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Algebra Ciclo 4 Módulo 1 Capacitación 2000

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ALGEBRA 13

PROGRESIONES Y SUCESIONES

DEFINICIÓN GENERAL Conjunto de elementos que están expresados en un orden definido. Los elementos que conforman una sucesión, reciben el nombre de términos de una sucesión.

PROGRESIÓN ARITMÉTICA

DEFINICIÓN Es una sucesión de términos tales que cada término es igual al precedente aumentando en una cantidad constante llamada Razón o diferencia. ELEMENTOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA SIGNO El signo de la progresión aritmética es el signo de la división (÷). Además, cada término de la progresión se separa con el signo ( : ) que se lee: “es a”. RAZÓN DE LA PROGRESIÓN O RAZÓN POR DIFERENCIA Valor constante que se agrega al término anterior en una progresión aritmética. ANTECEDENTE Y CONSECUENTE En una razón aritmética que no es otra cosa que una sustracción, al minuendo se le llama antecedente y al sustraendo se le llama consecuente, dicho en otras palabras: Al primer término de una razón se le llama antecedente y al segundo término se le llama consecuente.


2

TÉRMINO Toma este nombre cada una de las cantidades que hace parte de la progresión. TÉRMINO INICIAL Toma este nombre el término con el cuál se inicia la progresión. TÉRMINO FINAL Toma este nombre el último término que corresponde a la progresión. TÉRMINO EXTREMO Toma este nombre el primero y el último término de la progresión. TÉRMINOS INTERMEDIOS Los que en una progresión no son extremos. INTERPOLAR TÉRMINOS Toma este nombre intercalar términos en una progresión.

CLASES DE PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Hay dos clases: Progresión creciente y Progresión decreciente

Progresión creciente: Toma este nombre cuando la razón es positiva. Progresión decreciente: Toma este nombre cuando la razón es negativa. NOTACIÓN El signo de progresión es ( + ). Entre cada término se escriben dos puntos ( : ).


3

EJEMPLO: Notamos una progresión creciente cuya razón es 3

÷ 0 : 3 : 6 : 9 : 12 . . . . . . . . + 3

EJEMPLO: Notemos una progresión decreciente cuya razón es – 4

÷ 100 : 96 : 92 : 88 . . . . . . . . – 4

NOTA: La razón puede ser entera o fraccionaria; positiva o negativa. Observe la progresión siguiente:

÷ 3 : 5 : 7 : 9 : 11

Observaciones: La progresión consta de 5 términos El primer término es 3 El último término es 11 Cada término aumenta con relación al anterior en 2 unidades. Por tanto la razón es 2.

BAUTIZANDO LAS CANTIDADES PARA BUSCAR LA FÓRMULA DEL TÉRMINO ENÉSIMO

Observe la progresión vista:

Todas las cantidades se llaman términos

÷ 3 : 5 : 7 : 9 : 11 ..

Al número de términos le llamamos “N” en este caso son cinco términos,

por tanto N = 5


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CARACTERÍSTICA BÁSICA

Observe nuevamente la misma progresión:

R = 2 N = 5

÷ 3 : 5 : 7 : 9 : 11

Al primer término se le llama “a” Al último término le llamamos “μ” Observe que: Es una constante. 11 = 3 + (5 – 1) 2 Indica el término buscado. μ = a + (N – 1) R CONCLUSIÓN:

μ = a + (N – 1) R

Dicho en otras palabras: Cualquier término en una progresión aritmética es igual al primer término más los términos que le preceden multiplicados por la razón. EJEMPLO: Hallar el valor del octavo término en una progresión aritmética cuyo primer término es cinco y su razón es tres. DATOS DEL PROBLEMA a = 5 N = 8 R = 3 μ = ?


5

Aplicamos la Regla:

μ = a + (N – 1) R

Reemplazando en la Regla por valores nos queda:

μ = 5 + (8 – 1) 3 μ = 5 + 7 x 3 μ = 5 + 21 μ = 26

Probando

÷ 5 : 8 : 11 : 14 : 17 : 20 : 23 : 26

Octavo término y su valor es 26

Elaboremos otro Ejemplo: Hallar el valor del 6o. término en una progresión aritmética cuyo primer término es 4 y la razón – 5. DATOS DEL PROBLEMA N = 6 a = 4 R = - 5

REGLA: μ = A + (N – 1)R

Reemplazando las letras por los valores correspondientes nos queda:

μ = 4 + (6 – 1) (- 5) μ = 4 + 5 (- 5)


6

μ = 4 + (-25) μ = - 21

Probando:

4 : (-1) : (-6) : (-11) : (-16) : (-21) Sexto término, y su valor es –21

EJEMPLO: Hallar el 12o. término de la progresión ÷ 4 : 7 : 10 De donde: a = 4 R = 3 N = 12 Aplicando la Regla:

μ = a + (N-1) R Cambiando por los valores

μ = 4 + (12-1) 3 μ = 4 + 11 x 3 μ = 4 + 33 μ = 37

Respuesta: El 12o. término es 37


7

CUANDO LA RAZÓN ES FRACCIONARIA EJEMPLO: Hallar el 10o. término de la progresión

÷ 5 : 5 1/2 : 6 : 6 1/2

DATOS DEL PROBLEMA:

a = 5 R = 1/2 N = 10

La Regla:

μ = a + (N-1) R μ = 5 + (10-1) 1/2

μ = 5 + 21 x

19

μ = 29

15+

μ = 5 + 4.5 μ = 9.5 = 9 1/2

Probando

÷ 5 : 5 ½ : 6 : 6 ½ : 7 : 7 ½ : 8 : 8 ½ : 9 : 9 ½ Décimo término y su valor es 9 ½


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COMO BUSCAR EL PRIMER TÉRMINO REGLA Basados en la Regla general, se despeja el término “a” Procedimiento:

μ = a + (N-1) R De donde:

μ - (N-1) R = a De donde:

a = μ - (N-1) R

EJEMPLO: Hallar el primer término de una progresión aritmética cuyo 8o. término es 40 y la razón 5. DATOS DEL PROBLEMA: N = 8 μ = 40 R = 5 REGLA:

a = μ - (N-1) R Reemplazando por valores queda: a = 40 – (8-1) 5 a = 40 – (7) 5 a = 40 – 35 a = 5


9

Probando:

÷ 5 : 10 : 15 : 20 : 25 : 30 : 35 : 40

El primero de ocho términos que cumple la condición pedida.

CÓMO BUSCAR LA RAZÓN REGLA: Basados en la Regla general, se despeja el término “R”. Procedimiento:

μ = a + (N-1) R

De donde: μ - a = (N-1) R

De donde:

R1Na=

−−μ

Organizando

R =

EJEMPLO: Hallar la razón de una progresión aritmética cuyo primer término es 3 y el 7o. término es 27. DATOS DEL PROBLEMA

a = 3 N = 7 μ = 27

μ – a N – 1


10

REGLA:

R = 1Na

−−μ

Reemplazando por los valores del problema tenemos:

R = 17327

−−

De donde:

R = 46

24=

Probando

÷ 3 : 7 : 11 : 15 : 19 : 23 : 27

R = 4

COMO BUSCAR EL NÚMERO DE TÉRMINOS REGLA: Basados en la Regla general se despeja “N”

μ = a + (N-1) R Elaborando el producto nos queda:

μ = a + NR – R

De donde: μ + R – a = NR


11

De donde:

NR

aR=

−+μ

Organizando nos queda:

N = R

aR −+μ

EJEMPLO: Cuántos términos tiene la progresión siguiente:

÷ 3 : 7 . . . . . . 27

DATOS DEL PROBLEMA: a = 3 R = 4 μ = 27 REGLA:

N = R

aR −+μ

Reemplazando por los valores del problema nos queda:

N = 4

3427 −+

De donde

N = 4

28

De donde: N = 7

μ + R – a R


12

Probando: ÷ 3 : 7 : 11 : 15 : 19 : 23 : 27

N = 7 CARACTERÍSTICA BÁSICA

Observe la progresión:

÷ 3 : 7 : 11 : 15 : 19 : 23 : 27 : 31

34 Suma de los términos

equidistantes a sus extremos.

34 Suma de extremos

CONCLUSIÓN: En toda progresión aritmética la suma de los términos equidistantes a los extremos, es igual a la suma de los extremos.

Cuarto término de izquierda a

derecha

Cuarto término de derecha a izquierda


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SUMA DE LOS TÉRMINOS Observe la progresión:

÷ 3 : 7 : 11 : 15 De donde:

3 + 7 + 11 + 15 = 36 { Suma de los términos

Observe nuevamente la progresión:

N = 4

÷ 3 : 7 : 11 : 15

a μ

(a + μ) N = (3 + 15) 4 = 18 x 4

= 72 Pero 72 es el doble de 35, por tanto: 72 = dos veces la suma de los términos Si llamamos “S” a la suma de los términos tenemos que:

2 s = (a + μ) N

De donde despejando “S” nos queda la Regla general de la sumatoria de los términos de una progresión aritmética.

(a + μ) N S =

2


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EJEMPLO: Hallar la suma de los términos de una progresión aritmética que responde a los datos siguientes:

a = 3 R = 4 N = 7 μ = 27

Regla:

2N)a(S μ+

=

Reemplazando nos queda:

27)273(S +

=

De donde:

27x30S =

De donde:

2210S =

De donde: S = 105 Probando: ÷ 3: 7 : 11 : 15 : 19 : 23 : 27 Sumando: 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 = 105


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INTERPOLACIÓN

Interpolar es intercalar términos en una progresión. A los términos que se interpolan se les llama medios, por tanto interpolar medios es formar una progresión aritmética en la cuál los medios son los términos interpolados y los extremos los números dados. REGLA:

1) Para interpolar se busca la razón que rige a los medios

2) Hecho esto se buscan los valores correspondientes.

EJEMPLO: Interpolar 2 medios entre los extremos 3 y 6 DATOS DEL PROBLEMA:

a = 3 μ = 6 N = 4 R = ?

Aplicando la Regla: 1) Se halla la razón

R = 1Na

−−μ

Reemplazando por valores:

R = 133

1436

==−−

De donde: R = 1 2) Si la razón es uno tenemos:

÷ 3 : 4 : 5 : 6

Como conocemos dos términos que son extremos y vamos a intercalar dos medios, el número de términos, es decir, N = 4


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NOTA El valor de los medios interpolados es 4 y 5 EJEMPLO: Interpolar 3 medios entre 2 y 14 DATOS DEL PROBLEMA

a = 2 μ = 14 N = 5 R = ?

1) Se busca “R”

R = 1Na

−−μ

Reemplazando por valores queda:

R = 34

1215214

==−−

2) La progresión queda:

÷ 2 : 5 : 8 : 11 : 14

Medios interpolados


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ALGEBRA 14

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

DEFINICIÓN Es un conjunto ordenado en el cuál cada término se obtiene

multiplicando al anterior por una cantidad constante llamada “razón por cociente”. También podemos decir que progresión Geométrica es aquella en

la cuál el cociente de dos términos consecutivos es constante. NOTACIÓN El signo de la progresión geométrica es ( : : ) además entre sigo y

signo se escribe el signo ( : ) que se lee : Como x es a. EJEMPLO:

: : 3 : 6 : 12 : 24

Se lee: Progresión Geométrica como 3 es a 6, es a 12, es a 24.


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PROGRESIÓN CRECIENTE Toma este nombre cuando sucesivamente los términos aumentan. EJEMPLO:

: : 2 : 4 : 8 : 16 . . . . .

PROGRESIÓN DECRECIENTE Toma este nombre cuando sucesivamente los términos disminuyen. EJEMPLO:

: : 80 : 40 : 20 : 10 . . . . .

PROGRESIÓN INFINITA O DIVERGENTE Toma este nombre cuando el número de términos que la componen es ilimitado. PROGRESIÓN FINITA O CONVERGENTE Toma este nombre cuando el número de términos es limitado.

DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DEL TÉRMINO ENÉSIMO

Observe la progresión siguiente:

Términos

: : 3 : 6 : 12 : 24

a N = 5 μ


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Observe nuevamente la progresión:

R = 2

: : 3 : 6 : 12 : 24 Pero 3 = N – 1

24 = 3 x 2³

24 es “U” 3 es “a” Dos es “R”

Reemplazando encontramos la Regla general de la Progresión Geométrica.

μ = aR N-1

NOTA Recuerde que en una progresión geométrica la razón, es decir, “R” se halla dividiendo los términos consecutivos. EJEMPLO: Hallar el 6o. término de:

: : 4 : 12 : 35. . . . . . . R = 12 ÷ 4 = 3

DATOS DEL PROBLEMA: a = 4 R = 3 N = 6 μ = ?


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REGLA:

μ = a R N-1

Reemplazando por los valores queda

μ = 4 • 36-1 De donde:

μ = 4 • 35

Según la Ley Distributiva: μ = 4 (3)² (3)³

De donde: μ = 4 x 9 x 27 De donde: μ = 972 Probando:

: : 4 : 12 : 36 : 108 : 324 : 972

Sexto término

PROCEDIMIENTO PARA HALLAR EL PRIMER TÉRMINO REGLA: Basados en la Regla general, se despeja “a” Procedimiento:

μ = a RN-1 De donde

aR 1N =μ−


21

Organizando

a =

Elaboremos el mismo Ejemplo visto para evitar probar. EJEMPLO: Establecer el primer término de una progresión Geométrica que consta de 6 términos, con una razón “3” y cuyo último término es 972 Solución: DATOS DEL PROBLEMA: a = ? μ = 972 N = 6 R = 3

REGLA: a =

Reemplazando por valores tenemos:

a = 163972

−

De donde: a = 53972

a = ³3x3

9722

De donde: a = 27x9

972

De donde:

μ .< RN-1

μ .< RN-1


22

a = 243972

De donde:

a = 4 PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LA RAZÓN REGLA: De la Regla general se despeja “R” Procedimiento:

μ = a RN-1

De donde: aμ

= RN-1

Organizando: RN-1 = aμ

Sacando Raíz N – 1 a ambos miembros queda:

1N1N 1N

aR −− − μ

=

De donde:

1N

aR −

μ=

ELABOREMOS EL MISMO PROBLEMA VISTO EJEMPLO: Cuál es la razón de una progresión geométrica cuyo primer término es 4, el último término es 972 y consta de 6 términos? DATOS DEL PROBLEMA


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a = 4 μ = 972 N = 6 R = ?

REGLA:

R =


R = 1N4

972−

De donde:

R = 1N 243−

De donde: R = 5 243

De donde:

R = 3

N-1 μ a


24

Observe la progresión:

: : 4 : 12 : 36 : 108 : 324 : 972

36 x 108

3888

4 x 972

3888 CONCLUSIÓN: En una progresión Geométrica, el producto de términos equidistantes a los extremos es igual al producto de extremos. Observe la progresión:

R = 3

: : 4 : 12 : 36 : 108 : 324 : 972

Suma = S = 14 56 μ

R = 3 (R – 1) = 2

1456 x 2 = 2912

S (R – 1)

972 x 3 = 2916 - 4 = 2912

μ • R - a


25

CONCLUSIÓN:

S ( R – 1 ) - μ • R – a

La suma de los términos por la razón menos uno, es igual al producto del último término multiplicado por la razón menos el primer término. PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LA SUMA DE LOS TÉRMINOS PROCEDIMIENTO Se despeja “s” de la Regla vista

Hagámoslo S ( R – 1 ) = μ • R – a De donde: μ • R - a

S = R – 1

Utilicemos el mismo Ejemplo visto: Una progresión en la cuál μ = 972, R = 3 y a = 4, cuál es la suma de sus términos?

Solución:

Regla: μ • R - a S =

R – 1 Cambiando por valores nos queda:

1343x972S

−−

=

Regla General de la suma de los términos de una progresión Geométrica Creciente.


26

De donde:

242916S −

=

De donde:

22912S =

De donde: S = 1456 NOTA Recuerde que la progresión usada, es creciente, por tanto, μ • R - a

S = R – 1

Es la Regla general para hallar la sumatoria de los términos de una progresión creciente. PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LA SUMA DE LOS TÉRMINOS EN UNA PROGRESIÓN DECRECIENTE. NOTA En toda progresión Decreciente, cada nuevo término tiende a cero. EJEMPLO:

161 :

81 :

41 :

21 : :


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Observe: 1 1 1 1 . . . . . . . . 1 Tiende a cero

2 4 8 16 ∝

Por lo tanto sucede lo siguiente:

1RaRS

−−•μ

=

Si “μ” tiende al límite de cero, por ser el último término de la progresión, se presentará que:

1RaROS

−−•

=

Pero el cero anula el producto, por lo tanto quedará:

Al tener “a” negativa, dificulta la aplicación. Por tanto aplicamos la característica básica de los fraccionarios: Si numerador y Denominador, lo multiplicamos por el mismo número, la fracción no se altera. Multipliquemos numerador y denominador por (-1) y nos queda que:

)1)(1R()1)(a(S−−−−

=

De donde:

1RaS+−

= Organizando nos queda:

Regla general de la suma de los términos en una progresión decreciente.

– a S = R – 1

– a S = R – 1


28

EJEMPLO:

Hallar la suma de la progresión:

: : 1 : 1 : 1 : 1 . . . . .

2 4 8 Datos del problema: a = 1

R = 21

De donde a = 1 R = 21

Aplicamos la Regla:


211

1S−

=

De donde:

2x2x

11

211S ===

S = 2

a S = R – 1


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TEORÍA COMBINATORIA

VARIACIONES DEFINICIÓN Toman este nombre las distintas agrupaciones que se pueden formar con “m” elementos de 1 en 1, Monomios; de 2 en 2 Binomios, etc. De modo que cada grupo se diferencie de los demás o en el orden que están colocados (si contienen los mismos elementos) o en alguno de los elementos.

CLASES DE VARIACIONES

Las Variaciones se dividen en dos clases: Ordinarias y generales. VARIACIONES ORDINARIAS Toman este nombre cuando en el mismo grupo no se repiten los elementos. VARIACIONES GENERALES Toman este nombre, cuando en el mismo grupo se repiten los elementos. A las variaciones generales se les llama: Variación con repetición. NOTACIÓN: Las letras utilizadas en las variaciones son tres V = Variación m = Número total de elementos que se dispone para la variación, también a “m” le llamamos número base de la variación. N = Cantidad de elementos que forman cada grupo, también se le llama orden de la variación. Uniendo las letras vistas


30

VNm Se lee: Variación de “m” elementos ordenados en grupos

de N elementos. EJEMPLO:

V28 Se lee: Variación de base 8 y orden 2, en otras palabras

variación de ocho elementos por ordenarlos en grupos de dos.

REGLA:

VNm = m(m-1) (m-2) ......... (m - N + 1)

EXPLICACIÓN CON EJEMPLOS Establecer cuantos grupos monomios se pueden organizar con los cinco primeros números naturales, es decir, con: 1, 2, 3, 4 y 5.

V15 Se lee: Variación de 5 elementos ordenándolos de un en uno.

SOLUCIÓN:

V15 = 1, 2, 3, 4, 5 Organizamos 5 grupos, es imposible más. Cuando “N” es la

Es decir, VNm = m unidad

Elaboremos otro Ejemplo: Establecer cuantos grupos binarios se pueden establecer con los números naturales de 1 al 5.

NOTACIÓN: V25 = m ( m – 1 )

DATOS DEL PROBLEMA

1) Establecer grupos ordenados de dos en dos. 2) Número de elementos cinco.


31

SOLUCIÓN:

=V25 5 ( 5 – 1 )

20 4 . 5V2

5 == El número de grupos ordenados de dos en dos son 20.

Probemos: 12 13 14 15 21 23 24 25 Observe que

31 32 34 35 son 20 41 42 43 45 grupos 51 52 53 54

CONCLUSIÓN: V1

5 = 5

V25 = 5.4

V35 = 5.4.3

V45 = 5.4.3.2

V55 = 5.4.3.2.1 Nunca “N” puede ser mayor que “m”

Lo mismo en NOTAción algebraica:

VNm = m si N = 1

VNm = m (m-1) si N = 2

VNm m (m-1) (m-2) si N = 3

VNm = m (m-1) (m-2) ..... (m – N + 1)

EJEMPLO: Cuántos grupos distintos de tres cifras se pueden formar con los números del 1 al 8? REGLA:

V38 = ( m – 1 ) ( m – 2 )

Pero m = 8 Por tanto queda:


32

V38 = 8 (8-1) (8-2)

V38 = 8 . 7 . 6

V38 = 336

Respuesta: Se pueden formar 336 grupos.

VARIACIONES CON REPETICIÓN

REGLA: El ordenador en la variación pasa a ser exponente de “m”. EJEMPLO:

Variación es VNm = m (m – 1) (m – 2) ..... (m – N + 1)

VARIACIÓN CON REPETICIÓN

REGLA: VNmR = mN

EJEMPLO: Cuántos grupos de tres elementos con repetición se pueden formar con base en cuatro elementos? REGLA:

RVNm = mN

Reemplazando por valores

RV34 = 4³ = 64

Respuesta: Se pueden conformar 64 grupos.


33

PERMUTACIONES

DEFINICIÓN: Es ordenación de grupos, que sólo se diferencia un grupo de otro en el orden de los elementos, porque en todos los grupos entran todos los elementos. EXPRESIONES QUE SIMBOLIZAN PERMUTACIÓN Vm

m se lee: Variación donde el ordenador es igual a la base, es decir, N = m. Pm se lee: Permutación de “m” elementos. m! se lee: Permutación de los elementos “m” NOTA: “m!” se lee m Factorial.

m Se lee: Permutación de los elementos “m”

NOTA: Para que no se confunda, recuerde que permuta es elaborar una variación en la cuál el número de elementos por grupos es igual al número de elementos base. EJEMPLO: En cuantas formas pueden sentarse 5 personas en un lado de una mesa? REGLA: PM = P5 = 5.4.3.2.1 = 120 Se pueden sentar de 120 formas Otra forma de ver fácil las permutaciones es: El número de permutaciones no es otra cosa que multiplicar a “m” por todos los números naturales que le suceden hasta llegar a la unidad. En la práctica la Regla se da en la siguiente forma:

Pm = m ( m – 1 ) ( m – 2 ) ( m – 3 ) ...... 1


34

Cambiando por valores

P8 = (8-1) (8-2) (8-3) (8-4) (8-5) (8-6) (8-7)

P8 = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320

Respuesta = 40.320 formas Por lo visto se dice que: Pm = m! Se lee: Pm es igual a “m” factorial, es decir: “m” multiplicada por todos los naturales que le suceden hasta la unidad.

EJEMPLO: Hallar P5 = 5 ¡ Solución P5 = 5.4.3.2.1 = 120 P5 = 120.

PERMUTACIONES CIRCULARES Símbolo P Las permutaciones anteriores son consideradas como grupos alineados. Estros grupos alineados se toman como (m!) Se lee “m” factorial. En este caso se dice que: PM = M! Cuando los grupos se toman en círculo se supone que algunos se repiten y disminuyen su número, por tanto se toma como (M-1)!, por tanto se dice que P = (M-1)! EJEMPLO: De cuántas formas distintas se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa? REGLA: P = (M – 1) ! SOLUCIÓN: P = ( 5 – 1 ) = 4 ! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 formas

M

M

M

5


35

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN Cuando hablamos de permutaciones, hablamos de ordenamientos de conjuntos donde entran todos los elementos. Pero cuando en esos elementos dados hay elementos repetidos, el número de ordenamientos disminuye proporcionalmente al número de elementos repetidos. El símbolo de permutaciones con elementos repetidos es:

λβα=λβα

...,!m

RP .....,m

¡ IMPORTANTE ! “m” indica el número de elementos a permutar. Cada letra griega escrita en la parte superior indica, en el conjunto a permutar, cuantas veces se encuentran repetido cada elemento. EJEMPLO: Con las letras de la palabra CALADA, cuántas palabras se pueden formar? NOTA: El número de letras de la palabra son seis pero la “a” está repetida 3 veces.

Hagámoslo: Indica el número de los elementos = 6

!!m

RP ...,m α

=λβα

indica el elemento repetido

a = 3 veces Resolviendo

RP = ===α 6

7201.2.3

1 . 2 . 3 . 4 . 5 .6!!m 120 palabras

EJEMPLO: Cuántos números de 8 cifras se pueden formar con 2 cuatros y 4 cincos?


36

!!!m

RP .,m βα

=βα

Por qué escribimos α y β, porque hay dos elementos repetidos. En este caso ∝ vale 2 porque cuatro que es un elemento del conjunto, está repetido dos veces y β vale 4 porque cinco que es un elemento del conjunto está repetido 4 veces. Tenemos:

84048320.40

1.2.3.4 . 1 . 21 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8

!4!2!8

RP 4,28 ====

Respuesta: Se pueden formar 840 números de 8 cifras con dos cuatros y cuatro cincos.

COMBINACIONES

Se llama combinación al cociente de dividir las variaciones por la permutación de los elementos de cada grupo. Su símbolo es:

Número de grupo Número total de elementos Es decir:

PV

N

Nm

mNC =

EJEMPLO: Entre 8 personas de cuantas formas podemos formar comités de 4 personas? N = 4 Variación = 4

8V = 8 • 7 • 6 • 5

NCm


37

P = 8 Permutación = P4 = 4 • 3 • 2 • 1

De donde

==••••••

==24680.1

12345678C

PV

4

48

mN 70 Formas

NÚMEROS COMBINATORIOS Una combinación también se puede presentar y desarrollar a través de los llamados números combinatorios. DEFINICIÓN: Número combinatorio es una expresión matemática que presenta cuantos grupos combinatorios pueden conformarse con cierto número de elementos. Indica el Grupo combinado Símbolo CN

m Indica el Número de elementos a combinar El mismo símbolo se acostumbra con la presentación siguiente:

!N)1Nm(Hasta)2m)(1m(m

Nm

CNm

+−−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

)!Nm(!N

!m−

=

¡ IMPORTANTE ! Por definición: 0! = 0 Cero factorial es igual a uno.

N 0


38

= 1 Se lee: La combinatoria “N” sobre cero es igual a

uno.

= 1 Se lee: La combinatoria “N” sobre “N” es igual a uno.

CONCLUSIÓN:

En combinaciones tenemos cuatro Reglas que indican lo mismo.

CNm = CN

m = = PV

N

Nm

CNm =

!N)1Nm(Hasta)2m)(1m(m +−−−

CNm

)!Nm(!N!m−

Elaboremos un problema aplicando las tres fórmulas vistas y comprobemos el resultado. EJEMPLO: Un banco tiene banderas de 15 naciones, si tiene espacio para desplegar cinco a la vez cuantas combinaciones puede hacer con las 15?

123451112131415

515

PVC

N

NmN

m ••••••••

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= = 3003 formas

= 12345

1112131415!N

)1Nm(Hasta)2m)(1m(m••••••••

=+−−− =

3003

N N

m N

m N


39

formas

3 7 6

= 1.2.3.4.5.6.7.8.9.01.1.2.3.4.5

.1.2.3.4.5.6.7.8.9.01.11.21.13.41.51)!nm(!N

!m//////////////

/////////////////=

−

1 2 1

= 6018.18

= 3003 Formas

COEFICIENTE BINOMIAL

A las combinatorias también se les lama coeficiente binomial, porque son utilizadas para establecer cualquier coeficiente en el desarrollo de la elevación de un binomio a una potencia positiva. (Véase Teoría del Binomio) limitémonos a elaborar un Ejemplo utilizando el triángulo de Pascal como comprobación, teniendo en cuenta que el coeficiente binomial está dado por:

Indica el grado del término

)!Nm(!N!m

Nm

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Indica la posición del término

En el triángulo de Pascal la fila que indica los coeficientes para un

binomio de quinto grado son:

1 5 10 10 5 1

Tercer Término

Utilizando la combinatoria, hallar el coeficiente del tercer término en un Binomio de grado cinco.


40

Desarrollo: 2

101.2.3.1.2.1.2.3.4.5

)!25(!2!5

25

=/////////

=−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1 Compárelo con Pascal

CONCLUSIÓN: El coeficiente de cualquier término del desarrollo de un binomio es la combinatoria en la cual “N” es el grado del binomio y “m” la posición menos uno del término.


41

ALGEBRA 15

DIVISIBILIDAD Y COCIENTES NOTABLES

CONDICIÓN DE DIVISIBILIDAD DE DOS POLINOMIOS TEOREMA DEL RESIDUO En un polinomio entero y racional dividido por un binomio de la forma x – a el residuo se encuentra reemplazando “x” por “a”.

Qué es Polinomio Entero? Es el polinomio en cuyos términos no se encuentran letras como denominador.

Qué es Polinomio Racional? Es el polinomio en cuyos términos no se encuentran términos inconmensurables, es decir, irracionales.

NOTA: En un Polinomio entero y racional el residuo se encuentra anulando el divisor. Porque en el divisor de la forma x – a, al reemplazar “x” por “a” el divisor se lleva a cero ya que a – a = 0.

Veamos un Ejemplo para probar el teorema: 1) Elaboremos una división completa para establecer el residuo. 2) Hallemos el mismo residuo, aplicando el teorema.

x³ - 7x + 9 ÷ x – 1


42

Elaboramos la operación: x³ - 7x + 9 x – 1 - x³ + x² x² + x – 6 x² - 7x -x² + x - 6x + 9 Observe que el + 6x – 6 residuo es 3

3 Busquemos el residuo del mismo polinomio, pero aplicando el teorema del residuo. Hallar el residuo de:

x³ - 7 x + 9 ÷ x – 1 NOTA: En este caso la figura x – a está reemplazada por x – 1, reemplazando “x” por “a” nos queda que x la reemplazamos en el polinomio por “1”. Llamando “R” al residuo nos queda:

R = 1³ – 7 (1) + 9 R = 1 – 7 + 9

R = 3 Respuesta: Residuo del polinomio aplicando el teorema es 3. CONCLUSIÓN: En un polinomio entero y racional el residuo se halla anulando el divisor. EJEMPLO: Si el divisor es x – 1 en el polinomio la “x” se reemplaza por “1” Si el divisor es x + 1 en el polinomio la “x” se reemplaza por (-1) Si el divisor es x – 2 en el polinomio la “x” se reemplaza por 2 y así sucesivamente. APLICACIÓN DEL TEOREMA CUANDO EL DIVISOR ES

DE LA FORMA bx – a.


43

¡ IMPORTANTE ! Observe que cuando decimos x – 1, estamos refiriéndonos a 1x – 1, en este caso b = 1, pero cuando decimos: 2x – 7 la “b” equivale a 2. Como el propósito es anular – 7, la “x” se cambia por 7 y el 2 por 1/2 y nos queda la Regla.

REGLA: Cuando el divisor es de la forma bx – a, en el polinomio la x se cambia por a y la “b” por 1/b y nos queda que, en otras palabras, cuando el divisor es de la forma bx – a, la “x” se cambia por a/b. Veamos un Ejemplo:

2x³ - x² - 31x + 40 ÷ 2x – 7

Reemplazando en el polinomio queda 7/2 de donde:

R = 2 (7/2)³ - (7/2)² - 31 (7/2) + 40 R = 85.75 – 12.25 – 108.50 + 40 R = 85.75 + 40 – 12.25 – 108.50 R = 125.75 – 120.75 R = 5

Respuesta: Residuo = 5

Probemos el teorema elaborando la operación completa: 2x³ - x² - 31 x + 40 2x – 7

-2x 2³ + 7x² x² + 3x – 5 6x² - 31x -6x² + 21x -10x + 40 +10x – 35 5 Residuo 5

DEDUCCION DEL TEOREMA DEL RESIDUO

Si al aplicar el teorema del residuo el polinomio en “x” se anula, es decir, R arroja cero. El polinomio es divisible por x – a. EJEMPLO:


44

Establecer si es divisible o no por x – 1 el polinomio:

x³ - 7x + 6

Aplicando el teorema: “x” en el polinomio la reemplazamos por “1” y nos queda

R = 1³ - 7 (1) + 6 R = 1 – 7 + 6

R = 0

Respuesta: Al reemplazar “x” por 1 el polinomio se anula por tanto x³ - 7x + 6 es divisible por x – 1, es decir, su residuo es cero. Probemos: x³ + - 7x + 6 x – 1 -x³ + x² x² + x - 6 x² - 7x -x² + x - 6x + 6 + 6x - 6 0 Residuo cero.


45

DIVISION SINTETICA

DIVISIÓN NORMAL Primer Paso 2x³ - 3x² - 3x + 4 x – 1 -2x³ + 2x² 2x² -x² + 3x Observe que para hallar el primer término del cociente: El primer término del dividendo lo dividimos por el primer término del divisor. EJEMPLO:

2x³ = 2x² x

DIVISIÓN SINTÉTICA O DE COEFICIENTES 2 – 3 – 3 + 4 1 – 1 - 2 + 2 2 - 1 – 3 ¡ O J O ¡ En la división sintética sólo tiene que saber que el primer Coeficiente del Cociente es igual al primer Coeficiente del Dividendo, dividido por el primer Coeficiente del Divisor. Como en este caso el Divisor es la unidad, el primer coeficiente del Cociente es igual al primer Coeficiente del Dividendo.


46

Segundo Paso

Buscamos el segundo término del cociente: DIVISIÓN NORMAL:

2X³ - 3X² - 3X + 4 X – 1 -2X³ + 2X² 2X² - X -X² - 3X +X² - X - 4X + 4 Observe que hemos seguido el proceso normal de la división, es decir: Para hallar el término siguiente, el primer término del residuo existente se divide por el primer término del Divisor.

x²x−

= - x

DIVISIÓN SINTÉTICA 2 – 3 – 3 + 4 1 – 1 -2 + 2 2 – 1 -1 -3 +1 -1 4 + 4 El mismo proceso se sigue en la sintética pero con los coeficientes.

11− = - 1

También existe una Regla pero más extensa: El coeficiente de cualquier término del cociente es igual: Al coeficiente del término anterior = 2 por el segundo término Divisor = + 1 cambiándole el signo. Esto sumando con el coeficiente que ocupa el mismo puesto en el Dividendo = - 3 y nos queda 2 x 1 = 2 – 3 = -1


47

Tercer Paso Busquemos el Tercer Término del Cociente:

DIVISIÓN NORMAL

2X³ - 3X² - 3X + 4 X – 1 -2X³ - 2X² 2X² - X – 4 -X² - 3X +X² - X - 4X + 4 + 4X – 4 ---- 0 ----

Observe que hemos seguido el proceso normal. Para hallar el término siguiente, el primer término del residuo existente se divide por el primer término del Divisor.

xx4− = - 4

DIVISIÓN SINTÉTICA

2 – 3 – 3 + 4 1 – 1 -2 + 2 2 – 1 – 4 - 1 - 3 + 1 - 1 - 4 + 4 + 4 – 4 --- 0 --- Observe que se halla por el proceso normal pero con los coeficientes:

14− = - 4

O se aplica la Regla: - 1 x 1 + -3 = - 4 Tercer término del cociente. Término Anterior Segundo término El término que ocupa el mismo


48

del Divisor lugar en el dividendo con signo cambiado.

Por tanto el Polinomio cociente es 2x² - x – 4

REGLA DEL COCIENTE CON RELACIÓN AL DIVIDENDO

1) El cociente posee un término menos que el dividendo 2) El Polinomio cociente, siempre es un grado menor que el dividendo 3) En la división sintética, después de buscar los coeficientes se les escribe la parte literal, en forma descendente partiendo de un grado menos que el dividendo, obsérvelo en el Ejemplo visto. ¡Recuerde! Si en una división se divide el divisor, por un número, el cociente queda multiplicado por dicho número y si en una división se multiplica el divisor por un número, el cociente queda dividido por la misma cantidad. EJEMPLO: 40 ÷ 5 = 8 40 ÷ 10 = 4 40 ÷ (5 x 2) = 4 40 ÷ 10/2 = 8 Este mismo principio se lo vamos a aplicar a la división sintética cuyo divisor es de la forma bx – a EJEMPLO: Elaborar en forma sintética la división:

2x² + 13 x + 15 2x + 3 ¡ IMPORTANTE ! 2x + 3 tenemos que llevarlo a la forma x + a para elaborarlo, 2x + 3 dividimos todo el binomio por 2 y nos queda:

23x

23

2x2

23x2

+=+=+


49

NOTA: Como dividimos el divisor por dos, el cociente queda multiplicado por dos, por tanto, hecha la operación, debemos dividir el cociente por dos para deshacer la multiplicación del divisor. Hagámoslo!

2x² + 13 x + 15 2x + 3

Dividiendo el divisor por dos

23X

23x2

+=+

En forma sintética nos queda:

2 + 13 + 15 x + 3/2 1 + 5

2 2 + 10 1 Dividido por dos nos queda:

2

10 22

+ 1 + 5 Para cualquier término:

Término anterior 2(-3/2) + 13 = 10 Por el segundo término del Más el término del que ocupa el divisor con signo cambiado. mismo puesto en el Dividendo.

RESPUESTA: COCIENTE = X + 5

Elaborando la operación completa como prueba:

2x² + 13x + 15 2x + 3 -2x² - 3x x + 5 10x + 15 -10x – 15 ---- 0 ----

Primer Coeficiente del dividendo divido por el

primer coeficiente del Divisor


50

COCIENTES NOTABLES

aN – bN

Es divisible por a – b ya sea “N” par o impar. Probémoslo! a4 - b4 a – b -a4 + a³b a³ + a²b + ab² + b³ a³b -a³b + a²b² a²b² - a²b² + ab³ ab³ - b4 - ab³ + b4 ---- 0 ----

a³ - b³ a – b -a³ + a²b a² + ab + b² a²b -a²b + ab² ab² - b³ -ab² + b³ --- 0 ---


51

APLICANDO EL TEOREMA DEL RESIDUO

Hemos probado en la práctica que an – bn, siempre es divisible por a–b, aplicando el teorema del residuo lo confirma porque: Reemplazando an por bn nos queda:

bn – bn = 0

Recuerde el Teorema del residuo: SI en el divisor al reemplazar el primer término por el segundo, cambiando de signo se anula, el polinomio es divisible.

an - bn

Es divisible por a + b si n es par, recuerde que la suma por la diferencia de dos cantidades es igual a la diferencia de sus cuadrados. Por tanto si “N” es par cumple el requisito. Probemos: a4 - b4 a + b -a4 – a³b a³ - a²b + ab² - b³ - a³b + a³b + a²b² + a²b² - a²b² - ab³ - ab³ - b4 + ab³ + b4 --- 0 --- Por otra parte, si reemplazamos “a” por “b” en el polinomio dividiendo nos queda:

b4 – b4 = 0

aN - bN No es divisible por a + b si N es impar


52

Probémoslo: a³ - b³ a + b -a³ - a²b a² - ab + b² -a²b +a²b + ab² ab² - b³ -ab² - b³

-2b³

aN + bN

No es divisible por a + b si “N” es impar

Probémoslo: a³ + b³ a + b -a³ - a²b a² - ab + b² -a²b +a²b + ab² ab² - b³ -ab² - b³ ---- 0 ----

aN + bN

No es divisible por a + b si N es par


53

Probemos: a4 + b4 a + b -a4 - a³b a³ - 2²b + ab² - b³ -a³b +a³b + a²b² a²b² -a²b² - ab³ - ab³ + b4 + ab³ + b4 2b4 El residuo indica que an + bn no es divisible por a + b si n es par.

aN + bN

No es divisible por a - b si N es par

Probémoslo: a4 + b4 a - b -a4 - a³b a³ + 2²b + ab² - b³ +a³b -a³b + a²b² + a²b² -a²b² + ab³ + ab³ + b4 - ab³ + b4 2b4


54

CONDICION DE DIVISIBILIDAD DE DOS POLINOMIOS

Una de las condiciones básicas para que dos Polinomios sean divisibles, es que el término independiente del Dividendo sea múltiplo del término independiente del Divisor. EJEMPLO: x³ + a³ x + a x³ - ax³ x² - ax + a² - ax² + ax² + a²x + a²x + a³ + a²x + a³ ---- 0 ----- NOTA: Sin embargo esta condición no es definitiva. Puede presentarse el caso de darse la condición y NO presentar divisibilidad perfecta.

RESUMEN DE DIVISIBILIDAD DE UN BINOMIO DE LA FORMA xn + yn entre

x + y

Si aplicamos el Teorema de Residuo, en este caso de división cuando: x7 + y7 y x8 + y8 entre x + y podemos decir que x8 + y8 ÷ x + y = no es exacta, queda un residuo de 2y8


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x8 – y8 ÷ x + y si es exacta la división, el residuo es igual a “0” x7 + y7 ÷ x + y si es exacta la división el residuo es igual a “0” x7 – y7 ÷ x + y no es exacta la división, residuo = -2y7

De lo anterior deducimos que la suma de un Binomio cuyos exponentes son impartes son divisibles por la suma de los mismos Binomios. La diferencia de un Binomio cuyos exponentes son partes es divisible por la sumas de los mismos Binomios.


56

ALGEBRA 16

ECUACIONES DE PRIMER GRADO DEFINICIÓN Se llama ecuación o igualdad condicional, porque la igualdad se cumple para un solo valor, por ser de primer grado y para dos valores cuando es de Segundo Grado.

CLASES DE ECUACIONES

Las ecuaciones se dividen en dos clases: Numéricas y Literales o Paramétricas

ECUACIÓN NUMERICA Es la ecuación que presenta coeficientes numéricos EJEMPLO:

3x – 4y = 12

Coeficientes Numéricos

ECUACIÓN LITERAL O PARAMETRICA Toman este nombre las ecuaciones cuyos coeficientes son letras. A estos se les llama coeficientes generales, parámetros o datos. EJEMPLO: ax + by + c = 0 {Ecuación General de una Recta Coeficientes Generales, Parámetros o datos.


57

IDENTIDAD

Es una igualdad, pero no la igualdad de comparar dos valores iguales, Identidad es una igualdad que se deriva de otra. EJEMPLO:

(a+b)² = a² + 2ab + b²

En la identidad los verdaderos valores de los dos miembros son siempre iguales, sea cual sea el valor que se le dé a las variables. Otro dato IMPORTANTE en una Identidad es que las letras no se llaman incógnitas sino datos o parámetros. GRADO El grado de una ecuación lo define el exponente de la incógnita. EJEMPLO: Ecuación de primer grado 3x + 2x = 25 porque el exponente de la incógnita es uno Ecuación de segundo X² + 2x + 3 = 0 grado porque el exponente de la incógnita es dos RAIZ O SOLUCION Es el valor que puesto en lugar de la incógnita la iguala a cero. EJEMPLO: 5 + x = 8 De donde: X = 3 Por tanto: 5 + 3 = 8 8 = 8 y 8 – 8 = 0


58

RESOLVER UNA ECUACION: Resolver una ecuación es hallar el valor de la incógnita que satisfaga la ecuación.

SISTEMA DE ECUACIONES: Llamamos sistema de ecuaciones al conjunto de dos o más ecuaciones que se resuelven con los mismos valores de sus incógnitas. ELEMENTOS DE UNA ECUACIÓN Los elementos de una ecuación son: Miembros Términos Signo de Igualdad e Incógnita

MIEMBROS A las dos partes de una ecuación separadas por el signo de igualdad se les llama miembros.

PRIMER MIEMBRO A los términos de la izquierda se les llama Primer Miembro.

SEGUNDO MIEMBRO A los términos de la derecha se les llama Segundo Miembro. TERMINOS A todas las cantidades que pertenecen a la ecuación les llamamos términos. INCOGNITA Valor desconocido o que se busca en una ecuación. Términos EJEMPLO: Incógnita x + 5 = 20 + 4

Primer Miembro Segundo Miembro Signo de igualdad


59

CARACTERISTICA BASICA Tratar con una ecuación es tratar con una igualdad. Si con una igualdad se elaboran operaciones iguales, se mantiene la igualdad. Por tanto: 1) Si a los dos miembros de una igualdad se le suma una misma cantidad, la ecuación se mantiene. EJEMPLO: 5 = 2 + 3 Sumándole 4 tenemos: 4 + 5 = 2 + 3 + 4 9 = 9 2) Si a los dos miembros de una igualdad se le resta una misma cantidad, la ecuación se mantiene. EJEMPLO: 20 + 10 = 30 Restémosle 5 y nos queda: 20 + 10 – 5 = 30 – 5 25 = 25

3) Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, la ecuación se mantiene. EJEMPLO: 2 + 3 = 5 Multipliquemos por cuatro y nos queda: 4 (2 + 3) = 5 x 4 8 + 12 = 5 x 4 20 = 20


60

4) Si los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad, la ecuación se mantiene. EJEMPLO:

20 = 14 + 6 Dividiendo por dos nos queda:

2

6142

20 +=

10 = 10 5) Si los dos miembros de una ecuación se elevan a la misma potencia la ecuación se mantiene. EJEMPLO:

3 + 2 = 5 Elevando a exponente dos nos queda: (3 + 2)² = 5² 3² + 2 x 3 x 2 + x² = 5² 9 + 12 + 4 = 25 25 = 25 6) Si a los dos miembros de una ecuación se les extrae el mismo índice de Raíz, la ecuación se mantiene. EJEMPLO:

25 x 5 = 125 Si extraemos Raíz Cúbica nos queda: 33 125 5x25 = 5 = 5


61

INTERCAMBIO DE TERMINOS Intercambiar términos es pasarlos de un miembro a otro. REGLA: Para intercambiar se invierte el signo del término

intercambiado 1) Si el término es positivo, pasa a negativo. EJEMPLO:

2x + 3 = 4

2x = 4 – 3

Observe el cambio de signo al cambiar del miembro izquierdo al derecho

2) Si es negativo pasa a ser positivo. EJEMPLO:

20x - 2 = 15

20x = 15 + 2 Observe: Estaba negativo en el primer miembro y pasó positivo al segundo miembro. 3) Si está multiplicando, pasa dividiendo. EJEMPLO:

3x = 36 3

36x =

Observe: Estaba multiplicando en el primer miembro y pasó dividiendo al segundo miembro.


62

4) Si está dividiendo pasa multiplicando EJEMPLO:

405X20= 20x = 40 x 5

Observe: Estaba dividiendo y pasó multiplicando.

CAMBIO DE SIGNOS Una ecuación no varía si todos los términos que la componen se multiplican por (-1)

SOLUCIÓN DE ECUACIONES

ENTERAS NUMERICAS

REGLA 1) Se pasan todos los términos que contiene la incógnita a un solo lado. Preferiblemente al lado izquierdo. 2) Se eliminan los términos semejantes si los hay. 3) Se despeja la incógnita. EJEMPLO: Resolver:

5x + 4 + 2 = 2x + 18

Hagámoslo! 1) Se pasan todos los términos que contienen la incógnita a un solo miembro; preferiblemente al miembro izquierdo y tenemos:

5x – 2x = 18 – 4 – 2

Se eliminan los términos semejantes si los hay. Hagámoslo y tenemos

5x – 2x = 3x Y nos queda que:

3x = 18 – 4 – 2


63

De donde: 3x = 12 3) Se despeja la incógnita. Para despejar la incógnita, el coeficiente de la incógnita, como está multiplicando pasa a dividir al miembro contrario. Hagámoslo!

3

12x =

Simplificando tenemos que 43

12=

De donde: x = 4 Probando: Para probar una ecuación, la incógnita se cambia por su valor correspondiente y la igualdad debe mantenerse. Hagámoslo! x = 4 Ecuación: 5x + 4 + 2 = 2x + 18 Reemplazando el valor de “x” nos queda: 5(4) + 4 + 2 = 2 (4) + 18 De donde: 20 + 4 + 2 = 8 + 18 26 = 26 Luego la Solución es correcta. Elaboremos otro Ejemplo sin explicación: Resolver: 7x + 2x + 5 + 10 = x + 39 De donde: 7x + 2x – x = 39 – 5 - 10


64

De donde: 8x = 24 De donde:

x = 824

De donde: x = 3 ECUACIONES ENTERAS NUMERICAS CON SIGNOS DE

AGRUPACION PRECEDIDOS DE LOS SIGNOS (+) Ó (-)

REGLA: 1) Se destruyen los signos de agrupación. 2) Se pasan a un solo miembro todos los términos que contienen la incógnita. 3) Se reducen los términos semejantes si los hay. 4) Se despeja la incógnita. Elaboremos un Ejemplo:

2x – (3x – 2) + (4x – 3) – 2 = 5 x – 9

Solución: 1) Se destruyen los signos de agrupación:

2x – 3x + 2 + 4x – 3 – 2 = 5x – 9 2) Se pasan a un solo miembro todos los términos que contienen la

incógnita. Hagámoslo!

2x – 3x + 4x – 5x = - 9 – 2 + 3 + 2 3) Se reducen los términos semejantes si los hay.

- 2x = - 6

4) Se despeja la incógnita

x = 26

−− = 3


65

Elaboremos otro Ejemplo:

45 – { (x+4) – 5x + 3 – x} = 3x + 2x + 2 + 3x Elaborando la operación tenemos: 45 – { x+4 – 5x + 3 – x} = 3x + 2x + 2 + 3x De donde:

45 – x – 4 + 5x – 3 + x = 3x + 2x + 2 + 3x De donde:

45 – 4 – 3 – 2 = 3x + 2x + 3x + x – 5x – x De donde:

36 = 3x De donde:

3

36 = x

De donde:

x = 12


66

ECUACIONES ENTERAS NUMERICAS CON PRODUCTOS INDICADOS

REGLA: 1) Se efectúan los productos indicados. 2) Se pasan a un solo miembro todos los términos que contienen la incógnita. 3) Se reducen los términos semejantes si los hay. 4) Se despeja la incógnita. Elaboremos un Ejemplo: Resolver: 3(5-x) + 6(x+4) – 7x = 2(2x + 3) – 7 1) Se efectúan los productos indicados. Elaborando la operación nos queda:

15 – 3x + 6x + 24 – 7x = 4x + 6 – 7

2) Se pasan a un solo miembro todos los términos que contienen la incógnita. Hagámoslo!

15 + 24 – 6 + 7 = 3x – 6x + 7x + 4x 3) Se reducen los términos semejantes si los hay: Hagámoslo! 40 = 8x 4) Se despeja la incógnita

5840 x ó x

840

===

De donde: x = 5 Elaboremos otro Ejemplo:

3[5{3+8x+3(6x-2)} + 7x] = 5(30x+7x) + 10x


67

Elaborando la operación: 3[5{3+8x+18x-6} + 7x] = 150x+35x + 10x

3[15+40x+90x – 30 + 7x] = 150x + 35x + 10x

45+120x+270x – 90+21x = 150x + 35x + 10x

120x + 270x + 21x – 150x – 35x – 10x = 90 – 45

216x = 45

21645x =

245x =

SOLUCION DE ECUACIONES

NUMERICAS FRACCIONARIAS

DEFINICION Llamamos ecuación numérica fraccionaria, a la ecuación cuyos términos presentan denominadores. ¡ IMPORTANTE ! La clave en la Solución de las ecuaciones numéricas Fraccionarias está en aprender a suprimir los denominadores. REGLA GENERAL Para suprimir los denominadores en una Ecuación Numérica Fraccionaria, se multiplica cada término monomio o Polinomio por el Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) de los denominadores y se simplifican para que desaparezca el Denominador.


68

SOLUCION DE ECUACIONES FRACCIONARIAS CON

DENOMINADOR MONOMIO

REGLA 1) Se multiplica cada término de la ecuación por el Mínimo Común Múltiplo de los denominadores y se simplifican los términos. 2) Se pasan los términos que contienen la incógnita a un solo miembro preferiblemente al primer miembro. 3) Se reducen los términos semejantes si los hay. 4) Se despeja la incógnita. Elaboremos un Ejemplo: Buscar el valor de la incógnita en la ecuación siguiente:

2x5

3x4

=−

Procedimiento: 1) Se multiplica cada término de la ecuación por el Mínimo Común Múltiplo de los denominadores (m.c.m.) y se simplifican los términos. En este caso el m.c.m. de 3 y 2 es 6. Hagámoslo!

2x656

3)x4(6

=•−

De donde:

2x630

3x24

=−

Simplificando queda: 8x – 30 = 3x


69

2) Se pasan los términos que contienen la incógnita a un solo miembro, preferiblemente al primer miembro. Hagámoslo!

8x – 3x = 30

3) Se reducen los términos semejantes si los hay: Hagámoslo!

8x – 3x = 5x

y nos queda que: 5x = 30

4) Se despeja la incógnita. Para despejar la incógnita el coeficiente que está multiplicando pasa al otro miembro dividiendo. Hagámoslo!

65

30x ==

De donde: x = 6

Probando Para probar una ecuación, la incógnita se reemplaza por su valor correspondiente y el resultado debe ser una igualdad. Hagámoslo! Sabemos que x = 6 y reemplazamos el valor de la incógnita

2x5

3x4

=−

De donde:

265

3)6(4

=−


70

De donde:

8 – 5 = 3 De donde: 3 = 3

Luego el valor de la incógnita es correcto.

Elaboremos otro Ejemplo sin explicación:

2x

510

3x4

=−

Resolviendo tenemos: m.c.m. de 3,5 y 2 = 30 y tenemos que:

2x30

5)10(30

3)x4(30

=−

Simplificando tenemos:

10(4x) – 6(10) = 15x De donde: 40x – 60 = 15x De donde: 40x – 15x = 60 De donde: 25x = 60 De donde:

2560x =

De donde:

522

512x ==


71

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES NUMERICAS FRACCIONARIAS CUANDO EL DENOMINADOR DE LOS

TERMINOS ES POLINOMIO REGLA: El procedimiento es el mismo visto. La única diferencia es que el m.c.m. por el cual se multiplica cada término es el m.c.m. de los polinomios. Ejemplo Resolver:

1²x

12x1x

31x

2−−

=−

−+

Resolviendo tenemos que: m.c.m. de x + 1 y x – 1 = x² - 1 Por tanto tenemos:

1²x

)12x)(1²x(1x

)1²x(31x

)1²x(2−−−

=−−

−+−

Simplificando nos queda: 2 (x – 1) – 3 (x + 1) = x – 12 De donde: 2x – 2 – 3x – 3 = x – 12 De donde: 2x – 3x – x = x –12 + 12 + 3 De donde:

- 2x = -7


72

De donde:

5,327x =

−−

=

De donde:

x = 3,5 Probando: Para probar se reemplaza la incógnita por su valor correspondiente y debe mantenerse la igualdad en la ecuación. Hagámoslo:

x = 3,5 Ecuación

1²x

12x1x

31x

2−−

=+

−+

Reemplazando “x” tenemos:

1)²5,3(

125,315,3

315,3

2−

−=

−−

+

De donde tenemos:

125,12

5,85,2

35,4

2−

−=−

De donde:

25,115,8

5,23

5,42 −

=−

De donde:

0,44 – 1,2 = - 0,755 De donde - 0,755 = - 0,755 Luego el procedimiento es correcto


73

Resolvamos un Ejemplo más sin explicación. Resolver:

2x2

3x5

4x23

−=

+−

−

De donde:

2x

23x

5)2x(2

3−

=+

−−

m.c.m. de los denominadores es 2(x + 3)(x – 2) De donde nos queda:

2x)2x)(3x(22

3x)2x)(3x(25

)2x(2)2x)(3x(23

−−+•

=+

−+•−

−−+•

Simplificando queda: 3(x + 3) – 10(x – 2) = 4(x + 3) De donde: 3x + 9 – 10x + 20 = 4x + 12 De donde:

3x – 10x – 4x = -20 + 12 – 9 De donde:

- 11x = 17 De donde:

X = - 1117


74

RESOLUCION DE ECUACIONES NUMÉRICAS FRACCIONARIAS CUANDO EL NUMERADOR DE LOS TERMINOS ES

UN POLINOMIO.

REGLA: Se halla el m.c.m. de los denominadores y se multiplica por todas las expresiones que conforman la ecuación. Elaboremos un Ejemplo:

20x230

105x

2x9 −

=+

−−

Elaborando tenemos:

m.c.m. de 2, 10 y 20 = 20

20

)x230(2010

)5x(202

)x9(20 −=

+−

−

De donde queda:

10 (9 – x) – 2 (x + 5) = 30 – 2x De donde queda:

90 – 10x – 2x – 10 = 30 – 2x De donde

90 – 10 – 30 = 10x + 2x – 2x De donde:

50 = 10x

De donde: 1050

= x de donde 5 = x ó x = 5

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