Unidad i Prog. Dinamica

Irma Estrada P. 1

UNIDAD 1. PROGRAMACIN DINMICA

1.1 Caractersticas de los Problemas de Programacin Dinmica

1.2 Ejemplos de modelos de Programacin Dinmica 1.3 Programacin Dinmica Determinstica 1.4 Programacin Dinmica Probabilstica 1.5 Uso de Programas de Computacin

Ejercicios

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1.1 CARACTERSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE P. D.

El procedimiento general de resolucin de problemas usando la Programacin Dinmica, (P.D.) se plantea diviendo el problema en etapas, y se analiza mediante un modelo matemtico, usando una programacin de anlisis recursivo de cada una de las etapas del problema, que va operando en orden inverso, es decir comenzando por la ltima etapa y pasando en cada iteracin a la etapa antecesora. El anlisis de la primera etapa finaliza con la obtencin del ptimo del problema.

La Programacin Dinmica, no slo tiene sentido aplicarla por razones de eficiencia, sino porque adems, presenta un mtodo capaz de resolver de manera flexible problemas, cuya solucin ha sido abordada por otras tcnicas.

Donde tiene mayor aplicacin la Programacin Dinmica es en la resolucin de problemas de optimizacin. Este tipo de problemas se pueden presentar con distintas soluciones, cada una con un valor para cada una de las etapas, y lo que se desea es encontrar la solucin de valor ptimo (mximo o mnimo) del problema en general.

Richard Bellman cientfico matemtico, es el creador de la modelacin matemtica, que es la parte medular de la programacin Dinmica.

La teora fundamental de la PD (Programacin Dinmica) es el principio de optimalidad basado en el principio de Richard Bellman, "Una solucin ptima tiene la capacidad que cualquiera que sea el estado inicial y la decisin inicial, las decisiones para las etapas posteriores deben constituir una poltica ptima con respecto al estado resultante de la primera decisin". Esto quiere decir que las decisiones involucradas desde una etapa en adelante, slo dependen del estado inicial de la etapa, y no de las decisiones previas.

Aunque este principio parece evidente, no siempre es aplicable y por tanto es necesario verificar que se cumple para el problema que se est planteando. Para que un problema pueda ser resuelto por esta tcnica ha de cumplir dos condiciones:

1. La solucin al problema ha de ser alcanzada a travs de una secuencia de decisiones, una en cada etapa.

2. Dicha secuencia de decisiones ha de cumplir con el principio de o

3. ptimalidad.

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De manera general, el diseo de un algoritmo de Programacin Dinmica consta de los siguientes pasos:

A) Planteamiento de la solucin como una sucesin de decisiones y verificacin de que sta cumple el principio de ptimalidad.

B) Definicin recursiva de la ecuacin.

C) Clculo del valor de la solucin ptima mediante una tabla, en donde se almacenan soluciones a problemas parciales para reutilizar los clculos.

D) Construccin de la solucin ptima, haciendo uso de la informacin contenida en la tabla anterior.

Para trabajar con los modelos de Programacin Dinmica se puede desarrollar un algoritmo usando un lenguaje cientfico de programacin tambin haciendo uso de un software que puede ser el WINQSB, SOLVER, GINO LINDO etc.

Las caractersticas de los problemas de Programacin Dinmica son:

1. El problema se divide en etapas y se puede resolver de la etapa inicial hasta llegar a la ltima etapa de la ltima etapa a la etapa inicial.

2. Cada etapa n se relaciona con la siguiente etapa n+1 3. Se calcula una poltica ptima para cada etapa n 4. La ltima etapa n-m desencadena la decisin final del problema

TERMINOLOGA

N: nmero de etapas(n=1,@, N).

n: etiqueta de la etapa actual

Sn: estado actual para la etapa n.

Xn: variable de decisin para la etapa n.

Xn*: valor ptimo de Xn.

Cn(Xn): contribucin en la etapa actual, tambin llamado como pn(Xn)

Fn (Sn, Xn): contribucin a la funcin objetivo.

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Fn *(Sn)= Fn (Sn, Xn*): Max o Min {Fn (Sn, Xn)+Fn*+1(Sn- Xn)}

Quiere decir Costo o Utilidad

= Contribucin etapa n + Contribucin etapa anterior

1.2.-EJEMPLOS DE MODELOS DE PROGRAMACIN DINMICA

La programacin dinmica trabaja con modelos matemticos que se desarrollan para la optimizacin de recursos disponibles dentro de una organizacin.

Algunos ejemplos comunes son:

1. Como seleccionar a los proveedores de acuerdo a los costos que estos representan, al tiempo en que otorgan el servicio.

2. Como optimizar un plan de crecimiento de acuerdo a una restriccin de presupuesto o espacio.

3. Como aumentar la confianza en el uso de equipo para que este no falle, que la probabilidad de fallo sea el mnimo

4.- Como determinar la ruta el costo mnimo en una trayectoria de nodos en una red.

5.- Como hacer los pedidos de un sistema de inventarios de tal manera que el costo sea mnimo

6.- Cuando conviene reemplazar un equipo

7.- Determinar el costo mnimo en un modelo de inventarios probabilsticos

8.- Procesos de decisin de cadenas de MARKOV

1.3 PROGRAMACON DINMICA DETERMINSTICA.

A continuacin se analizarn los problemas ms comunes dentro de la P.D.

Son modelos matemticos donde todo es conocido, y se trabaja con un modelo matemtico de ecuacin recursiva ver figura 1.1

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Fn (Sn, Xn): Contribucin a la funcin objetivo.

Fn *(Sn) = Fn (Sn, Xn*)

La siguiente ecuacin recursiva se usa en el clculo de los modelos de Programacin Dinmica bsica.

Max o Min {Fn (Sn, Xn) = {Cn(Xn)+Fn*+1(Sn- Xn)} ecuacin 1

Etapa n Etapa n+1

Xn

Fn(Sn, Xn) Cn(Xn) f*n+1(Sn-Xn)

Contribucin = Cn(Xn) +f*n+1(Sn-Xn)

Fig.1.1 Representacin de la ecuacin recursiva de la P. D.

Los problemas se explicarn, paso a paso y se desarrollarn los clculos, los resultados se mostrarn en tablas haciendo la sustitucin en cada etapa de la ecuacin recursiva.1

Problema 1.1

Una compaa poltica se encuentra en su ltima etapa, y las preliminares indican que la eleccin esta pareja, uno de los candidatos tiene suficientes fondos para comprar tiempo de TV por un total de cinco comerciales, en las horas de mayor audiencia en estaciones localizadas en cuatro reas diferentes. Con base en la informacin de las preliminares se hizo una estimacin de los votos adicionales que se pueden ganar en las reas de difusin segn el

1 Hillier Fredericks Liberman Gerald J. Introduccin a la Investigacin de Operaciones, (p. 571) Mxico: Editorial Mc Graw Hill.

Sn Sn-Xn

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nmero de comerciales que se contraten. Estas estimaciones se dan en la tabla siguiente en miles de votos. (En este problema se usa la ecuacin recursiva 1 nicamente hay que notar que aqu el cero existe y es vlido asignar 0 comerciales en algunas de las reas).

Max {Fn (Sn, Xn) = {Cn(Xn)+Fn*+1(Sn- Xn)} ecuacin recursiva 1

Este problema se divide en etapas y consta de 4 etapas relacionadas cada una a cada rea segn los datos del problema.

El clculo se inicia con la ltima etapa n= 4 sustituyendo en la ecuacin:

COMERCIALES REA 1 REA 2 REA 3 REA 4

0 0 0 0 0

1 4 6 5 3

2 7 8 9 7

3 9 10 11 12

4 12 11 10 14

5 15 12 9 16

f*4(0)=0 asignando 0 ( la poltica ptima es asignar 0 recursos en la etapa 4)

f*4(1)=3 asignando 1 ( la poltica ptima es asignar un recursos en la etapa 4)

f*4(2)=7 asignando 2 ( la poltica ptima es asignar dos recursos en la etapa 4)

f*4(3)=12 asignando 3 ( la poltica ptima es asignar tres recursos en la etapa 4)

f*4(4)=14 asignando 4 ( la poltica ptima es asignar cuatro recursos en la etapa 4)

f*4(5)=16 asignando 5 ( la poltica ptima es asignar cinco recursos en la etapa 4)

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Estos resultados se pasan a la tabla siguiente ver fig.1.2

Fig.1.2 Resultados de la etapa

Se contina ahora con la siguiente etapa se calcula la poltica ptima de la etapa 3, N=3 desde 0 hasta 5 comerciales, sustituyendo en la ecuacin:

S4

recursos

F4*(S4)

Poltica ptima

X4*

Decisin ptima

0 0 0

1 3 1

2 7 2

3 12 3

4 14 4

5 16 5

f*3(0)=0 asignando 0 (la poltica ptima es asignar 0 recursos en la etapa 3)

f*3(1)= max 0,1{C3(0)+ f*4(1-0); C3(1)+ f*4(1-1)} = 0+3; 5+0 =5 asignando 1

f*3(2)= max 0,1,2 {C3(0)+ f*4(2-0); C3(1)+ f*4(2-1); C3(2)+ f*4(2-2)} = 0+7; 5+3; 9+0 = 9 asignando 2

f*3(3)= max 0,1,2,3 {C3(0)+ f*4(3-0); C3(1)+ f*4(3-1); C3(2)+ f*4(3-2); C3(3)+ f*4(3-3)} = 0+12;5+7; 9+3;11+0 =12 asignando 0,1,2

f*3(4)= max 0,1,2,3 ,4{C3(0)+ f*4(4-0); C3(1)+ f*4(4-1); C3(2)+ f*4(4-2); C3(3)+ f*4(4-3); C3(4)+ f*4(4-4)} = 0+14; 5+12; 9+7; 11+3 ;10+0 =17 asignando 1

f*3(5)= max 0,1,2,3 ,4,5 {C3(0)+ f*4(5-0); C3(1)+ f*4(5-1); C3(2)+ f*4(5-2); C3(3)+ f*4(5-3); C3(4)+ f*4(5-4); C3(5)+ f*4(5-5)} = 0+16; 5+14; 9+12; 11+7 ;10+3 ; 9+0 =21 asignando 2

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Estos clculos se pasan a la figura 1.3 ver los resultados de la poltica ptima de la etapa 3

Figura 1.3 Resultados de la etapa3

Clculos para la etapa n=2, en esta etapa los recursos son desde cero hasta 5 comerciales

N=3 S3/X3 0 1 2 3 4 5 F3*(X3) X3*

0 0 0 0

1 3 5 5 1

2 7 8 9 9 2

3 12 12 12 11 12 0,1,2

4 14 17 16 19 10 17 1

5 16 19 21 18 15 9 21 2

f*2(0)=0 asignando 0 (la poltica ptima es asignar 0 recursos en la etapa 2)

f*2(1)= max 0,1{C2(0)+ f*3(1-0); C2(1)+ f*3(1-1)} = 0+5; 6+0 =5 asignando 1

f*2(2)= max 0,1,2 {C2(0)+ f*3(2-0); C2(1)+ f*3(2-1); C2(2)+ f*3(2-2)} = 0+9; 6+5; 8+0 = 11 asignando 1

f*2(3)= max 0,1,2,3 {C2(0)+ f*3(3-0); C2(1)+ f*3(3-1); C2(2)+ f*3(3-2); C2(3)+ f*3(3-3)} = 0+12; 6+9; 8+5;10+0 =15 asignando 1

f*2(4)= max 0,1,2,3 ,4{C2(0)+ f*3(4-0); C2(1)+ f*3(4-1); C2(2)+ f*3(4-2); C2(3)+ f*3(4-3); C2(4)+ f*3(4-4)} = 0+17; 6+12; 8+9; 10+5 ;11+0 =18 asignando 1

f*2(5)= max 0,1,2,3 ,4,5 {C2(0)+ f*3(5-0); C2(1)+ f*3(5-1); C2(2)+ f*3(5-2); C2(3)+ f*3(5-3); C2(4)+ f*3(5-4); C2(5)+ f*3(5-5)} = 0+21; 6+17; 8+12; 10+9 ;11+5 ; 12+0 =23 asignando 1

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Estos clculos se pasan a la figura 1.4 ver los resultados de la poltica ptima de la etapa 2

Figura 1.4 Resultados de la etapa 2

Etapa n=1

Siempre que se llega a analizar la ltima etapa, sta se analiza con todos los recursos es decir con los cinco comerciales para este caso particular del problema. Ya que no es necesario iniciar el anlisis desde el recurso cero al recurso 4. Esta respuesta se justifica porque se trata de la ltima etapa que es la etapa 5, para una etapa inicial o intermedia esta regla no se aplica.

f*1(5)= max 0,1,2,3 ,4,5 {C1(0)+ f*2(5-0); C1(1)+ f*2(5-1); C1(2)+ f*2(5-2); C1(3)+ f*2(5-3); C1(4)+ f*2(5-4); C1(5) + f*2(5-5)} = 0+23; 4+18; 7+15; 9+11 ;12+6 ; 15+0 =23 asignando 0

El resultado del clculo de la etapa n=1 se muestra en la siguiente figura 1.5

N=1 S1/x1 0 1 2 3 4 5 F1*(x1) X1* 5 23 22 22 20 18 15 23 0

Figura 1.5 resultados de la etapa 1

N=2 S2/X2 0 1 2 3 4 5 F2*(X2) X2*

0 0 0 0

1 5 6 6 1

2 9 11 8 11 1

3 12 15 13 10 15 1

4 17 18 17 15 11 18 1

5 21 23 20 19 16 12 23 1

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La decisin final del problema la desencadena la ltima etapa es decir la etapa 1, y se lee de la siguiente manera:

Como se tienen cinco comerciales que se van asignar, para la etapa 1 es decir regin 1 la mejor decisin es asignar cero comerciales, y se observa la etapa 2 en la etapa 2 se busca la mejor decisin considerando que se conservan los 5 comerciales por lo que la mejor decisin es asignar 1 comercial, y se observa la etapa 3 pero ahora se tienen cuatro comerciales, se busca la mejor decisin considerando cuatro comerciales y se observa que se deben asignar dos comerciales a la regin 3 es decir la etapa 3, y por ltimo se va a la etapa 4 es decir la regin 4 y nos quedan 2 comerciales por lo que se busca este recurso y se observa que la mejor decisin es asignar estos 2 recursos a la regin 4 en la etapa 4, la figura 1.6 resume la decisin ptima del problema.

rea 1 Etapa 1 0 BENEFICIO 0



rea 4 Etapa 4 3

Comerciales totales 5

BENEFICIO 12

Beneficio total 23

Figura 1.6 resultados de la etapa 1

Problema 2

Se usa la misma ecuacin recursiva 1. La nica diferencia en el problema comparado con el anterior es que aqu el cero no existe y en cada producto hay que hacer una asignacin ms de una.

Una compaa est planeando una estrategia comercializacin de tres nuevos proyectos, que se realizarn de manera inmediata. Como los tres son bastantes diferentes cada estrategia de comercializacin est dedicado a un solo proyecto

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Se disponen de seis millones de pesos y la inversin en cada proyecto deber ser mayor o igual a uno. Determinar cunto invertir en cada proyecto con el fin de maximizar las utilidades totales. La siguiente tabla da el incremento estimado en ganancias para los diferentes proyectos de comercializacin. Los clculos para este problema se desarrollan usando la ecuacin recursiva 1 y los resultados se muestran en la figura 1.7

Max {Fn (Sn, Xn) = {Cn(Xn)+Fn*+1(Sn- Xn)}

Inversin Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3 1 7 4 6 2 10 8 9 3 14 11 13 4 17 14 15

Clculo de la etapa n=3

N=3 F3*(1) 6 asig 1

Desde el recurso 1 hasta el recurso 4

F3*(2) 9 asig 2

F3*(3) 13 asig 3

F3*(4) 15 asig 4

Clculo de la etapa n=2

N=2 S2/x2 1 2 3 4 F2*(x2) X2* 2 a 5 2 10 10 1

3 13 14 14 2 4 17 17 17 17 1,2,3 5 19 21 20 20 21 2

Clculo de la etapa 1

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Resultado final

Proyecto 1 Inversin

3 14 beneficio

Proyecto 2 Inversin 2 08 beneficio

Proyecto 3 Inversin 1 06 beneficio 28 beneficio total

Figura 1.7 resultados del problema 2

MODELO MATEMTICO DETERMINSTICO CON RESTRICCION DE PESO

Este modelo se trabaja con una ecuacin recursiva sumatoria en las etapas a analizar que involucra una restriccin de peso para la carga de un barco espacio en una mochila cuando se tiene restriccin de espacio. La nomenclatura y ecuacin recursiva es la siguiente. (nota: el modelo considera el peso de cada artculo j en cada etapa n)

J= artculo j

Yi = Recurso disponible del estado correspondiente a W

Xj = no. De unidades del artculo j que se pueden asignar, cargar o transportar

Wj = peso del artculo j

Ecuacin recursiva 2 para este modelo

Max {Fn (Sn, Xn) = Fn(Yi)

Fn(Yi) = max {Cn(Xn)+Fn*+1(Yj - WjXj)} ecuacin recursiva 2

La idea bsica es que existen N tipos distintos de artculos que pueden cargarse en una mochila, o que se pueden transportar y cada artculo tiene asociados un peso y un valor. El problema consiste en determinar cuntas unidades de cada

N=1 S1/x1 1 2 3 4 F1*(x1) X1*

6 6 28 27 28 27 28 1,3

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artculo se deben colocar en la mochila para maximizar el valor total. Ntese que este enfoque resulta til para la planificacin del transporte de artculos en algn medio, por ejemplo: carga de un buque, avin, camin etc. Tambin se utiliza este modelo en planificacin de produccin, por ejemplo enrutamiento de la produccin a travs de varias mquinas.

Problema 3.2

Considere que se carga un barco con 3 artculos, cada unidad del artculo tiene un peso w ver tabla siguiente. Determinar la cantidad de carga que pueda cargar el barco si la carga total del barco permitida es de W=6 toneladas. Aqu el cero existe ya que es posible no llevar algn artculo, los datos son:

Etapa n 1 2 3

Artculos j 0 1 2 3

Peso del artculo Wj en toneladas 4 1 2

Beneficio por artculo $70 $20 $40

Restriccin para la carga se puede transportar hasta 6 toneladas

Aplicando la ecuacin recursiva 2

Fn(Yi) = mx {Cn(Xn)+Fn*+1(Yj - WjXj)}

F*3(Yi) = mx {40(X3)+F*4} Anlisis de la etapa 3 Se inicia con la etapa n=3, recursos definidos en la etapa 3 desde 0 a 6 toneladas. Nota no existe la etapa 4 por eso esta parte de la ecuacin en la etapa inicial se hace cero

2 Taha, Hamdy A. Investigacin de Operaciones: Una introduccin.(p. 419). Mxico: Editorial Alfa Omega. 1995.

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En la siguiente tabla se resume la poltica ptima de la etapa3

f*3(0)= Mx .X= 0 ={40X3(0) + 0} = 0 esto quiere decir que se asigna 0 artculos 3 en la etapa 3

f*3(1)= Max .X= 0 ={40X3(0) + 0}, el artculo 3 pesa 2 toneladas por lo que con el recursos de 1 tonelada no es suficiente } = 0 esto quiere decir que se asigna 0 artculos 3

f*3(2)= Max .X= 0,1 ={40X3(0); 40X3(1) +0 } = $40 se asigna 1 artculo 3 en la etapa 3 con un beneficio de $40

f*3(3)= Max .X= 0,1 ={40X3(0); 40X3(1) +0} = $40 se asigna 1 artculo 3 en la etapa 3 con un beneficio de $40

f*3(4)= Max .X= 0,1,2 ={40X3(0); 40X3(1);40X3(2) +0} = $ 80 se asignan 2 artculos 3 en la etapa 3 con un beneficio de $80

f*3(5)= Max .X= 0,1,2 ={40(0); 40(1);40(2) +0} = $ 80 se asignan 2 artculos 3 en la etapa 3 con un beneficio de $80

f*3(6)= Max .X= 0,1 ={40(0); 40(1);40(2);40(3)+ 0} = $ 120 se asignan 3 artculos 3 en la etapa 3 con un beneficio de $120

Y3

Recursos disponible

Beneficio ptimo n = 3 F3(Yi) = mx {40(X3)+F*4}

Asignacin de artculos X3

0 0 0

1 0 0

2 40 1

3 40 1

4 80 2

5 80 2

6 120 3

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Anlisis de la etapa 2

Fn(Yi) = mx {Cn(Xn)+Fn*+1(Yj - WjXj)} en la etapa 2, se suma la poltica ptima de la etapa 3 y se analiza de 0 hasta 6 toneladas de carga

F*2(Yi) = mx {20(X3)+F*3(Yj 1(X3)}

Resultados en la tabla siguiente

f*2(0)= Mx .X= 0 ={20(0) + f*3(0-1(0)} = 0 esto quiere decir que se asigna 0 artculos 2 en la etapa 2

f*2(1)= Mx .X= 0,1 ={20(0) + f*3(1-1(0); 20(1) + f*3(1-1(1) } = 20 el artculo 2 pesa 1 toneladas por lo que con el recursos de 1 tonelada se asigna 1 artculo 2

f*2(2)= Mx .X= 0,1,2 ={20(0) + f*3(2-1(0); 20(1) + f*3(2-1(1); 20(2) + f*3(2-1(2) } = 40 asignando 0, 2

f*2(3)= Mx .X= 0,1,2,3 ={20(0) + f*3(3-1(0); 20(1) + f*3(3-1(1); 20(2) + f*3(3-1(2); 20(3) + f*3(3-1(3) } = 60 asignando 1 3

f*2(4)= Mx .X= 0,1,2,3,4 ={20(0) + f*3(4-1(0); 20(1) + f*3(4-1(1); 20(3) + f*3(4-1(3); 20(4) + f*3(4-1(4) } = 80 asignando 0,2, 4

f*2(5)= Mx .X= 0,1,2,3,4,5 ={20(0) + f*3(5-1(0); 20(1) + f*3(5-1(1); 20(2) + f*3(5-1(2); 20(3) + f*3(4-1(3) + 20(4) + f*3(5-1(4) + 20(5) + f*3(5-1(5) } = 100 asignando 3

f*2(6)= Mx .X= 0,1,2,3,4,5,6 ={20(0) + f*3(6-1(0); 20(1) + f*3(6-1(1); 20(2) + f*3(6-1(2); 20(3) + f*3(6-1(3) + 20(4) + f*3(6-1(4) + 20(5) + f*3(6-1(5) 20(6) + f*3(6-1(6) } = 120 asignando 0,2,4, 6

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Anlisis de la etapa 1

Fn(Yi) = mx {Cn(Xn)+F*n+1(Yj - WjXj)} en la etapa 1, se suma la poltica ptima de la etapa 2 y se analiza de 0 hasta 6 toneladas de carga

F*1(Yi) = mx {70(X2)+F*2(Yj 4(X1)} como se puede analizar estamos en la ltima etapa por lo que nicamente se analizar sta con todos los recursos en este caso 6 toneladas

La ltima etapa desencadena la solucin final del problema, para este caso se tienen soluciones alternativas y estas son:

Explicacin de la solucin 1

En la etapa 1 se cargarn cero productos 1, y sigo conservando las 6 toneladas disponibles y se observa la etapa 2, en la etapa 2 tambin se puede cargar 0 unidades del producto 2 y se pasa a la etapa 3 se observa que se puede

Y2 Recursos disponible

En la etapa 2

Beneficio ptimo n = 3

F*2(Yi) = mx {20(X2)+F*3(Yj-1(X2) }

Asignacin de artculos X2

en la etapa 2

0 0 0

1 20 1

2 40 0,2

3 60 1,3

4 80 0,2,4

5 100 3

6 120 0.2,4,6

f*1(6)= Mx .X= 0,1,2 ={70(0) + f*2(6-4(0); 70(1) + f*2(6-4(1) } = 120 asignando 0 las nicas alternativas para esta situacin es asignar 0,o 1 articulo ya que este artculo uno pesa 4 toneladas y no se pueden cargar 2 ya que la capacidad del barco es limitada.

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asignar 3 unidades del producto 3 y con esto se completan las 6 toneladas (32) ya que el producto 3 pesa 2 toneladas cada uno, con un beneficio de $120.00

Se resume el comentario en las siguientes tablas que involucran todas las soluciones alternativas.

Solucin1

Decisin 1-Asignar Beneficio Peso

0 artculos Tipo 1 0 0


3 artculos Tipo 3 403=120

Total 120

32 = 6 toneladas

Total 6 toneladas

Solucin 2




2 artculos Tipo 3 402=80

Total 120

32 = 6 toneladas

Total 6 toneladas

Solucin 3



4 artculos Tipo 2 80 41=4

1 artculos Tipo 3 40

Total 120

12 = 2

Total 6 toneladas

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Solucin 4



6 artculos Tipo 2 206= 120 61= toneladas

0 artculos Tipo 3 0

Total 120

0

Total 6 toneladas

MODELO DETERMINSTICO DE REDES

Para resolver un problema de redes usando Programacin Dinmica. La red se divide en etapas y se analizan los nodos de atrs hacia delante es decir del nodo J al nodo A, de adelante hacia atrs es decir del nodo A al nodo J, ya que es una ventaja que tiene la programacin dinmica, el problema de la figura siguiente se divide en 4 etapas porque son cuatro mdulos de nodos agrupados, segn se muestra en la red, el modelo matemtico a usar es el modelo determinstico con la siguiente ecuacin recursiva 1, dndole el enfoque de redes.

Cij

Cij = Costo del nodo i al nodo j

Max Mn {Fn (Sn, Xn) = {Cij(Xn)+Fn*+1(Sn- Xn)} ecuacin recursiva 3

F*n (i)= Min {Cij + Fn+1(j)}

Problema 4.

Determinar el costo mnimo de la red del nodo inicial A al nodo final J utilizando Programacin Dinmica, los datos del problema con los costos se da en la siguiente red

i j

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El modelo matemtico que se usa para una red es el siguiente:

Max Min {Fn (Sn, Xn) = {Cn(Xn)+Fn*+1(Sn- Xn)} adaptando la ecuacin

recursiva 1 a la red esta queda de la siguiente manera:

Min Fn (i)= {Cij + Fn+1(j)} ecuacin recursiva 3

n = 4

f*4(H) = min X=J {CJH =5} = 5 conectando J con H

f*4(I) = min X=J {CJI = 6 } = 6 conectando J con I

4 3

2 6 5

7 4 5

15 4 5 4

8 7 4 6 6

5 5 7 4 4

[ n=1 ] [ n=2 ] [ n=3 ] [ n=4 ]

Etapas de la red

A

B

D

C

E

F H

I

G

J

Irma Estrada P.

20

n= 3

f*3(E) = min X= H,I {CHE =3 + f*4(H)= 5 ; CIE = 5 + f*4(I) =6 ; } = 8 conectando E con H al costo mnimo

f*3(F) = min X= H,I {CHF = 4 + f*4(H)= 5 ; CIF = 6 + f*4(I) =6 ; } = 9 conectando F con H al costo mnimo

f*3(G) = min X= H,I {CHG = 7 + f*4(H)= 5 ; CIG = 4 + f*4(I) =6 ; } = 10 conectando G con H al costo mnimo

n = 2

f*2(B) = min X= E,F,G {CEB =4 + f*3(E)= 8 ; CFB = 6 + f*3(F) =9 ; CGB = 2 + f*3(G) = 10 } = 12 conectando B con E , G al costo mnimo

f*2(C) = min X= E,F,G {CEC = 4 + f*3(E)= 8 ; CFC = 5 + f*3(F) =9 ; CGC = 7 + f*3(G) = 10 } = 12 conectando C con E al costo mnimo

f*2(D) = min X= E,F,G {CED = 8 + f*3(E)= 8 ; CFD = 4 + f*3(F) =9 ; CGD = 5 + f*3(G) = 10 } = 13 conectando D con F al costo mnimo

n = 1

f*1(A) = min X= B,C,D {CBA = 7 + f*2(B) ; CCA = 4 + f*2(C) ; CDA = 5 + f*3(G) } ={19; 16; 18} = 16 conectando A con C al costo mnimo

Decisin final del problema, la ltima etapa desencadena la decisin final del problema por lo que la decisin ptima es: La etapa 1 indica que el nodo A se conectar con el nodo C , y se va a la etapa 2 se busca el nodo C que se conectar con el nodo E , y se pasa a la etapa 3, se observa que E conecta con H, y se pasa a la etapa 4 para ver con quien conecta H y se observa que es con el nodo J , por lo que la ruta en la red de costo mnimo para conectar el nodo A al nodo J es : ACEHJ con un costo mnimo de 16 unidades.

Irma Estrada P. 21

Problema 5

MODELO DETERMINSTICO SILVER MEAL. Los modelos de Inventarios

Planteamiento Heurstico (J. APICS, Vol. 14, No. 2, 1972)

Dentro de la Programacin Dinmica se pueden resolver modelos de inventario con demanda variable para T periodos de aqu, se dan valores a T, empezando con T=1hasta que, A(T+1)>A(T) o sea CT(T)*(T+1)>(T+1)*C(T) as para T=1, A(1)=M; A(T+1)= A(2) = (M+F(2))/2 si A(2)>A(1) entonces no conviene comprar en el periodo 1 para el periodo 2 . De otra manera, investigamos. Para T=2. Si (M+F(2)+2F(3))/3 > (M+F(2))/2 no conviene comprar para el tercer periodo desde el primero.

En el modelo clsico de inventarios se supone que la razn de demanda es constante en el tiempo. En algunas situaciones esta suposicin no es vlida, y por tanto el modelo clsico no es aplicable.

Existen mtodos que determinan la solucin ptima (usando Programacin Dinmica); se tiene el algoritmo de Wagner Within para establecer una estrategia de produccin optima, aqu se tratar un mtodo heurstico, que aunque no garantiza la solucin ptima, normalmente da una buena solucin, con la ventaja que requiere menos operaciones. Este mtodo es el Silver- Meal. Y requiere menos clculo que el algoritmo de Wagner Within y se usa para determinar un plan de produccin casi ptimo. Se usa para determinar un plan de produccin cercano al ptimo, el objetivo es minimizar el costo promedio por periodo

Este mtodo fue desarrollado por Silver y Meal y se usa haciendo las siguientes consideraciones.

Costo total de T periodos= costo de pedir + costo de llevar el inventario.

CT = S +C+I*(j-1)*F(j)

Costo total por unidad de tiempo=CT/T. El objetivo es encontrar T que minimice este costo. Para facilitar el anlisis se divide (CT/T). CI, entonces

Irma Estrada P.

22

A(T) = (CT/T)*T = (M + *(j-1)*F(j))/T donde M= S/C*I

Sea:

S = Costo de ordenar

C = Costo de la pieza ($/pieza)

I = Inters sobre el capital ($/$-ao)

M = S/CI

T= Nmero de periodos que va a durar el inventario si se pide en el periodo uno (variable de decisin)

F(T) = Demanda en tiempo T

R = Suma de demandas.

El algoritmo (reglas) consiste en los siguientes pasos:

1) Hgase T = 1, R= F(1), G(1) = M

2) Es T2*F(T+1)>G(T)?

Si, vyase al paso 4

No, vyase al paso 3

3) T = T+1

R = R + F(T)

G(T) = G(T-1) + (T-1)F(T) y regrese al 2

4) Q = R =F(J) desde j=1, hasta T

ste es el lote para los T periodos. Si T es igual al ltimo periodo ya se tienen la solucin. De otra manera vaya al paso 1

EJEMPLO

DEMANDA 10 10 15 20 70 180

TIEMPO 1 2 3 4 5 6

Irma Estrada P. 23

S= $30, C= 1 $/unid.

I = 0.2 $/$-ao, M = S/CI = 150

Solucin al problema

1) T = 1, R = 10, G(1) = 150

2) T2*F(T+1) = 12F(2) = 10

G(1) = 150

Es 10 > 150? No; paso 3

3) T= 2; R = 10 + 10 = 20;

G(2) = G(1) + 1* F(2) = 150+10= 160 regrese a 2

2) T2*F(T+1) = 4*F(3) = 60

G(2) = 160

Es 60 >160? No; paso 3

3) T = 3; R= 35; G(3) = 190

2) T2*F(T+1) = 180

Es 180 >190? No; paso 3

3) T=4; R= 55; G= 250; T2*F(T+1) = 1120

2) Es 1120 >250? Si; por lo tanto la solucin para los primeros cuatro periodos es:

Q1 = R= 10+10+15+20=55

Como todava tenemos periodos que analizar se deber empezar con T = 1 para

DEMANDA 70 180

TIEMPO 1 2

Irma Estrada P.

24

1) T = 1, R = 70, G(1) = 150

2) T2*F(T+1) = 12F(2) = 180

G(1) = 150

Es 180 > 150? Si; paso 4

4) Q2 = R= 70 para T=1 que representa en el anlisis el quinto periodo

Siguiendo el anlisis del problema

DEMANDA 180

TIEMPO 2

En este punto se empieza de nuevo, pero como queda un solo periodo la solucin a partir de aqu es trivial. Y se asume para este ltimo periodo que Q3= 180 unidades.

SOLUCIN : Pedir

Q1 = 55 para los cuatro periodos iniciales

Q2 = 70 para el quinto periodo

Q3= 180 para el sexto periodo

1.4 PROGRAMACIN DINMICA PROBALSTICA.

Este modelo a diferencia del anterior es multiplicativo ya que se trabajan con probabilidades.

La ecuacin recursiva 4 es:

Max o Min {Fn (Sn, Xn) = {pn(Xn)F*n+1(Sn- Xn)} ecuacin 4

pn= probabilidad en la etapa n

Irma Estrada P. 25

Problema 6.3

Tres mquinas debern trabajar con 0,1, 2, o tres componentes. Calcular usando Programacin Dinmica la probabilidad, que maximice la buena marcha de las mquinas de acuerdo a las componentes. La siguiente tabla muestra las probabilidades.

MQUINAS

Se inicia con la etapa 3 y usando la formula recursiva bajo un proceso multiplicativo.

Max Fn (Sn, Xn) = {pn(Xn)Fn*+1(Sn- Xn)}

f*3(0)=0.45 asignando 0 (esta es la poltica ptima de asignar 0 recursos en la etapa 3)

f*3(1)= 0.55 asignando 1 (esta es la poltica ptima de asignar un recursos en la etapa 3)

f*3(2)=0.80 asignando 2 (esta es la poltica ptima de asignar dos recursos en la etapa 3)

f*3(3)=0.98 asignando 3 (esta es la poltica ptima de asignar tres recursos en la etapa 3)

Trabajando la ecuacin recursiva multiplicativa para la etapa 2

3 Prawda, Juan. Mtodos y Modelos de la Investigacin de Operaciones (vol II), Editorial Limusa.

No. De componentes asignados a las mquinas

A B C

0 0.30 0.40 0.45

1 0.55 0.50 0.55

2 0.65 0.70 0.80

3 0.95 0.90 0.98

Irma Estrada P. 26

n = 2

f*2(0)= max 0,1{p2(0) f*3(0-0)} = 0.40 0.45 = 0.18 asignando 0

f*2(1)= max 0,1{p2(0) f*3(1-0); p2(1) f*3(1-1)} = 0.400.55; 0.500.45 = 0.225 asignando 1

f*2(2)= max 0,1,2 {p2(0) f*3(2-0); p2(1) f*3(2-1); p2(2) f*3(2-2)} = 0.400.80;0.500.55; 0.700.45 = 0.32 asignando 0

f*2(3)= max 0,1,2,3 {p2(0) f*3(3-0); p2(1) f*3(3-1); p2(2) f*3(3-2); p2(3) f*3(3-3)} = 0.400.98; 0.500.80; 0.700.55; 0.90 0.45 = 0.405 asignando 3

Trabajando para la etapa 1

En esta etapa ya que es la ltima se analiza el problema con todos los recursos que son hasta 3 componentes. No es necesario analizar de cero 1, 2 recursos.

N= 1

f*1(3)= max 0,1,2,3 {p1(0) f*3(3-0); p1(1) f*3(3-1); p1(2) f*3(3-2); p1(3) f*3(3-3)} = 0.300.405; 0.550.32; 0.650.225; 0.95 0.18 = 0.176 asignando 1

Decisin final del problema.

La decisin final del problema la desencadena la ltima etapa analizada en este caso la etapa 1

ETAPA ASIGNAR CUANTAS

COMPONENTES?

MAQUINA BENEFICIO

1 1 A 0.55

2 0 B 0.40

3 2

COMPONENTES TOTALES 3

C 0.80

PROBABILIDAD MXIMA 0.176

Irma Estrada P. 27

MODELO PROBABILSTICO CON RESTRICCIONES DE PRESUPUESTO

Este modelo de Programacin Dinmica es un modelo probabilstico y con una restriccin de presupuesto. El modelo est representado por una ecuacin recursiva multiplicativa, ya que el objetivo es maximizar la probabilidad de confianza.

F*n(Sj) = Max o Min { pn(Xn)* F*n+1(Sj-Cj(Xn))} ecuacin recursiva 5

Cj(X) presupuesto

Pn = Confiabilidad o probabilidad de que no haya ningn fallo

Problema 7.4

Determinar cuntas unidades paralelas se comprarn para maximizar la confiabilidad a un circuito electrnico, formado por 3 componentes sujeta a un presupuesto de $10,000 pesos. Los datos son:

Probabilidad de funcionamiento

Unidades paralelas Componente 1 Componente 2 Componente 3

1 0.6 0.7 0.5

2 0.8 0.8 0.7

3 0.9 0.9 0.9

Costo en miles

Unidades paralelas Componente 1 Componente 2 Componente 3

1 1 3 2

2 2 5 4

3 3 6 5

4 Hillier Fredericks Liberman Gerald J. Introduccin a la Investigacin de Operaciones, (p. 573). Mxico: Editorial Mc Graw Hill. 2001

Irma Estrada P.

28

Se inicia con n=3 en esta etapa el recurso disponible es el presupuesto disponible desde $2000 a $6000; en este problema el cero no existe ya que se debe asignar por lo menos una unidad paralela ms.

f*3(2000) = max x=1 {p3(Xn) = 0.5} = 0.5 asignando 1 unidad paralela

f*3(3000) = max x=1 { p3 (Xn) = 0.5} = 0.5 asignando 1 unidad paralela

f*3(4000) = max x=1,2 { p3(1) = 0.5; p3(2)=0.7 } = 0.7 asignando 2 unidades paralelas

f*3(5000) = max x=1,2,3 { p3(1) = 0.5; p3(2)=0.7 ; p3(3)=0.9 } = 0.9 asignando 3 unidades paralelas

f*3(5000) = max x=1,2,3 { p3(1) = 0.5; p3(2)=0.7 ; p3(3)=0.9 } = 0.9 asignando 3 unidades paralelas

Etapa n= 2 el presupuesto disponible para esta etapa es de $5000 a $9000

f*2(5000) = max x=1 { p2(1)* F*3(5000- 3000) = 0.70.5= 0.35 } = 0.35 asignando 1 unidad paralela

f*2(6000) = max x=1 { p2(1)* F*3(6000- 3000) } = {0.70.5 } = 0.35 asignando 1 unidad paralela

f*2(7000) = max x=1,2 { p2(1)* F*3(7000- 3000) ; p2(2)* F*3(7000- 5000) } = {0.70.7 ;0.8 0.5} = 0.49 asignando 1 unidad paralela

f*2(8000) = max x=1,2,3 { p2(1)* F*3(8000- 3000) ; p2(2)* F*3(8000- 5000) ;p2(3)* F*3(8000- 6000) } = {0.70.9 ; 0.8 0.5 ; 0.9 0.5 } = 0.63 asignando 1 unidad paralela

f*2(9000) = max x=1,2,3 { p2(1)* F*3(9000- 3000) ; p2(2)* F*3(9000- 5000) ;p2(3)* F*3(9000- 6000) } = {0.70.9 ; 0.8 0.7 ; 0.9 0.5 } = 0.63 asignando 1 unidad paralela

Etapa n= 1 en esta etapa se considera todo el presupuesto que son lo $10,000 ya que se trata de la ltima etapa y es la que desencadena la solucin final del problema:

Irma Estrada P. 29

n=1 presupuesto disponible $10,000

f*1(10000) = mx x=1,2,3 { p1(1)* F*2(10000- 1000) ; p1(2)* F*2(10000- 2000) ;p1(3)* F*2(10000- 3000) } = {0.60.63 ; 0.8 0.63 ; 0.9 0.49 } = 0.504 asignando 2 unidades paralelas

La decisin final del problema se muestra en la siguiente tabla:

etapa componente Asignacin de unidades paralelas

confiabilidad costo

1 1 2 0.8 2000

2 2 1 0.7 3000

3 3 3 0.9 5000

Total 6 unidades 0.504 Presupuesto $10,000.00

La lectura es la siguiente con un presupuesto limitado de $10,000 se comprarn 2 unidades paralelas para el buen funcionamiento de la componente 1, una unidad paralela para la componente 2, y 3 unidades paralelas para la componente 3 y esto arroja una confiabilidad de 50.4% de que el producto no falle.

Irma Estrada P. 30

1.5 USO DE PROGRAMAS DE COMPUTACIN. Usando WINQSBX

Problema 1. Datos del problema ver ventana en el WinQSB

Solucin al problema

Problema 2. Los datos estn dados en el modelo deterministico de redes. Del ejemplo visto anteriormente (problema 4)

Solucin al problema 4 de la ruta mnima.

Irma Estrada P. 31

EJERCICIOS

1. Considere el diseo electrnico que consta de tres componentes principales, el diseo electrnico que consta de tres componentes principales. Los tres componentes estn dispuestos en serie, de manera que la falla de uno de ellos har que falle todo el dispositivo. La probabilidad, de que no haya ninguna falla del dispositivo se puede mejorar a travs de la instalacin de unidades de reserva en cada componente. el diseo requiere el uso de una o dos unidades de reserva, lo que significa que cada componente principal puede incluir hasta tres unidades en paralelo. el capital total disponible es de $800,00 pesos.

A) Determinar la probabilidad si se pone solo una unidad en cada componente. determinar el nmero de unidades usando PD

B) Explicar cul es la mejor decisin y porque.

Los datos son:

COMPONENTE 1 COMPONENTE 2 COMPONENTE 3

2. Para graduarse en el tecnolgico, una alumna de Ing. Industrial necesita pasar al menos uno de los tres cursos que toma este semestre. Esta inscrita en matemticas, estadstica y administracin. El horario de las dems actividades le permite dedicar solo 4 horas de estudio por semana. La probabilidad de que la alumna pase cada materia depende del nmero de horas que dedique a estudiar la . Utilice PD para determinar cuntas horas por semana debe dedicar la alumna al estudio de cada materia. (sugerencia: explique porque maximizar la prob. de pasar al menos una materia es equivalente a minimizar la prob. de no aprobar las tres materias)

KJ P1 C1(CIENTOS) P2 C2 P3 C3

1 0.7 1 0.5 1 0.7 2

2 0.8 3 0.7 2 0.8 3

3 0.9 4 0.9 5 0.9 4

Irma Estrada P. 32

Probabilidades de aprobar el curso

horas de estudio

por semana

matemticas estadstica administracin

0 0.15 0.10 0.20

1 0.25 0.40 0.28

2 0.35 0.32 0.35

3 0.38 0.35 0.45

4 0.25 0.36 0.48

3. Considere que se desea transportar prensas de diferentes pesos en un barco que puede transportar hasta 7 toneladas. Tome en cuenta que puede ser que no se transporten prensas es decir de algn modelo (cero modelos de prensas de algn tipo de modelo existe) Optimizar el uso del barco de acuerdo a maximizar la utilidad. Los datos son los siguientes:

Tipos de Prensas wi(peso ton. por tipo de prensa vi utilidades(en miles)

0 0 0

1 2 750

2 1 850

3 3 990

Irma Estrada P. 33

Bibliografa

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An-Min Chung Linear Programming Edit. Merrill

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Irma Estrada P. 2

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