Transformada de Fourier

Serie de Fourier (I) Las series de Fourier describen señales periódicas

como una combinación de señales armónicas

(sinusoidales).

Con esta herramienta podemos analizar una señal

periódica en términos de su contenido de

frecuencias o espectro.

Nos permitió establecer la dualidad o equivalencia

entre tiempo y frecuencia de forma que

operaciones realizadas en el dominio del tiempo

tienen su dual en el dominio de la frecuencia.

Serie de Fourier (II)

La forma exponencial de la serie de Fourier

describe una función periódica de período T

y frecuencia fundamental de la

siguiente manera:

00 22

fT

π=π=ω

( )tf

( )

++++++=

==

ωωω−−

ω−−

+∞

∞−

ω∑tjtjtjtj

tjnn

eCeCCeCeC

eCtf

0000

0

22101

22

Cálculo de los coeficientes:

La potencia contenida en una señal puede

evaluarse a partir de los coeficientes de su

correspondiente serie de Fourier.

( )∫ ω−=T

tjnn dtetfT

C0

01

Relación de Parseval:

( ) ∑∫+∞

∞−

== 2

0

21n

T

f CdttfT

P

Espectro de señales periódicas: los coeficientes

son los coeficientes espectrales de la señal

La gráfica de esos coeficientes en función de n

(índice armónico) o de la frecuencia se

denomina espectro.

Tenemos dos tipos de gráficos, uno de magnitud

o amplitud con los y otro de fase

La función como la función son

funciones discretas de la frecuencia.

nC ( )tf

0ω=ω n

nC ( )nφ

nC ( )nφ

Forma de la señal

Espectro discreto de amplitud

( )tf

2a− 2

a

2T− 2

T t

0V

10

120

1

=

=

T

a2

1=T

a

π=π=π=ω 2022

1010 T

20V

π−ω−402 0

nC

0π

ω402 0 0ωn

Forma de la señal

Espectro discreto de amplitud

( )tf

2T− 2

T t

4

120

1

=

=

T

a5

1=T

a

π=π=π=ω 822

410 T

2a− 2

a

50V

π−ω−405 0

nC

0π

ω405 0 0ωn

πω8010 0

π−ω−8010 0

Forma de la señal

Espectro discreto de amplitud

( )tf

2T− 2

T t

10

1

2

1

20

1 ===T

aTa π=π=π=ω 4

22

210 T

2a− 2

a

200V

π−ω−4010 0

nC

0π

ω4010 0 0ωn

πω

8020 0

π−ω−

8020 0

Transformada de Fourier (I)

Queremos ampliar el concepto de serie de Fourier

a señales no periódicas.

Podemos visualizar una señal no periódica como

una señal continua de período infinito:

o El espaciado entre frecuencias se aproxima a

cero y es por lo tanto una función continua.

o Los coeficientes disminuyen y tienden a

cero.nC

Transformada de Fourier (II)

Se define la transformada de Fourier de y se

indica como:

Sujeto a la condición suficiente pero no necesaria

de

espectro continuo de

amplitud

espectro continuo de fase

( )tf( )ωF

( ) ( )[ ] ( )∫ ω−

∞−

∞+==ω dtetftfFF tj

( ) ( ) ( )ωφω=ω jeFF

( ) ( )( )ωω=ωφ −

F

F

Re

Imtg 1

( )∫ ∞<∞−

∞+dttf

( ) ( ) ( )ω+ω=ω FFF 22 ImRe

Forma de la señal

Espectro continuo de amplitud

( )tf

t

0 Cuando 0 →ω∞→T

2a− 2

a

( )

><

=2

20

;0

;a

a

t

tVtf

( ) ( )2

20

sena

a

aVtfFFω

ω==ω

aπ2

aπ−2

( )ωF

ω

aV0

Relación entre la serie y la transformada de Fourier

es la función envolvente de

Si tomamos una muestra de a intervalos

regulares la función resultante es el espectro de

amplitud de una señal periódica de período

Es decir, muestrear en el dominio frecuencial se

corresponde con señales periódicas en el dominio

del tiempo.

( )ωF

( )ωFnC

0

10 fT =

0f

Transformada inversa de Fourier para una función

Las expresiones (1) y (2) constituyen el par de

transformadas de Fourier.

La expresión (1) transforma la función en el

dominio del tiempo en su función equivalente en el

dominio de la frecuencia y viceversa.

( )tf

( )ωF

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ωω=

ω=ω

ω

∞−

∞+π

ω−

∞−

+∞

∫∫

deFtf

dtefF

tj

tj

212

1

Algunas propiedades de la transformada de Fourier (I)

1. Linealidad o superposición:

2. Derivada: si

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )ω=ω= 2211 ; FtfFFtfF

( ) ( )[ ] ( ) ( )ω+ω=+ 22112211 FaFatfatfaF

sarbitraria constantes y 21 aa

( )[ ] ( )ω= FtfF

( ) ( )ωω=

Fjdt

tdfF

Algunas propiedades de la transformada de Fourier (II)

3. Cambio de escala o escalonamiento:

4. Desplazamiento en el tiempo:

( )[ ] ( )aa FatfF ω= 1

( )[ ] ( )ω=− ω− FettfF tj 00

factor =a

( )[ ] ( )ω= FtfF

( )[ ] ( )ω= FtfF

Algunas propiedades de la transformada de Fourier (III)

5. Modulación:

a.

b.

6. Convolución: ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )ω=ω= 2211 ; FtfFFtfF

( ) ( )[ ] ( ) ( )ω⋅ω=⊕ 2121 FFtftfF

( )[ ] ( ) real constante; 0 =ωω= FtfF

( ) ( )0][ 0 ω−ω=ω FetfF tj

( )[ ] ( ) ( )021

021

0cos ω+ω+ω−ω=ω FFttfF

Aplicaciones: calculamos la transformada de Fourier de algunas funciones

Forma de la serie:

Espectro continuo de amplitud:

Espectro continuo de fase:

( )

<≥

=α−

00

0

t

tetf

t

te α−

( )tf

t

( )

( )22

1

1

ω+α=ω

ω+α=ω

F

jF

( )

αω−=ωφ −1tg

( )ωφ

( )ωFa1

ωα

α2α3 α4

α− 3 α− 2α 0α− 4

ω

Forma de la serie:

Espectro continuo de amplitud:

( ) ( ) ttptf a 0cos ω⋅=

( )tf

t

( )( ) ( )

0

0

0

0

2sen

2sen

ω+ω

ω+ω

+ω−ω

ω−ω

=ω

aa

F

( )ωF

t0cosω

( )tpa

2a−

2a

t

t

ω

Transformada de Fourier