Transformadas de Laplace aplicadas a sistemas de control
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8/17/2019 Transformadas de Laplace aplicadas a sistemas de control
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TRANSFORMADA DE LAPLACE – Aplicación a la teoría
de control
IntroducciónEl presente trabajo pretende introducir conceptos básicos de la Teoría de
Control Clásica y la aplicación de la Transformada de Laplace para resolver
problemas simples de Sistemas de Lazo abierto.
Transor!ada de LaplaceSi tenemos una función f(t dependiente del tiempo! de"nida para todo t#$!
multiplicamos la misma por un valor y se inte%ra desde cero a in"nito como
se muestra&
e−st
f (t )dt =¿ L {f (t ) }
F (s)=∫0
∞
¿
Si dic'a inte%ral eiste! da como resultado una función de"nida en el
dominio )s*! y la denominamos la transformada de Laplace de la función
ori%inal.
+e la misma forma! la función ori%inal es la transformada inversa de la
función resultante&
L−1{ F (s)}=f (t ) Con esta 'erramienta! se resuelven ecuaciones diferenciales
y problemas de valor inicial si%uiendo los pasos&
• ,rimer paso& transformamos la ecuación )difícil* en una ecuación
simple (llamada subsidiaria• Se%undo paso& resolvemos la misma simplemente con ecuaciones
al%ebraicas• Tercer paso& la solución de la ecuación se obtiene al aplicar la
transformada inversa de la ecuación -ue ya fue trabajada.
Este cambio de operaciones de cálculo a operaciones al%ebraicas se
denomina cálculo operacional.
Transor!ada de la deri"ada de #t$En trminos %enerales! la derivación de funciones corresponde a la
multiplicación de transformadas por )s*.
Si f(t es continua para t#$ y derivable y eiste su transformada de Laplace!
esta es&
L {f ' }=s L {f }−f (0)
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,odemos etenderlo a la se%unda derivada
L {f ' ' }=s L {f ' }− f ' (0 ) L {f ' ' }=s (s L {f }−f (0) )−f
'
(0 ) L {f ' ' }=s2 L {f }−s f (0 )−f
'
(0 )
/inalmente! si la función es derivable n veces! su transformada será
L {f n }=sn L { f }−sn−1 f ( 0)−sn−2
f '
(0)−(… )−f n−1
(0)
Linealidad de la transor!ada de Laplace+ecir -ue es una operación lineal! es a"rmar -ue para cual-uier par de
funciones f(t) y g(t)! cuyas transformadas eistan! y cual-uier par de
constantes a y b! se cumple&
L {a f ( t )+b g (t ) }=∫0
∞
e−st (a f (t )+b g( t )) dt L {a f ( t )+b g (t ) }=a L {f (t )}+b L {g(t )}
Con"oluciónSi bien la adición de transformadas no presenta nin%0n problema como ya
se mostró! la multiplicación de las mismas no es tan simple. La
transformada de la multiplicación de funciones! por lo %eneral! no es i%ual al
producto de sus transformadas
Si f (t ) g(t )=h(t ) L {f (t )} L {g(t )}≠ L {h(t )}
,ara resolver este problema! utilizamos el teorema de la Convolución& si dos
funciones f(t) y g(t) presentan sus transformadas / y 1! el producto de las
mismas será 23/1! donde 2 es la transformada de la convolución de las
primeras! h(t)
h( t )= ( f ∗g ) (t )=∫0
t
f (τ )g(1−τ )dτ
Siste!as de controlEl control automático 'a sido vital en el avance de la in%eniería y la ciencia
y se lo puede encontrar como una parte inte%ral de sistemas de ve'ículos!
sistemas robóticos! procesos industriales modernos y cual-uier proceso -ue
re-uiera controlar la temperatura! 'umedad! presión! 4ujo! entre otros.
El primer trabajo si%ni"cativo fue el re%ulador de velocidad centrífu%o de
5ames 6att para su má-uina de vapor! en el si%lo 78999. 8arios aportes
fueron realizados en a:os posteriores! 'asta -ue alrededor del ;
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in%enieros desarrollar sistemas lineales en lazo cerrado -ue cumplían los
re-uisitos de comportamiento. Estos mtodos son n0cleo de la teoría de
control cl%sica. En %eneral! estos sistemas son aceptables! pero no
óptimos. >demás! la misma contempla sistemas con una sola entrada y
salida.
2acia ;
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perturbaciones. Bn ejemplo simple es la lavadora! ya -ue todas sus
tareas son funciones solamente del tiempo no mide la limpieza de la
ropa.• Sistema de lazo cerrado& son a-uellos en los -ue se mantiene una
relación entre la salida y la entrada de referencia! comparándolas y
utilizando la diferencia como medio de control. Son llamados tambinsistemas retroalimentados. Se alimenta al controlador con la se:al de
error de actuación con el "n de reducir el error y llevar la salida a un
valor deseado.
Modelo !ate!%ticoBn modelo matemático de un sistema dinámico se de"ne como un conjunto
de ecuaciones -ue representan la dinámica del sistema con una precisión
su"cientemente aceptable. Bn mismo sistema puede tener varios modelos
diferentes! como consecuencia de -ue puede ser representado de muc'as
maneras diferentes! dependiendo de cada perspectiva.La dinámica de muc'os sistemas se de"ne con la ayuda de ecuaciones
diferenciales! obtenidas de la aplicación de principios -ue %obiernan el
sistema en cuestión (leyes de @eDton para sistemas mecánicos! leyes de
irc'oF para sistemas elctricos! etc. En estos casos tambin se asume
válido el principio de causalidad! estableciendo -ue las salidas son
dependientes solamente de las entradas pasadas (no de entradas futuras.
@ormalmente! debe ele%irse entre simplicidad y precisión al momento de
modelar un sistema. >l obtener un sistema razonablemente sencillo! debe
tenerse en cuenta -ue la precisión de los resultados será menor! puesto -ue
al simpli"car el planteo se consideran despreciables ciertos fenómenos opropiedades. Si los efectos de los mismos son realmente poco importantes!
los resultados tendrán una buena precisión. ,ara mejorar la misma!
deberían tenerse en cuenta todos los fenómenos y la posible no linealidad
de las ecuaciones. @o obstante! es preferible -ue al plantear un problema!
primero se realice un modelo simple para tener una idea de la solución y
lue%o comenzar a considerar los demás factores.
Bn sistema se denomina lineal si cumple con el principio de superposición.
Es decir! -ue la respuesta producida por m0ltiples entradas puede ser
considerada como la suma de las respuestas de cada entrada! analizada de
manera independiente.>l mismo tiempo! los sistemas lineales pueden ser invariantes en el tiempo.
Es decir! las ecuaciones diferenciales -ue ri%en el fenómeno poseen
coe"cientes -ue son constantes para todo el tiempo (como los circuitos
elctricos en r%imen estacionario. Si dic'os coe"cientes están en función
del tiempo! se dicen -ue son lineales variantes en el tiempo (como una nave
espacial! en el -ue la masa varía de acuerdo al consumo de combustible!
-ue aumenta su velocidad.
Función de transerenciaBna función de transferencia es un modelo matemático -ue relaciona! en un
sistema lineal invariante en el tiempo! la respuesta de un sistema con la
entrada! a travs de un cociente entre la transformada de Laplace de la
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salida (función respuesta y la entrada (función de ecitación. Es un mtodo
operacional para relacionar la variable de salida con la de entrada.
H (s )= Salida
Entrada=
X ( s)
Y (s )+e esta relación podemos determinar el valor de salida
para cada valor de entrada
Y ( s)= H ( s)∗ X ( s)
G lue%o podemos llevarla al dominio del tiempo
Y ( s)
y (t )= L¿¿−1
Es una propiedad del sistema! independiente de la ma%nitud y la naturalezade la entrada o función de ecitación.
Como tan solo relaciona la entrada con la salida! no nos brinda información
sobre la estructura física del sistema.
Esta 'erramienta matemática nos permite probar el sistema para distintas
entradas y poder determinar su estabilidad.
Los sistemas pueden presentar H condiciones&
• Estable
• Críticamente estale• 9nestable
La estabilidad puede ser analizada en función de los polos de la función de
transferencia. Estos son los valores -ue 'acen cero el polinomio del
denominador y pueden ser&
• Aeales distintas
• Aeales i%uales
• Complejas y conju%adas
Si las raíces son reales y ne%ativas! o complejas pero con la parte realne%ativa! el sistema será estable.
E(e!plos pr%cticos
)*Siste!a !ec%nicoB3 /uerza eterna
Consideramos una distancia positiva desde tierra 'acia arriba
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V != ! i (t ) V L= L d
d t i (t ) V C =
1
C ∫ i( t ) dt
>plicamos la ley de irc'oF de voltaje en malla y resulta
V !+V L+V C =Ve ! i( t )+ L d
d t i (t )+
1
C ∫ i(t ) dt =Ve
>plicamos la transformada de Laplace
L (s " ( s)−i (0 ) )+ ! " ( s)+ " ( s)
sC =Ve (s ) " ( s )( Ls+ !+ 1Cs )=Ve ( s) " ( s ) ( LC s2+ !Cs+1 )=Ve ( s) Cs
Entonces! la función de transferencia de este sistema es
" ( s)
Ve ( s)=
Cs
( LC s2+ !Cs+1 )
-*Siste!a .idr%ulico de ni"el de lí/uidoConsideramos el 4ujo a travs del tubo -ue sale del tan-ue. Si
consideramos el 4ujo como laminar podemos plantear un modelo lineal para
describir el sistema. ,rimeramente tenemos -ue realizar dos de"niciones&
Resistencia para el 0u(o lí/uido1 se de"ne como el cambio de diferencia
de nivel necesario para producir un cambio en el caudal de salida. La
relación entre el caudal en estado estable y la altura estable en el estado de
restricción viene dada por
#= $H I3 Caudal del lí-uido en r%imen laminar
3coe"ciente
23altura en estado estable
!l=
%ambi& de diferen%ia de ni'el
%ambi& de %a(dal =
dh
d)=
H
#
8emos -ue para el r%imen laminar! la resistencia es constante y análo%a a
la elctrica
Capacitancia del tan/ue1 se de"ne como el cambio necesario en la
cantidad de lí-uido almacenado para producir un cambio en una unidad en
el potencial (altura.
C =%ambi& enel &l(men del*)(id& alma%enad&
%ambi&enlaalt(ra
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Considerando el sistema de la "%ura! las variables se de"nen de la si%uiente
manera&
#́ 3Caudal en el estado estable
´ H 3>ltura en estado estable
)i 3pe-ue:a desviación del caudal en la entrada
)& 3pe-ue:a desviación del caudal en la salida
h 3pe-ue:a desviación de la altura a partir de su valor estable
Btilizamos el principio de conservación de masa! y sabemos -ue la
diferencia del caudal a la entrada y a la salida debe ser i%ual a la cantidad
de lí-uido almacenado en ese periodo de tiempo (asumimos la densidad
constante. El tipo de lí-uido -ue entra es el mismo -ue el contenido y -ue
el saliente. Entonces&
Cdh=()i−)& ) dt > partir de la de"nición de resistencia
)&= h !
Entonces! tenemos la ecuación diferencial (con el valor constante de
resistencia
!C dh
dt +h= ! )i
Si aplicamos la transformada de Laplace a ambos trminos y consideramos
valores iniciales nulos
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( !C s+1 ) H ( s)= ! #i (s )
Considerando)i como la entrada y h como la salida! tenemos la función
de transferencia epresada de la si%uiente manera
H (s )
#i (s )=
!
!C s+1
Si decimos -ue)i es la entrada! pero
)& como la salida! tenemos la
función de transferencia
# & (s )
#i (s )
= 1
!C s+1
+onde utilizamos la relación
#&(s )=1
! H ( s)
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