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Unidad 2: La derivada

Derivación implícita.

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2

¡Interrogante!

¿Se puede “despejar” y en términos de x?

¿en cuál de los dos casos se puede obtener dy/dx? ¿acaso en los dos?

De la expresión: 2 2 4x y

¿Y de la expresión: ?05223 xyxyx

3

Recordemos la regla de la cadena, la derivada de

con respecto a x es:

Si a (5x2 + 1) lo llamamos “y” tendríamos que la derivada de y3 sería:

325 1x

Nótese que cuando y depende implícitamente de x, la derivada respecto de x de y3 es 3y2y´

xx 10.)15.(3 22

xx 10.)15.(3 22

3 y2 y´

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Procedimiento de diferenciación implícita

Para una ecuación que suponemos define implícitamente a y como una función diferenciable de x, la derivada dy/dx puede encontrarse como sigue:1.Derive ambos miembros de la ecuación con respecto a x.2.Agrupe todos los términos que contenga dy/dx en un miembro de la ecuación y agrupe los demás términos en el otro miembro.3.Saque dy/dx como factor común en el miembro que contenga los términos dy/dx.4.Despeje dy/dx.

5

Si y es una función implícita de x, determine dy/dx:

)ln(.

.

13.

.2

2

yxd

exc

xyb

xya

y

6

Sean:

I = ingreso por ventas

q = cantidad de unidades vendidas

precio unitario = 3 US$

¿Cómo se relacionan I con q?

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¿qué es ?dtdq

¿qué es ?dtdI

¿Se pueden relacionar estas razones de cambio?

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Un grupo de estudiantes de la universidad ha modelado los costos de cierta empresa del medio correspondiente al sector de confecciones. Han considerado los costos C(x) medidos en cientos de dólares en función del nivel de producción x medido en lotes de pedido. La gerencia de operaciones está informado que actualmente su nivel de producción es de 5 lotes y está creciendo a una tasa de 0,7 lotes por mes y desea saber a qué tasa sus costos de producción están variando.

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201

225)( xxxC