Unidad 4-Tema Derivada de 1v

7/24/2019 Unidad 4-Tema Derivada de 1v

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Unidad 4 - Tema :Unidad 4 - Tema :

LA DERIVADA DE UNALA DERIVADA DE UNAFUNCIN Y SUSFUNCIN Y SUS

APLICACIONESAPLICACIONES


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Competencias: . Definir la derivada de una funcin. . Interpretar geomtricamente la derivada de

una funcin. . Determinar los puntos crticos de una funcin.

. Determinar los extremos absolutos de una funcin continua en un intervalo cerrado. . Describir el concepto de punto de inflexin de una grfica. . Analizar la concavidad de una funcin a

travs de su segunda derivada. . Resolver problemas de mximos y mnimos de

una funcin en una variable.


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La Pendiente de unaCurva

Una curva tiene pendiente?

Entenderemos por pendiente deuna curva a la pendiente de larecta que mas se asemeja

(ajusta) a la curva.

y cul es esta recta?


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4

x

y

0x)(0xf

x

0h


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5

x

y

0x)(0xf

hx

0h


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6

x

y

0x)(0xf

hx+0h


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7

x

y

0x)(0xf hx+0h


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8

x

y

0x)(0xf0

hx+0h


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9

x

y

0x)(0xf0x

hx+0h


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10

x

y

0x)(0xf0x

hx+0h


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11

x

y

0x)(0xf0x+

hx+0h


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12

x

y

0x)(0xf0x+

hx+0h


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13

x

y

0x)(0xf0x+

hx+0h


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14

x

y

0x)(0xf)(0hxf+hx+0

h


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15

x

y

0x)(0xf)(0hxf+hx+0

h


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16

x

y

0x)(0xf)(0hxf+ hx+0

h


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17

x

y

0x)(0xf)(0hxf+ hx+0h


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18

x

y



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19

x

y



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20

x

y



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21

x

y

0x)(0xf)(0hxf+hx+0h


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22

x

y

0x)(0xf)(0hxf+hx+0h


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23

x

y

0x)(0xf)(0hxf+hx+0h


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24

x

y

0x)(0xf)(0hxf+hx+0h


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25

x

y

0x)(0xf)(0hxf+hx+0h


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26

x

y

0x)(0xf)(0hxf+hx+0h


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27

x

y

0x)(0xf)(0hxf+hx+0h


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28

x

y

0x)(0xf)(0hxf+hx+0Tangente


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29

x

y

0x)(0xf)(0hxf+hx+0


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30

x

y

0x)(0xf)(0hxf+hx+0


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31

x

y

0x)(0xf)(0hxf+hx+0

L P di t d C


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La Pendiente de una Curva

x

y

0x)(0xf x0!y


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La Pendientede unaCurva

h

h

h

)f(x)f(xlimm 00

0t

+=

E e! !"mitede un

#$#iente de in#rement$

x

)f(xx)f(xlimm 00

0

t

+=

x

"i # $ !


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Determina la ecuacin de la recta tangente a la curva

ue tiene !"r ecuacin# en el !unt" de

a$%ci%a

24 xy =1=x

&

x

'em!l"


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De%ni#i&n de

DerivadaLa derivada de una 'un#i&n ' #$nre(e#t$ a !a varia)!e * e !a'un#i&n #u+$ va!$r en * e:

iem(re ,ue e! !"mitee*ita

f(x))f(xlim*(x)f

0

+=

N$ta : ' e una 'un#i&n de%nida enun interva!$ a)iert$ ,ue in#!u+e a *.


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O)erva#i&n

La derivada de una 'un#i&n e un!"mite.

N$ta /: Para #a!#u!ar ee !"mite ere,uiere ,ue !a 'un#i&n et0de%nida en e! (unt$.

a-xf(a)f(x)lim

hf(x)h)f(xlim

ax0h+


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RE1LAS DE DERIVACINRE1LAS DE DERIVACIN

4. "i % es deriva&le y c constante' setiene:

( )( ) ( )xfcxcf =

2."ea %(!) $ !n' entonces:

( )1

= n

nxxf

n

."ea %(!) $ ' entonces:( ) 0= xf k

D 3# 56

*/."ea %(!) $ !' entonces:

( ) 1= xf


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7."i % y g son %unciones deriva&les y a y& son constantes se tiene que:

( ) ( )( ) ( ) ( )xgxfxgxf +=+

8. "i % y g son %unciones deriva&les'entonces la derivada del producto es:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxfxgxf +=+

Re9!a de Deriva#i&n


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Re9!a de Deriva#i&n

. "i % y g son %unciones deriva&les yno es cero' entonces la derivada delcociente es:

)(xg

)(

)()()()(

)(

)(2xg

xgxfxgxf

xg

xf =

;. "i y ' entonces laregla de la cadena se dene por:

[ ]n

xgxf )()( =

[ ] )()()( 1 xgxgnxf n = n


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O)erva#i&n

"ea y $ %(u) donde u $ g(!)

"i todas las derivadas involucradase!isten' entonces otra %orma de denir la

*E+,- E ,- C-E/-es:

dx

du

du

dy

dx

dy =

xuy


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La funcin exponecial y=ex y la funcin

logaritmo natural y= ln x

11 e

e

11

y = ex

y = ln x

x

y


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De%ni#i&n:"i ! es cualquier n0mero real' entonces ln y $ ! si y s1lo si e!$ y

Te$rema

"i p y q son n0meros reales' entonces

i) ii) iii)qpq

p

eee =qpqp eee += ( )

pqqp ee =

Derivada de 'un#i$ne E


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erivada de %unciones e!ponenciales

i)

ii)

erivada de %unciones logar2tmicas

i)

ii)x

xfxxf 1)(,ln)( ==

( ) ( ) ( )xgexfexf xgxg == )(,)(

( )[ ] )()(

1)(,ln)( xg

xgxfxgxf ==

xx exfexf == )(,)(

Derivada de 'un#i$ne E


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LA DERIVADALA DERIVADA

EN ELEN EL

ANALISIS DEANALISIS DE

FUNCIONESFUNCIONES


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TEORE=ATEORE=A

' >3# 5 6

Si # e un (unt$ de e*trem$!$#a! de '? ent$n#e


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PUNTOS CRITICOSPUNTOS CRITICOS

De%ni#i&n:De%ni#i&n:

Un n@mer$ #de! d$mini$ de '

e !!ama n@mer$ #r"ti#$$ (unt#r"ti#$ de ' i ' >3# 5 6.


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. a!!ar t$d$ !$ (unt$ #r"ti#$de ' en Ba? )

/.a!!ar '3# (ara #ada (unt$ #r"ti#$ #2. Ca!#u!ar '3a + '3)

4. E! ma+$r de !$ n@mer$ a!!ad$ e/ + 2 e e! m*im$ a)$!ut$ de 'enBa?) + e! men$r e! m"nim$.

Pr$#edimient$ (ara determinar !$m*im$ $ m"nim$ de una 'un#i&n

#$ntinua ' en Ba? )Ba? )


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TEORE=ATEORE=A

Sea ' #$ntinua en Ba? ) + derivaen

3a? )? ent$n#e:Si ' >3* 6 en 3a? ) ent$n#e

' e etri#tamente CRECIENTEen Ba?)


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Criteri$ de !a (rimeraCriteri$ de !a (rimera

derivadaderivada

"i ces un punto cr2tico de % y % esderiva&le alrededor de c' entonces:

i) "i % 3 cam&ia de 4a 5en la vecindad de centonces ces un punto de =G


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TEORE=ATEORE=A

Sea ' deriva)!e en e! interva!$3a? )? ,ue #$ntiene a #? ta! ,uee*ite ' >>3#? ent$n#e:

Si ' >>3# 6 !a 9r%#a de ' e#&n#ava a#ia

en * 5 #arri)a


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TEORE=ATEORE=A

Sea ' deriva)!e en e! interva!$ 3a?)? ,ue #$ntiene a #? ta! ,uee*ite ' >>3#? ent$n#e:

Si ' >>3# 6 !a 9r%#a de ' e#&n#ava a#ia

en * 5 #a)aJ$

K

-


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Criteri$ de !a e9undaCriteri$ de !a e9undaderivadaderivada

Sea #un (unt$ #r"ti#$ de ' en e!#ua! ' >3# 5 6? ent$n#e?

Si ' >>3# 6? #e un (unt$ de

m"nim$!$#a!

Si ' >>3# K 6? #e un (unt$ de

m*im$ !$#a!


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Punt$ de ine*i&nPunt$ de ine*i&n

La 9r%#a de ' tiene en e!(unt$3#? '3# un (unt$ de ine*i&n

i: ' e #$ntinua en #

/ La 9r%#a tiene tan9ente en

e!(unt$

entid$ en #2 La #$n#avidad #am)ia de


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PROCEDI=IENTO PARA DETER=INARPROCEDI=IENTO PARA DETER=INARL$ PUNTOS DE INFLE

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