UNAD logica modulo 29072011

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA MODULO DE LOGICA MATEMTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA CIENCIAS BSICAS

LGICA MATEMTICAGEORFFREY ACEVEDO GONZLEZ NZLEZ

Medelln, 2011

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Lgica Matemtica

Jaime Alberto Leal Afanador Rector Dra. Elizabeth Vidal Arizabaleta Vicerrectora Acadmica y de Investigacin Dr. Roberto de Jess Salazar Ramos Asesor de Rectora Dra. Gloria C. Herrera Snchez Vicerrectora de Medios y Mediaciones Pedaggicas Dr. Edgar Guillermo Rodrguez Vicerrector Vicerrectora de Desarrollo Regional Comunitario Gustavo Gmez Decano Escuela de Ciencias Bsicas, Tecnologa e Ingeniera Maribel Crdoba Guerrero Secretaria General Jorge Eliecer Rondn Coordinador de Ciencias Bsicas MDULO CURSO LGICA MATEMTICA PRIMERA EDICIN (EN EDICIN) Copyrigth Universidad Nacional Abierta y a Distancia

PROHIBIDA LA REPRODUCCIN Y PUBLICACIN PARCIAL O TOTAL DE ESTA OBRA SIN AUTORIZACIN DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNADISBN 2011 Centro Nacional de Medios para el Aprendizaje Actualizacin, Edicin y Diagramacin Georffrey Acevedo Gonzlez Medelln, Colombia. 28 de Julio de 2011 (material en prensa) Este material tiene como referencia principal el mdulo diseado por la Dra. Nubia Janeth Galindo Patio en el ao de 1999 para la Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Santa Fe de Bogot. D.C. 1999 Portada: Aristteles segn un manuscrito de su Historia naturalis. Roma 1457 (Cod. vindob. phil. gr.). Medelln Colombia Julio de 2011.

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OH dicha de entender, mayor que la de imaginar o la de sentir! Borges. Introduccin Este mdulo est concebido para ser un curso introductorio a la lgica Matemtica. Antes de dar inicio al desarrollo de los temas del curso, y en general, para toda actividad, es importante que nos interroguemos por el origen y propsito de dicho conocimiento, Qu problemas busc resolver el hombre mediante dicho conocimiento? Qu preguntas vamos a contestar con el aprendizaje del curso? Qu competencias se espera que el estudiante desarrolle? Por qu se consideran importantes estas competencias? Por qu, siendo yo un estudiante de regencia de farmacia, o un estudiante de ingeniera, o mejor an, un estudiante de psicologa, debo tomar el curso de Lgica Matemtica? Entre las competencias que debe tener un estudiante, se destaca su capacidad para construir razonamientos deductivos e inductivos, tal que le permitan verificar hiptesis as como generar nuevas, una competencia necesaria, no slo para la investigacin cientfica, sino necesaria para actividades como proponer argumentos vlidos en un ensayo o para debatir ideas. Se considera que la lgica matemtica acompaada de las competencias lingsticas permite plantear las mejores soluciones a diferentes tipos de problemas. Al punto que son estas las competencias que son evaluadas por las universidades para determinar el acceso a programas de educacin superior. La competencia lgico matemtica no hace referencia exclusiva a operaciones con representaciones simblicas y ejercicios complejos. En este curso aprenders cmo en nuestro lenguaje cotidiano hacemos uso de los razonamientos lgicos deductivos e inductivos, siguiendo unas estructuras bsicas que nos permiten afirmar que un razonamiento es o no vlido. Ya Platn en la Repblica nos propone que antes del estudio de una ciencia social como lo es la filosofa era necesaria la preparacin de la mente por medio del estudio de la geometra euclidiana, en la cual el discpulo deba entrenarse haciendo demostraciones de teoremas de la geometra, demostraciones que slo se logran siguiendo una secuencia lgica de pasos ordenados.

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Lgica Matemtica

Hoy, muchas instituciones educativas exigen a sus aspirantes a cualquier programa acadmico, presentar pruebas de admisin que pretenden evaluar las competencias tanto lingsticas como lgico matemticas. Mediante estas evaluaciones, las instituciones pretenden elegir entre todos sus aspirantes a aquellos que se encuentren ms preparados para aprender. Esto es para comprender y elaborar razonamientos lgicos deductivos e inductivos cada vez ms complejos. En este sentido, el curso de lgica matemtica es importante para mejorar en la interpretacin y construccin de razonamientos lgicos presentes tanto en el lenguaje cotidiano como en todas las reas especializadas del conocimiento. Es por esta razn que el curso de lgica matemtica es un curso transversal a todos los programas acadmicos ofertados por la Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Para leer el mdulo slo se requieren conceptos de conjuntos numricos, y operaciones algebraicas bsicas. La intencin es que el estudiante pueda aprender de este mdulo por s mismo, en este sentido es un texto escrito ms para los estudiantes que para el tutor. En el curso de lgica matemtica, analizaremos diferentes operaciones entre conjuntos, tales como unin, interseccin y complemento, entre otras operaciones, que nos permitirn aclarar la comprensin de las relaciones entre los conectivos lgicos usados en el lenguaje natural, partiendo para ello una representacin grfica. A la par desarrollaremos las destrezas lgico matemticas, dando solucin a problemas como ste: De acuerdo con una encuesta virtual realizada a cincuenta estudiantes de la UNAD, los amantes de la msica de Juanes son 15; mientras que los que nicamente gustan de la msica de Shakira son 20, Cuntos son fanticos de los dos artistas si 10 de los encuestados, entre los 25 que no son fanticos de Shakira, afirman ser fanticos de Juanes? Comprenderemos cmo trabajan los conectivos lgicos que usamos diariamente en nuestro leguaje y que pocas veces nos detenemos a analizar y a comprender, por ejemplo, nuestro amigo Boole afirma que cuando gane su equipo predilecto har fiesta, pasado un tiempo encontramos que Boole est festejando pero que su equipo predilecto ha perdido Se est contradiciendo el amigo Boole con su afirmacin inicial?, En este curso descubriremos y analizaremos el conectivo lgico que ha usado Boole en su afirmacin para concluir sobre este asunto. Identificar los conectivos lgicos, las premisas y comprender su funcin en el lenguaje nos permitir disear frases cada vez ms complejas sin que se pierda la coherencia en la construccin gramatical. Posteriormente aprenderemos ha simplificar expresiones complejas o difciles de

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ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA MODULO DE LOGICA MATEMTICA descifrar usando el lenguaje natural, para ello utilizaremos leyes expresadas por medio de smbolos. Por ejemplo, al expresar en lenguaje natural que es falso que Augustus no miente; por medio de la lgica aprendemos a llegar a la simplificacin: Augustus miente mediante el Algebra de Boole, utilizando leyes lgicas bsicas que nos permiten validar la simplificacin hecha con un argumento ms all de la simple intuicin. Gracias al desarrollo informtico un estudiante de psicologa, puede implementar una funcin lgica en una hoja de clculo como Excel o Calc, que le permita obtener en segundos el resultado de la aplicacin de un Test psicolgico a una poblacin. En general, gracias a los principios bsicos de la lgica se pueden implementar funciones de aplicacin en todas las reas del conocimiento. Otra interesante aplicacin de la lgica es en el proceso de validar nuestros argumentos. Por ejemplo, analicemos que puede concluirse de la siguiente afirmacin: si llueve hace fro, posteriormente ocurre que hace fro, es entonces correcto concluir que llueve?, Por medio de la lgica transformaremos esta expresin en lenguaje simblico que posteriormente podremos analizar por medio de una tabla de verdad y descubrir en qu caso especfico la conclusin puede no derivarse de sus premisas. En el mundo de la argumentacin siempre estamos utilizando unos principios lgicos bsicos que estudiaremos en el curso de Lgica Matemtica, permitindonos mejorar en la construccin de argumentos ms fuertes, basados en los cimientos de la lgica.

Buen Viento y Buena mar.Georffrey Acevedo Gonzlez.1

Tutor de Ciencias Bsicas de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD desde 1995. Ingeniero Electrnico de la Universidad de Antioquia. Maestro en educacin del Tecnolgico de Monterrey. www.georffrey.com [email protected] [email protected]

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Lgica Matemtica CONTENIDO POR LECCIONES

Unidad 1 Principios de Lgica

Captulo 1 Introduccin a la lgica Leccin No.1 Leccin No. 2 Leccin No. 3 Leccin No. 4 Leccin No. 5 Captulo 2 Tautologa Leccin No. 6 Leccin No. 7 Leccin No. 8 Leccin No. 9 Leccin No. 10 Tautologa Proposiciones equivalentes Tautologa trivial y doble negacin Implicacin directa, contraria, recproca y contrarrecproca Leyes de la lgica Introduccin a la lgica Proposiciones Conectivos lgicos fundamentales Condicional y Bicondicional Tablas de verdad

Captulo 3 Cuantificadores y proposiciones categricas Leccin No. 11 Leccin No. 12 Leccin No. 13 Leccin No. 14 Leccin No. 15 Cuantificadores Proposiciones categricas Representacin de las proposiciones categricas Clasificacin de las proposiciones categricas Proposiciones contrarias, de contingencia y subcontrarias

Unidad 2 Razonamientos lgicos Captulo 4 Razonamientos lgicos Leccin No. 16 Leccin No. 17 Leccin No. 18 Leccin No. 19 Leccin No. 20 Razonamiento lgico El mtodo cientfico Silogismos categricos Validez de un argumento Prueba formal de validez

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Captulo 5 Inferencias Lgicas Leccin No. 21 Leccin No. 22 Leccin No. 23 Leccin No. 24 Leccin No. 25 Inferencia lgica Leyes de inferencia Aplicacin de las leyes de inferencia Demostracin directa e indirecta La refutacin

Captulo 6 Argumentos Inductivos Leccin No. 26 Leccin No. 27 Leccin No. 28 Leccin No. 29 Leccin No. 30 Argumento Inductivo El problema de la induccin La analoga La fuerza de los argumentos Analoga refutadora

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Lgica Matemtica INDICE DE CONTENIDO Introduccin Smbolos usados Objetivos, conducta de entrada, fase de reconocimiento UNIDAD 1 Principios de Lgica 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.4.1 1.5 1.6 1.7 1.7.1 1.7.2 1.7.3 1.8 1.8.1 1.8.2 1.8.3 1.8.4 1.8.5 1.9 1.9.1 2 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 2.3 2.4 3 3.1 3.1.1 3.2 3.2.1 3.3 Captulo: Introduccin a la Lgica ........................................................................................ 26 Contextualizacin Histrica de la Lgica ................................................................................. 27 Clasificacin de la lgica .......................................................................................................... 28 Propsito de la lgica ................................................................................................................ 29 Lgica y Lingstica .................................................................................................................. 29 Lenguajes naturales y artificiales .............................................................................................. 30 Componentes del proceso semitico ......................................................................................... 33 Ramas de la semitica ............................................................................................................... 35 Proposiciones ............................................................................................................................ 38 Representacin de las proposiciones ......................................................................................... 39 Clasificacin de las proposiciones ............................................................................................ 42 Proposiciones Compuestas ........................................................................................................ 42 Conectivos Lgicos ................................................................................................................... 45 Conjuncin: ...................................................................................................................... 45 La disyuncin v .................................................................................................................... 49 La negacin ~ ............................................................................................................................ 53 El condicional ............................................................................................................... 55 El bicondicional ........................................................................................................... 58 Tablas de Verdad ....................................................................................................................... 66 Construccin de Tablas de Verdad............................................................................................ 67

.. ..

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Captulo: Tautologa ............................................................................................................... 75 Tautologa.................................................................................................................................. 76 Proposiciones equivalentes ....................................................................................................... 78 Tautologa trivial ....................................................................................................................... 80 Doble Negacin ......................................................................................................................... 80 Implicacin directa, contraria,recproca y contrarecproca ....................................................... 82 Leyes del algebra de proposiciones ........................................................................................... 84 Captulo: Cuantificadores y proposiciones categricas ....................................................... 85 Cuantificadores.......................................................................................................................... 86 Cuantificador universal y existencial ........................................................................................ 86 Proposiciones categricas ......................................................................................................... 89 Cualidad y cantidad de las proposiciones categricas .............................................................. 90 Simbologa y diagramas para proposiciones categricas .......................................................... 91

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ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA MODULO DE LOGICA MATEMTICA 3.3.1 3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 Clasificacin de las proposiciones categricas ......................................................................... 96 Proposiciones contrarias, de contingenica y subcontrarias ..................................................... 100 Proposiciones contradictorias .................................................................................................. 100 Proposiciones contrarias .......................................................................................................... 101 Proposicin Contingente ......................................................................................................... 102 Proposiciones Subcontrarias ................................................................................................... 103

UNIDAD 2 Razonamientos Lgicos 4 4.1 4.1.1 4.1.2 4.2 4.3 4.3.1 4.3.2 5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.1.6 5.1.7 5.1.8 5.1.9 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 Captulo: Razonamientos lgicos ......................................................................................... 107 Razonar.................................................................................................................................... 108 Razonamiento inductivo .......................................................................................................... 108 Razonamiento deductivo ......................................................................................................... 109 Silogismos categricos ............................................................................................................ 112 Validez de un argumento......................................................................................................... 116 Prueba formal de validez ......................................................................................................... 117 Prueba de invalidez ................................................................................................................. 117 captulo: Inferencias lgicas ................................................................................................. 121 Inferencias Lgicas ................................................................................................................. 122 Modus Ponens (M. P) o Modus Ponendo Ponens (MPP) .................................................... 123 Modus Tollens (M.T) o Modus Tollendo Tollens (MTT) ...................................................... 127 Silogismo Hipottico (S: H) .................................................................................................... 129 Silogismo disyuntivo (S. D) o Modus Tollendo Ponens (MTP) ............................................. 131 Dilema constructivo (D.C) ...................................................................................................... 133 Absorcin (Abs) ...................................................................................................................... 133 Simplificacin (Simp.) ............................................................................................................ 134 Conjuncin (Conj) ................................................................................................................... 134 Adicin (Ad.) .......................................................................................................................... 134 La demostracin ...................................................................................................................... 139 La demostracin directa .......................................................................................................... 139 La demostracin indirecta ....................................................................................................... 140 La demostracin por recursin ................................................................................................ 140 La demostracin por refutacin............................................................................................... 142

6 Captulo: Argumentos Inductivos........................................................................................ 143 6.1 Argumento inductivo por analoga.......................................................................................... 146 6.1.1 Evaluacin de los argumentos analgicos ............................................................................... 148 Informacin de Retorno 150 Laboratorio 183 Referencias .185

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Lgica Matemtica

INDICE DE TABLAS

Tabla No. 1 Lenguaje Natural y Artificial ............................................................................................... 40 Tabla No. 2 Tabla de verdad de la conjuncin ......................................................................................... 47 Tabla No. 3 Tabla de vedad de la disyuncin ........................................................................................... 51 Tabla No. 4 Tabla de vedad de la negacin .............................................................................................. 53 Tabla No. 5 Tabla de vedad para el condicional ...................................................................................... 57 Tabla No. 6 Tabla de vedad para el condicional ...................................................................................... 60 Tabla No. 7 Valores de verdad de los conectivos lgicos ......................................................................... 66

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INDICE DE FIGURAS

Figura No. Figura No. Figura No. Figura No. Figura No. Figura No.

1 Teorema de Pitgoras. ...................................................................................................... 32 2 Conjuncin ......................................................................................................................... 46 3 Disyuncin ....................................................................................................................... 50 4 Negacin ............................................................................................................................. 53 5 Ejemplo actividad de transferencia I - ............................................................................. 64 6Ejemplo actividad de transferencia II - ............................................................................. 65

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Lgica Matemtica

INDICE DE ILUSTRACIONES

Imagen No. 1 . Scrates. Detalle de La escuela de Atenas - fresco de Raffaello Sanzio (1511) ............. 31 Imagen No. 2. Pitgoras (582 a.c).. Detalle. La escuela de Atenas - fresco de Raffaello Sanzio (1511)32 Imagen No. 3 Euclides. Padre de la Geometra. Detalle. La escuela de Atenas - fresco de Raffaello Sanzio (1511) ............................................................................................................................................ 32

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Smbolos usadosConjuntos:

,

Conjunto universal Conjunto vaco

Operaciones entre conjuntos:

Unin Interseccin Diferencia Diferencia simtrica Contenido en No est contenido en Pertenece a No pertenece a Conjuncin Disyuncin Negacin Implicacin Equivalencia

Relaciones entre elementos y conjuntos

,~

Conectivos lgicos:

Menor que Menor o igual que Mayor que Mayor o igual que Diferente a

Conjuntos numricos:

+

Conjunto de nmeros naturales Conjunto de nmeros enteros Conjunto de nmeros enteros positivos Conjunto de nmeros enteros negativos Conjunto de nmeros reales Conjunto de nmeros complejos

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Lgica Matemtica

Objetivo GeneralProporcionar al estudiante herramientas que le permitan reconocer, elaborar y determinar la validez de razonamientos lgicos tanto deductivos como inductivos.

Objetivos especficosDesarrollar las competencias para expresar razonamientos lgicos en lenguaje simblico. Identificar y aplicar las diferentes leyes de la lgica en procesos de argumentacin, al llevarlas al lenguaje natural. Hacer uso de principios del lgebra Booleana para simplificar expresiones del lenguaje natural. Desarrollar competencias para la construccin de funciones lgicas en programas de computacin, como las hojas de clculo o de lenguajes de programacin.

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Para alcanzar un aprendizaje significativo, tres condiciones importantes son necesarias: La significatividad psicolgica, la significatividad lgica del material y la motivacin. Para tal fin, se han estructurado las diferentes herramientas pedaggicas y didcticas del curso en tres fases de aprendizaje: reconocimiento, profundizacin y transferencia. A continuacin daremos inicio a la fase de reconocimiento, en la cual, partiremos de las experiencias previas de aprendizaje, ya sean stas adquiridas en el estudio de un campo especfico del conocimiento o adquiridas en el desarrollo de actividades diferentes a las acadmicas. Para lograr este objetivo se ha diseado una actividad didctica, que dispone el ambiente para que por medio de algunas herramientas y tcnicas, puedas objetivar esas experiencias previas alcanzadas en tu mundo vital. De esta manera, logrars pasar del mundo impensado de las experiencias a la sistematizacin de las mismas, o de las prenociones a las nociones. Es decir, se trata de un ejercicio de motivacin para que te involucres en los procesos iniciales de aprendizaje y actives tus estructuras cognitivas. Salazar (2008) Pero, ante todo, debemos contar con tu disposicin para el aprendizaje. Para contribuir con el factor de la motivacin, se ha dispuesto el primer OVA, objeto virtual de aprendizaje, el cual es un audio en mp3 con algunos elementos que te motivar para el desarrollo de las competencias del curso.

Audio1.MP3 http://www.georffrey.co m/portal/attachments/art icle/46/conferencia1mar zo20de2011.mp3

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Lgica Matemtica

Cuntas horas debo dedicar al estudio del curso de lgica matemtica? El curso de lgica matemtica es un curso de dos crditos acadmicos, por lo tanto un curso de dos unidades. Un crdito acadmico corresponde a 48 horas de estudio, de las cuales 12 horas son de acompaamiento tutorial y 36 horas son de estudio independiente. Esto significa que para matricular el curso de lgica matemtica debers disponer de 72 horas de estudio independiente. Para un perodo acadmico es de 16 semanas, y si consideramos 100 das en el proceso, considerando las pausas activas, esto se traducir en un promedio de una (1) hora diaria. En ninguna otra metodologa como en la educacin a distancia, debemos hacer una cuidadosa gestin del tiempo. La invitacin es para desarrollar un cronograma de organizacin de las actividades acadmicas de acuerdo a los temas de cada curso y al tiempo disponible.

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A continuacin daremos inicio a la fase de reconocimiento, en la cual, partiremos de las experiencias previas de aprendizaje. Recuerda que la disposicin frente al conocimiento es una condicin para lograr un aprendizaje significativo: 1. Qu entiendes por lgica?________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________

2. Podramos hacer un debate de ideas sin hacer uso de la lgica? Analiza cundo hacemos uso de la lgica.________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________

3. Qu recuerdas de la evolucin histrica de la lgica?________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________

4. Analiza porqu es importante la competencia lgico matemtica para apropiar nuevo conocimiento.________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________

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Lgica Matemtica

5. En tus palabras, plantea la diferencia entre lenguaje simblico y lenguaje natural________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________

6. Cul es tu definicin intuitiva de conjunto?________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________

7. Plantea varios ejemplos de conjuntos. Cmo describiras un conjunto con una cantidad infinita de elementos?________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________

8. Cmo representas un conjunto?1.

________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________

9. Qu formas de determinar un conjunto conoces?2.

________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________

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ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA MODULO DE LOGICA MATEMTICA________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________

10. Cmo definiras un conjunto finito, infinito, vaco, unitario, universal y de partes?3.

________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________

11. Qu relacin conoces entre conjuntos y entre conjuntos y sus elementos? Cmo se representan stas?4.

________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________

12. Cun son iguales dos conjuntos? Cundo son completamente diferentes?________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________

13. Qu operaciones entre conjuntos conoces?5.

________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________

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14. Qu conoces del lgebra de conjuntos? Cules leyes recuerdas? Cmo haras una demostracin grfica de estas leyes? Cmo aplicaras el principio de dualidad en estas leyes?________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

15. En los siguientes diagramas sombrea las reas correspondientes a las operaciones sealadas: 15.1. A unin B U A B B A U

a. U A B B A

b. U C

c.

d.

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ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA MODULO DE LOGICA MATEMTICA 15.2. A interseccin B U A B B A U

a. U A B B A

b. U C

c. 15.3. A menos B U A B B

d.

U A

a. U A B B A

b. U C

c.

d.

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Lgica Matemtica

16. Propn una expresin de la cual puedas decir que es verdadera. Cmo expresaras la negacin de la misma proposicin?6.

________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________

17. Te has encontrado con un argumento que parece lgico, pero que cuando lo analizamos detenidamente encontramos que no era tal? A continuacin se propone plantearlo:________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________

18. Menciona las caractersticas comunes que encuentras en un razonamiento________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________

19. Describe, cmo determinas la validez de un argumento________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________

20. Entre dos personas inmersas en un debate. Cmo podramos determinar que el argumento de uno es ms fuerte que el del otro?21.

________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________

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Querido estudiante, en los temas que encontrars a continuacin iniciamos el proceso de asociacin de los saberes previos con conceptos especficos del curso de lgica matemtica. En esta fase encontrars material y actividades didcticas diseadas para que puedas apropiar conceptos y teoras que te permitirn alcanzar las metas de aprendizaje establecidas para el curso.

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Lgica Matemtica

Unidad 1Principios de LgicaIntroduccinEn esta unidad, partiremos de la contextualizacin histrica de la lgica hacia la definicin de la unidad fundamental de la lgica la proposicin. Aprenderemos a identificar y clasificar las proposiciones, y estableceremos criterios e instrumentos de comparacin entre los diferentes tipos de proposiciones.

JustificacinEsta unidad es significativamente importante en la formacin de cualquier profesional, desde la ptica de la necesidad de la apropiacin de una fundamentacin conceptual bsica para fortalecer la destreza en la identificacin de las proposiciones como elemento fundamental de la lgica y la comprensin de la relacin biunvoca entre el lenguaje simblico y el lenguaje natural. Estas herramientas nos permitirn desarrollar las competencias para el desarrollo de la segunda unidad, en donde, haciendo uso de lo aprendido nos introduciremos en el anlisis de validez de los razonamientos lgicos.

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Intencionalidades formativasPropsitos

Desarrollar en el estudiante habilidades de comunicacin en contextos diversos mediante la articulacin de lenguajes icnicos, simblicos o artificiales como el de la lgica proposicional para dinamizar procesos de aprendizaje en diferentes campos del saber.

Objetivos

Que el estudiante relacione expresiones del lenguaje simblico y del lenguaje natural mediante anlisis comparativo e interpretacin de la funcionalidad de las variables lgicas y operacionabiliadad de los conectivos lgicos como elementos estructurales de la lgica proposicional transcribibles a otras formas de comunicacin en diferentes contextos del saber.

Metas El estudiante plantear y formular expresiones lgicas en lenguaje natural y lenguaje simblico como evidencia del anlisis comparativo e interpretativo de la funcin que cumplen variables y conectores lgicos como elementos estructurales de las expresiones lgicas en el estudio de situaciones particulares propuestas para tal fin.

Competencias

El estudiante relaciona e interpreta expresiones del lenguaje simblico y del lenguaje natural en la formulacin y representacin de estructuras semnticas lgicas en trminos de variables y conectores lgicos como elementos estructurales de la lgica proposicional articulables a diferentes formas de comunicacin en diversos contextos.

Captulos de la unidad:Captulo 1: Introduccin a la lgica Captulo 2: Tautologas Captulo 3: Cuantificadores y crculos de Euler

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Lgica Matemtica

1 Captulo: Introduccin a la LgicaObjetivo generalEl propsito de este captulo es brindar al estudiante algunos elementos del desarrollo histrico de la lgica matemtica y su correspondiente clasificacin. As como de brindar las herramientas para identificar y construir proposiciones lgicas.

Objetivos especficos

CAPTULO 1

Realizar la clasificacin de la lgica Reconocer el propsito de la lgica Determinar la diferencia entre lenguaje natural y artificial Analizar los componentes del proceso semitico Distinguir las reas de la semitica Identificar y construir proposiciones lgicas simples y compuestas Construir tablas de verdad

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ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA MODULO DE LOGICA MATEMTICA Lecciin No..1 IInttroducciin a lla llgiica Lecc n No 1 n roducc n a a g ca

1.1 Contextualizacin Histrica de la LgicaConcete a ti mismo ("gnosei seauton") es la frase que apareca en el santuario del Dios Olmpico Apolo y que se atribuye a Tales de Mileto (639 a.c), quien es considerado como el primer representante de la filosofa occidental: tanto as como para reconocrsele como el iniciador de la indagacin racional sobre el universo, a Tales de Mileto se atribuye plantear explicaciones de la naturaleza sin hacer referencia a lo sobrenatural. Es as, como los precursores de la filosofa, llamados los presocrticos, representaron una innovacin en el pensamiento, al tratar de explicar las cosas por si mismas. En el perodo Socrtico, los filsofos pasarn de preocuparse por los temas de la naturaleza a ocuparse en el hombre. En este perodo aparecen los sofistas, quienes profundizan en el arte de discutir, a ellos debemos lo que en la lgica se denomina un sofisma, argumentos que parecen vlidos pero que realmente no lo son. Originalmente logos significa palabra o discurso, por lo que en un principio se defini la lgica como la rama de la gramtica que se ocupaba de ciertas formas de lenguaje. Como la palabra es la expresin, o manifestacin del pensamiento y el pensamiento racional es la base de la filosofa, puede decirse en general, que la lgica es la ciencia del pensamiento racional; es importante aclarar que la lgica no se ocupa del contenido de los pensamientos sino de la manera o forma de los pensamientos. En respuesta a la necesidad de construir argumentos, para defender o refutar pensamientos de los dems, Aristteles, considerado por los griegos. El padre de la lgica, creo mtodos sistemticos para analizar y evaluar dichos argumentos, para lo cual desarroll la lgica proposicional estableciendo procedimientos para determinar la verdad o falsedad de proposiciones compuestas. El gran matemtico Gottfried Leibniz en 1646 fue el primero en intentar reformar la lgica clsica, planteando que la dependencia lgica entre proposiciones es demostrada reduciendo argumentos complejos en simples, para lo cual propuso representar el conocimiento, en una forma que pudiera ser usado por un razonamiento mecnico y a ste esquema (lgica simblica) lo llam una caracterstica universal.22

Galindo Patio N. J. (1999). Lgica Matemtica. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Santa Fe de Bogot. D.C. 1999

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Lgica Matemtica El proceso de la lgica continu en el siglo XIX. En 1847 el matemtico ingls George Boole en compaa de Augustus de Morgan hizo notar el parentesco entre las operaciones lgicas con las matemticas, pues a partir de los operadores aritmticos de adicin, multiplicacin y sustraccin crearon los operadores lgicos equivalentes de unin, interseccin y negacin; adems formularon los principios del razonamiento simblico y el anlisis lgico. A Boole se le atribuye la invencin de las tablas de verdad para comprobar la veracidad de proposiciones compuestas. 3 Este trabajo fue retomado por Bertrand Russell y Alfred Whitehead en 1910 en su obra Principio Matemtico, quienes codificaron la lgica simblica en su presente forma definindola como la Ciencia de todas las operaciones conceptuales posibles, por esta razn la fundacin de la lgica formal moderna se le atribuye a ellos. 4

1.2 Clasificacin de la lgicaLa lgica se puede clasificar como lgica tradicional o no formal y lgica simblica o formal: 1. Lgica tradicional o no formal. 2. Lgica simblica o formal. En la lgica no formal o lgica tradicional se considera la destreza para interpretar y distinguir un razonamiento correcto de un razonamiento incorrecto como un producto de la experiencia humana obtenida en la relacin con el mundo circundante. En palabras de Galindo (1999), se consideran los procesos psicobiolgicos del pensamiento lgico. La lgica como ciencia constituye la lgica formal o simblica, la cual se encarga de investigar, desarrollar y establecer los principios fundamentales que siguen la validez de la inferencia; es considerada como uno de los sistemas mediante el cual se llega a formas puras y rigurosas. 5 En el pensamiento simblico, las palabras se manipulan, segn las reglas establecidas, como si fueran simples signos sin preocuparse por su sentido. De all, que afirmemos que la lgica se ocupa de la forma de los pensamientos y no de su contenido.3,4,5


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1.3 Propsito de la lgicaLa lgica ofrece mtodos que ensean cmo formar proposiciones, evaluar sus valores de verdad y determinar si unas conclusiones se pueden deducir correctamente a partir de proposiciones supuestas; adems, la lgica es una ciencia que se interesa por las relaciones existentes entre las proposiciones, con el fin de obtener precisin, claridad y generalidad en los razonamientos. La precisin la logra mediante el uso de smbolos, los cuales tienen como funcin primordial eliminar las ambigedades que la estructura del lenguaje ordinario no puede evitar con facilidad. La claridad y generalidad, la consigue en la medida en que el usuario se familiariza con los elementos bsicos de un argumento lgico, tanto en su representacin simblica como en su significado para luego establecer un lenguaje simblico artificial, que le permita simplificar argumentos lgicos complicados; de esta manera, el smbolo permite concentracin sobre lo esencial de un contexto dado, incrementando la fiabilidad con que se aplica el conocimiento. 6

1.4 Lgica y LingsticaPor su origen y desarrollo natural, han sido reconocidos dos tipos bsicos de lenguajes: los lenguajes naturales y los lenguajes formales o artificiales. Los lenguajes naturales no se establecieron a travs de ninguna teora, entre ellos estn el castellano, el francs y el ingls. Las teoras y gramticas de lenguajes naturales, fueron establecidas a posteriori, es decir despus de que el lenguaje ya haba madurado. Los lenguajes formales como las matemticas y la lgica, fueron desarrollados, generalmente, a partir del establecimiento de una teora, la cual da las bases para que a travs de dichos lenguajes se pueda desarrollar la misma teora.

6


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Lgica Matemtica

Los lenguajes naturales y formales tienen puntos en comn, en principio, se tiene la existencia de un conjunto finito llamado alfabeto, el cual esta constituido de smbolos simples llamados comnmente letras. En los lenguajes naturales se tienen como ejemplos los alfabetos: latino, griego y rabe-persa, entre otros. En los formales como la lgica se tiene el lxico del clculo proposicional y de predicados. Mediante la concatenacin de las letras del alfabeto se forman los monemas, fonemas o palabras que se encuentran en el interior de un enunciado, de tal forma que un lenguaje se considera como un conjunto infinito de oraciones o enunciados que se forman con palabras. En los sistemas formales los enunciados del lenguaje consisten en una lista de smbolos, (lgicos o matemticos) sujetos a diversas interpretaciones. En un lenguaje formal, las palabras y las oraciones estn perfectamente definidas, una palabra mantiene el mismo significado prescindiendo del contexto o de su uso. Los lenguajes formales son, por esto, necesariamente exentos de cualquier componente semntico fuera de sus operadores y relaciones, y es gracias a esta ausencia de significado especial, que los lenguajes formales pueden ser usados para modelar una teora de la ingeniera de sistemas, mecnica, elctrica, entre otras. 7

1.4.1 Lenguajes naturales y artificialesPodemos considerar el lenguaje como un sistema de signos que expresan ideas y que se utiliza para establecer comunicacin. El hombre se comunica y participa de este proceso mediante el lenguaje natural humano; sin lenguaje, o con un lenguaje rudimentario, el hombre estara limitado socialmente. Cuando el hombre aprende a nombrar todo lo que le rodea y luego es capaz de relacionar el objeto solamente con su nombre, el lenguaje se convierte en smbolo, es decir, toma vida independiente del objeto, de tal forma que se puede afirmar que el lenguaje no slo es un instrumento de comunicacin sino tambin de pensamiento; por lo tanto, para el hombre el lenguaje es exterior e interior,7


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ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA MODULO DE LOGICA MATEMTICA pues le permite establecer comunicacin y mediante l acumula y transmite sus experiencias utilizando los procesos de simplificacin y generalizacin. De otra parte se puede hablar de lenguaje natural o artificial . El lenguaje natural nace de una organizacin espontnea de las capacidades lingsticas de una organizacin comunidad, y se encuentra dotado de gran cantidad de signos, sobresalido las vocales; mientras que el lenguaje artificial se genera cuando una o ms personas deciden usar signos especiales, para obtener mejor comunicacin, obtener estableciendo reglas que faciliten la op ratividad entre los signos; por ejemplo, el operatividad lenguaje de la matemticas, de la fsica, qumica y de otras ciencia. Este tipo de lenguaje posee gran cantidad de signos y nace de la exigencia de conservar informacin por lo que se le conoce como formas de comunicacin, que pueden ser escritas por medio de conos, con lenguajes analgicos y digitales. 8

Lenguaje Natural

Imagen No. 1 . Scrates. Detalle de La escuela de Atenas fresco de Raffaello Sanzio (1511)

Lenguaje Artificial

8

Galindo Patio N. J. (1999). Lgica Matemtica. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Santa Fe de Bogot. D.C. . 1999

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Lgica Matemtica

h = a +b2 2

2

a2

h2

b2Figura No. 1 Teorema de Pitgoras.Imagen No. 2. Pitgoras (582 a.c).. Detalle. La escuela de Atenas - fresco de Raffaello Sanzio (1511) (1511

HG

K A

F

B

C

D L

E

Imagen No. 3 Euclides. Padre de la Geometra. Detalle. La escuela de Atenas - fresco de Raffaello Sanzio (1511)

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1.5 Componentes del proceso semiticoIniciamos esta seccin asignndole el trmino semitica a la ciencia que estudia los sistemas de signos, se encarga de estudiar las condiciones de comunicabilidad y comprensibilidad de un mensaje, ensea en qu consisten los signos y cules son las leyes que los gobiernan. En el proceso semitico deben tenerse en cuenta tres vertientes: el emisor, el receptor y el contexto del mensaje. El emisor es quien inicia la comunicacin enviando un mensaje al receptor; esta operacin implica un contexto (aquello de lo que se habla), signos y por lo tanto un cdigo. La funcin del signo consiste en comunicar ideas por medio de mensajes, estos signos pueden ser naturales: el humo significa fuego, nubes indicio de lluvia; o artificiales (smbolos): bandera, escudo; o analgicos (icnicos): fotografas, esquemas, etc. El signo es el vehculo de toda comunicacin y pensamiento. Sus caractersticas estn determinadas por el lugar que el signo ocupa en el sistema y por sus relaciones con los dems signos de dicho sistema. La funcin esencial de los cdigos es evitar toda confusin entre el signo y el mensaje. Si los signos se encuentran en una relacin lgica de exclusin, de inclusin o de interseccin, se pueden presentar tres tipos de cdigos: Exclusin:

A

B

C

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Lgica Matemtica Inclusin

A BC

Interseccin

A

B

CEl emisor debe codificar el mensaje de tal forma que cuando el receptor reciba el mensaje y lo decodifique pueda reconstruir su sentido a partir de los signos y de las relaciones existentes entre ellos. 9

9


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1.6 Ramas de la semiticaActualmente se reconocen tres reas en el campo de la semitica as: sintaxis, semntica y pragmtica. El primero establece con claridad y divulgar esta clasificacin fue Morris en 1938, quien defini la pragmtica como el estudio de la relacin de los signos con los intrpretes, la semntica como el de las relaciones de los signos con los objetos a los que se aplican y la sintaxis como el de las relaciones formales entre los mismos signos. Galindo (1999)

A continuacin te invitamos a plantear la pertinencia del curso de lgica matemtica para tu programa de estudio:

Ejercicio Propuesto 1:

__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

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Lgica Matemtica

La lgica se clasifica en: 1. Tradicional o no formal: son los procesos psicobiolgicos del pensamiento lgico y mtodos de inferencia, que permiten interpretar y distinguir el razonamiento correcto del incorrecto, mediante la experiencia humana, ya sea por el conocimiento o por la observacin de su entorno. 2. Formal o simblica: Es la encargada de investigar, desarrollar y establecer reglas de inferencia, que conducen a formas puras y rigurosas de pensamiento. La lgica simblica, manipula las palabras como signos, sin tener en cuenta su sentido. La lgica pretende que sus razonamientos se caractericen por: 1. Precisin: mediante el uso de signos 2. Claridad: en la medida que el usuario se familiariza con los elementos bsicos de un argumento lgico en su forma (representacin simblica) y su significado. 3. Generalidad: mediante el lenguaje simblico artificial, el usuario, por una parte simplifica argumentos lgicos complicados y por otra parte, establece reglas que le permiten generalizar conceptos e incrementar la fiabilidad con que se aplica el conocimiento. Lenguaje: Sistema de signos que expresan ideas y se utilizan para establecer comunicacin. Lenguaje natural: Nace de las capacidades lingsticas de una comunidad. Lenguaje artificial: Es aquel que utiliza signos para obtener una comunicacin ms precisa y clara.

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Amigo estudiante, recuerda que la motivacin es una de las tres condiciones para lograr un aprendizaje significativo: 1. Cmo se puede definir la lgica? 2. Elabore un resumen sinttico de la historia de la lgica? 3. Mediante un cuadro sinptico, clasifique la lgica con sus caractersticas fundamentales 4. Cul es el propsito de la lgica? 5. Escriba y explique las componentes del proceso semitico. 6. Enuncie las ramas de la semitica.

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Lgica Matemtica

Lecciin No..2 Proposiiciiones Lecc n No 2 Propos c ones

1.7 ProposicionesLa proposicin lgica constituye el elemento fundamental de la lgica. Una proposicin lgica es un enunciado lingstico que debe cumplir con la condicin de ser susceptible de poder ser verdadero o falso.

Por ejemplo:La temperatura ambiente es mayor de 20 grados es un enunciado que puede ser Verdadero o Falso. La proposicin puede ser verdadera o falsa en un momento dado, decimos entonces que, el valor de verdad de una proposicin lgica es, por definicin, verdadero o falso, y es representado por las letras V o F. El valor de verdad de la proposicin de acuerdo a la relacin de su contenido con la realidad no es el objeto de estudio de la lgica. Es por esta razn que se afirme que la lgica habla de lo posible, pero no de lo real. De esta manera, dada la proposicin hace fro, independiente de las creencias de cualquiera o de la realidad de que est o no haciendo fro, independiente del lenguaje o de la forma lingstica usada como la temperatura est baja, la lgica slo se ocupa de la posibilidad de ser verdadero o falso de la proposicin. De all que se suela afirmar que la verdad lgica es una verdad formal, que no tiene contenido. Observemos que las proposiciones se dan mediante un enunciado lingstico, generalmente en la forma gramatical de oracin enunciativa: Recordemos que la oracin enunciativa se corresponde con los actos de habla declarativos, los cuales comunican sin ms, un hecho: Juan es Colombiano. Estas expresiones contienen un sujeto perfectamente definido o dado por el contexto, un predicado y una conjugacin del verbo ser, observemos algunos ejemplos:

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Ejemplos:Hoy es sbado Soy estudiante de psicologa New York es llamada la capital del mundo De esta manera, podemos afirmar que la lgica se ocupa de las proposiciones. Ms adelante, estudiaremos reglas que permiten la transformacin de unas expresiones en otras equivalentes, y veremos como, de acuerdo a estas reglas o leyes lgicas, a partir del valor de verdad de una o varias proposiciones logramos inferir la verdad o falsedad de otras proposiciones.

1.7.1 Representacin de las proposicionesLa lgica utiliza un lenguaje exacto que no da lugar a imprecisiones, para tal fin toma como elemento bsico de anlisis a la proposicin, que no es otra cosa que una oracin del lenguaje cotidiano con un significado mucho ms limitado; en tales condiciones, se puede considerar una proposicin como una excepcin lingstica que tiene la propiedad de ser verdadera o falsa. Galindo (1999) Las proposiciones se representan simblicamente mediante el uso de letras minsculas del alfabeto tales como p, q, r, s, ..., x, y, z, las cuales reciben el nombre de letras o variables proposicionales; de esta forma, el lenguaje proposicional se hace ms simple y exacto que el lenguaje natural. As, tambin se logra simplificar la escritura de argumentos lgicos complicados, creando un lenguaje simblico artificial, en donde se establece un conjunto de reglas claras, bien definidas y que no presentan las ambigedades ni vaguedades del lenguaje corriente o natural: Los siguientes ejemplos ilustran cmo se pueden simbolizar las proposiciones:

Ejemplos:p : Hoy es sbado q : Estudio filosofa r : Colombia es el pas con el mayor nmero de especies de aves del mundo x : 4 + 3 = 10

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Lgica Matemtica

En el lenguaje cotidiano se encuentran expresiones como las siguientes:

Ejemplos:Las rosas son rojas

y

tienen espinas.

La seleccin Colombia gan o perdi? En el pas

no hay violencia.podr determinar la validez de

Si estudio lgica matemtica entoncesun razonamiento lgico. 4 es un nmero par

si y slo si

se puede dividir por 2.

Para la formacin de las oraciones del ejemplo anterior se utilizaron las expresiones especiales: y, o, no, si entonces, s y slo si, que sirvieron para unir o enlazar los enunciados; denominamos a stas partculas o trminos de enlace "nexos o conectivas", que establecen relaciones sintcticas como funcin de coordinacin y subordinacin determinadas entre las proposiciones que la integran; tal ocurre en la funcin de las conjunciones en las oraciones compuestas de la lengua. Al igual que a las proposiciones, tambin les asignamos un lenguaje simblico as: Tabla No. 1 Lenguaje Natural y Artificial

Lenguaje Natural

Lenguaje Artificial

y ono

Si

. entonces Si y slo si

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Partiendo del ejemplo anterior, podemos hallar la notacin simblica de las expresiones planteadas:

Ejemplos:Las rosas son rojas

y

tienen espinas.

p : Las rosas son rojas q : Las rosas tienen espinas

pqLa seleccin Colombia gan o perdi? r: La seleccin Colombia gan? s: La seleccin Colombia perdi?

rsEn el pas

no hay violencia.

t : En el pas hay violencia.

tSi estudio lgica matemtica entoncesun razonamiento lgico x : Estudio lgica matemtica y : Ser un destacado ingeniero de sistemas podr determinar la validez de

x y4 es un nmero par

si y slo si

se puede dividir por 2.

u : 4 es un nmero par v : 4 es divisible por 2

uv41

Lgica Matemtica

1.7.2 Clasificacin de las proposicionesEn lgica se consideran y se simbolizan dos clases de proposiciones: atmicas o simples y moleculares o compuestas, veamos:

1.7.2.1 Proposiciones simplesSe denominan proposiciones simples aquellas oraciones que no utilizan conectivos lgicos. Estos son algunos ejemplos: p: q: r : s: El eclipse es un fenmeno natural La luna es un satlite de la tierra La UNAD es una universidad abierta -3 es el inverso aditivo de 3.

El valor de verdad de una proposicin simple puede ser verdadero (V) o falso (F), pero no los dos valores al mismo tiempo, pues dejara de ser proposicin. Recordemos que una proposicin debe tener sentido completo, es decir debe ser posible asignarle un valor de verdad (es falsa o verdadera).

Ejemplos:

1+4=5 3 es nmero par Medelln es la capital de Antioquia

1.7.3 Proposiciones CompuestasSi se unen dos o ms proposiciones simples, mediante trminos de enlace, tales como no, y, o, si entonces, se forman las proposiciones compuestas; el valor de verdad de dichas proposiciones es verdadero o falso, dependiendo slo de los valores de verdad de las proposiciones simples que las conforman.

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Ejemplos:

La igualdad de oportunidades conduce a la paz

Si un tringulo es issceles, entonces Quieres gaseosa o helado

es equiltero

Las proposiciones compuestas son aquellas que se obtienen combinando dos o ms proposiciones simples mediante trminos de enlace. Estos son algunos ejemplos de proposiciones compuestas: Sean: p : Est lloviendo q: El sol brilla

pqSean:

Est lloviendo y el sol brilla

x : Quieres caf? y : Quieres t?

x ySean: s : Llueve r : Hace fro

quieres caf o t?

rsSean:

Si llueve entonces hace fro

p : Un tringulo es equiltero q: Un tringulo tiene sus tres lados iguales

pqUn tringulo es equiltero si y slo si tiene sus tres lados iguales.

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Lgica Matemtica

La veracidad o falsedad de una proposicin compuesta, depende del valor de verdad de cada una de las proposiciones simples que la conforman y de la manera como estn combinadas; para tal fin, en las prximas secciones estudiaremos ms detenidamente la forma de enlazar o unir proposiciones simples de tal manera que se puedan fijar criterios para establecer cundo una proposicin compuesta es verdadera o falsa. Veamos algunos ejemplos de oraciones que no son proposiciones porque no se les puede asignar un valor de verdad (falso o verdadero).

Ejemplos:

1.

El tringulo es menor que el crculo Esta oracin no es proposicin, puesto que no especifica el criterio de comparacin, es decir, el rea, permetro, , entre las figuras geomtricas.

2.

x+5=8 Aqu, x es una variable independiente, por lo tanto puede tomar cualquier valor y por consiguiente no se puede afirmar nada.

Plantea cinco expresiones asociadas a tu programa de estudio que no sean proposicones y cinco expresiones que si lo sean: Son proposiciones No son proposiciones


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Lecciin No..3 Conecttiivos llgiicos ffundamenttalles Lecc n No 3 Conec vos g cos undamen a es

1.8 Conectivos LgicosComo ya se dijo en la seccin anterior, los smbolos que sirven para enlazar dos o ms proposiciones simples, se llaman conectivos lgicos. Los conectivos lgicos son: la conjuncin, la disyuncin, la negacin, el condicional y el bicondicional.

1.8.1 Conjuncin: Sean p y q dos proposiciones simples. La proposicin compuesta p y q simbolizada por p q, se denomina la conjuncin de p y q.

Ejemplo 1:

r s : 6 es nmero par y entero positivo, en donde:r : 6 es un nmero par. : y s : entero positivo.

Ejemplo 2:

p q : Diego estudia psicoanlisis y Ana estudia conductismo.p:

q:

Diego estudia psicoanlisis y Ana estudia conductismo

Para determinar el valor de verdad de proposicin compuesta formada por dos proposiciones simples unidas por una conjuncin utilizaremos la representacin grfica mediante el uso de los diagramas de VENN. Los diagramas de VENN, a travs de reas sombreadas muestran claramente el conjunto de verdad de la operacin que se est realizando, veamos: La siguiente figura representa el conjunto de verdad de la conjuncin, donde: U = {todas las personas} P = {personas que juegan futbol}

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Lgica Matemtica

U P Q

Figura No. 2 Conjuncin

Q = {personas que son Colombianas} P(x) = x es un jugador de ftbol Q(x) = x es un Colombiano

p ( x) q ( x)

x es un jugador de futbol y x es un Colombiano

P Q = { x / p ( x ) q ( x )} = {todas las personas que juegan futbol y son Colombianas}Como se dijo en la seccin anterior, el valor de verdad de una proposicin compuesta no slo depende del conectivo lgico, sino del valor de verdad de cada una de sus proposiciones simples. Por lo tanto, surgen las siguientes posibilidades: Caso 1: Caso 2: Caso 3: Caso 4: Que p sea verdadera Que p sea verdadera Que p sea falsa Que p sea falsa y y y y q sea verdadera q sea falsa q sea verdadera q sea falsa

Estudiemos estos cuatro casos en el ejercicio propuesto: Caso 1: r: s: Santiago es jugado de futbol Santiago es Colombiano Verdadera (V) Santiago es jugado de futbol Santiago no es Colombiano Falsa (F) Santiago no es jugado de futbol Santiago es Colombiano Falsa (F) Falsa. Santiago no es jugado de futbol Falsa. Santiago no es Colombiano

rs:

Caso 2:

r: s:

rs:

Caso 3:

r: s:

rs:

Caso 4:

r: s:

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rs:

Falsa (F).

A continuacin se analizan estas posibilidades para el ejemplo 1: Caso 1: r: s: Verdadera 6 es un nmero par Verdadera 6 es un entero positivo Verdadera (V) Verdadera Falsa Falsa (F) Falsa Verdadera Falsa (F) Falsa Falsa Falsa (F) 6 es un nmero par 6 no es un entero positivo

rs:

Caso 2:

r: s:

rs:

Caso 3:

r: s:

rs:

6 no es un nmero par 6 es un entero positivo

Caso 4:

r: s:

rs:

6 no es un nmero par 6 no es un entero positivo

Podemos resumir estos resultados utilizando la siguiente tabla, llamada tabla de verdad de la conjuncin:

Tabla No. 2 Tabla de verdad de la conjuncin

pV V F F

qV F V F

pqV F F F

De tal manea que podemos concluir que la conjuncin es verdadera nicamente cuando las dos proposiciones simples son verdadera, en cualquier otro caso la conjuncin es falsa.

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Lgica Matemtica

Ejercicio Propuesto 3:ejemplo 2:

Plantea el anlisis de todos los casos y valores de verdad para el

Ejercicio propuesto

Termino de escribir mi programa de computacin y luego jugar tenis

CASO 1:

CASO 2:

CASO 3:

CASO 4:

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1.8.2 La disyuncin v Sean p y q dos proposiciones simples. La proposicin p o q, simbolizada p v q se llama disyuncin de p y q.

Ejemplo 1:

Uso del o incluyente r v s: Juan estudia ingeniera o Paola estudia medicina r : Juan estudia ingeniera v: o s: Paola estudia medicina

Ejemplo 2:

Uso del o excluyente x v y : Quieres helado o gaseosa. x : Quieres helado. v: o y: Quieres gaseosa.

Ejemplo 3:

Uso del o excluyente p v q: Alexandra vive en Bogot o en Barranquilla. p : Alexandra vive en Bogot. v:o q : Alexandra vive en Barranquilla.

Los ejemplos anteriores muestran los usos del operador o. En el ejemplo 2 tenemos el llamado o incluyente el cual hace que el valor de verdad de una de las dos proposiciones simples repercuta en el valor verdadero de la proposicin disyuntiva; mientras que el conectivo lgico o de los ejemplos 2 y 3 acta como un o excluyente, donde el valor de verdad de una proposicin excluye la veracidad de la otra proposicin, esto hace que la proposicin disyuntiva siempre tome el valor verdadero.

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Lgica Matemtica

Para establecer el valor de verdad de una proposicin disyuntiva, consideremos las siguientes funciones proposicionales: U = {personas que son Colombianas} P(x) = x es una persona que vive en Bogot Q(x) = x es una persona que vive en Barranquilla

p ( x) q ( x)

x es un Colombiano que vive en Bogot o x es un Colombiano que vive en Barranquilla

P Q = { x / p ( x ) q ( x )} = {todos los Colombianos que viven en Bogot o en Barranquilla}Por consiguiente el conjunto de verdad de la disyuncin es exactamente la unin de los conjunto de verdad de sus componentes; su representacin grfica es la parte sombreada de la siguiente figura:

P

Q

U

Figura No. 3

Disyuncin

Como se analiz en la conjuncin, el valor de verdad de la proposicin compuesta no slo depende del conectivo lgico, sino del valor de verdad de cada una de sus proposiciones simples. Por lo tanto, surgen las mismas cuatro posibilidades: Caso 1: Caso 2: Caso 3: Caso 4: Que p sea verdadera Que p sea verdadera Que p sea falsa Que p sea falsa y y y y q sea verdadera q sea falsa q sea verdadera q sea falsa

A continuacin se analizan estas posibilidades para las siguientes dos proposiciones: Sean : r: s: 2 es un nmero par 5 es un nmero impar

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ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA MODULO DE LOGICA MATEMTICA Caso 1: r: s: Verdadera Verdadera Verdadera (V) Verdadera Falsa Verdadera (V) Falsa Verdadera Verdadera (V) Falsa Falsa Falsa (F) 2 es par 5 es impar 2 es par o 5 es impar 2 es par 5 es no es impar 2 es par o 5 no es impar 2 no es par 5 es impar 2 no es par o 5 es impar 2 no es par 2 no es impar 2 no es par o 5 no es impar

rs:

Caso 2:

r: s:

rs:

Caso 3:

r: s:

rs:

Caso 4:

r: s:

rs:

De lo planteado en los casos anteriores podemos concluir que la tabla de verdad de la disyuncin es:

Tabla No. 3 Tabla de vedad de la disyuncin

pV V F F

qV F V F

pqV V V F

Es decir, la disyuncin es falsa solamente cuando las dos proposiciones simples son falsas. En los otros casos es verdadera.

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Lgica Matemtica

Plantea ejemplos de premisas r y s asociados con tu programa de estudio, tal que te permitan verificar el valor de verdad de la proposicin compuesta r s . Usa como referencia los cuatro casos anteriores.


Premisas elegidas

r= s=

CASO 1:

CASO 2:

CASO 3:

CASO 4:

Mi conclusin:

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1.8.3 La negacin ~Sea p una proposicin simple. Se define la negacin de p mediante la proposicin compuesta no p simbolizada por: ~ p o por p

Ejemplo 1: Ejemplo 2:

p: p : q: ~ q:

3 es un nmero entero primo. 3 no es un nmero entero primo, tambin se puede leer. es falso que 3 es un nmero entero primo. El automvil de Francisco es rojo. El automvil de Francisco no es rojo ,o, es falso que el automvil de Francisco es rojo.

Claramente se puede establecer que si una proposicin es verdadera su negacin es falsa y recprocamente, si una proposicin es falsa su negacin es verdadera, por lo tanto la tabla de verdad de la negacin es:Tabla No. 4 Tabla de vedad de la negacin

pV FU

~pF V

La representacin en diagramas de Venn de la negacin es como sigue:

= {personas que son Colombianas}, p ( x ) = x es una persona que no vive en Bogot

p ( x ) = x es una persona que no vive en Bogot

U

~PPFigura No. 4 Negacin

El rea sombreada corresponde a la negacin de P

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Lgica Matemtica

Plantea cinco ejemplos de premisas asociados con tu programa de estudio, y su correspondiente negacin. Consideras que es necesario emplear siempre la palabra NO para negar una proposicin?


Premisa

Negacin de la premisa

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Lecciin No..4 Conecttiivos llgiicos Condiiciionall y Biicondiiciionall Lecc n No 4 Conec vos g cos Cond c ona y B cond c ona

1.8.4 El condicional

Se dice que una proposicin compuesta es condicional, si esta formada por dos proposiciones simples enlazadas por la expresin si entonces. Si p y q representan dos proposiciones, la expresin si p entonces q se simboliza as: p q y se lee p implica q. La proposicin precedida por la expresin si, se llama antecedente o hiptesis y la proposicin precedida por la expresin entonces, se llama consecuente o conclusin de la implicacin. En la expresin p q , el antecedente es p y el consecuente es q. Las proposiciones condicionales se pueden enunciar en nuestro lenguaje natural de diferentes maneras, algunas son:

Si p entonces q p slo si q q si p p es suficiente para q q es necesaria para pLos siguientes ejemplos ilustran los anteriores enunciados:

Si un entero es mltiplo de 4 entonces es divisible por 2 Apruebo el semestre slo si estudio El algoritmo esta bien enunciado si el programa corre Si dos rectas nunca se cortan necesariamente son paralelas Si es conductista entonces reduce toda conducta humana a la relacin estmulo-respuesta

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Lgica Matemtica

Elije una proposicin condicional asociada con tu programa de estudio y plantea la misma expresin de diferentes formas sin cambiar su sentido.


Proposicines condicionales elegidas

Manera 1

Manera 2

Manera 3

Manera 4

Manera 5

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Cmo determinar el valor de verdad de la proposicin condicional?Supongamos verdadera la siguiente proposicin: Si es un da soleado entonces hace calor Sea p: q: es un da soleado hace calor

Como lo analizamos en los casos anteriores, surgen cuatro posibilidades: Caso 1: Es un da soleado y hace calor. En este caso el antecedente y el consecuente se cumplen. Por lo tanto la proposicin compuesta p q es verdadera. Es un da soleado pero no hace calor. En este caso el antecedente se cumple pero no se cumple el consecuente. Por lo tanto la proposicin compuesta p q es falsa. No es un da soleado pero a pesar de esto hace calor. En este caso encontramos que aunque el antecedente se cumple el consecuente no. No obstante esto no hace falsa la proposicin compuesta original Si es un da soleado entonces hace calor. Por lo tanto la proposicin compuesta p q es verdadera. Es no es un da soleado y no hace calor. En este caso no se da el antecedente y no se cumple el consecuente. Por lo tanto la proposicin compuesta p q es verdadera.

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

De los casos planteados concluimos que la tabla de verdad para la implicacin toma los siguientes valores:Tabla No. 5 Tabla de vedad para el condicional

pV V F F

qV F V F

pqV F V V

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Lgica Matemtica

1.8.5 El bicondicional Se denomina bicondicional a la proposicin formada por dos proposiciones simples conectadas por la expresin s y slo s. Simblicamente si p y q son proposiciones simples, la doble implicacin p q constituye un bicondicional, donde p recibe el nombre de primer miembro y q segundo miembro. El bicondicional est formado por las implicaciones p q y q p , las cuales deben tener el mismo valor de verdad para formar una equivalencia entre p y q; en consecuencia, se dice que la proposicin p es equivalente a la proposicin q y se acostumbra a escribir p q . La proposicin bicondicional tiene varias formas de traduccin ms no de significacin, veamos: p s y slo si q q s y slo si p si p entonces q y recprocamente si q entonces q y recprocamente p es una condicin necesaria y suficiente para q q es una condicin necesaria y suficiente para p

Construye una proposicin bicondicional con dos premisas asociadas a tu programa de estudio, luego rescribe la proposicin bicondicional sin cambiar su sentido. Cuntas maneras diferentes de expresar la misma idea en leguaje natural encuentras? Premisa 1: _______________________________________________________________ Premisa 2: _______________________________________________________________ Proposicin bicondicional: ___________________________________________________ ________________________________________________________________________ La misma proposicin bicondicional expresada de otra manera: ___________________________________________________________________________


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ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA MODULO DE LOGICA MATEMTICA A continuacin un ejemplo con premisas asociadas a la geometra:

Ejemplo 1:

Dadas las proposiciones atmicas: p: Un tringulo es rectngulo q: Un tringulo tiene un ngulo recto

El bicondicional p q se puede traducir de las siguientes formas: Un tringulo es rectngulo s y slo s tiene un ngulo recto. Un tringulo tiene un ngulo recto s y slo s es un tringulo rectngulo Si un tringulo es rectngulo entonces tiene un ngulo recto y si un tringulo tiene un ngulo recto entonces es un tringulo rectngulo. Una condicin necesaria y suficiente para que un tringulo sea rectngulo es que tenga un ngulo recto. Una condicin necesaria y suficiente para que un tringulo tenga un ngulo recto es que sea un tringulo rectngulo. Un tringulo rectngulo es equivalente a un tringulo con un ngulo recto.

Cmo determinar bicondicional?

el

valor

de

verdad

de

la

proposicin

Supongamos verdadera la siguiente proposicin: Si y slo si es un da soleado entonces hace calor Sea p: q: es un da soleado hace calor

Como lo analizamos en los ejemplos anteriores, surgen cuatro posibilidades: Caso 1: Es un da soleado y hace calor. En este caso ambas proposiciones se cumplen. Por lo tanto la proposicin compuesta p q es verdadera. Es un da soleado pero no hace calor. En este caso se cumple slo una de las dos proposiciones simples, lo que de acuerdo con la expresin Si

Caso 2:

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Lgica Matemtica y slo si es un da soleado entonces hace calor no debera darse. Por lo tanto tal proposicin compuesta ( p q ) es falsa. Caso 3: No es un da soleado pero hace calor. En este caso se cumple slo una de las dos proposiciones simples, lo que de acuerdo con la expresin Si y slo si es un da soleado entonces hace calor no debera darse. Por lo tanto tal proposicin compuesta ( p q ) es falsa. No es un da soleado y no hace calor. En este caso se cumple slo una de las dos proposiciones simples, lo que no se contradice con la expresin Si y slo si es un da soleado entonces hace calor . Por lo tanto la proposicin compuesta ( p q ) es verdadera.

Caso 4:

De los casos planteados concluimos que la tabla de verdad para la dobleimplicacin toma los siguientes valores:

Tabla No. 6 Tabla de vedad para el condicional

pV V F F

qV F V F

pqV F F V

As podemos concluir que el bicondicional es verdadero solamente cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

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De acuerdo a la definicin estudiada para el bicondicional; para determinar los valores de verdad de la proposicin bicondicional basta indagar por el valor de verdad de la conjuncin entre las implicaciones p q y q p . Se propone al estudiante hacer la demostracin.


pV V F F

qV F V F

pq

q p

(q p) ( p q)

pq

Mi conclusin:

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Lgica Matemtica

Proposicin: Proposiciones con sentido completo cuyo valor es verdadero o falso, pero no ambos a la vez. Expresin lingstica con la propiedad de ser verdadera o falsa. Las proposiciones se representan simblicamente mediante las letras p, q, r, s, t. Conectivos lgicos: Son trminos que sirven para unir o enlazar proposiciones simples. Los conectivos lgicos fundamentales son: Lenguaje Natural y o no Clases de proposiciones 1. Simples o atmicas: oraciones con sentido completo que no utilizan conectivos lgicos. 2. Compuestas o moleculares: Se obtienen combinando dos o ms proposiciones simples mediante la utilizacin de los conectivos lgicos. Unin de dos o ms proposiciones simples mediante trminos de enlace como o, y, si entonces, si y slo si. Su valor de verdad depende de los valores que tomen las proposiciones que la conforman. 3. Tablas de verdad para los conectivos lgicos: Proposiciones p q V V V F F V F F Smbolo

Nombre Conjuncin Disyuncin Negacin

pF F V V

Negacin

qF V F V

Conjuncin Disyuncin Condicional Bicondicional

pqV F F F

pqV V V F

pqV F V V

pqV F F V

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Todo conocimiento, habilidad, destreza o competencia puede permitir la transferencia de situaciones conocidas a desconocidas. Es decir, a continuacin desarrollaremos actividades que agregan valores de recontextualizacin y productividad a los conocimientos aprendidos y a las competencias desarrolladas en la fase de profundizacin. Salazar (2008). Se trata de actividades que plantean la utilidad social del conocimiento mediante su aplicacin en el contexto: I. A continuacin encontrars diez proposiciones compuestas. Para cada proposicin se debe identificar las proposiciones simples, los conectivos lgicos y finalmente expresar la proposicin compuesta en lenguaje simblico:

Ejemplo:Proposicin compuesta: Lograr aprender si estudio y practico Proposiciones simples: p = estudio q = practico r = aprendo Proposicin compuesta identificando los conectivos lgicos: Si estudio y practico, entonces aprendo Antes de intentar expresar la proposicin compuesta en lenguaje simblico, es necesario identificar el antecedente y el consecuente del condicional, es decir, identificar cul es la causa y cual el efecto. En este caso el efecto es aprender y la causa estudiar y practicar, por lo tanto: La proposicin compuesta en lenguaje simblico es:

( p q) r

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Lgica Matemtica

Obsrvese la necesidad de usar signos de agrupacin para expresar correctamente el sentido de la proposicin.

Ejercicio de transferencia propuesto:Para las siguientes proposiciones compuestas identifiquemos las proposiciones simples, los conectivos lgicos y expresemos la proposicin compuesta en lenguaje simblico: Proposiciones: 1. Sara no es estudiante de psicologa 2. Si hoy es viernes, maana es sbado 3. Si el medicamento contiene antipirtico, quita la fiebre 4. Si el medicamento quita la fiebre, entonces es antipirtico 5. Siempre y cuando trabaje, me pagan 6. Sandra estudia ingls pero Mateo estudia francs 7. Sandra estudian ingls o francs 8. Aunque Sandra estudia ingls, Mateo estudia francs 9. Sandra y Mateo estudian francs 10. Es mentiras que Ana estudia Ingls II. En este ejercicio haremos uso de los diagramas de VEEN para deducir la representacin para las siguientes proposiciones compuestas identificar las proposiciones simples, los conectivos lgicos y expresar la proposicin compuesta en lenguaje simblico:

Ejemplo:U = {Colombianos} P = {personas que juegan futbol} Q = {personas que son de Santamarta} Representar mediante diagramas de VENN el conjunto de personas que Juegan futbol y son Colombianas:

U P Q

Figura No. 5 Ejemplo actividad de transferencia I -

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Ejercicio de transferencia propuesto:Dados: U P Q = {Colombianos} = {personas que juegan ftbol} = {personas que son de Santamarta}

Representar mediante diagramas de VENN las siguientes proposiciones proposiciones: ersonas f 1. Personas que Juegan ftbol y son Colombianas 2. Personas que Son de Santa Marta 3. Personas que son Colombianas 4. Personas que son Colombianas pero no juegan ftbol on f 5. Personas que son de Santa Marta pero no juegan ftbol nas 6. Personas que no son de Santa Marta 7. Personas que son de Santa Marta y juegan ftbol 8. Personas que son Colombianas o juegan ftbol 9. Personas que Juegan ftbol 10. Personas que son Colombianas pero no son de Santa Marta 11. Personas que son de Santa Marta o Juegan futbol

Una recomendacin para el estudiante es partir de proponer elementos para cada conjunto, de tal manera que podamos representar los conjuntos propuestos por extensin:

U PJuan Diego Ana Pedro Camilo

QSantiago

Figura No. 6 Ejemplo actividad de transferencia II -

Ejemplo:Personas que Juegan ftbol y son Colombianas: { Juan, Diego, Ana, Pedro} ersonas f

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Lgica Matemtica

Lecciin No..5 Tabllas de verdad Lecc n No 5 Tab as de verdad

1.9 Tablas de VerdadUna tabla de verdad es una representacin esquemtica de las relaciones entre proposiciones; sirve para determinar los valores de verdad de proposiciones compuestas, las cuales dependen de los conectivos utilizados y de los valores de verdad de sus proposiciones simples. En la elaboracin de una tabla de verdad los trminos de enlace tales como la negacin ( ~ ), la disyuncin ( v ) y la conjuncin ( ) se consideran conectivos fundamentales; por tal razn, sus valores de verdad constituyen la base para establecer bajo qu condiciones una proposicin compuesta es verdadera o falsa.

Como lo aprendimos en la leccin anterior, la siguiente tabla resume los valores de verdad de los conectivos lgicos:

Tabla No. 7 Valores de verdad de los conectivos

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