INSTITUTO TECNOLGICO DE CERRO AZUL

MATERIA:ESTADSTICA INFERENCIAL

ING. JUAN PEDRO TORRES HERNNDEZ

UNIDAD 5:SERIES DE TIEMPO

PRESENTAN:LUIS RENE TORRES SERRANOANAHI CELESTINO HERNANDEZ

5.1. MODELO CLASICO DE SERIE DE TIEMPOUn modelo clsico para una serie de tiempo, supone que una seriex(1), ..., x(n)puede ser expresada como suma o producto de tres componentes:tendencia,estacionalidady un trmino deerror aleatorio.Existen tres modelos de series de tiempos, que generalmente se aceptan como buenas aproximaciones a las verdaderas relaciones, entre los componentes de los datos observados.Estos son:1. Aditivo:X(t) = T(t) + E(t) + A(t)2. Multiplicativo:X(t) = T(t) E(t) A(t)3. Mixto:X(t) = T(t) E(t) + A(t)Donde:X(t)serie observada en instantetT(t)componente de tendenciaE(t)componente estacionalA(t)componente aleatoria (accidental)Una suposicin usual es queA(t)sea una componente aleatoria o ruido blanco con media cero y varianza constante.Un modelo aditivo (1), es adecuado, por ejemplo, cuandoE(t)no depende de otras componentes, comoT(t), s por el contrario la estacionalidad vara con la tendencia, el modelo ms adecuado es un modelo multiplicativo (2).Es claro que el modelo 2 puede ser transformado en aditivo, tomando logaritmos.El problema que se presenta, es modelar adecuadamente las componentes de la serie.La figura 2.1 ilustra posibles patrones que podran seguir series representadas por los modelos (1), (2) y (3).

Figura 2.1

5.2 ANALISIS DE FLUCTUACIONESEl primer paso en un anlisis de series de tiempo, consiste en graficar los datos y observar sus tendencias en el tiempo. Primero debe determinarse si parece haber un movimiento hacia arriba o hacia abajo a largo plazo en la serie (una tendencia) o si la serie parece oscilar alrededor de una recta horizontal en el tiempo. En este caso (es decir, no hay tendencia positiva o negativa a largo plazo), puede emplearse el mtodo de promedios mviles o el de suavizacin exponencial para emparejar la serie y proporcionar un panorama global a largo plazo. Por otro lado, si de hecho existe una tendencia, se pueden aplicar varios mtodos de pronstico de series de tiempo al manejar datos anuales, y otro mtodo para los datos de series de tiempo mensual o trimestral. El patrn o comportamiento de los datos en una serie de tiempo tiene diversos componentes. El supuesto usual es que se combinan cuatro componentes separados: la tendencia, el cclico, el estacional y el irregular para definir valores especficos de la serie de tiempo. Examinaremos cada uno de estos componentes. El grfico de la serie permitir:

a) Detectar Outlier: se refiere a puntos de la serie que se escapan de lo normal. Un outliers es una observacin de la serie que corresponde a un comportamiento anormal del fenmeno (sin incidencias futuras) o a un error de medicin. Se debe determinar desde fuera si un punto dado es outlier o no. Si se concluye que lo es, se debe omitir o reemplazar por otro valor antes de analizar la serie.

Por ejemplo, en un estudio de la produccin diaria en una fbrica se present la siguiente situacin ver figura 5.3:

Figura 5.3 Produccin diaria

Los dos puntos enmarcados en una flecha parecen corresponder a un comportamiento anormal de la serie. Al investigar estos dos puntos se vio que correspondan a dos das de paro, lo que naturalmente afect la produccin en esos das.El problema fue solucionado eliminando las observaciones e interpolando.

b) Permite detectar tendencia: la tendencia representa el comportamiento predominante de la serie. Esta puede ser definida vagamente como el cambio de la media a lo largo de un periodo.

c) Variacin estacional: la variacin estacional representa un movimiento peridico de la serie de tiempo. La duracin de la unidad del periodo es generalmente menor que un ao. Puede ser un trimestre, un mes o un da, etc.

Matemticamente, podemos decir que la serie representa variacin estacional si existe un nmero s tal que x(t) = x(t + k*s).Las principales fuerzas que causan una variacin estacional son las condiciones del tiempo, como por ejemplo:1) en invierno las ventas de helado2) en verano la venta de lana3) exportacin de fruta en marzo.

Todos estos fenmenos presentan un comportamiento estacional (anual, semanal, etc.)

d) Variaciones irregulares (componente aleatoria): los movimientos irregulares (al azar) representan todos los tipos de movimientos de una serie de tiempo que no sea tendencia, variaciones estacionales y fluctuaciones cclicas. Un modelo clsico para una serie de tiempo, supone que una serie x(1), ..., x(n) puede ser expresada como suma o producto de tres componentes: tendencia, estacionalidad y un trmino de error aleatorio. Existen tres modelos de series de tiempos, que generalmente se aceptan como buenas aproximaciones a las verdaderas relaciones, entre los componentes de los datos observados.

Estos son:1. Aditivo: X(t) = T(t) + E(t) + A(t)2. Multiplicativo: X(t) = T(t) E(t) A(t)3. Mixto: X(t) = T(t) E(t) + A(t)

donde:

X(t) serie observada en instante tT(t) componente de tendenciaE(t) componente estacionalA(t) componente aleatoria (accidental)

Una suposicin usual es que A(t) sea una componente aleatoria o ruido blanco con media cero y varianza constante. Un modelo aditivo (1), es adecuado, por ejemplo, cuando E(t) no depende de otras componentes, como T(t), s por el contrario la estacionalidad vara con la tendencia, el modelo ms adecuado es un modelo multiplicativo (2). Es claro que el modelo 2 puede ser transformado en aditivo, tomando logaritmos. El problema que se presenta, es modelar adecuadamente las componentes de la serie.

5.3 ANALISIS DE TENDENCIA

5.4 ANALISIS DE VARIACIONES CICLICASAunque una serie de tiempo puede presentar una tendencia a travs de periodos grandes, sus valores no caern con exactitud sobre la lnea de tendencia. De hecho, con frecuencia estas series temporales presentan secuencias alternas de puntos abajo y arriba de la lnea de tendencia. Toda secuencia recurrente de puntos arriba y debajo de la lnea de tendencia, que dura ms de un ao, se puede atribuir a un componente cclico de la serie. La figura 5.6 es la grfica de una serie de tiempo con un componente cclico obvio. Las observaciones se hicieron con intervalos de un ao.

Figura 5.6 Componente de tendencia y cclico de una serie de tiempo con datos anuales

Muchas series se tiempo presentan comportamiento cclico con tramos regulares de observaciones abajo y arriba de la lnea de tendencia. En general, este comportamiento de la serie se debe a movimientos cclicos de la economa a travs de varios aos. Por ejemplo, los periodos de inflacin moderada seguidos de periodos de inflacin rpida pueden determinar series de tiempo que se alternan abajo y arriba de una lnea de tendencia ascendente en general (como la serie de tiempo de los costos de vivienda). Diversas series de tiempo de principios de la dcada de los ochenta presentaron este comportamiento

5.5 MEDICION DE VARIACIONES ESTACIONALES E IRREGULARES.

Mientras que la tendencia y los componentes cclicos de una serie de tiempo se identifican analizando los movimientos de datos histricos a travs de varios aos, hay muchas series de tiempo que muestran un patrn regular dentro de un periodo de un ao. Por ejemplo, un fabricante de albercas inflables espera poca actividad de ventas durante los meses de otoo e invierno, y ventas mximas en los de primavera y verano. Los fabricantes de equipo para la nieve y de ropa de abrigo esperan un comportamiento anual opuesto al del fabricante de albercas. No es de sorprender que el componente de la serie de tiempo que representa la variabilidad en los datos, debida a influencias de las estaciones, se llama componente estacional. Aunque uno suele imaginarse que un movimiento estacional de una serie de tiempo sucede dentro de un ao, tambin se puede usar para representar cualquier patrn regularmente repetitivo cuya duracin sea menor de un ao. Por ejemplo, los datos diarios de intensidad de trfico muestran un comportamiento estacional dentro del mismo da, as se tiene que el flujo mximo se presenta durante las horas de aglomeracin, el moderado durante el resto del da y al caer la noche, y el mnimo a partir de la medianoche hasta temprano por la maana. El componente irregular de la serie de tiempo es el factor residual, mil usos, que explica las desviaciones de la serie de tiempo real respecto a los factores determinados por los efectos de la tendencia y los componentes cclicos y estacionales. Se debe a factores a corto plazo, imprevisibles y no recurrentes que afecta a la serie de tiempo. Como este componente explica la variabilidad aleatoria de la serie, es impredecible; de esta manera, no se puede esperar predecir su impacto sobre la serie de tiempo

5.6 APLICACIN DE AJUSTES ESTACIONALES.

Una aplicacin frecuente de ndices estacionales es la de ajustar datos de serie de tiempo observados para eliminar la influencia del componente estacional en ellos; se llaman datos con ajuste estacional. Los ajustes estacionales son particularmente pertinentes cuando se desea comparar datos de diferentes meses para determinar si ha tenido lugar un incremento (o decremento) en relacin con las expectativas estacionales. Los valores de serie de tiempo mensuales (o trimestrales) observados se ajustan respecto de la influencia estacional dividiendo cada valor entre el ndice mensual (o trimestral) de ese mes. El resultado se multiplica luego por 100 para mantener la posicin decimal de los datos originales. La serie que resultante se llama ventas desestacionalizadas o ventas ajustadas estacionalmente. La razn para desestacionalizar las series de ventas es similar las fluctuaciones estacinales a fin de estudiar la tendencia y el ciclo. Para ilustrar el procedimiento, los totales trimestrales de ventas de la empresa.

Tabla 5.2 ajustes para datos trimestrales

A fin de eliminar el efecto de la variacin estacional, la cantidad estacional, la cantidad de ventas para cada trimestre (que contiene efectos de tendencia, cclicos, irregulares y estacinales) se divide entre el ndice estacional de ese trimestre; esto es, TSCI/S. Por ejemplo, las ventas reales para el primer trimestre de 1996 fueron 6.7 millones de dlares, el ndice estacional para el trimestre de invierno es 76.5 el ndice 76.5 indica que las ventas en el primer trimestre normalmente se encuentran 23.5% abajo del promedio de un trimestre normal. Dividiendo las ventas reales $6.7 millones entre 76.5 y multiplicando el resultado por 100 se encuentra el valor de las ventas desestacionalizadas del primer trimestre de 1996. El valor es $8758170 que se obtuvo de ($6700000/76.5)100. Este proceso se repite con los dems trimestres en la columna 3 de la tabla 5.2 y los resultados se dan en millones de dlares. Puesto que la componente estacionalizadas contiene solo las componentes de tendencia (T), ciclo e irregular (I). Al revisar las ventas desestacionalizadas. Es claro que la eliminacin del factor estacional permite considerar la tendencia general a largo plazo de las ventas. Tambin se podr determinar la ecuacin de regresin de los datos de tendencia y usarla para pronosticar ventas futuras.

5.7 PRONOSTICOS BASADOS EN FACTORES DE TENDENCIA Y ESTACIONALES

Como lo indicamos anteriormente el primer pas en un anlisis de series de tiempo, consiste en graficar los datos y observar sus tendencias en el tiempo. Primero debe determinarse si parece haber un movimiento hacia arriba o hacia abajo a largo plazo en la serie (una tendencia) o si la serie parece oscilar alrededor de una recta horizontal en el tiempo. En este caso (es decir, no hay tendencia positiva o negativa a largo plazo), se recomienda antes de aplicar alguno de los mtodos de pronostico suavizar nuestros datos a fin de que la tendencia se observe de manera clara. Los mtodos que pueden emplearse para suavizar nuestros datos usualmente son:a) El mtodo de promedios mvilesb) El mtodo de suavizacin exponencial

El objetivo de ambos mtodos es el de emparejar la serie y proporcionar un panorama global a largo plazo. Por otro lado, si de hecho existe una tendencia, se pueden aplicar varios mtodos de pronstico de series de tiempo al manejar datos anuales, y otro mtodo para los datos de series de tiempo mensual o trimestral, los cuales se vern posteriormente. Suavizacin de una serie de tiempo anual La tabla 5.3 presenta las ventas mundiales de una fbrica (en millones de unidades) de automviles, camiones y autobuses hechos por General Motors Corporation (GM). Para un periodo de 24 aos, de 1975 a 1998, y la figura 5.7 es una grfica de serie de tiempo de estos datos. Al examinar este tipo de datos anuales, la impresin visual de las tendencias globales a largo plazo o movimientos de tendencia en la serie quedan veladas por la cantidad de variacin de un ao a otro. Entonces se vuelve difcil juzgar si en esta serie en realidad existe un efecto de tendencia positivo o negativo a largo plazo.

5.3 Ventas de fbrica (en millones de unidades) Para la General Motors Corporation (1975-1998)

En situaciones como stas, se pueden usar el mtodo de promedios mviles o la suavizacin exponencial para suavizar o emparejar la serie de tiempo y proporcionar un panorama global del patrn de movimiento de los datos en el tiempo.

Figura 5.7 Grfica de las ventas de fbrica (en millones de unidades)Para la General Motors Corporation (1975-1998)

Promedios mvilesEl mtodo de promedios mviles para suavizar una serie de tiempo es muy subjetivo y dependiente de L, la longitud del periodo seleccionado para calcular los promedios. Para eliminar las fluctuaciones cclicas, el periodo elegido debe ser un valor entero que corresponda a (o sea mltiplo de) la longitud promedio estimada de un ciclo en una serie. Los promedios mviles para un promedio determinado de longitud L consiste en una serie de promedios aritmticos en el tiempo tales que cada uno se calcula a partir de una secuencia de L valores observados. Estos promedios mviles se representan por el smbolo PM (L)

A manera de ejemplo, suponga que se desea calcular promedios mviles de 5 aos de una serie que contiene n = 11 aos. Como L = 5, los promedios mviles de 5 aos consisten en una serie de medidas obtenidas en el tiempo al promediar secuencias consecutivas de cinco valores observados. El primer promedio mvil de 5 aos se calcula con la suma de los valores para los primeros 5 aos en la serie, dividida entre 5.

El segundo promedio mvil de 5 aos se calcula con la suma de los valores de los aos2 a 6 en la serie, dividida entre 5

Este proceso contina hasta calcular el ltimo promedio mvil de 5 aos con la suma de los valores de los ltimos 5 aos en la serie (aos del 7 al 11), dividida entre 5.

Cuando se trata de una serie de tiempo anual, L, la longitud del periodo elegido para construir los promedios mviles, debe ser un nmero de aos impar. Al seguir esta regla se observa que no se pueden obtener promedios mviles para los primeros (L 1)/2 aos o los ltimos (L -1)/2 aos en la serie. Entonces, para un promedio mvil de 5 aos, no es posible hacer clculos para los primeros 2 aos o los ltimos 2 aos de la serie.

Al graficar los promedios mviles, cada valor calculado se coloca en el ao a la mitad de la secuencia de aos usada para calcularlos. Si n = 11 y L = 5, el primer promedio mvil se centra en el tercer ao, el segundo promedio mvil se centra en el cuarto ao y el ltimo en el noveno ao.

Esto se ilustra en el siguiente ejemplo:

Suponga que los siguientes datos representan los ingresos totales (en millones de dlares constantes de 1995) de una agencia donde se rentan automviles, en un intervalo de 11 aos de 1987 a 1997:

4.0 5.0 7.0 6.0 8.0 9.0 5.0 2.0 3.5 5.5 6.5

Calcule los promedios mviles de 5 aos para esta serie de tiempo anual.SolucinEl primer promedio mvil de 5 aos es

Es decir, para calcular un promedio mvil de 5 aos, primero se obtiene la suma de los cinco aos y se divide entre 5. Despus el promedio se centra en el valor medio, el tercer ao de esta serie de tiempo. Los siguientes valores quedan de la siguiente manera:

Estos promedios mviles se centran en sus respectivos valores medios, el quinto, sexto y sptimo aos de la serie de tiempo. Se observa que al obtener promedios mviles de 5 aos, no se pueden calcular los valores para los primeros dos y los ltimos dos valores de la serie de tiempo.

En la prctica, al obtener promedios mviles se debe usar un programa de computadora como Microsoft Excel o Minitab para evitar los clculos tediosos. La tabla 5.4 y 5.5 presenta las ventas anuales de la fbrica (General Motors) que ampara el periodo de 24 aos de 1975 a 1998 junto con los clculos para los promedios mviles de 3 y 7 aos. La grfica de las dos series construidas se presenta en la figura 5.8 y 5.9 con los datos originales.

Se observa en la tabla 5.4 que al obtener los promedios mviles de 3 aos, no se pueden calcular valores para el primero o el ltimo valor en la serie de tiempo.

Tabla 5.4 promedios mviles de 3 y 7 aos obtenida con Microsoft Excel

Figura 5.8 grafica de promedios mviles de 3 y 7 aos.

Tabla 5.5 promedios mviles de 3 y 7 aos obtenida con Minitab

Figura 5.9 Grfica de promedios mviles de 3 y 7 aos en Minitab

Suavizacin exponencialLa suavizacin exponencial es otra tcnica que se usa para alisar una serie de tiempo y proporcionar una visualizacin global de los movimientos a largo plazo de los datos. Adems, se puede usar el mtodo de suavizacin exponencial para obtener pronsticos a corto plazo (un periodo futuro) para series de tiempo.

El mtodo de suavizacin exponencial obtiene su nombre del hecho de que proporciona un promedio mvil con ponderacin exponencial a travs de la serie de tiempo. En toda la serie, cada clculo de suavizacin o pronstico depende de todos los valores observados anteriores. sta es otra ventaja respecto al mtodo de pronsticos mviles, que no toma en cuenta todos los valores observados de esta manera. Con la suavizacin exponencial, los pesos asignados a los valores observados decrecen en el tiempo, de manera que al hacer un clculo, el valor observado ms reciente recibe el peso ms alto, el valor observado anterior tiene el siguiente peso ms alto, y as sucesivamente, por lo que el valor observado inicial tiene la menor ponderacin. Aunque la magnitud de los clculos involucrados puede parecer enorme, la suavizacin exponencial al igual que los mtodos de promedios mviles est disponible entre los procedimientos de Microsoft Excel y Minitab.

Si se centra la atencin en los aspectos de suavizacin de la tcnica (ms que en el aspecto del pronstico), las frmulas desarrolladas para suavizar exponencialmente una serie en un periodo dado i se basa en slo tres trminos: el valor observado actual en la serie de tiempo, valor con suavizacin exponencial calculado anterior E i-1 y un peso subjetivo asignado o coeficiente de suavizacin W. As, para alisar una serie en cualquier periodo i, se tiene la siguiente expresin. Obtencin de un valor que tiene suavizacin exponencial en el periodo i

Donde:EI = valor de la serie suavizada exponencialmente que se calcula en el periodo iEI 1 = valor de la serie suavizada exponencialmente que se calcula en el periodo i 1Yi = valor observado de la serie de tiempo en el periodo iW = peso subjetivo asignado o coeficiente de suavizacin (donde 0 < W < 1)E1 = Y1

La eleccin del coeficiente de suavizacin o peso que se asigna a la serie de tiempo es crtica porque afectar en forma directa los resultados. Es desafortunado que esta seleccin sea subjetiva. Si se desea slo suavizar una serie con la eliminacin de la variacin cclica y la irregular, debe elegirse un valor pequeo para W (cercano a 0). Por otro lado, si la meta es pronosticar, debe elegirse un valor grande para W (ms cercano a 1). En el primer caso, se podrn observar las tendencias globales a largo plazo de la serie; en el ltimo caso, es posible predecir direcciones futuras a corto plazo de manera ms adecuada.

Los clculos de la suavizacin exponencial se ilustra para un coeficiente de suavizacin de W = 0.25. Como punto de partida, se utiliza el valor observado inicial (tabla 5.3), Y1975 = 6.6 como el primer valor de suavizacin (E1975 = 6.6) Despus, con el valor observado de la serie de tiempo para el ao 1976 (Y1976 = 8.6), se suaviza la serie para el ao de 1976 con el clculo

Ei = WYi+ (1-W) Ei-1

E1976 = WY1976 + (1 W) E1975 = (0.25)(8.6) + (0.75)(6.6) = 7.10 millonesE1977 = WY1977 + (1 W) E1976 = (0.25)(9.1) + (0.75)(7.1) = 7.6E1978 = WY1978 + (1 W) E1977 = (0.25)(9.5) + (0.75)(7.6) = 8.08

Este proceso contina hasta obtener los valores de la suavizacin exponencial para los 24 aos en la serie de las ventas anuales de la fbrica (General Motors), como se muestra en la tabla 5.6 y 5.7, y las figuras 5.10 y 5.11

Tabla 5.6 Serie suavizada exponencialmente de las ventas de GM obtenida con Microsoft Excel

Figura 5.10 Grfica de una serie suavizada exponencialmente(W = 0.50 y W = 0.25) para las ventas de GM

Tabla 5.7 Serie suavizada exponencialmente de las ventas de GM obtenida con Minitab

Figura 5.11 Grfica de una serie suavizada exponencialmente (W = 0.50 y W = 0.25) para las ventas deGM en Minitab

Proyeccin de tendenciasPara pronosticar una serie de tiempo que tiene una tendencia lineal a largo plazo. El tipo de serie de tiempo para el cual se aplica el mtodo de proyeccin de tendencias presenta un aumento o disminucin consistentes a travs del tiempo; y no es estable como para aplicar los mtodos de suavizamiento analizados en la seccin anterior.

Veamos la serie de tiempo de ventas de bicicletas de determinado fabricante durante los ltimos 10 aos, que se muestran en la tabla 5.8 y en la figura 5.12. Observe que en el primer ao se vendieron 21 600 bicicletas, en el segundo, 22 900, y as sucesivamente. En el dcimo ao, el ms reciente, se vendieron 31 400 bicicletas. Aunque la figura 5.12 muestra algo de movimiento hacia arriba y hacia abajo durante los 10 aos, parece que la serie de tiempo tiene una tendencia general de aumento o crecimiento

Tabla 5.8 Serie de tiempo de venta de bicicletas

Figura 5.12 Serie de tiempo de venta de bicicletas

En este caso no se trata de que el componente de tendencia de una serie de tiempo siga cada aumento y disminucin; ms bien ese componente debe reflejar el desplazamiento gradual, que para este caso es el crecimiento, de los valores de la serie de tiempo.

Despus de examinar los datos de la serie de tiempo en la tabla 5.8 y en la grfica de la figura 5.12 concordamos que con una tendencia lneas, como la que muestra la figura 5.13, se obtiene una descripcin razonable del movimiento en la serie a largo plazo. Vamos a emplear los datos de ventas de bicicletas para ilustrar los clculos del anlisis de regresin, a fin de identificar una tendencia lineal. Recuerde que en la descripcin de la regresin lineal simple, describimos cmo se aplica el mtodo de mnimos cuadrados para determinar la mejor relacin lineal entre dos variables; tal metodologa es la que usaremos para definir la lnea de tendencia para la serie de tiempo de ventas de bicicletas. En forma especfica, aplicaremos el anlisis de regresin para estimar la relacin entre el tiempo y el volumen de ventas.

Figura 5.13 Tendencias de las ventas de bicicletas, representada por una funcin lineal

La ecuacin de regresin que describe una relacin lineal entre una variable independiente, x, y una variable dependiente, y, es:

Para enfatizar que el tiempo es la variable independiente en los pronsticos, usaremos en la ecuacin en lugar de x; adems, usaremos T1 en lugar de . As para una tendencia lineal, el volumen estimado de ventas, expresado en funcin del tiempo, se puede escribir como sigue:

Donde:T1 = valor de la tendencia de la serie de tiempo en el periodob0= ordenada al origen de la lnea de tendenciab1= pendiente de la lnea de tendencia

t= tiempo

En esta ecuacin igualaremos t = 1 para el tiempo en que se obtiene el primer dato de la serie de tiempo, t= 2 para el tiempo del segundo dato y as sucesivamente.

Observe que, para la serie de tiempo de ventas de bicicletas, t = 1 correspondiente al valor ms antiguo de esa serie y t = 10 al ms reciente.

Las frmulas para calcular los coeficientes estimados de regresin, b0 y b1, en la ecuacin que se muestra a continuacin.

Donde:Yt= valor de la serie de tiempo en el periodo tn= nmero de periodos= valor promedio de la serie de tiempo, = valor promedio de

Con las ecuaciones anteriores y los datos de las ventas de bicicletas de la tabla5.8 podemos calcular b0 y b1como sigue:

Por consiguiente,

Es la ecuacin del componente de tendencia lineal para la serie de tiempo de ventas de bicicletas. La pendiente 1,1 indica que, durante los ltimos 10 aos, la empresa ha tenido un crecimiento promedio de ventas igual a 1100 unidades anuales, aproximadamente. Si suponemos que la tendencia en los 10 aos pasados es un buen indicador del futuro, aplicamos la ecuacin para proyectar el componente de tendencia de la serie de tiempo. Por ejemplo, al sustituir t = 11 en esa ecuacin, se obtiene la proyeccin de tenencia para el ao prximo, T11

As slo con el componente de tendencia pronosticaramos ventas de 32 500 bicicletas para el prximo ao.