Transferencia de Masa

2012-08-28-7ª

Transferencia de Masa

Temas a tratar:

# Sistemas diferenciales

1.- Transporte por difusión, esfera;

2.- Transporte por convección, esfera;

3.- Difusión con reacción química homogénea (BSL 18-4)

1.- Ejemplo: flujo difusional isotérmico

Sea una partícula esférica (radio r1) compuesta de varios

materiales, uno de los cuales A es volátil. Dicha partícula esta

rodeada una capa de un material B, de espesor finito (δ=r2 – r1), en

la cual A puede transportarse (A= perfume ; B = aire).

Se requiere obtener el modelo matemático de:

(a) El perfil de la concentración de A en la película estacionaria;

(b) El flux de A en las partes interna y externa de la película;

(c) El flujo de A en las partes interna y externa de la película.

Para simplificar el caso, se supone que:

1) la película de B esta quieta… luego se revisarán otros casos;

2) solamente se transporta A y lo hace por difusión;

3) se conoce la concentración de A (CA) en dos posiciones (CA1 y

CA2 en r1 y r2, respectivamente);

4) el sistema esta en condiciones de estado estacionario.

1) Esquema y sistema coordenado

a) C

A C

Ar ... en: r

2 r r

1

r2

r1

2) Preguntas

(a) Perfil de la concentración de A en la película estacionaria;

(b) Flux de A en las partes interna y externa de la película;

(c) Flujo de A en las partes interna y externa de la película.

b) J

A r

1

... JA

r2

c) ... 1 2

A Ar rQ Q

Coordenadas esféricas

3) Modelo

3.1) Estado estacionario d

0dt

3.2) Isotérmico: sólo balance de masa.

3.3) No hay reacción química: AR 0

3.4) No hay flujo convectivo : v 0

3.5) Simetría respecto a y ; 0 0

3.6) constante ; constante ABD

2

Coordenadas esféricas ( ):

sen

sen sen sen

A A A Ar

22 A A A

AB A2 2 2 2

r, ,

C C C C1 1v v v

t r r r

C C C1 1 1D r R

r rr r r

3.1

3.3

3.4 3.4 3.4

3.5 3.5

... 2AB AA A2

D dCdr 0 C C r

dr drr

2 AdCdr 0

dr dr

a) Para obtener el perfil CA(r) se debe resolver el balance de masa.

2 A1

dCr k

dr

Con las condiciones de frontera:

@

@

A A1 1

A A2 2

C C r r

C C r r

A 1 2

drdC k

r 1

A 2

kC k

r

Aplicando las condiciones límite, se evaluan k1 y k2

1A1 2

1

kC k

r 1

A2 2

2

kC k

r

A1 A2

1 2 1

1 2

C Ck r r

r r

A1 A2 2 12 A1

1 2 1

C C r rk C

r r r

Por lo tanto, el perfil CA(r) que se pide en la pregunta (a) queda:

... (a)

A1 A2

A A1 2 1

1 2 1

C C 1 1C C r r

r r r r

Como: ...1A 2

kC k

r

...

A1 A2 A1 A2 2 11 2 1 2 A1

1 2 1 2 1

C C C C r rk r r k C

r r r r r

(b) Las expresiones de flux de A (JA) en las partes interna (r=r1) y

externa (r=r2) de la película se obtienen aplicando la definición de flux,

tomando en cuenta que el transporte de A es únicamente por difusión y

que el coeficiente de difusividad DAB es constante (independiente de la

posición)

AA ABr

r

dCJ D

dr

Por (a):

A1 A2A 1 2

2

1 2

C CdC r r

dr r r r

A1 A2 1 2A AB 2r

r1 2

C C r rJ D

r r r

(b) Por lo tanto, el flux de A en la parte interna (r=r1) del cascarón

esférico esta dado por:

1

A1 A2 1

r

2A AB 2

1 2 1

C C r rJ D

r r r

(b) Y el flux de A en la parte externa (r=r2) del cascarón esférico es:

2

A1 A2 1

r

2A AB 2

1 2 2

C C r rJ D

r r r

Como se ve, las expresiones de flux de A en las partes interna (r=r1) y

externa (r=r2) de la película son diferentes, aún cuando el sistema esta en

estado estacionario.

Esto se debe a que el área de sección transversal de flujo es diferente

para cada una de ellas.

(c) Para obtener las expresiones del flujo de A (QA) en las partes interna

(r=r1) y externa (r=r2) de la película, se considera que el flujo es igual al

producto del flux por el área de la sección transversal de flujo:

rA rr AQ J A

y el área de flujo es: 2

rA 4 r

Como:

A1 A

r

2 1 2A AB 2

1 2

C C r rJ D

r r r

11

A1 A2 A1 A221 2A AB AB 1 22

1 2 1 2r

1

rr

C C C Cr rQ D 4 4 D r r

r r r r

2

A1 A2

A AB 1 2

1 2r

C CQ 4 D r r

r r

El flujo de A en las partes interna (r=r1) y externa (r=r2) de la película

son iguales,, porque el área de sección transversal de flujo es diferente

para cada una de ellas, y el sistema esta en estado estacionario.

2.- Ejemplo: flujo isotérmico.

Sea el caso de una esfera porosa, que contiene en los poros un material

A; dicha esfera se encuentra en el seno de una atmósfera (ejemplo: aire

caliente) permite el transporte de A.

Se requiere:

i) Plantear (no resolver) el modelo que describe el transporte de A, en

términos de su concentración molar CA;

ii) El perfil de concentración de A cuando el transporte por difusión es

despreciable con respecto del transporte convectivo.

Para simplificar el análisis de este sistema, se considera además que:

1.- el componente A se transporta en la dirección radial;

2.- el componente A se transforma en el producto P en forma

irreversible, de acuerdo a una cinética de primer orden;

3.- el sistema está en condiciones isotérmicas y estado estacionario;

4.- que se conocen la concentración de A y la velocidad del fluido en la

superficie de la gota (CA=CAo y v=v0 en r=r0).

1) Esquema y sistema coordenado

i) Balance molar de A cuando hay transporte difusivo y convectivo

r

r0

2) Preguntas

i) Plantear (no resolver) el modelo que describe el transporte de A, en

términos de su concentración molar CA;

ii) Obtener el perfil de concentración de A cuando el transporte por

difusión es despreciable con respecto del transporte convectivo.

Coordenadas esféricas

ii) C

A C

Ar ... en: r

2 r r

1 ... cuando domina el transporte convectivo

3.1) Estado estacionariod

0dt

3.2) Isotérmico: ... balances de masa y momentum

3.3) Flujo convectivo unidireccional, en : ; ; rr v 0 v 0 v 0

3) Modelo (restricciones)

3.4) Simetría respecto de y de : y 0 0

3.5) y son constantes (coeficientes difusionales)ABD

3.6) Cinética de primer orden irreversible: A AR kC

2

Simplificación del balance de masa; coordenadas esféricas ( ):

sen

sen sen sen

A A A Ar

22 A A A

AB A2 2 2 2

r, ,

C C C C1 1v v v

t r r r

C C C1 1 1D r R

r rr r r

3.1 3.3 y 3.4 3.3 y 3.4

3.4 3.4

2A Ar AB A2

dC dC1 dv D r kC 0

dr dr drr

con: y @ y @ Ar 0 A Ao 0

dCv v C C r r 0 r

dr

i) El modelo que describe el transporte de A, en términos de su

concentración molar CA, cuando puede haber transporte por convección y

difusión es el siguiente:

ii) Para obtener el perfil de concentración de A cuando el transporte por

difusión es despreciable con respecto del transporte convectivo (DAB≈0),

se simplifica el modelo anterior (i) y se resuelve el modelo resultante:

... 2

0Ar A r 02

rdCv kC v v

dr r

del balance de momentum: 2

0r 02

rv v

r

con: y @ r 0 A Ao 0v v C C r r 2

0 A0 A2

r dCv kC

drr

es el perfil deseado (ii)

3 3

0

A Ao 2

0 0

k r - rC C exp

3r v

A

Ao 0

C r

2A

2

A 0 0C r

dC kr dr

C r v

con: y @ A Ao 0r 0 C Cv v r r Como: 2

0 A0 A2

r dCv kC

drr

3. Ejemplo Difusión con reacción química homogénea (BSL 18-4)

Este ejercicio consiste en considerar que se tiene una película

estacionaria (espesor L… interfase), en cuyo seno una especie A se

transporta por difusión, y se transforma irreversiblemente en un

producto B con una rapidez de reacción que es de primer orden respecto

a la concentración molar de A (CA); la interfase esta soportada en la

superficie del sólido, pero A no reacciona en dicha superficie.

Suponiendo que el sistema se encuentra en condiciones isotérmicas y

en estado estacionario, y que la concentración molar de A en el fluido

que fluye (bulk) encima del sólido se mantiene constante (CA= CA0), se

quiere obtener las expresiones de:

1) El perfil de la composición que tiene la película estacionaria, en

términos de la fracción molar de A (XA);

2) El flux de A, también en términos de XA.

Plawsky, Figura 2.12a. Sistema coordenado: cartesiano

2 2 2

A A A A A A Ax y z AB A2 2 2

C C C C C C Cv v v D R

t x y z x y z

Esquema (BSL, Fig. 18.4-1)

Sistema coordenado: cartesiano

2 2 2

A A A A A A Ax y z AB A2 2 2

C C C C C C Cv v v D R

t x y z x y z

Modelo (restricciones)

1) Edo est: d

0dt

2) Transporte unidireccional: z

5) Condición límite: A A0C C @ z 0

3) Transporte por difusión únicamente

4) Reacción irreversible, de primer orden: Ar kC

De acuerdo con las restricciones del caso, el balance de masa en la

pastilla queda: 2 2 2

A A A A A A Ax y z AB A2 2 2

C C C C C C Cv v v D R

t x y z x y z

2

AAB A2

d CD kC

dz

Con las condiciones límite siguientes:

en ; en en AA A0 A finito

dCC C z 0 C C z L 0 z L

dz

Como: 2

AA2

d CD kC

dz

Considerando los términos adimensionales siguientes:

; AA A0

A0

C zf C C f Y z LY

C L

2

A0A02 2

DC d fkC f

L dY

Con las condiciones límite: en ; en df

f 1 Y 0 0 Y 1dY

en ; en AA A0

dCC C z 0 0 z L

dz

Utilizando el módulo de Thiele: 2

2 L k

D

2

2

2

d ff

dY

Como: 2

2

2

d ff

dY

La solución es de la forma: 1 2f C cosh Y C senh Y

Aplicando la condición a la frontera:

en df

0 Y 1dY

en f 1 Y 0

1 21 C cosh 0 C senh 0 como: y senh 0 0 cosh 0 1

2f cosh Y C senh Y 1C 1

como: 2

dfsen h Y C cos h Y

dY

20 senh C cosh

2

senhC

cos h

senhf cosh Y senh Y

cos h

La otra constante C2 se determina utilizando la otra condición límite:

como:

sen hf cosh Y senh Y

cos h

cos h cosh Y senh senh Yf

cos h

cos h 1 Yf

cos h

como: ; cos h cos h cos h Y cos h Y

cos h cosh Y sen h senh Yf

cos h

como: cos h cosh Y senh senh Y cos h Y

A A0

cos h 1 z LC C

cos h

como: ; A

A0

C zf Y

C L

con: 2

2 L k

D

como: A A0

cos h 1 z LC C

cos h

como: y ; es constanteA A A0 A0C Cx C Cx C

A A0

cos h 1 z Lx x

cos h

Debido a que el transporte de A es únicamente por difusión, la expresión

del flux se obtiene con:

= A AA AM AMz

z z

dC dxN D D C

dz dz

A0A

A0

cos h 1 z L xdx dx senh 1 z L

dz dz cos h cos h L

AM A0A

A AM AM A0z 00

senh D CdxN D C D Cx tanh

dz L cos h L

A A0

cos h 1 z LC C

cos h

A A0

cos h 1 z Lx x

cos h

AM A0A z 0

D CN tanh

L

Las expresiones del perfil de la composición (en términos de la

concentración y fracción molar) y el flux de A son:

Transferencia de Masa

Fin de 2012-08-28-7ª