TUBO DE RUBENS

UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJOFACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA PROFECIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

INFORME DE INVESTIGACION“EL TUBO DE RUBENS”

CURSO: FISICA

CICLO - III

AUTORES:

CAPACTINTA BONIFACIO, José Joel

DIAZ CATASI, Dennis Martin

TIPULA TIPULA, Juan Pablo

ASESOR

DOC. CARLOS GONZALES CASTRO

LIMA_PERU

2015

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TUBO DE RUBENS

DEDICATORIA

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Para Dios quien nos brinda

sabiduría, fuerza y salud para poder

seguir en busca del conocimiento,

sabiendo que Él es el más sabio en

todo el universo.

Para nuestros padres por la

comprensión y la confianza puesta

en cada uno de nosotros y

brindarnos el apoyo necesario para

la culminación satisfactoria del

proyecto realizado.

Para nuestro asesor el Lic. Carlos Gonzales Castro por el

apoyo y dirección para ejecutar

la investigación y hacer posible el

contribuir con nuestra formación

tecnológica.

LOS AUTORES

TUBO DE RUBENS

AGRADECIMIENTO

PROYECTO INTEGRADOR PÁGINA 3

A nuestros padres por darnos la

vida y apoyarnos en todo lo que

nos hemos propuesto durante

nuestra educación universitaria.

A nuestros maestros que

comparten con nosotros sus

conocimientos para convertirnos en

unos excelentes profesionales.

TUBO DE RUBENS

PRESENTACION

Señor profesor del curso de física de la Universidad cesar Vallejo ante Ud. Se

presenta el informe que lleva por título: “Tubo de Rubens” proyecto realizado por

alumnos de la facultad de Ingeniería Industrial de la Universidad César Vallejo-Lima

Este”

Con el objetivo de demostrar que cuando el sonido se propaga a través del aire

genera diferencias de presión; el sonido consiste en un movimiento ondulatorio

producido en un medio elástico por una fuente de vibración. La onda es

mecánica de tipo longitudinal cuando el medio elástico en que se propaga el

sonido es el aire y se regenera por variaciones de la presión atmosférica por,

sobre y bajo el valor normal, originadas por la fuente de vibración.

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TUBO DE RUBENS

“TUBO DE RUBENS”

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TUBO DE RUBENS

RESUMEN:En este proyecto se pretende hacer interaccionar la presión de un gas con la

presión que ejerce el sonido dentro de un tubo metálico y observar la forma de

onda que genera diferentes canciones. Para esto se necesita primero ver como es

la forma de onda de una canción en un reproductor, la de un violín y una

guitarra, de esta forma será posible tener un marco de referencia diferente al que

siempre usamos: nuestros oídos, pero ahora con la combustión de un gas el

efecto será visual y desde luego se formaran ondas estacionarias al rebotar el

sonido en uno de los extremos.

El sonido es una onda mecánica y, por este motivo, requiere de un medio para

propagarse. Además, es longitudinal y, por ello, también se conoce por onda de

presión, debido a que cuando viaja por un fluido como el aire genera diferencias

de presión. En la educación científica que se recibe se habla de estas ondas, pero

lo que es percibirla con los ojos nunca. El proyecto que se desarrolla tiene la

intención de advertir la posibilidad de conocer lo que se encuentra dentro de una

onda mecánica. Rubens construyó un tubo que recibe su nombre. El tubo de

Rubens es un simple aparato que es capaz de ilustrar las variaciones de presión

que provoca una onda longitudinal por medio de una transformación a una forma

de onda transversal, visualizada gracias a movimiento de las partículas del gas

propano o butano debido al sonido. Es un tubo con pequeñas perforaciones que

permite la salida del gas que se introduce por una de las aberturas y por la otra se

expone al sonido por medio de una membrana elástica.

El sonido provocará en el gas la aparición de zonas que tendrán mayor

concentración de gas dando lugar a unas llamas más altas y vivas que otras,

zonas donde la onda no presiona y apenas se ve la llama.

Estas llamas nos dibujan la longitud y la frecuencia de la onda sonora.

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TUBO DE RUBENS

ÍNDICE:CAPITULO IINTRODUCCION

1. HISTORIA2. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN3. OBJETIVOS

3.1 Objetivo general3.2 Objetivos específicos

CAPITULO IIFUNDAMENTOS TEORICOS

4. ANTECEDENTES5. HIPOTESIS6. MARCO TEORICO

6.1 El Sonido6.1.1 Presión del Sonido6.1.2 Intensidad del sonido6.1.3 Velocidad del Sonido

6.2 Ondas6.2.1 Ondas Longitudinales6.2.2 Ondas Transversales

6.3Tubo de Rubens7. MATERIALES8. PROCEDIMIENTO

CAPITULO IIIANALISIS E INTERPRETACION DE LA INFORMACION

9. RESULTADOS10. APLICACIONES11. CONCLUSIONES12. BIBLIOGRAFIA

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TUBO DE RUBENS

CAPITULO IINTRODUCCION

1. HISTORIA: El sonido cuando se propaga a través del aire genera diferencias de

presión; el sonido consiste en un movimiento ondulatorio producido en un

medio elástico por una fuente de vibración. La onda es mecánica de tipo

longitudinal cuando el medio elástico en que se propaga el sonido es el

aire y se regenera por variaciones de la presión atmosférica por, sobre y

bajo el valor normal, originadas por la fuente de vibración. La velocidad de

propagación del sonido es de 331mts por segundo a 0°C variando

0,65mts por segundo por cada grado centígrado que se incremente en la

temperatura ambiente.

-JOHN LE CONTE en 1858 descubrió que las llamas eran sensibles al

sonido. En 1862 RUDOLPH KOENIG demostró que la altura de una llama

podría verse afectada por la transmisión de sonido en el suministro de

gas, y el cambio con el tiempo podría ser mostrado con rotación de

espejos. KUNDT, en 1866, demostró con una acústica, ondas poniendo

semillas de LYCOPODIUM o polvo de corcho en un tubo.

-Por último, en 1904, usando estos dos importantes descubrimientos,

HEINRICH RUBENS, utilizó un tubo de 4 metros de largo perforado con

200 pequeños agujeros en él, con intervalos de 2 centímetros,

completándolo con un gas inflamable (Propano). Después de encender el

gas (cuyas llamas se elevaron a la misma altura de los presentes), señaló

que un sonido producido en un extremo del tubo puede crear una ola de

Pie, lo que equivale a la longitud de onda del sonido que se está

realizando. El Tubo de Rubens es un aparato que nos muestra estas

variaciones de presión en forma de onda transversal, visualizándolas a

través del gas propano. El gas tiene zonas en que la onda es más larga ya

que recibe presión de la onda y otras zonas donde la onda no presiona y

apenas se ve la llama. Estas llamas nos dibujan la longitud y la frecuencia

de la onda.

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2. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN:

Demostrar un prototipo que permita ver las ondas sonoras de diferentes

amplitudes y frecuencias con la presión del gas diseñando el “Tubo de

Rubens”, para aprender experimentalmente el funcionamiento de las

ondas.

3. OBJETIVOS: 3.1 Objetivo general:

Dar a conocer al público en general el funcionamiento de las ondas

mecánicas de la naturaleza, longitud, mostrando su

comportamiento en las llamas que salen de acuerdo al tipo de

sonido de música que sea emitido.

3.2 Objetivos específicos:

Recopilar la suficiente información para la correcta construcción

del tubo de Rubens.

Demostrar a los estudiantes de la Universidad César Vallejo una

manera más didáctica de aprender experimentalmente la formación

de las ondas.

Mostrar los distintos niveles de intensidad de las ondas variando el

tipo de sonido.

Se desea conocer como el sonido se propaga en el ambiente, por

medio de perforaciones realizadas en un tubo con llamas alentadas

por gas propano, mostrándose en las llamas el nivel de intensidad

de las ondas sonoras.

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TUBO DE RUBENS

CAPITULO IIFUNDAMENTOS TEORICOS

4. ANTECEDENTES:

John Le Conte en 1858 descubrió que las llamas fueron sensibles al sonido. En

1862 Rudolph Koenig puso de manifiesto que la altura de la llama podría verse

afectada por la transmisión de sonido en el suministro de gas, y el cambio a medida

que pasa el tiempo se pudo mostrar con espejos en rotación. August Kundt , en

1866, demostró una acústica onda estacionaria mediante la colocación de semillas

de licopodio o corcho polvo en un tubo. Cuando un sonido se presentó en el tubo, el

material del interior se alineó en los nodos y los vientres de acuerdo con la oscilación

de la onda, creando una onda estacionaria. Más tarde ese mismo siglo, Behn

mostraron que pequeñas llamas podrían utilizarse como indicadores sensibles de

presión. Por último, en 1904, utilizando estos dos descubrimientos importantes,

Heinrich Rubens , a quien se nombra después de esta experiencia, tomó un metro

de largo tubo de 4 y perforado 200 agujeros pequeños en ella en intervalos de 2

centímetros, y lo llenó de un gas inflamable. 

Después de encender el gas (cuyas llamas se levantaron todos a igual altura de

cerca), señaló que un sonido que se produce en un extremo del tubo crearía una

onda estacionaria, lo que equivale a la longitud de onda del sonido que se está

hecho. Krigar-Menzel ayudó a Rubens con la teoría.

5. HIPOTESIS: El sonido es una perturbación que hacemos a un determinado medio

físico (como aire, agua, metal, etc.) de tal modo que lo que producimos en él es una

onda mecánica de naturaleza longitudinal. En el caso del aire son las partículas que

lo componen las que vibran, y la frecuencia y amplitud de esta vibración dependerán

de la fuente sonora que las está produciendo. Así por ejemplo cuando tocamos la

cuerda de una guitarra, ésta comienza a vibrar y es esa vibración la que perturba el

medio que lo rodea (aire en este caso). Entonces la cuerda vibrante perturba a las

moléculas de gas que están a su alrededor, haciéndolas oscilar con la misma. En

otras palabras, lo que hace la cuerda es modificar la densidad del aire, lo hace

oscilar, y esta perturbación se transmite como una onda longitudinal por todo su

alrededor, provocando que la concentración de partículas gaseosas varía en el

tiempo mientras pasa por ahí la onda sonora.

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6. MARCO TEORICO:6.1 El Sonido: Para la física, el sonido implica un fenómeno vinculado a la difusión de una

onda de características elásticas que produce una vibración en un cuerpo,

aun cuando estas ondas no se escuchen.

El sonido audible para los seres humanos está formado por las variaciones

que se producen en la presión del aire, que el oído convierte en ondas

mecánicas para que el cerebro pueda percibirlas y procesarlas.

Al propagarse, el sonido transporta energía pero no materia. Las vibraciones

se generan en idéntico rumbo en el que se difunde el sonido: puede hablarse,

por lo tanto, de ondas longitudinales.

Se ha estimado que el sonido, cuando se registra una temperatura de veinte

grados centígrados, alcanza una velocidad en el aire de trescientos cuarenta

metros por segundo. Cabe destacar, por lo tanto, que la velocidad que

consigue el sonido es superior en los medios sólidos que en los líquidos, y

que es mayor en éstos últimos que en los gases.

Se conoce como potencia acústica, por otra parte, a la cantidad energética en

forma de ondas que emite una cierta fuente por unidad de tiempo. Esta

potencia depende de la amplitud (la variación más grande de desplazamiento

del movimiento ondulatorio).

Las cualidades principales del sonido son la altura (grave, agudo o medio,

según la frecuencia de las ondas), la duración (el tiempo en el cual se

mantiene el sonido), el timbre (su rasgo característico) y la intensidad (la

cantidad de energía que contiene).Grafico N: 1.- Elementos de una onda

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TUBO DE RUBENS

Tabla 1: En esta tabla encontramos la velocidad del sonido en diferentes medios, pero cuando aumenta la temperatura estos valores cambian.

6.1.1 Presión del Sonido: La presión del sonido o reconocida también como

acústica es producto de la propagación del sonido. Se libera una energía por las

ondas sonoras que a la vez genera un movimiento de forma ondular de las partículas

del aire, provocando así la variación de la presión estática del aire. La presión

atmosférica es la presión del aire sobre la superficie terrestre. Por consecuencia

tenemos que se ha desarrollado zonas de concentración de las partículas y zonas

menos saturadas denominadas zonas de rarefacción. Cuando las ondas se

encuentran con el oído la presión que ejercen sobre el mismo no es igual para toda

la longitud de la onda.

La presión sonora se puede medir en pascales por lo cual su valor disminuirá al de la

atmosférica, el umbral de audición está evaluado en unos 20 micro pascales (20

μPa), también podemos medir la presión sonora en micro bar (μbar), que es la

millonésima parte del bar (1 Pa=1 N/m²=10 μbar y 1 μbar=10 -6 bar).Existe una

diferencia entre la presión atmosférica y la presión atmosférica y es la variación,

mientras que la atmosférica cambia muy lentamente en la sonora se alterna muy

rápidamente su frecuencia.

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El ser humano no tiene la sensibilidad suficiente para soportar todas las frecuencias

.El margen de frecuencias que pueden producir la sensación de sonido cuando

impresiona el oído humano es lo que se conoce como audiofrecuencias y va de los

20 a los 20 000 Hz, es fácil confundir la presión acústica con la potencia acústica. La

confusión viene por el hecho de que la presión sonora es la responsable directa de la

amplitud de la onda y la amplitud determinara la cantidad de energía (potencia

acústica) que contiene una señal sonora. Para diferenciarla entre sonidos más

intensos (el oído soporta mayor cantidad de presión sonora), de sonidos débiles, se

utiliza el llamado nivel de presión sonora.

Grafico N: 2.-niveles de presión sonora

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6.1.2 Intensidad del Sonido: La intensidad del sonido se define como la potencia acústica por unidad

de área. El contexto habitual es la medición de intensidad de sonido en el

lugar del oyente. Las unidades básicas son vatios/m2. Muchas mediciones

de la intensidad del sonido se hacen con relación a la intensidad del

umbral de audición estándar (Io).

También podemos utilizar para la medición de la intensidad del sonido los

decibelios.

Los decibelios miden la relación de una intensidad dada (I) con la

intensidad del umbral de audición, de modo que este umbral toma el valor

0 decibelios (0dB). Para nosotros evaluar el volumen del sonido, como

distintivo de una medida de intensidad utilizamos la sensibilidad del oído.

La intensidad sonora es la potencia transferida por una onda sonora a través de la

unidad de área normal a la dirección de la propagación.

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6.1.3 Velocidad del Sonido:

La velocidad de propagación (c) del sonido es la velocidad con que se desplazan

las ondas sonoras. Su dirección es perpendicular a la superficie vibrante bajo forma

de ondas. Dentro de unos grandes límites, esta velocidad es independiente de la

magnitud de la presión acústica.

Esta velocidad guarda la siguiente relación con la longitud de onda y con el

período:

Velocidad = Distancia recorrida / tiempoc = λ / T = λ * 1 / T

Pero como f = 1 / T resulta que:

c = λ * f

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Grafico N: 3.-Velocidad de propagación

En condiciones normales se acepta que la velocidad del sonido es de 344 metros

por segundo .

Depende de las condiciones ambientales (presión y temperatura) y,

fundamentalmente, del medio donde se propaga, llamado "campo acústico". A 0º C

es de 331 metros por segundo. Al elevarse la temperatura, aumenta la velocidad,

como puede verse en la siguiente gráfica:

Grafico N: 4.- Variación de la velocidad del sonido con la temperatura.

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He aquí ahora, a manera de comparación, las velocidades de las ondas sonoras

en otros medios distintos del aire:

Aire: 340 metros por segundo.Agua: 1.460 metros por segundo.Madera: 1.000 a 5.000 metros por segundo.Cemento: 4.000 metros por segundo.Acero, hierro: 4.700 a 5.100 metros por segundo.Vidrio: 5.000 a 6.000 metros por segundo.Plomo: 1.320 metros por segundo.Caucho: 40 a 150 metros por segundo.

6.2 Ondas: Podemos definir la palabra onda como la perturbación que avanza, que se propaga

en un medio material o incluso en el vacío. Cuando estas ondas necesitan de un

medio material, se llaman ondas mecánicas. Las ondas electromagnéticas son las

que se propagan en el vacío.

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El sonido es un tipo de onda mecánica que se propaga únicamente en presencia de

un medio material.

Un cuerpo al vibrar genera un movimiento de vaivén (oscilación) a las moléculas de

aire que lo rodean, haciendo que la presión del aire se eleve y descienda

alternativamente. Los cambios de presión se trasmiten por colisión entre las

moléculas de aire y la onda sonora que es capaz de desplazarse hasta nuestros

oídos. Las partes de la onda en que la presión aumenta es decir las moléculas se

juntan, se llaman compresiones y aquellas en que la presión disminuye y las

moléculas se alejan, se llaman enrarecimientos.

Grafico N: 5.- Ondas sonoras

6.2.1 Ondas Longitudinales: Definimos como la vibración de la onda que

es paralela a la dirección de propagación de la propia onda. Estas ondas

se deben a las sucesivas compresiones y enrarecimientos, de este tipo

son las ondas sonoras. Un resorte que se comprime y estira también da

lugar a una onda longitudinal.

Grafico N: 6.- Ilustración onda longitudinal.

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El sonido se trasmite en el aire mediante ondas longitudinales se dice que cuando se

propaga el sonido y tenemos dos persona una dentro de un salón y otro fuera, más

rápido escuchara el que se encuentra fuera al que se encuentra dentro.

Otro ejemplo de onda longitudinal es aquella que se produce cuando se deja caer

una piedra en un estanque de agua, Se origina una perturbación que se propaga en

círculos concéntricos que, al cabo del tiempo, se extienden a todas las partes del

estanque. 

Grafico N: 6.- Propagación del sonido. Las partículas del medio vibran en la misma dirección en la que se desplaza el sonido.

6.2.2 Ondas Transversales:Donde la vibración es perpendicular a la dirección de la onda. Las ondas

transversales se caracterizan por tener montes y valles. Por ejemplo, Una

ola en un estanque y una onda en una cuerda son ondas transversales

que se visualizan fácilmente.

Las ondas transversales no se pueden propagar en un gas o en un líquido,

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puesto que no hay mecanismo para impulsar el movimiento perpendicular

a la propagación de la onda.

Grafico N: 7.- Ondas Transversales

6.3 Tubo de Rubens: En 1904, Heinrich Rubens (cuyo nombre toma esta

experiencia) utilizó un tubo de 4 metros de largo perforado con 200 pequeños

agujeros en él, con intervalos de 2 centímetros, completándolo con un gas inflamable

(Propano). Después de encender el gas (cuyas llamas se elevaron a la misma altura

de los presentes), señaló que un sonido producido en un extremo del tubo puede

crear una ola de Pie, lo que equivale a la longitud de onda del sonido que se está

realizando.

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El tubo de Rubens es una demostración de la formación de ondas estacionarias.

Una onda estacionaria se forma por la interferencia de dos ondas de la misma

naturaleza, con la misma amplitud y frecuencia, que avanzan en sentido opuesto a

través de un medio.

El sonido cuando viaja a través del aire genera diferencias de presión. El tubo de

Rubens nos muestra estas variaciones de presión en forma de onda transversal,

visualizándolas a través del gas butano que se hace circular a través de él. El gas

tiene zonas en las que la onda es más larga, ya que recibe presión de la onda, y

otras zonas donde la onda no presiona y apenas se ve la llama. De este modo el gas

reproduce el patrón de la onda estacionaria con sus nodos (puntos de amplitud

mínima) y vientres (puntos de amplitud máxima).

La onda estacionaria se forma por la interferencia de dos ondas de la misma

naturaleza con igual amplitud, longitud de onda (o frecuencia) que avanzan en

sentido opuesto a través de un medio. Grafico N: 8.- Elementos de una onda estacionaria.

Grafico N: 9.- Ondas dentro del Tubo de Rubens

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7. MATERIALESPROYECTO INTEGRADOR PÁGINA 22

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Gas

Manguera

Abrazadera de metal

Niple

Cinta Teflon 1 rollo

Tapón Hembra Galvanizado

1 Embudo

1 Tubo de por lo menos 1.50 metros, el espacio de las perforaciones debe ser:

a-) 1 cm con 1/16 el orificio

b-) 1.2 cm con 5/64 el orificio

c-) 1.5 cm con 3/32 el orificio

Repartirlos espacios para que los agujeros queden con un margen de 30 0 50 cm por

lado.

Embudo que logre sellar la entrada a 1 tubo

Bocina que se ajuste a 1 embudo

Un aparato reproductor de audio para alimentar la bocina.

8. PROCEDIMIENTOUn tramo de tubería esta perforada en la parte superior y se sella en ambos

extremos – un Sello se adjunta a un pequeño altavoz o un generador de frecuencia,

el otro a un suministro de Un gas inflamable (tanque de propano). El tubo se llena

con el gas y el gas que se escapa de Las perforaciones se enciende. Si una

frecuencia constante adecuada se utiliza, una onda Estacionaria se puede formar en

el tubo. Cuando el altavoz esté encendido, la onda Estacionaria creara puntos con

oscilante (superior e inferior) y los puntos de presión con Presión constante (nodos

de presión) a lo largo del tubo. Donde hay oscilante de presión Debido a las ondas

de sonido, menos gas se escapara de las perforaciones en el tubo, y las Llamas será

menor en esos puntos. En los nodos de la presión, las llamas son más altas. Al final

de la velocidad del tubo molécula de gas es cero y la presión de oscilación es

máxima, por lo tanto bajo las llamas se observan. Es posible determinar la longitud

de onda de los mínimos y máximos llama simplemente medir con una regla.

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TUBO DE RUBENS

CAPITULO IIIANALISIS E INTERPRETACION DE LA INFORMACION

9. RESULTADOS:El tubo se divide en 2 partes: agudo y grave (no por ser agudo ni grave se

determinará si sale más grande o chica la llama, todo depende del tipo de

música).

El fuego musical funciona como una especie de visualizador de la longitud

de ondas que transporta el sonido.

A traves de la experimentacion demostrada , se pudo comprobar con éxito

la realizacion de la experimentacion , siendo a la vez muy sorprendente.

Así también todos los equipos usados para esta experimentacion son

faciles de encontrar, y tambien el unico reactivo utilizado que es el gas

propano.

Al analizar la forma de onda de las flamas se determino que el

moviemiento interno de la densidad de las moleculas del gasdebe dar

origen a una onda estacionaria, pues son impulsadas por el sonido

rebotan e interactuan entre si durante el sonido, de tal manera que

logramos encontrar una representacion visual y de lo que en forma

analoga se produce con un resorte y un perturbador realizado por

nosotros que da origen a una onda estacionaria.

10. APLICACIONES: El tubo de Rubens puede tener distintas aplicaciones como por ejemplo

en eventos musicales y conciertos musicales.

También puede servir para analizar algunos sonidos generados en los

parlantes y así determinar su comportamiento

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TUBO DE RUBENS

11. CONCLUSIONES: El sonido cuando viaja a través del aire genera ondas de presión, las

cuales pueden ser representadas en el tubo de Rubens.

Cuando se cambia la frecuencia de la señal de la bocina, cambiara

también la longitud de las ondas formadas en el interior del tubo.

La eficiencia de combustión en el interior del tubo cambia con las

variaciones de sonido debido a las diferentes frecuencias que había en el

interior del tubo.

También vemos el comportamiento de la eficiencia de combustión, al

principio las llamas son de color naranja brillante y mientras el tiempo

pasa, un cambio en la presión ocurre en el interior del tubo hasta que la

presión fuera del tubo es mayor a la que está dentro del tubo, por lo que el

aire en el exterior es aspirado por los agujeros del tubo y esto se puede

observar cuando el fuego empieza a tomar un color azul.

Podemos decir que cuando hay tonos altos la llama aumenta, y con tonos

extremadamente bajos las llamas tienden a tener un poco de profundidad

o se acorta, esto ocurre debido a la diferencia de presión creada por la

interacción entre las ondas en el interior del tubo, por lo que podemos

decir que el tamaño de la llama es proporcional al sonido que se está

reproduciendo y la presión. Observando esta reacción en las llamas

también podemos saber fácilmente cuando sucede un antinodo o un nodo.

Podemos ver como el techno y rock tienen casi las mismas ondas de

sonido a pesar de que el ritmo no es el mismo. También podemos notar

que la banda y el reggae tienen cierta similitud, pero no comparten el

mismo ritmo tampoco.

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12. BIBLIOGRAFIA: www.ucm.es/data/cont/docs/76-2013-07-11-09_Rubens_tube.pdf http://cdletuboderubens.blogspot.com/ http://www.acusticaweb.com/curiosidades/blog/curiosidades/el-tubo-

de-rubens.html http://es.scribd.com/doc/217168688/Tubo-de-Rubens Álvarez Alvarenga Beatriz y Máximo, Física General, Oxford, Editorial

“Reverté”, 4ta Edición, 2007. Hewitt Paul, Física Conceptual, 10ma Edición, Editorial

“Prentice Hall”, 2009. Sears Zemansky, Física General, Edición Aguilar, 1974. Edwin Galindo, Física Superior, Edición Ágoras, 2013.

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