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MATERIA: TRANSFERENCIA DE CALOR I T S A CAT: ING. GRISELDA PONCE DE LEON

UNIDAD: II PAG : [ 1 ] CONDUCCIÓN EN EDO. TRANSITORIO

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UNIDAD II CCOONNDDUUCCCCIIÓÓNN EENN EESSTTAADDOO TTRRAANNSSIITTOORRIIOO

IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN

Si un cuerpo sólido es sometido, de forma rápida, a un cambio en su medio ambiente, debe transcurrir un cierto tiempo antes de que en el cuerpo se imponga la condición de la temperatura de equilibrio. La condición de equilibrio se refiere al régimen estacionario y la distribución de temperaturas y la transferencia de calor se calculan con los métodos estudiados en la unidad 2. en el proceso transitorio de calentamiento o enfriamiento, que tiene lugar en el tiempo intermedio antes de alcanzarse el equilibrio, debe modificarse el análisis para tener en cuenta la variación con el tiempo de la energía interna del cuerpo, y las condiciones de contorno deben ajustarse para que encajen con la situación física que se pone de manifiesto en el problema de transferencia de calor en estado transitorio.

En muchos procesos de transferencia de calor la temperatura del sistema depende del tiempo. Tal es el caso durante el calentamiento y enfriamiento del techo de una casa expuesta a la radiación solar; durante el calentamiento y enfriamiento de los refractarios que constituyen la matriz de un regenerador. En estos casos la temperatura no sólo depende de la distancia, sino también del tiempo. A diferencia con los procesos de conducción de calor en estado estable, en todos los de tipo transitorio existe un aumento o disminución de la energía interna del sistema mientras ocurre el proceso.

El tratamiento analítico del os procesos de transferencia de calor ene estado transitorio ha encontrado múltiples aplicaciones en la simulación digital de sistemas. Mediante un análisis de simulación puede predecirse el comportamiento de un sistema dado sin tener que recurrir a la experimentación muchas veces costosa.

AANNÁÁLLIISSIISS DDEE PPAARRÁÁMMEETTRROOSS ((NNUUMMEERROO BBii))

En muchas circunstancias la temperatura de un sistema durante un proceso de calentamiento o enfriamiento depende casi exclusivamente del tiempo y no de la distancia. Podría suponerse que en estas circunstancias la conductividad térmica del material que constituye el sistema es suficientemente alta para hacer que la caída de temperatura en su interior sea insignificante. Podría igualmente suponerse que las dimensiones físicas del sistema son suficientemente pequeñas para hacer que las diferencias de temperatura en su interior no sean apreciables. Finalmente podría suponerse también que el coeficiente de transferencia de calor en la interfase sólido-fluido es suficientemente pequeño, de tal manera que la caída de temperatura significativa ocurre en la interfase y no en el interior del sólido.

Una medida de la importancia relativa de la resistencia térmica dentro de un cuerpo sólido es el número de Biot “Bi”. El número de Biot es un parámetro adimensional que puede interpretarse físicamente como el cociente de una resistencia interna a la conducción de calor entre una resistencia externa a la convección. De lo anterior se desprende que las diferencias de temperatura en el interior de un sólido son pequeñas en relación con la caída de temperatura en la interfase sólido-fluido cuando el número de Biot es muy pequeño. Por el contrario, cuando el número de Biot adquiere un valor muy grande, la resistencia en la interfase es insignificante. En consecuencia, la temperatura de un cuerpo depende fundamentalmente del tiempo en un proceso transitorio cuando el número de Biot es pequeño. El número de Biot puede definirse como: donde h es el coeficiente de transferencia de calor, L es una dimensión de longitud característica que se obtiene dividiendo el volumen del cuerpo entre su superficie, y k es la conductividad térmica del cuerpo sólido El análisis de conducción de calor en estado transitorio en los sistemas mencionados anteriormente se conoce como aannáálliissiiss ddee ppaarráámmeettrrooss ccoonncceennttrraaddooss.



T(t) q

Fluido a T

Considere un sistema como el mostrado en la figura el cual se encuentra a una temperatura uniforme To. Suponga que repentinamente se sumerge el cuerpo en un fluido a menor temperatura T cuyo valor es constante. Si se supone que la resistencia interna a la conducción es insignificante con respecto a la externa de convección, la temperatura del cuerpo depende únicamente del tiempo, es decir, T = T(t). Aplicando la primera ley de la termodinámica a todo el cuerpo, el calor disipado por convección en cualquier instante de tiempo se refleja en una disminución en la energía interna de éste. Analíticamente, Donde h = coeficiente de transferencia de calor A = área del cuerpo para transferencia de calor por convección = densidad del material que constituye el sistema V = volumen del cuerpo c = calor específico del material que constituye el sistema La ecuación anterior puede también escribirse como: Para hacer homogénea esta ecuación diferencial, puede definirse la diferencia de temperaturas =T-T, que constituye la diferencia de potencial para transferencia de calor por convección. En términos de esta nueva variable

Esta ecuación diferencial homogénea de primer grado requiere de una condición inicial para obtener su solución particular. Puesto que la temperatura inicial del cuerpo es igual a To,

T = To en t = 0 ó = o en t = 0

De las ecuaciones anteriores puede determinarse la respuesta de temperatura como función del

tiempo. La solución general de la ecuación 3.1 es de la forma . Puesto que = o en t= se obtiene que C1 = o. En consecuencia ó La ecuación anterior permite determinar la temperatura T del cuerpo en cualquier instante de tiempo

t. La temperatura del sistema disminuye aproximándose a la temperatura del medio ambiente a medida que el tiempo transcurre.

dtdTcV)TT(hA o

0)TT(cV

hAdtdT

0cV

hAdtd

EC. 3.1

tcV

hA

1eC

tcV

hA

oe

tcV

hA

o

eTTTT

EC. 3.2



Una mayor información de este proceso transitorio puede lograrse definiendo las variables adimensionales:

Así, la ecuación 3.2 se puede representar en forma adimensional como Al parámetro se le conoce como constante de tiempo del sistema y constituye un índice de la

mayor o menor rapidez con que varía la temperatura de éste al sujetarse a una perturbación. La constante de tiempo puede expresarse como

donde Rt es una resistencia térmica a la convección y Ct es una capacitancia térmica. Es decir el sistema mostrado en la primera figura también tiene una analogía eléctrica que se ilustra a continuación. El análisis de parámetros concentrados también permite la determinación experimental del coeficiente de transferencia de calor en un cuerpo de geometría dada bajo condiciones específicas de temperatura. Debe recordarse que el análisis de parámetros concentrados supone que la resistencia interna a la conducción en el interior del cuerpo es despreciable o que el número de Biot es pequeño, es decir, Bi 0, por cuanto la historia de temperatura-tiempo en el cuerpo queda regulada completamente por la resistencia superficial a la convección. En el caso de una placa infinita la longitud característica en el número de Biot es el semiespesor de ésta, mientras que en un cilindro infinito o una esfera es el radio.

TTTT

o

* t

hA/cVtt *

*t* e

ttCRcVhA1

Q

T(dt)

C=cV



PPLLAACCAA PPLLAANNAA IINNFFIINNIITTAA En muchos problemas de tipo transitorio no puede despreciarse la resistencia interna a la conducción, puesto que la temperatura del sistema no solo depende del tiempo sino también de la distancia. A diferencia con el análisis de parámetros concentrados previamente descrito, la solución analítica de problemas con conductividad térmica finita es mas compleja, al implicar el análisis ecuaciones diferenciales parciales. Considere como un ejemplo el caso de una placa infinita de espesor 2L, la cual se encuentra inicialmente a una temperatura uniforme Ti como se observa en el

esquema de la figura 4.6. Suponga que repentinamente se pone la placa en contacto con un fluido a una menor temperatura T la cual es constante y se desea conocer la historia de temperatura en la placa como función del tiempo y la distancia. El problema justamente descrito es equivalente, por simetría, al de una placa de espesor L la cual se encuentra aislada térmicamente por una de sus superficies como se muestra esquemáticamente en la figura 4.7.

Con el objeto de obtener la historia de temperatura en la placa considere un volumen de control de dimensiones x, y y z dentro del material. Aplicando la primera ley de la termodinámica a este sistema se



obtiene que el flujo neto de calor por conducción es igual al incremento de energía interna que experimenta este. Analíticamente,

tTzyxczyqzyq

xxll

xll

Dividiendo esta expresión entre xyz y haciendo tender x a cero, se obtiene,

tTc

xqll

Introduciendo la ley de Fourier de conducción de calor,

tT

kc

xT2

2

Definiendo la difusividad termica = k/c se obtiene,

2

2

xT

tT

(4.8)

De esta expresión se observa que la difusividad térmica afecta la razón de cambio de la temperatura con respecto al tiempo. Así, la razón de cambio de esta es más lenta si el material tiene una baja conductividad térmica o un calor específico por unidad de volumen alto, que si el material tiene una alta difusividad térmica. La ecuación 4.8 requiere de dos condiciones de frontera y una condición inicial para especificar completamente la variación de temperatura respecto al tiempo y a la distancia. Analizando el proceso de enfriamiento, la condición inicial puede fácilmente establecerse a partir de la uniformidad inicial de la temperatura en la placa. Es decir,

T (x,0) = Ti (4.9) Una de las condiciones de frontera queda rápidamente establecida haciendo uso de la condición de

simetría en la placa de espesor 2L de la figura 4.6. Puesto que esta pierde calor por ambas superficies, el máximo de temperatura durante el enfriamiento debe ocurrir en el centro mismo de la placa. Es decir,

0t,0xT

(4.10)

Finalmente, la segunda y última condición de frontera puede obtenerse notando que el calor transportado por conducción en la interfase debe ser igual al cedido convectivamente al fluido. Analíticamente,

Tt,LTht,LxTk (4.11)

Las ecuaciones 4.8 a 4.11 describen completamente el problema de transferencia de calor en la placa. Puesto que este problema no es matemáticamente homogéneo para emplear el método de separación de variables, este puede transformarse en uno homogéneo cambiando la variable dependiente por T-T. Adicionalmente, y por conveniencia, el problema puede normalizarse definiendo las siguientes variables adimensionales:

TTTTT

i

(4.12)

Lxx (4.13)

y 2Ltt

(4.14)

Al tiempo adimensional t* se le conoce como el Numero de Fourier, Fo. Sustituyendo estas nuevas variables en la ecuación diferencial 4.8 y sus condiciones inicial y de frontera 4.9 a 4.11 se deduce que,

2

2

*x*T

*t*T

(4.15)



T*(x*,0) = 1 (4.16)

0*t,0*x*T

(4.17)

*t,1*BiT*t,1*x*T

(4.18)

donde Bi = hL/k es el numero de Biot. Como primer paso en la solución supóngase que esta es un producto de la forma T* = X(x*) (t*). Así, la ecuación 4.15 se convierte en,

Xl = Xll Donde el símbolo denota la derivada total. Separando variables,

XXlll

La única manera para que una función t* sea siempre igual a una función de x* es que cada función sea igual a la misma constante. Es decir,

2lll

XX

La selección de una constante positiva con signo negativo en esta expresión es evidente: para que la solución tienda a cero a medida que el tiempo transcurre se requiere que la constante 2 tenga un signo positivo en la ecuación diferencial ordinaria l + 2 =0. El que este elevada al cuadrado es por mera conveniencia algebraica. A la luz del razonamiento anterior se tienen ahora las siguientes dos ecuaciones diferenciales ordinarias:

Xll + 2X = 0 (4.19) Con las condiciones de frontera homogéneas

Xl (0) = 0 (4.20) y Xl (1) = -Bi X(1) (4.21) y l + 2 = 0 (4.22) La solución general de la ecuación 4.19 es de la forma

X = C1 cos x* + C2 sen x* Aplicando la condición de frontera 4.20 se obtiene

C2 = 0 Similarmente, aplicando ahora la condición 4.21,

sen = Bi cos o,

Bictg

(4.23)

Una vez determinados los valores y funciones característicos se obtiene de la ecuación 4.22 que, Fo

n3n2

neC (4.25) Combinando las expresiones 4.24 y 4.25 de acuerdo con la solución producto propuesta y notando que la suma de soluciones es también una solución,

1n

nFo

n *xcoseC*T2

n (4.26)

Las constantes Cn en esta serie infinita pueden obtenerse sustituyendo la condición inicial 4.16. Es decir,

1n

nn *xcosC1

Haciendo uso adicionalmente de las series de Fourier,



nnn

nn cossen

sen2C

(4.27)

En consecuencia,

nnn

nn

1n

FoX

cossen*xcossen2e*T

2n

(4.28)

donde los valores característicos n satisfacen la ecuación 4.23. De la solución 4.28 se observa que la temperatura adimensional en la placa depende de las variables x*, Fo, y Bi. Una vez obtenida la distribución de temperatura, el calor disipado por la placa entre t = 0 y cualquier instante de tiempo t puede calcularse haciendo uso de la ley de Fourier. Es decir,

t

0Lx

dxTk2

AQ

donde es simplemente una variable muda que denota un instante de tiempo anterior a t. En términos de las variables adimensionales del problema,

Fo

01

i *d*x*TTTcL2

AQ

1n nnn

2n

Fon

i cossene1senXTTcL4

AQ

2n

(4.29)

Reconociendo que 2cL (Ti - T) representa la energía interna por unidad de área que tiene inicialmente la placa con respecto a la temperatura del fluido,

1n

Fo

nnn2n

n2

i

2ne1

cossensen2

QQ

(4.30)

Soluciones similares a la de una placa infinita como la que se acaba de analizar también pueden obtenerse para un cilindro de radio R infinitamente grande en la dirección axial, o una esfera de radio R. Los resultados de estos análisis pueden presentarse de una manera muy conveniente a través de gráficas, como las desarrolladas por Heisler. La figura 4.9 presenta la variación de la temperatura adimensional en el centro de la placa (Tx=0-T)/( Ti-T) como función del número de Fourier, para distintos valores del recíproco del número de Biot. La longitud característica de estos números corresponde al semiespesor de la placa L. La figura 4.10 muestra la temperatura en cualquier plano de la placa respecto a la del centro (T-T)/ (Tx=0-T), para diferentes valores del recíproco del número de Biot . La figura 4.11 corresponde al calor disipado por la placa. Las figuras 4.12 a 4.17 muestran resultados similares para un cilindro y una esfera. Las gráficas de Heisler están limitadas a números de Fourier mayores de 0.2 aproximadamente. EJEMPLO 1: Se desea construir una caja fuerte a prueba de incendios. Las paredes estarán construidas por dos placas de acero de 0.15 cm de espesor, con una capa de asbesto en su interior. Estime el espesor de asbesto necesario para dar una protección al fuego durante una hora, suponiendo que para una temperatura en el exterior de 800 ºC, la interior no debe exceder 100 ºC. El coeficiente de transferencia de calor en la superficie exterior puede tomarse como 30 W/m2K. La temperatura ambiente, antes de que ocurra el incendio, puede estimarse en 25 ºC. Las propiedades del asbesto son: k = 0.223 W/mK; cp=0.816 x 103 J/kg K; = 576.7 kg/m3.

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