Trabajo de Primer Parcial Metodos Numericos

8/10/2019 Trabajo de Primer Parcial Metodos Numericos

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FACULTADDEINGENIERAELCTRICA

METODOSNUMERICOS

INFORME DE TRABAJO PRIMER PARCIAL

TEMA:

DESCRIPCCIONDELOSMETODOSNUMERICOSY

PROBLEMASDECADACASO.

ALUMNOS:

DAVIDCATAGNIA.

MANCHAYDIEGO.

.

.

.

FECHADEENTREGA:

13DENOVIEMBREDEL2014

PERODOELECTIVO:

OCTUBRE2014-FEBRERO2015

CALIFICACIN: .


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UNIVERSIDAD POLITCNICA SALESIANAMTODOS NUMRICOS INFORME

INGENIERIA ELECTRICA

MTODOS NUMRICOSCampus Kennedy

METODOS NUMERICOSINFORME

Alumno: David Catagniae-mail: [email protected]

Alumno: Diego Manchay

e-mail:[email protected]

1.RESUMEN:

Los mtodos numricos nos vuelven aptos para entender esquemasnumricos a fin de resolver problemas matemticos, de ingeniera ycientficos en una computadora, reducir esquemas numricos bsicos,

escribir programas y resolverlos en una computadora y usarcorrectamente el software existente para dichos mtodos y no solo

aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que tambinamplia la pericia matemtica y la comprensi6n de los principios

cientficos bsicos.

2.

PALABRAS CLAVE:Mtodos Numricos, Matemticas de ingeniera, Matlab

ABSTRAC:

Numerical methods make us unfit to understand numerical

schemes to solve mathematical problems in engineering and

computer science, reduce basic numerical schemes, write

programs and solve them on a computer and correctly use existing

software for these methods and not only increases our ability to

use computers but also extensive mathematical expertise and

comprensi6n of basic scientific principles.

KEYS WORK: Numerical Methods, Engineering Mathematics,

Matlab.

3.OBJETIVO GENERAL:

Tener presente el manejo de los diferentes mtodos

numricos en Matlab.

3.1 Objetivos Especf icos: Interpretar la representacin de los diferentes tipos de

metodos numericos

Identificar a cada metodo con su debido proceso.

Identificar cada tipo de componentes de cada metodo

para su aplicacion.

Relaizar los ejercicios planteados utilizando diferentes

metodos como indica el problema.

Utilizar un paquete informatico (MATLAB) para la

respectiva realizacion de los ejemplos.

4.INTRODUCCION

El presente artculo da a conocer ciertos conceptos de los

diferentes mtodos numricos que debemos saber para poner en

prctica en nuestro programa realizado en Matlab , la cual va a

proporcionar una facilidad al momento de realizar cualquier tipo

de ejercicio que requiera del mismo ,as permitiendo la

interaccin entre el usuario y los servicios que ofrece nuestraprogramacin.

5.MARCO TEORICO

5.1. Mtodo de Biseccin

El objetivo es buscar la raz de una funcin, tomando un intervalo

inicial y reduciendo gradualmente a la mitad este, hasta hallar una

aproximacin o la raz que satisface la funcin, Este mtodo

plantea que si se cumple que:

f(x) es real y continua en el intervalo que va desde un Xi hasta

un Xs

f(Xi) f(Xs)


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Se elige un intervalo inicial para funcin f(x)

Luego se busca localizar la raz con mayor exactitud dentro del

intervalo dividiendo a la mitad y observando si se conservan

las condiciones iniciales.

Se compara el Xmed con cada uno de los lmites del intervalo y

se observa que producto cambia de signo y se asigna un nuevo

intervalo.

Se vuelve a repetir el proceso, y se va poniendo pequeo el

intervalo hasta llegar a una aproximacin de la raz o la raz

exacta.

Al aplicarse el mtodo se puede apreciar que la aproximacin a

la raz mejora cada vez que el intervalo se hace ms pequeo.

[1]

5.2. Mtodo de la Regla Falsa.

Encontrar la interseccin de una recta conformada por los puntos

a y b con el eje x, y obtener nuevos intervalos ms pequeos, lo lacual permite una aproximacin a una raz.

Este mtodo conserva todas las caractersticas y condiciones que

posee el mtodo de biseccin, excepto por la forma de calcular el

punto intermedio del intervalo. Para aplicar el mtodo se debe

tener en cuenta:

Fig.2:Pseudocodigo metodo de Falsa Posicion

Si se tiene dos puntos (a,f(a)) y(b, f(b)) y se traza la recta que une

a estos dos puntos, se puede observar que un punto est por

debajo del eje x y otro por encima de este, y un punto intermedio

(Xm,0), con este punto intermedio se puede comparar los lmites

y obtener un nuevo intervalo.

Si f(A) y f(B)0, entonces la raz se encuentra al lado derecho

del intervalo.

Para hallar la interseccin de la recta con el eje X usamos la

siguiente frmula:

Xm= a - ((f(a)*(b - a))/(f(b) - f(a))) [2]

5.3. Mtodo de Punto Fijo

Buscar una raz de una funcin a partir de un valor inicial, unatolerancia y un nmero de iteraciones, para este caso no es

necesario tener un intervalo. A partir de una ecuacin F(X)=0 se

genera una ecuacin X=g(X), a la cual se le busca una solucin, y

se debe tener en cuenta lo siguiente.

Se busca un valor de X que al reemplazarlo en g, el resultado

sea X.

Se debe elegir una aproximacin inicial Xo

Se calcula X1=g(Xo) Y se repite el paso anterior hasta llegar a

una aproximacin. [3]

A continuacion tenemos el seudocodigo de este metodo

Fig.3:Pseudocodigo metodo de Punto Fijo


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5.4. Mtodo de Newton

Buscar una raz de una funcin a partir de un valor inicial, una

tolerancia y un nmero de iteraciones, para este caso no es

necesario tener un intervalo. El mtodo de newton por su rapidez

y efectividad, es uno de los mtodos ms utilizados; este mtodo

es una variable del mtodo de punto fijo, por lo cual se debecalcular una funcin g , esta funcin g se puede calcular de la

forma:

g(X) = X(f(X)/f (x))

Una vez definida la funcin g, se debe realizar los siguientes

pasos, como en el mtodo de punto fijo.

-Se debe elegir una aproximacin inicial Xo

-Se calcula X1=g(Xo)

-Se calcula X2=g(X1)

-.............. Xn=g(Xn-1)

Y se repite el paso anterior hasta llegar a una aproximacin de la

raz. [4]

Fig.4:Pseudocodigo metodo de Newton

5.5. Mtodo de la secante.

Buscar una raz de una funcin a partir de dos valores iniciales,

una tolerancia y un nmero de iteraciones, para este caso no es

necesario tener un intervalo. El mtodo de la secante se define

como una variante del mtodo de Newton. A partir de la ecuacin

iterativa que define el mtodo de Newton, se sustituye la

derivada por una expresin que la aproxima:

X2 = X1((f(X1)*(X1-Xo))/(f(X1)-f(Xo))

Se debe elegir dos aproximaciones iniciales X1 y X0

Se calcula X2= Expresin ---------- Xn = Expresin (n-1)

Y se repite el paso anterior hasta llegar a una aproximacin. [5]

El seudocodigo se muestra en la figura 5

Fig.5:Pseudocodigo metodo de la Secante

5.6. Mtodo de Races Mltiples

Buscar una raz de una funcin a partir de un valor inicial, una

tolerancia y un nmero de iteraciones, para este caso no es

necesario tener un intervalo. Una de las condiciones para

garantizar la convergencia del mtodo de Newton es que f (Xv)

tiene que ser diferente de cero . Si al ejecutar el mtodo de

Newton se observa que f(xn) se aproxima a cero, la rapidez del

mtodo disminuye y hay una posible raz mltiple.

El mtodo de raz mltiple tambin es conocido como el mtodo

de Newton mejorado, y bsicamente su estructura es muy similar

excepto de que se debe hallar la segunda derivada y se debe

tomar en cuenta la siguiente expresin:

Xn+1 = Xn((f(Xn)*f(Xn))/((f`(Xn)^2 - (f(Xn)*f(Xn)))

Una vez definida la expresin anterior, se procede de una forma

similar al mtodo de Newton

Se debe elegir una aproximacin iniciales X0

Se calcula X1= Expresin ---------- Xn = Expresin (n-1)

Y se repite el paso anterior hasta llegar a una aproximacin. [6]


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El Seudocodigo del metodo de las raizes multiples se presenta a

continuacion.

Fig.6:Pseudocodigo metodo de Raices Multiples

5.15- Se carga una viga de la manera que se aprecia en la figura

P5.14. Emplee el mtodo de biseccin para resolver la posicin

dentro de la viga donde no hay momento.

Figura P5.14

5.16Por un canal trapezoidal fluye agua a una tasa de Q = 20

M3/s. La profundidad crtica y para dicho canal satisface la

ecuacin.

Donde g = 9.81m/s2, Ac = rea de la seccin transversal (m2), yB = ancho del canal en la superficie (m). Para este caso, el ancho

y el rea de la seccin transversal se relacionan con la

profundidad y por medio de

Resuelva para la profundidad crtica con el uso de los mtodos a)

grfico, b) biseccin, y c) falsa posicin. En los incisos b) y c), haga

elecciones iniciales de xl = 0.5 y xu = 2.5, y ejecute iteraciones

hasta que el error aproximado caiga por debajo del 1% o el

nmero de interaciones supere a 10. Analice sus resultados.

METODO DE LA BISECCION


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La Solucion es : 1. 5078


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Figura 7.2 ejecucion del ejercicio grafico de matlab

EL CODIGO DE PROGRAMACION SE ENCUENTRA ENANEXADO EN ESTE INFORME

5-17Suponga el lector que est diseando un tanque esfrico(vase la figura P5.16) para almacenar agua para un poblado

pequeo en un pas en desarrollo. El volumen de lquido que

puede contener se calcula con

Donde V = volumen [m3], h = profundidad del agua en el tanque

[m], y R = radio del tanque [m].

Si R = 3m, a qu profundidad debe llenarse el tanque de modo

que contenga 30 m3? Haga tres iteraciones con el mtodo de la

falsa posicin a fin de obtener la respuesta. Determine el error

relativo aproximado despus de cada iteracin.

Sea despejando la ecuacion igual a:

La solucion es: 2.027 m de profundidad


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6-18 El balance de masa de un contaminante en un lago bien

mezclado se expresa as:

Dados los valores de parmetros V = 1 . 106 m3, Q = l . 10E5

m3/ao y W = l . 10E6 g/ao, y k = 0.25 mE0.5/ao, use el mtodo

de la secante modificado para resolver para la concentracin de

estado estable. Emplee un valor inicial c = 4 g/m3 y d = 0.5.

Realice tres iteraciones y determine el error relativo porcentual

despus de la tercera iteracin.

Sea un sistema balanceado:

Los problemas de balances de masa se pueden dividir en dos

clases: los que estan en estado estacionario y los que estan en

estado no estacionario.

Un estado estacionario es aquel en el que las concentraciones y el

volumen no cambian con el tiempo: la concentracin y caudal de

entrada son constantes y el caudal de salida es constante e igual

al de entrada, y por lo tanto la concentracin en la regin decontrol del volumen es constante. As pues, para los sistemas

estacionarios : dm/dt = 0.

Los estados no estacionarios son aquellos en los que los caudales

de entrada o salida comienzan o paran en un cierto momento, o la

concentracin de entrada vara de un momento a otro, o hay

variacin de volumen en la regin de control de volumen. Para los

sistemas no estacionarios: dm/dt0, de modo que la acumulacinmide la variacin de la cantidad de materia en relacin al tiempo.

Sea un sistema estacionario entonces tenemos:

( )


6-29.Utilice el mtodo de la secante de la funcin crculo

(x + 1) 2 + (y - 2) 2 = 16

para encontrar una raz real positiva. Establezca su estimacin

inicial de xi = 3 y xi-1 = 0,5. Acercarse a la solucin de la primera y

cuarto cuadrantes. Cuando la solucin de f (x) en el cuartocuadrante, ser Asegrese de tomar el valor negativo de la raz

cuadrada. Por qu su solucin divergen?

>Ingrese la funcin: f(x)= sqrt(16-(x+2)^2)+2Ingrese el intervalo inferior Xo: 0.5Ingrese el intervalo superior X1: 3Ingrese el valor de la tolerancia: 0.01

i xi x1 f(xi) error0 0.5000 3.0000 5.1225 ------

1 3.0000 2.6327 4.9802 1.00002 2.6327 3.8282 2.9695 5.9116

3 3.8282 1.0877 5.8887 5.21704 1.0877 4.7952 4.7117 6.16635 4.7952 1.0066 6.7689 7.38736 1.0066 6.9651 5.8877 7.0927

7 6.9651 0.1276 7.0763 10.0782


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8 0.1276 6.7140 9.0919 7.22569 6.7140 -0.2633 7.5719 12.2054

10 -0.2633 8.3736 12.0255 7.676811 8.3736 -0.7903 7.5919 15.6189

El resultado ser: -0.790279

6-30Suponga el lector que est diseando un tanque esfrico(vase la figura P5.16) para almacenar agua para un poblado

pequeo en un pas en desarrollo. El volumen de lquido que

puede contener se calcula con

Donde V = volumen [m3], h = profundidad del agua en el tanque

[m], y R = radio del tanque [m].

Si R = 3m, a qu profundidad debe llenarse el tanque de modo

que contenga 30 m3? Haga tres iteraciones con el mtodo de la

falsa posicin a fin de obtener la respuesta. Determine el error

relativo aproximado despus de cada iteracin.

Sea despejando la ecuacion igual a:

La respuesta es: h = 2.026 m

Converje mejor con el metodo de secante por que con menos

iteracciones llegamos al error buscado.


6-31. La ecuacin de Manning se puede escribir para un abierto

rectangular canal como

Donde Q = caudal [m3 / s], S = pendiente [m / m], H = Profundidad

[m], y n =0.03

el coeficiente de rugosidad de Manning. Desarrollar un punto fijo-

iteracin esquema para resolver esta ecuacin para H dada Q = 5,

S = 0,0002, B = 20, y n = 0,03. Demostrar que su esquema

converge para todos conjeturas iniciales mayores que o igual a

cero.


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CONCLUSIONES

-El mtodo de la Biseccin converge lentamente, lo que genera lapropagacin de error por la cantidad de operaciones e iteracionesnecesaria para que el mtodo converja.-Para las bsquedas incrementales es de gran importancia saberelegir el valor del incremento, pues de este depende que el mtodotenga gran eficiencia o no.

-Para los mtodos cerrados es necesario garantizar que dentro delintervalo de entrada la funcin sea continua y que este contengauna raz.-Para los mtodos aciertos es necesario garantizar que la funcinsea continua.-El mtodo de Newton se va volviendo lento cuando la derivada dela funcin tiende a 0.-Los mtodos abiertos convergen de una manera ms rpida quelos mtodos cerrados.-En los mtodos cerrados, en ocasiones el mtodo de la regla falsa

puede volverse lento, por lo que se prefiere biseccin.I. AGRADECIMIENTOS

Quiero agradecer al Ingeniero Edith Alexander Muoz Rios por suatencin en el trabajo y por la ayuda de las clases y las bases que lnos ha fomentado nos ha ayudado para comprender claramente eldeber enviado, adems agradecerle por tomarse el tiempo derevisar este trabajo

II. REFERENCIAS

III. Reportes encontrados en la web

II. REFERENCIAS

1.BIOGRAFIA:

Cristian Mauricio Ayala Criollo, naci en laparroquia de Gonzlez Surez del cantnOtavalo, provincia de Imbabura en Ecuador, el13 de Agosto de 1984. Realiz sus estudiosprimarios en la Escuela Simn Bolvar. Realizsus estudios secundarios en el Instituto Tcnico

Superior Otavalo donde, se gradu como FsicoMatemtico en julio de 2002. En abril del 2008,se gradu como Tcnico Superior Informtico enel SECAP. Estudi Ingeniera Electrnica yRedes de Informacin en la Escuela PolitcnicaNacional, hasta el 6 semestre, retirndose de susestudios por fuerza mayor en diciembre de 2010.

Actualmente se halla estudiando Ingeniera Elctrica en la UniversidadPolitcnica Salesiana, campus Kennedy en 6 semestre. Trabaj como sub-operario en logstica del COTRAN seccin de inteligencia de las FuerzasArmadas del Ecuador, as como docente de la Unidad Educativa adistancia Eugenio Espejo, en Ibarra-Ecuador, y docente del SECAP, enOtavalo-Ecuador.reas de inters: diseo grfico, informtica y redes, automatizacin y

control industrial, domtica, iluminacin, Smart Home, msicainstrumental.([email protected])

[1] PROCESOS NUMERICOS, [En lnea]. Available:https://sites.google.com/site/pn20111/home/metodos-cerrados/3-1-metodo-de-biseccion. [ltimo acceso: 12 112014].

[2] PROCESOS NUMERICOS, [En lnea]. Available:https://sites.google.com/site/pn20111/home/metodos-cerrados/3-2-metodo-regla-falsa. [ltimo acceso: 13 11 2014].

[3] PROCESOS NUMERICOS, [En lnea]. Available:https://sites.google.com/site/pn20111/home/4-metodos-abiertos/4-1-metodo-de-punto-fijo. [ltimo acceso: 13 112014].

[4] PROCESOS NUMERICOS, [En lnea]. Available:

https://sites.google.com/site/pn20111/home/4-metodos-abiertos/4-2-metodo-de-newton. [ltimo acceso: 13 11 2014].

[5] programacion numerica, [En lnea]. Available:https://sites.google.com/site/pn20111/home/4-metodos-abiertos/4-3-metodo-de-la-secante. [ltimo acceso: 13 112014].

[6] PROGRAMACION NUMERICA, [En lnea]. Available:https://sites.google.com/site/pn20111/home/4-metodos-abiertos/4-4-metodo-de-raices-multiples. [ltimo acceso: 13 112014].
mailto:[email protected]:[email protected]


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MTODOS NUMRICOSC K d

Diego Guillermo Manchay Chasipanta, Nacien Otavalo, el 16 de Mayo de 1989.Sus estudios secundarios los realiz en elColegio Experimental Jacinto Collahuazo yobtuvo el ttulo de bachiller en ciencias:especialidad Fsico matemtico en el ao 2008.Los estudios universitarios los curso en laEscuela Politcnica Nacional. Egresado deTecnlogo Electromecnico en el 2012.

10.ANEXOS:

EJERCICIOS:

Una funcin dada de s siempre puede representarse por un

diagrama de polos y ceros, que es la representacin con las

pequeas cruces y crculos en el plano s que localizan los polos y

los ceros. La funcin. [1]

tiene un cero en s = -3 y polos en j2 y -j2. Por consiguiente, su

diagrama de polos y ceros es el de la figura [1]

Figura 10.1.

Recprocamente, si se da un diagrama de polos y ceros, es fcil

determinar la funcin de s correspondiente. Por ejemplo,

supngase que se da la figura 1.19. Hallando los ceros primero, el

cero s = 1 produce un factor (s -1) que ser colocado en el

numerador. El cero en s = -2 origina el factor (s + 2) que ser otro

del numerador, mientras que el polo s = j da lugar a un factor (s

j) y el polo s = -j produce otro (s + j), perteneciendo ambos al

denominador. Reuniendo los factores se tiene:

que puede expresarse como:

Los diagramas de polos y ceros son de especial importancia en el

anlisis de redes R-L-C y los usaremos constantemente

Ejemplo:

Determinar la funcin F(s) que corresponda al diagrama de polos y

ceros de la figura

Figura 10.2.

Respuesta:

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