenellugardelaincgnitay realizas lasoperacionesparaverificarque la igualdad secumple.Paraelejemplo:Porlotanto,laecuacinseresolvicorrectamente,Javierrecibir12pesosyPepesolamente$3.Prctica36Enunapanadera sehizounpedidode20donasde chocolate.Elpanaderopuso2donas en un plato y las restantes las deposit en nueve canastitas adornadas.Cuntasdonashayporcanastita,sihaylamismacantidadentodas?

153 =+ x31533 =++ x

120 =+ x12=x

153 =+ x15123 =+

1515 =



2.2. Solucin de una ecuacin lineal mediante el mtodo de transposicin detrminosLatransposicin de trminoses unmtodo que te permite resolver ecuaciones deprimer grado de manera sencilla y ahorrar una cantidad significativa de pasos.Tambinllamadosolucinpordespejes.Enestatcnicadebesagruparenunmiembrotodos los trminos con la incgnita (por ejemplox), y en otro, los trminosindependientes.Elmtododetransposicin odedespejesabreviaelmtodoformalyaquepuedeshacerqueun trminoqueapareceenunmiembro,aparezcade forma inversaenelotro, sin necesidad de indicar la o las propiedades utilizadas; es decir, realizardespejes:

Siuntrminoestsumandoenunmiembro,aparecerestandoenelotro,ysiestrestando,aparecesumando.

Siuntrminoestmultiplicandoenunmiembro,aparecedividiendoenelotro,ysiestdividiendo,aparecemultiplicando.

Ejemplo1.Observalatransposicindelaecuacin:Solucin:Ya no es necesario indicar cada propiedad queapliquesparadespejarlaincgnita.Con laayudadeestemtodo slo tienesquehacerlossiguientespasos:

Elnmero8queseestabarestandodel ladoizquierdo,pasaalladoderechosumando.

El 2x que se estaba sumando del ladoderecho,sepasadelladoizquierdorestando.

Porltimo,el2quemultiplicaa la incgnita,pasadel ladoderechodividiendoal14,yas,elvalordexes7.

Comprobacin:Sustituyeelvalordexenlaecuacinoriginal:Prctica37En una tienda de ropa para dama, una empleada coloca el precio de $900 a unconjuntodedospiezas,conlaleyendadequeyatieneincluidoundescuentodel25%sobreelpreciodeventa.Culeraelpreciodelconjuntoantesdeldescuento?

xx 2684 +=

xx 2684 +=( ) ( )726874 +=

146828 +=2020 =



Se mezcla x cantidad de caf cuyo precio es de $69.60 por kilogramo, con 80kilogramos de otro caf cuyo precio es de $100.80 el kilogramo, para obtener unamezcla que puede venderse a $88.80 el kilogramo. Cuntos kilogramos de $69.60debenemplearseenlamezcla?2.3.SolucindeunaecuacinlinealmedianteelmtodogrficoSirecuerdas,unaecuacinlinealoecuacindeprimergradoconunaincgnitaesunaecuacindelaforma:dondexes la incgnitayelcoeficienteapuedeserunacantidadnumricadiferentedecero.Unaecuacindeprimergradooecuacin lineal tiene lasmismascaractersticasquecualquierotraecuacin:

a) Toda ecuacin tiene dos miembros separados por el signo igual. El de laizquierda se llama primer miembro y el de la derecha se llama segundomiembrodelaecuacin.

b) Se les llamatrminosde laecuacinacadaunade lasexpresiones literalesonumricasseparadaspor lossignosdesumaoresta (+o ),ytambinpuedehaberecuacionesconunslotrmino.

c) Resolverunaecuacineshallarunnmeroquealsustituirloen la igualdad lahagaverdadera,estenmerosedenominasolucinorazdelaecuacin.

d) Elgradode laecuacinest indicadoporelmayorexponentede lavariable,queenestecaso,siempreser1.

Paraintroducirnosdellenoalmtodogrfico,queeslaterceratcnicadesolucindeunaecuacinlineal,primeronecesitasconoceralgunosconceptosmatemticos.

2.3.1.Ecuacindeprimergradocondosincgnitas

Unaecuacindeprimergradooecuacinlinealcondosincgnitasseexpresacomo:Si recuerdas,en sesionesanteriores vistequeel conjuntode losnmeros reales serepresenta por la letra R (Figura 6), y que el smbolo significa pertenencia. EstoquieredecirqueloscoeficientesA,ByCpertenecenalconjuntodelosreales,locualindica que pueden tomar cualquier valor: positivo, negativo, fraccionario, entero,racionaloirracional,peroAyBdebenserdiferentesdecero.Laecuacinanterior involucraadosvariableso incgnitas,representadasporxyy,por loqueesevidenteque lasolucindestaecuacinesunaparejadevaloresquesatisfacenlaigualdad.

0con0 =+ abax

0=++ CByAx RCy B A, donde 0By 0,A



Ejemplo:determinalosvaloresdexyyquesatisfacenlasiguienteecuacinlinealcondosincgnitasx+y=2.Lasolucinmsobviaes:x=1yy=1,yaque1+1=2Sinembargo,x=1.5yy=0.5 tambinesuna solucin.Pero, tambinesuna solucinx=0.5yy=1.5.Procediendodeestamanerapuedesdeterminarunnmeroinfinitodesoluciones.El procedimiento para encontrar todas las parejas de valores de x y y queconstituyenelconjuntosolucindeunaecuacinlinealcondosincgnitasconsisteen:

1. Despejacualquierade lasdosvariables(comnmente,seacostumbradespejarlaincgnitayparaquequedeenfuncindex).

2. Asgnalevaloresalaotravariable.3. Determinaelvalorquelecorrespondealavariablequedespejaste.

Prctica38

a) Dadalaecuacin5x+2y3=0,encuentraalmenostressoluciones.

b) Enelparquedetucoloniaseestableciunacanchadetenisperosintomarencuentalasmedidasreglamentarias.Lonicoquesabesesquesupermetroesde120metros.Cmopuedessabercuntomidensuslados?

Hasta lo quehasvistoahora, ya entendiste la diferencia entre una ecuacin deprimer grado conunaincgnita yotracondos incgnitas?, no?

Analiza los siguientes ejemplos:

Ecuacin conuna incgnita Ecuacin con dos incgnitas

Sisetienela ecuacin Si se tiene la ecuacindespejando la incgnita seobtiene: Lo primero que debe hacerse es

expresarla como funcin, despejando y:

Dando diferentes valores axseobtendrndiferentes valores paray. Algunos deellospueden ser:

Si observas, en la ecuacin lineal con una incgnita se obtiene un slo valor que hace vlida laigualdad, mientras que en la ecuacin lineal con dos incgnitas, una de ellas se convierte en lavariable dependiente (y), ytoma infinitos valores dependiendo de los valores queseleasignen a lavariable independiente (x).

2029 =+x

2029 =+x2209 =x

918=x2=x

0724 =+ yx

0724 =+ yx

27

24 += xy

x -2 -1 0 1 2y 7.5 5.5 3.5 1.5 -0.5



Prctica39Instrucciones: plantea la ecuacin lineal del problema y resulvela mediante elmtododedespejes.Problemademezclas.Cuntoskilogramosdedulce,cuyoprecioesde$1000cadauno, debenmezclarsecon6kilogramosdeotrodulcequevale$750elkilogramo,paravender lamezclaalpreciode$900porkilogramo?Problemademezclas.Unafloristavendeunarreglocondosdocenasdefloresen$750.Elramoestformadoporrosascuyoprecioesde$500ladocena,ydeclavelesa$300ladocena.Cuntasfloresdecadaespeciedebeponerparaformarelramo?Sugerencia:llamaxalnmeroderosas,y24xalnmerodeclaveles.



Sesin10Lostemasarevisareldadehoyson:

2.3.2.Introduccinalasfunciones2.3.3.Planocartesiano2.3.4.Lafuncinlinealysurelacinconlaecuacinlineal2.3.5.Graficacinmediantetabulacin2.3.6.Graficacinapartirdelapendienteylaordenadaalorigen2.3.7.Graficacinpormediodelasinterseccionesconlosejes2.3.2.IntroduccinalasfuncionesElconceptodefuncinimplicalaasociacinentreloselementosdedosconjuntos,queporlogeneralsonnmeros,ycuyacorrespondenciaseestablecemedianteunaregladeasociacin.Algunossucesosqueocurrenentuentornosonejemplossencillosdefunciones:

Cuando viajas en autobs o automvil, en un tiempo determinado recorresdistanciasquedependende la velocidad conque sedesplazael vehculo. Ladistanciarecorridaesten funcinde lavelocidad,ycomosabes, laregladeasociacines:distancia=velocidadportiempo.

Latemperaturaoelgradodehumedadambientealolargodeundadependedelahora;esdecir,concadahoraestasociadaunadeterminadatemperaturaociertogradodehumedad,demaneraque latemperaturaohumedadestnenfuncindelahoradelda.

Aldepositardineroenunbancoaciertatasadeinters,obtienesunaganancia.Dichagananciaestenfuncindelatasadeinters.

Unarelacinestablecelacorrespondenciaoasociacinentreloselementosdedosconjuntosdeobjetos.

Ejemplo Acadapersonaseleasocia: unaedad, unaestatura, unpeso,etc. Acadaautomvilseleasocia: unmodelo, unnmerodemotor, unnmerodeplacas,etc. Enunalmacnacadaartculoseleasocia:unprecio, unnmerodeinventario, unvolumen,etc. Acadapasseleasocia: unrgimensocioeconmico, unnombre, unasuperficie, unaalturasobreelniveldelmar,unclima,etc.

EsteestudunvaespeUnaunpquedeldUnaunoyalgunParaEjem

Ejem

En eautorelacelemestaDefinSi caconjufunci

Ma

18 Univers

tipodereladiodeundalorprecisoraunresult

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mplo:

esta relacimvilyelpcionados comentodeldorelacines

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Dominioarca de Autom

FiatRenaultCitrenToyota

sidadCNCId

acionestameterminadoo,obien,patado.

unaregladuntoqueseontradomincorresponde

una relaciementodenesnosonf

entreunasy

n la reglapasalcualon un misominiolecsunafunci

uncinnto de unravsdeunenY.

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nen laqulrango.Enfunciones.

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Ja

Tallerd

tablecenenodelanatunaestimula

ondenciaquminiocon loorecorridoselemento

ueacadaeconsecuenc

salossiguie

spondenciaObservacu

ento del coeunoyslo

X se asociaeasociacin

adominioasalia

ancia

apn

deMatem

trelasvariaraleza,socicindelos

ueseestabloselementoo,de talmasenelrang

elementodcia,todafu

entesejemp

a se estabulesdoselontradominounodelco

a con exacno corresp

Encorentcapdelysrela

mticasI

ablesqueinal,etc.,yasvaloresent

leceentrelosdeunseaneraqueago.

deldominioncinesun

plos:

lece entreementosdenio; sin emontradomin

ctamente upondencia,

esta relacrespondenctre cada papital. Comodominiolelounodelacinesuna

I Semana

ntervieneneseaparacaltreloscuale

oselementegundoconacadaelem

o lecorrespnarelacin,

una marceldominiombargo, anio,porlot

n elementoestodefine

cin la recia se estas y su resa cada ele

ecorresponrangoentoafuncin.

3y4

enellcularesse

tosdejunto

mento

ponde,pero

ca deestncada

tanto,

o deleuna

egla detablecepectivaementodeunooncesla



Elconjuntodeimgenesf(x)constituyenelconjuntoY,alqueseleconocecomorango,contradominioorecorridodelafuncinf.

Cadaelementodeldominioseasociaconexactamenteunelementodelrango,enotraspalabras,unelementodeldominioseasociaconunoyslounelementodelrango.

Las imgenes y o f(x), que corresponden a los elementos x del dominio, sedeterminanmediantelaregladeasociacinocorrespondencia.

Enunafuncin,dosomselementosdeldominiopuedenasociarseconelmismoelementodelrango,cumplindoselomencionadoen ladefinicinacercadequeaun elemento del dominio slo lo corresponde un nico elemento del rango. Sinembargo,elmismoelementodeldominionopuedeasociarsecondoselementosdiferentesdelrango.

Lossiguientescasosejemplificanfunciones:

x1x2x3

xn

f(x1)f(x2)f(x3)

f(xn)

f(x)Conjunto X

Conjunto Y

Dominio Rango

M M

12

34

5

911

13

20

1

15

118

579

21

48

12

20

16879

6

1 2345 3

CASO 1Dos elementos deldominio seasocian con elmismo del rango.Observaqueal elemento 2 deX lecorresponde un nicoelemento deY, el 11.Auncuandoal elemento11deY, se cumple con ladefinicindefuncin.

X Y A B W Z

CASO 2En tres ocasiones, parejasde elementos del conjuntoA se asocian con el mismoelemento delconjuntoB.Aun as, se cumple con ladefinicinde funcin.

CASO 3Todos los elementos delconjuntoW se asocian conel mismo elemento delrango; aunas, se cumpleque cada elemento deldominio se asociacon unslo elemento del rango,por lo tantoes una funcin.

De la definicin anterior convienedestacarlosiguiente: AlconjuntoXseleconocecomo

eldominiodelafuncinf. Alelemento yque corresponde

a determinado elemento x deldominio se le conoce comoimagendexbajofysedenotacomof(x).



NotacindefuncionesLossmbolosmsusadosparadenotarfuncionesson:queseleen: lafuncinfdeXenY faplicaxenlaobtencindef(x) faplicaxenlaobtencindey(estanotacineslaquemsusarsenestecurso)Paradenotar loselementosdeldominiodeunafuncinsepuedeusarcualquier letradelalfabeto(exceptoyparaevitarconfusiones):x,s,t,u,v,w,l,yparadenotarelrangoseusanlossmbolos:Ejemplo:Usode lasimbologapara identificareldominio,rangoy laexpresinde lafuncin.

2.3.3.Planocartesiano

Ladefinicindefuncinimplica,comoyaseexplic,laasociacinentreloselementosdedosconjuntosdados,formndoseparejasdeelementosquepuedenrepresentarsecomo pares ordenados de valores, donde el primer elemento del par pertenece aldominioyelsegundoalrango.ParesordenadosdevaloresAl asociar los elementos de los dos conjuntos se determinan pares ordenados devalores;sedicequesonordenadosporqueelprimerelementosiempreprovienedelprimerconjuntoyelsegundoelementodelsegundoconjunto.Unparordenadodevaloresserepresentacolocandoloselementosqueloconstituyendentrodeunparntesis separando loselementos conuna coma.Por lo general, seidentificaalparmedianteunaletramayscula,comoseilustraacontinuacin.Prctica40Representaenelplanocartesianolossiguientesparesordenados:

Dominio Rango Expresin

x

t

u

f(x)

f(t)

f(u)

)(: xfxf )(: tftf )(: ufuf

YXf : )(: xfxf yxf :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lfwfvfuftfsfxf ,,,,,,

( ) ( ) ( ) ( )6,08,31,32,5 DCBA

( )( )( )( )0,0

5.3,5.45,6

3,5

DCBA



Deacuerdoaladefinicindefuncinpuedesidentificarcundounconjuntodeparesordenadosesunafuncinono.Recuerda:UnafuncinfdeXenY,esunconjuntodeparesordenadosdevalores(x,y)talqueparacadaxdeldominiolecorrespondeunanicaydelrango.Sienningunode losparesordenadosdelconjunto, unmismoelementodeldominiose encuentra asociado con dos elementos diferentes del rango, este conjuntorepresentauna funcin. Sino seda lo anterior, concluimosqueno se tratadeunafuncin.Prctica41Verificasilossiguientesparesordenadosrepresentanunafuncin.(3,2)(4,3)(1,0)y(7,2)

(4,2)(5,7)(8,3)(10,3)(3,5)(7,4)y(3,6)

2.3.4.LafuncinlinealysurelacinconlaecuacinlinealCuando la asociacin entre los elementos de dos conjuntos de nmeros reales seestablece mediante una ecuacin de primer grado o ecuacin lineal con dosincgnitas,quevienea ser la regladeasociacino correspondencia, sedefineunafuncinlineal.Lafuncinfdefinidaporlaecuacindeprimergradoolinealcondosincgnitasrecibeelnombredefuncinlineal,dondemybsonconstantes.Laecuacinanteriorseinterpretacomolaasociacinentreloselementosdedosconjuntosdenmerosreales,dondefaplicaxenlaobtencindey.Lamaneramsusualdeexpresarlaecuacines:Anteriormenteyavistequelaecuacindeprimergradooecuacinlinealcondosincgnitasseexpresadelasiguienteforma:lacualpuedetransformarseenlaecuaciny=mx+b,delasiguientemanera:

bmxy +=

bmxyxf +==)( )1(LLLL

0=++ CByAx



2.3.5.GraficacinmediantetabulacinYa que hiciste un repaso de cmo graficar, adems de que conociste un poco defunciones y de ecuaciones lineales, ahora s, vaymonos de lleno con la tercera yltimatcnicadesolucindeecuacionesdeprimergrado:elmtodogrfico.Dadaunaecuacinquedefineaunafuncinlineal,puedesdeterminarinfinitosparesordenadosdevaloresquepertenezcanaella;graficadosestosenunplanocartesianoyunidoslospuntossubsecuentesmedianteunalneacontinua,obtieneslagrficadelafuncin.Ejemplo.Representalagrficadelafuncinlinealdefinidaporlaecuacin:SolucinRecuerdaqueestsdeterminandolaasociacinentreloselementosdedosconjuntosmedianteunaregladecorrespondenciadefinidaporlaecuacindada.

BCAxy =

BCx

BAy =

BAm =

BCb =

bmxy += )2(LLLL

CAxBy =

m representa la pendiente de la recta, es decir, la inclinacin que la recta forma con el eje x. En este caso es el coeficiente de x.

b es la ordenada al origen, es decir, es el valor donde la recta corta, cruza o intersecta a la ordenada o eje y, adems es el valor independiente de la ecuacin (no se multiplica por alguna incgnita).

Del conjuntoX, llamadodominio de lafuncin,eligearbitrariamentecualquierelemento, por eso se le conoce comovariable independiente; por ejemplo,elegidox=3,veamosconculelementodelconjuntoYseasocia.



Comopudisteveren lafigura,elelementoconelqueseasociadelconjuntoYes 7,asegurando que con ningn otro; a estos elementos se les conoce como variabledependienteporquesuvalordependedelasignadoax.Paratrazar lagrficade laecuacin linealnecesitasrealizarunatabulacin;esdecir,debesasignarvaloresalaincgnitaxparacalcularelvalordeycorrespondienteacada uno de ellos y formar los pares ordenados que se localizarn en el planocartesiano.

Prctica42Estprximotucumpleaosyharsunafiestamexicanacon10deliciososplatillosparaunataquiza.Sielkilodetortillascuesta15pesos,completalasiguientetablacolocandoelprecioapagarporxkilosdetortillas.Sillenaslatablaygraficassucontenido,quformatendrlagrfica?

Kilosdetortillas

Precioapagar

1 15

2

3

4

5

6

7

8

x f(x) Pares ordenados

-3 -7 A(-3, -7)

0 2 B(0, 2)

3 11 C(3, 11)

5 17 D(5, 17)

La grfica se obtiene uniendolos puntos A, B, C, Dmediante una lnea continua,como lo puedes observar enla figura 13.

Tabulacin de los pares ordenados



2.3.6.GraficacinapartirdelapendienteylaordenadaalorigenEnunafuncinlinealhaydosvaloresquetienenmuchaimportancia,elprimeroesb,laordenadaalorigen,queeselnmeroenelque la funcin intersectaalejede lasordenadasoejey.

Elotrovalor importanteenunafuncin linealesm, lapendiente, lacualsedefinecomo el incremento en y, que se representa por y (se lee: delta y), entre elincrementoenx,representadoporx(deltax).Estarelacindeterminaelnmerodeunidadesquecambiayporcadaunidaddecambioenx:Elsignodelapendienteinfluyedirectamenteenlainclinacindelarecta:



Prctica43Ejemplo1.Trazalagrficadeunafuncinlinealquepasaporelparordenado(1,1)yquetienependiente.2.3.7.GrficapormediodelasinterseccionesconlosejesExisten ciertos pares ordenados caractersticos que facilitan la construccin de lagrficadeunafuncinlineal.La funcin lineal representada grficamente es una lnea recta, y por lomismo, esposible trazarla conociendo slodospuntosde lamisma, loque significaqueparaconstruiresagrficadebesconocerdosparesordenadosdevaloresnicamente.Lospares ordenados ms sencillos de determinar son aqullos donde la grfica de lafuncinintersectaocruzaalosejescoordenados.

Prctica44Construyelagrficadelafuncinlinealdefinidaporlaecuacindeterminandonicamentesusinterseccionesconlosejescoordenados.

Si m > 0, es decir, si es positiva:La recta est inclinada hacia la derecha

Si m < 0, es decir, si es negativa:La recta est inclinada hacia la izquierda

Grfica de la funcin g(x)= -x-5

Pendientepositiva

1=m

Grfica de la funcin h(x)=x+2

Pendientenegativa

1=m

En la Figura 24 se representan lasgrficas de dos funciones linealesidentificadas por (1) y (2).

La interseccin de (1) con el eje x seidentifica con A, la caracterstica deeste punto es que su ordenada y of(x) es igual a cero.

La interseccin de (1) con el eje y seidentifica con B, la caracterstica deeste punto es que la abscisa x esigual a cero.

Grfica de dos funciones lineales intersectando los ejes

23

63 += xy




3.Sistemadeecuacioneslinealescondosincgnitas3.1.Clasificacindelossistemasdeecuaciones3.2.Mtodosdesolucindesistemas223.2.1.Mtododesumayresta3.2.2.Mtododesustitucin3.2.3.Mtododeigualacin3.2.4.Mtodogrfico

3.SistemasdeecuacioneslinealescondosincgnitasUnsistemadeecuacionesesunconjuntodeecuacionesparalascualessebuscaunasolucincomn.Una solucin comn de un sistema de dos ecuaciones con dos variables es un parordenadodevaloresquehacequeambasecuacionesseanverdaderas.A un sistema de ecuaciones tambin se le conoce con el nombre de ecuacionessimultneasdebidoaque lasolucindeunsistemasatisfacetodas lasecuacionesalmismotiempo,esdecir,simultneamente.DefinicinUnsistemadeecuacioneslinealescondosincgnitasosistemadeecuaciones22osistemadeecuaciones simultneas, suele representarseempleando la letraa conloscorrespondientessubndicespara loscoeficientes; lax,consussubndicesparalasincgnitasylabparalostrminosindependientes,porloquesurepresentacines:

dondea1,1 = Coeficientede la ecuacin1 y de la variable x1.a1,2 = Coeficientede la ecuacin1 y de la variable x2.a2,1 = Coeficientede la ecuacin2 y de la variable x1.a2,2 = Coeficientede la ecuacin2 y de la variable x2.

x1 = Incgnita 1 o literal 1.x2 = Incgnita 2.

b1 = Trmino independiente 1.b2 = Trmino independiente 2.

=+

=+222,211,2

122,111,1

bxaxabxaxa

Interseccin de dos planos

=+=+feydxcbyax

Por sencillez y por costumbre, a la incgnita 1 se le suele llamar x, y a la incgnita 2 se le llama y.Adems, se procura evitar el empleo de subndices debido a que pueden resultar confusos, por loque, un sistema de ecuaciones 2 2 se suele representar por:

Perosiste3.1.CAlmcasos

Estegrfi

Porde e

se c

esecu

Obs

Siincqueunaendelesta

27 Univers

, cmo semadeecua

Clasificaciomentodes:

Sistemaco

Sistematipo de sicasondos

ejemplo, lasecuaciones lin

cortan o inter

decir, la saciones 2 2

serva la soluc

recuerdas, ugnitas repree un sistemaa representacel plano carsistema el

as dos rectas

Sistema couna soluci

La representcortan en unpunto son la

Por ejemploecuaciones:

se muestra e

sidadCNCId

e obtuvo laaciones22

ndelossiseresolveru

ompatible.

compatiblestema admrectascoin

rectas que gneales 2 2:

rsectan en el

solucin dees x=2 y y

cin en la Figu

=+=+

425

yxyx

una ecuacinesenta una

de dos ecucin grfica crtesiano, sienpunto de i

s.

ompatible den.

tacin grfican punto; los vsolucin al s

o, la nica so

en la Figura 2

+

4243yxyx

deMxico

a solucin?,peroprim

temasdeensistemad

Estetipod

eindetermimite un nmncidentes.L

genera el siste

punto:

el sistemay=3.

ura 1.

n lineal conrecta, de m

uaciones permcomo dos recndo la solucinterseccin

eterminado.

a son dos recvalores de xistema.

olucin del

2.

==16

6

Tallerd

? Ms adeleroconoce

ecuacionesdeecuacion

esistemad

inado.Tienmero infinasdosecua

FS

ema

de

dosmodo

mitectascinn de

Tiene solo

ctas que sey y de ese

sistema de

deMatem

lante verselaformaco

nessepued

deecuacion

eunnmeito de soluacionesson

Figura 1. GrficaSu solucin es x

Figurcione

mticasI

s 5 formasomoseclas

denpresent

essitienes

roinfinitoduciones; suequivalent

a de un sistemax=2 y y=3.

ra 2. Grfica de ues 2 2. Su soluc

I Semana

de resolvesifican.

tarlossiguie

soluciones.

desolucionu representtesyunade

a de ecuaciones

un sistema de ecin es x=2 y y=

3y4

er un

entes

nes.acineellas

s 2 2.

ecua-3.



sepuedeconsiderarcomo redundante,debidoaquecualquierpuntode la rectaessolucindelsistema.Porejemplo,elnmeroinfinitodesolucionesdelsistemadeecuaciones:

Sistemaincompatible.Estetipodesistemanotienesolucin.Enestecaso, su representacingrfica sondos rectasparalelas,esdecir,no tienenningnpuntoencomnporquenosecruzanocortan.Elcumplimientodeunadelasecuacionessignificaelincumplimientodelaotrayporlotantonotienenningunasolucinencomn.Porejemplo,lasdosrectasparalelasdelsistemadeecuaciones:

Lasiguientetablamuestra las4caractersticasquedescribenacadatipodesistemasdeecuaciones.

Figura3. Grfica de un sistema de ecuaciones 2 2. Las soluciones son todos los puntos de la recta.

Grficamente se obtienen dos rectascoincidentes, es decir, una recta encima deotra. Por lo tanto, todos los puntos que selocalicen en esa recta, son solucin delsistema 2 2.

Figura4. Grfica de un sistema de ecuaciones 2 2. No tiene solucin, las rectas paralelas no se cruzan.

Grficamente se obtienen dos rectasparalelas que nunca se cruzarn. Por lotanto, este sistema de ecuaciones 2 2 notiene solucin.

=+=+

2221

yxyx

=+=+

2223

yxyx



3.2.Mtodosdesolucindesistemasdeecuaciones22Ya sabes loque son los sistemasdeecuaciones lineales22ycomo seclasificandeacuerdo a la cantidadde solucionesque tiene.Ahora,partiendodeque tendrsunsistema compatible determinado de dos ecuaciones con dos incgnitas como elsiguiente:entonces, resolverel sistemaconsistirenencontrar losvaloresdexydeyquesatisfaganlasdosecuacionessimultneamente.Los5mtodosderesolucindesistemasdeecuacionesquepuedesutilizarson:

1. Sumayresta.2. Sustitucin.3. Igualacin.4. Mtodogrfico.5. Determinantes.

3.2.1.MtododesumayrestaTambinrecibeelnombredemtododereduccinomtododeeliminacinyeselms fcil de aplicar. Consiste en eliminar una variable sumando las ecuacionesoriginaleso susequivalentes;paraelloesnecesarioque lamismavariable tengaenambasecuacionescoeficientesinversos.Ejemplo. Lacompetencia caninadeagilityconsisteenqueelperro,dirigidopor sugua,supereuncircuitodeobstculosenelmenor tiempoposible.Elguanopuedetocarasuperronialosobstculosyelperrocompitesincollarnicorrea.Sinembargo,las sealesverbalesyvisuales sonpermitidas.Cada faltaal superarunobstculo sepenaliza quitndole puntos al equipo humanoperro. Asimismo, existe un tiempoestndarparacadacircuitoysepenalizaalequipoquetardemsqueesetiempo.

SISTEMA

COMPATIBLEDETERMINADO

COMPATIBLE INDETERMINADO INCOMPATIBLE

La solucin es nica.

Analticamente se obtiene un valor para x y un valor para y.

Grficamente las rectas se intersectanen un punto.

Las rectas tienen distinta pendiente.

Tiene infinitas soluciones.

Analticamente se llega a la expresin: 0x=0 o bien a 0y=0.

Grficamente las rectas son coincidentes.

Las rectas tienen igual pendiente e igual ordenada al origen.

No tiene solucin.

Analticamente se llega a la expresin: 0x=a o bien 0y=a, siendo a0.

Grficamente las rectas son paralelas.

Las rectas tienen igual pendiente y distinta ordenada al origen.

=+=+feydxcbyax



Supn que en una competencia de agility entre los perros y sus guas suman 18cabezasy52extremidades inferiores(piesypatas).Podras indicarcuntosperrosycuntosguashayenlacompetencia?SolucinPara resolver cualquier problema de este tipo, tienes que formar el sistema deecuaciones,esdecir,debesdeterminardoscosas:

1. Culessonlasincgnitasy2. Qurelacinhayentreellas.3. Enestecasolapropiapreguntadiceculessonlasincgnitas:elnmerode

perrosyelnmerodeguas.

4. Entonces,definamos:

5. x=Nmerodeperros

6. y=Nmerodeguas

Sabesquecadaperroycadaguatienenunasolacabeza,porlotanto,elnmerodeperrosporunacabeza,mselnmerodeguasporunacabezatambin,tienenquesumar18:

Porotrolado,losperrostienencuatropatasylosguas2pies,porlotanto,elnmerodeperrospor4patascadauno,mselnmerodeguaspordospiescadauno,tienenquesumar52:

Lasdosecuacionesanterioresformanunsistemadeecuacioneslinealescondosincgnitasotambinllamadosistemadeecuacionessimultneas22:

Lacuestinesencontrarlosvaloresdexyyquecumplanlasdosecuacionesalmismotiempo.

Sia laprimeraecuacin lanumeramos como (1)ya la segundaecuacin como (2),entonces:Ahoras,resolvamoselsistemadeecuacionesporelmtododereduccin.Pasospara resolverun sistemadeecuaciones22medianteelmtodode sumayrestaLa parte importante de este mtodo es que busques en el sistema de ecuacionescoeficientes simtricosen lamisma literal,porejemplo, sise tieneel trmino9xenunaecuacin,seesperaqueseobtengadealgunamanera9xenlaotraecuacin.En casodeque la ecuacin tenga todos los coeficientesdistintos, es necesarioquemultipliques losmiembrosdeunade lasecuaciones,demaneraque segeneren losnmerossimtricos.Sielsistemayacumplecon lacondicinmencionada,entoncesrealiza lossiguientespasos:

1811 =+ yx

5224 =+ yx

=+=+

522418

yxyx

( )( )

=+=+

25224118

LLLLLLLL

yxyx

1

2

3

Elsis

Loqucumpmult

MultparaPaso

PorlPasoordePasolaincconlguas

31 Univers

1. Suma losincgnita

2. Despeja ldelaslit

3. Sustituyeecuacion

stemaquet

uedebeshaplacondichiplicaryqu

tiplicalaecueliminarla

o1.Sumala

otanto,lan

o2.Despejanado:

o3.Sustituycgnitaque

loqueyates.

+8

sidadCNCId

miembrosasyseformanuevaecerales. el valornesoriginal

tratasderes

aceresmulthacondicineaprovech

uacin(1)variablex,

sdosecuac

nuevaecua

ar la incgn

yeelvaloraefalta.Ennu

enemoslas

++

24xx

=162x

=18y

deMxico

de lasdosmeunanuevcuacinque

de la incesydespeja

solvernopr

tiplicaralgun.Esimporteslascarac

por2paratdecidec

cionespara

cines:

nitade lan

anteriorenuestrocaso

solucinde

==

52218

LL

yy

(=+=+

5241

yxyx

=+=

2422yxyx

2x

x

Tallerd

ecuacionevaecuacinetienesde

gnita delalaliteralq

resentanm

unadeellastantequebctersticasd

aeliminarlcualdelasd

formaruna

uevaecuac

cualquierao,sustityel

elproblema

( )( 21

LLLLLLLL

)( )52

218

==5236

16=x

=2

16x

= 818y

deMatem

s,demanen.maneraqu

paso antequehacefal

merossim

porunnmbusquesnmelsistema.

avariableydosvariable

anuevaecu

cinyobte

delasecuaoenlaecua

:Enlacom

))

x

mticasI

eraqueelim

eobtengas

rior en cultaencontra

tricosenla

mero,demamerosquer

y(podrasmesdeseasel

uacin:

nerelprim

acionesorigacin(1):

mpetenciah

8=

1=y

I Semana

minesunad

selvalorde

ualquiera dar.

sliterales:

aneraqueresultesenc

multiplicarpiminar).

mervalorde

ginalesyde

ay8perros

0

3y4

de las

euna

e las

cillo

por4

elpar

espeja

sy10



ComprobacinPuedescomprobarestosresultadossustituyndolosenelsistemadeecuaciones:Enresumen,apartirdeunproblemaenformadetexto,hasidentificadolasincgnitasyhasestablecidolasrelacionesquehayentreellas,dandolugaraunsistemaquetienetantas ecuaciones independientes como incgnitas. Resuelto el sistema, tienes lasolucin,quepuedescomprobarqueescorrectaeneltextooriginal.Prctica45Una seora tienebilletesde200 yde500pesosen su cartera. Sien total tiene20billetes,yeltotaldedineroensucarteraesde$7300,cuntosbilletestienedecadadenominacin?3.2.2.MtododesustitucinComosunombreloindica,enestemtodosedespejaunavariabledeunadelasdosecuaciones y se sustituye en la otra para que slo quede una variable. Tiene unaaplicacin fundamental en Fsica y Qumica cuando es necesario resolver algnproblemaenelquesedesconocendosomscantidades.Pasospararesolverunsistemadeecuaciones22medianteelmtododesustitucin

1. Toma una de las ecuaciones del sistema y despeja una de las literales, depreferencialaqueseamsfcildedespejar.

2. Sustituyeenlaotraecuacinelvalordelaliteraldespejadaenelpasoanterior,paraasobtenerunanuevaecuacinconunaincgnita.

3. Despejalaincgnitadelanuevaecuacin.4. Sustituyeelvalorde la incgnitadespejadaen laexpresinqueobtuvisteenel

primerpasoparadeterminarelvalordelaotravariable.Ejemplo.Unhotelde5estrellas tienehabitacionesdobles (2camas),yhabitacionessencillas (1 cama). En total el hotel tiene 50 habitaciones y 87 camas. Cuntashabitacionestienedecadatipo?Loprimeroquedebeshaceresplantearelsistemadeecuaciones22:Si x=Nmerodehabitacionessencillas y=Nmerodehabitacionesdoblesentonceselsistemadeecuacioneses:

18=+ yx 5224 =+ yx18108 =+

1818 =( ) ( ) 5210284 =+

522032 =+5252 =

=+=+

872150

yxyx



Paso1.Despejaunadelasliteralesovariablesdecualquieradelasdosecuaciones.Comopuede ser cualquierade lasdosecuaciones y cualquierade lasdos variables,entonces,sedespejarxdelaprimeraecuacin:Paso 2. Sustituye lo anterior en la otra ecuacin del sistema y obtn una nuevaecuacinconunaincgnita.Paso3.Despejalaincgnitadelanuevaecuacin.Paso4.Sustituyeelresultadoanteriorenlaecuacindelpaso1.Por lo tanto,elhotelde5estrellas tiene13habitacionessencillasy37habitacionesdobles.ComprobacinPuedescomprobarlosresultadossustituyndolosenelsistemadeecuaciones:Prctica46Unfanticodelasseriestelevisivascompr5DVDsdelaserieSmallvilley4DVDsdelaserieLosten390pesos.Posteriormente,volviacomprar4DVDsdeSmallvilley2DVDsdeLosten$240.CuleselpreciodelosDVDsdecadaserie?3.2.4.MtododeigualacinEstemtodoesunpocomslargoyaquesebasa,comosunombrelomenciona,enlaigualacindelasdosecuacionesapoyndoseenqueambastienenelmismovalorenelpuntodeinterseccin.Pasospararesolverunsistemadeecuaciones22medianteelmtododesustitucin

1. Tomaunadelasecuacionesydespejaunadelasincgnitasdelaecuacin.2. Despejalamismaliteralenlaotraecuacindelsistema.3. Por la propiedad transitiva de la igualdad, puedes igualar las dos literales

despejadasencadaecuacinparaobtenerunanuevaecuacin.4. La ecuacin que obtuviste en el paso anterior es de primer grado con una

variable,despejalaincgnitaquetiene.5. Sustituye el valor de la literal que obtuviste en alguna de las ecuaciones

despejadasdelpaso1odelpaso2.

50=+ yxyx = 50

8721 =+ yx( ) 872501 =+ yy87250 =+ yy8750 =+ y

8750 =+ y5087 =y

37=yyx = 503750=x

13=x

50=+ yx 8721 =+ yx503713 =+5050 = ( ) ( ) 87372131 =+ 877413 =+

8787 =



Recuerdaque

Lapropiedadtransitivadelaigualdadindicaquesia=byb=c,entoncesa=c,esdecir,sidosexpresionesson igualesauna tercera,entoncesstasson igualesentres.Porejemplo:

Si1+3=4y4=22,entonces:1+3=22

Ejemplo.Una pizzera vende dos tipos de pizzas tamao individual:mexicana a 40pesosyhawaianaa60pesos.Unanochevendieron74pizzasyserecaudaron3660pesos.Cuntaspizzassevendierondecadatipo?SolucinLoprimeroquedebeshaceresplantearelsistemadeecuaciones22:Sidefines x=Cantidaddepizzasmexicanasvendidas. y=Cantidaddepizzashawaianasvendidas.entonceselsistemadeecuacioneses:Ahoras,resuelveporelmtododeigualacin.Paso1.Tomaunadelasecuacionesydespejaunadelasincgnitas.Comopuedes seleccionarcualquierecuacin, se recomiendaque sea lams fcildedespejarincgnitas.Enestecaso,seleccionalaecuacin1ydespejacualquiervariable,digamos,lax:Paso2.Despejalamismaliteralenlaotraecuacindelsistema.Paso3.Por lapropiedad transitivade la igualdad,puedes igualar lasdos incgnitasdespejadasencadaecuacinparaobtenerunanuevaecuacin.Paso 4. La ecuacin que obtuviste en el paso anterior es de primer grado con unavariable.Despejalaincgnitaquetiene.

=+=+

3660604074

yxyx

74=+ yxyx = 74

36606040 =+ yxyx 60366040 =

40603660 yx =

4060366074 yy =

xx =

35=y

( ) yy 6036607440 = 4060366074 yy =

yy 603660402960 =yy 406036602960 +=

y20700 =y=

20

700



Paso5.Sustituyeelvalorde la incgnitaqueobtuvisteenalgunade lasecuacionesdespejadasdelpaso1odelpaso2.Enestecaso,enlamssencilladelasdos,eneldespejedelaecuacin1:Porlotanto,esanochesevendieron39pizzasmexicanasy35hawaianas.

Prctica47

Unacuerdade120metrossetienequecortarendospartes,detalmaneraqueunapartesea12metrosmayorquelaotra,Culeslamedidadecadaparte?

3.2.5.MtodogrficoEnestemtodosetrazandosrectasenelmismoplanocartesianoparadeterminarlainterseccin(puntodondesecruzan)yentoncesdefiniraesepuntocomolasolucindelsistema.Pasospararesolverunsistemadeecuaciones22medianteelmtodogrfico

1. Representacadaunadelasecuacionesquecomponenelsistemacomounpardefunciones,esdecir,despejalaincgnitaydecadaecuacin.

2. Traza la grfica de cada funcin utilizando alguno de los mtodos vistos lasemana pasada (por tabulacin, conocidos la pendiente y ordenada, y porinterseccinconlosejes).

3. Localizardondelasrectasquedeterminanlasfuncioneslinealessecortan.4. Asocialosvaloresdexyydelacoordenadaalasolucinquesatisface.

Ejemplo1.Carmengasta55pesosenlacomprade17gomitasychicles.Lasgomitaslecostaron$2.60yloschicles$3.50cadauno.Cuntosdulcesdecadatipocompr?SolucinSi x=Cantidaddegomitascompradas. y=Cantidaddechiclescomprados.entonces,elsistemadeecuacionesquerepresentaalproblemaes:

Paso 1. Despejar de cada ecuacin la incgnita y y represntalascomo funciones:

Paso 2. Trazar la grfica de cada funcin mediante el mtodo seleccionado. En este caso sedecidi utilizar la tabulacin:

17=+ yx 5550.360.2 =+ yxxy = 17 yx 50.35560.2 =

yx =

50.35560.217)( += xxf

50.35560.2)(

= xxf

yx = 743574=x

39=x

=+=+

5550.360.217

yxyx

PasoObsepuedposibecuaElpuPasoecuaelvaPorlPrcDosautoecuaDeac

36 Univers

o3.Identifierva que exde interpretble que deciones.untodeinte

o 4. Relaciociones.Reclordexy

otanto,Ca

ctica48hermanos, al mismociones:

TrayectoTrayecto

cuerdoalo

x12345678910

Tabla de la fun

sidadCNCId

caelpuntoxiste un putarse comoetermines lo

erseccinse

ona las cocuerdaqueydespusel

armenpag

JuanyPedo tiempo y

oriadeJuanoriadePedranterior,

f(x)16151413121110987

ncin f(x)=-x+1

deMxico

dondelasrunto en elo la solucios valores

eencuentra

oordenadasse llamanldey:

$55enlac

dro,seponey caminan

:ro:enqupun

Pun

7

( ,5

23 + yx23 + yx

Tallerd

rectassecocual las recn del sistemde las inc

en(5,12).

del puntoparesorde

comprade

endeacuerdescribien

ntoseencon

nto de intersecc

) (12 x

08 =08 =y

deMatem

ortan.ctas se corma. Es decgnitas que

o con lasnadosporq

5gomitasy

rdopara irdo como t

ntrarnlos

cin

Ta

) )(, xfx

mticasI

rtan. Este pcir, que a pe satisfacen

incgnitasquesiempre

y12chicles

decampamtrayectorias

dosherman

x12345678910

bla de la funci

( ) , yx

I Semana

punto en copartir de aqn el sistem

del sistemeestarpri

.

mento.Sales las sigui

nos?

f(x)15.014.213.512.712.011.310.59.89.08.3

n f(x)= 2.60x-5-3.50

==

125

yx

3y4

omnqu esma de

ma demero

endelentes

55

25




3.2.5.Mtodopordeterminantes4.Sistemadeecuacioneslinealescontresincgnitas4.1.Mtodosdesolucindesistemas334.1.1.Mtodogrfico4.1.2.Mtodopordeterminantes4.1.3.Mtododesustitucin

3.2.5.MtodopordeterminantesEl mtodo de solucin de un sistema de ecuaciones lineales 22 mediantedeterminantesse llamaRegladeCramerenhonordeGabrielCramerque fuequienescribilaregla.Undeterminanteesunarreglomatemticoqueconstadeciertonmeroderenglonesy de columnas. Para resolver un determinante se debe realizar una resta demultiplicaciones,esdecir,esunaoperacinquedacomoresultadounnmeroreal.Existendiferentesrdenesdedeterminantes,porejemplo,desegundoorden:

Todoslosdeterminantesdebensercuadrados,esdecir,debentenerelmismonmeroderenglonesydecolumnas:22,33,44,Eldeterminante

estformadoporcuatronmerosquesonsuselementos:3,5,2,4.Silosacomodasenunordenespecial: 3,5y2,4sonrenglonesosi 3,2y5,4soncolumnas.Sidebesresolverundeterminantedelaforma:

entonces,suresultadoseobtienepor:

3 -52 4 Las lneas | |, representan un determinante.

Es de segundo orden porque tiene 2 renglones y 2 columnas.

Columnas

Renglones

3 -52 4

a bc d

ParanecedeecLos cimpoacalcont

Paso

1Para

23

4

Diasecu

=

38 Univers

utilizar deesarioquepcuacionesli

coeficientesortantesdeblcular losvainuacin:

osparareso1. Establececadaunod

2. Colocaun3. Coloca u

cantidad4. Restaalre

gonal undaria

edba ==

sidadCNCId

eterminantepongasatenineales22

s (a, b,bidoaquealoresde la

olverunsisteloscoeficiedelostresdaflechaquna flechades.esultadode

Multiplicb por c

( )( ) (bea =

deMxico

es en la soncinalossereprese

, d y eseutilizanpas incgnita

LelaEsue

temadeecuentesenlosdeterminantepaseporque pase

eladiagona

ca c

ac

)( )db

Tallerd

olucin decoeficiententapor:

) y los trmparacalculaasxyy

=Delta.etra maysatinaD.seldetermtiliza loscuaciones.

uaciones2stresdetertes:ladiagonalpor la d

lprincipal,e

bd

da

deMatem

sistemas dsdelsistem

minos indeartresdete. Esosdet

scula grieg

minantegen4 coefic

2mediantminantesa

principalyiagonal se

elresultado

= (a)(d) -

Multa p

=+=+feydxcbyax

mticasI

de ecuacioma.Sirecue

ependienteserminantesterminante

ga que rep

neral,no ticientes de

teelmtodresolver.

multiplicalecundaria y

odeladiago

(b)(c)

tiplica or d

I Semana

ones linealeerdasunsis

s (c y fqueteayudssedescrib

presenta la

iene subndel sistema

ogrfico

ascantidady multiplic

onalsecund

Diagprin

3y4

es, esstema

) sondarnbena

letra

diceya de

des.a las

daria.

gonal cipal



Ejemplo.Resuelveelsiguienteproblemautilizandodeterminantes.

Losboletosparaunaexcursinsondedosprecios:$50paralosniosy$100paralosadultos. Si se pagaron $7 250 en total y asistieron 90 personas, cuntos nios ycuntosadultosfueronalaexcursin?

SolucinLoprimeroquedebeshaceresestablecerelsistemadeecuaciones22.Si x=Cantidaddeniosenlaexcursin. y=Cantidaddeadultosenlaexcursin.

entonces, el sistema es:

Representando lo anterior sin las literales:

Paso 1. Establece los determinantesa resolver:

=+=+

72501005090

yxyx

7250100509011

Coeficientes Trminos independientes

fedcba

Para cada uno de los tres determinantes:

Paso 2. Coloca una flecha que pase por la diagonal principal y multiplica las cantidades.

Paso 3. Coloca una flecha que pase por la diagonal secundariay multiplica las cantidades.

1005011=

1007250190= x

725050901= y

(1)(100)=100

(90)(100)=9000

(1)(7250)=7250

1005011=

(1)(50)=50

1005011==

edba

1007250190==

efbc

x

725050901==

fdca

y



Prctica49SusanalediceaKarina:tupesoyeldobledelmosuman130Kg.KarinalediceaSusana:tupesoyeldobledelmosuman140Kg.Cuntopesacadaunadelaschicas?4.SistemadeecuacioneslinealescontresincgnitasRecuerdaqueunsistemadeecuaciones linealesesunconjuntodeecuacionescuyasvariablesdebensatisfacerlascondicionesplanteadassimultneamente.Unsistemadetresecuacioneslinealescontresincgnitassiempresepuedeescribirdelaforma:

Paso 4. Resta al resultado de la diagonal principal, el resultado de la diagonal secundaria.

La solucin del sistema de ecuaciones se obtiene con:

Por lo tanto, en la excursin se encuentran 35 nios y 55 adultos.

1007250190= x 725050

901= y

(1)(7250)=7250 (90)(50)=4500

= 100 50 = 50

x = 9000 7250 = 1750

y = 7250 4500 = 2750

3550

1750 === xx 55

502750 ==

= yy

dondea1,1 a3,3 = Coeficientes de las incgnitas.x1 x3 = Incgnitas del sistema.b1 b3 = Trminos independientes.

O como comnmente se representanpor:

=++=++=++

333,322,311,3

233,222,211,2

133,122,111,1

bxaxaxabxaxaxabxaxaxa

=++=++=++

3333

2222

1111

dzcybxadzcybxadzcybxa



4.1.Mtodosdesolucindesistemas33Pararesolversistemasdeecuaciones33puedesutilizarlosmtodosqueusastepararesolversistemas22comoeldesumayresta,eldeigualacin,eldesustitucinolosdeterminantes.Enestaocasin,sloestudiarslossiguientesmtodos:

1. Mtodopordeterminantes.2. Mtodoporsustitucin.

Sirecuerdas, lossistemasdeecuaciones lineales2x2seexpresangrficamentecomorectas que pueden estar en tres casos: con solucin, sin solucin y con mltiplessoluciones.De igualmanera lasecuaciones linealesdetres incgnitasseexpresanenun sistema tridimensional como un plano infinito. Por supuesto que no podemosdibujarunplanoinfinito,porloqueslosedibujaunapartedelosplanos.Unaecuacin linealdetres incgnitasrepresentaunplanoquepuedeserubicadoenunsistemadetresdimensionesconejesqueestnmutuamentea90:



Siobservaste, lasgrficassonmuycomplicadasdehacer,puesyasontrespuntos losque debes localizar en el plano cartesiano, es por ello, que slo vers mtodosanalticoscomoelquesigue.4.1.1.MtodopordeterminantesAqutambinseaplicalaregladeCramer,sirecuerdas,consisteentrabajarsobreloscoeficientes de las ecuaciones que forman el sistema. De esta manera, dado unsistemadeecuaciones33:Representandoelsistemaanteriorcomounarreglomatricial,dondeslosecolocanloscoeficientessonlasliterales,ylostrminosindependientes,setieneque:

Unamaneraquepuedeayudarteacalculareldeterminantedeunarreglomatricialde33,seobtieneagregandolasdosprimerasfilasenlaparteinferiordelarreglo.Lassolucionesdelos4determinantesson:

El determinante general se obtiene con:

Los determinantes de x, y y z se obtienen de la misma manera que para un sistema 2 2, es decir, encada uno se va reemplazando la columna de la variable correspondiente por los trminosindependientes, segncorresponda:

De esta manera, la solucin del sistema est dada por:

333

222

111

cbacbacba

=

333

222

111

cbdcbdcbd

x =333

222

111

cdacdacda

y =333

222

111

dbadbadba

z =

= xx

= yy = zz

=++=++=++

3333

2222

1111

dzcybxadzcybxadzcybxa

3333

2222

1111

dcbadcbadcba



Ejemplo.EntreArmando,BeatrizyCarlos tienen140pesos.Armando cuenta coneldoble de pesos que Carlos. Tambin Armando tiene $10ms que Beatriz. Cuntoposeecadauno?SolucinPrimerodefinelasincgnitas: x=DineroqueposeeArmando(pesos). y=DineroqueposeeBeatriz($). z=DineroquetieneCarlos($).

333

222

111

cbacbacba

=

333

222

111

cbacbacba

333

222

111

cbdcbdcbd

x =

333

222

111

cbdcbdcbd

( )213132321213132321 abcabcabccbacbacba ++++=

( )213132321213132321 dbcdbcdbccbdcbdcbd ++++=

333

222

111

cdacdacda

y =

333

222

111

dbadbadba

z =

333

222

111

dbadbadba

( )213132321213132321 adcadcadccdacdacda ++++=

( )213132321213132321 abdabdabddbadbadba ++++=

AhorPorlComvalor

Losd

=

==

= x

==

x

x

= y

==

y

y

45 Univers

raplantealaEntrelostArmandoArmando

otanto,els

osabes,esrdelasinc

determinant

011201

111

333

201111

cba

(5

210

110001140

=

33

101140

bd

3002000

=+=

33

011401

cda

010101

11401=

250280100

=+=

sidadCNCId

asecuaciontrestienentieneeldobtiene$10msistemade

necesarioqgnitas,por

tesson:

2

3

2

)0)(1(=

( )020 =++

02

1

3

21

c

)(140(=

( 02800 ++

3

21

c

02

1

)(0)(1(=

( 2000 +

deMxico

nesqueseg140pesos:bledeCarlomsqueBeaecuaciones

quecalculerlotanto,el

1)(1()0( +

210 =

)(0()0)(0( +

) 2000 +=

1)(10)(1()0 +

) 1000 +=+

Tallerd

generandelos:atriz:slineales3

slos4detelarregloma

)(1)(1()1)( +

020

)1)(10()1)(1 +

280020

)(140)(1()1 +

20280 +

=++ zyxzx 2== yx

deMatem

problema:

3aresolve

erminantesatricialdels

[ 0)(1()2

[ )0)(1()2)(

0

[ )(0)(1()2

020

140=10+y

mticasI

res:

paraasposistemaant

)(2()1)( +

)(2()10)( +

)10)(2()1( +

+

xxx

I Semana

oderenconteriores:

)(0()1)(1 +

)0()140)(1 +

140)(0()1)( +

===+

100214

yzzy

3y4

trarel

])1)(1(

])0)(1(

])1)(

40



Prctica50Unganaderodeseahacernegociosdecompraventadeanimalesconunvecino,perotieneunproblemayaqueelvecinonoledicecualeselpreciodecadaanimal,sloledicelosiguiente:

Sivendesdosvacasycincocabrasparacomprar13cerdostesobran1000pesos. Si vendes seis cabras y ocho cerdos para comprar cinco vacas, tendrs una

prdidade$600. Sivendes tresvacasy trescerdos tealcanzaexactamenteparacomprarnueve

cabrasCulessonlospreciosdeunavaca,deunacabraydeuncerdo?4.1.2.MtodoporsustitucinSirecuerdas,enestemtodosedespejabaunavariabledeunadelasdosecuacionesyse sustituaen laotraparaque sloquedarauna variable.Eneste caso, sehar lomismo,delas3ecuaciones,sedespejarunavariablededosdeellas,despusseharlomismoconlatercera.Pasospararesolverunsistemadeecuaciones33medianteelmtododesustitucin

1. Toma una de las ecuaciones del sistema y despeja una de las literales, depreferencialaqueseamsfcildedespejar.

2. Sustituye en las otras 2 ecuaciones el valor de la literaldespejada en el pasoanterior,paraasobtenerdosnuevasecuacionescon2incgnitas.

3. Conesas2nuevasecuacionesformaunsistemadeecuaciones22yresulveloporestemismomtododesustitucin.

4. Sustituyeelvalorobtenidoenunadelasecuacionesdelpaso2.5. Porltimo,sustituye losdosvaloresencontradosen laecuacindespejadadel

paso1.

1011001

14011

= z

33 1001

14011

da

[ ])1)(1)(10()1)(1)(0()1)(0)(140()0)(1)(1()140)(1)(1()10)(0)(1( ++++=

( )150

100001400100001400=

++=++=z

z

Como ya conoces los determinantes, ahora obtn los valores de las incgnitas:

Por lo tanto, Armando tiene 60 pesos, Beatriz$50 y Carlos posee 30 pesos.

= xx

= yy = zz

5300

=x5

250

=y5

150

=z

60=x 50=y 30=z



Ejemplo. Enun localdecomidarpida,unpedidode5hamburguesas,2rdenesdepapasfritasy3refrescoscuesta56pesos.Unpedidode4hamburguesas,3rdenesdepapasfritasy2refrescoscuesta46pesos.Unpedidode6hamburguesas,4rdenesdepapas fritas y 3 refrescos cuesta 68 pesos Cul ser el precio de una solahamburguesaconunrefresco?SolucinLasincgnitasson: x=Preciodeunahamburguesa(pesos). y=Preciodeunaordendepapasfritas($). z=Preciodeunrefresco($).Elsistemadeecuacioneslineales33aresolveres:

Empleandoelmtododesustitucin:Paso 1. Toma una de las ecuaciones del sistema y despeja una de las literales, depreferencialaqueseamsfcildedespejar.Tomalaecuacin(1)ydespejaax:Paso2.Sustituyeenlasotras2ecuaciones(2)y(3),elvalordelaliteraldespejadaenelpasoanterior,paraasobtenerdosnuevasecuacionescon2incgnitas.

46234 =++ zyx 68346 =++ zyx

46235

32564 =++

zyzy 68345

32566 =++

zyzy

46235

128224 =++ zyzy

46235

1258

5224 =++ zyzy

5224462

5123

58 =++ zzyy

5224

5230

510

512

515

58 =++ zzyy

56

52

57 = zy

68345

1812336 =++ zyzy

68345

185

125

336 =++ zyzy

5336683

5184

512 =++ zzyy

5336

5340

515

518

520

512 =++ zzyy

54

53

58 = zy

Ecuacin 2 Ecuacin 3

( )4LLLLL ( )5LLLLL

=++=++=++

683464623456325

zyxzyxzyx ( )1LLLLL

( )2LLLLL( )3LLLLL

56325 =++ zyxzyx 32565 =

53256 zyx =



Paso 3. Con esas 2 nuevas ecuaciones forma un sistema de ecuaciones 22 y resulvelo por estemismo mtodo de sustitucin.

Despejandoy de la ecuacin (4):

Y sustituyndolaen (5):

=

=

54

53

58

56

52

57

zy

zy

56

52

57 = zy

zy52

56

57 +=

5752

56 z

y+

=

zy

5752

5756

+=

zy3510

3530 +=

=54

53

58 zy

54

53

3510

3530

58 =

+ zz

54

53

17580

175240 =+ zz

54

53

17580

175240 =+ zz

175240

175140

175105

17580 = zz

175100

17525 = z

17525

175100

=z

437517500=z

4=z

Paso 4. Sustituye el valor obtenido en cualquiera delas ecuaciones (4) o (5) del paso 2.En este caso en la ecuacin (5):

54

53

58 = zy

( )544

53

58 =y

54

512

58 =y

512

54

58 +=y

516

58 =y

585

16

=y

4080=y

2=y



Paso5.Porltimo,sustituyelosdosvaloresencontradosenlaecuacindespejadadelpaso1.Aspues,unahamburguesacuesta8pesos,unaordendepapasfritas$2yunrefresco4pesos.Contestando la pregunta, Cul ser el precio de una sola hamburguesa con unrefresco? 1Hamburguesa+1refresco=8+4=12Sedebernpagar12pesosporunahamburguesayunrefresco.Prctica51ElsalariomensualdeGuillermo,Robertoy Juanesde$8200.ElsalariomensualdeRoberto yGuillermo es de $8 000, y el salariomensual deGuillermo y Juan es de$8100.Determinaelsalariomensualdecadauno.

53256 zyx =

( ) ( )5

432256 =x

512456 =x

540=x

8=x



Semana4


5.Ecuacionescuadrticas5.1.Mtodosdesolucindeecuacionescuadrticas5.1.1.Mtododesolucinpordespejedeecuacionescuadrticaspuras5.1.2.Mtododesolucinporfactorizacindeecuacionescuadrticasmixtas

5.Ecuacionescuadrticas

Hastaahorasabesqueunaecuacinesunaigualdadentreunpardeexpresiones,quecontieneuna incgnita representadaporuna literal. Es importante recordarqueelgrado de una ecuacin depende de lamxima potencia que tenga la incgnita. Enbloquesanteriores resolvisteecuacionesdeprimergrado,enestebloque resolversecuacionesde segundogrado;esdecir,elmayorgradoquepresenta la incgnitaesdos.La forma general o forma estndar de una ecuacin de segundo grado con unaincgnitaotambinllamadaecuacincuadrticaesdonde:ax2=Eltrminocuadrtico.bx=Eltrminolineal.c=Eltrminoindependiente.Lasecuacionescuadrticasseclasificandedosformas:encompletaseincompletas.Completas.Sonaquellasquetienenlostrestrminos:eltrminocuadrtico,ellinealyelindependiente,siendodelaforma:Incompletas.Sonaquellasenlasqueleshacefaltaalgunodelosdosltimostrminos,debidoaqueb=0obienc=0,sinembargo,eltrminocuadrticosiempredebeestarpresente,siendodelaforma:

5.1.Mtodosdesolucindeecuacionescuadrticas

Debidoaqueelgradodeunaecuacincuadrticaesdos,unaecuacindeestetipotienedos soluciones.Porello,encomparacinde lasecuacionesdeprimergradooecuacioneslineales,laresolucindelasecuacionescuadrticasesmscomplejaporloqueexistenvariosmtodospararesolverlas.Algunosdeellosson:

1. Pordespejedeecuacionescuadrticaspuras

2. Porfactorizacindeecuacionescuadrticasmixtas

02 =++ cbxax Rcbaa ,,,0

02 =++ cbxax

02 =+ bxax 02 =+ caxIncompletaPuraIncompletaMixta



3. Completandoeltrinomiocuadradoperfecto

4. Porfrmulageneral

5.1.1.MtododesolucinpordespejedeecuacionescuadrticaspurasLa solucindeunaecuacin cuadrticade la formaax2+c=0 consisteendespejar laincgnitacomoaprendisteeneltemadeecuaciones lineales,para luegoobtener lasdossolucionespormediodeunarazcuadrada.

Enestemtodolasolucinsiempreser:

Ejemplo.Resuelvelaecuacincuadrticaincompleta.Observaqueesunaecuacincuadrticapuradebidoaquenotieneentrminolineal.Despejalaincgnitacomolohicisteconlasecuacioneslineales:

Ahora aplica a ambos miembros de la ecuacin una raz cuadrada, con el fin deeliminarelcuadradodelaincgnita:

As pues, tienes dos valores: el positivo y el negativo, siendo ambos solucin de laecuacin:Comprobacin

Si

Si

acxcaxSi ==+ 02

0123 2 =x

0123 2 =x123 2 =x3

122 =x42 =x

Recuerda que

La raz cuadrada de un nmero x se puede representar de dos formas:

21

xx =

42 =x42 =x4=x

21 +=x 22 =x

0123 2 =x+= 21x

= 22x

( ) 01223 2 =( ) 01243 =01212 =00 =0123 2 =x

( ) 01223 2 = ( ) 01243 =01212 =00 =



Prctica52

Obtnlasdossolucionesdelaecuacin

Ejemplo.Resuelvelasiguienteecuacincuadrtica

Solucin

Te enfrentas a la raz cuadrada de una cantidad negativa, y t sabes que no existeningnnmerorealqueelevadoalcuadradosea9.Al tipo de nmeros que obtienen races negativas se les conoce como nmerosimaginarios,yaqueenelsigloXVIIRenDescartes(15961650)losllamasporquepensquesloeranproductodesuimaginacin.Las siguientes definiciones te ayudarn a obtener las races cuadradas de nmerosnegativos:Definicin1Sedefineunnmeroimaginariocomo:Definicin2Larazcuadradadeunamultiplicacinsedistribuyesobrelosfactores:Regresandoanuestroejercicio,obtengamoslarazcuadradadel9: Lacantidadnegativaasepuederepresentarpor1a. Porladefinicin2. Porladefinicin1yporlarazde9. Porlapropiedadconmutativadelamultiplicacin.

Porlotanto,lassolucionesdelaecuacincuadrticason:

5.1.2.MtododesolucinporfactorizacindeecuacionescuadrticasmixtasLa condicinnecesariaparautilizar estemtodo esque a la ecuacin cuadrtica lefalteeltrminoindependiente,esdecir,queseaunaecuacincuadrticamixta:

0155 2 =+ x

092 =+x92 =x

92 =x9=x

1=i

baab =

9=x91=x91=x3= ixix 3=

092 =+xix 31 += ix 32 =

092 =+x

02 =+ bxax



La solucin de este tipo de ecuaciones es pormedio de la factorizacinpor factorcomn,yaqueambostrminoscontienenalaincgnitax.Elmtodoconsisteenfactorizarlaecuacineigualaracerocadafactor,procediendoaresolverlasecuacionesobtenidas.Lasecuacionesdeestetiposiempretienensolucinyademsunadesussolucionesesx=0.Pasospararesolverunaecuacinmixta

1. Factorizalaexpresindelprimermiembrodelaigualdadporelfactorcomn.2. Utilizalapropiedaddelosnmerosrealesqueindicaqueunodelosdosfactores

escero.3. Despejacadafactorparaencontrarelvalordelaincgnita.

Ejemplo.Resuelvelaecuacin

SolucinLo primero que debes observar es que la ecuacin presenta la forma general oestndar,porloqueesposibleutilizarlospasosdescritosanteriormente.Paso1.Factorizalaexpresindelprimermiembrodelaigualdadporelfactorcomn.Elfactorcomndelprimertrminoes4x,porloque:Paso 2. Utiliza la propiedad de los nmeros reales que indica que uno de los dosfactoresescero.

Recuerda,sielproductodedosfactoresescero,unodelosdosolosdos,soncero:

Porlotanto:

Paso3.Despejacadafactorparaencontrarelvalordelaincgnita.

Porlotanto,laecuacincuadrticatienedosresultados,02.

Prctica52

Determinaelvalordelaincgnitaenlaecuacin

Sabas que

La propiedad cero de la multiplicacin o tambin llamada propiedad de producto cero dice que existe un nmero nico, el cero, tal que el producto de cualquier nmero real x por cero es cero: 00 =x

084 2 = xx

( ) 024 =xx

000 === boaabSi( ) 024 =xx

02bien, o04 == xx

40=x 02 =x01 =x 22 =x

8582 2 = xx




5.1.3.Mtododesolucincompletandoeltrinomiocuadradoperfecto5.1.4.Mtododesolucinporfrmulageneral

5.1.3.Mtododesolucincompletandoeltrinomiocuadradoperfecto

Estemtodo seaplicaaecuacionescompletas: yaecuacionesincompletasmixtas:.

Pasosparacompletaruntrinomiocuadradoperfecto1. Despejaeltrminoindependiente.2. Dividecadatrminodelaecuacinentreelcoeficientedex2.3. Sumaenambosmiembrosdelaecuacinelcuadradodelamitaddelcoeficiente

dex.4. Factorizaelprimermiembroysimplificaelsegundomiembro.5. Despejalavariableencuestinytomadosraces,unapositivayunanegativa.Ejemplo.EncuentralassolucionesdelaecuacinSolucinPaso1.Despejaaltrminoindependiente.

Paso2.Divideentreelcoeficientedex2.

Paso3.Sumaelcuadradodelamitaddelcoeficientedexaambosmiembrosdelaecuacin.

02 =++ cbxax02 =+ bxax

02463 2 = xx02463 2 = xx

2463 2 = xx

2463 2 = xx

32463 2 = xx822 = xx

822 = xx

La mitad

1El cuadrado

( ) 11 2 =



Porlotanto,

Paso4.Factorizaelprimermiembroysimplificaelsegundo.

Paso5.Despejalaincgnitayobtndosvalores.

Porloquelassolucionesdelaecuacincuadrticason4o2.

Prctica53

Encuentralasracesde

5.1.4.Mtododesolucinporfrmulageneral

La frmula general o tambin llamada frmula cuadrtica obtiene las races osolucionesdeunaecuacindesegundogradoconunaincgnita.Lafrmulaes:dondea=Coeficientedeltrminocuadrtico.b=Coeficientedeltrminolineal.c=Coeficientedeltrminoindependiente.Ejemplo.Elproductodedosnmerosnaturaleses48ysudiferenciaes8.Culessonesosnmeros?

= 822 xx 18122 +=+ xx

18122 +=+ xx( ) 91 2 =x

( ) 91 2 =x( ) 91 2 =x

31 =x13 +=x

131 ++=x 132 +=x41 =x 22 =x

062 2 = xx

aacbbx

242 =



SolucinSirepresentasambosnmeroscomo: x=Elnmeronaturalmayor y=Elnmeronaturalmenorentoncesladiferenciaentreellosserepresentapor:debidoaloanterior,esposiblerepresentaralnmeromayorcomo:Elproductodelosnmerosnaturaleses:Ahora,sustituyeelvalordexenlamultiplicacin:Representandolaecuacinanteriordelaformageneraloestndar(igualadaacero):Yatienesunaecuacincuadrticaqueestcompleta,ahorautiliza lafrmulageneralparaobtenerelvalordelaincgnita(enestecasoy):Paraesteproblema:Sustituyendovalores:

8= yx

yx += 8

48= yx

48= yx( ) 488 =+ yy

488 2 =+ yy

488 2 =+ yy04882 =+ yy

aacbby

242 =

4881

===

cba

aacbby

242 =

( ) ( )( )( )12

481488 2 =y

2192648 +=y



Lassolucionesdelaecuacincuadrticason4y12.Recuerdaqueoriginalmente sehablabadedosnmerosnaturalesyel 12noesunnmeronatural,porellonoessolucindelproblema.Paraencontrarelsegundonmero,sustituyeel4enlaecuacin:Aspues,losdosnmerosnaturalesquemultiplicadosdan48yrestadosdan8,sonel4yel12.Prctica54

Elreadeunrectnguloesde96cm2.Sisulargoes4cmmayorquesuancho,culessonlasdimensionesdelrectngulo?

22568 =y

2168 =y

2168

1+=y

2168

2=y

28

1 =y41 =y

224

2=y

122 =y

yx += 848 +=x

12=x

A = 96 cm2

X+4

x




6.Funcionescuadrticas6.1.Caractersticasdeunaecuacincuadrtica6.1.1.Elementosdelaparbola6.1.2.Sentidodelaparbola6.1.3.Tiposdesolucionesapartirdesuscoeficientes

6.FuncionescuadrticasEnbloquesanterioresaprendistequeunaecuacinlineal,lacualrepresentaunalnearecta, puede convertirse en una ecuacin de dos variables, omejor dicho, en unafuncin.Deformasimilar,unaecuacincuadrticaqueseigualaay,esdecir,y=ax2+bx+c,seconvierteenunafuncinygeneraunagrficallamadaparbola(curvaabierta).Definicin.Atodafuncindelaforma

selellamafuncincuadrtica.6.1.Caractersticasdeunaecuacincuadrtica6.1.1.ElementosdelaparbolaEldominiodelafuncinesR,esdecir,lavariablexpuedesercualquiernmeroreal,ysugrficaoparbolatienelossiguienteselementos:

0 , , )( 2 ++== ayRcbaconcbxaxxfy

Figura 1. Parbola de una funcin cuadrtica



Cadaunodeloslugaresenlosquelagrficacortaalejexseconocecomoraz. Elvrticeeselpuntoenelcuallagrficaalcanzasuvalormnimo(omximo). El eje de simetra es una recta que permite observar claramente que las

parbolassoncurvassimtricas.6.1.2.SentidodelaparbolaEl sentidode lagrficadeuna funcin cuadrticadependerdel signoque tengaelcoeficienteadeltrminocuadrtico:Sielvalordeaespositivo,laparbolaestarabiertahaciaarriba.Sielvalordeaesnegativo,laparbolaestarabiertahaciaabajo.

Sia>0laparbolaabrehaciaarriba

Sia

eldis

yseSegtiene

sol

Por

so

Por

sol

Po

60 Univers

scriminante

representa

n el signoeunaecuac

Si>0,laeucionesor

rejemplolatiene

Si=0,laeolucioneso

rejemplolatiene

x

Si



Sonracesconjugadasporqueunaespositivaylaotranegativa.

Ejemplo. La longitud de un terreno donde se desea poner una tienda de abarrotesexcede su ancho en 7 metros y el rea del terreno es de 120 metros cuadrados.Culessonlasdimensionesquetendrlatiendadeabarrotes?SolucinSidefines x=Longituddelterreno(m). y=Anchodelterreno(m).grficamentelainformacindadaes:entonces,laecuacinquerepresentaalreaes:ylaecuacinquerepresentaelanchodelterrenoes:Sustituyeloanteriorenlaecuacindelrea:Representalaecuacinobtenidacomolaformageneraldeunaecuacincuadrtica:Ahora,antesderesolverporfrmulageneralindicalascaractersticasdeestaecuacincuadrtica:

Recuerda que

Un nmero complejo est formado por dos partes y tienen la forma

Donde a y b son nmeros reales, adems a es la parte real y bi es la parte imaginaria. bia +

x

y A=120 m2

xyA =xy=120

7= xy

xy=120( )7120 = xx

xx 7120 2 =

012072 = xx



Sentido de la parbola: Como el signo del coeficiente del trmino cuadrtico espositivo,entonceslaparbolaestarabiertahaciaarriba.Tiposdesoluciones:Parasabercuntasydequtiposernsussoluciones,obtnelvalordeldiscriminante:Como,entonces:a=1,b=7yc=120.Sustituyendoenlafrmuladeldiscriminante:Como>0entonces,laecuacincuadrticatendrdosracesrealesdistintas.Comprobemosloanteriorresolviendoporfrmulageneral:Por lo tanto, se tienen dos races reales distintas, de las cuales, el valor de 15 sedescartadebidoaquenoexistendistanciasnegativas.Sustituyex1enlafrmuladelanchoparaconocersuvalor:Porlotanto,lasdimensionesdelatiendadeabarrotessern:

acb 42 =( ) ( )( )120147 2 =

012072 = xx

48049 +=529=

aacbbx

242 =

( )( )12

5297 =x

2237 =x

2237

1+=x

2237

2=x

151 =x 82 =x

715 =y8=y

15 m

8 m

7= xy



Ahorarealizalagrficadelaparbolaparaqueobservesloselementosquecontiene.Lafuncincuadrticaagraficares:Tabula algunos valores de x, de preferencia, tomando 1 o 2 valores anteriores a lamenor de las soluciones (x2 =8), y 1 o 2 valores posteriores a la mayor de lassoluciones(x1=15).Enestecaso,latablatomarvaloresde9a16:x 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3y 24 0 22 42 60 76 90 102 112 120 126 130 132x 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16y 132 130 126 120 112 102 90 76 60 42 22 0 24Laparbolacorrespondientees:

Siobservas lagrficapuedeverque lasracesosolucionesde laecuacincuadrticacortanocruzanalejex.Tambinpuedesobservarqueeltrminoindependientedelaecuacineselpuntoquecruzaalejey.Prctica55

Elalmacndeunajugueteratienelassiguientesdimensiones:mide5mdealturaysuanchoesdecincometrosmsquede largo.Adems,elvolumendelalmacnesde1500m3.Calculalalongitudylaanchuradelalmacndelajuguetera.

Figura 2. Parbola de la funcin cuadrtica y=x2-7x-120

1207)( 2 == xxxfy



Sesin16Lostemasarevisareldadehoyson:6.2.Grficadeunaecuacincuadrtica

7.Formaestndardeunafuncincuadrtica7.1.Desplazamientovertical7.2.Desplazamientohorizontal

6.2.GrficadeunaecuacincuadrticaSi te diste cuenta en estos dos ejemplos, para obtener la grfica de una funcincuadrtica tuviste que establecer la ecuacin cuadrtica, resolverla por frmulageneralyalfinalgraficarlamediantetabulacin,untrabajomuytediosono?Existeunaformamsfcildegraficarunafuncincuadrtica,yesmedianteelusodesuvrtice.DefinicinElvrticedeunaparbolaeselpuntodondelagrficacambiadesentido.Lafrmulaparacalcularlascoordenadasdelvrticees:dondea,bycsonloscoeficientesdelaecuacincuadrtica.

Elvalorde lacoordenadaxvdelvrticese llamaejedesimetra,yaquegeneraunarectaparalelaalejey,ylacualsiempreestcolocadaexactamenteenmediodelasdos races dividiendo a la grfica exactamente a la mitad. Se determina por laecuacin:

abac

abV

44,

2

2

( )vv yxV ,

abx

2=

Figura 4. Vrtice y Eje de simetra de una parbola



Cuando la parbola abre hacia arriba, el vrtice es el valormnimo de la parbola.Cuandoabrehaciaabajo,elvrtice representaelvalormximo.Enamboscasos, lacoordenadaquerepresentaestoes:PasospararealizarunagrficadeunafuncincuadrticaExisteunprocedimientoqueagilizalagraficacindeunaecuacincuadrtica:

1. Obtn las racesde laecuacincuadrticautilizandoelmtodoquemejor teconvengaylocalzalosenunejecartesiano.

2. Calculaelvrticedelaparbolaylocalzaloenelplanocartesiano.3. Localizaotrosdospuntosenlarectaparagraficar.4. Unelospuntosdelagrficaparaobtenerunaparbola.

Ejemplo. Se estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas de laboratorio, quefueronalimentadasconunadietaquecontena10%deprotena.Laprotenaconsistaen levadurayharinademaz.Alvariarelporcentajepde levaduraen lamezcladeprotenaseestimqueelpesopromedioganadoengramosdeunarataenunciertoperiodofuedef(p),donde:

a) Realizalagrficadelafuncincuadrtica.b) Cuntoporcentajede levaduradebehaberen laprotenaparaque lasratas

tenganelmximopesoengramos?c) Encuentraelolosvaloresdepenqueelpesoganadoporlasratasseade45.5

gramos.

SolucinSi p=Cantidaddelevaduraenlaprotena(%). f(p)=Pesoganadoporlasratas(gr.)entonces,loquedebeshacerparagraficarlafuncinsemuestraacontinuacin.

a) GrficadelafuncincuadrticaPaso1.Obtenerygraficarlasracesdelafuncin.Para resolver la ecuacin de la funcin, primero debes igualarla a cero ydespusutilizalafrmulageneralparaobtenerlasraces:

abac

44 2

202501)( 2 ++= pppf 1000 p

++= 202501)( 2 pppf 0202

501 2 =++ pp

=a

acbbp2

42

202

02.0501

==

==

cb

a



Lospuntosquedebersubicarenelplanocartesianoson:(9.25,0)y(109.25,0

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