INDICE

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I-SERIES……………………………………………………………………………2

1,1 Definición …………………………………………………………….2 1.2 Tipos de series1.2Propiedades de series…………………………………………………………...4

1.3Teoremas de series………………………………………………………………5

1.4Criterios de convergencia

II-SUCESIONES……………………………………………………………………….6

2.1 Definición…………………………………………………………………………..6 2.2 Propiedades de sucesiones……………………………………………………, .7 2.3 Teoremas de sucesiones………………………………………………………..9 2.4 Criterios de convergencia

III- CRITERIOS DE CONVERGENCIA………………………………………….…11

IV-APLICACIONES EN LA VIDA DIARIA…………………………………...…...13

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SERIES

DEFINICION

TIPOS DE SERIES

1 .SERIES FINITAS

Serie finita es una serie que contiene un número finito de términos o en otras palabras, contiene predefinido el primer y el último término.

Un ejemplo de serie finita podría ser de la forma:

PROPIEDADES DE LA SERIES FINITAS

1). La suma o resta de dos series finitas es equivalente a la suma de las series por separado.

2). Una constante si es común a todos los términos de la serie puede ser excluida de la suma de los términos de la serie.

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Además de estas propiedades, existen algunos teoremas importantes que pueden resultar muy útiles al tratar con las cuestiones que involucran el concepto de serie. Uno de los teoremas más importantes de las series dice que

La suma de n términos de la serie es igual a n (n + 1) / 2.

Demostración del teorema

Sea la suma de la serie se representada como S. Escribiendo S, una vez a la inversa y una vez de forma regular, obtenemos

S = 1 + 2 + 3+ 4…+ n

S = n + (n - 1) + (n - 2)…. + 1

Ahora, sumando estas dos ecuaciones obtenemos,

2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1)…. + (n + 1)

Como S contiene n términos, por lo tanto, 2S también debe contener n términos.

Por tanto, 2S = n (n + 1)

Ahora, dividiendo cada lado por 2, obtenemos

S = n (n + 1) / 2, lo cual demuestra el teorema.

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2. SERIES INFINITAS El número de términos es ilimitado.Cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o formula, por algún algoritmo Observación: Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita ,pero a diferencia de las sumas finitas , las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas Ejemplo:

1 , 12 , 1

3 , 14 , 1

5 , …, 1n

12 , 1

4 , 1

8 , 1

16 , ….., 1/ 2n

Series monótonas: son aquellas que mantienen una misma tendencia has el Infinito

Ejemplo:

   Crecientes:   a1 < a2 < a3 <……< an (va aumentando término a término)

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Ejemplo :

            Decreciente:  a1 > a2 > a3 >……> an   (va disminuyendo término a término)

SERIE GEOMETRICA :Es aquella serie cuyo término de formación es:

donde:a es una constante,

r  es la base

 Ejemplo :

es geométrica, pues cada término sucesivo se obtiene al multiplicar el anterior

por 

Criterios para la serie:

Si |r| < 1 la serie converge, entonces se aplica la siguiente fórmula para determinar el valor de la convergencia.

  

Si |r| > 1 la serie diverge.

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SERIE ARMONICA Es aquella serie cuyo término de formación es:

Siempre diverge

Serie p:Es aquella serie cuyo término de formación es:

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Si p>1 la serie es convergente

Si p < 1 la serie es divergente

PROPIEDADES DE SERIES

       Si las series A=∑an y  B=∑bn convergen a las sumas indicadas y c es una constante, entonces las series ∑an +bn = A+B   y ∑can tambien convergen, como sumas.

      1.- ∑can= c∑an

      2.- ∑an +bn=∑an+∑bn

      3.- ∑an -bn=∑an-∑bn

Teorema de la Convergencia

Si la serie   es convergente, entonces   el limite en el infinito es igual a cero.

Criterio de la divergencia:

Si el limite no existe o distinto de cero, entonces la serie es divergente. Este criterio esta basado en el teorema de la convergencia. Si el limite llegara a dar cero el criterio no es concluyente puesto que el teorema dice que las series convergente siempre dan cero mas no lo contrario. Hay algunas series divergentes que su limite en el infinito es igual a cero, como es el caso de las serie armónica.

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Serie Telescópica o desplegable:Es aquella serie cuyo término de formación se puede representar por de la siguiente manera:

De una ecuación compleja en el denominador se lleva a dos más sencillas, por varios métodos:Si es un polinomio  por el proceso de fracción simple, si una función logarítmica por sus propiedades.

Suma parcialPara la serie ∑an la n-esima suma parcial viene dada por:

Sn= a1+a2+a3+ ………+an

Si la sucesión  de parciales { Sn}  converge a S, se dirá que la ∑an converge. Donde S es la suma de la serie. Si  { Sn}  diverge la serie también lo hará.

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Criterios de Comparación

Comparación DirectaLa comparación directa es término a término y se aplican los   siguientes criterios:               0≤an≤bn

1.- Si ∑b converge, entonces ∑a también converge2.- Si ∑a diverge, entonces ∑b también diverge

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Comparación en el límite

Donde ∑b es convergente o  divergente.Criterios para la toma de decisón:si   l =0       para b convergente entonces a también converge.     l = ∞    para b divergente entonces a también diverge.

     l= k       (es una constante) ´para b convergente o divergente, entonces a será  convergente o divergente.

Criterio de la razón o cociente:

Si l >1 o ∞ divergeSi l < 1 convergeSi l=1 no concluye

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SUCESIONES

DEFINICION:

Es un conjunto de términos que han de ser sumados.

Los términos pueden ser números, variables, funciones, o cantidades más complejas .una serie puede ser finita o con limite de términos

EJEMPLOS:

La sucesión 1,1/2 ,1/3,…,1/n ,…

Tiene como tiene término 1n , y la sucesión -1,+1,-1,+1,…, (-1)n ,…,

tiene como termino general (1)n .

Determine el término que continua en la sucesión:

4, 7, 10, 13, x

12

X=16,

8, 10, 20, 22, 44,

x2 +2 x2 +2 x2

Como se sabe las sucesiones pueden tener cualquier regla para hallar el enésimo término que se desea encontrar para por ejemplo en este caso

Determine el término que continua en la sucesión:  2|4  , 3|12 , 5|30 , 7|53  ...

A) 9|81     B) 9|90    C) 11|99     D) 11|110       E) 11|121  

Hallar la suma de cifras del término que sigue en la sucesión: 1; 5; 19 ; 49 ; 101, ...

PROPIEDADES DE SUCESIONES

Consideremos dos sucesiones convergentes {Sn} n y {S`n}n 1 y K ,una constante ,entonces :

i)

ii)

iii)

iv)

v)

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La sucesión de   Fibonacci   :

Presenta diversas regularidades numéricas. Para que resulte más sencillo las hemos enunciado en casos particulares (aunque se cumplen en general) y hemos calculado los primeros catorce términos de esta sucesión, para que su verificación sea inmediata:

t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 t 10 t 11 t 12 t 13 t 141 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377

 Si sumas los cuatro primeros términos y añades 1, da como resultado el sexto ((1+1+2+3)+1 = 8) y si sumas los cinco primeros términos y añades 1, da como resultado el séptimo (1+1+2+3+5     +  1 = 13).

Que en su forma general diría:

"Si sumas n términos consecutivos, partiendo del k-ésimo, y le añades k, da como resultado el termino (k+n+1)-ésimo." 

Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición impar (t 1 ,t 3 ,t 5 ),  da como resultado el sexto término (t 6 ), (1+2+5 = 8) y si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición impar (t 1 ,t 3 ,t 5 ,t 7 ) da como resultado el octavo término (t 8 ), (1+2+5+13 = 21).

Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición par (t 2 ,t 4 ,t 6 ) y añades 1, sale el séptimo término (t 7 ), (1+3+8   + 1 =13). Si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición par (t 2 ,t 4 ,t 6 ,t 8 ) y añades 1, sale el noveno término (t 9 ), (1+3+8+21  +  1 =34). 

Que en su forma general diría:

"Si sumas n terminos impares (resp. pares) consecutivos, partiendo del k-ésimo, y le añades el término (k-1)-ésimo, da como resultado el termino (k+2n-1)-ésimo." 

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Aún las hay más difíciles de imaginar! 

Tomemos dos términos consecutivos, por ejemplo: t 4 =3 y t 5 =5; elevando al cuadrado y sumando: 32+52=9+25=34 que es el noveno ( 4+5 ) término de la sucesión. Tomando t 6 =8 y t 7 =13; elevando al cuadrado y sumando: 82+132=64+169=233 que es el ( 6+7 ) decimotercer término de la sucesión.

Ahora bien, si elevamos al cuadrado los cinco primeros términos y los sumamos, sale el producto del quinto y el sexto término: 12+12+22+32+52=40=5*8. Si hacemos lo mismo para los seis primeros términos, sale el producto del  sexto y el séptimo término:12+12+22+32+52+82=104=8*13.

Y quizás la más sorprendente sea la siguiente propiedad:

Dividamos dos términos consecutivos de la sucesión, siempre el mayor entre el menor y veamos lo que obtenemos: 

1  : 1 = 1 2  : 1 = 23  : 2 = 1.55  : 3 = 1.668  : 5 = 1.613 : 8 = 1.62521 :13 = 1.6153846...34 :21 = 1.6190476...55 :34 = 1.6176471...89 :55 = 1.6181818..

Al tomar más términos de la sucesión y hacer su cociente nos acercamos al número de oro (ver número de oro). Cuanto mayores son los términos, los

cocientes se acercan más a  .

En lenguaje matemático:

Efectivamente, supongamos que   sea convergente y que   es su límite, entonces

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de donde obtenemos que

y como nuestro límite debe ser positivo obtenemos que 

lo que demuestra que el límite de la sucesión de Fibonacci es el número de oro, pero no sólo eso, hemos demostrado que el límite de toda sucesión, tal que cada término sea la suma de los dos anteriores, es efectivamente el número de oro.

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