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1 Unidad de Aprendizaje

Interés Simple

Contenido Introducción

1. Concepto del interés simple

2. Formula de interés simple

3. Clases de interés simple

4. Capital Final – Valor futuro

5. Capital inicial – Valor presente

6. Representación gráfica –Flujo de Caja-

7. Interés Anticipado - Descuento simple.

8. Tasa realmente cobrada en una operación de descuento

9. Descuentos en cadena

10. Ejercicios resueltos

11. Ejercicios propuestos

Matemáticas Financieras 2010

2 | Carlos Mario Morales C

Introducción

Si se considera el dinero como un bien es de esperarse en una economía de mercado, que el costo que se paga por su uso sufra altas y bajas, como cualquier mercancía. De esta forma el costo del dinero dependerá de las condiciones de oferta y demanda del mercado y otras variables como la inflación, devaluación y revaluación.

Por eso la expresión: “No es lo mismo un millón de pesos de hoy, que un millón de pesos dentro de un año”, se utiliza para significar que el poseedor del dinero espera que se le recompense por no utilizar el dinero y ponerlo a disposición de otro, por un tiempo.

De esta forma, para las personas no es igual recibir una misma cifra de dinero hoy que un tiempo después; es decir, no se puede decir que dichos valores sean equivalentes. Dos cifras de dinero son equivalentes cuando a una persona le es indiferente recibir una suma de dinero hoy (VP) y recibir otra suma diferente (VF) al cabo de un periodo. El Interés es el monto de dinero que permite hacer equivalente una cifra pasada, con una cifra futura; es decir, el interés permite hacer equivalente cifras de dinero en el tiempo.

El concepto de interés es de uso amplio en la vida comercial y financiera; esto ha conducido a que tenga múltiples acepciones, entre otras:

- El valor del dinero en el tiempo

- Valor recibido o entregado por el uso del dinero

- Utilidad o ganancia que genera un capital

- Precio que se paga por el uso del dinero

- Rendimiento de una inversión

- Entre otros.

1. Concepto de Interés Simple

Es el canon de arrendamiento que se paga por hacer uso de un monto de dinero llamado principal o capital, durante un periodo de tiempo determinado. Se dice que el interés es Simple cuando se paga dicho canon de arrendamiento al momento de liquidarse, es decir al final del periodo.

2. Formula de interés simple

El interés simple es el resultado de calcular el capital por la tasa periódica de interés por el número de periodos, es decir:

I = VP * i * n (1)

VP: Capital o monto principal



i: Tasa de interés periódica

n: Número de periodos.

3. Clases de interés simple

No existe un criterio único para aplicar el interés simple; la aplicación depende de la operación comercial o financiera o incluso muchas veces del sector económico o las costumbres comerciales.

Por lo anterior, dependiendo de la base en días para el cálculo, se puede hacer distinción de dos clases de aplicaciones:

Interés Ordinario, que es aquel donde se toma como base para el cálculo, un año de 360 días e Interés Exacto, cuando se toma como base para el cálculo, años de 365 días; los cuales a su vez pueden llegar a tomar algunas de las variantes que se muestran en la siguiente tabla:

Interés Ordinario

(Base de Cálculo 360)

Con tiempo exacto (Interés Bancario)

(Considera los días exactos en los cuales se ha utilizado el préstamo y una base de 360 días al año)

Tiempo exacto

Con tiempo aproximado (Interés Comercial)

(Considera indistintamente meses de 30 días y una base de

360 días al año)

Meses de 30 días

Interés Exacto

(Base de Calculo 365)

Exacto o Verdadero (Interés Racional)

(Considera los días exactos en los cuales se ha utilizado el préstamo y la base son los días exactos del año)

Tiempo exacto

Exacto sin Bisiesto (Interés base 365 días)

(Considera los días exactos en los cuales se ha utilizado el préstamo y una base de 365 días al año (No considera bisiestos))

Tiempo exacto sin bisiesto

Con tiempo aproximado

(Considera meses de 30 días y la base son los días exactos del año (No tiene utilidad práctica))

Meses de 30 días

Clases de interés simple - Ejemplos

Ejemplo 1 Sandra quiere conocer cuál es el interés que debe cancelar por el mes de febrero del año 2004 (bisiesto) sobre un préstamo de $1´000.000, si se le cobra una tasa del 20% Nominal Anual.

Solución



El monto o capital es: $1´000.000

El interés es 20% Nominal anual; es decir, es lo que se cobraría por un año.

El periodo en que se causa el interés es una fracción de año: 29 (días del mes de febrero) de 360 días, si aplicamos interés bancario.

Con las anteriores consideraciones, el interés se calcula, como:

I = 1´000.000 * 0,2 * (29/360) = 16.111,11

El monto que Sandra debe cancelar por el préstamo de un millón durante el mes de febrero, aplicando interés bancario es: 16.111,11

Ejemplo 2 Sandra quiere conocer cuál es el interés que debe cancelar por el mes de febrero del año 2004 (bisiesto) sobre un crédito comercial de $1´000.000 para la compra de un TV, si se le cobra una tasa del 20% Nominal Anual.

Solución



El periodo en que se causa el interés es una fracción de año: 30 (días del mes de febrero) de 360 días, si aplicamos interés comercial.


I = 1´000.000 * 0,2 * (30/360) = 16.666,67

El monto que Sandra debe cancelar por el crédito para la compra de un TV durante mes de febrero, aplicando interés comercial es: 16.666,67

Ejemplo 3 Sandra quiere conocer cuál es el interés que debe cancelar por el mes de febrero del año 2004 (bisiesto) sobre un préstamo de $1´000.000, si se le cobra una tasa del 20% Nominal Anual y el prestamista hace el cálculo con interés racional

Solución



El periodo en que se causa el interés es una fracción de año: 29 (días del mes de febrero) de 366 días, si aplicamos interés racional.


I = 1´000.000 * 0,2 * (29/366) = 15.846,99



El monto que Sandra debe cancelar por el préstamo en este caso es de: 15.846,99

Ejemplo 4 Sandra quiere conocer cuál es el interés que debe cancelar por el mes de febrero del año 2004 (bisiesto) sobre un préstamo de $1´000.000, si se le cobra una tasa del 20% Nominal Anual y el prestamista hace el cálculo con interés base 365

Solución



El periodo en que se causa el interés es una fracción de año: 28 (días del mes de febrero) de 365 días, si aplicamos interés base 365, que recordemos no considera bisiestos.


I = 1´000.000 * 0,2 * (28/365) = 15.342,47


Ejemplo 5 Sandra quiere conocer cuál es el interés que debe cancelar por el mes de febrero del año 2004 (bisiesto) sobre un préstamo de $1´000.000, si se le cobra una tasa del 20% Nominal Anual y el prestamista hace el cálculo con interés exacto-tiempo aproximado

Solución



El periodo en que se causa el interés es una fracción de año: 30 (días del mes de febrero) de 366 días, si aplicamos interés exacto-tiempo aproximado.


I = 1´000.000 * 0,2 * (30/366) = 16.393,44


4. Capital Final – (Valor futuro)

El capital final que recibirá el prestamista o inversionista, corresponde al capital inicial más los intereses. A este valor se le denomina valor final, valor futuro y se representa por VF

VF = VP + I

VF = VP + (VPin)



VF = VP( 1 + in) (2)

Donde:




VF: Valor futuro

5. Capital Inicial – (Valor presente)

El capital inicial que deberá aportar el prestamista o inversionista, se puede calcular a partir del valor futuro, el interés y la cantidad de periodos a los cuales se hace la inversión. A este valor se le denomina valor presente y se representa por VP

VF = VP( 1 + in)

VP = VF/(1+in) (3)

Donde:




VF: Valor futuro

6. Representación gráfica –Flujo de Caja- Para mayor comprensión del comportamiento de las operaciones financieras; estas se pueden representar a través de una gráfica denominada FLUJO DE CAJA. El flujo de Caja ilustra en una línea del tiempo los ingresos con flechas hacia arriba y los egresos, inversiones, que ocurren en una operación financiera.

Horizonte de tiempo

Ingresos

Egresos



Grafica No 1 – Flujo de Caja

Ejemplos valor presente y valor futuro.

Ejemplo 6.

María Cristina quiere saber cuánto recibirá al final “exactamente” si presta $3´000.000 entre el 23 de agosto hasta el 27 de octubre de 1999 a una tasa de interés del 35% nominal anual

La situación se ilustra gráficamente como se muestra a continuación:



El periodo, en el cual se causan intereses, en días entre 23.08.1999 y el 27.10.1999 es 65 días; que es una fracción de año o 365 días, si aplicamos interés racional.

Con las anteriores consideraciones, el valor final se calcula, como:

VF = VP(1 + in)

VF = 3´000.000*(1+(0,2*(65/365))) = 3´186.986,30

El monto que recibirá María Cistina al final será: 3´186.986,10; esto significa que ella a devengado 186.986,30 pesos de interés.

Ejemplo 7.

Juan debe pagar $600.000 de matrícula en la universidad el día 13 de diciembre. ¿Cuánto dinero debe depositar el 5 de agosto del 2005 en una cuenta de ahorros que paga el 23% Nominal anual?


VF =¿?

Días = 65

VP = 3´000.000

VF = $600.000

Días = ¿?

VP = ¿?

23/08/99 27/10/99

05/08/05 13/12/05

i = 35% NA

i = 23% NA



El Valor Final (VF) es: $600.000


El periodo, en el cual se causan intereses, en días entre 05.08.2005 y el 13.12.2005 es 130 días; que es una fracción del año o 360 días, si aplicamos interés bancario.

Con las anteriores consideraciones, el valor presente se calcula, como:

VP = VF/(1 + in)

VP = 600.000/(1+(0,23*(130/360))) = 553.988,23

El monto que Juan debe depositar en la cuenta de ahorros es: $553.988,23.

Ejemplo 8

Julián dueño de una pequeña empresa ha tenido excedentes por $3´000.000 durante el pasado

periodo; él quiere conocer a que tasa de interés comercial dichos excedentes se convertirán en

$3´500.000 en 6 meses.


El Valor Final (VF) es: $3´500.000

El Valor inicial (Presente) es: $3´000.000

El periodo, en el cual se causan intereses son 6 meses (180 días) que es una fracción del año (360 días); si aplicamos interés Comercial.


VF = VP * (1 + in)

((VF/VP) -1)/n = i

i = ((3´500.000/3´000.000)-1)/(180/360))) = 0,33333

La tasa de Interés NA que se le debe reconocer a Julián es: 33,33%

Ejemplo 9

VF = $3´500.000

6 Meses VP = 3´000.000

i= ¿?



Julián dueño de una pequeña empresa ha tenido excedentes por $3´000.000 durante el pasado

periodo; él quiere conocer durante cuánto tiempo debe colocar este dinero para convertir

estos excedentes en $4´500.000, si la entidad bancaria le reconoce un interés NA del 27%.



El Valor inicial (Presente) es: $3´000.000

El periodo necesario para acumular la cifra final, en días, serán una fracción del año (360 días); si aplicamos interés bancario.

La tasa de interés Nominal Anual: 27%

Con las anteriores consideraciones, el número de días se calcula, como:

VF = VP * (1 + in)

((VF/VP) -1)/i = (n/360)

i = ((3´500.000/3´000.000)-1)*360/(0,27))) = 666,67

El número de días que se debe colocar el monto inicial para al final obtener los 4,5 milloes es: 667

7. Interés Anticipado - Descuento El interés anticipado consiste en causar los intereses al principio del periodo. El descuento se representa por la letra “D”

Tasa Anticipada (Tasa de descuento): Es la que genera el interés anticipado y se representa por la letra “d”

Descuento Simple Consiste en cobrar los intereses por anticipado calculados sobre el valor final; de esta forma el Descuento se calcula, como:

D = VF*d*n (3)

VF = $4´500.000

n = ¿? VP = 3´000.000

i= 27%



Donde:

d: Tasa de descuento

D: Descuento

Valor Líquido (VT) Es el valor nominal menos el descuento

VT = VF – D

VT = VF – (VF*d*n)

VT = VF*(1 – d*n) (4)

Ejemplos Interés Anticipado - Descuento

Ejemplo 10

El 17 de abril del 99 una pequeño comerciante compra mercancías por un valor de $8´000.000 para surtir su almacén; este realiza el pago a la fabrica a través de una letra de cambio por valor nominal de $8´000.000 con vencimiento el 17 de julio.

El 20 de junio la fábrica por problemas de liquidez ofrece en venta la letra al banco Medellín, el cual hará un descuento (interés anticipado) del 36% aplicado al valor final del documento. ¿Cuál es el valor que recibirá la fabrica – Valor líquido?



El periodo en que se causa el descuento es: entre el 20/06 y 17/07, es decir: 27 días que es una una fracción del año (360 días); si aplicamos interés bancario.

La tasa de descuento Nominal Anual: 36%

Con las anteriores consideraciones, el Valor Liquido se calcula, como:

VT = VF * (1 - dn)

VT = ¿? 17/04/99

VF = 8´000.000

i= 36%

17/07

20/06



VT = (8´000.000 * (1 -0,36(27/360)) = 7´784.000,00

El valor que recibirá el fabricante es: 7´784.000,00

Ejemplo 11

¿Cuál debe ser el valor nominal de un documento de cambio que un comerciante descuenta a un interés del 38% Nominal Anual entre el 17.12.98 y el 25.01.99 y su valor liquido es $6´374.370?


El Valor Nominal (VF) es: ¿?

El periodo en que se causa el descuento es: entre el 17/12/98 y 25/01/77, es decir: 39 días que es una fracción del año (360 días); si aplicamos interés comercial.


Con las anteriores consideraciones, el Valor Nominal (VF) se calcula, como:

VF = VT/(1 - dn)

VT = (6´374.370 / (1 -0,38(39/360)) = 6´648.047,97

El valor nominal del documento debe ser: 6´648.047,97

8. Tasa Real en una operación de Descuento La tasa de descuento se aplica al valor final del documento; a diferencia del interés simple que se aplica al valor inicial, en consecuencia, es lógico, que para el mismo valor se obtienen diferentes resultados de interés cobrado; para calcular la tasa real en una operación de descuento debemos aplicar la formula de monto simple al resultado final. Lo anterior se ilustra con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 12

Si el Banco Medellín descuenta una letra de cambio de $6´000.000 35 días antes del vencimiento al 38%. ¿Cuál es la tasa de interés simple real que se cobra por esta operación?


VT = 6´374.370

17/12/98

VF = ¿?

i= 38%

25/01/99



Lo primero que debemos hacer es investigar cual es el Valor liquido de la transacción: VT

Valor Nominal (VF): 6´000.000

El periodo en que se causa el descuento es 35 días que es una fracción del año (360 días); si aplicamos interés bancario.


Con las anteriores consideraciones, el Valor Nominal (VF) se calcula, como:

VT = VF*(1 - dn)

VT = (6´000.000*(1- -0,38(35/360)) = 5´778.333,33

El valor líquido de la letra de cambio es: 5´778.333,33

Así, la situación de la operación financiera se muestra en la siguiente gráfica, a partir de esta se pide determinar la Tasa de Interés Real de la operación.

Podemos de la formula VF = VP(1+in), despejar i para conocer, así la verdadera tasa de interés de la operación

VF = VP(1+in)

((VF/VP) -1)/n = i

((6´000.000/5´778.333,33)-1)/(35/360) = 0,3946

La tasa Nominal Anual Real de interés de la operación es: 39,46%

9. Descuentos en Cadena

VT = ¿?

VF = 6´000.000

i= 38%

35 días

VT = 5´778.333,33

VF = 6´000.000

i= ¿?

35 días



En una operación comercial pueden ocurrir varios descuentos; tal es el caso cuando una empresa vende mercancía; en este caso se ofrecen una serie de descuentos que son aplicables a la misma factura.

Descuento por volumen

Descuento por pronto pago

Descuento por embalaje

Descuento por temporada

Descuento por fidelidad

En la siguiente tabla se muestra el efecto matemático causado por una serie de descuentos sobre un mismo monto (una factura por ejemplo).

Descuentos en Cadena

Valor Factura Antes Tasa descuento

Valor Descuento Valor Factura Después de Descontada

A d1 Ad1 A - Ad1 = A(1-d1)

A(1-d1) d2 A(1-d1) d2 A(1-d1)-A(1-d1) d2 = A(1-d1)(1-d2)

A(1-d1)(1-d2) d3 A(1-d1)(1-d2) d3 (A(1-d1)(1-d2)-A(1-d1)(1-d2)d3) = A(1-d1)(1-d2)(1-d3)

… … … …

A(1-d1)(1-d2)…(1-dn-1) dn A(1-d1)(1-d2)… (1-dn-1) dn

= A(1-d1)(1-d2)(1-d3)…(1-dn)

El descuento total será el valor inicial del monto (factura) menos el valor final, es decir después de ser descontado el monto.

D = A(1-(1-d1)(1-d2)…(1-dn))

Al dividir el valor final del monto (factura) con el valor inicial de la misma factura, se obtiene la tasa de descuento promedio, esto es:

d = 1-(1-d1)(1-d2)…(1-dn)

Ejemplo 13

Un comerciante quiere conocer el descuento promedio que obtiene y el valor final de una factura después de realizar compras por $12´361.500; si el proveedor de la mercancía le



concede los siguientes descuentos: por pronto pago: 10%; por compra al por mayor 25%; y por temporada: 8%

El descuento total lo puede calcular como:

D = A(1-(1-d1)(1-d2)…(1-dn))

D = 12´361.500*(1-(1-0,1)(1-0,25)(1-0,08)) = 4´685.008,5

De esta forma, el valor final de la factura es: A – D = 12´361.500 - 4´685.008,5 = 7´676.491,5

La tasa de descuento total se calcula como:

d = 1-(1-d1)(1-d2)…(1-dn)

d = 1-(1-0,1)(1-0,25)(1-0,08) = 0,3790 = 37,90%

10. Ejercicios resueltos

1) Calcular el interés simple comercial de $300.000 desde el del 18 de marzo al 18 de junio del mismo año al 3.4% mensual.

I = (300.000 x 0,034) x 3 = 30.600

2) Una persona invierte $250.000 al 40% desde el 15 de septiembre de 1998 hasta el 18 de noviembre de 1998. Calcular: a) El monto racional y b) el monto bancario

Real Bancario

Septiembre 15 15

Octubre 31 31

3 meses 18.03 18.06

i = 3,4% mensual

15.09 18.11

i = 40%

250.000



Noviembre 18 18

Total 64 63

I = 250.000 (64/365) x 0,4 = 17.534,22; entonces el valor final S = 267.534,22 (Racional)

I = 250.000 (64/360) x 0,4 = 17.777,77; entonces el valor final S = 267.777,77 (Bancario)

3) ¿Cuánto debe invertirse hoy 17 de octubre en un fondo que garantiza el 28% simple real para que el 20 de marzo del siguiente año pueda retirar la suma de $150.000?

Real Bancario Comercial

Octubre 14 14 13

Noviembre 30 30 30

Diciembre 31 31 30

Enero 31 31 30

Febrero 28 28 30

Marzo 20 20 20

Total 154

S = P + iPn

S = P(1 + in)

P = S/(1 + in)

P = 150.000/(1 + 0,028 x( 154/365)) = 134.151,73 (Racional)

4) Hallar el valor presente de $500 000 en 31/2 años a1 3% mensual

17.10 20.03

i = 28%

P = ¿?

S = 150.000

P = ¿?

42 meses S = 500.000



S = P(1 + in)

P = S/(1 + in)

P = 500.000/(1 + (0,03 x 42)) = 221.238,93

5) Hace 6 años compré un lote en $900 000 y hoy se vendió en $6 millones. Hallar la tasa de interés comercial que gane en este negocio.

S = P( 1 + in)

S/P = 1 + in

((S/P) – 1)/n = i

((6´000.000/900.000) – 1)/6 = i; es decir: i = 94.44%

6) ¿Qué tan rentable es un documento que hoy se puede comprar en $75 000 el cual devolverá al cavo de 3 años la suma de $330.000?

i = ((S/P)-1)/n

i = ((330.000/75.000)-1)/3 = 1,13333; es decir: i = 113,33%

7) Se recibe un préstamo por $1 millón al 42% nominal anual periodo vencido el día 8 de agosto de 1999 con vencimiento el 8 de marzo del 2000. Hallar el valor final del préstamo calculando los intereses:

a) interés exacto o racional

b) interés comercial o base 360

c) interés bancario

3 años

i = ¿?

75.000

S = 330.000

900.000

i = ¿? S = 6´000.000

6 años



d) interés base 365

Nota: Tenga en cuenta que el año 2000 es un año bisiesto

Exacto o racional Bancario Comercial

Agosto 23 23 22

Septiembre 30 30 30

Octubre 31 31 30

Noviembre 30 30 30

Diciembre 31 31 30

Enero 31 31 30

Febrero 29 29 30

Marzo 8 8 8

Total 213 213 210

a) Interés exacto racional

I = 1´000.000 x 0,42 x (213/366) = 244.426,20

S = 1´244.426,20

b) Interés Comercial

I = 1´000.000 x 0,42 x (210/360) = 245.000

S = 1´245.000

c) Interés Bancario

I = 1´000.000 x 0,42 x (213/360) = 248.500

S = 1´248.500

8) Un pagaré con valor presente de $300.000 emitido el 15 de septiembre de 1999 con plazo de 270 días a una tasa de interés del 30% nominal anual período vencido. Hallar el valor futuro y la fecha de vencimiento en:

P = 1´000.000

i = 42%

08.08.99 S = ¿?

08.03.00



a) interés exacto o racional b) interés comercial o base 360 c) interés bancario d) interés base 365

a) Interés Exacto o racional

S = P(1 + in) = 300.000( 1 + 0,3(270/366)

S = 366.393,42

Fecha de vencimiento: 11.06.2000

b) Interés Comercial

S = P(1 + in) = 300.000( 1 + 0,3(270/360)

S = 367.500


c) Interés Bancario

S = P(1 + in) = 300.000( 1 + 0,3(270/360)

S = 367.500


d) Interés Base

S = P(1 + in) = 300.000( 1 + 0,3(270/365)

S = 366.575


9) Una letra por $550000 madura el 23 de agosto de 1998 y va a ser descontada el 17 de julio del mismo año al 38%. Determinar el valor de la transacción.

300.000

15.09.99

270 dias – 30%

S=¿?



D = Sdn – Descuento- d: tasa de descuento – n: número de periodos

VL = S – D – Valor Liquido-

VL = S – Sdn

VL = S( 1-dn)

Exacto o racional Comercial

Julio 14 13

Agosto 23 23

Total 37 36

VL = 550.000(1 – 0,38(36/360)

VL = 529.100 - Valor Comercial-

VL = 550.000(1 – 0,38(37/360)

VL = 528.519 - Valor Bancario-

10) El 15 de diciembre de 1999 una empresa recibe un pagaré por $2 millones a un plazo de 90 días al 25% nominal anual vencido de interés comercial simple. El 14 de enero lo negocia con un banco que lo adquiere a una tasa de descuento del 29% nominal anual anticipado en interés bancario. ¿Cuánto recibirá la empresa por el pagaré y cuánto ganará el banco en la operación de descuento?

S = 2´000.000 (1 + 0,25(90/360)) = 2´125.000

VL = S(1 – dn)

17.07.98

17.07.98

$550.000

P= ¿?

38%

15.12.99

15.03.00

S=¿?

i = 25%

15.01.00



VL = 2´125.000 (1 – 0,29(60/360)) = 2´022.291,67

La empresa recibirá: $ 2´022.291,67

El Banco Ganará: $ 102.708,33

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