Tmm2016_cinematica Teoria 16112015

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Jorge Pérez Gacía

CINEMÁTICA

Teoría de Máquinas y Mecanismos

CINEMÁTICA

MECANISMO

Combinación de elementos de modo que permitan conseguir determinados movimientos

PIEZA

Parte indivisible de un elemento o de un mecanismo

ELEMENTO O MIEMBRO

Parte de una máquina o mecanismo que posee movimiento relativo con cualquier otra

PAR DE ELEMENTOS

Dos miembros contiguos de una máquina o mecanismo, en contacto permanente, cuyo movimiento

relativo les está permitido

Clasificación de cierres:

1.- “De cierre de forma”: el contacto está asegurado por la forma de los dos miembros del par

(cilindro-émbolo)

2.- “Cierre de fuerza”: el contacto está asegurado por la fuerza que ejerce un

elemento elástico interpuesto (leva-válvula).

3.- “Cierre de enlace”: el contacto está asegurado por medio de otro miembro

del mismo mecanismo (engrane de dos ruedas dentadas)

Clasificación según el número de barras o miembros (orden del par o de la junta):

Par binario: par formado por dos barras

Par ternario: par de tres barras

Par P-ario: par formado por P barras

Clasificación según la superficie de contacto

Par superior (de contacto lineal o puntual)

Par inferior (de contacto superficial)

Pares de primer orden (un punto del eslabón describe una curva)

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Pares superficiales o de segundo orden (un punto del eslabón describe una superficie)

Clasificación según el movimiento relativo entre sus puntos

Par de primer grado o lineal

Par prismático: describe una línea recta

Par de rotación: el punto describe una circunferencia

Par helicoidal: describe una hélice

Par de segundo grado o superficial

Par plano: describe un plano

Par cilíndrico: describe un cilindro

Par esférico: describe una esfera

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Número de grados de libertad.

Una concatenación de eslabones mediante pares cinemáticos da lugar a una cadena cinemática, la cual

puede ser cerrada o abierta, según los eslabones formen bucles o no. La utilización práctica de las

cadenas cinemáticas hace necesario que a uno de los eslabones se le restrinja su movimiento

completamente, convirtiéndose en el eslabón tierra o soporte, la cadena cinemática pasa a denominarse

Mecanismo.

Dicho mecanismo puede tener diferentes grados de libertad que definen su movilidad (gdl: número

mínimo de parámetros independientes necesarios para definir la configuración geométrica de un sistema

en el espacio). Cuando al analizar la movilidad de un mecanismo obtenemos un número de grados de

libertad nulo consideraremos que no son verdaderos mecanismos pues el movimiento relativo entre sus

eslabones y por tanto en sus pares no existe y los denominaremos estructuras. Los mecanismos básicos

usados en máquinas son habitualmente de 1 gdl, por su sencillez, con un único actuador generamos

movimientos y fuerzas determinadas. En la figura se muestran ejemplos de cadenas cinemáticas cerrada

y abierta y mecanismos con distintos grados de libertad (0, 1,2).

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Mecanismo en el espacio: 6 gdl

3 traslación

3 de rotación.

CRITERIO DE GRÜBLER (GRUEBLER): Cálculo del número de grados de libertad.

G = 3(N-1)-2f1-f2 (N: nº de elementos, f1: nº pares 1 gdl, f2: nº pares 2 gdl)

Si G>1 mecanismo con G gdl.

Si G=1 mecanismo desmodrómico.

Si G=0 estructura estáticamente determinada.

Si G<0 estructura hiperestática.

TEOREMA DE GRASHOFF

En el mecanismo de cuatro barras de la figura podemos estudiar

las relaciones que deben cumplir las longitudes de sus eslabones

para producir los diferentes tipos de movimientos de sus

manivelas y biela mediante el Teorema de Grashoff.

Clasificación de los mecanismos de cuatro barras.

El cuadrilátero articulado tiene tres comportamientos cinemáticos posibles: doble manivela, manivela-

balancín y doble balancín. En un cuadrilátero articulado de doble manivela, las dos barras articuladas

al elemento fijo se comportan como manivelas, es decir, dan revoluciones completas. En uno de

manivela-balancín, uno de los elementos da revoluciones completas mientras el otro oscila entre dos

posiciones extremas. Por último, en un cuadrilátero de doble balancín, los dos elementos oscilan entre

posiciones extremas.

Sean a, b, c, d las cuatro longitudes de los elementos de una cadena cinemática de cuatro barras,

ordenadas de forma que a<b<c<d. Con estas cuatro barras se pueden formar tres cadenas cinemáticas

distintas, representadas en la figura siguiente, que denominaremos configuraciones I, II y III,

respectivamente.

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Con objeto de estudiar las condiciones geométricas que se deben dar. para que una barra sea manivela

o balancín, es necesario determinar cuándo una barra puede dar vueltas completas con respecto a otra.

En primer lugar, demostraremos que, si una barra es capaz de dar vueltas completas con respecto a

otra en una de las tres configuraciones, también puede dar vueltas completas en las otras dos.

Supongamos que la barra a puede dar vueltas completas con respecto a la barra b en la configuración

de la figura (a). A partir de este cuadrilátero construimos el de la figura siguiente, cambiando el orden

de las barras a y b. Se puede ver que las barras a y b de los dos cuadriláteros son paralelas siempre

que las barras c y d también lo sean. Por tanto, si la barra c gira con respecto de la barra d la misma

cantidad en los dos cuadriláteros, ambos mantendrán sus barras a y b paralelas.

De aquí se concluye que si en la figura (a) las barras a y b dan vueltas completas, una con respecto a

la otra, también darán vueltas completas en la figura (b), puesto que ambas se mantienen paralelas a

las anteriores en todo momento. Esto demuestra que, si la barra a da vueltas completas con respecto

a la barra b en la configuración I, también lo hace en la configuración III. Este razonamiento puede

extenderse para demostrar la misma propiedad con la configuración II. En resumidas cuentas, basta

con estudiar una cualquiera de las tres configuraciones, pues los resultados son automáticamente válidos

para las otras dos.

Para que la barra a pueda dar vueltas completas con respecto a la barra d en la figura (a), es necesario

que se puedan alcanzar las dos posiciones extremas de la figura siguiente, en que las dos barras a y d se

encuentran alineadas.

De la figura (a) podemos escribir la ecuación b+c>a+d y de la figura (b) d−a>c−b.

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La ecuación b+c>a+d expresa la propiedad de todo triángulo que establece que la suma de las longitudes

de dos de sus lados es mayor que la del tercero. Por su parte, la ecuación d−a>c−b expresa la propiedad

que establece que la diferencia de las longitudes de dos lados es menor que la del tercero. Ésta última

ecuación se puede escribir también como b+d>a+c.

Las desigualdades b+c>a+d y b+d>a+c se han obtenido estudiando la condición de que la barra a dé

vueltas completas con respecto a la d. Un razonamiento análogo se puede seguir con el resto de las

combinaciones entre barras, para obtener fácilmente la siguiente tabla de desigualdades:

Barras Desigualdad I Desigualdad II

a y d b+c>a+d (iii) b+d>a+c (i)

a y c b+d>a+c (i) b+c>a+d (iii)

a y b c+d>a+b (i) b+c>a+d (iii)

b y d a+c>b+d (ii) a+d>b+c (iv)

b y c a+d>b+c (iv) a+c>b+d (ii)

c y d a+b>c+d (ii) a+d>b+c (iv)

Observando esta tabla se ve que únicamente aparecen cuatro tipos de desigualdades diferentes,

catalogadas como i, ii, iii y iv. Las desigualdades i son las que se cumplen automáticamente, como por

ejemplo que la suma de las dos barras más largas es mayor que la de las dos barras más cortas. Las

desigualdades de tipo ii son imposibles, como que la suma de las dos barras más cortas es mayor que la

de las dos más largas. Por último, aparecen las desigualdades iii y iv, una opuesta de la otra, que

pueden cumplirse o no. A la desigualdad iii se le conoce con el nombre de desigualdad de Grashoff.

De la tabla anterior se pueden sacar las siguientes conclusiones:

1. La única barra que puede dar vueltas completas con respecto a las demás es la pequeña. Para

probarlo, basta con ver que cuando la barra a no aparece en la primera columna siempre se da

una condición imposible.

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2. Si la barra pequeña puede dar vueltas completas con respecto de otra barra, también puede dar

vueltas completas con respecto a todas las demás. En efecto, para que la barra a pueda dar

vueltas completas es necesario que se satisfaga la desigualdad de Grashoff y, entonces, se

satisfacen también las condiciones necesarias para que la barra a dé vueltas completas con

respecto a las barras b, c y d. Si se satisface la desigualdad de Grashoff, el movimiento del

cuadrilátero es el mostrado en la siguiente figura:

Doble manivela (a) si el elemento a es el fijo (entonces las dos barras contiguas al

fijo dan vueltas completas, por lo que son manivelas).

Manivela-balancín (b) si el elemento a es contiguo al fijo.

Doble balancín (c) si el elemento a es opuesto al fijo.

3. Si no se cumple la desigualdad de Grashoff, el cuadrilátero es de doble balancín.

El caso límite en que se satisface la igualdad b+c=a+d, corresponde a un cuadrilátero que pasa por

posiciones singulares. En la figura siguiente se muestra el cuadrilátero en una posición singular, cuando

las cuatro barras se encuentran alineadas. En esta posición, el cuadrilátero pasa a tener ins-

tantáneamente dos grados de libertad en lugar de uno, como sería normal. Por ello, los extremos de las

barras a y c pueden ir hacia arriba o hacia abajo independientemente el uno del otro.

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En este mecanismo hay que tener en cuenta que un par ternario

debe ser considerando como dos pares binarios, ya que una

articulación en la que confluyen tres barras es equivalente a dos

articulaciones con dos barras cada una, según se indica en la

figura.

A pesar de que el resultado indica que el mecanismo no deberá

moverse, es evidente que se moverá pues se trata de un

cuadrilátero articulado normal con barras redundantes. El fallo

del criterio de Grübler se debe a que éste sólo tiene en cuenta las

características estructurales (número de elementos y de pares),

pero no contempla las dimensiones y características geométricas.

Este mecanismo es estructuralmente idéntico al segundo que,

como se vio, no tiene movilidad. Sin embargo, debido a su

geometría particular de tres barras paralelas con orígenes

alineados, este mecanismo si puede moverse.

Se aprecia que la parte derecha del mecanismo es un cuadrilátero articulado con un grado

de libertad. La causa del fallo del criterio de Grübler hay que buscarla aquí en que una

parte del mecanismo constituye una estructura hiperestática de grado 1, sin posibilidad

de movimiento, mientras que la otra es un mecanismo. Como el criterio de Grübler aplica

la formula a su conjunto, en lugar de a cada parte, las conclusiones que se deducen son

falsas. Se puede concluir fácilmente que, al aplicar el criterio de Grübler

independientemente a la parte de la izquierda y de la derecha, se obtiene, respectivamente,

G=-1 y G=1, que sumados da el 0 de la solución errónea.

Calcular mediante el criterio de Grüber los gdl de los mecanismos siguientes.

G=3·(4-1)-2·4 = 1 G=3·(5-1)-2·6 = 0

G=3·(4-1)-2·3-1·1 = 2 G=3·(6-1)-2·7 = 1 G=3·(6-1)-2·7 = 1

G=3·(5-1)-2·6 = 0 G=3·(9-1)-2·12 = 0

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La barra 2 de la figura gira a velocidad angular constante de 6 rad/s en sentido horario. Determinar,

para el instante representado:

a) Las velocidades angulares de las barras 3 y 4,

b) las aceleraciones angulares de las barras 3 y 4,

c) la velocidad y aceleración Del punto C.

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El contacto entre el disco 4 y la superficie fija es de rodadura pura. Determinar, para el instante

representado, (𝜔 = 2 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ , 𝛼 = 5 𝑟𝑎𝑑 𝑠2⁄ , para la barra de 30 cm, ambos anti horarios)

a) la velocidad y aceleración del punto M del disco.

b) el radio de curvatura de la trayectoria trazada por M.

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Si la barra 2 gira a 5 rad/s (AH), determinar la velocidad angular de todas las barras y la velocidad de

elemento 6.

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En el mecanismo plano de la figura, determinar las velocidades angulares y aceleraciones angulares de

todas las barras.

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Calcular las velocidades angulares en todos los eslabones del eslabonamiento Stephenson I de seis barras

mostrado en la figura.

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