Trabajo Completo Fluidos II

Mecánica de Fluidos II

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MECÁNICA DE FLUIDOS II

Trabajos Fluidos II

Carlos Sanz Cordovilla

27/02/2009

e-mail: [email protected]


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1. Capa Límite Sobre un elipsoide de revolución


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1.1. Introducción Este primer trabajo pretende analizar el desarrollo de la capa límite, tanto mecánica como térmica, de un elipsoide por la influencia del gradiente de presiones. La capa límite es una zona cercana al sólido donde los efectos viscosos tiene una gran importancia. Gracias su estudio podremos estudiar las fuerzas de resistencia aerodinámica o el punto de desprendimiento de ésta y a partir del cual las ecuaciones que rigen el fluido dejan de ser válidas.

Para ello se va a estudiar el siguiente problema, se trata de una corriente cuya velocidad lejos del cuerpo es uniforme, de valor U∞ y dirección coincidente con la del eje X, que es

también la del semieje mayor del elipsoide. El elipsoide es de semieje mayor a y semieje menor b=t·a, siendo t un parámetro conocido de valor t<1. El elipsoide tiene como ecuación ��

�� + ��(�·�)� = 1, � = √�� + ��

Para este problema la teoría potencial proporciona la siguiente ley de velocidades exteriores:

��(�) = �∞1 − � �(�)��(�) + ��(�)

Siendo � una constante dependiente del parámetro t:

� = ��(1 − ��)� �� (�� ℎ�1 − �� − �1 − ��

Por último, la expresión siguiente relaciona la abscisa X con la coordenada curvilínea x. Esto coordenada es necesaria para determinar el funcionamiento de la capa límite.

"�"� = # 1 − ��1 − (1 − ��)��


4

1.2. Ecuaciones A continuación se va a mostrar la demostración de las ecuaciones dadas en el enunciado. Para ello se van a tener en cuenta las siguientes suposiciones, tanto físicas como geométricas: • La primera suposición que podemos tener en cuenta es que el fluido se comporta de manera incompresible en la capa límite y tomar el fluido como ideal. • El espesor de la capa limite es mucho menor que el radio característico de la sección transversal del cuerpo. • Suponer la presión constante en la dirección normal a la superficie, ya que la presión transversal para el movimiento del fluido es mucho mayor. Para poder demostrar las ecuaciones debemos definir un volumen de control infinitesimal, el cual se muestra en la siguiente figura:

1.2.1. Ecuación de continuidad Para empezar, decir que al estar considerando régimen estacionario no vamos a considerar los términos que dependen del tiempo. $%$� + & · ('() = 0 → & · ('()

Esta ecuación de forma integral queda:

* + · ('(,)"- = 0

Así para las diferentes superficies y tenemos: - Superficie 1(entra): ./ = 21�"2'�

- Superficie 2 (sale): .� = ./ + $34$5 · "�


5

- Superficie 3(entra): .� = 21�"�'(

- Superficie 4 (sale): .� = .� + $36$7 · "2

.� − ./ + .� − .� = 0

↓ 8(./)8� "� + 8(.�)82 "2 = 0

↓

31 0II

dx dyx y

∂∂ ⋅ + ⋅ =∂ ∂

Sustituyendo y teniendo en cuenta que todo 2Πρ=cte.: 8(��)8� + 8(�()82 = 0

1.2.2. Ecuación de cantidad de movimiento. Para esta ecuación se usara el mismo volumen de control y se procederá de una manera análoga. Primero como siempre se suele hacer en estas ecuaciones se proyectara sobre el eje x:

* '( · &("9 = + · ('(,)"-

↓ :/ = ./�

:� = ./� + 8./�8� "� :� = .�(

:� = .�( + 8.�(82 "2

↓ :� − :/ + :� − :� ↓ 8(./�)8� "� + 8(.�()82 "2 = 0

Pasamos ahora a analizar el segundo miembro

− * &<"9 = − * <"-

↓


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=/ = <>7

=� = <>7 + 8<>78� "�

=� − =� = < 8<>78� "�

↓

−(=� − =/ + =� − =�) = −>7 8<8� "�

Para realizar estos cálculos hemos estado suponiendo que la presión en las secciones transversales es constante, así teniendo en cuenta que el fluido es ideal fuera de la capa límite, el gradiente de presiones se puede obtener al imponer sobre una línea fluida la igualdad de Bernouilli.

ee

dupu

x dxρ∂− =

∂ A continuación se calcula la fuerza del término viscoso, el cual se calcula haciendo el balance tal y como anteriormente:

viscosaF =y yy

u uuA AAy yx

dy dx dyy x y

µ µµ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ + ≈

∂ ∂ ∂ Ya para terminar usaremos la hipótesis de la esbeltez de la capa límite. Por tanto al ser de un espesor muy estrecho, tenemos que la velocidad tangencial debe crecer desde cero en la parte en contacto hasta ue en su extremo superior. Por tanto el gradiente debe ser muy grande, y por eso se desprecia el segundo término. .

2

2e

e

duu v uu v u

x y dx yν∂ ∂ ∂+ = +

∂ ∂ ∂

A continuación se muestran las condiciones de contorno:

0 0

( , 0) 0

( , 0) 0

( , ) ( )

( , ) ( )e

v x y

u x y

u x y u x

u x x y u y

= == =→ ∞ =

= =


7

1.2.3. Ecuación de energía. A continuación se muestra la demostración de la ecuación de energía a pesar de que no es necesario para los primeros apartados, pero sí los es para más adelante:

'�?� 8@8� + '�?( 8@82 = '�? A8�8�B� + C 8�@82� − � · �� "��"�

El objetico de este desarrollo es calcular la variación de la entalpia, y los motivos de esta variación. De la ecuación anterior ya podemos observar que hay tres motivos para esta variación. El primero corresponde a la disipación viscosa, el segundo a la disipación térmica por flujo de calor y el tercero corresponde al trabajo desarrollado en el proceso de expansión. A continuación se muestra esta variación:

∆E = �? A8./@8� "� + 8.�@82 B

Y desarrollando cada uno de los motivos de la variación, del término de viscosidad solo nos quedamos con la variación de la velocidad tangencial en dirección y:

∆FG = H A8�82B� 21�"�"2

El termino de conducción de calor ∆FI = C J$�K$� L 21�"�"2

El termino de las fuerzas de presión ∆F? = −21�� · �� $MN$5 "�"2

Las condiciones de contorno para este problema son:

0

ˆ ˆ( , 0) 0

ˆ ˆ( , ) 1

ˆ ˆ ˆ( , ) 1

x y

x y

x x y

θθθ

= =→ ∞ =

= =

La temperatura que se presenta no es la absoluta, sino la adimensionalizada de la siguiente forma:

p

p

T T

T Tθ

∞

−=

−

1.3. Punto de desprendimiento y evolución de la capa límite El desprendimiento de la capa límite se da cuando el gradiente de presiones es tal que se

produce una inversión de la velocidad. Físicamente esta condición se da cuando ($MO$7P)7PQR ,


8

pero tal y como se dice en el enunciado esta condición no la podemos calcular con el método de líneas y en vez de esa usaremos �P/(�PS) = 0, es decir que la velocidad en la primera estación es nula en ese punto. El modelo matemático realizado es el método de líneas, que es un método muy eficiente para resolver ecuaciones en derivadas parciales numéricamente como las que aparecen en nuestro problema. Este método convierte las ecuaciones en derivadas parciales en un sistema diferencial ordinario que puede ser resuelto mediante Runge-Kutta. El método consiste en discretizar el dominio en un número de líneas paralelas al eje local x/a, separadas una distancia h constante. Las discretizaciones se realizan teniendo en cuenta que las derivadas parciales respecto de y adimensional pueden discretizarse mediante expresiones de diferencias finitas, y las integrales mediante la regla de los trapecios, quedándonos tantas ecuaciones diferenciales como líneas queramos calcular. En este apartado se puede observar como los perfiles y el punto de desprendimiento cambian en función de la esbeltez, que en este problema nos lo dará el parámetro t, así para t=0 nuestro volumen tiende a ser una aguja donde la dirección del flujo es la longitudinal, por lo que el desprendimiento se dará muy tarde o directamente no se dará. Con el modelo realizado según se indica en el enunciado, no podemos tomar este valor porque los modelos matemáticos realizados no lo permiten. El otro extremo es cuando t=1, en este caso se trata de una esfera, donde el punto de desprendimiento es conocido, en este problema lo hemos modelado para t=0.9999:

t=0.1 TOU =1.9738

t=0.2 TOU =1.9625

t=0.3 TOU =1.9617

t=0.4 TOU =1.9685

t=0.5 TOU =1.9813

t=0.6 TOU =1.9982

t=0.7 TOU =2.0187

t=0.8 TOU =2.0439

t=0.9 TOU =2.0724

t=1 TOU =2.1059

A continuación se muestran la evolución de los perfiles de velocidades para diferentes valores del parámetro t.


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Cabe decir que tanto que en estas representaciones tanto como en las de temperaturas que mostraremos más adelante no se han representado exactamente las estaciones 1 y 100. Esto es debido a que al encontrarse muy cercanas a la superficie y al punto de desprendimiento respectivamente, la representación daba ciertas discontinuidades.

1.4. Coeficientes de resistencia de fricción y de forma En este apartado vamos a calcular los coeficientes de forma y fricción, para ello vamos a realizar un estudio de la resistencia a la que se ve sometido el elipsoide. Esta resistencia se puede dividir en dos componentes uno debido a la presión ejercida sobre el elipsoide por el fluido y otra por la fricción sobre el mismo. A continuación se muestran la definición de los coeficientes.

0 0.5 1 1.50

2

4

6

8

Velocidad adimensionaly

adim

ensi

onal

t=0.3

0 0.5 1 1.50

2

4

6

8

Velocidad adimensional

y ad

imen

sion

al

t=0.1

estacion 1

estacion 25

estacion 50estacion 75

estacion 100

0 0.5 1 1.50

2

4

6

8


y ad

imen

sion

al

t=0.6

0 0.5 1 1.50

2

4

6

8


y ad

imen

sion

al

t=1


10

2 21( )

2

pDp

DC

U taρ π∞

= 2 21

( )2

fDf

DC

U taρ π∞

=

En ambos casos, su valor viene dado por una integral extendida a la superficie y, por tanto, es necesario obtener los vectores normales y tangenciales a ésta y, posteriormente, proyectar la integral sobre la dirección de movimiento. La expresión formal de ambas, tras haber tenido en cuenta el efecto de la simetría axial, es:

2

0

( ) ( ) 2 ( ) ( )xs

p X X es sD p p n d p p n R x dx p p Rσ π π∞ ∞ ∞Σ

= − − ≅ − − − −∫ ∫

02 ( )

xsx x

f X X

v vD t d t R x dx

y yµ σ µ π

Σ

∂ ∂= ≅∂ ∂∫ ∫

En el caso de la fricción, se ha supuesto que, una vez que se desprende la corriente, existirán fuerzas de fricción, pero su resultante será en promedio nula. No ocurre así para el coeficiente de presión, para el cual, una vez desprendida, se supone que la presión se mantiene constante e igual a la que existía en este punto, dando lugar a un término proporcional al área de la sección en el punto de desprendimiento y a dicha presión. A continuación se muestra una grafica donde se puede ver la evolución del punto de desprendimiento, del coeficiente de fricción y del de presión.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.2

0.4

0.6

0.8

1

t

Punto de desprendimiento frente a t

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

10

20

30

40

t

Coeficiente de Resistencia de Fricción frente a t

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

Coeficiente de Resistencia de Presion frente a t


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En cuanto al coeficiente de fricción, se ve que cuando t es muy pequeña tiende a una asíntota vertical. Por el contrario, el coeficiente de presiones va creciendo, pues cada vez se desprende antes la capa límite y, tras esto, se crea un efecto de succión que afecta a una superficie mayor. La explicación de que el de fricción sea decreciente es ésta misma. t Cdf Cdp Cd=Cdf+Cdp Cd experimental 0.125 0.2542 0.0385 0.2927 0.2 0.25 0.1375 0.1099 0.2474 0.25 0.5 0.0729 0.3285 0.4014 0.27 1 0.0478 0.9653 1.0131 0.47

1.5. Capa limite térmica: perfil de temperaturas, Nusselt local y comparación En este apartado vamos a realizar un estudio del problema térmico y más concretamente del desarrollo de la capa límite térmica. El problema térmico aparece cuando las temperaturas del cuerpo sólido que atraviesa el fluido y el propio fluido son diferentes. Sucede que la conductividad de muchos gases y líquidos es, como la viscosidad en el problema de la capa límite mecánica, suficientemente pequeña como para que sus efectos puedan ser despreciados en todo el campo fluido excepto en una delgada capa llamada capa límite térmica. La capa límite térmica muestra alguna similitudes con la mecánica, de hecho solo podremos mostrar perfiles antes del punto de desprendimiento, al igual que pasaba con la capa límite mecánica. En las siguientes gráficas se muestra la evolución a lo largo del elipsoide de nuestra capa límite. Podemos ver que hemos tenido que representar de la estación 5 a la 95, ya que por debajo de ella y por encima mostraba errores, debido a la cercanía a la superficie y al punto de desprendimiento respectivamente.


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Una vez conocemos el campo térmico es posible obtener un número adimensional (número de Nusselt) relacionado con la transferencia de calor, que en este caso desarrollaremos en su forma local y, por tanto, variará a lo largo del elipsoide. Además lo compararemos con las relaciones utilizadas en la transmisión de calor para modelar la transferencia de calor de un flujo sobre una esfera. La definición del número de Nusselt es la siguiente:

Que adimensionalizándola con las variables adimensionales de nuestro problema queda de la siguiente forma:

1 / 2

ˆ 0

ˆ( 1) R ey

N u Xy

θ

=

∂= + ⋅ ⋅∂

0 0.5 1 1.50

2

4

6

8

Temperatura adimensional

y ad

imen

sion

al

t=1

0 0.5 1 1.50

2

4

6

8


y ad

imen

sion

al

t=0.6

0 0.5 1 1.50

2

4

6

8


y ad

imen

sion

al

t=0.3

0 0.5 1 1.50

2

4

6

8


y ad

imen

sion

al

t=0.1

estacion 5

estacion 25

estacion 50estacion 75

estacion 95

0

( )

y

p

Tk

yN u

T Tk

X a

=

∞

∂−∂

= −+


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La relación reflejada en libros de transmisión de calor que más se parece a la situación de nuestro problema es la siguiente:

1/2 1/3ˆ0.332[Re (1 )] PrxNu X= ⋅ + ⋅

Podemos ver que la semejanza es muy pequeña debido a que no se considera la zona de la estela, que es grande en el caso de la esfera siendo la semejanza entre el cálculo numérico y la relación muy pequeñas.

0 0.5 1 1.5 2 2.50

10

20

30

40

X

Nus

selt

Nusselt para t=0.9

0 0.5 1 1.5 20

10

20

30

40

X

Nus

selt

Nusselt para t=0.6

0 0.5 1 1.5 20

10

20

30

40

X

Nus

selt

Nusselt para t=0.3

0 0.5 1 1.5 20

10

20

30

40

X

Nus

selt

Nusselt para t=0.1

Nusselt Númerico

Nusselt Tablas


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2. Movimiento de Gases en Conductos: Scramjet


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2.1. Introducción

Un scramjet (supersonic combustión ramjet) es un estatorreactor de combustión supersónica, es una variación del estatorreactor estándar. El Scramjet, tipo de reactor del X-43A, no reduce la velocidad del aire para su combustión, si no que esta se realiza a través de él. Es necesario realizar una combustión muy rápida, generalmente se usa hidrógeno, pero no crea el problema de la fricción y su velocidad límite está aún por ver, quizás mach 20. Es mecánicamente muy simple pero extremadamente complejo en aerodinámica como el ramjet sino más. Los tres ejemplares, con pequeñas diferencias cada uno, que se probaron en los ensayos del proyecto Hyper-X han sido los primeros scramjets de la historia de la aerodinámica, y todavía está por ver todo su potencial.

x-43 A

En este trabajo vamos a realizar un modelo de un scramjet. Para llevar a cabo este modelo supondremos nuestro scramjet volando a una altura entre 15 y 25 km, a un número de Mach entre 4 y 7, y en unas condiciones de presiones y temperaturas ambientales determinadas por la atmósfera estándar. El scramjet estará constituido por una toma supersónica caracterizada por un ángulo theta, el cual variará a lo largo del problema. A través de ella el aire se desacelerará gracias a ondas de choque oblicuas y posteriormente pasa a un difusor. Las variaciones de las magnitudes fluidas a través de éste se obtendrán por interpolación a través de unas graficas semiempíricas. A la salida la toma se encuentra una cámara de combustión en la que se suministra cierto calor por unidad de masa. También existe un flujo a través de las paredes, que se modelará según la analogía de Reynolds. La fricción a lo largo de ésta se modelará por un factor de fricción λ, independiente de la temperatura. Tras ésta se supondrá una tobera de salida isentrópica y acoplada (ps= pa). En todo los cálculos que se van a realizar consideraremos el aire como un gas ideal de propiedades constantes.

2.2. Ecuaciones

A continuación se van a mostrar las ecuaciones que necesitamos integrar para estudiar la evolución de las variables en la cámara de combustión, además de las adimensionalizaciones que son necesarias:


16

2

20 0 0

0

00

2 2 2 22 0

2

ˆˆ ˆˆˆ ˆ8 2

ˆˆ ˆ( )

ˆ 2ˆˆ[2 ( 1) ] 1 1

ˆˆ ˆ ˆ1 2 2

h

p l

dp p dTvM

ds r dsT

dT fT T Q

ds

dTdM M M f M dAM

ds M ds dsA

γλρ

γ γ

= − −

= − +

+ − += + − −

ˆs

sL

=

0

ˆ LL

p a

QQ

C T=

1

ˆ AA

A=

00

0

ˆa

PP

P=

0

00

ˆa

TT

T=

4 h

Lf

r

λ=

1A = Área de la sección a la entrada de la cámara de combustión.

2.3. Cálculo del empuje y del rendimiento

Una vez obtenidas las ecuaciones que definen el flujo vamos a calcular tanto el rendimiento como el empuje. Estos desarrollos ya los hemos estudiado en la asignatura de Propulsión, así que nos limitaremos a colocar su punto de partida y su desarrollo final.

2.3.1. Empuje

Para calcular el empuje debemos tener en cuenta que la tobera está adaptada, por lo que la presión a la salida será la atmosférica, así tenemos:

F = V(W� − W�) FX = YZ�[ = \S �]�[ − \� = \S^K]K[ − \�

2.3.2. Rendimiento

Para calcular el rendimiento tenemos que tener en cuenta que depende directamente del empuje y el resto de términos puede ponerse en función del mach de vuelo y de las constantes del gas:

a

l

Ev

GQη = ;

2

20 0

ˆ ˆ ˆ 1( 1)

ˆ ˆ 1(1 )

2

a aa a

l p a p al la

a TE E Rg EM M

Q c T c TQ Q M

γη γ γ= = = − −+

2.4. Apartados del problema

2.4.1. Apartado 1. Efecto del calor añadido.

Comenzaremos estudiando el efecto del calor añadido a la cámara de combustión, para ello iremos cambiando el valor del ángulo de entrada y del mach de vuelo. Este calor añadido representa el calor recibido por unidad de masa.

El calor variará desde cero hasta *ˆLQ , definido como el calor que hace que el Mach a la

salida de la cámara de combustión sea la unidad, se verá como para este calor se conseguirá el mayor valor del empuje y del rendimiento térmico.


17

A continuación se muestra la evolución del Mach y de la presión de remanso

adimensionalizada a lo largo de la cámara de combustión para *ˆLQ , en el caso que se

está describiendo.

En la gráfica anterior se puede ver como el mach baja, pero este descenso que nos llevaría a pensar en una reducción del empuje no se trata de una reducción de la velocidad sino de un aumento de la temperatura, ya que el fluido aumenta su velocidad. Por otro lado se puede ver como sed sufre una reducción de la presión de remanso, perdida inevitable al introducir calor en al fluido A continuación se muestran tres gráficas en las que se representan el valor del empuje adimensional, el rendimiento térmico y la presión de remanso adimensional en función

del parámetro LQ , para el mismo Mach y theta que antes.

Para llevar a cabo el estudio que ahora se expone se ha tomado una altura de vuelo de 20 Km, que es la altura intermedia de los límites que se nos dan A continuación se muestran tres gráficas en las que se muestra la evolución del rendimiento, del empuje y de la presión a la salida de la cámara en función del calor añadido y del ángulo de entrada. En este caso se trata a un mach de vuelo igual a 4.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Coordenada x

�Po/Poa y M a lo largo de la camara de combusti on, (QL*)

Po/Poa

M


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Se puede ver como el empuje va subiendo de forma casi lineal, y vemos que para bajos

valores de LQ , el empuje se hace incluso negativo, esto se debe a que el aumento de

empuje por el aumento de la temperatura, no ha sido capaz de contrarrestar los efectos negativos de la perdida de presión de remanso, pero vemos que esto solo ocurre para valores muy pequeños. También se puede observar como el máximo empuje se

consigue para el*ˆLQ , se debe a que al añadirle este calor sube mucho la temperatura, lo

que nos produce un aumento grande del empuje. También se observa un comportamiento muy parecido en el rendimiento térmico del

motor, ya que a medida que aumenta el ˆLQ , va aumentando este rendimiento, aunque ya

no lo hace de forma lineal, sino que cada vez la ganancia de rendimiento por el aumento de calor va siendo bastante menor. Y también este rendimiento, tiene valores muy

negativos paraLQ pequeños, esta parte de la gráfica se ha omitido para poder ver los

valores interesantes del rendimiento. En la gráfica de la presión de remanso a la salida de la cámara de combustión, a la que se ha denominado 02P , se ve como baja dicha

presión significativamente a medida que aumentamos el calor, efecto no deseado pero compensado con el aumento de temperatura.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Ql^

Eta

Rendimiento en función de QL

Ma=4 Theta=12

Ma=4 Theta=8

Ma=4 Theta=6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.5

1

1.5

Ql^

E^

Empuje Adimensional en función de QL

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ql^

Po2

^

Po2 en función de QL


19

A continuación se muestran las mismas graficas pero en esta caso para mach de vuelo igual a 5,6 y 7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Ql^

Eta


Ma=5 Theta=12

Ma=5 Theta=8

Ma=5 Theta=6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.5

1

1.5

Ql^

E^


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ql^

Po2

^


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Ql^

Eta


Ma=6 Theta=12

Ma=6 Theta=8Ma=6 Theta=6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.5

1

1.5

Ql^

E^


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ql^

Po2

^



20

En la siguiente gráfica se muestra las diferentes evoluciones en función de las velocidades, con un ángulo de entrada constante.

Si comparamos unas graficas con otras, podemos ver como para un Mach de vuelo mayor, el empuje y el rendimiento térmico es mayor, ya que le podemos añadir más

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Ql^

Eta


Ma=7 Theta=12

Ma=7 Theta=8

Ma=7 Theta=6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.5

1

1.5

Ql^

E^


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ql^

Po2

^


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Ql^

Eta


Ma=4 Theta=8

Ma=6 Theta=8

Ma=7 Theta=8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.5

1

1.5

Ql^

E^


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ql^

Po2

^



21

calor en la cámara de combustión sin que el Mach se vuelva subsónico, por lo que *ˆLQ es

mayor, sin embargo, también tiene una mayor caída de presión de remanso.

2.4.2. Efecto del ángulo de la toma dinámica. A continuación se muestran las diferentes gráficas que indican la evolución del calor añadido, del empuje y del rendimiento en función del ángulo de entrada. Cada gráfica corresponde a un Mach de vuelo, 4, 5,6 y 7 respectivamente.

5 10 15 200.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

QL, E, η en funcion de θ, para M

a=4

QL*

5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

Empuje

5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

η


22

5 10 15 200.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7


a=5

QL*

5 10 15 200.2

0.4

0.6

0.8

1

Empuje

5 10 15 200.35

0.4

0.45

0.5

η

5 10 15 20

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

QL, E, η en funcion de θ, para Ma=6

QL*

5 10 15 200.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Empuje

5 10 15 200.44

0.46

0.48

0.5

0.52

0.54

0.56

η


23

Vemos como tanto el empuje como el *ˆLQ bajan a medida que aumenta el ángulo, esto

se debe a que al aumentar el ángulo tenemos dos efectos que nos disminuyen estas variables, la primera es que el Mach de entrada a la cámara es menor, por lo que también es menor el calor que le podemos aportar, y por otro lado tenemos una caída de presión de remanso mayores en la toma dinámica. En la tabla siguiente se muestran los diferentes valores máximos de cada uno de los parámetros, y el ángulo en los que se dan: Ma _`(ab) cdbT(ab) ec f`dbT _g(ab) gdbT(ab) ec fgdbT

4 6 0.5172 0.561 14 0.4227 0.3100 5 6 0.8493 0.668 14 0.4828 0.4550 6 8 1.1875 0.724 12 0.5243 0.6080 7 8 1.5546 0.770 14 0.567 0.5920

2.4.3. Efecto del parámetro de fricción. Se nos pide que analicemos la influencia del parámetro λ . En el enunciado se pide realizarlo para dos Mach de vuelo, se ha elegido tomar los Mach de vuelo extremos, es decir, 4 y 6. A continuación se muestran las gráficas con las evoluciones a ambas velocidades.

5 10 15 200.2

0.4

0.6

0.8

1


a=7

QL*

5 10 15 20

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Empuje

5 10 15 200.48

0.5

0.52

0.54

0.56

0.58

η


24

En los gráficos se puede observar como tanto el rendimiento como el empuje disminuyen al aumentar λ , ya que existe una pérdida de presión de remanso en la cámara de combustión debido al aumento de la rugosidad, y una pérdida de energía

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4Parámetros en funcion de λ para M=4

QL* θ(η opt)

E θ(η opt)

η θ(η opt)Qp/QL*

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Parámetros en funcion de λ para M=6

QL* θ(η opt)

E θ(η opt)

η θ(η opt)Qp/QL*


25

mayor con las paredes al ser un proceso más difusivo. El calor aumenta ya que tal y como hemos dicho mayor es el calor perdido en las paredes. La conclusión que podemos sacar es que lo que más nos interesaría sería un conducto lo más liso y corta posible

2.4.4. Variación de área de la cámara de combustión.

A diferencia de los apartados anteriores en este caso la cámara de combustión deja de ser un cilindro perfecto, sino que en este caso pasa a tener área variable de la siguiente forma: >(h) = >/ + (>� − >/) Si. A continuación se muestran las gráficas para M=4, y

M=5.

Un aumento del área provoca tal y como hemos visto en teoría un aumento de la velocidad ya que estamos tratando un fluido supersónico, esto nos dará la posibilidad de aumentar el calor que le damos al fluido, con un aumento por lo tanto de la temperatura a la salida, lo que dará un aumento del empuje. Este aumento de velocidad consigue también retrasar el cambio de comportamiento brusco que se da al llegar al calor crítico. Esto es se puede añadir más calor. Con respecto al rendimiento vemos que disminuye aunque es una pendiente pequeña. Este descenso se debe a que en cada momento se necesitamos añadirle más calor que el empuje que ganamos, por lo que estamos gastando mucho combustible.

2.4.5. Efecto del coeficiente de velocidades de la tobera de salida. En este apartado vamos a estudiar la influencia de considerar la tobera de salida no ideal, es decir que existe un aumento de la entropía del fluido. Para ello introduciremos

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

2Influencia del Área para M=4

QL*E

η

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

2Influencia del Área para M=5


26

la fricción y el intercambio de calor con las paredes. Para introducir estos efectos usaremos un coeficiente por el que se multiplica la velocidad de salida. Se puede observar como el empuje disminuye muchísimo al disminuir este coeficiente, llegando a casi reducirse a la mitad el empuje para un coeficiente de 0,95. En el rendimiento se puede decir que se ve también muy influenciado por este coeficiente de velocidades, llegando por ejemplo para un Mach de vuelo 4 a dividirse este entre cuatro para un coeficiente de velocidades de 0,95. El calor añadido no varía al variar Cv, ya que la cámara de combustión, que es la que determina QL, no se entera del coeficiente de velocidades.

2.4.6. Tobera no ideal

2.4.6.1. Cv para λ=cte.

Tras resolver el apartado anterior se observa que el valor del coeficiente de velocidades influye notablemente en la eficiencia del Scramjet. Por ello en este apartado se va a realizar un cálculo aproximado del mismo. Para ello se tratará la tobera de salida como un conducto en el que el aire experimenta fricción y, además, puede intercambiar calor con la pared, que se considera una temperatura uniforme igual a la de la cámara de combustión. El conducto será de sección circular y con una evolución lineal. El caso que se va a estudiar es para un coeficiente de fricción λ constante.

0.95 0.955 0.96 0.965 0.97 0.975 0.98 0.985 0.99 0.995 10

0.2

0.4

0.6

0.8

QL*, E,η, en funcion de Cv, para Ma=4

QL*E

η

0.95 0.955 0.96 0.965 0.97 0.975 0.98 0.985 0.99 0.995 10

0.2

0.4

0.6

0.8

QL*, E,η, en funcion de Cv, para Ma=5

QL*E

η


27

A mayor cociente de presiones, mayor es el número de Mach a lo largo de la tobera. Y en la ecuación diferencial del Mach se ve claramente que un mayor Mach acentúa las pérdidas por fricción. Por tanto los resultados son los esperados.

2.4.6.2. Comportamientos significativos de la tobera.

Vamos a realizar un estudio sobre los estados más importantes en los que se puede encontrar una tobera. Para ello vamos a hacer un estudio de las presiones límites. Así obtenemos la presión de desbloqueo, es a la presión a la que se desbloquea la tobera, es decir, que después de la garganta tenemos una evolución subsónica. La presiónchp , es

aquella que a la salida de la tobera se produce una onda de choque normal. Es la última presión a la que se tiene una onda de choque en la tobera, y por último la presión 2p , es

aquella a la que se descarga una vez que estamos en régimen supersónico. Esta presión nos diferencia dos casos dentro del régimen de funcionamiento fuera de la tobera, ya que la evolución dentro de esta es igual en el rango 3 y 4 descrito anteriormente. En función de estas presiones podemos describir tres estados:

2.4.6.2.1. El caso subsónico, para el cual hemos elegido una presión atmosférica adimensional menor que uno para asegurar ese estado. Como se puede observar en la gráfica la presión a la salida es la presión atmosférica, otro dato a observar es como disminuye el Mach al ser una tobera divergente y vamos ganando presión.

300 320 340 360 380 400 420 440 460 4800.954

0.956

0.958

0.96

0.962

0.964

0.966

0.968

0.97

Cv en funcion de Po/Pa para λ cte

Po/Pa


28

2.4.6.2.2. El segundo caso es cuando tenemos una onda de choque intermedia y la tobera descarga a la presión ambiente. En un principio tenemos una evolución supersónica del fluido, en el cual vamos aumentando la velocidad de este al ser un conducto divergente, justo después de la onda de choque la velocidad baja, ya que tenemos una evolución subsónica.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Evolución en régimen subsónico

Mach

PresiónPresión de Remanso

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6Evolución ante onda de choque

Mach

PresiónPresión de Remanso


29

2.4.6.2.3. Y por último el caso supersónico, el fluido aumenta su velocidad al encontrarse en un conducto divergente, en contra va perdiendo presión.

2.4.7. Comparación del SCRAMJET con el RAMJET

Finalmente se va a realizar esta comparación teniendo en cuenta que nuestro Ramjet tiene las simplicaciones que hemos hecho a lo largo de todo el trabajo tales como que no se ha tenido en cuenta la física de la combustión, ni el límite de temperatura de trabajo de los materiales del conducto. La principal diferencia entre ellos es que en el Scramjet tenemos una combustión supersónica, mientras que en el Ramjet la tenemos subsónica.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6Evolución en régimen supersónico

Mach

Presión

Presión de Remanso


30

El ramjet se modela con un difusor de entrada que produce un Mach a la entrada de la cámara de combustión constante 1 0.175M = , y una pérdida de presión dada por una

gráfica experimental, dependiente del número de Mach. La cámara de combustión se aporta un calor de la misma manera que en el caso del Scramjet con el mismo rango de funcionamiento desde 0 hasta que el Mach a la salida es semejante a 1. Por último una tobera ideal sin pérdida de carga. A continuación se muestran las gráficas donde se representa la evolución del P02, el rendimiento y el empuje del Ramjet en función del QL.


31

Por un lado se puede ver como el comportamiento de las presiones de remanso es similar al del scramjet, al aumentar el calor añadido el empuje disminuye. Por otro lado podemos ver como el empuje aumenta al aumentar QL al igual que en nuestro Scramjet, pero su crecimiento es mucho menos acentuado a medida que aumenta QL. Debido a este menor crecimiento tenemos que el rendimiento se comporta de manera diferente. En este caso el rendimiento máximo no se consigue para el máximo calor aportado, sino que llegado a un máximo el rendimiento decae. Por lo que el

rendimiento óptimo se encuentra para un calor ˆLQ mucho menor que

*ˆLQ .

0.5 1 1.50.42

0.422

0.424

0.426

0.428

0.43

Po2/Poa en funcion del QL, para Ma dado

0.5 1 1.50.5

1

1.5

2

2.5

E en funcion del QL, para M

a dado

0.5 1 1.50.515

0.52

0.525

0.53

0.535

0.54

0.545

η en funcion del QL, para Ma dado


32

3. Ondas en Gases: Ondas Lineales y no Lineales


33

1.1. Introducción En este tercer y último trabajo vamos a realizar un estudio de ondas que se propagan en un medio gaseoso. El estudio de estas ondas se puede dividir en dos partes. Por un lado están las ondas lineales, en las cuales las variaciones de las magnitudes fluidas al paso de la onda varían muy poco respecto al valor. En este problema al ser lineal se cumple el principio de superposición. Y por otro lado las ondas no lineales, las cuales para calcular su solución usaremos dos métodos, por un lado el método de las características de Riemann y el método de Roe.

1.2. Ondas Lineales 1.2.1. Introducción Comenzaremos nuestro problema con una descripción del mismo. Tal y como se puede ver en la imagen que adjuntaba el enunciado tenemos un tubo aislado térmicamente, el cual en el instante inicial contiene aire a presión o aP P> y temperatura ambiente. En

cierto instante se rompe instantáneamente una membrana tapa al tubo. En ese instante se produce la onda que debemos estudiar en este problema.

Nuestra tarea es resolver la evolución temporal de la presión y velocidad en el tubo en el supuesto de que ( ) / 1o a aP P P− << , es decir, que las perturbaciones son pequeñas y se

puede considerar una onda lineal.

1.2.2. Ecuaciones del problema y simplificaciones. Comenzaremos nuestro problema desde las ecuaciones de Navier Stokes, y a partir de ellas haremos diferentes hipótesis, por un lado supondremos que se trata de un proceso isentrópico, ya que el tubo está aislado térmicamente y por otro lado que no existe reacción, ni adición de calor por radiación. Tras haber hecho estas simplificaciones el siguiente paso es la simplificación de las fuerzas másicas y viscosas frente a los efectos convectivos. Estas ecuaciones se pueden desarrollar en serie, tomando los valores totales como suma de unos valores estáticos y unas perturbaciones, que serán de mucho menor orden que los primeros. La velocidad del fluido en reposo la consideraremos


34

nula, por lo que la velocidad del fluido es la velocidad de perturbación, haciendo estas consideraciones, las ecuaciones nos quedan:

( ) 0

0

m

vt

vv v p f

t

DS

Dt

ρ ρ

ρ ρ τ ρ

∂ + ∇ ⋅ =∂

∂ ′+ ⋅∇ = −∇ + ∇ ⋅ + ⋅∂

=

r

rr r r

'

'a

a

p p p

ρ ρ ρ= += +

2

'0

'

' '

a

a

a

vt

vp

t

p a

ρ ρ

ρ

ρ

∂ + ∇ ⋅ =∂

∂ = −∇∂=

r

r

El siguiente paso es aplicar rotacional a la segunda ecuación de la derecha llegando a la conclusión de que la velocidad proviene de un potencial. Así por fin llegamos a la ecuación de ondas para el potencial aplicando lo anterior al resto de ecuaciones. Una vez obtenida la ecuación de ondas se solucionara esta con sus correspondientes condiciones de contorno y se calculara todo el campo de presiones, densidades y velocidades del problema.

22 2

2 aat

φ φ∂ = ⋅ ∇∂

Nuestras condiciones de contorno del problema son las siguientes:

( ) 0;

'( 0) 0;

v x L

p x

= − == =

Para terminar con este apartado comentar que para poder modelar la rotura de la membrana, en lugar de utilizar una función escalón se ha empleado una función de la tangente hiperbólica, que simula la rotura de forma rápida, pero un poco más suave que la función escalón.

1( ) 1 tanh tanh

2 1000s

t tp t

b

= − +

1.2.3. Análisis de la solución en cada intervalo de tiempo En el enunciado se nos pide dibujar la evolución temporal en el intervalo de tiempo 0 < � < 5l ��⁄ , por lo que el problema contendrá cinco rebotes de la onda, ya que la onda se propaga a la velocidad del sonido y tardará el límite superior del tiempo en recorrer 5 veces el tubo.


35

El recorrido de la onda comenzara de izquierda a derecha, para a continuación chocar cumpliendo la condición de contorno en velocidades, rebotar y al llegar a la boca del tubo cumplir la condición de contorno en presiones y así sucesivamente. Para la resolución del problema se ha utilizado el método de las características estudiado en clase. Antes de analizar cada intervalo por separado vamos a ver la secuencia del movimiento de la onda:

A continuación se analizan cada uno de estos intervalos por separados. 1.2.3.1. Intervalo n < � < o pp⁄ En este intervalo se incluye el recorrido de la onda desde su formación al romperse la membrana que tapaba el tubo hasta que se produce el primer rebote de la onda contra la pared del tubo en t = L at⁄ . Así, teniendo en cuenta que sp es nuestra perturbación,

nuestras dos magnitudes a estudiar tendrán la siguiente forma:

' '1

0

' '1

0 0 0

( , ) ( )

1( , ) ( )

s

s

xp x t p t

a

xu x t p t

a aρ

= +

= − +

A continuación se muestra una gráfica con la evolución de la presión y de la velocidad dentro del tubo. La evolución de la perturbación es de izquierda a derecha.

-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0-3

-2

-1

0

1

2

3

x/L

Ondas lineales

VelocidadPresión

-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0-3

-2

-1

0

1

2

3

x/L

Ondas lineales

Velocidad

Presión

-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0-3

-2

-1

0

1

2

3

x/L

Ondas lineales

Velocidad

Presión

-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0-3

-2

-1

0

1

2

3

x/L

Ondas lineales

Velocidad

Presión


36

Se puede ver como la presión va aumentando hacia la izquierda creando un gradiente de presiones. Como se puede ver este gradiente provoca que las partículas de dentro del tubo tiendan a salir d él, este movimiento se representa en la gráfica por el crecimiento de una velocidad positiva. La zona de la izquierda donde las magnitudes son nulas, se debe a que la onda todavía no ha llegado, por lo que no se han enterado de la perturbación y por lo tanto están en reposo. 1.2.3.2. Intervalo o pp⁄ < � < uo pp⁄ Una vez que se ha producido el choque se propagan dos ondas, la primera hacia la izquierda igual que es la anterior y otra para la derecha, por lo que la solución de este intervalo será la suma de ambas. Al igual que en el primer intervalo para calcular la onda que se desplaza hacia la derecha debemos hacer que se cumpla la condición de contorno en la pared, es decir, velocidad nula. Así tenemos:

' ' '2 1

0 0

' ' '2 1

0 0 0 0

( , ) ( , ) ( 2 )

1( , ) ( , ) ( 2 )

s

s

x Lp x t p x t p t

a a

x Lu x t u x t p t

a a aρ

= + − −

= + − −

-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0-3

-2

-1

0

1

2

3

x/L

Ondas lineales

Velocidad

Presión


37

A continuación se muestra la gráfica con la evolución en este intervalo de la onda. En este caso la onda se desplaza de izquierda a derecha:

Al rebotar la onda la presión baja en el fondo del tubo para frenar el fluido, es decir, ahora la velocidad de las partículas al fondo del tubo se hace nula, tal y como vemos en el gráfico. La parte de la derecha del gráfico es donde todavía la onda que se propaga a la derecha no ha llegado, por lo que se comporta como en el intervalo anterior. 1.2.3.3. Intervalo uo pp⁄ < v < wo pp⁄ Al producirse un nuevo choque y tener que cumplir la condición de contorno de presión se tienen tres ondas, dos propagándose hacia la izquierda y una hacia la derecha. Ahora las magnitudes quedan:

' ' '3 2

0 0

' ' '3 2

0 0 0 0

( , ) ( , ) ( 2 )

1( , ) ( , ) ( 2 )

s

s

x Lp x t p x t p t

a a

x Lu x t u x t p t

a a aρ

= − + −

= + + −

-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0-3

-2

-1

0

1

2

3

x/L

Ondas lineales

Velocidad

Presión


38

En este caso para cumplir la condición de contorno de presión las partículas se ven empujadas hacia el interior del tubo, lo que se refleja con la velocidad negativa que van tomando. La parte izquierda del gráfico todavía no ha recibido esta nueva perturbación hacia la izquierda. 1.2.3.4. Intervalo wo pp⁄ < v < xo pp⁄ Una vez producido un nuevo rebote en la pared del tubo se forma una nueva onda, por lo que en este intervalo se propagan cuatro ondas, dos en cada dirección. Así al igual que hemos hecho anteriormente tenemos:

' ' '4 3

0 0

' ' '4 3

0 0 0 0

( , ) ( , ) ( 4 )

1( , ) ( , ) ( 4 )

s

s

x Lp x t p x t p t

a a

x Lu x t u x t p t

a a aρ

= − − −

= − − −

-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0-3

-2

-1

0

1

2

3

x/L

Ondas lineales

Velocidad

Presión


39

Ahora la velocidad del fluido es negativa, es decir, se mueve hacia adentro del tubo, para que la velocidad en la pared del tubo sea nula, la presión sube haciendo que la velocidad se frene y sea nula. Así conseguimos cumplir la condición de contorno, en la parte de la derecha el fluido no ha notado el reflejo de la onda por lo que sigue igual que en el intervalo anterior. 1.2.3.5. Intervalo wo pp⁄ < v < xo pp⁄ Este último apartado no tiene interés estudiarlo porque es igual que el primero, es decir en este problema tenemos un problema cíclico de cuatro fases. Pero este suceso es solo teórico ya que debido a los efectos de disipación de energía no se da.

-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0-3

-2

-1

0

1

2

3

x/L

Ondas lineales

Velocidad

Presión


40

En este intervalo no tenemos la ruptura de la membrana pero teníamos de todas formas una presión que es mayor que en el exterior, así que para cumplir la condición de contorno en presión, esta baja, haciendo que exista un gradiente de presiones que provoca unas velocidades positivas de las partículas.

1.2.4. Análisis de la solución en cada sección Para acabar con las ondas lineales vamos a mostrar la evolución de las magnitudes fluidas en los cincos intervalos, viendo como las magnitudes el valor con los que empiezan y acaban las gráficas son las mismos, excepto en el transitorio inicial debido a la tangente hiperbólica de la perturbación. Se mostrarán tres secciones, x=0, que corresponde a la posición donde se encontraba la membrana, x=-L/2, posición media del tubo, y x=-L donde se encuentra la pared del tubo.

-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0-3

-2

-1

0

1

2

3

x/L

Ondas lineales

Velocidad

Presión


41

Esta gráfica representa la sección x=0. Se trata de la posición donde se encontraba la membrana en el instante inicial. Por un lado para presión se ve como al principio parece que no cumple la condición de contorno, esto se debe a que la perturbación no se toma como un escalón, sino como una tangente hiperbólica, que es la forma que toma la presión. En el resto del tiempo la presión cumple la condición de contorno. Por otro lado vemos como la velocidad al principio es positiva y luego negativas, tal y como se había comentado en el apartado anterior. Es importante notar que en este caso la velocidad no se hace nula al tratarse de un extremo del tubo donde se deben cumplir las condiciones de contorno.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-3

-2

-1

0

1

2

3

t*L/a0

Presión y Velocidad Adimensional en x/L=0

Presiones

Velocidades


42

Ahora vamos estudiar lo que pasa en la sección media del tubo. En esta sección a diferencia de lo que pasa en las otras dos no se debe cumplir ninguna condición de contorno de velocidad ni presión. La ventaja de estudiar esta sección es que reflejará los cambios de las magnitudes fluidas para todas las secciones, aunque cada una de estas sufrirá la perturbación en distintos instantes. Tal y como se puede ver en a gráfica las presiones varían en un rango de 0 a -2. Cada cambio, ya estudiado anteriormente, se debe a cada onda reflejada.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-3

-2

-1

0

1

2

3

t*L/a0

Presión y Velocidad Adimensional en x/L=-0.5

Presiones

Velocidades


43

En la pared del tubo tal y como hemos comentado anteriormente se debe dar la condición de contorno de velocidad nula. Por lo que en todo momento la velocidad no variará de cero. La presión variarán de la siguiente manera, cuando las velocidades van hacia la derecha, la presión baja para poderlas frenar y cumplir la condición de contorno y cuando va hacia la izquierda la presión sube con el mismo resultado, así se cumplen la condición de contorno.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-3

-2

-1

0

1

2

3

t*L/a0

Presión y Velocidad Adimensional en x/L=-1

Presiones

Velocidades


44

1.3. Ondas No Lineales

1.3.1. Descripción del problema En esta segunda parte del problema tenemos que resolver el problema de ondas no lineales. Ahora a diferencia de antes no podemos linealizar las ecuaciones porque las perturbaciones ya no son pequeñas. El objetivo de este problema es comparar la solución exacta del problema de Riemann con la solución numérica del mismo calculada mediante el método de Roe, cuya formulación se incluye en el enunciado. Debemos comparar las soluciones en diferentes instantes de tiempo, viendo si son semejantes o no, para un problema unidimensional. 1.3.2. Ecuaciones del problema Comenzaremos por obtener las ecuaciones que definirán el problema. Para ello partiremos de las ecuaciones de Navier-Stokes realizando una serie de simplificaciones, realizadas también en las ondas lineales, despreciaremos las fuerzas másicas, los efectos de fricción y consideraremos que en el problema no existe flujo de calor externo, por lo que las ecuaciones nos quedan de la siguiente manera:

( )0

0

v

t x

v v pv

t x x

DS

Dt

ρ ρ

ρ ρ

∂ ∂+ =∂ ∂

∂ ∂ ∂+ = −∂ ∂ ∂

=

1de TdS pd

ρ = −

Nuestro siguiente paso será convertir las en dos ecuaciones con dos incógnitas, para ello utilizaremos la tercera ecuación, que la entropía es constante y la ecuación de la termodinámica. Si además aplicamos que la entropía es constante y tomamos derivadas respecto a x, obtenemos la siguiente expresión:

1 2

1

p a a

x xρ γ∂ ∂=∂ − ∂

Si esta ecuación la introducimos en las dos primeras y desarrollamos un poco llegamos a dos ecuaciones con dos incógnitas.


45

0

20

1

20

1

( , )

D va a

Dt x

Dva a

Dt x

S x t S

γ

γ

∂+ = − ∂

∂+ = ∂ −

=

1.3.3. El método de las características de Riemann Para poder resolver el problema con él tenemos que introducir los invariantes de Riemann. Para ello tenemos que sumar y restar las primeras dos ecuaciones. Del resultado podemos obtener los dos invariantes de Riemann, que son constante sobre las curvas C, estas curvas se definen a continuación junto con los invariantes:

( )

( )

2 20

1 1

2 20

1 1

a av v a v

t x

a av v a v

t x

γ γ

γ γ

∂ ∂+ + + + = ∂ − ∂ −

∂ ∂− + − − = ∂ − ∂ −

A partir de estas ecuaciones

2

1

aJ v

γ+ = +

−;

2

1

aJ v

γ− = −

−

( , ) ( , )dx

C v x t a x tdt

+ → = + ; ( , ) ( , )dx

C v x t a x tdt

− → = −

Los invariantes de Riemann pueden ser visualizados como ondas viajeras que propagan la información. En cada instante de tiempo y por cada punto del dominio fluido pasan una curva C+ y C- y, por tanto, los invariantes suministran dos ecuaciones algebraicas que permiten determinar v y a (y, a partir de ellas, el resto de las magnitudes fluidas). La resolución del problema por el método de las características es el siguiente. Tomamos un punto donde se corten dos características y estas nos definen dos ecuaciones algebraicas con dos incógnitas, por lo que podemos resolver el problema. Pero al realizar estas operaciones nos encontramos con varios problemas, uno de ellos es que para conocer el valor de a y v, necesitamos conocer las características, mientras que para conocer el mapa de características necesitamos conocer el valor de a y v.


46

Los invariantes de Riemann pueden ser visualizados como ondas viajeras que propagan la información. En cada instante de tiempo y por cada punto del dominio fluido pasan una curva C+ y C- y, por tanto, los invariantes suministran dos ecuaciones algebraicas que permiten determinar v y a (y, a partir de ellas, el resto de las magnitudes fluidas). A continuación se van a mencionar diferentes fenómenos que son de importancia: 1.3.4. Fenómenos 1.3.4.1. Onda de expansión o de Prandtl-Meyer El efecto de cada onda repercute sobre las siguientes y, en general, crea una depresión de presión y cada onda viaja a una velocidad menor a la que lo hacía la anterior. Ésta es la causa de que cada vez vayan más separadas, dando lugar a una característica divergente. La evolución del fluido a través de esta onda es isentrópica, luego se pueden obtener ciertas relaciones entre la presión, densidad y velocidad del sonido:

1

20

0 0 0

( , ) ( , )

( , ) ( , )

pp x t a x t p

x t a x t p

γγ

γ γρ ρ

−

= =

1.3.4.2. Onda de choque Al contrario del caso anterior, éste es un tren de ondas de compresión, que da lugar a la intersección de varias características en un mismo punto. La causa de dicho fenómeno es que el punto de detrás avanza más rápido que el de delante (al revés de lo que ocurría antes). En este caso, todas las magnitudes fluidas sufren variación a través de esta onda de choque. Evaluándolas en un volumen de control correcto, se llega a las relaciones de Rankine-Hugoniot, que serán las que empleemos a la hora de trabajar con este tipo de discontinuidades (M es el mach de la corriente incidente y las presiones y densidades vienen determinadas por los subíndices: el uno representa la propiedades del medio anteriores a la llegada de la onda y el dos las posteriores):

2

1

( 1) 1

2

p

pM

γ γ

γ

+ + −

=

2

12

2

2 ( 1)

( 1)

M

M

ρ γρ γ

+ −=+

Dependiendo de las condiciones iniciales que tengamos podemos tener diferentes comportamientos de las ondas. A continuación se van definir todos, pero solo se analizará el nos plantea el problema:


47

• Podemos tener una evolución de una onda de choque hacia la izquierda y una onda de expansión hacia la derecha que es nuestro caso a analizar. • Otro caso sería la inversa, una onda de choque propagándose hacia la derecha y una de expansión hacia la izquierda. • El tercer caso es dos ondas de choque propagándose cada una en una dirección. • El cuarto caso es semejante al anterior, solo que propagándose ondas de expansión en vez de ondas de choque. A continuación se expone una grafica con las características de nuestro problema a tratar, vamos a definir cada zona de nuestra gráfica.

1ª Zona: En esta zona la perturbación aún no ha alcanzado al fluido.

2ª Zona: El fluido es perturbado por la onda de expansión. 3ª Zona: Aquí el fluido ha sufrido ya la onda de expansión, cuya evolución ha sido isentrópica. 4ª Zona: Aquí el fluido ha sido afectado por la onda de choque, cuya evolución no ha sido isentrópica. 5ª Zona: En esta zona la perturbación aún no ha alcanzado al fluido, por lo que la onda de choque no ha afectado al fluido La discontinuidad que se aprecia separa la parte del fluido que ha pasado por la onda de choque de la que ha pasado por la onda de expansión.

Las dos velocidades del sonido y del fluido en la zona 3 y 4 son incógnitas. En clase se resolvió este problema utilizando los invariantes de Riemann, las ecuaciones de Rankine-Hugoniot para la onda de choque, la evolución isentrópica a través de la onda de expansión, quedando una ecuación en función de la presión en la zona 2 y 3, a partir de esta calcularemos la velocidad en esta zona. La ecuación que define nuestro problema y su solución son las siguientes:

1

212 1

2 12

1

*1

2 2*1 0

1 *( 1) 1

p

pa apv v

p p

p

γγ

γ γ γ γ

−

− − + + − = − + + −


48

1

22

22

2 ** 1

1

a pv v

p

γγ

γ

− = + − −

1 1( ) *( * )ch chv v v vρ ρ− = −

Ya solo nos falta conocer el valor de las magnitudes en el abanico de expansión, que lo realizamos teniendo en cuenta que se conserva el invariante de Riemann en todo el abanico de expansión, así que después de realizar unos cálculos, llegamos a las siguientes expresiones:

( )2 2

1( , ) ( , )

2a x t v x t v a

γ −= − +

2 2

2 1( , )

1 2

xv x t v a

t

γγ

− = + − +

1.3.5. El método de Roe El otro método por el que vamos a resolver el problema es el método de Roe, el cual ya se explica en el enunciado. Este método numérico consiste en discretizar el espacio y obtener las magnitudes en estos puntos del espacio, y mediante estos obtener los flujos en cada elemento. En este método se relaciona la variación de los flujos con la variación del vector de estado mediante una matriz que viene dada en el enunciado. Para la resolución mediante este método, nos conviene expresar las ecuaciones en la forma de la ecuación conservativa: 8y8� + 8z8� = 0

Siendo w= [ρ, ρu, ρ (e+u2/2)] y F= [ρu, ρ u2 +p, ρu H] Ahora introducimos la matriz A tal que F A w∆ = ∆ quedando nuestras ecuaciones:

0w w

At x

∂ ∂+ =∂ ∂

El siguiente paso es establecer la ley para evaluar el flujo en función de los datos actuales:

( )( ) ( )i i i i

tw t t w t F F

x+ −∆+ ∆ = − −

∆r rr r

Donde las F representan los flujos a cada lado del elemento. El valor de éstos se evalúa mediante la matriz A (siendo λk los autovalores y Vk los autovectores de A):


49

1

i i j j jj

i i j j jj

F F V

F F V

λ α

λ α

+ −

+ ++

= +

= −

∑

∑

r r r

r r r

1

1 1( )

2 2i i i k k kk

F F F Vλ α++= + − ∑

r r r r

1.3.6. Comparación de los dos métodos. En este apartado vamos a hacer una comparación de los métodos expuestos anteriormente. Para una mejor comprensión de la comparación de ambos métodos a continuación se muestran gráficas a diferentes tiempos, en las que se superponen ambas soluciones. Las condiciones de contorno aplicadas son las que se vieron en clase, es decir: Región 1 Valores 1 Región 2 Valores 2

1p 0.3 2p 0.7

1ρ 0.2 2ρ 0.4

1v 0 2v 0

Los tiempos seleccionados para su representación han sido pasado 1, 3 y 5 segundos respectivamente. La solución representada en asteriscos representa la solución de Roe, mientras que la línea continua representa la de Riemann:

-15 -10 -5 0 5 10 15-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Riemann vs Roe, t=1s

Presión

DensidadVelocidad


50

La conclusión que podemos sacar al ver estas gráficas es ambas soluciones tanto la de Roe como la analítica se parecen bastante, tanto en la onda de choque (desplazamiento hacia la izquierda) como en la zona del abanico de expansión (desplazamiento hacia la derecha). La diferencia que se aprecia en las discontinuidades se debe a que para calcular el método de Roe se ha discretizado el espacio. Por lo que cuanto más discreticemos el espacio mayor será la precisión del método.

-15 -10 -5 0 5 10 15-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1


Presión

DensidadVelocidad

-15 -10 -5 0 5 10 15-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1


Presión

DensidadVelocidad


51

4. Códigos de Matlab


52

4.1. Capa límite

4.1.1. Completo.m

%clear all xf=1.9738; Pr=0.72; Re=5000; Ec=0; t=0.1; N=30; ymax=7; h=ymax/N; x0=0.01*t; beta=(t^2/(1-t^2)^1.5)*(atanh((1-t^2)^0.5)-(1-t^2)^ 0.5); X0=-1+(x0/t)^2/2; R0=t*(1-X0^2)^0.5; ue0=1/(1-beta)*R0/(R0^2+t^4*X0^2)^0.5; t0=1+Ec*(1-ue0^2)/2; % Asignamos la componente N a Xo u0(N)=X0; %Vector de temperaturas iniciales u0(N+1:2*N-1)=t0; %Asigamos la componente 2*N+1 a cte resistencia de forma u0(2*N+1)=0; %Asigamos la componente 2*N+2 a cte resistencia de friccion u0(2*N+2)=0; %necesito un vector de velocidades iniciales para c ada linea for j=1:N-1 ylin(j,1)=j*h; u0(j)=ue0; end Nx=100; for i=1:Nx, tspan(1,i)=x0+(xf-x0)*(i-1)/(Nx-1); end [x,u]=ode45(@blasiuscompleto,tspan,u0,[],h,N,t,beta ,Re,Ec,Pr); u(100,1); %Coeficientes de resistencia Cdp=u(100,2*N+1)-(u(100,N-1)^2-1)*(1-xf^2) Cdf=u(100,2*N+2) figure plot(x(:,1),u(:,1)) xlabel('x adimensional'); ylabel('velocidad adimensional '); %-----------------Perfil de velocidades------------ ------- [m,n]=size(u); ceros=zeros(m,1); vel0=[ceros,u]; ylin0=[0;ylin]; figure hold on; plot(vel0(1,1:30),ylin0(:,1)),'y'; plot(vel0(26,1:30),ylin0(:,1),'r'); plot(vel0(51,1:30),ylin0(:,1),'c'); plot(vel0(76,1:30),ylin0(:,1),'m');


53

plot(vel0(100,1:30),ylin0(:,1),'k'); %Title('Perfil de velocidades para t=0.3') xlabel('Velocidad adimensional'); ylabel('y adimensional'); legend('estacion 1','estacion 25','estacion 50 ','e stacion 75','estacion 100'); %-----------------------Perfiles de temperaturas--- --------------- T=[ceros,u(:,(N+1):(2*N-1))]; figure subplot (2,2,1) hold on; plot(T(5,:),ylin0(:,1),'y') plot(T(26,:),ylin0(:,1),'r') plot(T(51,:),ylin0(:,1),'c') plot(T(76,:),ylin0(:,1),'b') plot(T(95,:),ylin0(:,1),'k'); xlabel('Temperatura adimensional'); ylabel('y adimensional '); legend('estacion 5','estacion 25','estacion 50 ','e stacion 75','estacion 95'); for i=1:100 Nux(i)=(u(i,N)+1)*sqrt(Re)*u(i,N+1)/h; end figure subplot(2,2,1) hold on plot(x,Nux); xlabel('X'),ylabel('Nusselt') title('Nusselt para t=0.1') % Nusselt tablas for i=1:100 Rex(i)=Re*(1+u(i,N)); end Nutab=0.332*Rex.^(1/2)*Pr^(1/3); plot(x,Nutab,'r'),xlabel('X'),ylabel('Nusselt'),leg end('Nusselt Númerico','Nusselt Tablas')

4.1.2. Blasiuscompleto.m function du=blasiuscompleto(x,u,h,N,t,beta,Re,Ec,Pr ) X=u(N); du=zeros(N,1); dX= ((1-X^2)/(1-(1-t^2)*X^2))^0.5; du(N)=dX; R=t*(1-X^2)^0.5; dR= -t*X/((1-X^2)^0.5)*dX; ue=(1/(1-beta))*R/sqrt(R^2+(t^4)*(X^2)); due=(1/(1-beta))*t^4*(dR*X^2-X*R*dX)/(R^2+(t^4)*(X^ 2))^1.5; %Integración primera fila du(1)=(1/(u(1)-0.25*u(2)))*(ue*due+((u(2)-2*u(1))/h^2)+0.25*u(2)*u(1)/R*dR);


54

%integración siguientes filas sumatorio=u(1)/R*dR+du(1); for k=2:N-2 du(k)=(1/(u(k)-0.25*(u(k+1)-u(k-1))))*(ue*due+((u(k +1)-2*u(k)+u(k-1))/h^2))+... (u(k+1)-u(k-1))/(u(k)-0.25*(u(k+1)-u(k-1))*(0.25*u(k)/R*dR+0.5*sumatorio)); sumatorio=sumatorio+u(k)*dR/R+du(k); end %Fila final du(N-1)=1/(u(N-1)-0.25*(ue-u(N-2)))*(ue*due+(ue-2*u (N-1)+u(N-2))/h^2)+... (ue-u(N-2))/(u(N-1)-0.25*(ue-u(N-2)))*(0.25*u(N -1)/R*dR+0.5*sumatorio); %-------------------Problema termico--------------- --- du(N+1)=(0.25*u(N+2)/u(1))*(u(1)/R*dR+du(1))+... (Ec/u(1))*(-ue*u(1)*due+(u(1)/(2*h))^2)+... (1/Pr)*((u(N+2)-2*u(N+1))/(u(1)*h^2)); sumatorio=(u(1)/R*dR+du(1)); %Filas intermedias (termicas) for j=(N+2):(2*N-2) du(j)=((u(j+1)-u(j-1))/u(j-N))*(0.25*u(j-N)/R*dR+0. 5*sumatorio)+... (Ec/u(j-N))*(-due*ue*u(j)+((u(j-(N-1))-u(j-(N+1)))/ 2*h)^2)+... (1/Pr)*((u(j+1)-2*u(j)+u(j-1))/(u(j-N)*h^2)); sumatorio=sumatorio+((u(j-N))/R*dR+du(j-N)); end %ultima fila du(2*N-1)=Ec*ue*due; % -----------------Coeficientes de resistencia----- -------------------

nx=2*X/sqrt((2*X^2)+(2*R/(t^2))^2); tx=2*R/((t^2)*(sqrt((2*X^2)+(2*R/(t^2))^2))); %cfte resist. de forma, du(2*N+1)=(2/(t^2))*nx*(ue^2-1)*R; %cfte friccion du(2*N+2)=4*u(1)*tx*R/(h*Re);


55

4.2. Scramjet

4.2.1. Apartado 1 clc clear all rp0=0.9;%theta=6 Ma=6;M1=4.5; Ta=216.5; Cv=1; gamma=1.4; f1=0.05; Tint=700; rA=1; y0=[1,M1^2,rp0,1]'; %[T M P A] Tp=Tint/(Ta*(1+(gamma-1)/2*Ma^2)); M2=2; n=0; QL=0.2; while M2>1.05 %solo valores de QL menores o iguales para condiciones sonica QL=QL+0.001; [x,y]=ode45(@scram,[0 1],y0,[],QL,f1,Tp,gamma,r A); M2=sqrt(y(length(x),2)); n=n+1; Q(n)=QL; Ms=sqrt((2/(gamma-1))*(-1+(1+(gamma-1)/2*Ma^2)*(y(length(x),3))^((gamma-1)/gamma))); Emp(n)=Cv*Ms*sqrt(y(length(x),1)*(1+(gamma-1)/2 *Ma^2)/(1+(gamma-1)/2*Ms^2))-Ma; Rend(n)=Emp(n)*Ma*(gamma-1)/(Q(n)*(1+(gamma-1)/ 2*Ma^2)); Po2(n)=y(length(x),3); end QLcritico=QL close all figure;hold on; plot(x,y(:,3));xlabel('Coordenada x'); title('Po/Poa y M a lo largo de la camara de combus ti_on, (QL*)'); plot(x,sqrt(y(:,2)),'r');legend('Po/Poa','M'); figure;hold on; subplot(2,2,1) plot(Q,Emp);legend('E') subplot(2,2,2) plot(Q,Rend,'r');xlabel('QL');legend('Rendimiento') title('Variacion del Empuje, del rendimiento y de P o2/Poa con QL'); subplot(2,2,3) plot(Q,Po2,'k');legend('Po2/Poa') %------Hasta aqu__ la c_amara de combusti_on %Empuje M2=sqrt((2/(gamma-1))*(-1+(1+(gamma-1)/2*Ma^2)*(y(length(x),3))^((gamma-1)/gamma))); Empuje=Cv*Ms*sqrt(y(length(x),1)*(1+(gamma-1)/2*Ma^ 2)/(1+(gamma-1)/2*Ms^2))-Ma Rendimiento=Empuje*Ma*(gamma-1)/(QL*(1+.5*(gamma-1) *Ma^2))

4.2.2. Apartado 2


56

clc clear all Ma=4; Ma=5; Ma=6; Ma=7; Ta=216.5; theta=[6 ,8 ,10 ,12 ,14 ,16 ,18 ,2 0]; Mach1=[3.2 ,3 ,2.8 ,2.5 ,2.2 ,1.9 ,1.8 ,1 .7]; Mach1=[3.8,3.6,3.3,3,2.7,2.5,2.3,2]; Mach1=[4.6,4.2,3.8,3.4,3.1,2.8,2.5,2.2]; Mach1=[5.1,4.6,4.2,3.7,3.3,3,2.7,2.4]; po1= [0.96 ,0.93 ,0.87 ,0.82 ,0.75 ,0.68 ,0.62 ,0 .55]; po1=[.93,.87,.8,.73,.63,.55,.47,.4]; po1=[.89,.82,.73,.63,.52,.42,.35,.28]; po1=[.85,.75,.65,.53,.43,.33,.25,.2]; rA=1; Cv=1; gamma=1.4; f1=0.05; Tint=700; for i=1:length(theta) M1=Mach1(i); rp0=po1(i); y0=[1,M1^2,rp0,1]'; Tp=Tint/(Ta*(1+(gamma-1)/2*Ma^2));%Tp es la adi mensionalizada M2=2; n=0; QL=0.2; while M2>1.05 QL=QL+0.001; [x,y]=ode45(@scram,[0 1],y0,[],QL,f1,Tp,gam ma,rA); n=n+1; M2=sqrt(y(length(x),2)); end iter(i)=n; QLcritico(i)=QL; close all Ms(i)=sqrt((2/(gamma-1))*(-1+(1+(gamma-1)/2*Ma^2)*(y(length(x),3))^((gamma-1)/gamma))); Emp(i)=Cv*Ms(i)*sqrt(y(length(x),1)*(1+(gamma-1)/2*Ma^2)/(1+(gamma-1)/2*Ms(i)^2))-Ma; Rend(i)=Emp(i)*Ma*(gamma-1)/(QLcritico(i)*(1+(g amma-1)/2*Ma^2)); if iter(i)<5 Emp(i)=0; Rend(i)=0; end end figure; subplot(2,2,1) plot(theta,QLcritico);legend('QL*'); title('Q_L, E, \eta en funcion de \theta, para M_a= 7') subplot(2,2,2); plot(theta,Emp,'r');legend('Empuje'); subplot(2,2,3) plot(theta,Rend,'y');legend('\eta'); %Maximos y angulos theta en los que se dan


57

[a,b]=max(QLcritico); [c,d]=max(Emp); [e,f]=max(Rend); QL.valormaximo=a; QL.theta=theta(b); empuje.valormaximo=c; empuje.theta=theta(d); empuje.QL=QLcritico(d); rendimiento.valormaximo=e; rendimiento.theta=theta(f); rendimiento.QL=QLcritico(f);

4.2.3. Apartado 3 Ma=4; % Ma=5; % Ma=6; % Ma=7; Ta=216.5; theta=[6 ,8 ,10 ,12 ,14 ,16 ,18 ,2 0]; Mach1=[3.2 ,3 ,2.8 ,2.5 ,2.2 ,1.9 ,1.8 ,1 .7]; % Mach1=[3.8,3.6,3.3,3,2.7,2.5,2.3,2]; % Mach1=[4.6,4.2,3.8,3.4,3.1,2.8,2.5,2.2]; % Mach1=[5.1,4.6,4.2,3.7,3.3,3,2.7,2.4]; po1= [0.96 ,0.93 ,0.87 ,0.82 ,0.75 ,0.68 ,0.62 ,0 .55]; % po1=[.93,.87,.8,.73,.63,.55,.47,.4]; % po1=[.89,.82,.73,.63,.52,.42,.35,.28]; % po1=[.85,.75,.65,.53,.43,.33,.25,.2]; rA=1; Cv=1; gamma=1.4; Temp=700; k=0; for f1=0.1:0.02:0.41 for i=1:length(theta) M1=Mach1(i); rp0=po1(i); y0=[1,M1^2,rp0,1]'; Tp=Temp/(Ta*(1+.5*(gamma-1)*Ma^2)); M2=2; n=0; QL=0.2; while M2>1.05 QL=QL+0.001; [x,y]=ode45(@scram,[0 1],y0,[],QL,f1,Tp ,gamma,rA); n=n+1; M2=sqrt(y(length(x),2)); end iter(i)=n; QLcritico(i)=QL; close all Qpared=0; for j=1:length(x) Qpared=Qpared+abs(0.5*f1*(Tp-y(j,1)));


58

end Qpmed(i)=Qpared/length(x); rel(i)=Qpmed(i)/QLcritico(i);

%Empuje y rendimiento Ms(i)=sqrt((2/(gamma-1))*(-1+(1+(gamma-1)/2*Ma^2)*(y(length(x),3))^((gamma-1)/gamma))); Emp(i)=Cv*Ms(i)*sqrt(y(length(x),1)*(1+(gam ma-1)/2*Ma^2)/(1+(gamma-1)/2*Ms(i)^2))-Ma; eta(i)=Emp(i)*Ma*(gamma-1)/(QLcritico(i)*(1 +(gamma-1)/2*Ma^2)); if iter(i)<5 Emp(i)=0; eta(i)=0; rel(i)=0; end end end subplot(2,2,1) hold on plot(fric,QLetaop); plot(fric,Ethetaetaop,'r'); plot(fric,etathetaetaop,'y'); plot(fric,relb,'g'); legend('QL* \theta(\eta opt)', 'E \theta(\eta opt) ',... '\eta \theta(\eta opt)', 'Qp/QL*'); Title('Parámetros en funcion de \lambda para M=4')

4.2.4. Apartado 4 Ma=4; Ma=5; ind=1;%theta=6 Ta=216.5; Mach1=[3.2 ,3 ,2.8 ,2.5 ,2.2 ,1.9 ,1.8 ,1 .7]; Mach1=[3.8,3.6,3.3,3,2.7,2.5,2.3,2]; po1= [0.96 ,0.93 ,0.87 ,0.82 ,0.75 ,0.68 ,0.62 ,0 .55]; po1=[.93,.87,.8,.73,.63,.55,.47,.4]; Cv=1; gamma=1.4; f1=0.2; Temp=700; M1=Mach1(ind); rp0=po1(ind); Areas=(1:0.2:5); for i=1:length(Areas) rA=Areas(i); y0=[1,M1^2,rp0,1]'; Tp=Temp/(Ta*(1+.5*(gamma-1)*Ma^2)); M2=2; n=0; QL=0; while M2>1.05 QL=QL+0.001; [x,y]=ode45(@scramA,[0 1],y0,[],QL,f1,Tp,ga mma,rA); n=n+1; M2=sqrt(y(length(x),2));


59

end iter(i)=n; QLcritico(i)=QL-0.001; Ms(i)=sqrt((2/(gamma-1))*(-1+(1+(gamma-1)/2*Ma^2)*(y(length(x),3))^((gamma-1)/gamma))); Emp(i)=Cv*Ms(i)*sqrt(y(length(x),1)*(1+(gamma-1)/2*Ma^2)/(1+(gamma-1)/2*Ms(i)^2))-Ma; Rend(i)=Emp(i)*Ma*(gamma-1)/(QLcritico(i)*(1+(g amma-1)/2*Ma^2)); if iter(i)<5 Emp(i)=0; Rend(i)=0; end end Subplot(2,1,2) hold on plot(Areas,QLcritico); plot(Areas,Emp,'r'); plot(Areas,Rend,'g');legend('QL*','E','\eta'); title('Influencia del Área para M=5') [a,b]=max(QLcritico); [c,d]=max(Emp); [e,f]=max(Rend); QL.valormaximo=a; QL.Area=Areas(b); empuje.valormaximo=c; empuje.Area=Areas(d); empuje.QL=QLcritico(d); rendimiento.valormaximo=e; rendimiento.Area=Areas(f); rendimiento.A=QLcritico(f);

4.2.5. Apartado 5 Ma=4; Ma=5; ind=1;%theta=6 Ta=216.5; Mach1=[3.2 ,3 ,2.8 ,2.5 ,2.2 ,1.9 ,1.8 ,1 .7]; Mach1=[3.8,3.6,3.3,3,2.7,2.5,2.3,2]; po1= [0.96 ,0.93 ,0.87 ,0.82 ,0.75 ,0.68 ,0.62 ,0 .55]; po1=[.93,.87,.8,.73,.63,.55,.47,.4]; Cv=1; gamma=1.4; f1=0.2; Temp=700; rp0=po1(ind); rA=2; M1=Mach1(ind); CVel=(0.95:0.005:1); for i=1:length(CVel) Cv=CVel(i); y0=[1,M1^2,rp0,1]'; Tp=Temp/(Ta*(1+.5*(gamma-1)*Ma^2)); M2=2; n=0;


60

QL=0; while M2>1.05 QL=QL+0.001; [x,y]=ode45(@scram,[0 1],y0,[],QL,f1,Tp,gam ma,rA); n=n+1; M2=sqrt(y(length(x),2)); end iter(i)=n; QLcritico(i)=QL-0.001; %Empuje y rendimiento

Ms(i)=sqrt((2/(gamma-1))*(-1+(1+(gamma-1)/2*Ma^2)*(y(length(x),3))^((gamma-1)/gamma))); Emp(i)=Cv*Ms(i)*sqrt(y(length(x),1)*(1+(gamma-1)/2*Ma^2)/(1+(gamma-1)/2*Ms(i)^2))-Ma; Rend(i)=Emp(i)*Ma*(gamma-1)/(QLcritico(i)*(1+(g amma-1)/2*Ma^2)); if iter(i)<5 Emp(i)=0; Rend(i)=0; end end subplot(2,1,2) hold on; plot(CVel,QLcritico); plot(CVel,Emp,'r'); plot(CVel,Rend,'g'); legend('QL*','E','\eta'); title('Q_L*, E,\eta, en funcion de C_v, para Ma dad o y \theta_E'); [a,b]=max(QLcritico); [c,d]=max(Emp); [e,f]=max(Rend); QL.valormaximo=a; QL.Cvel=CVel(b); empuje.valormaximo=c; empuje.Cvel=CVel(d); empuje.QL=QLcritico(d); rendimiento.valormaximo=e; rendimiento.Cvel=CVel(f); rendimiento.QL=QLcritico(f);

4.2.6. Apartado 6 Ma=4; f1=0.2; Ta=216.5;Pa=0.0574; To=1.7;gamma=1.4; Temp=700;Tp=Temp/(Ta*(1+.5*(gamma-1)*Ma^2)); Poa=Pa*(1+.5*(gamma-1)*Ma^2)^(gamma/(gamma-1)); Toa=Ta*(1+.5*(gamma-1)*Ma^2); M2=1.05; Msref=sqrt((2/(gamma-1))*(-1+(1+0.5*(gamma-1)*Ma^2) *0.2... ^((gamma-1)/gamma))); rA2=(M2/Msref)*((1+0.5*(gamma-1)*Msref^2)/(1+0.5*(g amma-1)*M2^2))^... ((gamma+1)*0.5/(gamma-1)); prem=(0.2:0.005:0.3);


61

for i=1:length(prem) Po=prem(i); Ms(i)=sqrt((2/(gamma-1))*(-1+(1+0.5*(gamma-1)*Ma^2) *Po... ^((gamma-1)/gamma))); y0tob(1,1)=To; y0tob(2,1)=M2^2; y0tob(3,1)=Po; y0tob(4,1)=1; [xvaltob,soltob1]=ode45(@scramjetdif2,[0 1],y0tob, [],f1,gamma,Tp,rA2) Msc1(i)=sqrt(soltob1(length(xvaltob),2)); Tos1(i)=ytob(length(xvaltob),1);

Cv1(i)=(Msc1(i)/Ms(i))*sqrt((Tos1(i)/To)*(1+.5*(gam ma-1)*Ms(i)^2)/... (1+.5*(gamma-1)*Msc1(i)^2)); end figure;hold on; plot(prem*(1+.5*(gamma-1)*Ma^2)^(gamma/(gamma-1)),C v1); title('C_v en funcion de P_o/P_a para \lambda cte') xlabel('P_o/P_a');

4.2.7. Apartado 7 Ma=4; Ta=216.5; M1=0.175; rp0=0.43; rA=1; Cv=1; gamma=1.4; f1=0.05; Tint=700; y0(1,1)=1; y0(2,1)=M1^2; y0(3,1)=rp0; y0(4,1)=1; Tp=Tint/(Ta*(1+.5*(gamma-1)*Ma^2)); calor=(0.5:0.1:1.5);i=1;

4.2.8. Scram.m 5. function dy=scram(x,y,QL,f1,Tp,gamma,rA) 6. dy(1,1)=QL+f1/2*(Tp-y(1))/sqrt(y(4)); 7. dy(2,1)=y(2)*(2+(gamma-1)*y(2))/(1-

y(2))*(gamma*f1/(2*sqrt(y(4)))+... 8. (1+gamma*y(2))/2*dy(1)/y(1));%-(rA-1)/y(4)); 9. dy(3,1)=-y(3)*gamma/2*y(2)*(dy(1)/y(1)+f1/sqrt(y(4) )); 10. dy(4,1)=rA-1;


62

10.1. Ondas

10.1.1. Ondas Lineales

10.1.1.1. Apartado 1. Intervalos de tiempo b=0.1; Nx=1001; i=1; for ix=1:Nx x(ix,1)=-1*(ix-1)/(Nx-1); end inct=0.01; for it=1:500 t=it*inct; if t>=i i=i+1; end p(1:Nx,1)=0; u(1:Nx,1)=0; for j=1:i for ix=1:Nx; xi=t-x(ix,1); eta=t+x(ix,1); imp=eta-(j-1); par=xi-j; Psimpar=-0.5*(1+tanh(imp/0.001))*tanh(i mp/b); Pspar=-0.5*(1+tanh(par/0.001))*tanh(par /b); if (-1)^j<1 p(ix,1)=p(ix,1)+(-1)^((j-1)/2)*Psim par; u(ix,1)=u(ix,1)-(-1)^((j-1)/2)*Psim par; else p(ix,1)=p(ix,1)-(-1)^(j/2)*Pspar; u(ix,1)=u(ix,1)-(-1)^(j/2)*Pspar; end end end T(it)=it*inct; P0(it)=p(1,1);V0(it)=u(1,1); P05(it)=p(501,1);V05(it)=u(501,1); P1(it)=p(1001,1);V1(it)=u(1001,1); plot(x(:,1),u(:,1));hold on,axis([-1 0 -3 3]) plot(x(:,1),p(:,1),'r') ,shg pause(0.001) , hold off end

10.1.1.2. Apartado 2. Por secciones %x=0 figure(1),clf plot(T,P0),axis([0 5 -3 3]),hold on ,plot(T,V0,'r') ,hold off,xlabel('t*L/a0'),legend('Presiones','Vocidades' ),title('Presión y Vocidad Adimensional en x/L=0') % x=-0.5


63

figure(2),clf plot(T,P05),axis([0 5 -3 3]),hold on,plot(T,V05,'r' ),hold off,xlabel('t*L/a0'),legend('Presiones','Vocidades' ),title('Presión y Vocidad Adimensional en x/L=-0.5') %x=-1

figure(3),clf plot(T,P1),axis([0 5 -3 3]),hold on,plot(T,V1,'r'), hold off,xlabel('t*L/a0'),legend('Presiones','Vocidades' ),title('Presión y Vocidad Adimensional en x/L=-1')

10.1.2. Ondas No Lineales

10.1.2.1. Completo.m % Riemann x=[-15:0.025:15]'; gamma=1.4; rho1=0.2; rho2=0.4; Po1=0.3; Po2=0.7; Vo1=0; Vo2=0; a1=sqrt(gamma*Po1/rho1); a2=sqrt(gamma*Po2/rho2); Nt=3000; ft=0.001; for i=1:589 rho(i)=rho1; p(i)=Po1; end for i=590:610; rho(i)=rho1+(rho2-rho1)/20*(i-590); p(i)=Po1+(Po2-Po1)/20*(i-590); end for i=611:1201 rho(i)=rho2; p(i)=Po2; end v(1:1201)=0; a=sqrt(gamma*(p./rho)); plot(x,p); hold on; axis([-15 15 -0.5 1]),grid plot(x,rho,'r'); plot(x,v,'g');title('Condiciones Iniciales'),xlabel('x'),ylabel('Valores Variables'),legend('Presión','Densidad','Velocidad' ) pause(0.001); hold off


64

Pest=FuncionPest(a1,a2,gamma,Po1,Po2,Vo1,Vo2); vch=Vo1-a1*sqrt((gamma-1)/(2*gamma)*(Pest/Po1)+1); vest=Vo2+(2/(gamma-1))*a2*((Pest/Po2)^((gamma-1)/(2 *gamma))-1); a2est=(gamma-1)/2*(vest-Vo2)+a2; dxdtsup=vest+a2est; dxdtinf=Vo2+a2; for i=1:Nt t=ft*i; for j=1:length(x) % 1 if vch*t>=x(j) rho(j)=rho1; p(j)=Po1; v(j)=Vo1; end %Discontinuidad Onda de choque if vch*t<x(j) && x(j)<=vest*t beta=(gamma+1)/(gamma-1); rho(j)=rho1*(1+beta*Pest/Po1)/(beta+Pes t/Po1); p(j)=Pest; v(j)=vest; end %Discontinuidad Abanico expansión. if vest*t<x(j) && x(j)<=dxdtsup*t p(j)=Pest; v(j)=vest; rho(j)=gamma*(Pest/a2est^2); end % Abanico expansión. if dxdtsup*t<x(j) && x(j)<=dxdtinf*t v(j)=2/(gamma+1)*(x(j)/t+(gamma-1)/2*Vo 2-a2); a(j)=(gamma-1)/2*(v(j)-Vo2)+a2; p(j)=Po2*(a(j)/a2)^((2*gamma)/(gamma-1) ); rho(j)=gamma*p(j)/a(j)^2; end % 2 if x(j)>dxdtinf*t rho(j)=rho2; p(j)=Po2; v(j)=Vo2; end end end plot(x,p); axis([-15 15 -1.5 1.5]),grid hold on; plot(x,rho,'r'); plot(x,v,'g');


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% Roe gamma=1.4; b=0.1; rho1=0.2; rho2=0.4; Po1=0.3; Po2=0.7; Vo1=0; Vo2=0; a1=sqrt(gamma*Po1/rho1); a2=sqrt(gamma*Po2/rho2); e1=Po1/rho1/(gamma-1); e2=Po2/rho2/(gamma-1); h1=e1+Po1/rho1+Vo1*Vo1/2; h2=e2+Po2/rho2+Vo2*Vo2/2; x0=-15; xf=15; Nx=1000; Nt=3000; ft=0.001; incx=(xf-x0)/(Nx-1); inct=ft; x=zeros(Nx,1); rho=zeros(Nx,1); p=zeros(Nx,1); v=zeros(Nx,1); a=zeros(Nx,1); e=zeros(Nx,1); h=zeros(Nx,1); W1=zeros(Nx,1); W2=zeros(Nx,1); W3=zeros(Nx,1); F1=zeros(Nx,1); F2=zeros(Nx,1); F3=zeros(Nx,1); Ff1=zeros(Nx-1,1); Ff2=zeros(Nx-1,1); Ff3=zeros(Nx-1,1); for i=1:Nx; x(i)=x0+(xf-x0)*(i-1)/(Nx-1); rho(i)=rho1+(rho2-rho1)*(1+tanh(x(i)/b))*0.5; p(i)=Po1+(Po2-Po1)*(1+tanh(x(i)/b))*0.5; v(i)=Vo1+(Vo2-Vo1)*(1+tanh(x(i)/b))*0.5; a(i)=sqrt(gamma*(p(i)/rho(i))); e(i)=p(i)/rho(i)/(gamma-1); h(i)=e(i)+p(i)/rho(i)+v(i)*v(i)/2; W1(i)=rho(i); W2(i)=rho(i)*v(i); W3(i)=rho(i)*(e(i)+v(i)*v(i)/2); F1(i)=rho(i)*v(i); F2(i)=rho(i)*v(i)*v(i)+p(i);


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F3(i)=rho(i)*v(i)*h(i); end for it=1:Nt for i=1:Nx-1 R=sqrt(rho(i+1)/rho(i)); rhob=rho(i)*R; ub=(R*v(i+1)+v(i))/(R+1); hb=(R*h(i+1)+h(i))/(R+1); cb=sqrt((gamma-1)*(hb-ub*ub/2)); lambda=[ub;cb+ub;ub-cb]; Vo1=[1;ub;ub*ub/2]; Vo2=[1;ub+cb;hb+ub*cb]*rhob/(2*cb); V3=-[1;ub-cb;hb-ub*cb]*rhob/(2*cb); alpha(1)=rho(i+1)-rho(i)-(p(i+1)-p(i))/(cb* cb alpha(2)=v(i+1)-v(i)+(p(i+1)-p(i))/(rhob*cb ); alpha(3)=v(i+1)-v(i)-(p(i+1)-p(i))/(rhob*cb ); Sumat1=0; Sumat2=0; Sumat3=0; for k=1:3; Sumat1=Sumat1+alpha(k)*abs(lambda(k))*V o1(k); Sumat2=Sumat2+alpha(k)*abs(lambda(k))*V o2(k); Sumat3=Sumat3+alpha(k)*abs(lambda(k))*V 3(k); end Ff1(i)=0.5*(F1(i+1)+F1(i)-Sumat1); Ff2(i)=0.5*(F2(i+1)+F2(i)-Sumat2); Ff3(i)=0.5*(F3(i+1)+F3(i)-Sumat3); end W1(1)=W1(1)-inct/incx*(Ff1(1)-F1(1)); W2(1)=W2(1)-inct/incx*(Ff2(1)-F2(1)); W3(1)=W3(1)-inct/incx*(Ff3(1)-F3(1)); W1(Nx)=W1(Nx)-inct/incx*(F1(Nx)-Ff1(Nx-1)); W2(Nx)=W2(Nx)-inct/incx*(F2(Nx)-Ff2(Nx-1)); W3(Nx)=W3(Nx)-inct/incx*(F3(Nx)-Ff3(Nx-1)); for i=2:Nx-1 W1(i)=W1(i)-inct/incx*(Ff1(i)-Ff1(i-1)); W2(i)=W2(i)-inct/incx*(Ff2(i)-Ff2(i-1)); W3(i)=W3(i)-inct/incx*(Ff3(i)-Ff3(i-1)); end for i=1:Nx


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rho(i)=W1(i); v(i)=W2(i)/rho(i); p(i)=(W3(i)-rho(i)*v(i)*v(i)/2)*(gamma-1); a(i)=sqrt((gamma-1)*p(i)/rho(i)); e(i)=p(i)/rho(i)/(gamma-1); h(i)=e(i)+p(i)/rho(i)+v(i)*v(i)/2; F1(i)=rho(i)*v(i); F2(i)=rho(i)*v(i)*v(i)+p(i); F3(i)=rho(i)*v(i)*h(i); end end y=x(1:20:1000); Densidad=rho(1:20:1000); Presion=p(1:20:1000); vel=v(1:20:1000); plot(y,Presion,'*') plot(y,Densidad,'r*') plot(y,vel,'g*') title('Riemann vs Roe, t=3s'),legend('Presión','Den sidad','Velocidad')

10.1.2.2. FuncionPest.m function Pest=FuncionPest(a1,a2,gamma,Po1,Po2,Vo1,V o2) Pest0=0.3; F0=2/(gamma-1)*a2*((Pest0/Po2)^((gamma-1)/(2*gamma) )-1)+2*a1/sqrt(gamma)*(((Pest0/Po1)-1)/sqrt((gamma+1) *Pest0/Po1+(gamma-1)))+Vo2-Vo1; Pest1=0.4; F1=2/(gamma-1)*a2*((Pest1/Po2)^((gamma-1)/(2*gamma) )-1)+2*a1/sqrt(gamma)*(((Pest1/Po1)-1)/sqrt((gamma+1) *Pest1/Po1+(gamma-1)))+Vo2-Vo1; iter=0;F=1; while iter<10 && abs(F)>=0.01 Pest=Pest1-F1*((Pest1-Pest0)/(F1-F0)); F=2/(gamma-1)*a2*((Pest/Po2)^((gamma-1)/(2*gamm a))-1)+2*a1/sqrt(gamma)*(((Pest/Po1)-1)/sqrt((gamma+1)* Pest/Po1+(gamma-1)))+Vo2-Vo1; F0=F1;Pest0=Pest1;F1=F;Pest1=Pest; iter=iter+1; end

Trabajo Completo Fluidos II

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