Traccion Simple Calculo Por Elementos Finitos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS DE INGENIERÍA

Índice

Enunciado del Problema............................................................................. 2 Solución...................................................................................................... 3 Grados de Libertad Nodales....................................................................... 4 Vector Carga............................................................................................... 5 Matriz de Rigidez........................................................................................ 7 Ecuación de Rigidez y Condición de Contorno........................................... 8 Esfuerzos y Resultados.............................................................................. 9 Diagrama de Flujo....................................................................................... 10 Uso de Matlab............................................................................................. 11 Conclusiones……………………………………………………………………. 14




PRIMERA PRÁCTICA CALIFICADA

(TRACCION SIMPLE)

ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Para la placa triangular de espesor constante t=150mm. Calcular la constante

de rigidez.

Considerar:




SOLUCIÓN:

1. MODELADO DEL CUERPO REAL

Para la solución del problema se considerara 3 elementos finitos. Para facilidad

en los cálculos, los elementos finitos tendrán longitudes de 750, 500 y 250mm.

mmb

mmb

mmb

333.832

3/500

333.3332

3/500500

7502

5001000

3

2

1

Entonces, el modelado del cuerpo sería el siguiente:




Y las áreas se calculan de la siguiente relación:

txbA 11 Cuadro de conectividad:

e

NODOS GDL le

(mm)

Ae

(mm2) (1) (2) 1 2

1 1 2 1 2 750 112500

2 2 3 2 3 500 50000

3 3 4 3 4 250 12500

2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector Desplazamiento)

A través del grafico se muestran los grados de libertad nodales globales:




Posteriormente se tiene el vector desplazamiento:

mm

Q

Q

QQ

4

3

2

0

Donde Q1= 0 ya que la placa esta empotrada y los demás desplazamientos

son incógnitas que tendrán que tendremos que calcularla.

3. VECTOR CARGA




Ahora se hará un análisis de las fuerzas en cada elemento finito:

1 11 1 1

1 12

2 22

2 23

3 33

3310.82

53310.82

9812

9812

122.62

A

y AxlF R R N

y AxlF P N

y AxlF N

y AxlF N

y AxlF N

3 34 122.6

2

y AxlF N

Y conseguimos las fuerzas en todo el cuerpo de la siguiente manera:

1

1 1 1

1 2

2 2 2

2 3

3 3 3

3

4 4

3310.8

54291.8

1103.6

122.6

F F R N

F F F N

F F F N

F F N

Por consiguiente el vector carga queda determinado de la siguiente manera:

1

1 3310.8 1

2 54291.8

3 1103.6

4 122.6

F R

FF N

F

F

Y queda R1 como incognita, que será calculada posteriormente.




4. MATRIZ DE RIGIDEZ

Haciendo uso del MatLab, se calculará la matriz de rigidez Global de la

siguiente manera:

0000

0000

0011

0011

1l

AEK

i

0000

0110

0110

0000

2l

AE

1100

1100

0000

0000

3l

AE

Solo queda reemplazar los valores calculados anteriormente y haciendo uso de

la tabla de conectividad, se obtendrá lo siguiente:

5

1

1 1 0 0

1 1 0 0112500 3 10

0 0 0 0750

0 0 0 0

i

x xK

5

2

0 0 0 0

0 1 1 050000 3 10

0 1 1 0500

0 0 0 0

x x

5

3

0 0 0 0

0 0 0 012500 3 10

0 0 1 1250

0 0 1 1

x x

Finalmente:

5

450 450 0 0

450 750 300 010

0 300 450 150

0 0 150 150

i

NK x

mm




5. ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO

Se sabe que la ecuación de rigidez está determinada por la siguiente ecuación:

QKF

ii

Si reemplazamos los valores calculados en el paso anterior, obtendremos el

siguiente sistema de ecuaciones en forma matricial:

3310.8 1

54291.8

1103.6

122.6

R

25

3

4

0450 450 0 0

450 750 300 010

0 300 450 150

0 0 150 150

Qx

Q

Q

Para simplificación de cálculos, tomamos la siguiente submatriz:

54291.8

1103.6

122.6

2

5

3

4

750 300 0

10 300 450 150

0 150 150

Q

x Q

Q

Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:

5

2

5

3

5

4

123.37 10

127.46 10

128.278 10

Q x mm

Q x mm

Q x mm

Ahora tomaremos la siguiente submatriz para hallar el valor de la reacción en

el empotramiento:

4

3

25

0

005.5625.5621017.2647

Q

Q

QxR

Resolviendo obtenemos:

1 58828.8R N




6. ESFUERZOS

Con los resultados obtenidos hasta el momento podemos calcular sin ningún

problema los esfuerzos, haciendo uso de la siguiente ecuación:

1

1 1

e

ie

i

QE

Ql

Y obtenemos lo siguiente:

5

5

1 1 2

1

03 101 1 10 0.49348

123.37750

x Nx

mm

5

5

2 2 2

2

123.373 101 1 10 0.02454

127.46500

x Nx

mm

5

5

31 3 2

3

127.463 101 1 10 0.00984

128.28250

x Nx

mm

7. RESULTADOS Finalmente, los resultados son mostrados en la siguiente tabla:

1 58828.8R N

1 20.49348

N

mm

2 20.02454

N

mm

3 20.00984

N

mm




8. DIAGRAMA DE FLUJO

Establecemos el vector desplazamiento y el vector carga:

0

2

3

4

QQ

Q

Q

; F=

1

1

2 1

3 2

3

2

2 2

2 2

2

A

ALR

AL ALP

AL AL

AL

CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL:

K=

3

3

3

3

3

3

2

2

3

3

2

2

2

2

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

00

0

0

00

L

EA

L

EAL

EA

L

EA

L

EA

L

EAL

EA

L

EA

L

EA

L

EAL

EA

L

EA

INICIO

MODELADO DEL CUERPO REAL

(Se establecen las dimensiones de cada elemento finito y el Cuadro

de Conectividad)

Así mismo introducimos E, 𝛾 y P




TRAFORMACION DE ECUACION MATRICIAL

2

22

22

2

3

23

12

1

AL

ALAL

PALAL

AL

A =

3

3

3

3

3

3

2

2

3

3

2

2

2

2

1

1

2

2

1

1

00

0

00

001

L

EA

L

EAL

EA

L

EA

L

EA

L

EAL

EA

L

EA

L

EAL

EA

4

3

2

1

Q

Q

Q

R

IMPRESIÓN DE RESULTADOS

3214321 ,,,,,, EEEQQQR

Y por último calculamos los esfuerzos:

FIN

9. USO DEL PROGRAMA DE MATLAB

SCRIPT

clc clear all R1=sym('R1'); %DATOS DE ENTRADA b0=1000 %input('Ingrese base superior(mm):') bn=0 %input('Ingrese base inferior(mm):') t=150 %input('Ingrese espesor(mm):') h=1500 %input('Ingrese altura(mm):') n=3 %input('Ingrese numero de elementos finitos:') E=300000 %input('Ingrese modulo de elasticidad(N/mm2):') y=0.00007848 %input('Ingrese densidad(N/mm3):') Pa=50000 %input('Ingrese carga(N):') %CALCULO DE LAS AREAS




le=zeros(n,1); ho=zeros(n,1); bo=zeros(n,1); b=zeros(n,1); a=zeros(n,1);

Fe=zeros(n+1,1); bo(1)=b0; ho(1)=h; for i=1:n if n>i le(i)=input('Ingrese longitud de cada elemento finito(mm):'); b(i)=(bo(i)+bn+(bo(i)-bn)*(ho(i)-le(i))/ho(i))/2; a(i)=b(i)*t; ho(i+1)=ho(i)-le(i); bo(i+1)=2*b(i)-bo(i); else le(i)=ho(i); b(i)=(bn+bo(i))/2; a(i)=b(i)*t;10 end

end disp('Bases(mm):') disp(b') disp('Longitudes(mm):') disp(le') disp('Areas(mm^2):') disp(a')

%calculo de las fuerzas for i=1:n Fe(i)=y*a(i)*le(i)/2; end

for i=1:n+1 if i==1 F(i)=Fe(i); elseif i==n+1 F(i)=Fe(i-1); else F(i)=Fe(i-1)+Fe(i); end end F(2)=F(2)+Pa; disp('El vector de fuerzas(N):') disp(F')

%calculo de la matriz rigidez k=zeros(n+1); for i=1:n x=zeros(n+1); x(i,i)=1;x(i+1,i)=-1;x(i,i+1)=-1;x(i+1,i+1)=1; k=k+(a(i)*E/(le(i)))*x; end disp('La matriz de rigidez es(N/mm):') disp(k)

%calculo de desplazamientos inv(k(2:n+1,2:n+1));




((F(2:n+1))'); Q=inv(k(2:n+1,2:n+1))*((F(2:n+1))'); Q=[0;Q]; disp('Los desplazamientos de los nodos son(mm):') disp(Q)

%calculo de la reaccion k(1,:)*Q; R1=k(1,:)*Q-F(1); disp('La reaccion en el extremo es:') disp(R1)

%calculo de esfuerzos for i=1:n e(i)=(E/(le(i)))*[-1 1]*[Q(i); Q(i+1)]; end disp('Los valores de los esfuerzos son(N/mm^2):') disp(e');

VISTA EN EL COMMAND WINDOW DE MATLAB




10. CONCLUSIONES

Para empezar, quedó demostrado que MatLab es una herramienta muy útil en el

cálculo de las operaciones matriciales que fueron requeridas en varias

oportunidades durante el desarrollo de la solución del problema planteado

Mientras utilicemos más elementos finitos, aumentará la precisión de los cálculos.

Sin embargo hay que tomar un número moderado de nodos, ya que las matrices se

vuelven más engorrosas al ser de orden nxn; donde n es el número de nodos.

Se puede apreciar que las deformaciones en el material son realmente pequeñas, y

que a su vez todas son hacia abajo que es el sentido positivo asumido como

referencia.

Para el ejemplo se prefirió trabajar con milímetros, ya que las deformaciones

serían mejor ser expresadas en ésta unidad.

Los esfuerzos son positivos, lo que indica esfuerzos de compresión para nuestro

sistema de referencia.

Traccion Simple Calculo Por Elementos Finitos

Documents

Transcript of Traccion Simple Calculo Por Elementos Finitos