Unidad 5 Distribuciones de probabilidad discreta · de probabilidad que se analizarán en esta...

Unidad 5

Distribuciones de probabilidad discreta

257

Introducción

En el mundo de los negocios y las ciencias sociales existen muchos fenómenos que se encuentran sujetos a factores aleatorios. Por esta razón, resulta necesario conocer diversos modelos basados en probabilidades a través de los cuales se facilite la toma de decisiones.

En esta unidad se continuará con el análisis de la probabilidad, exponiendo los conceptos de variable aleatoria, distribución de probabilidad de una variable aleatoria, valor esperado y varianza de una variable aleatoria discreta. Adicionalmente, se presentarán algunas distribuciones de probabilidad discreta, que son modelos útiles para resolver algunos problemas que se presentan en ciertos fenómenos o situaciones reales.

Al conjuntar técnicas de la estadística descriptiva, –como las medidas de dispersión y las medidas de tendencia central–, con la teoría de la probabilidad, –como las distintas distribuciones de probabilidad que se analizarán en esta unidad–, el estudiante podrá adentrarse al tema de la estadística inferencial y se encontrará capacitado para tomar decisiones ante los diversos problemas que se presentan en la administración y en las ciencias sociales.

5.1. Variable aleatoria

En la unidad 1 se señaló que las variables cuantitativas son aquellas características con las que identificamos los datos bajo estudio cuyos valores son cuantificables. En esta sección se estudiará el concepto de otro tipo de variable, la variable aleatoria, el cual es uno de los aspectos fundamentales de la probabilidad y se encuentra estrechamente relacionado con el concepto de experimento.

Un experimento se refiere a un proceso de observación del cual se obtiene un resultado entre distintos resultados posibles; este resultado no puede predecirse con plena seguridad, pues está sujeto al azar. En este sentido, existe una estrecha relación entre los distintos valores que se pueden observar en un experimento y el factor aleatorio.

Cuando en un proceso de observación las características que se desean medir (por ejemplo, edad, número de clientes, ventas, etc.) adquieren valores cuantitativos y éstos están sujetos al azar se dice que esas características son variables aleatorias. Es decir, una variable aleatoria debe considerar dos aspectos: que las características se encuentren expresadas en valores cuantitativos y que estos valores tengan un carácter aleatorio.

Con estos dos aspectos considerados por una variable aleatoria se puede construir una regla de correspondencia en la que a cada uno de los posibles valores que se observan se le asigna

258 ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS

su respectivo factor aleatorio o probabilidad de que ocurra. Por esa razón también se puede decir que la variable aleatoria es una función que relaciona los valores y sus probabilidades.

Si los valores que toma una variable están asociado s a través de una función con los sucesos aleatorio s

elementales en el espacio muestral de un experiment o dado, y dichos valores dependen de factores al

azar en cuanto a sus ocurrencias, a la función se l e llama entonces variable aleatoria.

Ejemplo 1

Si se selecciona una muestra aleatoria de dos consumidores que realizan sus compras y cada uno tiene que elegir entre los artículos A y B, según sus preferencias, la muestra puede tener los siguientes posibles resultados:

S={AA, AB, BA, BB}

Esto quiere decir que en esta muestra se pueden observar las siguientes compras:

a) Los dos clientes eligen artículos A.b) El artículo del primer cliente es A y el del segundo cliente es B.c) El artículo del primer cliente es B y el del segundo cliente es A.d) Los dos clientes eligen artículos B.

Ahora, si de acuerdo con las experiencias en el pasado 60% de los productos demandados por los consumidores son del tipo A y 40% de los productos demandados por los consumidores son del tipo B, se pueden determinar las probabilidades para cada uno de los puntos muestrales:

P(A, A) = (0.6)×(0.6) = 0.36 Probabilidad del 1er. punto muestral.P(A, B) = (0.6)×(0.4) = 0.24 Probabilidad del 2do. punto muestral.P(B, A) = (0.6)×(0.4) = 0.24 Probabilidad del 3er. punto muestral.P(B, B) = (0.4)×(0.4) = 0.16 Probabilidad del 4to. punto muestral.

Donde:P(S) = 0.36 + 0.24 + 0.24 + 0.16 = 1

Recuerda que la suma de las probabilidades de todos los puntos muestrales del espacio muestral S es igual a uno, pues cada uno de los puntos muestrales representa un evento simple, y la suma de todas sus probabilidades es igual a uno.

Ahora procedemos a definir una característica que se puede observar al escoger un punto muestral de los cuatro que conforman el espacio muestral, por ejemplo, “el número de productos del tipo A que se pueden observar en esta muestra”.

En este caso, existen tres posibles resultados: que en la muestra existan cero productos A, que en la muestra exista un producto A y que en la muestra existan dos productos A. Los valores 0, 1 y 2 son los posibles valores que se puede observar en la característica “número de productos del tipo A que se puede observar en esta muestra”. Esta característica representa una variable de tipo cuantitativo.

259UNIDAD 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA

Si asignamos a cada uno de estos valores sus probabilidades correspondientes se observa la siguiente variable aleatoria:

Valor de la Probabilidad

Variable0 0.16 Probabilidad del 4to. punto muestral.1 0.48 Probabilidad del 2do. y 3er. punto muestral (0.24 + 0.24).2 0.36 Probabilidad del 1er. punto muestral.

En este caso, la característica bajo estudio “el número de productos del tipo A que se puede observar en esta muestra” es una var iable aleator ia, pues cumple con los dos aspectos señalados anteriormente: la característica se encuentra expresada en valores cuantitativos (0, 1 y 2), y estos valores tienen una probabilidad que representa su carácter aleatorio (0.16, 0.48 y 0.36).

Los valores que toma una variable aleatoria en un proceso de observación tienen la característica principal de obtenerse por la suerte o el azar dentro de un conjunto de datos y ocurren, cada uno, con una probabilidad definida.

Las probabilidades asociadas a cada valor posible de una variable aleatoria suman uno. Esto es:

a) La probabilidad para todo valor que asuma la variable aleatoria Xi será mayor o igual a cero.

P(Xi) 0 (en este ejemplo son 0.16, 0.48 y 0.36).

b) La suma de todas las probabilidades asociadas a todos los valores que toma la variable aleatoria discreta X es igual a la unidad, donde el subíndice i muestra el elemento que se analiza dentro de un intervalo y puede tomar valores distintos.

P(Xi) = 1 i = 1,2,...,nP(Xi) = 0.16 + 0.48 +0.36 = 1

El símbolo significa para toda, de tal forma que lo anterior se interpreta como “ la suma de las probabilidades de todos los i valores es uno”, donde i indica que existen n elementos como máximo en el conjunto de datos.

Las variables aleatorias se clasifican de dos formas: variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas.

Una variable aleatoria discreta es aquella caracter ística que únicamente puede tomar valores contables

expresados en números enteros.

Algunos ejemplos de variables aleatorias discretas son:

determinado periodo.


Una variable aleatoria continua es aquella caracter ística que puede tomar cualquier valor dentro de un

intervalo, es decir, no toma valores exactos pudien do incluir fracciones, asumiendo en un momento dado

Algunos ejemplos de variables aleatorias continuas son:

Establecer la diferencia entre variables aleatorias discretas y continuas es importante, ya que para calcular la probabilidad asociada a cada una de ellas se requiere de técnicas y modelos matemáticos distintos. A continuación se analizará el caso para las distribuciones de variables aleatorias discretas.

5.2. Distribuciones de probabilidad para variables discretas

Las funciones de distribución de probabilidad de una variable aleatoria tienen una estructura matemática definida, de tal manera que se pueda resolver cualquier tipo de problema económico o de negocios donde intervenga el azar. Existen dos tipos de distribuciones de probabilidad: para variables aleatorias discretas o para variables aleatorias continuas.

Una función de distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta es una relación entre l os

valores asociados a una variable aleatoria discreta X y las probabilidades que se calculan para cada

uno de los valores de X .

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta se representa por una tabla y una gráfica que proporcionan las probabilidades asociadas a cada valor posible de la variable aleatoria discreta.

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta puede ser:

1. Una relación teór ica de resultados y probabilidades en el sentido de que se pueden obtener de un modelo matemático que represente algún fenómeno de interés sin necesidad de efectuar cálculos, es decir, los datos por sí mismos pueden aportar información de su comportamiento.

2. Una relación empírica de resultados y sus frecuencias relativas observadas, es decir, que los resultados aplicados a una técnica estadística pueden mostrar de qué manera se pueden utilizar los datos para una aplicación concreta. Aquí los resultados del experimento se vinculan con la obtención de medidas de tendencia central o medidas de dispersión que permitan analizar las características de los datos y su distribución.


Ejemplo 2

Del ejemplo 1 la distribución de probabilidad queda expresada mediante la siguiente tabla:

Valor de la variable Probabilidad

0 0.161 0.482 0.36

Tabla 5.1. Distribución de probabilidades mediante tablas.

En este caso se observa una tabla que establece una regla de correspondencia entre los distintos valores que puede adquirir la variable aleatoria con sus respectivas probabilidades. Se dice que es una distribución de probabilidad discreta pues los valores de la variable aleatoria únicamente se encuentran expresados en números enteros.

Otra manera de representar la distribución de probabilidad de esta variable aleatoria discreta es a través de una gráfica conocida como distribución de probabilidad.

Valor 0 1 2

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

Figura 5.1. Distribución de probabilidades mediante gráficos.

Ejemplo 3

Si en un banco se atendió a tres clientes en un determinado periodo, los cuales pueden ser hombres o mujeres, y además se sabe que 50% de los clientes que visitan un banco son mujeres y 50% son hombres. ¿Cuál es la función de distribución de probabilidad del número de mujeres atendidas?

En este caso, la característica que se desea observar es “número de mujeres atendidas” la cual representa una variable aleatoria discreta. Como se atiende a tres clientes, es posible que de esos tres se atiendan a cero, una, dos o tres mujeres.

El cero denota que, en ese periodo, no se atendió a ninguna mujer, el uno que sólo se atendió a una mujer y así sucesivamente; como son cuatro los valores que puede tomar la variable y se consideran dos eventos (hombre o mujer), ello implica que como mínimo no se atiende a ninguna mujer o como máximo se atiende a tres mujeres y lo mismo sucede para los hombres. Por tal razón, en total son ocho los posibles resultados o puntos muestrales, de ahí que la probabilidad para cada uno de éstos sea 1/ 8.

Si X es el número de mujeres atendidas, P(X) la probabilidad de ocurrencia del suceso y el espacio de resultados está definido S = {3 clientes en un banco}, donde cada cliente puede ser: hombre (H) o mujer (M) y por lo tanto:

P M( )12

P H( )12


Por medio de un diagrama de árbol se encontraría que el número de resultados posibles es:

HHH 1/ 8 HHM 1/ 8 HMH 1/ 8 HMM 1/ 8 MHH 1/ 8 MHM 1/ 8 MMH 1/ 8 MMM 1/ 8

Con esos posibles resultados se tiene que las probabilidades de ocurrencia de los eventos (mujeres atendidas) son:

P(0) = 1/ 8 donde la única combinación es {HHH}P(1) = 1/ 8 + 1/ 8 + 1/ 8 = 3/ 8 donde las combinaciones son {HHM, HMH, MHH}P(2) = 1/ 8 + 1/ 8 + 1/ 8 = 3/ 8 donde las combinaciones son {HMM, MHM, MMH}P(3) = 1/ 8 donde la única combinación es {MMM}

Con lo anterior se obtiene la siguiente distribución de probabilidad:

X 0 1 2 3

P(x) 1/8 3/8 3/8 1/8

En la tabla se señala la cantidad de mujeres atendidas y su probabilidad de ocurrencia. Por esta razón, X es una variable aleatoria discreta, pues los valores que adquiere la variable “número de mujeres atendidas” están expresados en números enteros y cada uno de estos valores tiene una probabilidad determinada. Esta tabla puede representar una distribución de probabilidad discreta para la variable X.

263UNIDAD 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISC RETA

1. Los dos aspectos que debe considerar una variable aleatoria son:

a) Que los valores sean cuantitativos y que no tengan un carácter aleatorio.b) Que los valores sean cualitativos y que tengan un carácter aleatorio.c) Que los valores sean cuantitativos y que tengan un carácter aleatorio.d) Que los valores sean cualitativos y que no tengan un carácter aleatorio.

2. Una variable aleatoria puede definirse como:

a) Las características que se pueden observar en un experimento cuyos valores son cuantificables y están sujetos al azar.

b) Aquellos valores que se pueden observar en un experimento que son discretos y cuantitativos.

c) Las características que se observa en experimentos donde únicamente existe un posible resultado.

d) Son aquellos valores que se encuentran contenidos en el espacio muestral.

3. Cada uno de los valores que adquiere una variable aleatoria deben ser:

a) Cuantitativos.b) Cualitativos.c) Continuos.d) Discretos.

4. Una variable aleatoria es considerada una función, pues:

a) Los valores que adquiere la variable están en función del espacio muestral.b) Es una regla de correspondencia entre los valores cualitativos discretos y los valores

cuantitativos discretos.c) Cada uno de los puntos muestrales está relacionado con su probabilidad de ocurrencia y en

función de los valores discretos.d) Establece una regla de correspondencia en la que a cada uno de los posibles valores se le

asigna su respectiva probabilidad de ocurrencia.

5. Las variables aleatorias son clasificadas en:

a) Discretas y continuas.b) Discretas y cuantitativas.c) Discretas y cualitativas.d) Cualitativas y cuantitativas.

6. Una variable aleatoria es discreta si:

a) Toma cualquier valor dentro de un conjunto de datos.b) Es elegida al azar y no toma valores exactos.c) Toma valores específicos dentro de un conjunto de datos.d) Toma valores en fracciones de un conjunto de datos.


7. La probabilidad que asume una variable aleatoria X es:X

a) Igual a cero.b) Mayor o igual que cero, pero menor o igual que uno.c) Mayor que uno.d) Menor que cero.

8. Una distribución de probabilidad se constituye por:

a) Un gráfico.b) Un conjunto de datos.c) Una dispersión de datos.d) Las probabilidades de cada valor que toma la variable.

9. Un modelo matemático de un fenómeno aleatorio es:

a) Una representación a escala de un fenómeno.b) Una representación gráfica.c) Una distribución de probabilidad.d) Una variable aleatoria.

10. Del ejemplo 1, si se define la variable “número de productos del tipo B que se pueden observar en una muestra compuesta por dos clientes”, encuentra la distribución de probabilidad de esta variable aleatoria a través de una tabla.


5.3. Valor esperado y varianza de una variable aleatoria discreta

El valor esperado de una variable aleatoria X se puede considerar una medida de tendencia central de una distribución de probabilidad, del mismo modo que X es una medida de tendencia central de una distribución de frecuencias de una muestra. La diferencia está en que la media implica una suma de los valores de todos los datos divididos entre el número de datos, mientras que el valor esperado considera que cada uno de los datos con que se cuenta tiene una probabilidad de ocurrencia y que las multiplicaciones de los valores de los datos por su probabilidad son sumados.

El término valor esperado, también conocido como esperanza matemática, tiene una interpretación intuitiva en el sentido de que al considerar la probabilidad de que una variable tome algún valor dado, la suma arroje un dato que se espera que esté en la parte central de un intervalo de valores. El valor esperado determina un promedio basado en los valores que toma una variable, considerando la probabilidad que existe de que la variable tome un valor determinado y dicho valor se encuentre al centro de la distribución.

El valor esperado o esperanza matemática de una var iable aleatoria discreta es la suma de los producto s

de los posibles valores que toma la variable multi plicados por su probabilidad de ocurrencia.

Si X representa una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores X1, X

2,..., X

n con

probabilidades respectivas p1, p2,..., pn, donde la suma de las probabi lidades debe sumar uno, p

1 + p

2 +...+ p

n = 1, la esperanza matemática de X o simplemente la esperanza de X, simbolizada por

E(X), se define como:

X X X X X XE p p p pn n i

i

n

( ) ...1 1 2 21

Pi

= Probabilidad de ocurrencia del valor que toma la variable X.X

i = Valores enteros que toma la variable aleatoria X.

X = E(X) = Valor esperado de la variable X.

1

n

iSignifica que la suma va desde i = 1 (primer dato) hasta n (último dato).

La fórmula muestra que el valor esperado de una variable considera los posibles valores que toma la variable, donde cada valor tiene una probabilidad asociada. La suma indica que se debe sumar desde el primer dato (cuando i = 1) hasta el último dato (n) del conjunto de datos, ya que i = 1, 2,..., n.

Ejemplo 4

En el ejemplo 3 se pide hallar la función de distribución de probabilidad del número de mujeres atendidas en un banco en el cual se atendió a tres clientes en cierto periodo, los cuales pueden ser hombres o mujeres. Con los datos obtenidos, se desea conocer el promedio de mujeres que se espera sean atendidas.

Sea X el número de mujeres atendidas y P(X) la probabilidad de ocurrencia del evento (de que X tome un valor específico). Se cuenta con la siguiente información:

X 0 1 2 3

P (x) 1/8 3/8 3/8 1/8


Recuerda que se debe cumplir con la propiedad de que la suma de las probabilidades es uno. Es decir:

P P P P Pi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 3 10

3X i

La esperanza implica multiplicar los eventos por su probabilidad de ocurrencia y, posteriormente, sumarlos para obtener el número promedio de mujeres que fueron atendidas.

X XE( ) ( ) ( ) ( ) ( )018

138

238

318

= (0)(0.125) + (1)(0.375) + (2)(0.375) + (3)(0.125) = 0.375 + 0.75 + 0.375 = 1.5

X = E(X) = 1.5

El resultado indica que en el periodo considerado se atendió en promedio a 1.5 mujeres. Por ejemplo, si se considera que se estudiaron 100 bancos y cada uno empleó la misma información, es de esperarse que los 100 bancos en su conjunto atendieron a 150 mujeres en promedio (100 bancos x 1.5 mujeres/ banco = 150 mujeres).

Ejemplo 5

Se determinó que el número de camiones de carga que arriban cada hora a una bodega sigue la distribución de probabilidad que se muestra en la siguiente tabla:

Número de camiones (X) 0 1 2 3 4 5 6Probabilidad [P(X)] 0.05 0.10 0.15 0.25 0.30 0.10 0.05

El valor esperado del número de camiones que arriban a la bodega es:

X = E(X) = (0)(0.05) + (1)(0.10) + (2)(0.15) + (3)(0.25) + (4)(0.30) + (5)(0.10) + (6)(0.05) = 0 + 0.10 + 0.30 + 0.75 + 1.2 + 0.5 + 0.30 = 3.15

X = E(X) = 3.15

En este caso, el resultado muestra que en promedio arribaron 3.15 camiones por hora. Si se tomara en cuenta que se estudian 100 bodegas con la misma información, en todas las bodegas arribarían en promedio 315 camiones por hora (100 bodegas x 3.15 camiones/ bodega = 315 camiones).

Debido a que la distribución de probabilidad de una variable aleatoria X es en un sentido teórico el histograma de frecuencias relativas, es natural describir la variabilidad de X con su varianza o desviación estándar. En tal caso, se requiere conocer la variación de los datos con respecto al valor medio. Por ejemplo, si se tiene información del número de productos vendidos en una tienda en un día determinado, se querría conocer el número promedio de productos vendidos por día con el fin de conocer las variaciones de ventas, se emplea la noción de varianza.

cuadráticas que tienen los datos de una distribució n de probabilidad con respecto al valor promedio.


Si x es una variable aleatoria discreta con valores x1, x

2,..., x

n y probabilidades p

1, p

2,..., p

n y con

media E(x), la varianza se define matemáticamente como:

2 2 2

1

Var E Pi

i

n

( ) [( – ) ] ( – ) ( )x x xi

( – ) ( – ) ... ( – )x x x12

1 22

22

p p pn n

Donde: = Valor esperado.

x = Variable aleatoria discreta.p

i = Probabilidad de que el valor que toma la variable aleatoria x sea igual a x

i.

La fórmula indica que para obtener la varianza es necesario conocer el valor esperado y los valores que puede tomar la variable, así como las probabilidades asociadas a cada una. Una vez que se conocen estos datos, es necesario restarle a cada valor de la variable su media y elevar la resta al cuadrado, este procedimiento se conoce como desviación cuadrada. Al conocer las desviaciones cuadradas hay que multiplicar por la probabilidad asociada a cada valor de x y, una vez que se tienen los productos, se suman para de esa manera obtener la varianza.

La desviación estándar o desviación típica se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza:

2

Ejemplo 6

Con la información del ejemplo 4, se desea conocer ahora la varianza y la desviación estándar de los clientes del banco.

Como ya conocemos que la media o valor esperado del número de clientes atendidos es 1.5, para conocer la varianza, a cada valor que toma la variable x se le resta la media y esa diferencia se eleva al cuadrado para posteriormente multiplicarla por la probabilidad de ocurrencia de cada evento. Las diferencias pueden ser positivas o negativas.

2 2 2 2 20 1 518

1 1 538

2 1 5 3 1 5( – . ) ( – . ) ( – . ) ( – . )

(– . ) (– . ) ( . )1 5

18

0 538

0 538

2 2 2

( . ) ( . ) ( . ) ( . )2 25

18

0 2538

0 2538

2 2518

6 8 0 75/ .

2 = 0.75

El resultado muestra que la varianza de los datos es 0.75, pero se debe recordar que la varianza no tiene ningún sentido práctico, ya que en este caso mostraría que la variación es de 0.75 mujeres cuadradas atendidas. Por ello para dar un sentido lógico y práctico se emplea la desviación estándar.

En términos del problema del banco, la desviación estándar es:

0 75 0 8660. .

0 8660.


La desviación estándar se debe interpretar como la unidad de medida que sirve para conocer qué tan próximo o lejano (desviado) se encuentra un determinado valor asumido por la variable aleatoria con relación al valor medio. En este problema indica que la variación con respecto a la media es de 0.8660 mujeres atendidas, es decir, los valores que se encuentran a una distancia equivalente a una desviación estándar, por encima o por debajo de la media 1.5, son equivalentes a 1.5 – 0.8660 = 0.634 (0.8660 por debajo de la media) y de 1.5 + 0.8660 = 2.366 (0.8660 por encima de la media).

Ejemplo 7

Con los datos del ejemplo 5, calcula la varianza y la desviación estándar de los camiones que arriban a la bodega.

El valor esperado para el arribo de camiones a una bodega es de 3.15 camiones por hora.

2 = (0 – 3.15)2(0.05) + (1 – 3.15)2(0.10) + (2 – 3.15)2(0.15) + (3 – 3.15)2(0.25) + (4 – 3.15)2 (0.30) + (5 – 3.15)2(0.10) + (6 – 3.15)2(0.05) = (–3.15)2(0.05) + (–2.15)2(0.10) + (–1.15)2(0.15) + (–0.15)2(0.25) + (0.85)2(0.30) + (1.85)2(0.10) + (2.85)2(0.05) = (9.9225)(0.05) + (4.6225)(0.10) + (1.3225)(0.15) + (0.0225)(0.25) + (0.7225)(0.30) + (3.4225)(0.10) + (8.1225)(0.05) = 0.496125 + 0.46225 + 0.198375 + 0.005625 + 0.21675 + 0.34225 + 0.406125 = 2.1275

2 = 2.1275

La varianza muestra que la dispersión que existe en el número de camiones por hora que arriban a la bodega es de 2.1275 camiones cuadrados.

En términos del problema de los camiones que arriban a una bodega, la desviación estándar es:

2 1275. 1.4585951.45

La desviación estándar muestra que la dispersión en los camiones por hora que arriban a una bodega es de 1.45 camiones.

El concepto de varianza es útil para comparar las dispersiones de las distribuciones de probabilidad. Por ejemplo, si se considera como variable aleatoria al rendimiento de una inversión en un año, dos inversiones pueden tener el mismo rendimiento esperado pero diferir de manera importante si las varianzas de sus rendimientos son distintas. Una varianza mayor indica que es más factible tener rendimientos distintos de la media que si la varianza es pequeña. En este contexto, la varianza del rendimiento se puede asociar al concepto de riesgo de una inversión, es decir, a mayor varianza, mayor riesgo y por lo tanto, mayor ganancia.


1. Si H representa el número de veces que un consumidor acude a un supermercado en una semana, y tomando en cuenta la siguiente tabla de distribución de probabilidades:

H 0 1 2 3

P (h) 1/8 2/8 4/8 1/8

a) Encuentra el valor esperado E(H).b) Encuentra la varianza.c) Encuentra la desviación estándar.

2. Una pequeña compañía aérea vuela con aviones que tienen capacidad para ocho pasajeros. La compañía ha comprobado que la probabilidad de que un pasajero con boleto no se presente en el avión es 0.2 para cada vuelo; la compañía pone a la venta 10 boletos. La distribución de probabilidad del número de boletos vendidos en un vuelo aparece en la siguiente tabla.

Número de boletos 6 7 8 9 10Probabilidad 0.25 0.35 0.25 0.10 0.05

a) Calcula el valor esperado del número de pasajeros que se presentan al vuelo con boleto.b) Calcula la varianza y la desviación estándar para conocer la dispersión de pasajeros que se

presenta al vuelo con boleto.

3. Se ha determinado que el número de camiones que arriba a una bodega cada hora sigue la distribución siguiente:

Número de camiones (x) 0 1 2 3 4 5 6

Probabilidad [P(x)] 0.05 0.10 0.15 0.25 0.30 0.10 0.05

a) Calcula el valor esperado del número de camiones que se espera arriben cada hora.b) Calcula la varianza y la desviación estándar a fin de determinar la dispersión de camiones

que arriban a la bodega.

4. Se sabe que durante intervalos de 10 minutos, el arribo de clientes a un banco presenta la siguiente distribución:

Número de clientes (x) 0 1 2 3 4 5

Probabilidad [P(x)] 0.15 0.25 0.25 0.2 0.1 0.05

a) Calcula el valor esperado del número de clientes que se espera arriben.b) Calcula la varianza y la desviación estándar a fin de determinar la dispersión de clientes

que arriban al banco.


5.4. Distribución binomial

La distribución binomial es una función de distribución de probabilidad discreta que resulta sumamente útil para describir muchos fenómenos, pues a diferencia de otros tipos de distribución, la variable aleatoria discreta cuya distribución es binomial está asociada a un experimento que consiste en considerar dos posibles resultados.

La distribución binomial emplea variables aleatoria s discretas y se caracteriza por el hecho de que

únicamente considera que existen éxitos y fracasos, es decir, sólo toma en cuenta que existen dos

alternativas de decisión dentro de un conjunto de d atos. Cabe señalar que la distribución binomial sól o

considera que los datos corresponden a una muestra o a una población, pero no a ambas.

Por ejemplo, si se considera una encuesta por muestreo para conocer la preferencia de los consumidores por dos marcas de botanas, los posibles resultados del experimento son dos, ya que ése es el número de marcas de botanas que se consideran sin tomar en cuenta el número de consumidores encuestados. Suponemos que su probabilidad de ocurrencia sería de ½, pero si se desea conocer la proporción de consumidores que están a favor de una u otra marca (por ejemplo, marca A = éxito y marca B = fracaso), la probabilidad de que una determinada cantidad de consumidores prefiera la marca B, por ejemplo, no será de ½, por lo cual debe emplearse un método para definir la proporción de consumidores que está a favor de una marca determinada.

La distribución binomial debe reunir cuatro propiedades:

1. El experimento consiste de un número fijo de ensayos. Por ejemplo, si se estudia el comportamiento de 30 acciones de una empresa y se tiene como política analizar sólo 10 acciones con el fin de determinar cuáles son las que reportan mayores rendimientos.

2. Cada ensayo sólo tiene dos posibles resultados a los que suele llamarse “éxito” o “ fracaso”. Por ejemplo, al planear la venta de un determinado número de casas, un corredor de bienes raíces puede considerar que si concreta una venta es un éxito pero si no la concreta es un fracaso.

3. La probabilidad de un “éxito” es igual a “p” y es constante para todos los ensayos y la probabilidad de “ fracaso” es, por tanto, igual a q = (1 – p). Se considera “éxito” la condición que se busca y “ fracaso” lo contrario. Por ejemplo, en un lote de 100 artículos fabricados se puede conocer en promedio la probabilidad de que sólo haya un número determinado de artículos defectuosos, por lo que la probabilidad de que cada uno sea defectuoso es la misma, es decir, si se demuestra que 20% de los artículos es defectuoso, la probabilidad de fracaso es 0.20 para todos los productos.

4. Los ensayos son independientes, es decir, el resultado de probabilidades que se da en un ensayo no afecta al resultado que se da en otro. Por ejemplo, si al analizar una serie de artículos producidos en una empresa se tiene que la probabilidad de que 20 artículos sean defectuosos es 0.10, ello no quiere decir que, al elegir otra muestra de igual tamaño, la probabilidad de que se obtengan defectos en artículos sea la misma que se obtuvo anteriormente.

Por los motivos anteriormente expuestos, la distribución binomial ha sido utilizada en numerosas aplicaciones, por ejemplo:


determinar la probabilidad de que ninguna sea defectuosa, sabiendo que 8% de las llantas de la población son defectuosas.

un aumento en su precio al cierre, durante diez sesiones de operaciones; si en realidad los cambios de precios en el mercado accionario son aleatorios.

Como se incluye un número de éxitos (k) y el número de fracasos (n–k) en n ensayos, para conocer el número de formas totales (todos los posibles éxitos o fracasos) se obtiene el número de combinaciones de n elementos, de los cuales k pertenecen a una clase (éxito) y n–k a otra clase distinta (fracaso), entonces la probabilidad de que ocurra un evento es:

P P k n p C p qn

k n kp qn k

k n k k n k( ) ( , , )!

!( )!– –X

Donde:P(k, n, p) = Probabilidad de que se den k éxitos en n ensayos donde se conoce la probabilidad de

éxito (p). P(X) = Probabilidad de que la variable X tome el valor k. n = Tamaño de la muestra o número de ensayos. k = Número de éxitos. n–k = Número de fracasos. p = Probabilidad de éxito. q = Probabilidad de fracaso. ! = Factorial de un número.

La fórmula !

!( )!n

k n k se refiere a las posibles combinaciones que pueden darse en el conjunto

de datos con que se cuenta, mostrando cuántos posibles resultados se pueden obtener si se desean sólo éxitos dentro de un conjunto de datos.

El hecho de emplear factoriales implica una multiplicación de números consecutivos, por ejemplo, el factorial de cinco es 5! = 5 4 3 2 1 = 120 o, si se quiere simplificar, el factorial se expresaría como

5! = 5 4! = 5 4 3! = 5 4 3 2! = 120.

Un claro ejemplo de por qué debemos simplificar se tiene al trabajar con divisiones de factoriales. Por ejemplo, si se divide el factorial de 5 entre el factorial de 3, el resultado es:

53

5 4 33

5 4 20

!!

!!

Como puedes observar, al simplificar se multiplica 5 por 4 y se deja el factorial de 3 para que sea eliminado con el factorial de 3 del denominador.

La reducción es factible cuando la distancia existente entre el valor del factorial del numerador y el valor del factorial del denominador no es muy grande (5 unidades). La limitante al emplear factoriales radica en que factoriales superiores a 30 toman valores extremadamente altos que dificultan el cálculo. Debes tomar en cuenta también que el factorial de cero es uno, ya que aunque es un valor nulo representa un número y, como se trabaja con potencias, debes recordar que cualquier número elevado a la potencia cero, da como resultado uno.


Ejemplo 8

Una empresa consultora afirma que un procedimiento para promocionar las ventas de una compañía es exitoso 80% de las veces. Si el procedimiento se lleva a cabo cinco veces en un año, cuál es la probabilidad de que:

a) Las cinco veces que se lleva a cabo el procedimiento sea exitoso.b) A lo más dos sean exitosas.

a) Como se pide obtener la probabilidad de que las cinco veces que se aplica el procedimiento sean exitosas, la probabilidad de éxito es p = 0.8 y la probabilidad de fracaso es q = (1 – 0.8) = 0.2

P k P k n pn

k n kp qk n k( ) ( , , )

!!( )!

–

n = 5k = 5

n – k = 0 P(5) = (0.8) (0.2) = (0.8) (05 0 555 5 5

55 0

!!( )!

!!( )!

..2)0

p = 0.8q = 0.2

En este caso la divisón es de 5! entre 5! es 1, el factorial de cero es uno

P(5) = (1) (0.32768) (1) = 0.32768 Elevado a la potencia 0 es 1

P(5) = 0.32768

La probabilidad de que las cinco veces que se lleva a cabo el procedimiento para promocionar las ventas sea exitoso, es 0.32768.

b) El término a lo más implica que la mayor cantidad de éxitos que pueden tenerse es dos, pero también puede darse el caso de que sea uno o cero, por lo que se tiene:

k 2 ; k puede ser 2, 1, 0P(k 2) = P(0) + P(1) + P(2)

Entonces, hay que obtener las probabilidades de tener 0, 1, 2 éxitos para después sumarlas y encontrar la solución.

P( )!

!( )!( . ) ( . )

!( !)( )!

( ) ( .05

0 5 00 8 0 2

50 5

1 00 5

00003211

0 00032 1 0 00032) ( . ) ( ) ( . )

P(0) = 0.00032

P( ) ( . ) ( ) ( . ) .151

0 00128 5 0 00128 0 0064

P(1) = 0.0064


P( )!

!( )!( . ) ( . )

!( !) ( !)

( . ) (25

2 5 20 8 0 2

52 3

0 64 02 3 .. )!

( ) ( !)( . )008

5 4 32 3

0 00512

P( ) ( . ) ( . ) ( ) ( .25 4

20 00512

202

0 00512 10 0 00512

)) .0 0512

P(2) = 0.0512P(k 2) = P(0) + P(1) + P(2)P(k 2) = 0.00032 + 0.0064 + 0.0512 = 0.05792P(k 2) = 0.05792

La probabilidad de que al menos dos veces se lleve a cabo el procedimiento para promocionar las ventas es 0.05792.

Ejemplo 9

De las ventas de automóviles nuevos en un país, 20% corresponde a los automóviles importados. Suponiendo que se seleccionan al azar cuatro personas que han comprado un automóvil nuevo durante una semana.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las cuatro personas hayan comprado un automóvil importado?b) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo una persona haya comprado un automóvil importado?

Solución:

a) En este caso, el tamaño de la muestra (las personas que compraron automóviles importados) es n = 4, la probabilidad de éxito p = 0.2, la probabilidad de fracaso es q = 1 – 0.2 = 0.8, el número de elementos que se consideran éxito es k = 4 y el número de elementos que se consideran fracasos es n–k = 4 – 4 = 0. Sustituyendo en la fórmula probabilística binomial:

P( )!

!( )!( . ) ( . )

!!( !)

( . )44

4 4 40 2 0 8

44 0

0 00164 0

(( ) ( . ) ( ) ( . )111

0 0016 1 0 0016

P(0) = 0.0016

La probabilidad de que las cuatro personas de la muestra hayan comprado un automóvil importado es 0.0016.

b) En este caso, el tamaño de la muestra (las personas que compraron automóviles importados) es n = 4, la probabilidad de éxito p = 0.2, la probabilidad de fracaso es q = 1 – 0.2 = 0.8, el número de elementos que se consideran éxito es k = 1 y el número de elementos que se consideran fracasos es n – k = 4 – 1 = 3.

P( )!

!( )!( . ) ( . )

!!( !)

( . ) ( .14

1 4 10 2 0 8

41 3

0 2 01 3

55124 31 3

0 2 0 512)!

( ) ( !)( . ) ( . )

P( ) ( . ) ( ) ( . )141

0 1024 4 0 1024

P(1) = 0.4096

La probabilidad de que sólo una persona haya comprado un automóvil importado es 0.4096.


1. Si 30% de las lámparas incandescentes fabricadas por una compañía se funde en una semana si se dejan encendidas todo el tiempo, y se instala una lámpara en cada uno de los 10 pisos de un edificio, cuál es la probabilidad de que:

a) Se fundan diez lámparas.b) No haya lámparas fundidas.

2. Una empresa informa que 30% de sus cuentas por cobrar a otras empresas comerciales está vencido. Si un contador toma una muestra aleatoria de cinco de esas cuentas para saber qué cantidad es la que ha vencido, determina la probabilidad de que:

a) Ninguna de las cuentas esté vencida.b) Dos de las cuentas esté vencida.

3. Un director de producción sabe que 5% de las piezas producidas en cierto proceso de fabricación tiene algún defecto. Se examinan seis de estas piezas cuyas características se asumen independientes. Cuál es la probabilidad de que:

a) Ninguna de las piezas esté defectuosa.b) Dos de las piezas estén defectuosas.

4. Una asociación de beneficencia contrata estudiantes para que soliciten donaciones por teléfono. Después de un breve periodo de preparación, los estudiantes telefonean a los donantes potenciales y reciben en pago una comisión. La experiencia indica que, normalmente, estos estudiantes logran sólo un éxito moderado, y 70% de ellos deja el trabajo en las dos primeras semanas. La asociación contrata seis estudiantes, que pueden considerarse como una muestra aleatoria. Cuál es la probabilidad de que:

a) Ninguno de los estudiantes deje el trabajo en las dos primeras semanas.b) Cuatro de los estudiantes dejen el trabajo en las dos primeras semanas.

5. De los empleados de una empresa, 40% está a favor de la representación sindical y se contacta a una muestra aleatoria de 10 empleados en solicitud de una respuesta anónima. Cuál es la probabilidad de que:

a) Cinco de los empleados estén a favor de la representación sindical.b) Los diez empleados estén a favor de la representación sindical.


5.5. Distribución hipergeométrica

Tanto la distribución binomial como la distribución hipergeométrica persiguen un mismo objetivo (el número de éxitos en una muestra que contiene n observaciones). Lo que establece una diferencia entre estas dos distribuciones es la forma en que se obtiene la información y la manera como se trabajan las muestras y poblaciones.

La distribución hipergeométrica es aquella en la qu e se considera la existencia de éxitos y/o fracasos en

una muestra y en una población, suponiendo que se t iene conocimiento del tamaño de la población y

del número de elementos dentro de ella que se consi deran éxitos o fracasos, y que extrae una muestra

donde también existen éxitos o fracasos.

La principal diferencia que existe entre las distribuciones binomial e hipergeométrica es que en la binomial sólo se trabaja con una muestra o con una población, no con las dos, pero se considera que la forma como se emplean los datos es con reemplazo de los mismos, mientras que en la hipergeométrica se utilizan tanto la muestra como la población para hacer referencia al número de elementos contenidos en la población y así poder conocer el número de éxitos o fracasos en ella, además de que se considera que, partiendo de esa población, se extrae una muestra e interesa conocer la probabilidad de que se genere un número dado de éxitos o fracasos tomando en cuenta que el manejo de los datos es sin reemplazo.

Se considera que el reemplazo implica que, al trabajar con un dato elegido previamente, éste vuelve a considerarse en el conjunto de datos, por ejemplo, si se tiene una baraja con 52 cartas y se elige una al azar, y esa carta es un as de diamantes, el reemplazo consiste en volver a incluir esa carta en el conjunto, teniendo la posibilidad de volverla a elegir, además de que la probabilidad de elegir una carta no cambiaría porque se seguirían considerando 52 cartas.

Si no existe reemplazo, la carta elegida se eliminaría del conjunto y no se volvería a incluir, por lo que la probabilidad de elegir una carta está cambiando a medida que se reduce el total de elementos contenidos en el conjunto. Esto quiere decir que, al disminuir los elementos de una población o muestra, la probabilidad de que se lleve a cabo un experimento será cada vez mayor.

Al realizar un muestreo sin reemplazo de los elementos tomados de una población, no es posible emplear la distribución binomial debido a que, al eliminar (no reemplazar) elementos de una población, cambia la probabilidad de obtener un éxito al disminuir la cantidad de esos elementos. En una situación en la que se requiere que los resultados de un experimento no se repitan, y además se considera que se t iene una población y de el la se extrae una muestra, se debe emplear el muestreo sin reemplazo, siendo la distribución de probabilidad discreta más adecuada, la distribución hipergeométrica.

Esta distribución se emplea para calcular la probabilidad de obtener un determinado número de éxitos en un espacio muestral de n ensayos, partiendo de que existe un número dado de éxitos dentro de una población y que el resultado de una observación depende o es afectado por el resultado de cualquier otra observación anterior, en el sentido de que hay elementos que han sido eliminados y no pueden repetirse.

De esa manera, la distribución hipergeométrica considera no sólo a los elementos de la muestra, sino también a los elementos de la población, por lo cual se tiene:

P kC C

C

kk x

N kn Nk N k n

N n

( )( )( )

( )

!!( )!

( )!( )![(– –x x x x

k n

Nn N n

) ( )]!!

!( )!

x


Donde: N = número de elementos en la población. k = número de elementos en la población que se consideran éxitos.N–k = número de elementos en la población que se consideran fracasos. n = número de elementos en la muestra seleccionados de los N elementos en la población. x = número de éxitos en la muestra.

En este sentido, la fórmula implica que, al contarse con una población, hay elementos dentro de ella (N) que son considerados éxitos (k) y, si se desea realizar un experimento, se extrae una muestra (n) y se analiza para saber qué proporción de los datos de la muestra son éxitos (x). Así, se garantiza conocer de manera exacta la probabilidad de que un número dado de datos dentro de una muestra puedan ser éxitos o fracasos.

Ejemplo 10

Un aspirante a un puesto ejecutivo acude al departamento de recursos humanos de una empresa y se le notifica que en dos días deberá realizar un examen basado en una guía de quince secciones. Al prepararse para el examen, estudia tan sólo 10 de las 15 secciones que debe cubrir. Si su instructor selecciona 5 secciones al azar y hace una pregunta de cada una, ¿cuál será la probabilidad que tiene el aspirante de haber estudiado dos de las secciones?

En primer término se deben identificar los elementos correspondientes para ubicar sus valores en la fórmula. Como podrás observar, se hace referencia de 15 secciones que abarca el examen, por lo que el tamaño de la población es N = 15. El aspirante estudia 10 de las secciones, por lo que el número de elementos en la población que se consideran éxitos es k = 10. Al seleccionar 5 secciones al azar, se habla del tamaño de muestra:

n = 5 N = 15 k = 10N–k = 5 n = 5

Al considerarse la probabilidad de que el aspirante haya estudiado dos de las secciones, se tiene que el número de éxitos en la muestra x = 2.

n – x = 3

P(2)( )( )

( )( )( )– –k N k n

N n

C C

CC C

Cx x 10 2 5 3

15 5

P(2) =

(5)!(3)!(5–3)!

15!5!(15–5)!

102 10 2

!!( – )!

102 8

!( !) ( !)

(5)!

(3!) (2!)

15!(5!) (10!)

102 8

9 8 !

5 4 3!(3!) (2)

15 14 13 12

( ) ( !)

11 10!(5 4 3 2 1) (10!)

10 92

5 42

15 14 13 12 11120

902

202

360 360120

45 103 003

4503 003

0 149( ) ( )( )

. 8850149


0.149850149P (2) = 0.1499

La probabilidad de que el aspirante haya estudiado dos secciones es de 0.1499, lo cual es un valor bajo que denota que sus posibilidades de aprobar el examen no son muy alentadoras.

Ejemplo 11

Una compañía recibe un pedido de 20 artículos. Debido a que la inspección de cada artículo es cara, se sigue la política de analizar una muestra aleatoria de 6 artículos de cada envío, aceptando la remesa si no hay más de un artículo defectuoso en la muestra. ¿Cuál es la probabilidad de que sea aceptado un pedido con 5 artículos defectuosos?

N = 20 k = 5N – k = 15 n = 6

Al considerarse la probabilidad de que la compañía acepte un pedido con 5 artículos defectuosos, se tiene que el número de éxitos en la muestra x = 5.

n – x = 1

P(5) =( )( )

( )( ) ( )

( )– –k N k n

N n

C C

CC C

Cx x 5 5 15 1

20 6

P( )

!!( )!

( )!( )!( – )!!

!( – )!

5

55 5 5

151 15 1

206 20 6

5

5 015 141 14

20 19 18 17

!( !) ( !)

!( !) ( !)

x

116 15 146 14

!( !) ( !)

11

15 1

20 19 18 17 16 15 (6 5 4 3 2 1)

1

151

27 907 200720

( ) ( ) 760

1 1 1538

15( ) 338 760

0.00038699

P(5) = 0.00039

La probabilidad de que un pedido que contenga 5 artículos defectuosos sea aceptado es 0.00039, el cual es un valor muy bajo.


1. Una empresa presenta 10 declaraciones a un auditor de Hacienda y éste selecciona una muestra de seis declaraciones de impuestos de personas con una profesión particular para una posible auditoría. Si siete de las declaraciones indican deducciones autorizadas no se auditará a todo al grupo de 10 declaraciones, cuál es la probabilidad de que no se realice una auditoría más detallada si las declaraciones correctas son:

a) Cinco.b) Tres.

2. Un gerente selecciona aleatoriamente a tres individuos de un grupo de 10 empleados de un departamento para la formación de un equipo asignado a un proyecto. Suponiendo que cuatro de los empleados fueron asignados anteriormente a un proyecto similar, determina la probabilidad de que exactamente dos de los tres empleados hayan tenido experiencia en este tipo de proyectos.

3. Una analista financiera ha recibido una lista de los bonos de 12 compañías. La analista selecciona tres empresas de la lista cuyos bonos cree que están en peligro de caer el próximo año. En realidad cuatro de las empresas de la lista verán caer sus bonos el próximo año. Supongamos que la analista ha elegido las tres empresas de la lista aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las elegidas esté entre aquellas cuyos bonos bajarán el próximo año?

4. El director de un banco está considerando la concesión de un préstamo a 10 personas que lo han solicitado. El perfil de todos los solicitantes es similar, excepto en que cinco son menores de edad y el resto no. Al final, el director aprueba seis solicitudes. Si estas seis solicitudes han sido elegidas aleatoriamente del total, ¿cuál es la probabilidad de que dos de las solicitudes aprobadas sean de menores de edad?

5. En una tienda de autoservicio 15 de los 20 clientes encuestados por una marca reconocida de botanas están insatisfechos con el sabor de algunos productos. Si una muestra aleatoria de cuatro clientes es encuestada sobre el sabor de los productos, determina la probabilidad de que tres de los clientes encuestados se muestren insatisfechos con el sabor de las botanas.


5.6. Distribución de Poisson

La distribución de Poisson es otra función de distribución de probabilidad discreta que tiene muchas aplicaciones prácticas. Algunos ejemplos de los fenómenos analizados con la distribución de Poisson son:

La distribución de Poisson emplea información refer ente a situaciones en las cuales se maneja que

el resultado de un ensayo se condicione por present arse en un periodo determinado o en un área o

La distribución de Poisson puede emplearse para determinar la probabilidad de ocurrencia de un número establecido de eventos cuando éstos ocurren en cierto periodo. Aunque es parecida a la distribución binomial, se distingue de ella en que los eventos ocurren a lo largo de un intervalo de tiempo o espacio. La variable aleatoria discreta –el número de éxitos por unidad (es decir, por periodo, área, etc.)– es representativa de una distribución de Poisson. Cuando el criterio es el área, se hace referencia a que se puede, por ejemplo, entrevistar a 100 personas en un kilómetro cuadrado.

No sólo existen numerosos fenómenos discretos representados por una distribución de Poisson, sino que es posible emplear la distribución de Poisson como una aproximación a la distribución binomial cuando se proporciona el total de datos referentes a un problema y el número de datos es grande (mayor a 30), ya que no se puede calcular fácilmente el factorial de un número superior a ése, por lo que en este caso el promedio se define como = n · p, con la característica de que el valor de la probabilidad es muy pequeño. Se dice que la distribución de Poisson es la distribución límite de la binomial a medida que la muestra se hace muy grande y p se aproxima a cero.

Para determinar la probabilidad de ocurrencia de un número establecido de eventos en una distribución de Poisson sólo se requiere de un valor: el número promedio de eventos en la dimensión temporal o espacial específica de interés. Por lo general esta media se representa por la letra griega (lambda). Esta distribución se representa por:

Pe

( )!

xx

x

Donde:e = 2.71828, es la base de los logaritmos naturales. = constante positiva igual a la media de la distribución.

x = cualquier número entero positivo o valor que toma la variable aleatoria.


Ejemplo 12

El número promedio de ventas de una compañía en una hora es de 5, se desea conocer cuál es la probabilidad de que en una hora determinada se realicen:

a) Tres ventas.b) Seis ventas.

En los datos se puede apreciar que se conoce el valor de , por lo cual se emplea la distribución de Poisson.

a) Como el promedio de ventas por hora es cinco, entonces = 5, siendo x = 3.

Pe

( )( ) ( )

!( . ) ( )

!

( . )( )3

53

2 71828 53

0 0067 125

3 2 1

5 3 5 3

0 83756

0 1396.

.

P(3) = 0.1396 La probabilidad de que se realicen en promedio tres ventas en una hora, es de 0.1396.

b) Se desea conocer la probabilidad de que se realicen x = 6 ventas, por lo cual:

Pe

( )( ) ( )

!( . ) ( )

!

( . ) ( )6

56

2 71828 56

0 0067 15 625

6 5 4

5 6 5 6

33 2 1104 6875

7200 1454

..

La probabilidad de que se realicen en promedio seis ventas en una hora es 0.1454.

Ejemplo 13

Una compañía de seguros considera que en las pólizas que vende debe adicionar una cobertura de gastos médicos mayores para padecimientos poco frecuentes. La probabilidad de que un individuo aleatoriamente seleccionado tenga ese padecimiento es de 0.001 y el grupo de asegurados es de 3 000 personas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las 3 000 personas presente el padecimiento?b) ¿Cuál es la probabilidad de que 10 personas presenten el padecimiento?

Como puedes observar, en este caso se proporciona el total de elementos considerados en el estudio (3 000), el cual es grande, por lo que se tiene que emplear la aproximación a la distribución binomial con el fin de facilitar el cálculo de la probabilidad requerida.

Para conocer el promedio de personas que tienen el padecimiento hay que multiplicar la probabilidad de que lo tengan por el total de elementos contenidos en la muestra, por lo que = n · P = (0.001)(3 000) = 3.

a) Como el promedio de personas que puede presentar el padecimiento es = 3 y x = 0:

Pe

( )( ) ( )

!( . ) ( )

!

( . ) ( ) .0

30

2 71828 30

0 049787068 1

10 043 0 3 0 99787068

10 049787068.

P(0) = 0.049787068


Con el resultado puede deducirse que la probabilidad de que ninguna persona presente el padecimiento es 0.049787068, siendo un valor muy bajo.

b) El promedio de personas que puede presentar el padecimiento es = 3 y x = 10:

Pe

( )( ) ( )

!( . ) ( )

!

( . ) (500

310

2 71828 310

0 049787068 593 10 3 10

049

10 9 8 7 6 5 4 3 2 12 939 876578

3 628 800

) .

= 0.000810151P (10) = 0.000810151

El resultado muestra que la probabilidad de que 10 personas puedan presentar el padecimiento es realmente bajo, con lo cual puede concluirse que a la compañía aseguradora le conviene incluir en su cobertura el rubro de incremento en gastos médicos, ya que se considera que la probabilidad de que se contraiga el padecimiento es baja y con ello no tendrá que pagar mucho.


1. Los clientes de una tienda de autoservicio llegan a una caja ocupada a una tasa media de tres por minuto. La t ienda desea conocer la probabilidad de que en un minuto determinado se produzcan dos o menos llegadas para establecer el número de cajas que deben estar funcionando para dar un mejor servicio.

2. El conmutador de un edificio de consultoras publicitarias puede manejar un máximo de cinco llamadas por minuto, según el fabricante. Si la experiencia indica que se recibe un promedio de cinco llamadas por minuto que declara el fabricante, encuentra la probabilidad de que se reciban tres llamadas en un minuto dado.

3. Los clientes de una tienda de artículos deportivos llegan a un mostrador ocupado a una tasa media de cuatro por minuto. Se desea conocer la probabilidad de que en un minuto determinado lleguen tres clientes.

4. El número de accidentes mensuales en una cadena de producción es de 2.6 para un mes concreto, ¿cuál es la probabilidad de que no existan accidentes?

5. Un profesor recibe en promedio 4.2 llamadas de sus estudiantes el día anterior al examen, ¿cuál es la probabilidad de que reciba dos llamadas en esos días?


5.7. Distribución geométrica

En la distribución binomial nos interesa conocer la probabilidad de que se susciten éxitos o fracasos, pero no importa el orden en que se den, es decir, no es de importancia si el primer éxito se da en el primer, quinto o último experimento. Por ejemplo, si se tiene un lote de artículos y se elige una muestra de cinco para ver si presentan defectos (fracaso), no importa si el primer defecto se encuentra en el primer, tercer o cuarto artículo, lo importante es conocer la probabilidad de que dos o tres o cinco artículos sean defectuosos.

La distribución geométrica se basa en la distribución binomial sólo que en ésta nos interesan las probabilidades de que el primer éxito o fracaso ocurra en un experimento dado, por ejemplo, es de interés conocer si el primer éxito o fracaso ocurre en el tercer experimento.

En la distribución geométrica se tienen x experimentos y para que el primer éxito (fracaso) se dé en el x-ésimo experimento (el experimento elegido), deberán ocurrir antes x – 1 fracasos (éxitos) cuya probabilidad es (1 – P)x–1.

Por ejemplo, si se estudia la venta de 10 automóviles de tres marcas diferentes (A, B, C) en una hora dada con probabilidades de éxito y fracaso conocidas y se desea saber la probabilidad de que el primer éxito (la primera venta de la marca B) se dé en la tercera venta realizada, se tienen x = 3 experimentos (ventas) pero antes se dieron x – 1 = 3–1 = 2 fracasos (ventas de otras marcas).

La probabilidad de que el primer éxito o fracaso ocurra en el x-ésimo experimento es:

P(x) = P(1 – P)x–1

Donde: P(x) = Probabilidad de que el primer éxito se de en el experimento x. P = Probabilidad de éxito.(1–P) = Probabilidad de fracaso. x = Experimento elegido donde se espera que se obtenga el primer éxito.x – 1 = Fracasos ocurridos antes de que se obtenga el primer éxito.

Ejemplo 14

Una casa de bolsa tiene un paquete de acciones con distintos rendimientos. Si la probabilidad de que se eleve el rendimiento de las acciones es de 0.7, encuentra la probabilidad de que la cuarta acción sea la que eleve primero su rendimiento.

La probabilidad de éxito está definida por la probabilidad de que las acciones eleven su rendimiento, por lo cual P = 0.7; la probabilidad de fracaso es (1 – P) = 1 – 0.7 = 0.3. Como se espera que la cuarta acción sea la que eleve primero su rendimiento, x = 4.

P(x) = P(1 – P)x–1

P(4) = (0.7) (0.3)4 – 1 = (0.7) (0.3)3 = (0.7) (0.027) = 0.0189P(4) = 0.0189

La probabilidad de que la cuarta acción sea la que eleve primero su rendimiento es de 0.0189, lo cual indica que es poco probable que esta acción sea la que eleve primero su rendimiento.


Ejemplo 15

Al participar en un concurso, la probabilidad de que un participante acierte una respuesta es de 0.6. ¿Cuál es la probabilidad de que el participante proporcione la primera respuesta correcta en su tercer intento?

La probabilidad de éxito es P = 0.6, la probabilidad de fracaso es (1 – P) = 1 – 0.6 = 0.4

P (3) = (0.6)(0.4)3 – 1 = (0.6)(0.4)2 = (0.6)(0.16) = 0.096P(3) = 0.096

La probabilidad de que el concursante proporcione la primera respuesta acertada en su tercer intento es 0.096.


1. El departamento de recursos humanos de una compañía tiene tres candidatos factibles para un puesto gerencial, los cuales han sido seleccionados a través de varias pruebas, determinándose que la probabilidad de acertar las respuestas es de 0.9; para decidir cuál de ellos debe quedarse con el puesto, se les hará una prueba más. ¿Cuál es la probabilidad que el primer candidato conteste acertadamente a la prueba?

2. Si la probabilidad de que un estudiante de una clase numerosa pueda dar la respuesta a un problema asignado es de 0.3, ¿cuál es la probabilidad de que el cuarto estudiante seleccionado al azar por el instructor sea el primero en dar la respuesta correcta?


5.8 Implementación en los procesos de pronóstico para los negocios

Sin lugar a dudas una de las partes más importantes dentro de la administración de un negocio es la referente al proceso de pronosticación y predicción objetiva del futuro, la cual se basa en tratar de adelantarse al escenario actual y vislumbrar el escenario futuro de la situación de la empresa o de un proyecto en específico. Es aquí donde las diferentes distribuciones probabilísticas y la propia estadística pueden apoyar de manera ardua y significativa.

Es importante señalar que esta actividad inherente al manejo eficiente de los negocios y de las propias organizaciones se ha realizado con mucha antelación en la historia organizacional y empresarial, debido a que saber o poder identificar qué se espera que suceda en el futuro es una ventaja competitiva que proporciona, sin lugar a dudas, diferenciación y éxito en cualquier empresa y negocio. Sin embargo, la parte importante radica en la forma en que estos pronósticos se han llevado a cabo, y a decir verdad, hasta hace relativamente poco existen métodos para realizar con mayor asertividad y objetividad el proceso de los pronósticos.

Lo que ha dado al traste con múltiples proyectos es que muchas empresas sustentan sus procesos decisorios sólo en cuestiones cualitativas, cuando actualmente el mundo nos ha dado lecciones referentes a que no todas las decisiones se deben dar y sustentar en un proceso cualitativo, sino más bien en una mezcla estratégica de información cualitativa y cuantitativa. Y es ahí donde la cuestión estadística y de pronosticación cobra mayor envergadura.

Un número cada vez mayor de organizaciones está redefiniendo y formalizando el proceso de elaboración de pronósticos para llevar a cabo una serie de planificaciones organizacionales efectivas; por ejemplo, podemos mencionar la planeación referente a los procesos comerciales, a la capacidad productiva de una planta o una unidad de negocio, a los pronósticos financieros, a los pronósticos de quejas y observaciones de nuestros clientes o proveedores, etc., y por ende generar un mejor desempeño de todo lo largo y ancho de la organización.

Actualmente, dentro del lenguaje de los negocios y de la administración efectiva de las organizaciones cobra gran relevancia el término de productividad, competitividad y rentabilidad; sin embargo, atrás de estos conceptos primordiales para los negocios se encuentra un proceso de pronosticación efectivo.

Riesgo

Incertidumbre

Rentabilidad

Desarrollo de laempresa, negocio

proyecto

Pronosticaciónefectiva Productividad

Competitividad

Ahora bien, es importante señalar que para que el proceso de pronosticación sea efectivo debe partir de una aculturización en dos vertientes muy importantes y que resultan ser la base de todo el proceso: la cultura hacia la predicción y la cultura hacia la planeación. Se debe señalar que cuando se lleva a cabo un proceso ineficiente de pronosticación, la incertidumbre y el riesgo se incrementan


de manera sustanciosa, y como resultado, la posibilidad de toma de decisiones poco efectivas es más latente. Por ello el tema de pronosticar es extenso y requiere de técnicas adecuadas y tropicalizadas para cada situación, empresa, producto, área funcional, etcétera.

¿Pero cómo se empieza a generar un pronóstico eficiente? La respuesta inicial es que se deben identificar y comprender los elementos que influencian a la demanda, y su comportamiento a partir de los diferentes componentes del entorno y de las características propias de los elementos a pronosticar (ya sea un producto o servicio en específico, inversión, comportamiento de cliente, tiempo de elaboración de un producto, etcétera).

Como segunda respuesta se puede mencionar que el hecho de pronosticar no puede ser identificado como una mera predicción de lo que pasará en el futuro. Es por ello que un pronóstico se integra a partir de datos que se convierten en información, y que esa información a su vez tiene una gran probabilidad de ocurrencia. En otras palabras, normalmente se pudiera pensar que los pronósticos son elementos mágicos y metafísicos que permiten adivinar de manera exacta lo que sucederá en el futuro, y que además tienen una certeza total. Sin embargo los pronósticos, como otras herramientas cuantitativas que son aplicables a la administración y al gerenciamiento efectivo de una organización o proyecto, coadyuvan a un desarrollo efectivo pero no son la panacea solucionadora de todos los problemas decisorios.

Ahora bien, en cuanto a lo que nos concierne en este apartado, podemos decir que las diferentes técnicas de pronósticos estadísticos son muy útiles, ya que cuantifican de manera muy precisa ciertos componentes de la demanda, como tendencia, patrones de estacionalidad o de eventos.

Pronósticos y planeación: procesos críticos del negocio

Analicemos primeramente qué se entiende por planeación y cómo los pronósticos son parte inherente de esta etapa del proceso administrativo, y a partir de ello establezcamos la interrelación existente.

En primera instancia la planeación es pensar en las actividades, metas y objetivos que se deben logran en un futuro, ya sea mediato o inmediato, y una herramienta que ayuda a este proceso es sin lugar a dudas la pronosticación.

El diseño y elaboración de los pronósticos requiere información que surge de y se aprovecha para la planeación. En toda organización, quien se encarga de desarrollar los pronósticos debe tomar en cuenta las actividades planeadas, como ofertas, rebajas, promociones, modificación de precios, cambios en el entorno o sector al que nos dirigimos, etc., ya que ello coadyuva al desarrollo efectivo de pronósticos eficientes y competitivos.

Es indudable comentar que otra característica importante reside en que la parte histórica de todos los acontecimientos planteados anteriormente se debe ir acumulando de manera formal, ya que al tenerse a la mano servirá de referencia cuantitativa para elaborar pronósticos más objetivos.

Por ejemplo, un estudio realizado por el Institute of Business Forecasting (IBF), titulado “Why Forecasting?” (www.ibf.org), comenta que “hoy en día es ineludible un proceso más formal para elaborar los pronósticos sin importar en qué tipo de negocio o industria se localice la empresa o qué función realiza. Siempre hay una necesidad de estimar el futuro sobre el cual construir un plan”.

Este estudio también señala que diversas áreas de la empresa establecen planes diferentes a partir de los pronósticos:

El área de mercadotecnia o comercialización requiere pronósticos para determinar qué productos o servicios pueden ser factibles de insertar en el mercado, así como terminar con la comercialización de otros.

Identificar la cantidad de procesos que se pueden elaborar en cierta área de la empresa, es decir, la capacidad de operación.

http://www.ib


El área de ventas requiere pronósticos para establecer cuotas u objetivos de venta, y así poder diseñar estrategias más particularizadas hacia sus vendedores, así como sus estrategias de mercadeo o promoción.

El área de logística o cadena de valor necesita tener pronósticos efectivos para diseñar el proceso de planeación de la producción, el abastecimiento y las estrategias de logística.

El área de recursos financieros necesita identificar las tendencias basándose en pronósticos acerca de los ingresos, los egresos, la carga fiscal, etcétera.

El área de recursos humanos o capital humano requiere identificar su rotación de capital humano con base en pronósticos de permananencia.

Pese a todo lo anterior, aún persisten miembros de organizaciones que son incrédulos de toda la fortaleza decisoria que apoya una pronosticación efectiva, y siguen pensando que la experiencia y el presentimiento son las bases para vislumbrar lo que sucederá en un futuro y tomar decisiones.

Ahora bien, cuando se trata de utilizar la estadística en el diseño y desarrollo de pronósticos, debemos contemplar una serie de puntos de gran importancia, como:

a) Cuál es la funcionalidad de las técnicas estadísticas en el diseño de pronósticos.

b) Cuántos datos se requieren y de qué tipo.

c) Cómo se puede cuantificar el impacto de la desviación de los pronósticos con respecto a la realidad.

d) Cómo pronosticar cientos de productos y servicios en tiempo y forma adecuada.

e) Cuál debe ser el perfil profesional y de habilidades del encargado de realizar pronósticos en las organizaciones actuales.1

Esto le permitirá evaluar si tiene oportunidad de mejorar su proceso mediante el uso de alguna herramienta o capacitación. Hoy en día las compañías cuentan con la posibilidad de romper paradigmas culturales acerca de la realización de pronósticos. Hacer buenos pronósticos de demanda es un proceso que agrega valor, ya que está íntimamente relacionado con la toma de decisiones que impactan en el rendimiento financiero de la empresa.

Como ejemplo de lo anterior podemos mencionar el siguiente caso:¿Qué ha estado ocurriendo con DELL últimamente? La respuesta es que siendo DELL un

gigante en el mercado de la tecnología, y de manera específica en la cuestión del hardware, que innovó en el desarrollo de nuevas formas de producción y comercialización del mismo y que ha tenido un desarrollo excepcional en los últimos años, hoy en día está sufriendo un grave colapso financiero y comercial, debido en gran parte a una mala pronosticación de ventas de sus equipos en la parte empresarial, es decir, su pronóstico en el sector de ventas a empresas y sus respectivos equipos no fue objetivo y realista; algo falló, ocasionando que los resultados distaran mucho de la realidad y sus planes estratégicos se fundaran en esa esperanza de ventas, las cuales nunca llegaron y hoy ponen en serios aprietos a esta empresa de carácter mundial.

1 Adaptado de “Pronóst icos de negocios”. Armando González, su autor, es gerente general de Forecast Pro Lat inoamérica. Forecast Pro es el sof tware l íder para pronóst icos de negocios (recogido del port al http:// www.gerencie.com. Todo lo que un contador y empresario debe saber).

http://www.gerencie.com.


Sin duda la experiencia por la que está pasando DELL debe de servir para concluir que los pronósticos tienen una gran importancia, y que de su objetividad dependen muchas expectativas de la empresa.

Finalmente, es importante mencionar que las mejores prácticas en cuanto a pronosticación sugieren una combinación de pronósticos estadísticos con pronósticos por experiencia, y la parte cuantitativa y cualitativa deben estar relacionadas de manera sinérgica, a fin de que la empresa sea competitiva de manera permanente y consolidada.

Ejemplo 15

1. Una empresa de transportes urbanos de la ciudad de México realizó un estudio sobre el número de autobuses carros de la ruta México-Acapulco por semana; adicionalmente, los expertos del área de mantenimiento establecieron las probabilidades f(x) para cada uno de los eventos. Los resultados se muestran en la tabla siguiente:

Carros averiados Probabilidad f(x)0 0.011 0.052 0.103 0.224 0.285 0.246 0.087 0.02

La capacidad de operación del área de mantenimiento es de cuatro carros por semana; el gerente del área de mantenimiento necesita definir un plan estratégico (pronosticar) para prevenir contingencias en la próxima semana de vacaciones y minimizar los costos por unidades averiadas, para lo cual se le solicita que determine:

a) La probabilidad de dar servicio a cuatro carros por semana.

b) La probabilidad de dar servicio a menos de cuatro carros a la semana.

c) La probabilidad de atender a más de cuatro carros a la semana.

d) Con base en los resultados anteriores, ¿se justificaría la inversión para ampliar la estación de mantenimiento?

Solución

Por las condiciones del problema se trata de una distribución de Poisson:

a) La probabilidad de dar servicio a 4 carros por semana.

La fórmula que se aplicará para la solución de este problema es la función de probabilidad de Poisson:


Pe

( )!

xx

x

Para lo cual se requiere el valor de , que representa la media de la distribución. En este caso la media de la distribución es el valor esperado, de donde E f(x).

Carros averiados Probabilidad f(x) f(x)0 0.01 0.001 0.05 0.052 0.10 0.203 0.22 0.664 0.28 1.125 0.24 1.206 0.08 0.487 0.02 0.14

Total 1.00 3.85

Por lo tanto = 3.85.Para determinar la probabilidad de dar servicio a 4 carros únicamente a la semana, es

decir a 100% de la capacidad del área de mantenimiento, hacemos x = 4 y sustituimos en la fórmula:

Pe

( )( . )

!.

.

43 85

40 1948

4 3 85

Por lo tanto, la probabilidad de dar servicio a 4 carros a la semana es de 19.48%.

b) La probabilidad de dar servicio a menos de 4 carros a la semana.Para resolver este problema se debe tomar la probabilidad cuando x es menor a 4, es decir,

para el caso x = 3, 2, 1 y 0.

Pe

( )( . )

!.

.

03 85

00 0213

0 3 85

P

e( )

( . )!

..

13 85

10 0819

1 3 85

Pe

( )( . )

!.

.

23 85

20 1577

2 3 85

P

e( )

( . )!

..

33 85

30 2024

3 3 85

La probabilidad para P(x < 4) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3).

P(x < 4) = 0.0213 + 0.0819 + 0.1577 + 0.2024 = 0.4633

Por lo tanto, la probabi lidad de dar servicio a menos de 4 carros a la semana es de 46.33%.

c) La probabilidad de atender a más de 4 carros a la semana.Para obtener la probabilidad de dar servicio a más de 4 carros a la semana determinamos

que P(x > 4) = 1 –PP P(x = 4) + P(x < 4) = 0.1948 + 0.4633 = 0.6581P(x > 4) = 1 – 0.6581 = 0.3419Por lo tanto, la probabilidad de atender a más de 4 carros a la semana es de 34.19%.


d) Con base en los resultados anteriores, ¿se justificaría la inversión para ampliar la estación de mantenimiento?Como se puede apreciar, el área de mantenimiento trabaja la mayor parte del año por

debajo de su capacidad máxima (4 carros a la semana con una probabilidad de 65.81%), y pocas veces trabaja por arriba de su máxima capacidad, con una probabilidad de 34.19%. Por esta razón no se recomienda hacer una expansión en el área de mantenimiento.

2. Una empresa informa que 25% de sus cuentas por cobrar a otras empresas están vencidas. Si un contador toma una muestra aleatoria de 10 de las cuentas por cobrar, determine la probabilidad de:

a) Que ninguna de las cuentas esté vencida.

b) 3 de las cuentas estén vencida.

c) Si la probabilidad de que 3 de las 10 cuentas estén vencidas es mayor a 25%, la empresa necesitará establecer medidas pertinentes. ¿Deberá tomarlas o no?

Solución

Se trata de una distribución de tipo binomial.

a) Que ninguna de las cuentas esté vencida.En este caso el tamaño de la muestra es n = 10, la probabilidad de éxito p = 0.25, y la

probabilidad de fracaso es q = 1–0.25 = 0.75. Sustituyendo estos valores en la fórmula para obtener la probabilidad si x = 0, se tiene:

p k C p qn

k n kp qn k

k n k k n k( )!

!( )!

p( )!

!( )!( . )( . ) .0

100 10 0

0 25 0 75 0 05630 10

La probabilidad de que ninguna de las cuentas esté vencida es: 0.0563.

b) 3 de las cuentas estén vencidas.x = 3, sustituyendo tenemos:

p( )!

!( )!( . )( . ) .3

103 10 3

0 25 0 75 0 25033 10 3

La probabilidad de elegir 3 cuentas vencidas es 0.2503.

c) Si la probabilidad de que 3 de las 10 cuentas estén vencidas es mayor a 25%, la empresa necesitará establecer medidas pertinentes. ¿Deberá tomarlas o no?Como la probabilidad de que 3 de las 10 cuentas estén vencidas es de 25.03%, la empresa

deberá tomar medidas.

3. La casa de bolsa Interacciones tiene un paquete de acciones con distintos rendimientos. Si la probabilidad de que se eleve el rendimiento de alguna de las acciones es de 80%, determine la probabilidad de que la tercera acción sea la que eleve su rendimiento.


Solución

En este ejemplo, tenemos que la probabilidad de éxito es de 0.8, la probabilidad de fracaso es 1 – 0.8 = 0.2. Como se espera que la tercera acción eleve su rendimiento, x = 3, sustituyendo en la fórmula para obtener probabilidad de la distribución geométrica tenemos:

P(x) = P (1 – P P)x – 1

P(3) = 0.8 (1–0.8)3 – 1 = (0.8) (0.2)2 = 0.032

La probabilidad de que la tercera acción sea la que eleve su rendimiento es de 0.032.

Ejemplo 16

1. El área de telemarketing de una empresa recibe los pedidos de sus clientes y los registra en el sistema de ventas; el promedio de llamadas que se reciben es de 8 cada 5 minutos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de recibir 3 llamadas en cualquier minuto?

b) ¿Cuál es la probabilidad de atender más de 5 llamadas en cualquier minuto?

Solución

a) 0.1378 = 13.78%

b) 0.0062 = 0.62%

2. El director de producción de la empresa Elektrica sabe que 7% de las piezas producidas en su fábrica son defectuosas. De un lote se examinan 8 piezas. Determinar la probabilidad de:

a) Que una de las piezas elegidas esté defectuosa.

b) Que dos de las piezas elegidas estén defectuosas.

Solución

a) La probabilidad de que una de las piezas elegidas esté defectuosa es de 0.3370.

b) La probabilidad de que dos de las piezas elegidas estén defectuosas es de 0.0888.

3. El gerente de operación y producción de Interceramic sabe que 7% de las piezas producidas por su empresa son defectuosas. De un lote se examinan 8 piezas. Determine la probabilidad de que la cuarta pieza elegida salga defectuosa.

Solución

La probabilidad de que la cuarta pieza elegida esté defectuosa es de 5.63%.


1. Una variable aleatoria se caracteriza por:

a) Ser un símbolo utilizado para representar cualquier valor de un conjunto.b) No depender de factores al azar.c) No tomar valores particulares dentro de un evento aleatorio.d) No estar vinculada a un suceso aleatorio.

2. Una variable aleatoria se clasifica como:

a) Dependiente o independiente.b) Discreta o continua.c) Probabilística o no probabilística.d) Determinada o indeterminada.

3. Una variable aleatoria continua es aquella que toma:

a) El valor cero.b) Sólo valores enteros.c) Valores negativos.d) Cualquier valor dentro de un intervalo.

4. Dos características de las probabilidades asociadas a una distribución son:

a) Las probabilidades suman más de uno y son mayores a uno.b) Las probabilidades suman uno y su valor está entre cero y uno.c) Las probabilidades son negativas y suman menos que uno.d) Las probabilidades son negativas y suman uno.

5. El valor esperado o esperanza matemática es:

a) La suma de los valores que toma una variable multiplicados por su probabilidad. b) La suma de los valores que toma una variable divididos entre su probabilidad.c) La suma de los valores que toma una variable divididos entre el número de datos.d) Un valor que mide la dispersión.

6. La varianza de una variable aleatoria discreta es útil para:

a) Determinar el valor esperado. b) Conocer la variación de una distribución de frecuencias.c) Comparar las dispersiones de las distribuciones de probabilidad.d) Calcular una probabilidad.

7. Un investigador sugiere que el periodo que dura un artículo “de moda” depende de la clase de artículo. Sobre la base de experiencias, una casa de ropa ha calculado la siguiente distribución de probabilidad para el número de vestidos de mujer (x) que se estima están de moda durante cierto periodo.

X 1 2 3 4

P(x) 1/12 3/12 4/12 4/12


Encuentra la desviación estándar.Con los datos del problema, el valor es:

a) Desviación estándar = 0.8965b) Desviación estándar = 0.9538c) Desviación estándar = 0.8125d) Desviación estándar = 0.9864

8. La distribución binomial se caracteriza por:

a) Considerar a los elementos de la población.b) Incluir dos eventos o sucesos con probabilidades “p” y “q”.c) Trabajar con promedios.d) No incluir probabilidades.

9. Una propiedad de la distribución binomial es:

a) El experimento consiste de un ensayo. b) Cada experimento tiene muchos resultados posibles.c) La probabilidad de un éxito suma más de uno.d) Los ensayos son estadísticamente independientes.

10. Un político cree que 25% de los macroeconomistas que ocupan altos cargos apoyará una propuesta que quiere presentar. Suponiendo que esta creencia es correcta y que se eligen cinco altos cargos aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que dos de los cinco apoyen la propuesta?Con esos datos, la probabilidad es:

a) 0.2637b) 0.3321c) 0.2655d) 0.2456

11. En la distribución hipergeométrica:

a) Se hace uso del muestreo sin reemplazo. b) Sólo se considera una muestra.c) Se usa el muestreo con reemplazo.d) Se consideran dos o más muestras.

12. La distribución hipergeométrica:

a) Considera a los elementos de la población.b) Incluye dos eventos o sucesos con probabilidades “p” y “q”.c) Trabaja con promedios.d) No incluye probabilidades.

13. Un analista financiero ha recibido una lista de los bonos de 12 compañías. El analista selecciona tres empresas de la lista cuyos bonos cree que están en peligro de caer el próximo año. En realidad, cuatro de las compañías de la lista verán caer sus bonos el próximo año. Suponiendo que el analista ha elegido las tres empresas de la lista aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que dos de las compañías estén entre aquellas cuyos bonos bajen el próximo año?


Con esos datos, la probabilidad es:

a) 0.2134b) 0.2182c) 0.2116d) 0.2237

14. La distribución de Poisson determina la probabilidad de ocurrencia de un evento:

a) Considerando el número de datos en una población.b) Tomando en cuenta el tiempo o área.c) Considerando la probabilidad de éxito.d) Considerando la probabilidad de fracaso.

15. La distribución de Poisson:

a) Considera a los elementos de la población.b) Incluye dos eventos o sucesos con probabilidades “p” y “q”.c) Trabaja con el promedio de la distribución.d) No incluye probabilidades.

16. En promedio al puerto llega un barco cada dos días. Una empresa importadora desea conocer cuál es la probabilidad de que tres barcos lleguen a ese punto en un día aleatoriamente seleccionado.Con los datos anteriores, la probabilidad es:

a) 0.0182b) 0.0164d) 0.0613e) 0.0126


1. c)2. a)3. a)4. d)5. a)6. c)7. b)8. d)9. c)

10.Recuerda que las probabilidades de los 4 puntos muestrales son las siguientes:

P(A, A) = (0.6) × (0.6) = 0.36 Probabilidad del 1er. punto muestral.P(A, B) = (0.6) × (0.4) = 0.24 Probabilidad del 2do. punto muestral.P(B, A) = (0.6) × (0.4) = 0.24 Probabilidad del 3er. punto muestral.P(B, B) = (0.4) × (0.4) = 0.16 Probabilidad del 4to. punto muestral.

Si se define la variable “número de productos del tipo B que se pueden observar en una muestra compuesta por dos clientes”, la distribución de probabilidad de esta variable aleatoria es la siguiente:

Valor de la Probabilidad variable

0 0.36 Probabilidad del 4to. punto muestral. 1 0.48 Probabilidad del 2do. y 3er. punto muestral (0.24 + 0.24). 2 0.16 Probabilidad del 1er. punto muestral.

1.a) E(X) = (0)(1/ 8) + (1)(2/ 8) + (2)(4/ 8) + (3)(1/ 8) = 13/ 8 = 1.625

E(X) = 1.625

b)Var(X) = (0–1.625)2(1/ 8) + (1–1.625)2(2/ 8) + (2–1.625)2(4/ 8) + (3–1.625)2(1/ 8)

= (–1.625) 2 (1/ 8) + (–0.625) 2 (2/ 8) + (0.375) 2 (4/ 8) + (1.375) 2 (1/ 8)= (2.640625) (1/ 8) + (0.390625)(2/ 8) + (0.140625) (4/ 8) + (1.890625) (1/ 8) = 5.875/ 8

Var(X) = 0.734375

c) Desviación estándar 0.734375 0.856957

2.a) E(X) = (6) (0.25) + (7) (0.35) + (8) (0.25) + (9) (0.10) + (10) (0.05) =

= 1.5 + 2.45 + 2 + 0.9 + 0.5 = 7.35E(X) = 7.35


b)Var(X) = (6–7.35)2(0.25) + (7–7.35)2(0.35) + (8–7.35)2(0.25) + (9–7.35)2(0.10) + (10–7.35)2(0.05)

= (–1.35) 2 (0.25) + (–0.35) 2 (0.35) + (0.65) 2 (0.25) + (1.65) 2 (0.10) + (2.65) 2 (0.05)= (1.8225) (0.25) + (0.1225) (0.35) + (0.4225) (0.25) + (2.7225) (0.10)+ (7.0225)(0.05) = 1.2275

Var(X) = 1.2275

Con lo anterior, la desviación estándar es 1.2275 1.1079

3.a)

E(X) = (0)(0.05) + (1)(0.10) + (2)(0.15) + (3)(0.25) + (4)(0.30) + (5)(0.10) + (6)(0.05) = 3.15E(X) = 3.15

b) Var(X) = (0–3.15)2(0.05) + (1–3.15)2(0.10) + (2–3.15)2(0.15) + (3–3.15)2(0.25) +(4–3.15)2(0.30) +(5–3.15)2(0.10) + (6–3.15)2(0.05)

= (–3.15) 2 (0.05) + (–2.15)2(0.10) +(–1.15)2(0.15) + (–0.15)2(0.25) + (0.85) 2 (0.30) +(1.85)2(0.10) + (2.85)2(0.05)

= (9.9225) (0.05) + (4.6225) (0.10) + (1.3225) (0.15) + (0.0225) (0.25) + (0.7225) (0.30) +(3.4225) (0.10) + (8.1225) (0.05) = 2.1275

Var(X) = 2.1275


4.a)

E(X)X = (0) (0.15) + (1) (0.25) + (2) (0.25) + (3)(0.20) + (4) (0.10) + (5) (0.05) = 2E(X)X = 2

b)Var(X) = (0–2)2(0.15) + (1–2)2(0.25) + (2–2)2(0.25) + (3–2)2(0.20) + (4–2)2(0.10) + (5–2)2(0.05)

= (–2) 2 (0.15) + (–1)2(0.25) + (0)2(0.25) + (1)2(0.20) + (2) 2 (0.10) + (3)2(0.05)= (4) (0.15) + (1) (0.25) + (0) (0.25) + (1) (0.20) + (4) (0.10) + (9) (0.05) = 1.9

Var(X) = 1.9


1. Los datos corresponden a una distribución binomial en la cual la probabilidad de éxito (que la lámpara se funda) es p = 0.30 y la probabilidad de fracaso q = (1 – p) = 0.7.

a) La probabilidad de que se fundan 10 lámparas en n = 10 pisos es:

P( )!

! ( – )!( . ) ( . )

!( !) ( !)

1010

10 10 100 3 0 7

1010 0

10 0

( . ) ( ) ( ) ( . )0 0000059 1 1 0 0000059

= (1) (0.0000059)P(10) = 0.0000059

La probabilidad de que se fundan las 10 lámparas del edificio es 0.0000059.


b) La probabilidad de que no haya lámparas fundidas es:

P( )!

! ( – )!( . ) ( . )

!( !) ( !)

(010

0 10 00 3 0 7

100 10

0 10

11 0 0282 1 0 0282)( . ) ( )( . )

P(0) = 0.0282

La probabilidad de que ninguna lámpara se funda es 0.0282

2. Los datos corresponden a una distribución binomial, en la cual la probabilidad de fracaso es q = 0.30 y la probabilidad de éxito p = (1–q) = 0.7

a) La probabilidad de que ninguna de las cinco cuentas por cobrar (n = 5) esté vencidaes:

P( )!

! ( – )!( . ) ( . ) ( ) ( . ) ( ) .0

50 5 0

0 3 0 7 1 0 00243 1 0 002435 0

P(0) = 0.00243

La probabilidad de que ninguna de las cuentas por cobrar esté vencida es 0.00243.

b) La probabilidad de que dos cuentas por cobrar estén vencidas es:

P( )!

! ( – )!( . ) ( . )

!( !) ( !)

( . )25

2 5 20 3 0 7

52 3

0 092 3

(( . )

!( !) ( !)

( . )0 3435 4 32 3

0 03087

202

0 03087 10 0 03087 0 3087

( . ) ( ) ( . ) .

P(2) = 0.3087

La probabilidad de que dos de las cuentas por cobrar estén vencidas es 0.3087.

3. Los datos corresponden a una distribución binomial en la cual la probabilidad de fracaso es q = 0.05 y la probabilidad de éxito p = (1–q) = 0.95

a) La probabilidad de que ninguna de las seis piezas (n = 6) esté defectuosa es:

P( )!

! ( – )!( . ) ( . ) ( ) ( . )0

60 6 0

0 05 0 95 1 0 0000000466566 0

(( ) .1 0 000000047

P(0) = 0.000000047La probabilidad de que ninguna de las piezas esté defectuosa es 0.000000047.

b) La probabilidad de que dos piezas estén defectuosas es:

P( )!

! ( – )!( . ) ( . )

!( !) ( !)

( .26

2 6 20 05 0 95

62 4

0 02 4

0025 0 8145

6 5 42 4

0 00203625) ( . )!

( !) ( !)( . )


302

0 00203625 15 0 00203625 0 0305

( . ) ( ) ( . ) .

P(2) = 0.0305La probabilidad de que dos de las piezas estén defectuosas es 0.0305.

4. La probabilidad de fracaso es q = 0.70 y la probabilidad de éxito p = (1 – q) = 0.3

a) La probabilidad de que ninguno de los seis estudiantes (n = 6) deje el trabajo en las dos primeras semanas es:

P( )!

! ( – )!( . ) ( . ) ( ) ( . ) ( ) .0

60 6 0

0 7 0 3 1 0 117649 1 0 1176 0

6649

P(0) = 0.117649

La probabilidad de que ninguno de los estudiantes deje el trabajo en las dos primeras semanas es 0.117649.

b) La probabilidad de que cuatro de los estudiantes dejen el trabajo en las dos primeras semanas es:

P( )!

! ( - )!( . ) ( . )

!( !) ( !)

( .26

4 6 40 7 0 3

64 2

0 2404 2

11 0 09

6 5 44 2

0 0216) ( . )!

( !) ( !)( . )

302

0 0216 15 0 0216 0 3240( . ) ( ) ( . ) .

P(2) = 0.3240

La probabilidad de que cuatro de los estudiantes dejen el trabajo en las dos primeras semanas es 0.3240.

5. La probabilidad de fracaso es q = 0.40 y la probabilidad de éxito p = (1–q) = 0.6.

a) La probabilidad de que cinco de los diez empleados (n=10) esté a favor de la representación sindical es:

P( )!

! ( – )!( . ) ( . ) ( ) ( . ) (0

105 10 5

0 4 0 6 252 0 000104857610 5

00 07776 0 0021. ) .

P(0) = 0.0021

La probabilidad de que cinco de los empleados estén a favor de la representación sindical es 0.00021.

b) La probabilidad de que los 10 empleados estén a favor de la representación sindical es:

P(0)= (10–10)!

(0.4) (0.6) =(1) (0.0001048576) (10 01010

!!

11)=0.0001

P(0) = 0.0001

La probabilidad de que los diez empleados estén a favor de la representación sindical es 0.0001


1. Los datos de este problema hacen referencia a una distribución hipergeométrica.

N = 10N N – k = 3k = 7 n = 6

a) La probabilidad de tener x = 5 declaraciones correctas con n–x = 1 es:

P( )

!! ( – )!

!! ( – )!

!! ( – )!

5

75 7 5

31 3 1

106 10 6

75 2

31 2

106 4

7!( !) ( !)

!( !) ( !)

!( !) ( !)

6 55 2

3 21 2

10 9 8 7 66 24

!( !) ( )

!( ) ( !)

!( !) (

))

P( )( ) ( )

.5

422

31

5 04024

21 3

21063

2100 30

P(5) = 0.3

La probabilidad de que cinco declaraciones sean correctas es 0.3.

b) La probabilidad de x = 3 declaraciones correctas con n–x = 3 es:

P( )

!!( – )!

!!( – )!

!! ( – )!

3

73 7 3

33 3 3

106 10 6

773 4

33 0

106 4

7 6!( !) ( !)

!( !) ( !)

!( !) ( !)

5 46 4

1

10 9 8 7 66 24

!( ) ( !)

( )

!( !) ( )

2106

1

5 04024

35 1210

35210

0 1667( )

( )( ).

P(3) = 0.1667

La probabilidad de que tres declaraciones estén correctas es 0.1667.


N = 10 N N – k = 6k = 4 n = 3


P(2)= (4–2)!

(10–3)!

42

61 6 1

103

!!

!! ( – )!

!!

42

61 5

103

4!( !)

!( !) ( !)

!( !)

(2!)

(7!)

3 2 (2)

5!

0 9 8 7 !

(7!)

!( !) ( ) ( !)

( )

261 5

16


P( )( ) ( )

.2

122

61

7206

6 6120

36120

0 30

P(2) = 0.3

La probabilidad de que dos de los empleados haya tenido experiencia en proyectos como el requerido es 0.3.

3. Los datos de este problema son:

N = 12N N – k = 8k = 4 n = 3

a) La probabilidad de tener x = 0 empresas cuyos bonos bajarán el próximo año es:

P( )

!! ( – )!

!! ( – )!

!! ( – )!

0

40 4 0

83 8 3

123 12 3

40 4

83 5

123 9

4!( !) ( !)

!( !) ( !)

!( !) ( !)

!( ) ( !)

!( ) ( !)

!( ) (

1 48 7 6 5

6 512 11 10 9

6 9!!)

P( )( )

( ) ( ).0

13366

13206

1 56

22056220

0 2545

P(0) = 0.2545

La probabilidad de que dos de las empresas bajarán sus bonos el próximo año es 0.2545.

4. Los datos de este problema son:

N = 10N N – k = 4 k = 6 n = 5


P( )

!! ( – )!

!! ( – )!

!! ( – )!

2

62 6 2

43 4 3

105 10 5

62 4

43 1

105 5

6!( !) ( !)

!( !) ( !)

!( !) ( !)

5 42 4

4 31 3

10 9 8 7 6 5120

!( !) ( !)

!( ) ( !)

!(

)) ( !) 5

P( )( ) ( )

.2

302

41

30 240120

15 4252

60252

0 2

3381

P(2) = 0.2381

La probabilidad de que dos de las solicitudes aprobadas sean de menores de edad es 0.2381.



N = 20N N – k = 5k = 15 n = 4a) La probabilidad de tener x = 3 clientes insatisfechos es:

P( )

!! ( – )!

!! ( – )!

!! ( – )!

3

153 15 3

51 5 1

204 20 4

153 12

51 4

204 16

!( !) ( !)

!( !) ( !)

!( !) ( !)

15 14 13 126 12

5 41 4

20 19 1

!( ) ( !)

!( ) ( !)

88 17 1624 16

!( ) ( !)

P( )( ) ( )

3

2 7306

51

116 28024

455 54 845

2 2754

88450 4696.

P(3) = 0.4696

La probabilidad de que tres de los clientes encuestados estén insatisfechos con el sabor de las botanas es 0.4696

1. El promedio de clientes que arriban a una caja ocupada es = 3. Como se desea conocer la probabilidad de que se produzcan dos o menos llegadas, hay que obtener la probabilidad de que X tome valores 2, 1, y 0 y posteriormente sumarlas para garantizar las necesidades del problema.

Pe

( )( ) ( )

!( . ) ( )

!

( . ) ( ) .0

30

2 71828 30

0 049787068 1

10 043 0 3 0 99787068

10 049787068.

(0) = 0.049787068

Pe

( )( ) ( )

!( . ) ( )

!( . ) ( ) .

13

12 71828 3

10 049787068 3

10 143 1 3 1 99361204

10 149361204.

(1) = 0.149361204

Pe

( )( ) ( )

!( . ) ( )

!( . )( ) .

23

22 71828 3

20 049787068 9

20 443 2 3 2 88083612

20 224041806.

(2) = 0.224041806P(X 2) = P(0) + P(1) + P(2) = 0.049787068 + 0.149361204 + 0.224041806 P(X 2) = 0.423190078

La probabilidad de que en un minuto determinado se produzcan dos o menos llegadas a una caja ocupada es 0.423190078.

2. El promedio de llamadas que recibe el conmutador electrónico de un edificio de consultoras es = 5, como se desea conocer la probabilidad de que se produzcan tres llamadas, hay que obtener la probabilidad de que X tome un valor de 3.

Pe

( )( ) ( )

!( . ) ( )

!

( . ) ( ) .3

53

2 71828 53

0 006737946 125

605 3 5 3 8842243374

60 140373895.

(3) = 0.140373895


La probabilidad de que el conmutador reciba tres llamadas en un minuto dado es 0.140373895.

3. El promedio de clientes que llegan a un mostrador ocupado es = 4. Como se desea conocer la probabilidad de que se produzcan tres llegadas, hay que obtener la probabilidad de que X tome un valor de 3.

Pe

( )( ) ( )

!( . ) ( )

!( . ) ( ) .

34

32 71828 4

30 018315688 64

61 14 3 4 3 772204032

60 1954.

(3) = 0.1954

La probabilidad de que lleguen tres clientes a un mostrador ocupado es 0.1954.

4. El promedio de accidentes de la cadena de producción es = 2.6. Como se desea conocer la probabilidad de que se produzcan cero accidentes, hay que obtener la probabilidad de que X tome un valor de 0.

2.6 0 2.6 0 (0.074273708) (1)( ) (2.6) (2.71828) (2.6) 0.074273708(0) 0.0743

0! 0! 1 1e

P

P(0) = 0.0743

La probabilidad de que no haya accidentes en un mes determinado en la cadena de producción es 0.0743.

5. El promedio de llamadas que recibe el profesor es = 4.2. Como se desea conocer la probabilidad de que se produzcan dos llamadas, hay que obtener la probabilidad de que X tome un valor de 2.

Pe

( )( ) ( . )

!( . ) ( . )

!( . ) (. .

02 6

02 71828 2 6

00 0742737082 6 0 2 6 0 11

10 074273708

10 0743

) ..

P(2) = 0.1323

La probabilidad de que el profesor reciba dos llamadas un día antes del examen es 0.1323.

1. La probabilidad de éxito es p = 0.9, la probabilidad de fracaso

q = (1 – p) = 1 – 0.9 = 0.1P (1) = (0.9) (0.1)P 1 – 1 = (0.9) (0.1)0 = (0.9) (1) = 0.9P(1) = 0.9

2. La probabilidad de éxito es p = 0.3, la probabilidad de fracaso es

q = (1 – p) = 1 – 0.3 = 0.7P (4) = (0.3) (0.7)P 4 – 1 = (0.3) (0.7)3 = (0.3) (0.343) = 0.1029P(4) = 0.1029


1. a)2. b)3. d)4. b)5. a)6. c)7. b)8. b)9. d)

10. a)11. a)12. a)13. b)14. b)15. c)16. d)

Unidad 5 Distribuciones de probabilidad discreta · de probabilidad que se analizarán en esta...

Documents

Transcript of Unidad 5 Distribuciones de probabilidad discreta · de probabilidad que se analizarán en esta...