U1-S1-ANTIDERIVACIÓN

Facultad de Ingeniería Semestre 2013-I

CURSO: CÁLCULO II

Tema :

ANTIDERIVADA Un ingeniero que puede medir la razón variable a la cual fuga el agua de un tanque

quiere conocer la cantidad que se ha fugado durante cierto tiempo. Un administrador

que conoce el costo marginal de una producción puede interesarse en deducir el costo

total de la producción. En cada caso, el problema es hallar una función cuya derivada

sea una función conocida. Si existe tal función F, se le denomina una ANTIDERIVADA

de f.

Definición:

Una función F recibe el nombre de ANTIDERIVADA de f en un intervalo I, si:

'( ) ( ) F x f x x I

Ejemplo:

Sea 2

( )f xx

. Una antiderivada es ( ) 4F x x porque 2

'( ) '( )F x f xx

.

Teorema:

Si F es una antiderivada de f en un intervalo I , entonces la antiderivada más

general de f en I es:

( ) ;F x C

Donde C es una constante arbitraria.

Ejemplos:

1. La antiderivada más general de ( ) sin( )f x x es ( ) cos( )F x C x C .

2. La antiderivada más general de ( ) 2f x x es 2

( ) 23

F x C x x x C .

Definición:

Al conjunto de todas las antiderivadas de se le llama INTEGRAL INDEFINIDA de y se

representa por:

( ) ( )f x dx F x C

Ejemplos:

1. cos( ) sin( )x dx x C

2. 1

ln( )dx x Cx

Antiderivacion e integral indefinida


FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN

Sean , f g funciones derivables, además , k C constantes, entonces tenemos:

1. ( ) ( )kf u du k f u du

2. ( ) ( ) ( ) ( )f u g u du f u du g u du

3. 0du C

4. du u C

5. kdu ku C

6. 1

1

nn u

u du Cn

7. lndu

u Cu

8. u ue du e C

9. , 0, 1ln( )

uu a

a du C a aa

10. sin( ) cos( )u du u C

11. cos( ) sin( )u du u C

12. sin( )

cos( )ku

ku du Ck

13. cos( )

sin( )ku

ku du Ck

14. tan( ) ln cos( )u du u C

15. c ( ) ln sin( )tg u du u C

16. sec( ) ln sec( ) tan( ) ln tan2 4

uu du u u C C

17. csc( ) ln csc( ) ( ) ln tan2

uu du u ctg u C C


18. 2sec ( ) tan( )u du u C

19. 2csc ( ) ( )u du ctg u C

20. sec( ) tan( ) sec( )u u du u C

21. csc( ) ( ) csc( )u ctg u du u C

22. 2 2

1arctan

du udu C

u a a a

23. 2 2

1ln

2

du u aC

u a a u a

24. 2 2

1ln

2

du u aC

a u a u a

25. 2 2

arcsindu u

Caa u

26. 2 2

2 2ln

duu u a C

u a

27. 2 2

2 2ln

duu u a C

u a

28. 2

2 2 2 2 arcsin2 2

u a ua u du a u C

a

29. 2

2 2 2 2 2 2ln2 2

u au a du u a u u a C

30. 2

2 2 2 2 2 2ln2 2

u au a du u a u u a C

31. 2 2

1arcsin , 0

uduC a

a au u a

32. 2 2

2 2

1 ln( )du a a uC

a uu a u


TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN INTEGRACION DIRECTA: Se trata aquí de lograr las primitivas en forma inmediata con el conocimiento de

derivadas y la aplicación de la tabla básica considerando algunos recursos algebraicos y

las propiedades señaladas. Algunas veces, antes de realizar la integral

correspondiente, se procede a simplificar la expresión por si de esa forma se puede

integrar mejor. Posteriormente, haciendo uso de las propiedades de las integrales, se

descomponen en otras más sencillas, transformándose en una simple suma de

integrales más elementales.

Ejemplos:

1. 6

5 5 66 6 66

xx dx x dx C x C

2. 4 3 2

3 23 5 3 4 3 5 3 44 3 2

x x xx x x dx x C

3. 2

3 2 3 3 2 3 3x dx x x dx xdx xdx xdx

23

24 3

32 3

xx x C

4. 3 5

2 22

1 1 15

x x x dx x dx x x C

5. 3 2

2

2 7 4x xdx

x

Solución:

Descomponiendo la fracción en suma de fracciones: 3 2 3 2

2

2 2 2 2

2 7 4 2 7 42 7 4

x x x xx x

x x x x

Por tanto:

3 2

2

2

2 1

2

2 7 42 7 4

2 7 42 1

47

x xdx x x dx

x

x xx C

x x Cx

6. Determinar 33 5

5 2

2 7 4

3

x x xdx

x

.

Solución:


Transformando las raíces en potencia, descomponiendo en suma de fracciones

y simplificando, tenemos: 5 53 3

33 5 3 32 2

2 2 2 25 2 5 5 5 5

19 31110 15 5

2 7 4 2 7 4 2 7 4

3 3 3 3 3

2 7 4

3 3 3

x x x x x x x x x

x x x x x

x x x

Por lo que la integral nos queda: 19 311

33 5 10 15 5

5 2

19 31110 15 5

34 82110 15 5

2 7 4 2 7 4

3 3 33

2 7 4

3 3 3

20 105 5

63 102 6

x x x x x xdx dx

x

x x xdx dx dx

x x x C

7. Determinar 5 2 6

3 2

3 2x x xdx

x

.

Solución: 5 2 6 5 2 6

2 2 23 2 3 3 3

13 1643 3 3

16 7 193 3 3

3 23 2

3 2

9 6 3

16 7 19

x x x x x xdx dx dx dx

x x x x

x dx x dx x dx

x x x C

8. Determinar 5

1dx

x.

Solución: 5 1

5

5 4

1 1

5 1 4

xdx x dx C C

x x

9. Determinar 2

2

25

16

xdx

x

.

Solución: 2 2 2

2 2 2 2

2

2

2 2 2

25 16 9 169

16 16 16 16

16 916

116 16ln 16 9ln 16

2

x x x dxdx dx dx

x x x x

dxx dx

x

x x x x x x C


EJERCICIOS PROPUESTOS En los siguientes ejercicios, halle las integrales dadas:

1. 5

3

xdx

2. 33 2 5x x dx

3. 2 4 2y y dy

4. 3

1dy

y

5. 2 3 2

2

x xdx

x

6. 23 5 2x x dx

7. 4

5 te dtt

8. /21 5

3

xe dxx x

9. 2

1ye dy

10. 3

2sin3

xex dx

11. 0.02 0.13 4t te e dt

12. 2tan 3cosx x dx

13. 2

2sin 2x dxx

14. 1/2 2 2t t t dt

15. 3 2 12 5x x dx

x

16.

3 12

2x

x

Resuelve los siguientes problemas

1) INGRESO MARGINAL. El ingreso marginal derivado de la producción de q

unidades de cierto artículo es 2' ( ) 4 1.2R q q q dólares por unidad. Si el

ingreso derivado de la producción de 20 unidades es de $30000, ¿cuál será el

ingreso esperado por la producción de 40 unidades?

2) COSTO MARGINAL. Un fabricante estima que el costo marginal por producir q

unidades de cierto bien es 2' ( ) 3 24 48C q q q dólares por unidad. Si el

costo de producción de 10 unidades es de $5000, ¿cuál es el costo de

producción de 30 unidades?

3) UTILIDAD MARGINAL. Un fabricante estima que el ingreso marginal será 1/2' ( ) 200R q q dólares por unidad cuando el nivel de producción sea de q

unidades. Se ha determinado que el costo marginal correspondiente es de

0.4q dólares por unidad. Suponga que la utilidad del fabricante es $2000

cuando en nivel de producción es de 25 unidades. ¿Cuál es la utilidad del

fabricante cuando el nivel de producción sea de 36 unidades?

4) CRECIMIENTO DE UN ARBOL. Un ecologista encuentra que cierto tipo de árbol

crece de tal forma que su altura ( )h t después de t años cambia a una razón de

2/3' ( ) 0.2 pies/añoh t t t


Si cuando se plantó el árbol éste tenía una altura de 2 pies, ¿cuál será su altura dentro de 27 años?

5) CRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN. Se ha determinado que la población ( )P t de

una cierta colonia de bacterias, t horas después de iniciar la observación, tiene

un razón de cambio

0.1 0.03200 150t tdPe e

dt

Si la población era de 200000 bacterias cuando inició la observación, ¿cuál será la población 12 horas después?

6) APRENDIZAJE. Tony toma una prueba de aprendizaje en la que se registra el

tiempo que le toma memorizar aspectos de una lista dada. Sea ( )M t el número

de aspectos que puede memorizar en t minutos. Su tasa de aprendizaje se

determina como 2'( ) 0.4 0.005M t t t

a) ¿Cuántos aspectos puede memorizar Tony durante los primeros 10

minutos?

b) ¿Cuántos aspectos adicionales puede memorizar durante los siguientes 10

minutos (del tiempo 10t al 20t )?

7) DESCONGELAMIENTO. Un trozo de carne se saca del refrigerador y se deja en

el mostrador para que se descongele. Cuando se sacó del congelador, la

temperatura de la carne era de -4°C, y t horas más tarde se incrementaba a

una tasa de 0.35 o' ( ) 7 C/htT t e

a) Determine una fórmula para la temperatura de la carne después de t

horas.

b) ¿Cuál es la temperatura después?

c) Suponga que la carne está descongelada cuando su temperatura llega a

10°C. ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que se descongela la carne?


INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE:

El método de integración por sustitución o cambio de variable consiste en transformar

la integral dada, mediante un cambio de variable en otra inmediata o más sencilla de

integrar.

Si se tiene ( )f u du (una integral no inmediata), se trata de hacer un cambio:

( )u g x , entonces '( )du g x dx para llegar a:

( ) ( ) '( )f u du f g x g x dx

Ejemplos:

1. Determinar 21 2y ydy .

Solución:

Hacemos el cambio 21u y , entonces 2du ydy . Sustituyendo en la

integral, tenemos:

312 2 2

21 2

3y ydy udu u du u C

Reemplazando u

por 21 y , tenemos:

3

2 2 221 2 1

3y ydy y C

2. Determinar 5 25x x dx .

Solución:

Haciendo 25 2u x du xdx

2

duxdx

Luego, reemplazando en la integral:

615 2 5 5 5

62 5

1 55

2 2 12

55

12

dux x dx u u du u C

x C

3. Determinar 4

3 21 3x x dx .

Solución:

Hagamos 3 21 3u x du x dx . Reemplazando en la integral, tenemos:


54

3 2 4

53

1 35

1

5

ux x dx u du C

xC

4. Determinar sin( )cos( )x x dx .

Solución:

Hagamos sin( ) cos( )u x du x dx . Reemplazando en la integral, tenemos:

2

2

sin( )cos( )2

sin( )

2

ux x dx udu C

xC

5. Determinar 2 2cos

xdxdx

x .

Solución:

Hagamos 2 2u x du xdx

2

duxdx

Reemplazando, tenemos:

2 2 2

2 2

2

1sec sec ( )

2cos

1 1tan( ) tan

2 2

xdxdx x x dx u du

x

u C x C

6. Determinar

21 1

dxdx

x .

Solución:

Hacer 1u x du dx . Entonces:

2

2 2

2

ln 111 1

ln 1 1 1

dx dudx u u C

ux

x x C

7. Determinar 21 ln ( )

dx

x x .

Solución:

Hagamos ln( )dx

u x dux

. Entonces, tenemos:


2 2arcsin( )

1 ln ( ) 1

arcsin ln( )

dx duu C

x x u

x C

EJERCICIOS PROPUESTOS

Usando el método de cambio de variable halle las siguientes integrales:

1. a bx dx

2. 22x x dx

3. 2 1x x dx

4. 2( 1)

xdx

x

5. 323 1

x xx e dx

6. (2 ln )x dx

x

7. 2

3

( 1)

3

x dx

x x

8. 2( )a x dx

x

9. 2/3

2

1 11

dx

xx

10. 3 1 ln x

x

11. 3

4 2

10 5

6

x xdx

x x

12. 2

1

( cos )

sen xdx

x x

1) VALOR DE LA TIERRA. Se estima que dentro de t años, el valor ( )V t de una

hectárea de tierra cultivable crecerá a una tasa de 3

4

0.4'( )

0.2 8000

tV t

t

dólares por año. Actualmente la tierra vale $500 por hectárea.

a) Determine ( )V t

b) ¿Cuánto valdrá la tierra dentro de 10 años?

2) CRECIMIENTO DE UN ARBOL. Se trasplantó un árbol y después de x años este

crecía a una tasa de

2

11

1x

metros por año. Después de 2 años el árbol

alcanzó una altura de 5 metros. ¿Qué altura tenía cuando se trasplantó?

3) CONCENTRACION DE UN MEDICAMENTO. La concentración ( )C t en miligramos

por centímetro cúbico (mg/cm3) de un medicamento en el torrente sanguíneo de

un paciente es de 0.5mg/cm3 inmediatamente después de una inyección y t

minutos más tarde disminuye a la tasa de

0.01

20.01

0.01'( )

1

t

t

eC t

e

mg/cm3 por minuto.


Se aplica una nueva inyección cuando la concentración es menor que 0.05

mg/cm3.

a) Determine una expresión para ( )C t .

b) ¿Cuál es la concentración después de 1 hora?

4) CONTAMINACION DEL AGUA. Un derrame de petróleo en el océano tiene una

forma aproximadamente circular, con radio ( )R t pies, t minutos después del

inicio del derrame. E radio crece a una tasa de

21'( ) pies/min

0.07 5R t

t

a) Determine una expresión para el radio ( )R t , suponiendo que 0R cuando

0t .

b) ¿Cuál es el área 2A R del derrame después de 1 hora?

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