COMISIN DE VINCULACIN ESCUELA NACIONAL PREPARATORIA - COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

FACULTAD DE INGENIERA

Francisco Barrera Garca Bernardo Frontana de la Cruz

Luis Humberto Soriano Snchez

Tania Reyes Ziga Patricio Rosen Robles

Rogelio Gonzlez Zepeda

NDICE PRESENTACIN i INTRODUCCIN ii 1. BREVE HISTORIA DE LA TRIGONOMETRA 1 2. RAZONES TRIGONOMTRICAS DIRECTAS Y RECPROCAS

REFERIDAS A UN NGULO AGUDO 6

2.1 Resolucin de Tringulos Rectngulos 8 Ejemplos 9

3.- FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS COMPLEMENTARIOS 15

Ejemplos 16 Ejercicios propuestos 17

4.- FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS DE 30, 45 Y 60 24

4.1 Funciones trigonomtricas de ngulos mltiples de 30, 45 y 60 28 Ejemplos 31 Ejercicios propuestos 34

5. FUNCIONES TRIGONOMTRICAS PARA UN NGULO CUALQUIERA 37

5.1 Funciones trigonomtricas para un ngulo cualquiera 40 5.2 Funciones trigonomtricas de los ngulos 0, 90, 80, 270 y

coterminales 44 5.3 Equivalencias de las razones trigonomtricas 47

Ejercicios propuestos 49

6. IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS 52 6.1 Pitagricas, recprocas, por cociente, diferencia y suma de ngulos, doble

de un ngulo, semingulo y de ngulos negativos. 52 Ejemplos 55 Ejercicios propuestos 65

7. TRINGULOS OBLICUNGULOS 68

7.1 Ley de los senos 68 7.2 Ley de los cosenos 70

Ejemplos 71 Ejercicios propuestos 82

BIBLIOGRAFA Y REFERENCIAS 87

i

PRESENTACIN Debido a los resultados observados en el examen diagnstico que se aplica a los alumnos de nuevo ingreso desde hace varias dcadas, la Facultad de Ingeniera de la UNAM ha desarrollado una serie de actividades con la finalidad de apoyarlos para que enfrenten con xito las asignaturas curriculares de su carrera. As, se han implantado asesoras temticas y psicopedaggicas con profesores expertos en estos campos, talleres de ejercicios, apuntes, libros y problemarios que contienen los conceptos bsicos de las asignaturas de su Divisin de Ciencias Bsicas. Otra de las acciones relevantes para tal fin es la creacin de la Comisin de Vinculacin de la Facultad de Ingeniera (FI) con el Bachillerato de la UNAM, integrada por profesores de la Divisin de Ciencias Bsicas de la FI, de la Escuela Nacional Preparatoria (ENP) y del Colegio de Ciencias y Humanidades (CCH). Desde sus inicios, en el ao 2000, la Comisin trabaja mediante Subcomisiones en las reas propias de las ciencias bsicas de la ingeniera: Matemticas, Fsica y Qumica; as como en la de Orientacin Vocacional. Algunos de sus resultados, fruto del trabajo de las Subcomisiones, son el diseo del perfil del alumno que ingresa a la Facultad, el cual contiene el anhelo de conocimientos, habilidades, actitudes y valores que los alumnos deben tener y practicar; la elaboracin de la matriz de control para la elaboracin de reactivos que consiste de los contenidos temticos, los objetivos de aprendizaje y niveles taxonmicos de las reas mencionadas; la realizacin de los reactivos para el examen diagnstico; la produccin de Guas de Estudio para el Examen Diagnstico; la realizacin de cursos y diplomados dirigidos a los profesores del bachillerato, diseados conforme a sus requerimientos; entre otros resultados. Conforme al programa de trabajo de la Comisin, en fechas recientes el Colegio de Ciencias y Humanidades public el libro CONCEPTOS, PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE QUMICA y la Escuela Nacional Preparatoria la Gua de Fsica 2006 para preparar el examen diagnstico de los alumnos que ingresan a la Facultad de Ingeniera. Ahora, la Facultad de Ingeniera presenta el primero de cuatro libros del rea de Matemticas que se tienen programados: Trigonometra. Teora y ejercicios. La presentacin, edicin y publicacin de este libro correspondi a la FI; sin embargo, el contenido de sta y las otras obras citadas han sido el fruto del trabajo desarrollado por profesores de las tres entidades de la UNAM que colaboran en las Subcomisiones, a quienes les manifiesto mi agradecimiento. De igual forma, aprovecho para hacer patente mi agradecimiento a las personas que colaboraron en la captura: Margarita Figueroa Martnez del Colegio de Ciencias y Humanidades y Guadalupe Martnez Dvalos de la Facultad de Ingeniera; asimismo a Araceli Gutirrez Garnica por las correcciones en frmulas y figuras e integrar con uniformidad el libro; y a Irene Patricia Valdez y Alfaro por las correcciones finales en frmulas y figuras y por el diseo de la portada. La Comisin aspira que estos y todos los trabajos que realiza animosa y comprometidamente, favorezcan a los alumnos del bachillerato y de la Facultad para que sean de excelencia, como lo ambiciona nuestra Universidad. Bernardo Frontana de la Cruz Coordinador General La Comisin de Vinculacin

ii

INTRODUCCIN La presente obra tiene como finalidad contribuir al conocimiento y estudio de la trigonometra por parte de los alumnos del bachillerato y apoyar a los profesores durante el desarrollo de las asignaturas del rea de Matemticas. Los conceptos se tratan en forma sencilla y con desarrollos tericos breves que se acompaan con un buen nmero de ejemplos que los ilustran y facilitan la comprensin de los temas tratados; adems, en la mayora de los captulos se incluyen ejercicios propuestos, todos con respuesta, con el propsito de que el estudiante verifique los resultados que obtenga y refuerce sus conocimientos y habilidades. Los captulos que abarca esta obra corresponden, en gran medida, a los conceptos de trigonometra bsica que se estudian en el bachillerato. Se inicia con una breve historia de la trigonometra que data del siglo II a.c. en Babilonia y Egipto como resultado de la observacin de las sombras de los rboles y las medidas de los ngulos (captulo 1). El captulo 2 trata los conceptos de razones trigonomtricas directas y recprocas referidas a un ngulo agudo, con las cuales se determinan los ngulos y las longitudes de los lados de tringulos rectngulos; a continuacin, en el captulo 3 se estudian las funciones trigonomtricas de ngulos complementarios y se presenta el anlisis necesario para obtener los valores de las funciones trigonomtricas para los ngulos de 30, 45, 60 y sus mltiplos (captulo 4); este anlisis se extiende en el siguiente captulo al estudio de las funciones trigonomtricas para un ngulo cualquiera, con el fin de determinar los signos de estas funciones en los cuatro cuadrantes y se determinan las equivalencias de las razones trigonomtricas para cualquier ngulo, positivo o negativo. El captulo 6 se dedica al estudio de las identidades trigonomtricas bsicas como lo son las pitagricas, las recprocas, por cociente, de diferencia o suma de ngulos, ngulo doble y semingulo; finalmente, el ltimo captulo corresponde a los tringulos oblicungulos, se deducen las leyes de senos y cosenos y se aplican a la resolucin de tringulos de este nombre. Anhelamos que esta obra realizada con el esfuerzo de profesores de la Facultad de Ingeniera, el Colegio de Ciencias y Humanidades y la Escuela Nacional Preparatoria; sea provechosa para los profesores y estudiantes del bachillerato, y contribuir as a mejorar la preparacin de nuestros alumnos. Los autores Octubre de 2006

1

arco

cuerda

1. BREVE HISTORIA DE LA TRIGONOMETRA

El vocablo Trigonometra tiene su origen en tres palabras griegas: tri-gono-metra, que significan respectivamente tres ngulos medida e indican que, cuando se adopt el nombre, el tema del que principalmente trataba estaba vinculado con las medidas de un tringulo. Es muy probable que los elementos o fuentes de donde surgi la Trigonometra hayan sido las sombras y las cuerdas de arco. La observacin de sombras proyectadas por postes y rboles condujo al estudio de los tringulos semejantes. Los trminos matemticos de cuerda y arco se derivan ambos de la conocida arma antigua.

La historia de la trigonometra empieza en Egipto y Babilonia*. Los Babilnicos establecieron la medida de los ngulos en grados, minutos y segundos. En el siglo II AC el matemtico y astrnomo griego Hipparchus compil una tabla trigonomtrica para resolver tringulos, alrededor del ao 140 A.C. Dicha tabla proporcionaba la longitud de la cuerda subtendida por un ngulo en un crculo de radio r y es equivalente a la tabla de seno. Aunque estas tablas no han sobrevivido, se conoce que Hipparchus escribi doce libros de tablas de cuerdas, lo que lo hace fundador de la trigonometra.

2

Otro brillante matemtico griego que elabor una tabla de cuerdas fue Menelao, aproximadamente 100 aos AC. Menelao trabaj en Roma y escribi seis libros de tablas de cuerdas que se perdieron, pero su trabajo sobre esfricas ha sobrevivido y es el primer trabajo conocido sobre trigonometra esfrica. Menelao tambin demostr una propiedad de tringulos planos y la correspondiente propiedad del tringulo esfrico conocida como el regula sex quantitatum. Tres siglos despus el astrnomo Ptolomeo construy una tabla de cuerdas y utiliz 60 r debido a que los griegos haban adoptado el sistema numrico babilnico en base 60 (sexagecimal). Ptolomeo, junto con los escritores anteriores, utiliz una forma de la relacin

1cos22 xxsen , aunque por supuesto sin utilizar seno ni coseno. Con los autores ms tempranos, us una forma de la relacin basada en cuerdas. Ellos conocan tambin, en trminos de cuerdas, la regla para el seno de la suma de dos ngulos y la ley de senos, que actualmente se expresan:

sen(x + y) = senx cosy + cosx seny

a b csenA senB senC

Inicialmente, Ptolomeo calcul cuerdas inscribiendo polgonos regulares de lados 3, 4, 5 y 6 en un crculo, lo que le permiti calcular cuerdas respectivamente subtendidas por ngulos de 36, 72, 60, 90 y 120. Posteriormente l encontr un mtodo para encontrar la cuerda subtendida por un arco mitad de una cuerda conocida. Esto junto con la interpolacin hizo posible calcular cuerdas con un alto grado de precisin. En su obra Almagesto, Ptolomeo proporcion una tabla de cuerdas de 0 a 180 con variaciones de 1, con una exactitud de 1/3600 de una unidad. En ese libro l dio muchos ejemplos del uso de la tabla para encontrar partes desconocidas de tringulos a partir de ciertos elementos conocidos. Posiblemente, en la misma poca de Euclides, los astrnomos de la India haban desarrollado un sistema trigonomtrico basado en la funcin seno en lugar de la funcin cuerda utilizada por los griegos. Esta funcin seno era la longitud del lado opuesto a un ngulo en un tringulo rectngulo de hipotenusa fija en lugar de ser la razn entre el lado opuesto y la hipotenusa como se conoce hoy. En el siglo octavo los astrnomos musulmanes heredaron las tradiciones griegas e indias dando preferencia a la funcin seno. Al final del siglo dcimo ellos haban completado las otras cinco funciones trigonomtricas, descubrieron y demostraron varios teoremas bsicos de la trigonometra para tringulos planos y esfricos. Todos estos descubrimientos fueron aplicados a la astronoma y para que los musulmanes pudieran encontrar la direccin de la Meca para hacer sus cinco

3

oraciones diarias. Las tablas para seno y tangente con variaciones de 1/60 de un grado fueron exactas con un error menor que una parte en 700 millones. La primera obra occidental sobre trigonometra de gran importancia fue escrita por el matemtico y astrnomo alemn Johann Mller, conocido como Regiomontanus. Su obra De triangulis omnimodis, escrita en 1533, contena trabajos sobre trigonometra plana y esfrica desarrollados cerca de 1464. Posteriormente, el astrnomo alemn Georges Joachim, conocido como Rheticus, public en 1542 las secciones trigonomtricas del libro de Coprnico, De Revolutionibus, proporcionando frmulas importantes para la astronoma de la poca e introduciendo la concepcin moderna de funciones trigonomtricas como razones en lugar de longitudes de segmentos. Tambin escribi tablas de senos y cosenos aunque no las nombr as- que fueron publicadas despus de su muerte. Estas fueron las primeras tablas de cosenos publicadas. El matemtico francs Franois Vite introdujo el tringulo polar en trigonometra esfrica, y estableci frmulas para sen n y cos n en trminos de sen y cos . El primer matemtico en utilizar la notacin sin para seno fue Edmund Gunter en 1624, mientras que el matemtico francs Hrigone fue el primero en usar sin en un libro publicado en 1634. La segunda funcin trigonomtrica ms importante no era conocida como coseno, su nombre era seno versed, versin, que se relaciona con la hoy conocida como coseno mediante la relacin ver sin x = 1 cos x, seno girado de 90. El nombre tangente fue utilizado por primera vez por Thomas Fincke en 1583 y el de cotangente por Edmund Gunter en 1620. La secante y la cosecante no fueron usadas por los primeros astrnomos. Estas fueron reconocidas por sus propiedades cuando navegantes del siglo XV empezaron a preparar tablas. Coprnico oa hablar de la secante que l llam hipotenusa. Vite conoca las relaciones:

1csc x cot xsec x tan x

1 cos x senx

csc x cot x

El trmino trigonometra surgi por primera vez como el ttulo del libro Trigonometra escrito por B. Pitiscus y publicado en 1595. Los clculos trigonomtricos fueron simplificados con la creacin de los logaritmos por el matemtico escocs John Napier a comienzos del siglo XVII. Cerca de medio siglo despus de la publicacin de los logaritmos de Napier, Isaac Newton invent el clculo diferencial e integral y logr representar sen x, cos x, tan x como series de potencias de x.

4

En el siglo XVIII el matemtico suizo Leonhard Euler defini las funciones trigonomtricas en trminos de nmeros complejos y mostr que las leyes bsicas de la trigonometra eran consecuencia de la aritmtica de estos nmeros.

Abraham DeMoivre haba incursionado en este campo y es conocido por su frmula publicada en 1722:

ncos isen cos n isen n Por su parte, Euler en 1748 relacion la base para la exponencial con i y las funciones trigonomtricas seno y coseno:

ie cos isen Johann Bernoulli encontr la relacin entre sen z1 y log z en 1702, mientras que Cotes mostr en un artculo publicado despus de su muerte en 1722 que

ix log cos x isenx , lo que es equivalente a la frmula que Euler demostr posteriormente.

5

Las funciones trigonomtricas hiperblicas, senh, cosh, tanh etc., fueron introducidas posteriormente por Lambert.

6

2. RAZONES TRIGONOMTRICAS DIRECTAS Y RECPROCAS REFERIDAS A UN NGULO AGUDO.

Razn. La razn de un nmero p con otro nmero q distinto de cero, es el cociente que resulta de dividir p entre q; es decir, razn es el nmero que resulta de comparar mediante un cociente dos magnitudes. Razones trigonomtricas. Son las razones que existen entre los lados de un tringulo rectngulo y cambian al variar el ngulo de que se trate; es decir, que las razones son funciones del ngulo. Sea el tringulo rectngulo ABC, con ngulos agudos A y B.

FIGURA 2.1

En este tringulo rectngulo, C es el ngulo recto y c es la hipotenusa; si nos referimos al ngulo agudo A, a es el cateto opuesto, y b es el cateto adyacente al ngulo de referencia. Si en cambio nos referimos al ngulo agudo B, entonces b es el cateto opuesto y a es el cateto adyacente para dicho ngulo.

Las razones que resultan de comparar los lados del tringulo reciben los nombres de seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante; que se expresan en forma abreviada como sen, cos, tan, cot, sec y csc, respectivamente.

Para un ngulo agudo A cualquiera (en particular el de la Figura 1), estas funciones se definen como sigue:

senA = cateto opuestohipotenusa

= ca cscA = hipotenusa

cateto opuesto =

ac

senA = cateto opuestohipotenusa

= ca cscA = hipotenusa

cateto opuesto =

ac

tanA = cateto opuestocateto adyacente

= ba cotA = cateto adyacente

cateto opuesto =

ab

Error!

A

B c

b

a

C

7

El seno, coseno y tangente se conocen como razones trigonomtricas directas, mientras que la cosecante, secante y cotangente se conocen como razones trigonomtricas recprocas. Fracciones recprocas. Dos fracciones son recprocas cuando una resulta de la inversin de los trminos de la otra. El producto de dos fracciones recprocas es igual a la unidad.

32 y

23 son recprocas, ya que

23

32 =

66 = 1

2 y 21 son recprocas, ya que (2) 1

22

21

Si comparamos las seis funciones trigonomtricas de un ngulo, observamos que son recprocas dos a dos.

senA =ca

cosA =cb

tanA =ba

cotA =ab

secA =bc

cscA =ac

Como medio mnemotcnico para recordar con facilidad cules funciones son recprocas, se sealan como se indica.

C

a

B

A

c

b

8

Son recprocas:

senA = ca y cscA =

ac de donde: senA cscA = 1

(1)

senA =Acsc

1 (2)

cscA = senA

1 ...(3)Son recprocas:

cosA = cb y secA =

bc de donde: cosA secA = 1

...(4)

cosA = 1secA

...(5)

secA = 1cosA

...(6)Son recprocas:

tanA = ba y cotA =

ab de donde: tanA cotA = 1

...(7)

tanA = 1cot A

...(8)

cotA = 1tanA

...(9) NOTA: Los nmeros que se citan a la derecha de cada igualdad permitirn elaborar un formulario. 2.1 Resolucin de tringulos rectngulos Al resolver los tringulos rectngulos es importante tener presente que los elementos de un tringulo rectngulo son seis: tres lados y tres ngulos. Cuando en un tringulo rectngulo se conocen, adems del ngulo recto, dos elementos, siendo uno de ellos un lado, es posible calcular el resto de los elementos utilizando las razones trigonomtricas y el teorema de Pitgoras. Teorema de Pitgoras Los catetos y la hipotenusa de todo tringulo rectngulo estn relacionados en la forma:

22 bac en donde

a

c b

9

EJEMPLOS Ejemplo 2.1 Indicar, en los siguientes tringulos rectngulos, la hipotenusa, as como el cateto opuesto y el cateto adyacente respecto al ngulo indicado. a)

b)

c)

Resolucin: a) hipotenusa= m, cateto opuesto=a, cateto adyacente=n b) hipotenusa= o, cateto opuesto=m, cateto adyacente=s c) hipotenusa= w, cateto opuesto=h, cateto adyacente=f Ejemplo 2.2 Determinar las seis razones trigonomtricas para los ngulos A y B del siguiente tringulo rectngulo. Resolucin: Para el ngulo A, el cateto opuesto tiene una longitud

de 7, el cateto adyacente de 24 y la hipotenusa es 25. Entonces:

senA = 257 cscA =

725

cosA = 2524 secA =

2425

tanA = 247 cotA =

724

Para el ngulo B, el cateto opuesto tiene una longitud de 24, el cateto adyacente de 7 y la hipotenusa es 25. Entonces:

senB = 2524 cscB =

2425

cosB = 257 secB =

725

tanB = 724 cotB =

247

A

m

n

a fw

H

h

A

B 25

24

7

C

m

s

M

S

o

10

Ejemplo 2.3 Determina las seis razones trigonomtricas para el ngulo R del siguiente tringulo rectngulo. Resolucin: Por el teorema de Pitgoras:

2 2 23 4 25x , por lo que 5x Entonces:

senR = 53 cscR =

35

cosR = 54 secR =

45

tanR = 43 cotR =

34

Ejemplo 2.4 Determina el valor de:

a) cosA, si se sabe que secA = 53

b) senB, si se sabe que cscB = 45

c) tanM, si se sabe que cotM = 23

Resolucin:

a) cosA =

11 1 31

5 5 53 3

sec A

b) senB =

11 1 51

4 4 45 5

cscB

c) tanM =

11 1 31

2 2 23 3

cotM

Ejemplo 2.5 Una avioneta se eleva a una altitud de 2000 metros, a lo largo de una trayectoria que forma un ngulo de 24 con el suelo. Qu distancia horizontal recorre en este tramo?

R

T x

4

3

S

11

Resolucin: Sea x la distancia horizontal que recorre la avioneta. Es posible plantear una ecuacin que involucre una razn trigonomtrica y la incgnita x, como sigue:

tan 24 = x

2000

al despejar x se tiene:

x = 200024tan

x = 20000 4452.

= 4492

Por lo que la distancia horizontal que recorre la avioneta es de 4492 metros. (Observacin: este problema puede resolverse tambin utilizando cot 24) Ejemplo 2.6 Un telefrico que une a dos cerros recorre 8 metros para elevarse a una altura de 1.5 metros. Si el telefrico viaja a lo largo de una trayectoria recta, cul ser el ngulo de elevacin de esta subida? Resolucin: Sea M el ngulo de elevacin.

senM = 1875.085.1

angsen (senM) = angsen (0.1875) M = 10.807

Ejemplo 2.7 En un rectngulo ABCD, cuyo largo es de 12 cm y cuyo ancho es de 5cm se traza una de sus diagonales. Determinar el valor de las seis funciones trigonomtricas de los ngulos DBC y CDB y por ltimo las medidas de dichos ngulos.

8 1.5

M

2000

x

24

12

Al construir la diagonal BD del rectngulo se forman dos tringulos rectngulos. Si se pone atencin en el tringulo BCD, ya se conocen las longitudes de los catetos BC = 12 cm y CD = 5 cm. Aplicando el teorema de Pitgoras es posible calcular la longitud de la hipotenusa BD: (BD) 2 = (BC) 2 + (CD) 2 (BD) 2 = (12) 2 + (5) 2 (BD) 2 = 144 + 25 BD = 169 BD = 13 Aplicando entonces las definiciones de las seis razones trigonomtricas se tiene que:

senDBC = 135

senCDB = 1312 cscDBC =

513

cosDBC = 1312

cosCDB = 135 cscCDB =

1213

tanDBC = 125

tanCDB = 5

12

cotDBC = 5

12

cotCDB = 125

secDBC = 1213

secCDB = 5

13

D

B C

A

12 cm.

5cm

.

13

Por ltimo, para determinar la medida de dichos ngulos podemos, usando una calculadora, emplear cualquiera de las funciones trigonomtricas inversas, como sigue:

Como senDBC = 135 , entonces:

DBC = angsen 135 = angsen

135 = 22.62

Ejemplo 2.8 Resolver los tringulos rectngulos (es decir, determinar el valor de los tres ngulos y de sus tres lados) a partir de la informacin que se proporciona en los siguientes incisos. Considerar al tringulo ABC que se muestra a continuacin. a) Se conocen el lado b = 20 y A = 32.25. b) Se conocen el lado a = 34.16 y b = 47.39. c) Se conocen el lado c = 30.95 y B = 40.05. Resolucin: a) Datos: a=? A=32.25 b=20 B=? c=? C=90 Clculo de B: Como A+B+C=180 32.25+B+90=180 B+122.25=180 B=180-122.5 B=57.5

Clculo de a: Se utiliza una funcin trigonomtrica que relacione a y b con cualquiera de los ngulos A o B.

Sea tan A=ba

Entonces

tan 32.25=20a

al despejar a: a=20 tan 32.25 a=12.62

Clculo de c: Por el teorema de Pitgoras: c2=a2+b2 entonces

c= 22 ba c= 22 2062.12 c=23.65

C

a

B

A

c

b

14

b) Datos: a=34.16 A=? b=47.39 B=? c=? C=90 Clculo de c: Por el teorema de Pitgoras: c2=a2+b2 entonces

c= 22 ba c= 22 39.4716.34 c=58.42

Clculo de a: Se utiliza una funcin trigonomtrica que relacione a y b con cualquiera de los ngulos A o B.

Sea tan A=ba

Entonces

tan A=39.4716.34

tan A=0.7208 al despejar A: A= angtan 0.7208 A=35.78

Clculo de B: Como A+B+C=180 35.78+B+90=180 B+125.78=180 B=180-125.78 B=54.22

c) Datos: a=? A=? b=? B=40.05 c=30.95 C=90 Clculo de A: Como A+B+C=180 A+ 40.05 +90=180 A+130.05=180 A=180-130.05 A=49.95

Clculo de a: Se utiliza una funcin trigonomtrica que relacione c y a, o c y b, con cualquiera de los ngulos A o B.

Sea sen A=ca

Entonces

sen 49.95=95.30

a

al despejar a: a=30.95 sen 49.95 a=22.96

Clculo de b: Por el teorema de Pitgoras: c2=a2+b2 por lo que b2= c2-a2 entonces

b= 22 ac b= 22 96.2295.30 b=20.75

15

3. FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS COMPLEMENTARIOS

En la figura siguiente, es posible apreciar que en un tringulo rectngulo sen A =cos B, cos A= sen B, tan A = cot B, y as sucesivamente.

senA = ca

senB = cb

cosA = cb

cosB = ca

tanA = ba

tanB = ab

cotA = ab

cotB = ba

secA = bc

secB= ac

cscA = ac

cscB = bc

Para recordar con facilidad cules funciones son complementarias, se sealan como se indica. Si comparamos las funciones de los ngulos agudos A y C del tringulo ABC, tenemos: senA = cosB; tanA = cotB; secA = cscB; y viceversa cosA = senB; cotA = tanB; cscA = secB La suma de los tres ngulos de cualquier tringulo es 180. En un tringulo rectngulo, como el de la figura anterior, que posee un ngulo C de 90, los ngulos agudos A y B deben sumar 180-90=90. Los ngulos cuya suma es 90, se denominan complementarios. Del mismo modo, las funciones senA= cosB; cosA = senB, etc., reciben el nombre de cofunciones. Por otro lado, dado que A+B=90, entonces B=90-A, por lo que: senA = cosB = cos (90 - A) Para las dems funciones trigonomtricas se obtiene:

C

a

B

b

c

A

16

senA = cos (90 - A) ...(10) cosA = sen (90 - A) ...(11) tanA = cot (90 - A) ...(12) cscA = sec (90 - A) ...(13) secA = csc (90 - A) ...(14) cotA = tan (90 - A) ...(15)

EJEMPLOS Ejemplo 3.1 Escribir los enunciados siguientes en trminos de cofunciones: a) sen 58 b) cos 58 c) tan 4030 d) cot 4030 e) sec 1530 f) csc 1530 Resolucin: a) sen 58 = cos 32 b) cos 58 = sen 32 c) tan 4030 = cot 4930 d) cot 4030 = tan 4930 e) sec 1530 = csc 7430 f) csc 1530 = sec 7430 Ejemplo 3.2 Determinar el ngulo cuyo coseno es igual a sen 27. Resolucin: senA = cos (90 - A) sen 27 = cos (90 - 27) = cos 63 El ngulo buscado es 63. Ejemplo 3.3 Si el seno de un ngulo vale 0.525 cunto vale el coseno de su complemento? Resolucin: Dado que el seno de un ngulo es igual al coseno de su complemento, es decir:

sen A = cos (90 - A) Entonces

cos (90 - A) = 0.525

17

Ejemplo 3.4

En un tringulo rectngulo, la secante de un ngulo agudo vale 59

cunto vale la

cosecante del otro ngulo agudo? Resolucin: Dado que la secante de un ngulo es igual a la cosecante de su complemento, es decir:

secA = csc (90 - A) Entonces

csc (90 - A) = 59

Ejemplo 3.5 Si el coseno de 40 es 0.7660 cunto vale el seno de 50? Resolucin: Dado que el coseno de un ngulo es igual al seno de su complemento, es decir

cosA = sen (90 - A) y como 40 y 50 son ngulos complementarios entonces:

cos 40 = sen 50 por lo que sen 50=0.7660 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Indicar, en los siguientes tringulos rectngulos, la hipotenusa, as como el cateto opuesto y el cateto adyacente respecto al ngulo agudo indicado. a)

b) c)

d)

e) f)

s

u

x

S

M t

md

Q

wq

z

P

l p

s

A

mr

a

g

y

R

r

18

Respuestas: a) hipotenusa= s, cateto opuesto=p, cateto adyacente=l b) hipotenusa= m, cateto opuesto=a, cateto adyacente=r c) hipotenusa= d, cateto opuesto=m, cateto adyacente=t d) hipotenusa= u, cateto opuesto=s, cateto adyacente=x e) hipotenusa= g, cateto opuesto=r, cateto adyacente=y f) hipotenusa= w, cateto opuesto=q, cateto adyacente=z 2. Expresar las seis funciones trigonomtricas correspondientes a los ngulos agudos sealados con letras maysculas (dejar las respuestas en forma de fraccin). Determinar tambin la medida de dichos ngulos. a)

b) c)

d)

e) f)

Respuestas:

a) senM =453 , cosM =

456 , tanM =

63 , cscM =

345 , secM =

645 , cotM =

36 ,

M = 26.56

b) senP =526 , cosP =

524 , tanP =

46 , cscP =

652 , secP =

452 , cotP=

64 ,

P = 56.31

c) senA =261 , cosA =

265 , tanA =

51 , cscA =

126 , secA =

526 , cotA =

15 ,

A = 11.31

d) senB =106 , cosB =

108 , tanB =

86 , cscB =

610 , secB =

810 , cotB =

68 , B = 36.87

M 6

3

Q

2524

B

P

4 6

A

5

1

5

4

S

10

8

19

e) senQ =2524 , cosQ =

257 , tanQ =

724 , cscQ =

2425 , secQ =

725 , cotQ =

247 ,

Q = 73.74

f) senS =53 , cosS =

54 , tanS =

43 , cscS =

35 , secS =

45 , cotS =

34 , S = 36.87

En los ejercicios 3 al 6, considerar al tringulo rectngulo ABC con ngulo recto C y cuyos lados miden a, b y c. Calcular la longitud desconocida del lado faltante utilizando el teorema de Pitgoras. Finalmente, obtener las seis razones trigonomtricas del ngulo A (dejar las respuestas en forma de fraccin).

3. a = 5, b = 12, Respuesta:

c = 13, senA =135 , cosA =

1312 , tanA =

125 , cscA =

513 , secA =

1213 , cotA =

512

4. a = 3, b = 5 Respuesta:

c= 34 , senA =343 , cosA =

345 , tanA =

53 , cscA =

334 , secA =

534 , cotA =

35

5. a = 6, c = 7 Respuesta:

b= 13 , senA =76 , cosA =

713 , tanA =

136 , cscA =

67 , secA =

137 , cotA =

613

6. b = 7, c = 12

C

a

B

b

c

A

20

Respuesta:

a= 95 , senA =1295 , cosA =

127 , tanA =

795 , cscA =

9512 , secA =

712 , cotA =

957

7. Responder las preguntas de los siguientes incisos:

a) Si la tangente de un ngulo es 65 cunto vale la cotangente del mismo

ngulo?

b) Si el seno de un ngulo es 54 cunto vale la cosecante del mismo ngulo?

c) Si la secante de un ngulo es 23 cunto vale el coseno del mismo ngulo?

d) Cunto vale el coseno de un ngulo A, si se sabe que la secante vale 8? Respuestas:

a) 56 , b)

45 , c)

32 , d)

81

8. Realizar lo que se solicita en los siguientes incisos:

a) Si senA =54 , expresar cscA.

b) Si cotM = 85 , expresar tanM.

c) Si cosB = 31 , expresar secB.

d) Si cscE =46 , expresar senE.

Respuestas:

a) cscA =45 , b) tanM =

58 , c) secB = 3, d) senE =

64

9. Resolver los tringulos rectngulos (es decir, determinar el valor de los tres ngulos y de sus tres lados) a partir de la informacin que se proporciona en los siguientes incisos. Considerar al tringulo ABC que se muestra a continuacin:

C

a

B

A

c

b

21

a) Se conocen el lado a = 17 y A = 39.43. b) Se conocen el lado b = 47 y B = 54.05. c) Se conocen el lado a = 37.16 y B = 29.23. d) Se conocen el lado b = 4.17 y A = 31.53. e) Se conocen el lado c = 37.14 y A = 13.2. f) Se conocen el lado c = 10.34 y B = 14.5. g) Se conocen los lados a = 24.5 y b = 34.8. h) Se conocen los lados a = 48 y c = 54. i) Se conocen los lados b = 224 y c = 325 Respuestas: a) a=17, b=20.67, c=26.76, A=39.43, B=50.57 y C=90. b) a=34.08, b=47, c=58.05, A= 35.95, B=54.05 y C=90. c) a=37.16, b=20.79, c=42.58, A=60.77, B=29.23 y C=90. d) a=20.96, b=34.17, c=40.08, A=31.53 , B=58.47 y C=90. e) a=8.48, b=36.16, c=37.14, A=13.2 , B=76.8 y C=90. f) a=10.01, b=2.59, c=10.34, A= 75.5, B=14.5 y C=90. g) a=24.5, b=34.8, c=42.56, A= 35.14, B=54.86 y C=90. h) a=48, b=24.74, c=54, A= 62.73, B=27.27 y C=90. i) a=235.48, b=224, c=325, A=46.43 , B=43.57 y C=90. 10. Determinar la altura BC de un edificio, si a 50 metros de su base se coloc un aparato para medir el ngulo de elevacin A que es de 40.5. Considerar la figura siguiente:

Respuesta: BC =42.70 m 11. Desde un barco se ve un faro con un ngulo de elevacin de 12.25. Se sabe que el faro tiene 50 metros de altura sobre el nivel del mar. Calcular la distancia D del barco al faro.

50m A

40.5C

B

22

Respuesta: Distancia D del barco al faro: 230.28 m 12. Determinar el ngulo desconocido en los siguientes incisos: a) csc 38 = secA e) cos 5330 = senE b) tan 67 = cotB f) cot 2750 = tanF c) sen 58 = cosC g) sen 88.5 = cosG d) sec 72 = cscD h) csc 5625 = secH Respuestas: a) A= 52 e) E=3630 b) B=23 f) F=6210 c) C=32 g) G= 1.5 d) D=18 h) H= 3335 13. Escribir cada una de las funciones siguientes en trminos de la cofuncin: a) tan 40 e) tan 35.4 b) cot 35 f) sen 28.7 c) csc 64 g) cos 3330 d) sec 49 h) tan 4610 Respuestas: e) tan 40= cot 50 e) tan 35.4= cot 54.6 f) cot 35= tan 55 f) sen 28.7= cos 61.3 g) csc 64= sec 26 g) cos 3330= sen 5630 h) sec 49= csc 41 h) tan 4610 = cot 4350

14. En un tringulo rectngulo, la tangente de un ngulo agudo vale 73 cunto

vale la cotangente del otro ngulo agudo?

Respuesta: 73

12.25 D

23

15. Determinar la altura h del tringulo que se representa en la siguiente figura.

Respuesta: h=10.39 m 16. Un rectngulo mide 45 cm de base y 24 cm de altura. Calcular el valor del ngulo que forma la base con una de las diagonales. Respuesta: 28.07

40.5

16 m

h

24

4. FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS DE 30, 45 Y 60

En la trigonometra ciertos ngulos, tales como 30, 45 y 60, se presentan con bastante frecuencia en el mbito de las matemticas, que merecen atencin especial. Los valores de las funciones trigonomtricas de dichos ngulos pueden calcularse por medio de ciertas propiedades geomtricas y el Teorema de Pitgoras. Para obtener los valores de las funciones trigonomtricas de 30 y 60, se traza un tringulo equiltero (tringulo cuyos lados y sus ngulos son iguales entre s y, como la suma de los ngulos interiores de un tringulo es de 180, cada ngulo mide 60). Por conveniencia se traza un tringulo cuyos lados midan 2 unidades. Ver la figura 2.1 (a).

FIGURA 4.1 (a). Tringulo equiltero

FIGURA 4.1 (b). Dos tringulos rectngulos con ngulos de 30 y 60

En la figura 2.1 (b) se muestra que si se bisecta un ngulo de este tringulo se forman dos tringulos rectngulos iguales, cada uno de los cuales tiene ngulos de 30, 60 y 90. La hipotenusa de dichos tringulos mide 2, el lado ms corto tiene una longitud de 1. Si x representa la medida del otro cateto, es posible calcular su valor utilizando el teorema de Pitgoras:

2 2 2

2

2

2 14 1

4 1

3

xx

x

x

6060

60

2

2

2

2 2

1

30

1

30

60 60

x x

25

RAZONES TRIGONOMTRICAS PARA EL NGULO DE 30 Para el ngulo de 30, se tiene que:

hipotenusa = 2 cateto opuesto = 1 cateto adyacente = 3

Las 6 razones trigonomtricas para el ngulo de 30 son:

130

2

cateto opuestosen

hipotenusa 230 2

1csc

330

2

cateto adyacentecos

hipotenusa 2 2 330

33sec

1 330

33

cateto opuestotan

cateto adyacente 330 3

1cot

En tan 30 y sec 30, se racionaliz el denominador

De manera similar, para el ngulo de 60 se tiene lo siguiente:

RAZONES TRIGONOMTRICAS PARA EL NGULO DE 60 Para el ngulo de 60, se tiene que:

hipotenusa = 2 cateto opuesto = 3 cateto adyacente =1

Las 6 razones trigonomtricas para el ngulo de 60 son: 3

602

cateto opuestosen

hipotenusa 2 2 360

33csc

1

602

cateto adyacentecos

hipotenusa 260 2

1sec

360 3

1

cateto opuestotan

cateto adyacente 1 360

33cot

En csc 60 y cot 60, se racionaliz el denominador

3

1

302

23

1 60

26

Los valores de las funciones trigonomtricas para 45 se encuentran al trazar un tringulo rectngulo con dos ngulos de 45 cada uno. ste es un tringulo issceles, y por conveniencia se elige que las longitudes de los lados iguales midan 1. Utilizando el teorema de Pitgoras, es posible calcular el valor de la hipotenusa, como sigue:

Por el Teorema de Pitgoras:

222 11 h 112 h

2h

Por lo tanto, se obtiene lo siguiente:

RAZONES TRIGONOMTRICAS PARA EL NGULO DE 45

Para cualquiera de los ngulos de 45, se tiene que:

hipotenusa = 2 cateto opuesto = 1 cateto adyacente =1

Las 6 razones trigonomtricas para el ngulo de 60 son: 1 2

4522

cateto opuestosen

hipotenusa 245 2

1csc

1 245

22

cateto adyacentecos

hipotenusa 245 2

1sec

1

45 1 1

cateto opuestotan

cateto adyacente 145 1

1cot

En sen 45 y cos 45, se racionaliz el denominador

En la tabla siguiente se resumen los valores de las razones trigonomtricas para los ngulos anteriores expresados en grados o radianes. Los valores para los ngulos de 0 y 90, pueden verificarse con una calculadora.

45

45

A C

B

a

1

1

1

h 1

45

45

27

Valores de las funciones de ngulos especiales ngulo

Sen Cos Tan Cot

Sec Csc en grados

en radianes

0 0 0 1 0 No

definida1

No

definida

30 6

21

23

33

3 3

32 2

45 4

22

22

1 1 2 2

60 3

23

21

3 33

2 3

32

90 2

1 0 No

definida0

No

definida 1

28

4.1 Funciones trigonomtricas de ngulos mltiplos de 30, 45 y 60 Podemos calcular cualquier mltiplo de los ngulos de 30, 45 y 60, trazando tringulos en planos cartesianos. Clculo del ngulo de 120

Se traza el tringulo rectngulo ADC con catetos de medida 3 y 1, y con hipotenusa de valor 2, como se muestra en la figura. Dado que 180 - 120 = 60, entonces el ngulo DAC = 60 y como est en el segundo cuadrante del plano cartesiano, las coordenadas del punto C son (-1, 3 ). En consecuencia:

sen 120 = 23

csc 120 = 3

2 = 3

32

cos 120 = -21

sec 120 = -2

tan 120 = - 3

cot 120 = -3

1 = -33

Del ngulo de 135

Se traza el tringulo rectngulo APO con catetos de medida 1 y -1, y con hipotenusa de valor 2 , como se muestra en la figura. 180 - 135 = 45, de donde el ngulo AOP = 45 y como est en el segundo cuadrante las coordenadas del punto P son (-1,1). En consecuencia:

sen 135 = 2

1 = 22

csc 135 = 2

cos 135 = -2

1 = -22 sec 135 = - 2

tan 135 = -1 cot 135 = -1

23

C

-1 AD

12060

Y

X

135

-1

2

O A

1

P

45

Y

X

29

Del ngulo de 150

Se traza el tringulo rectngulo ADO con catetos de medida 3 y 1, y con hipotenusa de valor 2, como se muestra en la figura. 180 - 150 = 30, de donde el ngulo AOD = 30 y como est en el segundo cuadrante las coordenadas del punto A son (- 3 ,1). En consecuencia:

sen 150 = 21

csc 150 = 2

cos 150 = -23

sec 150 = -3

2 = -3

32

tan150 = 3

1 = - 3

3 cot 150 = - 3

En forma semejante podemos calcular las funciones trigonomtricas de los ngulos de 210, 225, 240,300, 315 y 330. En la siguiente tabla se resumen los valores del seno, coseno, tangente, cotangente, cosecante y secante para los ngulos de 30, 45, 60 y sus mltiplos.

1502

1

A

D 3 O

30

Y

X

30

Grados sen cos tan cot sec csc 0 0 1 0 No definida 1 No definida

30 21

23

33 3

332 2

45 22

22 1 1 2 2

60 23 2

1 3 33 2

332

90 1 0 No definida 0 No definida 1

120 23 -

21 - 3 -

33 -2

332

135 22 -

22 -1 -1 - 2 2

150 21 -

23 -

33 - 3 -

332 2

180 0 -1 0 No definida -1 No definida

210 -21 -

23

33

3 -

332

-2

225 -

22 -

22

1 1 - 2 - 2

240 -

23 - 2

1 3 33

-2 -

332

270 -1 0 No definida 0 No definida -1

300 -23 2

1 - 3 -33 2 -

332

315 -22

22 -1 -1 2 - 2

330 -21

23 -

33 - 3

332 -2

360 0 1 0 No definida 1 No definida

31

EJEMPLOS Ejemplo 4.1 Reducir la siguiente expresin utilizando la informacin de la tabla 4sen30 + 2cos60 - 5sen45 + 3tan60 Resolucin: En la expresin anterior slo se sustituyen los valores numricos de las razones trigonomtricas, y se ejecutan las operaciones indicadas, esto es: 4sen30 + 2cos60 - 5sen45 + 3 tan60

=

214 + 2

21 - 5

22 + 3( 3 )

= 24 +

22 -

225 + 3 3

= 2

362524 = 2

392.10071.724 =2321.9 =4.6605

Ejemplo 4.2 Reducir la siguiente expresin utilizando la informacin de la tabla

7sen 2 60 - 5cos 4 30 +3 tan4

Resolucin: La expresin sen 2 A seala que el valor del seno se eleva al cuadrado. Es decir: sen 2 A = (sen A) 2 indica el cuadrado del seno de un ngulo; es diferente a sen(A) 2 que significa el seno del cuadrado de un ngulo. Esto mismo es vlido para cos 2 , tan 2 , sec 2 y el resto de las funciones trigonomricas. Al sustituir los valores de las razones trigonomtricas, se tiene:

7sen 2 60 - 5cos 4 30 + 3tan4

= 72

23

- 54

23

+ 3(1)

= 7

43 - 5

2

43

+3

= 421 - 5

169 +3 =

16484584 =

1687

32

Ejemplo 4.3 Simplificar: 6sen30 cos30 + 8tan30 cos45: Resolucin: 6sen30 cos30 + 8tan30 cos45

= 621

23 + 8

33

22

= 4

36 + 6

238

= 24

2332336

= 24

28934

= 6

2893 = 6

2893 = 6

2893 = 6

314.203 = 5.864

Ejemplo 4.4 Simplificar: 7sen120 +2cos135 - 6cot150 + 3csc135- 4sec240: Resolucin: 7sen120 +2cos135 - 6cot 150 + 3csc135- 4sec240

= 7

23 + 2

22 - 6(- 3 ) + 3 2 - 4(-2)

= 2

1623362237

= 2

162313 = 19.96 Ejemplo 4.5 Efectuar las operaciones indicadas en la siguiente expresin:

22 2 22 2

7 30 60 2 30

60 30

sen tan cot

sen sec

33

Resolucin:

22 2 22 2

7 30 60 2 30

60 30

sen tan cot

sen sec

=

22

2222

332

23

323217

=

9)3(4

43

)3(23417 2

=

)9)(4()4)(9(

3417 2

=

4)9(7 =

463

Ejemplo 4.6 Determinar el valor de x que satisface la siguiente ecuacin: 5x tan30 + 8xsen60 - 3xcos 2 45 = 4tan45 Resolucin: En la ecuacin anterior, se substituyen los valores de las razones trigonomtricas y despus se despeja a la incgnita x: 5xtan30 + 8xsen60 - 3xcos 2 45 = 4tan45 Por lo que tenemos:

5x

33 + 8x

23 - 3x

2

22

= 4(1)

5x

33 + 8x

23 - 3x

2

22

= 4(1)

34

5 3 64 3 43 4

x

4 4 48

5 3 6 20 3 48 3 18 68 3 184 33 4 12

x 48 48 0 481

99 77968 3 18x .

.

EJERCICIOS PROPUESTOS Resolver los siguientes ejercicios a partir de los valores del seno, coseno y tangente de los ngulos vistos en esta seccin. 1. 2 sen45+ 3 tan30 = Respuesta: 2

2. 4 2 cos45+ 5cos60 + 9 3 tan30 = Respuesta: 15.5

3. 3

8 sen60 - 4tan45 + 3

9 tan60 =

Respuesta: 9 4. 8cos30 +2tan30 - 4cot30 = Respuesta: 1.155 5. - 4sen60 +2cos60 - 9tan60 = Respuesta: -18.052 6. 5cos120 -8sec135 + 9 cot150 2sen120 + 4tan225 = Respuesta: -4.507 7. 2tan30+ 5cos60 - 3sen135 + 7tan150 = Respuesta: -2.508. 8. 8cos 2 30 +5sen 2 30 - 2tan 2 60 = Respuesta: -1.25 9. 4tan60 (3cos60+ 2sen45) = Respuesta: 20.190

35

10. 5sen2 60 (8sen 4

+7tan 6

) = Respuesta: 36.369

11. 2 23 30 4 60

2 45 5 45tan cossen cos

Respuesta: -0.943

12. 7cos 26 8 3

2 4sen tan =

Respuesta: 57.75

13. 2

2 2 29 4 36 4 3

cos sen tan = Respuesta: 0.0625

14. 2 2

2

4 36 4

2 22 6

tan cot

sen cos

=

Respuesta: -0.446 15. 5tan30+ 4sen30 - cos 2 60 + 8cot60 = Respuesta: 9.255 16. 2cos 2 120 - 5sen2 45 + 9 tan2 150- 4sec2 315= Respuesta: -7

17.

23 45 304 5 45 2 60

tan cos

sen cos

=

Respuesta: 0.0413

18. sec4 + 2tan

4 + 3cot

6 + 4sen

4 =

Respuesta: 11.439

19. 2 22 30 6 3 60

64 45 2 60

sen cos cos

tan cos

=

Respuesta: -0.5

36

20. 2 24 150 2 45 3 135 3 120

2 135 2 120sen sen cot sec

tan sec

= Respuesta: -1

21.

22

2

45 3 120 5 180 3 270

2 150

sec sec cos cot

sen

=

Respuesta: 81

22.

22 2

2

56 4

3 23 3

tan sen

sen cos

=

Respuesta: 3.143 Para los ejercicios 23 a 30 determinar los valores de x, y z, segn el caso, que satisfacen las ecuaciones correspondientes. 23. xtan30 + 4cos30 = 3sen60 Respuesta: x=-1.5 24. xtan225 + 3sec300 -4cos120 = 7sec60 Respuesta: x=6

25. 45 2 303 60

x cot sencos

= 2tan45 Respuesta: x=2

26. 3 4

4 3

6

sen tan

x cos

= 3cot 6

Respuesta: x=-1.068 27. 2xtan45 - 4xcos60 = xcos30 - 2tan30 Respuesta: x = 1.333 28. ysec60 + 6tan45 = 9sen30 + 2ycsc30 Respuesta: y = 0.75 29. 3zsen30 - 4zcos60 = 5sen0 + 6cos0 Respuesta: z = 12

30. 7xsen60 = 3xtan60 - 2sec6

Respuesta: x = -2.667

37

5. FUNCIONES TRIGONOMTRICAS PARA UN NGULO CUALQUIERA

En el tema anterior se han definido las razones trigonomtricas para ngulos comprendidos entre 0 y 90 (ngulos agudos). En esta seccin se extender la definicin para todos los ngulos. Con este fin se describe la posicin estndar de un ngulo. NGULO EN POSICIN ESTNDAR. Si se introduce un sistema coordenado rectangular o cartesiano, entonces la posicin estndar de un ngulo se obtiene al colocar el vrtice en el origen y hacer que el lado inicial L1 coincida con el semieje positivo X. Su nombre depender del cuadrante en que quede ubicado el lado terminal L2 (ver figura 1)

DEL PRIMER CUADRANTE DEL SEGUNDO CUADRANTE

DEL TERCER CUADRANTE DEL CUARTO CUADRANTE

UN NGULO POSITIVO UN NGULO NEGATIVO

UN NGULO POSITIVO UN NGULO NEGATIVO

FIGURA 1 NGULOS EN POSICIN ESTNDAR

Y

X

L 2

O

Y

X

L2O

L 1

Y

L2 O X

L1

Y

L 2 O X

L 1

38

Ejercicio 5.1 Dibujar cada uno de los siguientes ngulos en posicin estndar. a) 45 b) 570 c) 765 d) 225

Resolucin La cantidad de rotacin y su direccin no est restringida, es posible hacer varias revoluciones en cualquier sentido alrededor del vrtice O antes de llegar a la posicin L2. Debido a esta caracterstica existen muchos ngulos diferentes que tienen los mismos lados inicial y terminal llamados ngulos coterminales. Si es un ngulo cualquiera en posicin estndar expresado en radianes y k es un nmero entero, entonces y + 2k son ngulos coterminales. Convencin: Si el giro se ejecuta en direccin contraria al movimiento de las manecillas del reloj, el ngulo generado se considera positivo y si se realiza en la direccin del movimiento de las manecillas del reloj se considera negativo. Ejercicio 2 Dibujar los siguientes ngulos en posicin estndar y calcular el ngulo comprendido entre 0 y 360 coterminal con cada uno. a) 420 b) 120 c) 900 d) 585 Resolucin

a) b) c) d)

a) b) c) d)

X

Y

45

Y

X

570

Y

X

-765

X

Y

-225

Y

X 420

60

Y

X-120

240

Y

X900

180 Y

X-585

135

60 coterminal con 420 240 coterminal con 120 180 coterminal con 900 135 coterminal con 585

39

DEFINICIONES Si es un ngulo en posicin estndar y P(x, y) un punto cualquiera distinto del origen sobre el lado terminal (ver figura 5.2), entonces:

FIGURA 5.2 De las definiciones anteriores se deduce que los signos de las funciones trigonomtricas para un ngulo cualquiera varan con los de las coordenadas correspondientes al punto P tomado sobre el lado terminal. Ejemplo 5.3 Sea P(5, 12) un punto sobre el lado terminal de un ngulo en posicin estndar. Calcular las razones trigonomtricas de . Resolucin

X

Y

x

y

r

P(x,y)

o

X

Y

P(-5, 12)

x

y r

origen.alPdedistancialaesyxrdonde

yyxcot x

xrsec y

yrcsc

xxytan

rxcos

rysen

22

)0(;)0(;)0(

)0(;;

40

Empezar por localizar el punto y dibujar el ngulo en posicin estndar. Construir el tringulo rectngulo asociado al ngulo y determinar los valores de sus lados. Entonces aplicar las definiciones de las razones trigonomtricas:

2 25 12 5 12 13x ; y r 12 5 5 12 1213 13 13 5 5

y x ysen ; cos ; tanr r x

13 13 13 5 512 15 5 12 12

r r xcsc ; sec ; coty x y

En los siguientes esquemas se presenta el anlisis de los signos de las funciones trigonomtricas para cada cuadrante: 5.1 Funciones Trigonomtricas en los diferentes cuadrantes Funciones Trigonomtricas en el primer cuadrante

En el primer cuadrante todas son positivas

Y

X x

y

P(x,y)

r

y r csc

x r sec

y x cot

x y tan

r x cos

r y sen

0

0

0

0

0

0

41

Funciones trigonomtricas en el segundo cuadrante

Funciones trigonomtricas en el tercer cuadrante

En el segundo cuadrante slo son positivas el seno y

X

Y

P(-x,y)

-x

yr

0

0

0

0

0

0

yrcsc

xrsec

yxcot

xytan

rxcos

rysen

En el tercer cuadrante slo son positivas la tangente y

0

0

0

0

0

0

yrcsc

xrsec

yxcot

xytan

rxcos

rysen

Y

X

- x

-yr

P(-X,-Y)

42

Funciones trigonomtricas en el cuarto cuadrante Los resultados de los signos de las funciones trigonomtricas para cada cuadrante, se resumen en la siguiente tabla:

FUNCIN TRIGONOMTRICA

C U A D R A N T E S 1er.

cuadrante 2.

Cuadrante 3er.

Cuadrante 4.

cuadrante Seno + + - - Coseno + - - + Tangente + - + - Cotangente + - + - Secante + - - + Cosecante + + - -

Ejemplo 5.4 Determinar el signo de: a) sen 290 b) sec 1568 c) csc (581) Resolucin a) 290 es un ngulo del cuarto cuadrante. En este cuadrante, nicamente coseno y secante son positivas, entonces sen 290 < 0. b) 1568 es coterminal con 128, por lo tanto es un ngulo del segundo cuadrante. En este cuadrante, nicamente seno y cosecante son positivas, entonces sec1568 < 0. c) 581 es coterminal con 139, por lo tanto es un ngulo del segundo cuadrante. En este cuadranate, nicamente seno y cosecante son positivas, entonces 0581csc .

Y

X x

-y r

P(x,-y)

0

0

0

0

0

0

yrcsc

xrsec

yxcot

xytan

rxcos

rysen

En el cuarto cuadrante slo son positivas el coseno y la secante

43

Ejemplo 5.5 Si tan > 0 y cos < 0, determinar el cuadrante en el que se ubica el ngulo en posicin estndar. Resolucin Si tan > 0, entonces puede ser un ngulo del primer o tercer cuadrante. Si cos < 0, entonces puede ser un ngulo del segundo o tercer cuadrante. Pero como debe cumplirse simultneamente que tan > 0 y cos < 0, entonces: es un ngulo del tercer cuadrante Ejemplo 5.6 Si sen < 0 y cot < 0, determinar el signo de sec . Resolucin Si sen < 0, entonces puede ser un ngulo del tercero o cuarto cuadrante. Si cot < 0, entonces puede ser un ngulo del segundo o cuarto cuadrante. Pero como debe cumplirse simultneamente que sen < 0 y cot < 0, entonces: es un ngulo del cuarto cuadrante y por lo tanto sec > 0 . Ejemplo 5.7 Si csc = 1.6 y es un ngulo con lado terminal en el tercer cuadrante, determinar los valores de las otras cinco funciones trigonomtricas de . Resolucin Si csc = 1.6 y se localiza en el tercer cuadrante, entonces:

As que: hipotenusa = 8 y cateto opuesto = 5 Usando el teorema de Pitgoras:

Recordar que en el tercer cuadrante los catetos del tringulo que se forma son negativos (ver figura 8) Mediante las definiciones de las funciones trigonomtricas se obtiene:

.

58

10166.1

cateto adyacente = 39 256458 22

539cot 8 sec

58csc

395tan cos sen

539;

398

39;6.1

58

395;

839

839;

85

85

44

5.2 Funciones trigonomtricas de los ngulos 0, 90, 180, 270 y coterminales

Las funciones trigonomtricas de los ngulos 0 + k(90), donde k es un nmero entero, se obtienen usando puntos como los de la figura y las definiciones de las funciones trigonomtricas.

Funciones trigonomtricas del ngulo 0 Con el punto P1(x1, 0) de la figura 10 y las definiciones de las funciones trigonomtricas se obtiene:

2 21 1 11

1 1 1

1 1 1

1

0 0

0 00 0 0 1 0 0

0 0 1 00 0

x x ; y r x x

xy x ysen ; cos ; tan r x r x x x

x x xr r xcsc ; sec ; cot y x x y

Observar que la cotangente y la cosecante son indefinidas para el ngulo 0 Estos resultados se generalizan para los ngulos 0 + k(360), donde k es un nmero entero. Funciones trigonomtricas del ngulo 90 Con el punto P2(0, y2) de la figura 10 y las definiciones de las funciones trigonomtricas se obtiene:

2 22 2 22 2

2 2

2 2

2 2

0 0

090 1 90 0 900090 1 90 90 0

0

x ; y y r y y

y yy x ysen ; cos ; tan r y r y x

y yr r xcsc ; sec ; cot y y x y y

Observar que la tangente y la secante son indefinidas para el ngulo 90

X

Y

P1(x1,0)

P2(0,y2)

P3(-x3,0)

P4(0,-y4)

45

Estos resultados se generalizan para los ngulos 90 + k(360), donde k es un nmero entero. Funciones trigonomtricas del ngulo 180 Con el punto P3(x3, 0) de la figura 10 y las definiciones de las funciones trigonomtricas se obtiene:

2 23 3 33

3 3 3

3 3 3

3

0 0

0 0180 0 180 1 180 0

180 180 1 1800 0

x x ; y r x x

xy x ysen ; cos ; tan r x r x x x

x x xr r xcsc ; sec ; cot y x x y

Observar que la cotangente y la cosecante son indefinidas para el ngulo 180

Estos resultados se generalizan para los ngulos 180 + k(360), donde k es un nmero entero. Funciones trigonomtricas del ngulo 270 Con el punto P2(0, y4) de la figura 10 y las definiciones de las funciones trigonomtricas se obtiene:

2 24 4 44 4

4 4

4 4

4 4

0 0

0270 1 270 0 27000270 1 270 270 0

0

x ; y y r y y

y yy x ysen ; cos ; tan r y r y x

y yr r xcsc ; sec ; cot y y x y y

Observar que la tangente y la secante son indefinidas para el ngulo 270

Estos resultados se generalizan para los ngulos 270 + k(360), donde k es un nmero entero. Los resultados de los valores de las funciones trigonomtricas de los ngulos 0 + k(90), donde k es un nmero entero, se resumen en la siguiente tabla:

46

FUNCIN TRIGONOMTRICA

N G U L O S 0+k(360) con k

90+k(360) con k

180+k(360) con k

270+k(360)con k

Seno 0 1 0 -1 Coseno 1 0 -1 0 Tangente 0 Indefinido 0 Indefinido Cotangente Indefinido 0 Indefinido 0 Secante 1 Indefinido -1 Indefinido Cosecante Indefinido 1 Indefinido -1

Ejemplo 5.8 Calcular: a) sen 810 b) sec (-90) c) tan 540 Resolucin: Empezar por dibujar el ngulo en posicin estndar y seleccionar un punto sobre el lado terminal. Entonces aplicar la definicin de la funcin trigonomtrica correspondiente: a) 810 tiene su lado terminal sobre el eje Y positivo, as que un punto sobre este lado es P(0,1), entonces:

b) 90 tiene su lado terminal sobre el eje Y negativo, as que un punto sobre este lado es P(0, 1), entonces:

indefinida xr sec r y ; x

019011010 22

c) 540 tiene su lado terminal sobre el eje X negativo, as que un punto sobre este lado es P(1, 0), entonces:

)a

X

Y P(0,1)

810

)b

-90 X

Y

P(0,-1)

)c

X

Y

P(-1,0) 540

1118101101;0 22

rysenryx

01

05401010;1 22 xytanryx

47

5.3 Equivalencia de las razones trigonomtricas para cualquier ngulo positivo o negativo con las del primer cuadrante

Ya se ha descrito cmo obtener el signo de las funciones trigonomtricas para ngulos en cualquier cuadrante, slo falta indicar cmo se calcula su magnitud. Para ello se usa un ngulo llamado ngulo de referencia. ngulo de referencia Para un ngulo dado , el ngulo de referencia es un ngulo del primer cuadrante cuyos valores de las funciones trigonomtricas slo pueden diferir en el signo respecto a los de las funciones trigonomtricas de . Y se obtiene reflejando el lado terminal de sobre el eje Y, el origen o el eje X (ver figura 11)

Si es un ngulo entre 0 y 360 inclusive y es el ngulo de referencia de , la forma de calcular es: = , si es un ngulo del primer cuadrante. = 180 , si es un ngulo del segundo cuadrante. = 180, si es un ngulo del tercer cuadrante. = 360 , si es un ngulo del cuarto cuadrante. Si < 0 o > 360 se calcula previamente el ngulo coterminal entre 0 y 360. Ejemplo 5.9 Determinar el ngulo de referencia para cada uno de los siguientes ngulos: a) 300 b) 1845 c) 1230 d) 240

Y

X

Y

X

Y

X

Reflejar el lado terminal de a travs del eje Y para generar .

Reflejar el lado terminal de a travs del origen para generar .

Reflejar el lado terminal de a travs del eje X para generar .

FIGURA 5.3

48

Resolucin: a) 300 es un ngulo del cuarto cuadrante. Entonces el ngulo de referencia es:

= 360 = 360 300 = 60 b) 1845 es mayor que 360, entonces se calcula el ngulo coterminal comprendido entre 0 y 360 :

1845 5(360) = 45 45 es un ngulo del primer cuadrante. Entonces el ngulo de referencia es:

= = 45 c) 1230 es menor que 0, entonces se calcula el ngulo coterminal comprendido entre 0 y 360 :

1230 + 4(360) = 210 210 es un ngulo del tercer cuadrante. Entonces el ngulo de referencia es:

= 180 = 210 180 = 30 d) 240 es menor que 0, entonces se calcula el ngulo coterminal comprendido entre 0 y 360 :

240 + 1(360) = 120 120 es un ngulo del segundo cuadrante. Entonces el ngulo de referencia es:

= 180 = 180 120 = 60 Ejemplo 5.10 Calcular: a) csc 300 b) sen 1845 c) tan (1230) d) sec (240), con el ngulo de referencia. Resolucin: a) 300 es un ngulo del cuarto cuadrante donde la cosecante es negativa y el ngulo de referencia es = 60, entonces:

b) 1845 es un ngulo cuyo lado terminal se localiza en el primer cuadrante donde el seno es positivo y el ngulo de referencia es = 45, entonces:

c) 1230 es un ngulo cuyo lado terminal se localiza en el tercer cuadrante donde la tangente es positiva y el ngulo de referencia es = 30, entonces:

d) 240 es un ngulo cuyo lado terminal se localiza en el segundo cuadrante donde la secante es negativa y el ngulo de referencia es = 60, entonces:

sec (240) = sec 60 = 2

3260300 csc csc

22

21451845 sen sen

33

31301230 tan tan

49

EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Dibujar cada uno de los siguientes ngulos en posicin estndar. a) 210 b) 135 c) 660 d) 1125 2) Calcular el ngulo comprendido entre 0 y 360 que es coterminal con cada uno de los siguientes ngulos. a) 765 b) 930 c) 600 d) 1140 3) Cada punto dado est sobre el lado terminal de un ngulo en posicin estndar. Determinar los valores de las seis funciones trigonomtricas de .

4) Determinar el signo de:

5) Si csc > 0 y cot < 0, determinar el cuadrante en el que se ubica el ngulo en posicin estndar. 6) Si tan > 0 y cos < 0, determinar el signo de sen . 7) Si sen = 0.6 y es un ngulo con lado terminal en el cuarto cuadrante, determinar los valores de las otras cinco funciones trigonomtricas de .

determinar los valores de las otras cinco funciones trigonomtricas de .

10) Determinar el ngulo de referencia para cada uno de los siguientes ngulos: a) 225 b) 1470 c) 780 d) 1305

d c b a

21,

21)32,2)3,1)

22,

22)

tan d secc cot b cos a 1105)735)880)110)

8) Si 415 cos y es un ngulo con lado terminal en el segundo cuadrante,

9) Calcular: cot d tan c senb csc a 810)900)1890)1080)

11) Calcular: cos d csc c senb cot a 1305)780)1470)225) , con el ngulo de referencia.

50

Respuestas de los ejercicios propuestos 1) a) b) c) d) 2) a) 315 b) 210 c) 120 d) 60

3) 4) 5) Si csc > 0 y cot < 0, entonces es un ngulo del segundo cuadrante.

X

Y

210

X

Y

-135

Y

X -660 X

Y

1125

221122

22) csc ; sec; cot ; tan ; cos ; sena

3322

333

21

23) csc ; sec; cot ; tan ; cos ; senb

3322

333

21

23) csc ; sec; cot ; tan ; cos ; senc

221122

22) csc ; sec; cot ; tan ; cos ; send

tan d secc cot b cos a 01105) 0735)0880) 0 110 )

51

35

45

34

4 3

5 4 csc ; sec; cot ; tan ; cos

4 41

541

45

54

41 41 4 csc ; sec; cot ; tan ; sen

cot d tan c senb csc a 810 )0900)11890) 1080 )

d c b a 45)60)30 ) 45 )

6) Si tan > 0 y cos < 0, entonces sen < 0. 7) 8) 9) 10) 11)

45 cos cos d 2 2 1305 )

sen sen b 2 1 30 1470 ) cot cot a 1 45 225 )

csc csc c 3

3 2 60 780 )

52

6. IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS 6.1 Pitagricas, recprocas, por cociente, diferencia y suma de ngulos,

doble en un ngulo y semingulo y de ngulos negativos. Identidad trigonomtrica: Es una proposicin de igualdad en la cual

intervienen funciones trigonomtricas; la igualdad se cumple para todo valor del argumento.

Las Identidades pitagricas son: 2 2 1 sen cos ......... ( 1 )

2 21 tan sec .......... ( 2 ) 2 21 cot csc .......... ( 3 )

Las Identidades recprocas son:

1sencsc

.................. ( 4 )

1cossec

.................. ( 5 )

1tancot

................... ( 6 )

Las Identidades por cociente son:

sentancos

.................. ( 7 )

coscotsen

.................. ( 8 )

53

Las Identidades para la suma y la diferencia de ngulos son:

sen A B sen A cos B cos A sen B ............. ( 9 ) cos A B cos A cos B sen A sen B m ............ ( 10 )

1 tan A tan Btan A B

tan A tan Bm .............................. ( 11 )

Las Identidades para el doble de un ngulo son:

2 2sen sen cos .................................. ( 12 ) 2 22cos cos sen .............................. ( 13 a )

22cos ..................................... ( 13 b ) 21 2sen ...................................... ( 13 c )

12 costancos

.................................. ( 14 )

Las Identidades para el semingulo (mitad de un ngulo) son:

12cossen ............................... ( 15 )

12coscos ............................... ( 16 )

11

cos sentan

sen cos ..................... ( 17 )

54

Funciones trigonomtricas de ngulos negativos

Para obtener ( )sen se hace uso de la identidad: ( )sen a b sena cosb cos a senb

de modo que: ( ) ( 0 )

( 0 ) ( 0 )

sen sen

sen cos cos sen

pero ( 0 ) 0sen y ( 0 ) 1cos por lo que: ( )sen sen ..................... ( 18 ) De manera similar, para ( )cos se tiene:

( ) ( 0 )( 0 ) ( 0 )

cos coscos cos sen sen cos

por lo que: ( )cos cos ......................... ( 19 )

Para determinar (tan se usa la identidad ( 7 ), por lo que: (((

sen sentan tancos cos

Entonces: ( )tan tan ...................... ( 20 ) Para las funciones recprocas se usan las identidades ( 4 ), ( 5 ) y ( 6 ):

1 1((

1 1((

1 1((

csc cscsen sen

sec seccos cos

cot cottan tan

55

Entonces: (csc csc ( 21 )

(sec sec ( 22 )

(cot cot ( 23 ) EJEMPLOS Ejemplo 6.1 Mediante identidades, calcular los posibles valores de , considerando que sen .

Resolucin:

De la identidad ( 1 ): 21cos sen

2 311

2 2

por lo que:

3

302

ang cos o o 330 o o bien:

3

1502

ang cos

o o 210 o

pero 1 02

sen , por lo que el lado terminal del ngulo est en los cuadrantes I o II. Entonces: 30 o o 150 o Ejemplo 6.2 Mediante identidades, calcular lo posibles valores de , considerando que sec .

Resolucin:

De la identidad ( 2 ) : 2 1tan sec

22 1 3

56

por lo que: 3 60ang tan o o 240 o o bien: 3 120ang tan o o 300 o pero 2 0sec , por lo que el lado terminal del ngulo est en los cuadrantes II o III. Entonces, 120 o o 240 o .

Otra forma:

De la identidad ( 5 ): 1 1

2cos

sec

por lo que 1 1202

ang cos

o o 240 o

ya que 2 0sec , por lo que el lado terminal del ngulo est en los cuadrantes II o III. Entonces , 120 o o 240 o .

Ejemplo 6.3 Mediante la identidad ( 9 ), calcular el valor de 15sen o , tomando en cuenta que

1452

sen o , 1452

cos o , 1302

sen o y 3302

cos o . Resolucin: De la identidad ( 9 ): 15 45 30

45 30 45 30

31 1 12 22 2

3 3 11

2 2 2 2 2 2

sen sen

sen cos cos sen

o o o

o o o o

57

Ejemplo 6.4 Mediante la identidad ( 10 ), calcular el valor de 75cos o , tomando en cuenta que

1452

sen o , 1452

cos o , 1302

sen o y 3302

cos o .

Resolucin: De la identidad ( 10 ): 75 45 30

45 30 45 30

31 1 12 22 2

3 3 11

2 2 2 2 2 2

cos cos

cos cos sen sen

o o o

o o o o

Nota: Obsrvese que sen 15 = cos 75, , lo cual se debe a que la funcin coseno es cofuncin de la funcin seno y a que el ngulo 15 es complementario del ngulo 75.

Ejemplo 6.5 Mediante las identidades ( 7 ), ( 9 ) y ( 10 ), calcular el valor de 210tan o . Resolucin: De la identidad ( 7 ):

210210210

sentancos

o

oo ............. ( A )

Utilizando las identidades ( 9 ) y ( 10 ):

58

210 180 30

180 30 180 30

3 1 10 12 2 2

sen sen

sen cos cos sen

o o o

o o o o

210 180 30

180 30 180 30

3 311 02 2 2

cos cos

cos cos sen sen

o o o

o o o o

Se sustituye en ( A ): 1

210 12210210 3 3

2

sentancos

oo

o

Nota: Este valor se puede calcular ms rpidamente mediante la ecuacin (11 ).

Ejemplo 6.6 Mediante la identidad ( 16 ), calcular el valor de 105cos o , tomando en cuenta que

3210

2cos o

Resolucin: De la identidad ( 16 ):

59

1 2101052

31 2 322 4

2 32

coscos

oo

pero el ngulo 105 o tiene su lado terminal en el cuadrante II, por lo que 2 3

1052

cos o .

Ejemplo 6.7 Mediante la identidad ( 13 c ), calcular el valor de 2cos , tomando en cuenta que

35

sen . Resolucin: De la identidad ( 13 c ):

2

2

2 1 2

3 18 71 2 15 25 25

cos sen

Ejemplo 6.8 Mediante la identidad ( 13 b ) calcular el valor de 2cos , tomando en cuenta que

23

cos Resolucin: De la identidad ( 13 b ):

2

2

2 2

2 8 12 1 13 9 9

cos cos

60

Ejemplo 6.9

Calcular el valor de 2sen , tomando en cuenta que 35

sen . Sea un ngulo agudo de un tringulo rectngulo como el que se muestra en la figura

35

cateto opuestosenhipotenusa

x

5 3

Por el Teorema de Pitgoras: 25 9 4x

por lo que cos . De la identidad ( 12 ):

2 23 4 2425 5 25

sen sen cos

Ejemplo 6.10 Mediante la identidad ( 16 ), calcular el valor de 15cos o . Resolucin: De la identidad ( 16 ):

61

311 30 2152 2

2 32 315

4 2

coscos

cos

oo

o

pero el lado terminal del ngulo est en el primer cuadrante, por lo que 15 0cos o . Entonces:

2 315

2cos

o Ejemplo 6.11 Mediante las identidades ( 15 ) y ( 10 ), calcular el valor de 75sen o . Resolucin: De la identidad ( 15 ):

1 15075

2cossen

oo

pero 150 180 30cos cos o o o por la identidad ( 10 ):

150 180 30 180 30

3 311 02 2 2

cos cos cos sen sen

o o o o o

62

Por lo que

31

275

2

31 2 322 4

2 32

sen

o

Pero el lado terminal del ngulo est en el primer cuadrante, por lo que

75 0sen o .

Entonces: 2 3

752

seno .

Ejemplo 6.12 Mediante la identidad ( 7 ), calcular el valor de 15tan o . Resolucin: De la identidad ( 7 ):

151515

sentancos

o

oo

pero, en el ejemplo 3 se obtuvo que : 3 1

152 2

seno

y en el ejemplo 10 se obtuvo que:

2 315

2cos

o

63

por lo que 3 1

2 2 3 115

2 3 2 2 32

tan

o

Nota: Este valor tambin se puede calcular mediante la identidad ( 11 ) , considerando que 15 o es igual a 45 o menos 30 o .

Ejemplo 6.13 Mediante la identidad ( 18 ), calcular el valor de ( 240 )sen o . Resolucin: Por la identidad ( 18 ): ( 240 ) 240sen sen o o Pero

240 ( 240 180 )

360

2

sen sen

sen

o o o

o

Entonces:

3 3( 240 )

2 2sen

o

Ejemplo 6.14 Mediante la identidad ( 19 ), calcular el valor de ( 300 )cos o . Resolucin: Por la identidad ( 19 ): ( 300 ) 300cos cos o o Pero

1300 ( 360 300 ) 602

cos cos cos o o o o

Entonces: 1( 300 )2

cos o

64

Ejemplo 6.15 Mediante la identidad ( 20 ), calcular el valor de ( 135 )tan o . Resolucin: Por la identidad ( 20 ): ( 135 ) 135tan tan o o Pero

135 ( 180 135 ) 45 1tan tan tan o o o o Entonces:

( 135 ) ( 1 ) 1tan o Ejemplo 6.16 Mediante la identidad ( 4 ), calcular el valor de ( 240 )csc o . Resolucin:

Por la identidad ( 4 ): 1( )( )

cscsen

Por lo que:

1( 240 )( 240 )

cscsen

o

o

En el ejemplo 13 se obtuvo:

3( 240 )

2sen o

Por lo que:

1 2( 240 )3 32

csc o

65

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Determinar el valor de , considerando que 12

cos . Respuesta: 60 o o 300 o

2. Calcular el valor de , considerando que 23

csc .

Respuesta: 240 o o 300 o 3. Mediante la identidad ( 10 ), calcular el valor de 15cos o , tomando en

cuenta que:

1602

cos o , 3602

sen o , 1452

cos o y

1452

sen o

Respuesta: 1 3

152 2

coso

4. Mediante la identidad ( 9 ), calcular el valor de 75sen o , tomando en cuenta

que 1452

sen o , 1452

cos o , 1302

sen o y

3

302

cos o

Respuesta: 1 3

752 2

seno

5. Mediante la identidad ( 6 ), calcular el valor de 150cot o .

Respuesta: 150 3cot o

66

6. Mediante la identidad ( 15 ), calcular el valor de 120sen o considerando que 12402

cos o .

Respuesta: 3

1202

sen o

7. Calcular el valor de 2cos , tomando en cuenta que 23

sen .

Respuesta: 2cos

8. Calcular el valor de 2cos , considerando que cos . Respuesta: 2cos

9. Calcular el valor de 2sen , tomando en cuenta que cos .

Respuesta: 2 sen 10. Mediante la identidad ( 15 ), determinar el valor de 15sen o .

Respuesta: 2 3

152

seno

11. Mediante la identidad ( 16 ), determinar el valor de 75cos o .

Respuesta: 2 3

752

coso

12. Mediante las identidades ( 6 ) y ( 17 ), determinar el valor de 15cot o .

Respuesta: 1 3

152 2 3

cot

o

67

13. Calcular el valor de ( 90 )sen o . Respuesta: ( 90 ) 1sen o

14. Calcular el valor de ( 120 )cos o .

Respuesta: 1( 120 )2

cos o 15. Calcular el valor de ( 210 )cot o .

Respuesta: ( 210 ) 3cot o

68

7. TRINGULOS OBLICUNGULOS Hasta este momento nos hemos enfocado principalmente a la resolucin de tringulos rectngulos; Sin embargo, se dispone en este momento de toda la informacin necesaria para resolver tambin tringulos oblicungulos. Un tringulo oblicungulo es aquel que no contiene ngulo recto. En este tipo de tringulos, los tres ngulos son agudos, o bien, dos de sus ngulos son agudos y uno obtuso.

Los datos que determinan un tringulo oblicungulo pueden darse de una de las tres maneras siguientes: a) Dando sus tres lados b) Dando dos ngulos y un lado c) Dando dos lados y un ngulo Para resolver este tipo de tringulos se usan, dependiendo de los datos, la ley de los senos o la ley de los cosenos. 7.1 LEY DE LOS SENOS Sea el tringulo

TRINGULO RECTNGULO TRINGULO OBTUSNGULO

69

A D c B

E

ab

Cc

Trazando las alturas CD y AE se tiene: del tringulo ACD tenemos:

1...

senbCD

bCDsen

TRINGULO ACUTNGULO

Del tringulo BCD tenemos:

2CDsen CD a sen ...a

de )1( y )2( se tiene: bsen asen de donde:

3a b ...sen sen

Por otro lado, del tringulo ACE tenemos:

4AEsen AE bsen ...b

Del tringulo ABE tenemos:

5AEsen AE c sen ...c

de )4( y )5( se tiene: bsen c sen de donde:

6b c ...sen sen

de )3( y )6( se llega a:

70

a b csen sen sen

Ley de los senos o tambin se puede escribir como:

sen sen sena b c Ley de los senos

La ley de los senos tambin puede deducirse partiendo de un tringulo

obtusngulo.

7.2 LEY DE LOS COSENOS Sea el tringulo

B

bC AD

a ch

b - x x

Del tringulo ABD tenemos que:

1xcos ...c

2x c cos ... tambin:

71

c2 = h2 + x2 h2 = c2 x2 ... (3) Por otro lado, del tringulo BCD se tiene: a2 = h2 + (b x)2 ... (4)

sustituyendo )3( en )4( :

22 2 22 2 2 2 2

2 2 2

2

2

a c x b x

a c x b b x x

a b c b x

como x c cos entonces:

cos2222 bccba Ley de los cosenos En forma anloga se puede llegar a que:

cos2cos2

222

222

abbacaccab

Ley de los cosenos

Es conveniente sealar lo siguiente:

La ley de los senos es aplicable directamente cuando se conoce, de un tringulo oblicungulo, dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos, o cuando se conocen dos ngulos y un lado.

La ley de los cosenos es aplicable directamente cuando se conoce, de un

tringulo oblicungulo, dos lados y el ngulo comprendido entre ellos, o cuando se conocen los tres lados.

EJEMPLOS Ejemplo 7.1 Para el tringulo ABC dado en la figura, calcular las partes restantes, si:

a) 41 , y a = 10.5 m b) = 20 , = 31 y b = 210 m c) = 81 , c = 11 m y b = 12 m d) = 60 , b = 20 m y c = 30 m e) = 150 , a = 150 M y c = 30 m f) a = 10 m , b = 15 m y c = 12 m

72

B

b

ac

A C

Resolucin: a) Como 180 180 180 62 Al aplicar la ley de los senos, se tiene:

10 5 10 5 6262 41 41

b . . sensen sen sen

b oo o o 14 13b . m

Por otro lado:

14 1377 62

c .sen sen

o o 14 13 77 15 59

62. senc c . msen

o

o

Finalmente:

7759.156213.14415.10

mcmb

ma

b) Como + + = 180 = 180 - - = 180 - 20 - 31 = 129

73

Al aplicar la ley de los senos, se tiene:

210129 20a

sen seno o

210 129 477 1720

sena a . msen

o

o Por otro lado:

21031 20

csen sen

o o 210 31 316 23

20senc . m

senc

o

o Finalmente:

o477.17 m 129

o210 m 20

o316.23 m 31

a

b

c

c) Al aplicar la ley de los senos, se tiene:

11 12 12 81

81 11

sensensen sen

o

o =

1 08 1 sen . Como el seno de un ngulo debe estar entre -1 y 1, y para el caso que nos ocupa se obtuvo que sen = 1.08, , se puede concluir que con los valores dados no se puede construir un tringulo. d) Como se conocen dos lados y el ngulo comprendido entre ellos, entonces

es aplicable la ley de los cosenos. Se tiene que:

74

2 2 2

2 22

2

2

20 30 2 20 30 60

1300 600

26 46

a b c bc cos

a cos

a

a . m

o

por otro lado:

2 2 2 2 b a c ac cos al despejar:

2 2 2

2 2 22

26 46 30 202 26 46 30

a c bcosac

cos.

.

0 756 0 756

40 89

cos ang cos

o. .

.

al calcular , se tiene: 180

180

180 60 40 89

79 11

.

.

o

o

o o o

o

Finalmente: 26 46 60

20 40 89

30 79 11

a . m

b m .

c m .

o

o

o

75

e) En este caso tambin se puede aplicar la ley de los cosenos.

2 2 2

2 22

2

2

2

150 30 2 150 30 150

23400 7794 23

31194 23 176 62

b a c ac cos

b cos

b .

b . b . m

o

Por otro lado:

2 2 2

2 2 2

2

150 176 62 30 2 176 62 30

a b c bc cos

. . cos

de donde:

2 2 2176 62 30 1502 176 62 30

0 905

0 905

25 18

cos

cos .

ang cos .

. o

..

se sabe que: 180 o al sustituir y , se tiene:

25 18 150 180

180 150 25 18

4 82

.

.

.

o o o

o o o

o

Finalmente:

150 25 18176 62 15030 4 82

a m .b . mc m .

o

o

o

f) Conocidas las longitudes de los tres lados, se puede aplicar la ley de los

cosenos.

76

Se tiene que:

2 2 2

2 2 2

2

10 15 12 2 15 12

a b c bc cos

cos

de donde:

2 2 215 12 102 15 12

0 747

cos

cos .

entonces:

0 747

41 67

ang cos .

. o

Al conocer el ngulo , es posible emplear la ley de los senos o bien, volver a aplicar la ley de los cosenos para determinar o . Empleando la ley de senos, se tiene:

a b

sen sen

al sustituir: 10 1541 67

sen seno. de donde:

15 41 6710

0 997

sensen

sen

o.

.

entonces: 0 997

85 56

ang sen

o.

.

Al obtener se tiene: 180

180

180 41 67 85 56

52 77

. .

.

o

o

o o o

o

77

Finalmente: 10 41 67

15 85 56

12 52 77

a m .

b m .

c m .

o

o

o

Ejemplo 7.2 Cuando un edificio se ve desde un punto A, el ngulo de elevacin es de 41. Cuando se ve desde otro punto B, que se encuentra a 20 m. ms cerca del edificio, el ngulo de elevacin es de 48. Calcular la altura del edificio.

o13241o 48 o

7 o

AB D

ab

C

h ?

c

20 m

Resolucin: Al aplicar la ley de los senos en el tringulo ABC se tiene:

20 4120 107 6641 7 7

sen a a . msen sen sen

Del tringulo BCD se tiene:

48 107 66 48 80 01hsen h . sen h . ma

Ejemplo 7.3 Un avin de reconocimiento que vuela a una altura de 10 000 pies, localiza un barco A a un ngulo de depresin de 37 y a otro barco B a un ngulo de depresin de 21 ( ver figura ). Adems, encuentra que el ngulo que se define al observar ambos barcos es de 130. Calcular la distancia d entre los barcos.

78

C

b a

A B

21o37o

130o 21o37o

D = ?

10 000

Resolucin:

Del tringulo ACD se obtiene: 10 00037 sen

bo b= 10 000

37sen o = 16 616.4 pies.

Del tringulo BCD se obtiene: 10 00021sen

ao 10 000

21a

sen o = 27 904.28 pies.

Dado que se conocen, del tringulo ABC, los dos lados y el ngulo comprendido entre ellos, se debe aplicar la Ley de los cosenos:

2 2 2 2 130 d a b ab cos o 2 227904 28 16616 4 2 27904 28 16616 4 130 . . . . cos o 8 8 87 78648 10 2 76104 10 5 9608 10 . . . 91 65083 10. d= 40 630.44 pies

d

D

79

Ejemplo 7.4 Los puntos A y B de la figura estn situados en orillas distintas de un ro y son inaccesibles desde los puntos x e y. Determinar la distancia AB partiendo de los datos que se dan a continuacin

1L

B

A

X Y

129

32

113

43

A XY

AYX

B YX

B XY

o

o

o

o

S

S

S

S2L 3L

4L

450 m

Resolucin: Del tringulo AXY se obtiene: A = 180 - AXY AYX = 19 Al aplicar la ley de los senos:

22

450 450 129 1074 1719 129 19

L senL . msen sen sen

o

o o o

Del tringulo BXY se obtiene:

180 24B BYX BXY o oS S S Al aplicar la ley de los senos:

44

450 43450 754 5424 43 24

L senL . msen sen sen

Al aplicar la ley de los cosenos

113 32 81AYB o oS 2 2 2 22 2 4 2 42 81 1074 17 754 54 2 1074 17 754 54 81 AB L L L L cos . . . . cos oo

2 1723 171 8 253 581 6 1212 27 AB AB . m. .

80

Ejemplo 7.5 Un helicptero se encuentra suspendido a una altura de 1000 metros sobre la cumbre de una montaa que tiene 5 210 metros de altitud. Desde esa cima y desde el helicptero puede verse la cspide de otra montaa ms alta. Desde la cima de la primer montaa, el ngulo de elevacin es de 18. Desde el helicptero, el ngulo de depresin es de 43 ( ver figura ). Calcular: a) La distancia de un pico al otro. b) La altitud de la cumbre de la montaa ms alta.

1000 m

43

18

Resolucin: a) De la figura se obtiene:

b

A

C

B D

a

47

1000

61

72

18

81

Al aplicar la ley de los senos en el tringulo ABC , se tiene: 1000 471000 836 2047 61 61

sena a msen sen sen

o

o o o .

por lo tanto, la distancia entre los picos es 836.20 m. b) Conocido el valor de = 836 20a m . , del tringulo BCD se tiene:

18 18 836 20 18 258 40 CDsen CD a sen sen ma

o o o. .

por lo tanto, la altitud del pico ms alto es igual a:

5210 258 40 5468 40. . m Altitud Ejemplo 7.6 Una caja rectangular tiene dimensiones de 8 cm por 6 cm de base y una altura de 4 cm, como se muestra en la figura. Obtener el ngulo formado por la diagonal de la base y la diagonal de una cara de 6 cm x 4 cm.

B

A

C

8 cm

4 cm 6 cm

Resolucin: Es necesario calcular la longitud de las diagonales que definen el ngulo , adems de la longitud de la diagonal de la cara de dimensiones 8 cm x 4 cm; con estas tres longitudes se puede aplicar la ley de los cosenos para calcular el ngulo pedido. De esta forma se puede obtener:

82

2 2

2 2

2 2

6 4 7 21

8 6 10

8 4 8 94

AB cm

AC cm

BC cm

.

.

Al aplicar la ley de los cosenos:

2 2 2 2 BC AB AC AB AC cos sustituyendo:

2 228 94 7 21 10 2 7 21 1079 92 51 98