UNIDAD DE TRABAJO 1ER MOMENTO DE EVALUACION PERIODO...

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UNIDAD DE TRABAJO_3er MOMENTO DE EVALUACION

PERIODO ESCOLAR 2020 – 2021 IDENTIFICACION DEL DOCENTE

Nombre del Docente:

Yonesky Fuentes

Correo Electrónico: [email protected]

DATOS DE IDENTIFICACIÓN DEL ÁREA

Nombre del Área de Formación: Matemática

Año: 4to Mención: Administración (A-B), Informática (A-B), Contabilidad, Turismo

INDICACIONES

Los estudiantes deben seguir las instrucciones indicadas por el docente para realizar las asignaciones solicitadas por cada área de formación.

Toda actividad asignada debe colocarse los datos del estudiante:

Nombres Completos y Apellidos Completos

N° de Cédula de Identidad (del estudiante)

Año y Mención (que está cursando el estudiante)

Nombre del Área de Formación (de la actividad que está presentando)

Nombre del Docente (a quien va dirigida la tarea)

Número de Teléfono del Estudiante o Representante.

Las actividades deben ser elaboradas bolígrafo de color azul o negro para la realización de las actividades a entregar.

Las actividades manuscrito (a mano) deben tomarles fotos o escanearlas que sea imágenes o fotos claras y nítidas, para poder visualizar la tarea realizada y enviarla al correo electrónico asignado.

Las actividades que se realicen en hojas blancas (reciclaje en buen estado), hojas de block o de examen.

Todas las hojas deben tener un margen, los mismos serán trazados con las siguientes medidas: Margen izquierdo: 4 cm. Margen superior, inferior y derecho: 3 cm. NOTA: para realizar las márgenes usar una plantilla de modelo

Las actividades en digital deben realizarse de la siguiente forma:

Usar márgenes de: superior, inferior y derecho de 3cm.

El margen izquierdo de 4cm

Tipo de Letra: Arial

Tamaño N° 12

• Interlineado: 1,5

Justificar los párrafos

Tamaño de la Hoja: Carta

mailto:[email protected]

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Recordar el uso de títulos y sub títulos a desarrollar

Es necesario que no olvides que debes: Respetar la sangría y la separación entre los párrafos.

Cuidar la ortografía y la caligrafía.

Enumerar las páginas en el margen inferior derecho (no enumerar la portada)

Cada parte de las actividades se inicia con un título centrado En el margen superior de la hoja y escrito en letras mayúsculas y subrayado con el color rojo o azul

Todas las actividades que presentes deben llevar una portada, el realizarla garantiza que tú como estudiantes entregues de forma organizada la actividad, que el docente pueda saber que se entrega, quien lo entrega y en especial le da formalidad a la presentación de tu actividad, cosa que para mí es importante. La portada (recuerda los márgenes) se realiza de la siguiente forma:

Recuerda: El correo también debe estar identificado con tus datos al momento de enviar las asignaciones solicitadas y el archivo de cada actividad para al momento de descargarlo en la PC.

Colocar el instrumento de evaluación en cada actividad.

Las actividades que sean idénticas (entre los estudiantes) quedan sin calificación y deben repetir la actividad, siguiendo las instrucciones del profesor.

la Puntualidad: será un elemento clave en el éxito del área de formación, es

por ello que te sugiero que organices con tu representante dentro de sus agendas el tiempo previsto para la entrega de las actividades.

Fechas de Entrega de Actividades

Actividad 1 y 2 04 / 05 / 2021

Actividad 3 y 4 01 / 06 / 2021

Nota: Los estudiantes pueden ir enviando las actividades antes de fecha final pautada

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Plan de Evaluación, los Contenidos, deben ser copiados en el cuaderno del Área de Formación solamente los que Ud. considere de más relevancia, haga un resumen.

PLAN DE EVALUACION – 3er MOMENTO

PERIODO ESCOLAR 2020 – 2021

FECHAS DE

ENTREGA

DE LAS

ACTIVIDADES

CONTENIDOS – TEJIDO TEMÁTICO

ESTRATEGIAS EVALUATIVAS

PONDERACIÓN

% PTOS

Actividades 1 y 2

Teorema del seno y del coseno Resolución de

problemas 25 % 5 Pts

Identidades trigonométricas Resolución de

ejercicios 25 % 5 Pts

Actividades 3 y 4

Operaciones Algebraicas con funciones trigonométricas

Resolución Ejercicios

25 % 5 Pts

Números Complejos Cuestionario 25% 5Pts

TOTAL 100 % 20 pts

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CONTENIDO N° 1 Tema (Contenido) : Teorema del seno y del coseno Estrategia Evaluativa:

Resolución de problemas Ponderación:

25 % = 5 Pts

Fecha de Entrega

Teorema del seno y del coseno

Visitar la página https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/teorema-del-seno-ejemplos-ejercicios-problemas-resueltos-aplicacion-triangulos-lado-angulo.html

Introducción

El teorema del seno y el teorema del coseno son dos resultados que establecen las relaciones entre los ángulos interiores de cualquier triángulo con el seno y coseno de los lados opuestos a los ángulos. Su aplicación permite conocer los ángulos o los lados del triángulo sin conocerlos todos. A

continuación, enunciamos ambos teoremas y daremos un ejemplo de aplicación. OJO VER VÍDEO https://www.youtube.com/watch?v=r2DZSxFLRK0 por favor!!!!!

1. Teorema del seno

La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos

(oblicuos).

https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/teorema-del-seno-ejemplos-ejercicios-problemas-resueltos-aplicacion-triangulos-lado-angulo.htmlhttps://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/teorema-del-seno-ejemplos-ejercicios-problemas-resueltos-aplicacion-triangulos-lado-angulo.htmlhttps://www.youtube.com/watch?v=r2DZSxFLRK0https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/triangles.html

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Para usar la ley de los senos necesita conocer ya sea dos ángulos y un lado del triángulo (AAL o ALA) o dos lados y un ángulo opuesto de uno de ellos (LLA).

En ∆ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c , entonces

Para ver la demostración vea el enlace: https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/teorema-del-seno-ejemplos-ejercicios-problemas-resueltos-aplicacion-triangulos-lado-angulo.html

Ejemplo 1: Dado dos ángulos y un lado no incluido (AAL).

Dado ∆ABC con A = 30°, B = 20° y a = 45 m. Encuentre el ángulo y los lados faltantes.

https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/teorema-del-seno-ejemplos-ejercicios-problemas-resueltos-aplicacion-triangulos-lado-angulo.htmlhttps://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/teorema-del-seno-ejemplos-ejercicios-problemas-resueltos-aplicacion-triangulos-lado-angulo.html

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El tercer ángulo del triángulo es

C = 180° – (A +B) = 180° – (30° +20 )°=180°-50° = 130° (recordamos que las suma de

los ángulos interiores de un triángulo son 180°)

Por la ley (teorema) de los senos,

45

𝑠𝑒𝑛30°=

𝑏

𝑠𝑒𝑛20°=

𝑐

𝑠𝑒𝑛130°

Por las propiedades de las proporciones

45

𝑠𝑒𝑛30°=

𝑏

𝑠𝑒𝑛20° despejando b

𝑏 = 30.78 comprueba en la calculadora

y 𝑐 =45∗𝑠𝑒𝑛130°

𝑠𝑒𝑛30°= 68.94𝑚

Ejemplo 2: Dado dos ángulos y un lado incluido (ALA).

Dado A = 42°, B = 75° y c = 22 cm. Encuentre el ángulo y los lados faltantes.

𝑐 = 180° − (42° + 75°) = 63° la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°

𝑎

𝑠𝑒𝑛42°=

𝑏

𝑠𝑒𝑛75°=

22

𝑠𝑒𝑛63° sustituyendo los datos y aplicando la ley del seno

https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/proportions.html

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Despejamos a y b respectivamente

𝑎

𝑠𝑒𝑛42°=

22

𝑠𝑒𝑛63°

𝑎 =22 ∗ 𝑠𝑒𝑛42°

𝑠𝑒𝑛63°= 16.52𝑐𝑚

𝑏

𝑠𝑒𝑛75°=

22

𝑠𝑒𝑛63°

𝑏 =22 ∗ 𝑠𝑒𝑛75°

𝑠𝑒𝑛63°= 23.84𝑐𝑚

Teorema del coseno

Teorema del coseno OJO VER VÍDEO https://www.youtube.com/watch?v=CYHWl_7dIdw

La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluido son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse.

La ley de los cosenos establece:

c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab* cos C .

b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac* cos B

a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc* cos A .

Ejemplo 1: Dos lados y el ángulo incluido-LAL

Dado a = 11, b = 5 y C = 20°. Encuentre el lado y ángulos faltantes.

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎. 𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐶 se sustituyen los valores

𝑐2 = (11)2 + (5)2 − 2 ∗ 11 ∗ 5 ∗ cos 20 ° efectuamos los cálculos (USE LA CALCULADORA EN RADIANES)

https://www.youtube.com/watch?v=CYHWl_7dIdwhttps://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/triangles.htmlhttps://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/law-of-sines.html

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ACTIVIDAD A DESARROLLAR N° 1

Fecha de Entrega: 04/05/2021

Resolución de Problemas

1. Resolver los siguientes problemas aplicando el teorema del seno.

a) Observa el dibujo y calcula la distancia a la que se encuentra la cima de la montaña.

𝐶 = √121 + 25 − (110 ∗ 0.93)=6.52 tomando la raíz cuadrada Para encontrar los ángulos faltantes, ahora es más fácil usar la ley de los senos.

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senA=

5

senB=

6.52

sen20°

5

senB=

6.52

sen20° despejamos senB

senB =5∗sen20°

6.52= 0.26 tomamos el arcoseno(*)

𝐚𝐫𝐜 𝐬𝐞𝐧(𝐬𝐞𝐧𝐁) = 𝐚𝐫𝐜 𝐬𝐞𝐧(𝟎. 𝟐𝟔) = 𝟏𝟓. 𝟐𝟎°

𝐁 = 𝟏𝟓. 𝟐𝟎°

Luego A=180°-(15.20°+20°)=180°-35.2°=144,8°

(FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS)

Si necesitamos buscar el ángulo α de una función utilizaremos la siguiente nomenclatura: en la calculadora aparece en algunos casos 𝐬𝐞𝐧−𝟏, 𝐜𝐨𝐬−𝟏, 𝐭𝐠−𝟏

(*) Ver vídeo https://www.youtube.com/watch?v=hUuG-7_PcdY

Función trigonométrica Inversa (nomenclatura) para buscar el ángulo

𝐬𝐞𝐧𝛂 = 𝐚 𝛂 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝐚

𝐜𝐨𝐬𝛂 = 𝐚 𝛂 = 𝐚𝐫𝐜 𝐜𝐨𝐬 𝐚

𝐭𝐠𝛂 = 𝐚 𝛂 = 𝐚𝐫𝐜 𝐭𝐠 𝐚

𝐬𝐞𝐜𝛂 = 𝐚 𝛂 = 𝐚𝐫𝐜 𝐬𝐞𝐜 𝐚

𝐜𝐬𝐜𝛂 = 𝐚 𝛂 = 𝐚𝐫𝐜 𝐜𝐬𝐜 𝐚

𝐜𝐭𝐠𝛂 = 𝐚 𝛂 = 𝐚𝐫𝐜 𝐜𝐭𝐠 𝐚

https://www.youtube.com/watch?v=hUuG-7_PcdY

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b) De acuerdo a la siguiente figura las distancias entre las palmeras BC y AC son respectivamente es:

2. Resolver aplicando la ley del coseno. Debe calcular el lado que falta y los ángulos. Recuerde que puede aplicar simultáneamente la ley del seno y usar la propiedad “la suma de los ángulos interiores de un triángulo suma 180° ”.

a) Resuelve los siguientes triángulos, de los que se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

b) Resuelve los siguientes triángulos, de los que se conocen dos lados y el

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ángulo comprendido entre ellos.

INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN – ACTIVIDAD N° 1

Aspectos a Evaluar

Puntaje Puntaje Obtenido

Seguimiento de instrucciones 2

Realiza los problemas en forma ordenada 2

Resuelve problemas de la vida cotidiana utilizando el teorema del seno.

8

Resuelve triángulos aplicando la ley del coseno 8

Total 20 Ptos

11

CONTENIDO N° 2 Tema (Contenido): Identidades trigonométricas Estrategia Evaluativa:

Resolución de Ejercicios Ponderación:

25 % = 5 Pts


Identidades para la Suma y diferencia de ángulos Seno de la suma de dos ángulos :

Seno del ángulo resta:

Coseno de la suma de dos ángulos

cos(𝛼 + 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑐𝑜𝑠𝛽 − 𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑠𝑒𝑛𝛽 Coseno de la diferencia de dos ángulos

cos(𝛼 − 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑠𝑒𝑛𝛽 Tangente de la suma de ángulos.

𝑡𝑔(𝛼 + 𝛽) =𝑡𝑔𝛼 + 𝑡𝑔𝛽

1 − 𝑡𝑔𝛼. 𝑡𝑔𝛽

Tangente de la diferencia de ángulos.

tg(α − β) =tgα − tgβ

1 + tgα. tgβ

Ejemplos 1:

Sean dos ángulos, α=30º y β=60º. Las razones trigonométricas de su ángulo suman: Seno del

ángulo suma (30º+60º):

𝑠𝑒𝑛(30° + 60°) = 𝑠𝑒𝑛30°. 𝑐𝑜𝑠60° + 𝑐𝑜𝑠30°. 𝑠𝑒𝑛60°

𝑠𝑒𝑛(30° + 60°) =1

2∗

1

2+

√3

2∗

√3

2 se sustituyen los valores

𝑠𝑒𝑛(30° + 60°) =1

4+

3

4=

4

4= 1 = 𝑠𝑒𝑛90°

cos(30° + 60°) = 𝑐𝑜𝑠30°. 𝑐𝑜𝑠60° − 𝑠𝑒𝑛30°. 𝑠𝑒𝑛60° se sustituyen los

valores.

cos(30° + 60°) =√3

2∗

1

2−

1

2∗

√3

2=

√3

4−

√3

4= 0 = 𝑐𝑜𝑠90°

Tg(30°+60°)=tg90° La tangente de 90°=±∞ (la tangente no está definida)

https://www.universoformulas.com/matematicas/trigonometria/razones-trigonometricas-angulo-resta/

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Fecha de Entrega: 04/05/2021 1. Demostrar las siguientes identidades: (verifique que el lado izquierdo es igual

al lado derecho)

𝑠𝑒𝑛(45° + 𝑥) =√2

2(𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥)

Usar: 𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑠𝑒𝑛𝛽

cos(𝜋 + 𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑥 Usar 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑐𝑜𝑠𝛽 − 𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑠𝑒𝑛𝛽

Identidades para ángulos dobles y ángulos medios

Seno del ángulo doble:

Coseno del ángulo doble:

𝒄𝒐𝒔(𝟐𝜶) = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜶 Tangente del ángulo doble:

𝒕𝒈(𝟐𝜶) =𝟐𝒕𝒈𝜶

𝟏 − 𝒕𝒈𝟐𝜶

Seno del ángulo medio:

Coseno del ángulo mitad:

𝐜𝐨𝐬 (𝛂

𝟐) = ±√

𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝛂

𝟐

Tangente del ángulo a la mitad:

𝐭𝐠 (𝛂

𝟐) = ±√

𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝛂

𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝛂

https://www.universoformulas.com/matematicas/trigonometria/razones-trigonometricas-angulo-doble/https://www.universoformulas.com/matematicas/trigonometria/razones-trigonometricas-angulo-mitad/

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2.- Demostrar las siguientes identidades:

𝑡𝑔 (𝜋

2− 𝑥) = −𝑐𝑡𝑔𝑥 Escribir la tangente como

𝑡𝑔 (𝜋

2+ 𝑥) =

𝑠𝑒𝑛(𝜋

2−𝑥)

𝑐𝑜𝑠(𝜋

2−𝑥)

Usar 𝑠𝑒𝑛(𝛼 − 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑐𝑜𝑠𝛽 − 𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑠𝑒𝑛𝛽 𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑠𝑒𝑛𝛽

𝑐𝑠𝑐 (𝜋

2− 𝑥) = 𝑠𝑒𝑐𝑥 Escribir la cosecante como

𝑐𝑠𝑐 (𝜋

2− 𝑥) =

1

𝑠𝑒𝑛(𝜋

2−𝑥)

Usar 𝑠𝑒𝑛(𝛼 − 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑐𝑜𝑠𝛽 − 𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑠𝑒𝑛𝛽


Aspectos a Evaluar


Resuelve cada uno de los ejercicios en forma ordenada siguiendo las instrucciones

2

demuestra identidades aplicando identidades para la suma y diferencia de ángulos

16

Escribe la solución en forma adecuada 2

Total 20 Ptos

14

CONTENIDO N° 3 Tema (Contenido): Operaciones Algebraicas con funciones

trigonométricas Estrategia Evaluativa:

Resolución de Ejercicios Ponderación:

25 % = 5 Pts


Operaciones Algebraicas con funciones trigonométricas Para iniciar el estudio de las expresiones que involucran las funciones trigonométricas, se estudiaran la suma, la resta la multiplicación. Suma y resta de expresiones trigonométricas

Para resolver operaciones de suma y resta de expresiones que involucran las funciones trigonométricas se deben agrupar y reducir los términos semejantes. Ejemplos: Resolver las siguientes operaciones

a) 𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝟑𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝟓𝒄𝒐𝒔𝒙 = se agrupan los términos semejantes

𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝟑𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝟓𝒄𝒐𝒔𝒙 = ahora se reducen los términos semejantes (1 + 3)𝑠𝑒𝑛𝑥 + (1 + 5)𝑐𝑜𝑠𝑥 = 4𝑠𝑒𝑛𝑥 + 6𝑐𝑜𝑠𝑥

b) 𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 + 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 − 𝟓𝒕𝒂𝒏𝒙 + 𝟒𝒕𝒂𝒏𝒙 − 𝟑𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 = se agrupan los términos

semejantes

𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 − 𝟓𝒕𝒂𝒏𝒙 + 𝟒𝒕𝒂𝒏𝒙 + 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 − 𝟑𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 = ojo: 𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 ≠ 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝑡𝑎𝑛2𝑥 − 𝑡𝑎𝑛𝑥 − 2𝑠𝑒𝑐2𝑥 recuerda signos diferentes se restan (-5+4)=-1 (1-3)=-2

c) 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝟑𝒔𝒆𝒏𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝒙 = se agrupan los términos semejantes

ahora se reducen los términos semejantes

recuerda signos diferentes se restan (1-3)=-2 −𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝒙

d) 𝟑

𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 +

𝟏

𝟐𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙 −

𝟏

𝟑𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙 = se agrupan los términos semejantes

𝟑

𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 −

𝟏

𝟑𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 +

𝟏

𝟐𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙 =

ahora se reducen los términos semejantes recuerda signos diferentes se restan

𝟑

𝟒−

𝟏

𝟑=

𝟗 − 𝟒

𝟏𝟐=

𝟓

𝟏𝟐

15

𝟏

𝟐+ 𝟏 =

𝟏 + 𝟐

𝟐=

𝟑

𝟐

𝟓

𝟏𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 +

𝟑

𝟐𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙

Multiplicación de expresiones trigonométricas

Para multiplicar expresiones que involucran funciones trigonométricas, se aplican las propiedades de la potenciación y la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición.

a) (𝑠𝑒𝑛𝑥)(𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑒𝑛2𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 b)𝑐𝑜𝑠2𝑥(𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) = 𝑐𝑜𝑠2𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 propiedad distributiva

se aplican las propiedades de la potenciación multiplicación de potencias de igual base 𝑎𝑛. 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚

= 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 Factorización de Expresiones con funciones trigonométricas. Es posible factorizar expresiones que involucran funciones trigonométricas mediante los mismos métodos que se utilizan en la factorización de polinomios. Factor Común Es necesario involucrar un factor que aparezca en todos los términos de la expresión y aplicar la propiedad distributiva. Ejemplos: Factorizar las siguientes expresiones:

a) 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒆𝒍 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒎ú𝒏 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒔𝒆𝒏𝒙

𝒔𝒆𝒏𝒙. (𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒃) 𝟓𝒕𝒂𝒏𝟐𝟐𝒙 + 𝟐𝟓𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 = 𝒆𝒍 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒎ú𝒏 𝒆𝒔 𝟓𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 el 5 divide al 5 y al 25 𝟓𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙(𝒕𝒂𝒏𝒙𝟐 + 𝟓) 𝒄)𝟒𝒔𝒆𝒄𝟑𝒙. 𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 − 𝟐𝒔𝒆𝒄𝟒𝒙. 𝒕𝒂𝒏𝟑𝒙 = 𝒆𝒍 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒎ú𝒏 𝒆𝒔 𝟐𝒔𝒆𝒄𝟑𝒙. 𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 𝟐𝒔𝒆𝒄𝟑𝒙. 𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙(𝟐 − 𝒔𝒆𝒄𝒙. 𝒕𝒂𝒏𝒙)

Diferencia de cuadrados. La diferencia de los cuadrados de dos expresiones que involucra expresiones trigonométricas es igual a la suma por la diferencia de las expresiones. Ejemplos: Factorizar las siguientes expresiones.

a) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 = (𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝒙)(𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝒙) recuerda 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 =

(𝒂 + 𝒃). (𝒂 − 𝒃)

b) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙. (𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙) factor común

𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = (𝒂 + 𝒃). (𝒂 − 𝒃) =𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙. (𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝒙). (𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝒙)

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Resolución de Ejercicios

1.Resolver las siguientes Adiciones y sustracciones.

a) −𝟔𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝟏𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝟓𝒄𝒐𝒔𝒙 =

b) 𝟏

𝟖𝒔𝒆𝒏(𝟒𝒙) + 𝒔𝒆𝒏(𝟒𝒙) +

𝟓

𝟒𝒄𝒐𝒔𝒙 −

𝟑

𝟖𝒄𝒐𝒔𝒙 =

2.-Resolver los siguientes productos: a)𝟒𝒕𝒂𝒏𝒙. (𝒕𝒂𝒏𝒙 + 𝒕𝒂𝒏𝟑𝒙)

𝒃)𝒄𝒐𝒔𝒙. 𝒔𝒆𝒏𝒙)(𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙. 𝒔𝒆𝒏𝒙)

3. Factorizar las siguientes expresiones: a)𝒄𝒐𝒕𝟒𝒙 − 𝟏𝟔𝒄𝒐𝒕𝟐𝒙. 𝒄𝒔𝒄𝟒𝒙 (factor común) b)𝒄𝒐𝒕𝟐𝒙 − 𝟏𝟔𝒄𝒔𝒄𝟒𝒙Diferencia de cuadrados

𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = (𝒂 + 𝒃). (𝒂 − 𝒃)


Aspectos a Evaluar


Resuelve los ejercicios de forma ordenada, clara y precisa siguiendo instrucciones

2

Resuelve adiciones y sustracciones de expresiones trigonométricas

6

Resuelve Productos de expresiones trigonométricas aplicando el procedimiento adecuado en cada caso.

6

Factoriza expresiones trigonometrías sacando factor común y por diferencia de cuadrados.

6

Total

20 Ptos

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CONTENIDO N° 4 Tema (Contenido): Números Complejos Estrategia Evaluativa: Cuestionario Ponderación:

25 % = 5 Pts


Introducción Los algebristas de los siglos xv y xvi, al resolver ecuaciones de segundo grado del

tipo x2 – 4x + 13 = 0 y llegar a la expresión 𝑥 =4±√−36

2= decían: No es posible extraer la raíz

cuadrada de un número negativo. Por tanto, la ecuación no tiene solución. Pero en algún momento los algebristas se decidieron a operar con estas expresiones como si

se tratara de números reales: Y seguían operando con √−1 como si se tratara de un número real.

En el siglo XVII ,Leibnitz, dijo que “ √−1 es una especie de anfibio entre el ser y la nada.” Fue

en el año 1777 cuando Euler le dio a √−1 el nombre de i (por imaginario). El número imaginario i, operado elementalmente con los reales, dio lugar a los números complejos. Su representación gráfica, pasando de la recta real al plano complejo (Gauss, finales del siglo xviii), acabó de darles la entidad necesaria para que fueran plenamente aceptados.

¿Cómo se maneja √−1 ? Dijimos que "los algebristas del xvi decidieron operar con √−1 como si se trata de un número real". Vamos a hacer como ellos: operar este "extraño personaje” consigo mismo y con los números reales sido las reglas de las operaciones entre números

Extraer fuera de la raíz Observa cómo se extraen números de la raíz: = √−16= √16 .√−1 = ±4. √−1 pero (√−1) = 𝑖 entonces .4. √−1=±4. 𝑖

Potencias de i

De la definición de raíz cuadrada, es lógico que: 𝑖2 = (√−1)2

= −1

𝑖1 = 𝑖 𝑖3 = 𝑖2. 𝑖 = −1. 𝑖 = −𝑖

𝑖4 = 𝑖2. 𝑖2 = (−1). (−1) = 1 A partir de la quinta potencia 𝑖5 los resultados se repiten en periodos de cuatro. Así, a para calcular el valor de una potencia de i con exponente mayor a cuatro se procede así:

Se divide el exponente de la potencia entre cuatro y se expresa de la forma 4n+r, donde n es el cociente y r es el residuo de la anterior división.

Para calcular el resultado se aplica las propiedades de la potenciación, teniendo en cuenta las potencias básicas de i.

Ejemplos:

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Calcular a) 𝑖13 = 𝑖4.3+1 pues 13=4.3+1 =𝑖4.3. 𝑖1 por la propiedad 𝑎𝑛. 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 =(𝑖4)3. 𝑖1 por la propiedad (𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛.𝑚 = (1)3. 𝑖 Reemplazando las potencias básicas = 𝑖 Resolviendo las operaciones indicadas.

b) 𝑖11 = 𝑖4.2+3 pues 11=4.2+3 = 𝑖4.2. 𝑖3 por la propiedad 𝑎𝑛. 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 =(𝑖4)2. 𝑖3 por la propiedad (𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛.𝑚 =(1)2. (−𝑖) Reemplazando las potencias básicas = −𝑖 Resolviendo las operaciones indicadas

c) Resolver las operaciones indicadas: 3𝑖5 − 12𝑖7 − 4𝑖6 + 2𝑖8 = 3𝑖 − 12(𝑖) − 4(−1) + 2(1) calculo de las potencias de i

=3𝑖 + 12𝑖 + 4 + 2 =15𝑖 + 6 = 6 + 15𝑖

Números Complejos

El conjunto de números complejos está formado por los números de la forma 𝑎 + 𝑏𝑖 este se nombra con la letra ℂ. Es decir

ℂ = {𝑎 + 𝑏𝑖 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎, 𝑏 ∈ ℜ𝑒 𝑖 = √−1}

Todo número real puede ser escrito como un número complejo de la forma 𝑎 + 0𝑖 = 𝑎 por tanto un nuemeo Real es un número Complejo, luego ℜ ⊂ ℂ De la misma manera, todo número imaginario puro puede ser escrito como un número complejo de la forma 0 + 𝑏𝑖 = 𝑏𝑖, por tanto el conjunto de números complejos contiene a los números imaginarios puros

19

.

Ejemplos: Hallar el conjugado de los siguientes números complejos Si 𝑍 = 3 + 5𝑖 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑧̅ = 3 − 5𝑖 es el conjugado de Z.

20

Si 𝑍 = −4 + 2𝑖 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑧̅ = −4 − 5𝑖

Ejemplo 2: Identificar en cada número complejo la parte real y la parte imaginaria.

a. 𝟗 − √−𝟏𝟔 = 𝟗 − 𝟒𝒊 𝒑𝒖𝒆𝒔√−𝟏𝟔 = √𝟏𝟔. √−𝟏 = 𝟒𝒊 𝒍𝒖𝒆𝒈𝒐 𝒍𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆 𝒓𝒆𝒂𝒍

Es 9 y la parte imaginaria – 𝟒𝒊

b) √𝟐𝟓 = 𝟓 + 𝟎𝒊 𝒑𝒖𝒆𝒔 √𝟐𝟓 = 𝟓, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆 𝒓𝒆𝒂𝒍 𝒆𝒔 𝟓 𝒚 𝒍𝒂 𝒊𝒎𝒂𝒈𝒊𝒏𝒂𝒓𝒊𝒂 𝟎

Ejemplo: expresar en forma cartesiana los siguientes números complejos:

a) 𝟓𝒊 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒓 𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒂𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝟎 + 𝟓𝒊 luego la expresión cartesiana es (0,5) b) 𝟐 − 𝟑𝒊 𝒔𝒖 𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏 𝒄𝒂𝒓𝒕𝒆𝒔𝒊𝒂𝒏𝒂 𝒆𝒔(𝟐, −𝟑) c) 𝟗 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒓 𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒂𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝟗 + 𝟎𝒊, 𝒍𝒖𝒆𝒈𝒐 𝒔𝒖 𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏 𝒄𝒂𝒓𝒕𝒆𝒔𝒊𝒂𝒏𝒂 𝒆𝒔(𝟗, 𝟎)

Representación Cartesiana de los números Complejos

Para representar un número complejo, es conveniente expresarlo en forma cartesiana, de tal

manera que la primera componente se ubica en el eje real, y la segunda componente en el eje

imaginario.

El Módulo o norma de un número complejo:

𝒁 = 𝒂 + 𝒃𝒊 𝒔𝒆 𝒅𝒆𝒏𝒐𝒕𝒂 |𝒁| es la distancia que hay desde el origen del plano complejo hasta la pareja ordenada (a,b)

21

|𝒁|𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

Donde |𝑍| = √𝑎2 + 𝑏2 si 𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2

Ejemplos: Hallar la norma de los siguientes números complejos

a) 𝑧 = −3 + 2𝑖

Con 𝑎 = −3 𝑦 𝑏 = 2 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 |𝑍| = √(−3)2 + (2)2 = √9 + 4 = √13

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).

.

Los números imaginarios puros tienen argumento de 90 grados si b es mayor que 0 o 270 grados si b es menor que 0 (lógicamente b nunca será igual a 0 porque no sería imaginario puro). Así que i=1π/2 y -i=3π/2.

En cambio los números reales tienen argumento de 0 grados si a es mayor que 0 o 180 grados si a es menor que cero.

|𝑍|

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OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS La suma, la resta y la multiplicación de números complejos se realizan siguiendo las reglas de las operaciones de los números reales y teniendo en cuenta que i 2 = -1. Suma y Diferencia de números complejos. Para sumar o restar números complejos se suman o restan, respectivamente, las partes reales y las partes imaginarias.

Ejemplos: Resolver las siguientes operaciones

a) (−3 + √−4) + (2 − √−9 )= (−3 + 2𝑖) + (2 − 3𝑖)

=(−3 + 2) + (2𝑖 − 3𝑖) =−1 − 𝑖

b) 3

5+ (

1

10−

1

2𝑖) = (

3

5+ 0𝑖) + (

1

10−

1

2𝑖) = (

3

5+

1

10) + (0𝑖 −

1

2𝑖) =

7

10−

1

2i

c)(2 − 5𝑖) − (−3 − 6𝑖) = 2 − 5𝑖 + 3 + 6𝑖 = (2 + 3) + (−5𝑖 + 6𝑖) = 5 + 𝑖

Multiplicación de números complejos

Para multiplicar dos números complejos se procede así:

Primero se aplica la propiedad distributiva

Luego se resuelven las potencias de i

Finalmente se reducen los términos semejantes

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Cuestionario

A continuación, se presentan una serie interrogantes las cuales debe resolver para seleccionar la respuesta correcta, encierre la respuesta correcta en un círculo (debe dejar los cálculos indicados, en caso contario la pregunta tendrá solamente la mitad de la nota). 2 puntos cada una

1.- El conjugado del siguiente número complejo 𝒁 = −𝟐 − 𝒊 es igual a:

a) 𝒁 = 𝟐 + 𝒊 b) 𝒁 = −𝟐 + 𝒊

c) 𝒁 = −𝟐 − 𝒊

Ejemplos: a) (5 + 2𝑖)(3 − 4𝑖) = 5(3 − 4𝑖) + 2𝑖(3 − 4𝑖)𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎

=5.3 − 5.4𝑖 + 2𝑖. 3 − 2𝑖. 4𝑖 𝑠𝑒 𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟é𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 =15 − 20𝑖 + 6𝑖 − 8𝑖2 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 =15 − 20𝑖 + 6 − 8(−1) 𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑖2 = −1 =15 − 20𝑖 + 6𝑖 + 8 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 =23 − 14𝑖

División de números complejos

Para dividir dos números complejos se multiplican el dividendo y el divisor por el conjugado del divisor. Luego se resuelven las operaciones indicadas

𝑠𝑖, 𝑧, 𝑚 ∈ ℂ 𝑐𝑜𝑛 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑦 𝑚 = 𝑐 + 𝑑𝑖 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:

𝑧

𝑚=

𝑎+𝑏𝑖

𝑐+𝑑𝑖=

(𝑎+𝑏𝑖)

(𝑐+𝑑𝑖)=

(𝑎+𝑏𝑖)(𝑐−𝑑𝑖)

(𝑐+𝑑𝑖)(𝑐−𝑑𝑖) 𝑐𝑜𝑛 𝑐 𝑜 𝑑 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 0

Ejemplo:

a) 3−2𝑖

1+𝑖=

3−2𝑖

1+𝑖.

1−𝑖

1−𝑖 se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del

denominador

= 3(1 − 𝑖) − 2𝑖(1 − 𝑖)

12 − 𝑖2 𝑎𝑙 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2

=3.1−3.𝑖−2𝑖.1+2𝑖.𝑖

1−(−1)=

3−3𝑖−2𝑖+2𝑖2

2=

3−3𝑖−2𝑖+2(−1)

2=

1−5𝑖

2

b)5+3𝑖

2𝑖

=5 + 3𝑖

2𝑖.−2𝑖

−2𝑖 𝑠𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟

=−10𝑖 − 6𝑖2

−4𝑖2= 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠

=−10𝑖−6(−1)

−4.(−1) 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑖2 = −1

6−10𝑖

4=

3−5𝑖

2 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑦 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛

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2.-El valor de la incógnita en la siguiente ecuación 𝒚𝟐 + 𝟗 = 𝟎 es: a) 𝒚 = ±𝟑𝒊 b) 𝒚 = ±𝟗 c) no se puede calcular 3.-En que caso qué barco se encuentra más cerca del tesoro, justifica tu respuesta utilizando la norma de un número complejo.

a) El barco C está más cerca del tesoro b) El barco B está más cerca c) Los barcos A y B se encuentran más cerca del tesoro

4.-Al calcular 𝒊𝟏𝟕 obtenemos: a) 1 b)-i c) i

5.-Al realizar la siguiente operación entre números complejos (𝟕 − 𝟔𝒊) + (𝒊 + 𝟒) = a) 𝟏𝟏 − 𝟓𝒊 b) 𝟖 − 𝟐𝒊 c) 𝟏𝟏 + 𝟕𝒊 6.-La expresión que hace verdadera la igualdad (𝟕 − 𝟒𝒊) − ___ = 𝟏𝟑 − 𝟖𝒊 a) (𝟔 − 𝟒𝒊) b)(−𝟔 + 𝟒𝒊) c)(𝟒 + 𝟔𝒊) 7.-Al efectuar la multiplicación de números complejos (−𝟐 − 𝟑𝒊). (𝟔 − 𝒊) = obtenemos: a) – 𝟏𝟓 − 𝟏𝟔𝒊 b) – 𝟏𝟔 + 𝟏𝟓𝒊 c) −𝟗 − 𝟐𝟎𝒊

8.- Al efectuar la división de los siguientes números complejos 𝟏𝟒−𝒊

𝒊 se obtiene:

a)−𝟏𝟒𝒊 − 𝟏 b)𝟏𝟒𝒊 + 𝟏 c)−𝟏𝟒𝒊 + 𝟏 9.- Al Expresar 𝒛 = −𝟐 + 𝟐𝒊 en forma trigonométrica obtenemos:

a) √𝟖𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓° + √𝟖𝒔𝒆𝒏𝟒𝟓°𝒊

b) 𝟐√𝟐𝒔𝒆𝒏𝟏𝟑𝟓° + 𝟐√𝟐𝒄𝒐𝒔𝟏𝟑𝟓°

c) √𝟐𝒄𝒐𝒔𝟏𝟑𝟓° + 𝟐√𝟐𝒔𝒆𝒏𝟏𝟑𝟓°

10.El argumento del siguiente número complejo 𝒛 = −√𝟐 + √𝟐𝒊es igual a: a) 𝜽 = 𝟒𝟓° 𝒃) 𝜽 = 𝟏𝟑𝟓°

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𝒄) 𝒏𝒐 𝒔𝒆 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓


Aspectos a Evaluar


El cuestionario es el instrumento de evaluación 2 PTS C/U

Total 20 Ptos

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