LÓGICA.DEDUCCIÓN NATURAL.

PRESENTACIÓN DE UN CÁLCULO ELEMENTAL DE DEDUCCIÓN NATURAL.1

Uno de los objetivos principales de la lógica es establecer métodos para probar que una determinada conclusión se deriva de un conjunto específico de premisas. Un método consiste en manipular las expresiones dadas como premisas y, a partir de ellas, derivar la expresión de la conclusión. Para ello nos servimos de ciertas reglas.

Formalizando un poco más, la idea sería la siguiente. Dado el conjunto de expresiones {1... n} y , podemos decir que se deduce del mencionado conjunto cuando: partiendo de las expresiones {1...n} podemos producir la expresión utilizando sólo las reglas de deducción.

CATEGORÍAS DE FÓRMULASUna deducción se compone de un conjunto de fórmulas, que deben pertenecer a alguna de

las categorías que detallamos a continuación:

1) Conclusión: es una señalada fórmula dentro del conjunto que compone un razonamiento; no puede faltar, y es la expresión a la que queremos llegar en cualquier deducción.

2) Premisas: son las fórmulas de partida, que están dadas de antemano y sobre la base de las cuales deseamos obtener una determinada conclusión. Hay deducciones para las cuales el conjunto de premisas puede ser vacío.

3) Pasos intermedios: son fórmulas que obtenemos a partir de otras previas mediante la utilización de reglas de inferencia.

4) Supuestos: en algunas partes de la deducción puede ser conveniente introducir fórmulas que no son premisas ni pasos intermedios. Se las acepta de modo provisional a los fines de poder obtener otras fórmulas que nos acerquen a la conclusión buscada. Estos supuestos deben descargarse: en algún punto la deducción debe proseguir sin depender de los supuestos introducidos. Algunas reglas indican los procesos de introducción y de descarga.

ESTRUCTURA DE UNA DEDUCCIÓNUna deducción tendrá el aspecto de una serie ordenada de líneas de texto. En cada una de

ellas se expresará una fórmula. Es conveniente enunciar explícitamente los elementos de la deducción. Para saber qué es lo que se quiere demostrar, podemos colocar las premisas, flanqueadas por corchetes y separadas por comas (utilizando la notación conjuntista habitual), a continuación el símbolo que utilicemos como deductor, y luego la conclusión. Ello nos permitirá saber como ha de comenzar nuestra deducción, y también cómo debería terminar. Por ejemplo:

{pq, p.r}├─ q.r

Significa que queremos probar “q.r” a partir de las premisas “pq” y “p.r” (más abajo damos la demostración).

Desarrollar las deducciones con cierta prolijidad permite evitar errores de procedimiento. Es común, y recomendable, avanzar de acuerdo con las siguientes pautas:

1. Numerar las líneas.2. Colocar una fórmula por cada línea señalizando convenientemente de acuerdo con su

categoría:a) Las premisas se indican con una barra horizontal a la izquierda.

1 Para la elaboración de estos apuntes hemos seguido principalmente a Díez Calzada (2002) y Garrido (1995).

b) Los pasos intermedios deben justificarse citando a la derecha, en una columna aparte, las fórmulas previas que se utilizan y la regla de deducción aplicada.

c) Los supuestos deben indicarse con una llave de apertura (de subdeducción) a la izquierda; no corresponde justificarlos en la columna de deducción.2

d) Los pasos intermedios dependientes de un supuesto son fórmulas que deben ir barradas a izquierda con una línea vertical. Forman parte de una subdeducción.

3. La conclusión se justifica del mismo modo que un paso intermedio. A continuación indicamos el fin de la deducción mediante la sigla SQD: “según queríamos demostrar”.

Podemos especificar lo dicho en el párrafo anterior de forma un poco más gráfica. Dadas n premisas, una deducción tendrá el siguiente aspecto:

─ 1) α1 premisa :─ n) αn premisa n+1) γ obtenida a partir de las líneas _ , _ …,_ aplicando la regla (R) : φ obtenida a partir de las líneas _ , _ …,_ aplicando la regla (R) : : …………………….. : β obtenida a partir de las líneas _ , _ …,_ aplicando la regla (R)SQD (Fin de la demostración)

(concluye el desarrollo si β es la conclusión buscada)

Los números que preceden al medio paréntesis derecho marcan una línea específica. En el lugar de las letras griegas pueden ir fórmulas. A continuación de las fórmulas, por la derecha, se especifican las reglas utilizadas y el número de las líneas anteriores a las que se ha aplicado. Este último recurso permite justificar cada paso dado y la totalidad de las justificaciones constituye la columna de justificación.

REGLAS DE INFERENCIALos pasos intermedios, se obtienen a partir de premisas, u otros pasos intermedios, mediante

la aplicación de reglas de inferencia. Dichas reglas nos dicen que, dada una expresión de determinado tipo, podemos generar otra expresión. Su estructura es, aproximadamente: “se puede escribir (expresión-β) si antes se dispone de (expresión-α1 … expresión-αn)”.

Por ejemplo, la ya mencionada regla de Modus Ponens o Eliminación del condicional dice: dada una fórmula que tiene como conectiva principal un condicional, y la afirmación independiente de su antecedente, entonces podemos escribir a continuación la fórmula que corresponde al consecuente. En símbolos:

Modus Ponens: Ejemplo: αβ pq α (pq)(r.s)──── ──────── β r.s

En el ejemplo podemos observar que la afirmación del antecedente precede a la fórmula que tiene al condicional como conectiva principal. Cabe aclarar de entrada que el orden en que estén dispuestas las premisas dentro de una demostración no es relevante. Siempre que las fórmulas que estemos citando sean utilizables carece de importancia si aparecen en el orden que especifica el enunciado de la regla.

Las reglas que nos permiten pasar de una expresión a otra pueden dividirse en dos grupos:

a) Reglas básicas (o primitivas).

2 No hace falta justificarlos pues no proceden de líneas anteriores; son introducidos provisoriamente.

1) Reglas de introducción.2) Reglas de eliminación.

b) Reglas derivadas.

Para cada conectiva veritativo-funcional tenemos dos reglas básicas. Una de las reglas nos permite eliminar la conectiva principal, y por eso se denomina regla de eliminación. Otra de las reglas nos permite introducir la conectiva en una fórmula nueva. La regla Modus Ponens que hemos visto, por ejemplo, nos sirve para eliminar el condicional en una expresión.

Por su parte, las reglas derivadas son prescindibles, y cualquier cosa que pueda ser probada con ellas puede también ser probada mediante las reglas básicas. Sin embargo son muy útiles como “abreviaturas”, en tanto simplifican demostraciones que, de otra manera, se harían mucho más largas.

REGLAS BÁSICAS

De eliminación:

De introducción:

INTRODUCCIÓN DE SUPUESTOSUna mención aparte merece el asunto de la introducción de supuestos, que, como hemos

dicho, son una clase de fórmulas que pueden aparecer en nuestras deducciones. Tres de nuestras reglas básicas hacen uso de ellos, y por ello merecen un breve comentario. El supuesto es una fórmula que afirmamos en carácter hipotético. El sentido de su introducción en la serie deductiva, es la obtención, a partir de él, las premisas y las reglas de deducción, de una fórmula que nos acerca a la conclusión que buscamos, y que sea independiente del supuesto. Cuando conseguimos dicho objetivo podemos decir que lo hemos cancelado. Además, debe tenerse en cuenta que, por lo general, entre el supuesto y su cancelación median una serie de pasos deductivos. Las fórmulas intermedias no pueden utilizarse una vez que se ha cancelado el supuesto (En términos gráficos, como veremos, dichos pasos intermedios quedan marcados a izquierda por una barra vertical, y por eso se dice que quedan barrados; el supuesto, por su parte, lo marcaremos con un guión horizontal a izquierda, del mismo modo que la conclusión de la semideducción que inaugura el supuesto).

Terminamos ahora de enunciar nuestras reglas básicas:

Reducción al absurdo: RA.

Doble Negación: DN. α ══════ α

Int . : IC. α β ──── α.β

Modus Ponens: TD. αβ α ────── β

Elim. .: EC. (Simp) α.β α.β───── ───── α β

Elim : EB. αβ αβ──── ──── αβ βα

Int : ID. α β──── ──── αβ αβ

Int de : IB. αβ βα ───── αβ

COMENTARIOS:1) El supuesto introducido es la fórmula α. Está convencionalmente marcado con un guión a la

izquierda. Las fórmulas que se derivan del supuesto están barradas a izquierda en tanto el supuesto no quede cancelado.

2) Esta regla también es conocida como introducción de la negación. Nos permite introducir la negación si podemos derivar una contradicción del supuesto introducido.

Introducción del Condicional: TD.

COMENTARIOS:1) Llamemos Σ a un conjunto dado de premisas. El Teorema Deductivo dice que si del

conjunto Σ y la premisa adicional α podemos deducir la fórmula β, entonces a partir de el conjunto Σ solo podemos afirmar la fórmula αβ. La regla enunciada es una expresión formal de dicho teorema.

2) Esta regla es de suma utilidad en muchas deducciones. Cuando queremos demostrar un enunciado condicional podemos introducir el antecedente como supuesto y, a partir de él, tratar de derivar el consecuente. Si podemos hacerlo queda justificada la afirmación independiente del enunciado condicional.

3) Como en el caso anterior, los pasos intermedios quedan barrados y, por lo tanto, no pueden ser utilizados fuera de la subdemostración.

Eliminación de la disyunción: ED.

Elim : ED.αβ┌ α│ :└ γ┌ β│ :└ γ──── γ

Reducción al absurdo: RA. ┌ α │ : └ β.β ────── α

Int. : TD. ┌ α │ : └ β ───── αβ

DERIVACIÓN Y DEDUCCIÓNUna derivación es una secuencia de fórmulas en la que se han respetado las reglas de

inferencia, y en la cual se indica de qué manera cada línea que se escribe se sigue de las precedentes.

Se define DERIVACIÓN:Es una secuencia de líneas, en cada una de ellas contiene sólo una fórmula. En una

derivación podemos escribir una nueva fórmula si y sólo si:(a) es una premisa, lo cual se especifica mediante barra horizontal a izquierda;(b) es una línea utilizable anterior, que será marcada con la expresión “Reit n” en la

columna de justificación, siendo n el número de línea utilizable anterior donde está la fórmula (esto equivale a una regla de reiteración que permite volver a escribir cualquier fórmula previa, siempre y cuando no esté barrada);

(c) alguna regla de inferencia justifica su introducción a partir de líneas utilizables anteriores, lo que se especificará a derecha en la columna de justificación

(así: n1,…,nn REG; donde los nn corresponden a los números de líneas utilizables invocados, y en el lugar de REG se enuncia la abreviatura de la regla aplicada)

(d) es una suposición, y será marcada con una barra horizontal a izquierda.Son líneas utilizables todas aquellas líneas que no se encuentren barradas, y sólo ellas.

Se define DEDUCCIÓN:Se deduce la fórmula β a partir del conjunto Σ={1...n} si hay una derivación en la que:

a) 1, ..., n son las premisas;b) β es una línea utilizable;c) no queda ningún supuesto no cancelado.Puede ocurrir que Σ= (Deducción sin premisas)3.

DEDUCCIONESLo que hemos dicho hasta aquí probablemente sólo consiga marear e intimidar a cualquiera

que carezca por completo de experiencia en el arte de las demostraciones. Las explicaciones precedentes buscan dar algún grado de rigor y precisión formal (en este caso mínimo, pues hemos preferido mantenernos a un nivel bastante intuitivo). Se puede conseguir que todo lo dicho adquiera sentido mostrando deducciones concretas. Sólo la ejercitación hace posible la comprensión cabal de la metodología demostrativa. Cabe una advertencia: no hay que asustarse si uno no “ve” claramente, de entrada, cómo se han llevado a cabo las maniobras demostrativas. Lleva tiempo alcanzar cierta claridad en este punto.

Algunos autores comparan el deducir con jugadas de ajedrez: tenemos las piezas como material (las premisas en nuestro caso) y las jugadas permitidas para cada una (las reglas de inferencia); algunas jugadas podrán hacerse, otras no. El jugador experto de Ajedrez puede ver varias jugadas por delante. Quién tiene experiencia en demostraciones formales “percibe” relaciones entre las premisas y posibles caminos para demostrar. El jugador inexperto de Ajedrez sólo tiene ojos para la jugada inmediata, y quien no está versado en demostraciones ve fórmulas sin ningún significado. Ni en el Ajedrez ni en las demostraciones existen recetas mágicas y mecánicas que puedan aplicarse. En ambos casos el conocimiento de la teoría, y mucha experiencia (es decir: la práctica), permiten, con suficiente paciencia, progresar.

EJEMPLO 1

3 Las reglas de Reducción al Absurdo y de Introducción del Condicional permiten introducir supuestos a partir de los cuales podemos hacer derivaciones. Hay casos de deducciones válidas sin premisas. Una fórmula deducible sin premisas es un teorema lógico.

Demostrar: {pq, p.r}├─ q.r─ 1) pq─ 2) p.r 3) p 2 EC. 4) q 1, 3 MP. 5) r 2 EC. 6) q.r 4, 5 IC.

Según queríamos demostrar (SQD).

COMENTARIOS:a) Las líneas (1) y (2) son las premisas.b) Se ha aplicado dos veces la regla de eliminación de la conjunción. Una vez para utilizar uno

de sus miembros, y luego para utilizar el otro.c) No se han introducido supuestos, por lo cual todas las líneas son utilizables.

EJEMPLO 2Demostrar: {pq, pr}├─ pr

─ 1) pq─ 2) qr ┌ 3) p │ 4) q 2, 3 MP. │ 5) qr 2 EB. └ 6) r 4, 5 MP 7) pr 3-6 TD

SQDCOMENTARIO:

1) Se ha introducido p en la línea 3 como supuesto. El objetivo es conseguir la expresión para el condicional pr.

2) El supuesto queda cancelado cuando demostramos el consecuente r.3) Las líneas que van desde la 3 a la 6 han quedado barradas (no podrían utilizarse si la

demostración continuara).4) En la columna de justificación deben citarse los pasos que van desde el supuesto a la

conclusión. Lo hacemos indicando la línea de inicio y de fin, interponiendo un guión (a diferencia de las comas habituales).

EJEMPLO 3Demostrar: {pq, pr, qs} ├─ rs

─ 1) pq─ 2) pr─ 3) qs ┌ 4) p │ 5) r 2, 4 MP └ 6) rs 5 ID ┌ 7) q │ 8) s 3, 7 MP └ 9) rs 8 ID 10) rs 4-6, 7-9 ED

SQD

EJEMPLO 4

Demostrar: {pq, qs, s} ├─ p

─ 1) pq─ 2) qs─ 3) s ┌ 4) q

│ 5) s 2, 4 MP └ 6) s.s 3, 5 IC 7) q 4-6 RA ┌ 8) p │ 9) q 1, 8 MP └10) q.q 7, 9 IC 11) p 8-10 RA

SQD

ALGUNAS REGLAS DERIVADASComo ya se ha dicho, las siguientes reglas no son indispensables. Cualquier cosa que

podamos probar con ellas pueden ser probadas también utilizando reglas básicas. Sin embargo, nos permitirán, como veremos, simplificar mucho algunas demostraciones. Podemos considerarlas como abreviaturas de procedimientos más básicos. Enumeramos algunas a continuación.

Conjunción Disyunción

Condicional

Leyes de DeMorgan Asociatividad Distributividad

Vamos a probar a continuación algunas de estas reglas utilizando solamente reglas básicas.

Demostrar: {α.β}├─ β.α

─ 1) α.β 2) β 1 EC.

Conmutatividad α.β ═════ β.α

Idempotencia α.α ───── α

Conmutatividad αβ ═════ βα

Idempot αα──── α

SilogismoDisyuntivo αβ αβ α β──── ──── β α

DilemaConstructivo αβ αγ βδ ───── γδ

Modus Tollens αβ β──── α

SilogismoHipotético αβ βγ───── αγ

Contraposición αβ ═════ βα

Definición delCondicional αβ ═════ αβ

Negación delCondicional (αβ) ═════ α.β

Importación/Exportación α(βγ)════════ (α.β)γ

DeMorgan (α.β) (αβ) ═════ ═════ αβ α.β

Propiedad Asociativa (α.β). γ (αβ)γ═════ ═════ α.(β.γ) α(βγ)

Propiedad Distributiva α.(βγ) α(β.γ)════════ ═══════ (α.β)(α.γ) (αβ).(αγ)

3) α 1 EC. 4) β.α 2,3 IC.SQD

Demostrar: {α.α}├─ α

─ 1) α.α 3) α 1 EC.SQD

Demostrar: {αβ}├─ βα

─ 1) αβ ┌ 2) α └ 3) βα 2 ID. ┌ 4) β └ 5) βα 4 ID 6) βα 1, 2-3, 4-5 EDSQD

Demostrar: {αβ, α}├─ β

─ 1) αβ─ 2) α┌─3) α│┌4) β ││5) α Reit 2│└6) α.α 3, 5 IC└─7) β 4-6 RA ┌ 8) β └ 9) β Reit 8 10) β 1, 3-7, 8-9 EDSQD

Demostrar: {αβ, αγ, βδ}├─ γδ

─ 1) αβ─ 2) αγ─ 3) βδ ┌ 4) α

│ 5) γ 2, 4 MP └ 6) γδ 5 ID ┌ 8) β │ 9) δ 3, 8 MP └10) γδ 9 ID 11) γδ 1, 4-6, 8-10 ED

SQD

Demostrar: {αβ, β}├─ α

─ 1) αβ─ 2) β

┌ 3) α │ 4) β 1, 3 MP. └ 6) β.β 2,4 IC 7) α 3-6 RASQD

Demostrar: {αβ, βγ}├─ αγ

─ 1) αβ─ 2) βγ ┌ 3) α │ 4) β 1, 3 MP └ 6) γ 2, 6 MP 7) βγ 3-6 TDSQD

Demostrar: {αβ}├─ βα

─ 1) αβ┌─2) β│┌3) α ││4) β 1, 3 MP│└5) β.β 2, 4 IC└─6) α 3-5 RA 7) βα 2-6 TDSQDPara la demostración que a continuación ofrecemos hemos seguido dos caminos: resolución

sólo con reglas básicas, por un lado, y también con reglas derivadas por otro. El objetivo es ver cómo obtenemos una demostración más breve.Demostrar : {pq, qr}├─ rp

-1) pq-2) qr 3) rq 2 EB 3) rq 2 EB 4) qp 1 EB 4) qp 1 EB

┌5) r 5) rp 3, 4 Sil. Hip. │6) q 3, 5 MP 6) pq 1 EB └7) p 4, 6 MP 7) qr 2 EB

8) rp 5-7 TD 8) pr 6, 7 Sil. Hip. 9) pq 1 EB 9) rp 5, 8 IB.10) qr 2 EB SQD

┌11) p │12) q 9, 11 MP └13) r 10, 12 MP

14) pr 11-13 TD15) rp 8, 14 IB.

SQD