23/04/2013

1

ANÁLISIS DE LA RESPUESTA

EN EL TIEMPO

Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

La respuesta transitoria para un sistema de control,

donde la salida es continua, presenta a menudo

oscilaciones amortiguadas antes de llegar al estado

permanente (esto funciona para la mayoría de

sistemas discretos o digitales ya que la planta a

controlarse en la mayor parte de los casos es en

tiempo continuo, de allí que sus salidas sean

continuas)

Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata

23/04/2013

2

Considerando el sistema de control

anterior encontramos que la

salida c(t) presenta el

comportamiento siguiente a una

entrada escalón unitario.

Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata

Al igual que en los sistemas continuos, la

respuesta transitoria de un sistema de tiempo

discreto se puede caracterizar por un análisis

paramétrico, en respuesta a una entrada

escalón.

Especificaciones de la Respuesta Transitoria :

• Tiempo de retardo (td)

• Tiempo de levantamiento (tr)

• Tiempo pico (tp)

• Sobreimpulso (Mp)

• Tiempo de establecimiento(ts)

Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

23/04/2013

3

1. Tiempo de retardo (td): es el tiempo requerido para que la repuesta llega a la mitad del valor final la primera vez.

2. Tiempo de levantamiento (tr): es el tiempo requerido para que la respuesta crezca del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de

su valor final, según la situación. Para

sistemas de segundo orden subamortiguados

normalmente se utiliza el tiempo de

crecimiento de 0 al 100%. Para sistemas

sobreamortiguados se acostumbra usar el

tiempo de crecimiento de 10 al 90%.

Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

3. Tiempo de pico (tp): es el tiempo requerido por la respuesta para alcanzar el primer pico del sobreimpulso.

4. Máximo sobreimpulso (Mp): es el valor pico máximo de la curva de respuesta medido desde la unidad. Está definido del siguiente modo:

La cantidad de sobrepaso máximo (en

porcentaje) indica de manera directa la

estabilidad relativa del sistema.

Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

23/04/2013

4

4.Tiempo de establecimiento o

asentamiento (ts): es el tiempo

requerido por la curva de

respuesta llegue y se quede

dentro de un rango alrededor de

un valor final de un tamaño

específico, por lo general 2%.

Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz Sistemas de Control Automatico - Katsuhiko Ogata

23/04/2013

5

Análisis del Error en Estado

Permanente:

El desempeño de un sistema de control

estable, se juzga debido al error en

estado permanente debido a entradas

escalón, rampa, etc.

Considere el sistema de control de

tiempo continuo cuya función de

transferencia de lazo abierto es:

Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

El término sN representa un polo de

multiplicidad N en el origen. Un sistema se

denomina de tipo 0, de tipo 1, de tipo 2,...

si N = 0, N = 1, N = 2,..., respectivamente.

Considere el sistema de control digital a

continuación cuyo error es:

Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata

23/04/2013

6

Considere ahora el error en estado

permanente en los instantes de muestreo,

a partir del teorema del Valor Final

A partir del diagrama de bloques

encontramos

y Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

Entonces tenemos

Despejamos el error, nos

queda:

Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

)()(1

1)( zR

zGHzE

23/04/2013

7

A reemplazar el error en la ecuación

del valor final se obtiene, el error

en estado estable

Consideremos tres tipos de entrada:

escalón unitaria, rampa unitaria y

aceleración unitaria.

Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

1. Constante de error de posición

estática. Para una entrada

escalón unitaria r(t) = 1(t).

Tenemos:

Al reemplazar en la ecuación del

error en estado estable

obtenemos:

Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

23/04/2013

8

• Por conveniencia definimos la constante de

posición estática como

Entonces el error de actuación en estado

permanente a una entrada escalón unitario

puede obtenerse a partir de:

Claramente se observa que dicho error es cero

si Kp es igual a infinito. Esto quiere

decir que GH(z) debe tener por lo menos un

polo en z=1. Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

)(lim1

zGHKz

p

2. Constante de error de velocidad

estática: para una entrada rampa

unitaria r(t)=t.1(t). Tenemos:

Al reemplazar en la ecuación del error

en estado estable obtenemos:

Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

23/04/2013

9

• Si por conveniencia escogemos la

constante del error de velocidad estática

Kv como:

Entonces el error de actuación en estado

permanente a una entrada rampa unitario

puede obtenerse a partir de:

Si Kv =∞, entonces el error en estado

permanente en respuesta a una entrada

rampa unitaria es cero. Esto requiere que

GH(z) tenga un polo doble en z=1 Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

v

ssK

e1

3. Constante de error de aceleración

estática: para una entrada

aceleración r(t)=0.5*t2 1(t)

tenemos:

Al reemplazar en la ecuación del

error en estado estable

obtenemos:

Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

23/04/2013

10

• Si por conveniencia escogemos la

constante del error de aceleración

estática Ka como:

Entonces el error de actuación en estado

permanente se convierte

Si Ka =∞, entonces el error en estado

permanente en respuesta a una entrada rampa unitaria es cero. Esto requiere

que GH(z) tenga un polo triple en z=1

Ing. Jhon Jairo Anaya

Díaz

Resumen: el la tabla se muestra los

tipos de sistemas y los errores

correspondientes al estado

permanente a respuesta de

diferentes entradas.

Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

SISTEMA

ERRORES EN ESTADO PERMANENTE EN RESPUESTA A:

Entrada escalón

r(t)=1

Entrada rampa

r(t)=t

Entrada aceleración

r(t)=1/2t2

Sistema

tipo 0

Sistema

tipo 1 0

Sistema

tipo 2 0 0

pK1

1

vK

1

aK

1

23/04/2013

11

Ing. Jhon Jairo Anaya

Díaz

Constantes

de error

estáticos

para

configurac

iones en

lazo

cerrado

típicas de

sistemas

de control

de tiempo

discreto Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata

• OGATA, Katsuhiko. Sistemas De Control En Tiempo Discreto. Segunda Edición.

• DORSEY, John. Sistemas de Control Continuo y Discreto

• BIBLIOGRAFÍA WEB

• ASTRÖM, Kral J- Computer Controlled Systems. Tercera Edición

• PARASKEVOPOLUS,P. Modern Contol Ingineering. Primera Edición.

• CHEN, Chi-Tsong. Analog And Digital Control System Design. Tercera Edición

• SMITH C., CORRIPIO A., Control Automático de Procesos. Primera Edición

• DORF R., BISHOP R., Sistemas de Control Moderno. Décima Edición.