INGENIERIA

INDUSTRIAL

METODOS NUMERICOS TRABAJO SEGUNDA UNIDAD

INTEGRANTES:

ALVAREZ THORNDIKE JIMENA

BOCANEGRA ROJAS CARLA

CABRERA CABRERA KEVIN

DIAZ AVALOS ARTURO

GONZALES ULLOA VICTOR

SARÁCHAGA GRADOS JOSEPH

METODO DE GAUSS

Para un sistema de ecuaciones lineales de “n” variables y “n” ecuaciones:

Si

Solo se puede aplicar el método de GAUSS-SEIDEL si se cumple el criterio de convergencia:

a)

b)

Despejamos las variables :

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De forma general para cada fila “i” , se podría reducir usando sumatorias :

Donde i=1,2,3,….,n.

Donde los valores iniciales se reemplazan en la ecuación (1) :

; Por lo tanto:

Ahora reemplazamos en la ecuación (2) el valor obtenido en la primera iteración y con los

valores iniciales anteriores:

; Por lo tanto:

Donde el ERROR=

Las iteraciones se detienen cuando el ERROR sea menor que la tolerancia dada

NUMERO DE CONDICIONAMIENTO DE UNA MATRIZ

En la resolución computacional de sistema de ecuaciones lineales Ax=b mediante métodos

directos, juega un papel fundamental el numero de condicionamiento de la matriz A; ya

que este determina la precisión alcanzable en la solución calculada. Con frecuencia se

piensa que si la matriz A es mal acondicionada con respecto a la precisión utilizada, si

determinante det(A) es cercano a 0.

Sea un sistema de ecuaciones lineales Ax = b, donde A = (aij) es una matriz cuadrada de

orden n, de coeficientes reales e inversible y b ∈ Rn. Supongamos que este sistema se va a

resolver mediante algún método directo, por ejemplo, el algoritmo de eliminación de

Gauss. Es conocido que la precisión obtenible mediante tal método depende en gran

medida del número de condición de A:

Donde indica alguna norma matricial de C; donde también sabemos que :

Como se sabe :

Reemplazamos en la primera ecuación:

Por supuesto que det(A) influye inversamente en la magnitud de cond(A), pero hay que

tomar en cuenta también los otros 2 factores ||A|| y ||AT||, cuyas magnitudes

dependen no solo de los elementos de A en sí, sino también de las posiciones que

ocupen; luego, el problema es en realidad más complejo.

Sea u la unidad de redondeo en la aritmética de punto flotante con que se realizan los

cálculos. Si en dicha aritmética la base es β y la precisión es t, entonces:

u = ½ β1-t si el redondeo es simétrico

u = β1-t si el redondeo es truncado.

Decir que el número de condición de A es pequeño o grande es por supuesto relativo; de

aquí que cobre mucha mayor importancia la definición de matriz mal acondicionada con

respecto a la precisión utilizada, es decir, cuando cond(A) es del orden de u-1.

Conclusiones

El determinante de una matriz puede ser relativamente pequeño, pero no esta

mal acondicionada con respecto a la precisión utilizada.

Resumiendo en general, podemos decir que existe una relación entre número de

condición y determinante de una matriz, pero que el hecho de que este último sea

relativamente pequeño no implica que la matriz sea mal acondicionada con

respecto a la precisión utilizada, y viceversa.

EJERICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

1.

; tol=0.01

SOLUCION:

Método de Punto Fijo Multivariable (con desplazamiento simultáneos ) Primero despejamos una variable en cada una de las ecuaciones :

Aplicamos la condición de convergencia donde se toman como puntos iniciales

Por lo tanto las funciones convergen.

Ahora se realizan las iteraciones , hasta que el error sea menor a la tolerancia dada

n x y error

0 0 0 -------------

1 2 3.6 2 0.2 3 1.897

3 0.5 3.577 0.650

4 0.211 3.570 0.289

5 0.215 3.5993 0.013

6 0.205 3.5991 0.01

La codificación del ejercicio en MATLAB es:

Obteniéndose como resultado :

Método de Newton-Raphson:

Como no tenemos los valores de ; usando el MATLAB graficamos las

funciones :

Obtenemos la siguiente gráfica :

La gráfica nos ayuda a poder seleccionar los punto iniciales para las iteraciones ,

reemplazamos en y obtenemos las primeras respuestas:

Ahora si reemplazamos con obtendremos las otras 2 raíces :

2.

Método de Newton Raphson :

Primero graficamos :

Tomamos como punto iniciales a (-2,0):

La solución hallada es :

3.

Aplicamos el método de Newton Raphson :

Primero como no tenemos los puntos iniciales graficamos las funciones :

La grafica resulta:

Donde tomamos como valores iniciales a (4,-2)

Insertamos la función en el programa :

Donde la solución es :

OPTIMIZACION

1. EL MOLINO S.A. es una empresa que se dedica a extraer arroz , actualmente

se encuentra ubicada en La libertad. A la vez esta empresa produce dos

clases de arroz: de grano blanco y de grano corto. El precio por kilogramo

al cual podrá vender estos productos depende de la cantidad que fabrique

de cada uno. En particular si LAREDO S.A. produce “a” kilos de arroz de

grano blanco y “b” kilos de arroz de grano corto, podrá vender toda su

producción a los siguientes precios(en soles):

El costo de fabricación de “a” kilos de arroz de grano blanco y “b” kilos de arroz

de grano corto es:

Suponer que se puede vender toda la mercancía que produzca. EL MOLINO S.A.

desea saber cuántos kilogramos de cada tipo de arroz debe programar para la

producción a fin de maximizar sus ganancias. Usa valores iniciales a0=100;

b0=70.

SOLUCION:

Primero determinamos la función de ganancia que está dado por:

Ahora utilizando Matlab hallaremos los kilogramos necesarios de los

tipos de arroz, aplicando el método de Newton –Raphson

(Optimización).

i. Gráfica en Matlab en 3D.

ii. Gráfica en Matlab con líneas de contorno.

iii. Codificacificacion en MATLAB

% METODO DE NEWTON-RAPHSON

iv. Resultado del Procedimiento.

RESPUESTA:

La Ganancia obtenida es de 4 025,00 nuevos soles.

Los kg. Necesarios de Arroz de grano blanco, para maximizar las

ganancias es de 47.8669 kilogramos.

Los kg. Necesarios de Arroz de grano corto, para maximizar las

ganancias es de 17.7433 kilogramos.

2. La trayectoria de un proyectil se puede describir mediante la función

, donde “x” y “y” representan el recorrido del

proyectil y “w” es la altura que puede llegar el proyectil, los proyectiles aun están a

prueba antes de que ofrecerlos al mercado, se necesita hallar la máxima altura que

puede alcanzar el proyectil.

Primero graficamos la función

Analizando la grafica de la función del recorrido del proyectil podemos tomar como valores

iniciales a (0,0)

Insertamos la función en el programa para que podamos hallar el punto máximo del

recorrido.

Donde obtenemos por resultado :