Topología de las superficies

Sábados de la ciencia - 2007Facultad de Ciencias

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Superficies sorprendentesy caminos imposibles

Mario Fioravanti


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Temas de esta charla

• La Topología

• Los puentes de Königsberg (Grafos)

• Experimentos con cintas y cruces de Möbius (trabajo del público)

• Más superficies curiosas

• Coloreando mapas

• Matemáticos que contribuyeron a la Topología


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Un paseo por la Tierra

Si partimos de un lugar de la Tierra y avanzamos sin desviarnos, al cabo de un tiempo volveremos al punto de partida.


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Si dos personas parten en direcciones perpendicula-res y van dejando en su camino una marca de hilo, una de color azul y la otra de color rojo, comprueban que en algún momento sus caminos se han cruzado.


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Si la Tierra no fuera una esfera,

¿podría ocurrir que las dos personas que parten en direcciones perpendiculares vuelven al punto de partida, pero sus caminos no se cruzan?

¿Podría ocurrir que una persona camina sin desviarse y retorna al punto de partida, pero cabeza abajo?


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La topología es una rama fundamental de las Matemáticas que estudia las propiedades de un objeto que se conservan por deformación o estiramiento.

Topología

=

La redondez de una circunferencia no es una propiedad topológica.


7

“geometría cualitativa” ¿tiene agujeros? ¿tiene borde?¿está formada por varias componentes?

no tiene borde

no tiene borde,

tiene unagujero

tiene borde


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tiene tres agujeros

Topológicamente un cubo es equivalente a una esfera

Y una taza es equivalente a un donut

= =


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Leonhard Euler (1707-1783)

Geometría, cálculo, teoría de números, ecuaciones diferenciales, mecánica, hidrodinámica, electromagnetismo, astronomía ...El matemático más prolífico de todos los tiempos: 500 entre libros y artículos (800 páginas por año).Obras completas:

¿73 volúmenes?


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Los puentes de Königsberg

Capital de Prusia Oriental.En 1945 pasa a llamarse Kaliningrado


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El problema de los puentes es equivalente al recorrido de un grafo.

¿Cuáles son los grafos que se pueden recorrer sin pasar dos veces por la misma arista?


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¿Se puede recorrer este grafo, sin pasar dos veces por la misma arista?


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Un grafo se puede recorrer sin pasar dos veces por la misma arista si no tiene vértices impares (número de aristas en ese vértice) o solo tiene dos.

Si todos los vértices son pares, al completar el reco-rrido se vuelve al mismo vértice de partida. Si tiene dos vértices impares, uno de ellos será el comienzo del recorrido y el otro el final.

3

33

3

4

3

3

4

4

2


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3

3

3

5

No se pueden recorrer los siete puentes sin pasar dos veces por el mismo.


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¿Podría ocurrir que una persona camina sin desviarse y retorna al punto de partida, pero

cabeza abajo?

August F. Möbius (1790-1868)

Astrónomo y matemático.Alumno de Gauss.

Superficies de una sola cara (o no orientables)

Johann B. Listing (1808-1882)


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La cinta de Möbius

M. C. Escher (1898-1972)http://www.mcescher.com/


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Experimentos con bandas de Möbius

1. Con una tira de papel construimos un cilindro.¿Cuántas caras tiene? ¿Cuántos bordes tiene?

2. Con una tira de papel construimos una cinta de Möbius.

¿Cuántas caras tiene? ¿Cuántos bordes tiene?

3. Construimos un cilindro y cortamos por la línea central.¿Cuántas superficies se obtienen? ¿Con cuántas caras y bordes?

4. Construimos una cinta de Möbius y cortamos por la línea central.

¿Cuántas superficies se obtienen? ¿Con cuántas caras y bordes?


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5. Usamos una tira de papel con dos líneas que la dividen en tres partes y construimos una cinta de Möbius. Cortamos por las líneas.

¿Qué se obtiene? ¿Hemos obtenido alguna banda de Möbius?

… más experimentos con bandas de Möbius


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Experimentos con cruces de Möbius 1. Con una cruz (con una línea en el medio) unimos las aspas

opuestas formando dos cilindros. ¿Qué características topológicas tiene la nueva superficie?

Si cortamos por la línea central, ¿qué se obtiene?

2. Con otra cruz similar, unimos dos de las aspas formando un cilindro y las otras dos formando una banda de Möbius. ¿Qué características topológicas tiene la nueva superficie?

3. Con otra cruz similar, unimos los dos pares de aspas opuestas formando bandas de Möbius. ¿Qué características topológicas tiene la nueva superficie?

Si cortamos por la línea central, ¿qué se obtiene? Compara el resultado con el de otros asistentes.

Si cortamos por la línea central, ¿qué se obtiene?


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… más cruces

4. Usamos ahora la cruz que tiene un par de aspas divididas en tres partes. Unimos el par de aspas con una sola línea formando un cilindro y el par de aspas con dos líneas formando una banda de Möbius.Cortamos por las líneas, empezando por la banda de Möbius.¿Qué se obtiene?


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Lo imposible, posible

El cilindro con asaPodrías ahora construir esta figura (esta vez tienes que pegar dos bordes).

El folio sorprendenteCon un folio y tijeras (sin usar pegamento) construye de una sola pieza la superficie que se muestra en el dibujo


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Hay que llevar agua, electricidad y gas a las tres casas, sin que se crucen las tuberías.

¿Es posible?


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Representaciones planas

La cinta de Möbius

El cilindroA

B

A

B

B

BA

A


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Otras superficies

A

A A

A El toro

A

A A

A

La botella de Klein


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Felix Klein (1849-1925)

La botella de Klein

Nació el 25-4-1849 (52 22 432)• Teoría de funciones • Geometrías no-euclideanas• Relación entre geometría y álgebra

A

A A

A


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Cortando una botella de Klein


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Más sobre la topología del toroEl toro no tiene borde, tiene dos caras y tiene un agujero.

Si una superficie no tiene agujeros y dibujamos una circunferencia se divide en dos partes o componentes conexas. Si comenzamos a trazar otra circunferencia que cruza la primera tendremos que volver a cruzar la primera circunferencia.

Si la superficie tiene un agujero, podemos dibujar una circunferencia que no la divide en dos componentes conexas. Podemos trazar otra circunferencia que corta a la primera solo en un punto.

Si viviésemos sobre la superficie de un toro …


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Coloreando mapasMöbius propuso en 1840 este problema:

Había una vez un rey que tenía cinco hijos. En su testamento pidió que a su muerte su reino se dividiera en cinco regiones, de modo tal que cada región tuviera frontera en común con las otras cuatro.

¿Se pueden satisfacer los términos del testamento?

Un problema más difícil:

¿Cuántos colores hacen falta para colorear un mapa, de modo que dos regiones limítrofes tengan distinto color?Las regiones que se cortan en un punto no se consideran limítrofes.

Para colorear un tablero de ajedrez bastan dos colores.


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¿Podría colorear este mapa con solo tres colores?

Este mapa está coloreado con cuatro colores.


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Planteado en 1853 por Francis Guthrie.Primera demostración en 1976 de Appel y Haken.

Teorema de los cuatro colores:Cualquier mapa dibujado sobre un plano o sobre una esfera se puede colorear con cuatro colores


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El grafo dual

Un vértice por cada región, una arista si las regiones son limítrofes.

Asignar un color (o un número) a cada vértice, de modo que los vértices contiguos tengan distinto color (distinto número).

4

1

1

2

2

3

3

4


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¿Y si el mapa estuviera en una cinta de Möbius?Seis colores son suficientes para colorear un mapa en una cinta de Möbius.

¿Y en un toro?


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Otros nombres importantes en el desarrollo de la topología:

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855)Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)Marie Ennemond Camille Jordan (1838-1922)Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918)Henri Poincaré (1854-1912)Felix Hausdorff (1868-1942) y más ...

Gauss Jordan Cantor Poincaré HausdorffRiemann


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John Robinson

Keizo Ushio

ICM 2006 - Madrid


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Barr, Stephen, Experiments in Topology, Dover, New York, 1964.

Blanco, Miguel; Ruiz, Andrés; Corchete, Abilio, Taller de Matemáticas, Junta de Extremadura, Consejería de Educación y Juventud, Mérida, 1998.

Polthier, Konrad, Imaging maths - Inside the Klein bottle, Plus Magazine 26, 2003, http://plus.maths.org/issue26/features/mathart/index.html#kleinBottle_anim

Weeks, Jeffrey, The shape of space, Marcel Dekker, New York, 1985.

Rodríguez, J., Un paseo por la topologá en la red, http://www.ual.es/~jlrodri/Topgen2/introduccion.html

The MacTutor History of Mathematics Archive, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/index.html

Bibliografía

Topología de las superficies

Education

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