Unidad IV Metodos Numericos

8/6/2019 Unidad IV Metodos Numericos

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Instituto Tecnológicode Durango

METODOS NUMERICOS



Unidad IV

Ing. Rebeca I. Rincón M.



INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE LAS

DIFERENCIAS FINITAS DE NEWTON

El análisis anterior se puede generalizar en el ajuste de un polinomio de n-ésimo orden alos n+1 puntos. El polinomio de n-ésimo orden es:

Como se hizo anteriormente con las interpolaciones lineales y cuadráticas, se usan los

puntos enl

a eval

uación del

os coeficientes b0 , b1, ... , bn. Se requieren n + 1 puntos para obtener un polinomio de n-ésimo orden: X 0, X1, ... , Xn.

Usando estos datos, con las ecuaciones siguientes se evalúan los coeficientes:b0 = f (X0)b1 = f [X1, X0]

b2 = f [X2, X1, X0]...bn = f [X n, Xn-1, ..., X1, X0]

En donde las evaluaciones de la función entre corchetes son diferencias divididas finitas.



INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE LASDIFERENCIAS FINITAS DE NEWTON

Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita se representa generalmentecomo:

La segunda diferencia dividida finita, que representa la diferencia de dosprimeras diferencias divididas finitas, se expresa generalmente como:

De manera similar, la n-ésima diferencia dividida finita es:

Estas diferencias se usan para evaluar los coeficientes de la ecuación (12), los

cual

es se sustituyen enl

a ecuación (11), para obtener el

pol

inomio deinterpolación:f n (X) = f(X0) + (X-X0) f[X1, X0] + (X-X0)(X-X1) f[X2, X1, X0] +...+ (X-X0)(X-X1)...(X-Xn-1) f[Xn, Xn-1,...,X1, X0]




Al cual se le llama P olinomio de Interpolación con Diferencias Divididas deNewton.

Se debe notar que no es necesario que los datos usados en la ecuación (16)estén igualmente espaciados o que los valores de la abscisa necesariamentese encuentren en orden ascendente, como se ilustra en el ejemplo 3.3

Todas las diferencias pueden arreglarse en una tabla de diferencias divididas,en donde cada diferencia se indica entre los elementos que la producen:

.

i Xi f(Xi) Pr imera Segunda Tercera

0 X0 f(X0) f(X1, X0) f(X2, X1, X0) f(X3, X2, X1, X0)

1 X1 f(X1) f(X2, X1) f(X3, X2, X1)

2 X2 f(X2) f(X3,X2)

3 X3 f(X3)




EJEMPLO 3.3 Usando la siguiente tabla de datos, calcúlese ln 2 con

un polinomio de interpolación de Newton condiferencias divididas de tercer orden:

.

X f(X)

10.0000000

41.3862944

61.7917595

51.6094379




SOLUCIÓN: El polinomio de tercer orden con n = 3, es.

Las primeras diferencias divididas del problema son:

.




Las segundas diferencias divididas son:

La tercera diferencia dividia es:

.




Los resultados para f(X1, X 0), f(X2 , X1, X 0) y f(X3, X2 , X1, X 0)representan los coeficientes b1, b2 y b3 Junto con b0 = f (X0) = 0.0, laecuación da:f 3 (X) = 0 + 0.46209813 (X-1) -

0.0518731 (X-1)(X-4) +0.0078655415 (X-1)(X-4)(X-6)

Arreglando la tabla de diferencias

.

X f [X] f 1 [ ] f 2 [ ] f 3 [ ]

1.0 0.00000000 0.46209813 - 0.051873116 0.0078655415

4.0 1.3862944 0.20273255 - 0.020410950

6.0 1.7917595 0.18232160

5.0 1.6094379



INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE LASDIFERENCIAS FINITAS DE NEWTON Con la ecuación anterior se puede evaluar para X = 2

f 3 (2) = 0.62876869

lo que representa un error relativo porcentual del e% = 9.3%. Nótese que la estructura de la ecuación (16) es similar a la expresión de la serie de Taylor en el sentido

de que los terminos agregados secuencialmente consideran el comportamiento de orden superior de lafunción representada. Estos términos son diferencias divididas finitas, y por lo tanto, representanaproximaciones a las derivadas de orden superior. En consecuencia, como sucede con la serie de

Tayl

or, sil

a función representativa es un pol

inomio de n-ésimo orden, el

pol

inomio interpol

ante de n- ésimo orden bajado en n + 1 llevará a resultados exactos. El error por truncamiento de la serie de Taylor es:

en donde es un punto cualquiera dentro del intervalo (Xi, Xi+1). Una relación análoga del error enun polinomio interpolante de n-ésimo orden está dado por:

En donde es un punto cualquiera dentro del intervalo que contiene las incógnitas y los datos. Parauso de esta fórmula la función en cuestión debe ser conocida y diferenciable. Y usualmente, este no esel caso.




Afortunadamente existe una fórmula alternativa que no requiere conocimientoprevio de la función. En vez de ello, se usa una diferencia dividida finita queaproxima la (n+1 )-ésima derivada:

Rn = f [X, Xn, Xn-1, ... , X1, X0](X-X0)(X-X1)..(X-Xn)

en donde f(X, Xn, Xn-1, ... , X0) es la (n+1 )-ésima diferencia dividida.

Ya que la ecuación (19) contiene la incognita f(X ), ésta no se puede resolver yobtener el error. Sin embargo, si se dispone de un dato adicional f(Xn+1 ), laecuación (19) da una aproximación del error como:

.



POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓNDE LAGRANGE El polinomio de interpolación de Lagrange, simplemente es una reformulación del polinomio de Newton

que evita los cálculos de las diferencias divididas. Este se puede representar concretamente como:

en donde:

En donde denota el "producto de" . Por ejemplo, la versión lineal (n = 1) es:

y la versión de segundo orden es:

al igual que en el método de Newton, la versión de Lagrange tiene un error aproximado dado por:



POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓNDE LAGRANGE

La ecuación (21) se deriva directemente del polinomiode Newton. Sin embargo, la razon fundamental de laformulación de Lagrange se puede comprender

directamente notando que cada términoL

i(X) será 1en X=Xi y 0 en todos los demas puntos.

Por lo tanto, cada producto Li(X) f(Xi) toma un valor de

f(Xi) en el

punto Xi .P

or consiguientel

a sumatoria detodos los productos, dada por la ecuación (21) es elúnico polinomio de n-ésimo orden que pasaexactamente por los n+1 puntos.



POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓNDE LAGRANGE

E jemplo 3.4 Úsese un polinomio de interpolación de Lagrange de

primer y segundo orden para evaluar ln 2 en base alos datos:

.

i X f(X)

0 1.0 0.000 00001 4.0 1.386 2944

2 6.0 1.791 7595



POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓNDE LAGRANGESolución: El polinomio de primer orden es:

y, por lo tanto, la aproximación en X = 2 es

de manera similar, el polinomio de segundo orden se desarrolla como:

Como se expresaba, ambos resultados son similares a los que se obtuvieron previamente usando la interpolaciónpolinomial de Newton.

En resumen, para los casos en donde el orden del polinomio se desconozca, el método de Newton tiene ventajas debido aque profundiza en el comportamiento de las diferentes fórmulas de orden superior. Además la aproximación del error dadapor la ecuación (20), en general puede integrarse fácilmente en los cálculos de Newton ya que la aproximación usa unadiferencia dividida. De esta forma, desde el punto de vista de cálculo, a menudo, se prefiere el método de Newton.

Cuando se va a llevar a cabo sólo una interpolación, ambos métodos, el de Newton y el de Lagrange requieren de unesfuerzo de calculo similar. Sin embargo, la versión de Lagrange es un poco más fácil de programar. También existen casosen donde la forma de Newton es mas susceptible a los errores de redondeo. Debido a esto y a que no se requiere calcular yalmacenar diferencias divididas, la forma de Lagrange se usa, a menudo, cuando el orden del polinomio se conoce a priori .



COMENTARIOS ADICIONALES

Hay dos temas adicionales que se deben de mencionar: Lainterpolación con los datos igualmente espaciados y la Ex tra polación.

Ya que los métodos de Newton y de Lagrange son compatibles con losdatos espaciados en forma arbitraria, se debe de preguntar por que se

aborda el

caso del

os datos igual

mente espaciados.A

ntes del

advenimiento de las computadoras digitales, estos métodos tuvierongran utilidad en la interpolación de tablas con datos igualmenteespaciados. De hecho se desarrolla un esquema conocido como tablade diferencias divididas para facilitar la implementación de estastécnicas.

Sin embargo, y debido a que las fórmulas son un subconjunto de losesquemas de Newton y Lagrange compatibles con la computadora y yaque se dispone de muchas funciones tabulares como rutinas debiblioteca, la necesidad de puntos equidistantes se fue perdiendo. Enparticular, se puede emplear en la derivación de fórmulas deintegración numérica que emplean comunmente datos equidistantes.



COMENTARIOS ADICIONALES

La extrapolación es el proceso de calcular un valor de f(X) que caefuera del rango de los puntos base conocidos X0, X1, ... , Xn. Lainterpolación mas exacta usualmente se obtiene cuando las incógnitascaen cerca de los puntos base.

Obviamente, esto no sucede cuandol

as incógnitas caen fuera del

rango, y por lo tanto, el error en la extrapolación puede ser muygrande. La naturaleza abierta en los extremos de la extrapolaciónrepresenta un paso en la incógnita porque el proceso extiende la curvamás allá de la región conocida. Como tal, la curva verdadera divergefácilemte de la predicción. Por lo tanto, se debe tener cuidado extremoen casos donde se deba extrapolar.

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