U4 4to CJSF 2019 1 · 4. Indicar si x = -1 es raíz de alguna de estas funciones polinómicas...

Unidad No. 4: Funciones Polinómicas

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Armado y d i seño de la un idad : Prof . Andrea Gandolf i

Pág ina web : http ://acgandolf i .w ix .com/matemat ica

Unidad No. 4

Funciones

Polinómicas

Nombre: ………………………….………………

4to. Año 2019

Casa Salesiana

Juan Segundo Fernández

CJSF 4to. año 2019


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Armado y d i seño de la un idad : Prof . Andrea

Gandolf i

Pá b // /

Armado y d i seño de la un idad : Prof . Andrea

Gandolf i

Pá b // /

CJSF 4to. año 2019


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1 nn

aa

m

n m na a

Unidad 4: Funciones Polinómicas

Fórmula: : /f

11 1 0....n

nn

nf x x a x a x aa

Fórmula Factorizada: : /f

Si la función tienen n raíces reales, podemos escribirla como:

1 2n nf x a x xx x xx

Un polinomio con uno, dos o tres términos es llamado monomio, binomio o trinomio, respectivamente.

Todos los exponentes de un polinomio son números naturales o cero.

Un polinomio está completo si figuran en su expresión todos los monomios que lo componen aún cuando sus coeficientes sean cero

Los polinomios pueden estar desordenados u ordenados en forma creciente (en los términos del polinomio, los exponentes de la variable están ordenados de menor a mayor) o decreciente en los términos del polinomio, los exponentes de la variable están ordenados de mayor a menor).

Si el coeficiente principal de un polinomio es uno, o sea, 1na el polinomio se denomina polinomio MONICO o NORMALIZADO.

2. Indica cuales de las siguientes fórmulas de funciones polinómicas polinómicas y cuáles no. Justificar. En caso de que sí lo sean, determinen el grado, el coeficiente principal y el término independiente.

a. 2 31A x x 5 x

2 b. 4 83

B x 2 3x x8

c. C x 5x

d. 6 17 1F x x 6x x

2 2 e. E x 3 f. G x 0

g. H x x

h. 3

I x xx

i. 2J x 9x 8x 2 j. 2K x 3x 8x k. 2K x 3x 8x

Término independiente/

Ordenada al origen:

Indica la intersección con el eje de

ordenadas. 0;b

Coeficiente Principal

Grado del polinomio:

Es el mayor exponente.

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3. En el siguiente sistema de coordenadas se da la gráfica de la función polinómica f(x)

a. Establezcan el conjunto de valores de x para los cuales la función f(x) es cero.

b. Establezcan el conjunto de valores de x para los

cuales la función f(x) es positiva

c. Establezcan el conjunto de valores de x para los

cuales la función f(x) es negativa.

d. ¿Podrías encontrar una fórmula factorizada que corresponda a la función?

4. Indicar si x = -1 es raíz de alguna de estas funciones polinómicas definidas en :

a. 232)( 23 xxxxP

b. xxxQ 2)(

c. 315)( xxT

d. 21)( xxxQ

e. 31)( 2 xxxH

5. Dadas las siguientes fórmulas de funciones polinómicas definidas en , escribir las fórmulas reducidas. indicar el conjunto de ceros y su grado.

a. ( ) 3 8 3 3f x x x x

b. 7771)( xxxxxg

c. 2 2( ) 1 3 2 1 2 1j x x x x x x

6. Menciona una raíz que tengan en común las siguientes fórmulas de las funciones polinómicas.

Extrae una conclusión.

xxxA 42)( 2 5347)( xxxxC 23 84)( xxxD 253 8510)( xxxxxE

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División de polinomios

Recordemos el algoritmo de la división para números enteros: 10 6 10

donde P=Q.c+r

r<Q

¿En qué casos el resto de la división entre dos números enteros es igual a cero?

De la misma manera, dados un polinomio P(x) (dividendo) y otro Q(x) (divisor) trataremos de determinar, cuando sea posible, dos polinomios C(x) (cociente) y R(x) (resto) que cumplan con las mismas condiciones que los números enteros:

x x x xP Q C R

y xgr R …………… xgr Q o bien xR es …………………….

Para poder dividir dos polinomios es necesario que xgr P ……… xgr Q y es

conveniente que:

el polinomio dividendo debe estar completo y ordenado

el polinomio divisor debe esta ordenado

Decimos que P(x) es divisible por Q(x), si el resto R(x), de la división de P(x) y Q(x) es:

Teorema del Resto

Su pongamos que x aQ x y P(x) es un polinomio cualquiera. Si x : xP Q , sabemos que se cumple: x x x R x x x RP C Q P C Q

Pero sabemos que:

x a

x x x R x x x a RP C Q P C

Si calculamos 0

a a a aa R RP C P

“El resto de dividir un polinomio P(x) por un polinomio de la forma (x — a) es P(a).”

7. Calcula el resto de las divisiones de x : xP Q e indica si son divisibles dichos polinomios.

a. 72)( 3 xxxP 1)( xxQ

b. xxxxP 6)( 23

2)( xxQ

c. 3

1

3

2)( 2 xxxP

2

1)( xxQ

P

Cociente

Divisor Q

C

Dividendo

R Resto

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2 0 ‐3 ‐5

Colocaremos todos los coeficientes del polinomio

dividendo ordenado y completo

Pondremos el valor que anula el divisor:

Q x x 1

x 1 0

x 1

Multiplicamos

Resto de la división

Cociente de la división

Regla de Ruffini

Existe una regla que permite dividir un polinomio por otro de la forma Q(x) = x – a (o sea, Q(x) debe ser mónico y de grado 1), trabajando sólo con los coeficientes del polinomio dividendo.

Si 3P x 2x 3x 5 y Q x x 1 ,

8. Dados ( )P x y Q x , se pide:

i. Resuelve )(: xQxP utilizando la regla de Ruffini.

ii. Escribe el cociente y el resto de cada una.

iii. De ser posible, expresar a P(x) como producto de dos polinomios.

iv. Calcula el resto , utilizando el teorema del resto.

a. 23)( 24 xxxP Q x x 1

C x R x

P x

1 P

b. xxxxP 32)( 53 2 Q x x

C x R x

P x

2 P

¿Cuál es el cociente y el resto de la división realizada mediante la Regla de Ruffini?

C(x) = R(x) =

Por el algoritmo de la división podemos escribir a P(x) como:

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c. 27)( 3 xxP 3)( xxQ

C x R x

P x

)3(P

d. 62 24 xxxP 1)( xxQ

C x R x

P x

)1(P

9. ¿Si “a” es raíz de una función polinómica cuya fórmula es P(x), que resto tendrá la siguiente división, P(x) : (x – a)?

10. Indica si x=-1 es raíz de la función polinómica cuya fórmula es 3 2( ) 3 6 15 18P x x x x , en caso afirmativo,

a. ¿podrías escribir a P(x) como producto entre dos polinomios?

b. ¿Podrías encontrar las raíces faltantes? ¿Cómo sería la forma factorizada?

11. Indica si x=2 es raíz de la función polinómica cuya fórmula es 3 2) 2Qx x x x , en caso afirmativo, ¿podrías escribir a P(x) como producto entre dos polinomios?

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a. ¿Podrías encontrar las raíces faltantes? ¿Cómo sería la forma factorizada?

12. En el siguiente sistema de coordenadas se dan las gráficas de ( )R x y ( )P x , ambas funciones lineales.

a. Calculen el valor de ( )H x en cada caso: i. ( 3)H

ii. ( 2)H

iii. ( 1)H

iv. (0)H

v. (2)H

vi. (1)H b. ¿Qué función es H(x)?

c. Escribe la fórmula factorizada de H(x)

d. Establezcan el conjunto de valores de x para los cuales la función ( )H x es: A. Es cero. B. Es positiva. C. Es negativa.

e. Tracen un gráfico aproximado ( )H x de.

Definimos: ( )H x R x P x

PR

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13. En el siguiente sistema de coordenadas se dan las gráficas de ( )P x y ( )Q x

a. Calculen el valor de ( )R x en cada caso: i. ( 2)R

ii. ( 1)R

iii. (0)R

iv. (1)R

v. (2)R

b. Escribe la fórmula de ( )R x de dos formas distintas.

c. Establezcan el conjunto de valores de x para los cuales la función ( )H x es: A. Es cero. B. Es positiva. C. Es negativa.

d. Tracen un gráfico aproximado ( )R x de.

Definimos: ( )R x P x Q x

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14. En el siguiente sistema de coordenadas se dan las gráficas de ( )R x y ( )S x :

a. Calculen el valor de ( )Mx en cada caso: i. ( 2)M

ii. ( 1)M

iii. (0)M

iv. (1)M

v. ( 3)M

b. Escribe la fórmula de ( )Mx de dos formas distintas.

c. Establezcan el conjunto de valores de x para los cuales la función ( )Mx es: A. Es cero. B. Es positiva. C. Es negativa.

d. Tracen un gráfico aproximado ( )Mx de.

Definimos: ( )Mx R x S x

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15. Considerando los ejercicios anteriores responde en cada caso para las funciones mencionadas el grado y la cantidad de ceros o raíces posibles para cada una. Luego, extrae conclusiones. a. “La función que se obtiene como producto de…: “

i. dos lineales es: ii. una cuadrática y una lineal.

iii. dos cuadráticas

b. “La función que surge como producto de dos lineales puede tener: …”

i. una raíz ii. Dos raíces iii. No tener raíces iv. Tener más de 2 raíces

c. “La función que surge como producto de una lineal y una cuadrática puede tener: …”


d. “La función que surge como producto de dos cuadráticas puede tener: …”


16. Indica verdadero o falso. Justificar. a. Un polinomio de grado tres puede tener como máximo tres raíces reales.

b. Un polinomio de grado cinco puede tener tres raíces reales distintas.

c. Un polinomio de grado cinco puede no tener raíces reales.

d. Un polinomio de grado par puede no tener raíces reales.

e. Un polinomio de grado cuatro puede tener tres raíces reales distintas.

17. Escribir la fórmula de una función polinómica de grado tres que corte al eje de abscisas únicamente en 1,0 21 xx y 23 x .¿Es única?

18. Escribir la fórmula de una función polinómica de grado seis que sea mónica (coeficiente

principal es 1) , tal que -6 sea una raíz de multiplicidad tres, 0 sea raíz doble y 1 raíz única. ¿Puede tener más raíces?

19. Escribir la fórmula de una función polinómica que sea de grado 4; corte al eje de ordenadas en 10 y corte al eje x en 1,5 21 xx , 23 x y 44 x .

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Multiplicidad de raíces

20. Utilizando el realiza el gráfico de las siguientes funciones polinómicas, completar la tabla y sacar conclusiones.

¿Qué me indica la multiplicidad de la raíz en el gráfico?

¿Qué ocurre con la gráfica de la función si el signo del coeficiente principal cambia?¿Que pasa con las imágenes cuando la variable independiente toma valores cada vez más grandes?

21. Una función polinómica tiene todas sus raíces con multiplicidad par. ¿Es cierto que su C es

vacío? ¿Por qué?

a. 0C y Multiplicidad

C C

4 21

2 62

2 1 2

2 1 2

f x x x

f x x x

33

5 34

2 1 2

2 1 2

f x x x

f x x x

3 25

26

2 1 2 3

2 1 2 3

f x x x x

f x x x x

b. 0C y

Multiplicidad C

C

21

22

2 1 2

2 1 2

f x x x

f x x x

33

5 34

2 1 2

2 1 2

f x x x

f x x x

Conclusión: Analizando los gráficos anteriores vemos que:

Si una raíz es de multiplicidad ……………….. , la gráfica de la función llega allí, roza y sigue para

el mismo lado.

Si una raíz es de multiplicidad ……………….., la gráfica cruza allí al eje de abscisas.

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21

22

2 23

24

24

3 1 2

3 1 2

3 1 2

1 3 1 2

1 3 1 2

f x x x x

f x x x x

f x x x x

f x x x x

f x x x x

22. Dado el gráfico de la función f : , decidir cuál de las siguientes fórmulas responde al mismo. Justificar.

a. Completar:

23. Dados los gráficos A), B), C) Y D) se pide:

a. Proponer, si es posible, una fórmula de grado mínimo para cada una de las gráficas.

Justificar.

b. Hallar la multiplicidad de las raíces de la función cuyo gráfico es B) sabiendo que su grado es 6. ¿La respuesta es única?

c. Encontrar la fórmula de grado mínimo del gráfico D) sabiendo que 2 1h .

24. Encuentra la fórmula de una función polinómica de grado mínimo cuya gráfica sea: a.

0CCC

ejeod

¿Se puede calcular el valor exacto del punto máximo y mínimo?

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b.

25. Representa gráficamente las siguientes funciones definidas indicando

intersecciones con los ejes coordenados, conjuntos de positividad y negatividad de cada una de ellas.

a. 2R t 3 t 1 t 2

b. 3 2

R t 2 t 1 t 2

c. 2

R v 3v v 1 v 2

0

:Im :

:::

::

Dom

CCC

ejeordGrado

0

:Im :

:::

::

Dom

CCC

ejeordGrado

0

:Im :

:::

::

Dom

CCC

ejeordGrado

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d. 22T u 2u u 3 u 2

e. 32M r 2r r 2 r 1

26. Escribir la forma factorizada de las siguientes fórmulas de funciones polinómicas, indicar el grado:

a. 22U r 2r 18 r 2

b. 2( ) 6 2 1S v v v v

c.

22( ) 4 2 1R u u u d.

2 2( ) 4 1 2T y y y y

0

:Im :

:::

::

Dom

CCC

ejeordGrado

0

:Im :

:::

::

Dom

CCC

ejeordGrado

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Dadas las siguientes funciones definidas , se pide:

27. Dadas las siguientes funciones definidas , se pide:

Grado Coeficiente

principal Raíces Forma Factorizada

a(x) 4x 1

3 2b(x) 2x 4x 6x

3 2c(x) x 4x

3 2d(x) 4x x

Grado Coeficiente

principal ¿Qué función es? Forma Factorizada

a(x) 7x 4

2b(x) 2x 4

4 3 2c(x) 2x 3x x

4 3 2d(x) 2x 4x 6x

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28. El Servicio Meteorológico utilizó como modelo para la variación de la temperatura (en ºC) durante cierto día, la siguiente fórmula: 23 54)( ttttT donde t está medido en horas. a. ¿A qué hora la temperatura fue de

0ºC?

b. ¿A qué hora la temperatura tomó valores

superiores a 0ºC? ¿Y valores inferiores a 0ºC?

c. Intenta dar un gráfico aproximado de la situación.

Dada la siguiente función 3 2p : / p x 3x 15x 24x 12 se pide:

Teorema de Gauss

Sea P(x) un polinomio de grado n con todos sus coeficientes enteros. Si el número racional p

q,

escrito de manera irreducible, es raíz de P(x); entonces p divide al término independiente y q divide al coeficiente principal.

El Teorema de Gauss permite calcular las posibles raíces racionales del polinomio P(x).

Buscamos las posibles raíces de P(x)

“p” divisores del término independiente p 12, 6, 4, 3, 2, 1

“q” divisores del coeficiente principal. q 3, 1

Grado Coeficiente

principal ¿Qué función es? Forma Factorizada

3 2p x 3x 15x 24x 12

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3 ‐15 24 ‐12

Las posibles raíces racionales son: p 4 2 14, 12, 2, 6, , 4, 1, 3, ,q 3 3 3

Utilizando el Teorema del Resto, calculamos analíticamente cuales son las raíces. p 1

p 1

Aplicamos la regla de Ruffini:

Aplicamos la fórmula resolvente o fórmula de Baskhara, para encontrar las otras raíces.

Por lo tanto las raíces son: x y x= (raíz doble)

La expresión factorizada es:

P x 3. x x

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29. Representa gráficamente las siguientes fórmulas de funciones definidas : a. 3 2( ) 6 11 6A t t t t

b. 4 3 2( ) 6 9B x x x x

:Forma Factorizada

0

:Im :

::

:

:

Dom

CC

C

ejeord

:Forma Factorizada

0

:Im :

::

:

:

Dom

CC

C

ejeord

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c. 3( ) 2 6 4C x x x

d. 3 2( ) 2 2 4 4D x x x x

:Forma Factorizada

:Forma Factorizada

0

:Im :

::

:

:

Dom

CC

C

ejeord

0

:Im :

::

:

:

Dom

CC

C

ejeord

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e. 3 2( ) 2 2 10 6J x x x x

30. Dada la siguiente fórmula correspondiente a una función polinómica. 3( ) 2 3R x x x a. Hallar las raíces

b. Verificar con el la solución c. ¿Qué ocurre?

:Forma Factorizada

0

:Im :

::

:

:

Dom

CC

C

ejeord

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Repaso para la evaluación 1. Encuentra la fórmula de una función polinómica de grado mínimo cuya gráfica sea:

a.

b.

2. Hallar, si existe, una función polinómica f de grado mínimo sabiendo que 4;22; C si la imagen de 0 es 6 .

3. Hallar, si existe, una función polinómica f de grado mínimo sabiendo que 2;13; C

y que su gráfico pasa por 2;4

0 C C C

0 C C C

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4. Escribir la forma factorizada de las siguientes fórmulas de funciones polinómicas, indicar el grado:

a. 22R x 2x 2 x 2

b. 2 2( ) 3,5 1,5 2 3A v v v v v

5. Representa gráficamente las siguientes fórmulas de funciones definidas indicando intersecciones con los ejes coordenados, conjuntos de positividad y negatividad de cada una de ellas y forma factorizada.

a. 2 20,1 4 3 T x x x

b. 3( ) 4j x x x

:Forma Factorizada

0

:Im :

:::

:

Dom

CCC

ejeord

0

:Im :

:::

:

Dom

CCC

ejeord

:Forma Factorizada

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Pág. 22

c. 4 3 2( ) 2 4 8T x x x x x

d.

3 2( ) 3 6 3 6 P x x x x

:Forma Factorizada

0

:Im :

:::

:

Dom

CCC

ejeord

0

:Im :

:::

:

Dom

CCC

ejeord

:Forma Factorizada

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Pág. 23

e. 4 2( ) 3 9 6f x x x x

0

:Im :

:::

:

Dom

CCC

ejeord

:Forma Factorizada

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