FISICA

TEMA: LABORATORIO I

MEDICION

DOCENTE: EDSON PLASENCIA S.

INTEGRANTES: LOPEZ DIESTRA EDWARD

RIOS SALAS ANGELO

VENEGAS PONCE DE LEON LUIS

CICLO: I

SEMESTRE:

2010-II

Experimento 1Medición

OBJETIVO

El objetivo concebido para este experimento ha sido conocer las definiciones relativas al error experimental mediante el manejo de datos, determinando el error en el proceso de medición.

Las Partes de este proceso son:

1. Medición y error experimental en una muestra discreta.2. Medición y propagación de errores.

I. PRIMERA PARTE:Medición y error experimental (Incertidumbre):

1. Obetivo:

Determinar la forma de la curva de Distribución Gaussiana en un proceso de medición, correspondiente al número de frijoles que caben en un puñado normal Determinar la incertidumbre en este proceso de medición.

2. Fundamento teórico:

Distribución Gaussiana:

Cuando hay fluctuaciones en medida, en general se supone que el tratamiento estadístico obedece la denominada “distribución Gaussiana” o “normal”. Esta distribución se utiliza para interpretar muchos tipos de medición física que guardan estrecha correspondencia con los fundamentes teóricos de dicha distribución, en parte porque la experiencia demuestra que la estadística Gaussiana si proporcionan una descripción razonablemente exacta de los sucesos reales. Solo para otro tipo común de mediciones físicas es más apropiada otra distribución: al observar fenómenos como la desintegración radiactiva se debe emplear la distribución conocida como “distribución de Poisson” .Pero aún en casos como éste, la diferencia con la estadística de Gauss resulta significativa solo para muy bajos niveles de ocurrencia.

El uso extendido de la distribución normal en la aplicación estadística puede explicarse, además, por otras razones. Muchos de los procedimientos estadísticos habitualmente utilizados asumen la normalidad de los datos observados. Aunque muchas de estas técnicas no son demasiado sensibles a desviaciones de la normal y, en general, esta hipótesis puede obviarse cuando se dispone de un número de suficiente de datos, resulta recomendable contrastar siempre si se puede asumir o no una distribución norma. La simple exploración visual de los datos puede sugerir la forma de su distribución. Un método grafico es el denominado análisis de histograma; en este, si el histograma corresponde a una campana de Gauss se puede afirmar que la distribución es Normal o Gaussiana.

3. Materiales:

Un tazón de frijoles. Una hoja de papel milimetrado. Un tazón mediano de plástico.

4. Procedimiento:

En esta experiencia primero tuvimos que regular la manera en que se extraen los frijoles del recipiente hasta lograr un puñado estándar; una vez conseguido se procedió a realizar dicha acción repetidas veces (156 veces) contando la cantidad de frijoles extraída. Posteriormente hicimos un registro de los datos obtenidos.

5. Cálculos y resultados:

Determine la media aritmética de los 156 números obtenidos. Está media aritmética es el numero más probable, n::m:p de frijoles que caben en un puñado normal.

Determine la incertidumbre normal o desviación estándar,Δ(n::m:p), de la medición anterior. Para ello proceda así:

Sea NK el número de granos obtenidos en la k-ésima operación. Halle la media aritmética de los cuadrados de las diferencias Nk- n::m:p, que será:

1100

∑k=1

100

¿¿ Nk- n::m:p)2

La raíz cuadrada positiva de esta media aritmética es el numero Δ(n::m:p), buscado; en general

Δ(n::m:p) ¿√ 1100∑k=1

100

(¿N k−n͞͞�� m͞� p)2¿

Grafique la posibilidad de que un puñado normal contenga tantos granos de frijoles. Sean, por otra parte, r,s dos números naturales .Diremos que un puñado de frijoles es de clase [r, s) si tal puñado x frijoles y se cumple que r ≤ x ¿ s. Sea N número de veces que se realiza el experimento consistente en extraer un puñado normal de frijoles, y sea n(r,s) el número de veces que se obtiene un puñado de clase ¿r,s) , a este número n(r,s) se conoce como frecuencia de la clase ¿r,s). Al cociente de dicho números (cuando N es suficientemente grande) lo llamaremos PROBABILIDAD π(r,s) DE QUE AL EXTRAER UN PUÑADO, ESTE SEA DE CLASE ¿r,s) ; es decir :

π ¿r,s)=n͞͞¿N , N muy grande.

La probabilidad así determinada quedará mejor definida cuando más grande sea el número N.

A continuación mostraremos la tabla de frecuencias obtenidas en este experimento:

K NK NK-66.147(Nk-

66.147)2 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

1 67 0.853 0.728

2 64 -2.147 4.610

3 60 -6.147 37.786

4 65 -1.147 1.316

5 67 0.853 0.728

6 64 -2.147 4.610

7 58 -8.147 66.374

8 66 -0.147 0.022

9 61 -5.147 26.492

10 73 6.853 46.964

11 66 -0.147 0.022

12 66 -0.147 0.022

13 71 4.853 23.552

14 66 -0.147 0.022

15 68 1.853 3.434

16 58 -8.147 66.374

17 81 14.853 220.612

18 67 0.853 0.728

19 78 11.853 140.494

20 77 10.853 117.788

21 62 -4.147 17.198

22 71 4.853 23.552

23 75 8.853 78.376

24 69 2.853 8.140

25 67 0.853 0.728

26 70 3.853 14.846

27 67 0.853 0.728

28 79 12.853 165.200

29 73 6.853 46.964

30 71 4.853 23.552

31 79 12.853 165.200

32 60 -6.147 37.786

33 61 -5.147 26.492

34 70 3.853 14.846

35 70 3.853 14.846

36 71 4.853 23.552

37 75 8.853 78.376

38 72 5.853 34.258

39 74 7.853 61.670

40 78 11.853 140.494

41 62 -4.147 17.198

42 68 1.853 3.434

43 69 2.853 8.140

44 60 -6.147 37.786

K NK NK-66.147(Nk-

66.147)2 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

45 62 -4.147 17.198

46 61 -5.147 26.492

47 75 8.853 78.376

48 80 13.853 191.906

49 57 -9.147 83.668

50 57 -9.147 83.668

Además presentamos el siguiente “Histograma de frecuencias” elaborado con los datos obtenidos:

Σ NK ¿ 10319 Σ (Nk-66.147)2 ¿ 5267.61

Puñado más grande ⇒ 81 Puñado más pequeño ⇒ 57

n::m:p = 10319156

= 66.147 Δ(n::m:p)= √ 5267.609156

Dibuje en un plano la frecuencia versus el número de frijoles; trace a su criterio, la mejor curva normal. A 2/3 de la altura máxima trace una recta horizontal, generándose el segmento AB.

En el siguiente gráfico se observa la dispersión de los datos obtenidos en el experimente con relación a la dispersión ideal que representa la “Campana de Gauss”.

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 820

2

4

6

8

10

12

14

16

Series2

Series4

6. Cuestionario:

1.- En vez de medir puñados, ¿podría medirse el número de frijoles que caben en un vaso, en una cuchara, etc.? Rpta: Sí, se podría medir el número de frijoles que caben en un vaso, en una cuchara; con más precisión ya que la forma de estos recipientes es definida mientras que la mano no siempre hace un puño que pueda contener la misma cantidad de frijoles.

2.- Según Ud. ¿A qué se debe la diferencia entre su puñado normal y el de sus compañeros? Rpta: La diferencia se debe a que no todos tenemos el mismo tamaño de mano, otro motivo podría ser que no todos sacamos de la misma manera los frijoles del tazón, es decir, unos cierran mas fuerte el puño que otros ocasionando que reduzca la cantidad de frijoles.

3.- Después de realizar los experimentos, ¿qué ventaja le ve a la representación deπ[r, r+2) frente a la de π[r, r+1)? Rpta: La ventaja de la representación de π[r, r+2) frente a la de π[r, r+1), sería la precisión en la medición de la probabilidad, ya que este posee un intervalo mayor.

4.- ¿Qué sucedería si los frijoles fuesen de tamaños apreciablemente diferentes? Rpta: La medición de la cantidad de frijoles sería algo inexacta puesto que es probable que los frijoles de mayor tamaño desplacen a los de menor tamaño u ocurra el caso contrario.

5.- En el ejemplo mostrado se debía contar alrededor de 60 frijoles por puñado. ¿Sería ventajoso colocar sólo 100 frijoles en el recipiente, y de esta manera calcular el número de frijoles en un puñado, contando los frijoles que quedan en el recipiente? Rpta: Al tener sólo 100frijoles en el tazón se alteraría la manera de extraer frijoles ya que si hubiera más frijoles sería más fácil extraer un puñado.

6.- ¿Qué sucedería si en el caso anterior colocara sólo, digamos, 75 frijoles en el recipiente? Rpta: No sería recomendable porque al haber tan pocos frijoles se altera de considerablemente la manera de extraer los frijoles ya que prácticamente se estaría extrayendo la totalidad de estos.

7.- La parte de este experimento que exige “más paciencia” es el proceso de contar. Para distribuir esta tarea entre 3 personas ¿Cuál de las sugerencias propondría Ud.? ¿Por qué? a. Cada participante realiza 33 ó 34 extracciones y cuenta los correspondientes frijoles. b. Uno de los participantes realiza las 100 extracciones pero cada participante cuenta 33 ó 34 puñados. Rpta: La sugerencia que propondríamos sería que una sola persona saque los frejoles del tazón, ya que controlaría la manera en que lo hace; esa persona sacaría en grupos de 3 para que todos cuenten frijoles y así se acelere el proceso. De acuerdo a lo anterior la alternativa similar es la (b).

8.- Mencione tres posibles hechos que observarían si en vez de 100 puñados extrajeran 1000 puñados. Rpta: Los hechos que observaríamos serían: –Mayor precisión en los cálculos puesto que el número de muestras sería mayor. –La persona que extrae los frijoles podría ser impreciso al momento de la extracción debido al cansancio de

repetir tantas veces el procedimiento. –Imprecisión al momento de contar, porque las personas encargadas del conteo estarían cansadas.

9.- ¿Cuál es el promedio aritmético de las desviaciones nk - nJJmJp? Rpta: El promedio es 0.0004359.

10.- ¿Cuál cree Ud. es la razón para haber definido Δ(nJJmJp) en vez de tomar simplemente el promedio de las desviaciones? Rpta: No sería recomendable realizar dicho promedio, porque como muestra la respuesta anterior el número es muy pequeño debido a que algunos datos son negativos; por tal motivo los datos se elevan al cuadrado y se obtiene la raíz cuadrada del promedio de los nuevos valores para obtener un resultado más preciso.

11.- Después de realizar el experimento coja Ud. un puñado de frijoles. ¿Qué puede Ud. afirmar sobre el número de frijoles contenido en todo el puñado (antes de contar)? Rpta: Se podría afirmar que el número de frijoles sería el de mayor probabilidad, es decir, el que presenta mayor frecuencia.

12.-Mencione Ud. alguna ventaja o desventaja de emplear pallares en vez de frijoles en el presente experimento Rpta: Una ventaja sería que los pallares no caerían de tu mano a diferencia de los frijoles que se escapan del puñado. La cantidad de pallares que caben en un puñado se presentaría en un intervalo menor, es decir no encontraremos datos demasiado dispersos, sino más concentrados a comparación de los frijoles.

7. Justificación de resultados: En el proceso del experimento realizado tuvimos varios impedimentos los cuales detallamos a

continuación : En primer lugar los frijoles no poseen un tamaño estándar, lo que hizo difícil que el rango del

intervalo de frecuencias fuera corto por lo cual modificamos algunos datos (solo tomamos en cuenta el intervalo [57, 81])

No fue posible mantener un puñado estándar al extraer los frijoles pues la la medida del puñado no es constante.

Posiblemente al momento de realizar el conteo de los frijoles tuvimos imprecisión y no se logró un conteo correcto.

Para tener una mayor precisión debimos repetir el procedimiento muchas veces más de las realizadas en nuestro experimento

8. Conclusiones: Al haber realizado el procedimiento repetidas veces pudimos notar que:

En promedio la cantidad de frijoles que caben en un puñado es aproximadamente 66. Con respecto a la tabla e histograma anteriormente mostrado, notamos que la cantidad de

frijoles obtenida con mayor frecuencia fue 69, lo que nos indica que el margen de error con respecto a la media de datos es pequeña.

Mientras más extracciones de frijoles realicemos mayor será la exactitud del experimento, la varianza y la desviación estándar será mínima.

Con respecto a la distribución gaussiana pudimos notar que nuestros datos no eran tan precisos como debería reflejar idealmente la campana de Gauss.

II. SEGUNDA PARTE:Propagación del error experimental:

1. Obetivo:

Expresar los errores al medir directamente longitudes con escalas en milímetros y en 1/20 de milímetro. Determinar magnitudes derivadas o indirectas, calculando la propagación de la incertidumbre.

2. Fundamento teórico:

En el proceso de medición, el tratamiento de errores (también llamados errores) nos lleva al tema de la propagación de estos, al buscar expresar el valor de magnitudes que se determinan indirectamente.Teniendo en cuenta que el error de medición directa, de una magnitud x , es Δx ; y que Δx≪ x , se puede usar la aproximación. Δx≅ xⅆ

Así, para cualquier magnitud indirecta (o que se mide indirectamente) por ejemplo:V=V ( x, y )

Cuya expresión diferencial es:

Vⅆ =∂V∂x

xⅆ + ∂V∂ y

yⅆ

Podremos calcular el error de V si se conoce explícitamente V=V ( x, y ) y se hace las

aproximacionesΔV ≅ Vⅆ ΔX ≅ xⅆ Δy≅ yⅆ

Procediendo de esta manera (con diferenciales) se obtiene que, para los casos en que se tenga la suma, resta, multiplicación o cociente de dos magnitudes x e y , el valor experimental incluyendo los respectivos errores son

Suma = x+ y ±(Δx+Δy) Resta = x− y ±(Δx+Δy)

Producto = xy ± xy ( Δxx + Δyy ) Cociente = x

y±xy ( Δxx + Δy

y )

3. Materiales:

Un paralelepípedo de metal. Una regla graduada en milímetros. Un pie de rey.

4. Procedimiento: En este experimento medimos las dimensiones del paralelepípedo, primero con la regla graduada

en milímetros y posteriormente con el pie de rey (Vernier). Para esto cada uno de los integrantes medimos individualmente hasta que lleguemos a un acuerdo sobre sus respectivas medidas.

5. Cálculos y resultados:

Determine el área total A y el volumen V del paralelepípedo. Suponga que coloca 100 paralelepípedos apoyando uno sobre otro, formando un gran paralelepípedo, para este determine: a. el área total A100. b. el volumen total V100. Todas estas mediciones se registrarán en la siguiente tabla.

TABLA DE MEDICIONES Y RESULTADOS

Con regla Con el pie de rey Porcentaje de incertidumbre

REGLA VIERNER

largo a 31.0±0.25 mm 31.10±0.025 0.806% 0.080%

largo b 31.1±0.25 mm 31.00±0.025 0.803% 0.080%

alto h 12.0±0.25 mm 11.95 ±0.025 2.083% 0.209%

D1 14.5±0.25 mm 14.40±0.025 1.724% 0.173%

D2 6.5±0.25 mm 6.35±0.025 3.843% 0.393%

profundidad ------------ 7.30±0.025 0.342%

A 3416mm2 3412mm2

V 11568mm3 11521mm3a100 31.0±0.25 mm 31.10±0.025 0.806% 0.080%

b100 31.0±0.25 mm 31.00±0.025 0.803% 0.080%

h100 1200±0.25 mm 1195±0.025 mm 0.020% 0.002%

A100 150968 mm2 150347.2mm2V100 1156800 mm3 1152100mm3

Las medidas fueron tomadas de un paralelepípedo, del cual hemos creado este esquema:

6. Cuestionario:

1.- ¿Las dimensiones de un paralelepípedo se puede determinar con una sola medición? Si no, ¿cuál es el procedimiento más apropiado?

Rpta: No, el procedimiento más apropiado sería que varias personas midan las dimensiones del paralelepípedo y se considere como medida más apropiada la que se repite más veces, dado que no todas las personas hacen el mismo uso del instrumento.

2.- ¿Qué es más conveniente para calcular el volumen del paralelepípedo: una regla en milímetros o un pie de rey?

Rpta: Lo más conveniente a nuestro parecer es el pie de rey (Vernier), ya que puede medir 120

m͞m͞ y

presenta mayor versatilidad, puede medir diámetros y profundidades; a comparación de la regla que solo mide hasta 1 m͞m͞ y mide únicamente longitudes.

7. Justificación de resultados: En el proceso del experimento realizado tuvimos varios impedimentos los cuales detallamos a

continuación : Puesto que cada integrante de nuestro grupo ha realizado mediciones individualmente y no

siempre coincidíamos en la medida pudimos haber tomado una medida errónea. Los bordes del paralelepípedo no eran perfectos, por lo que pudimos haber tomado malas

mediciones

8. Conclusiones: Al finalizar el experimento podemos concluir que :

Siempre encontraremos una incertidumbre en nuestras mediciones, por más preciso que pueda ser el instrumento.

Nos dimos cuenta que el pie de rey es mucho más exacto y versátil que la regla milimetrada.