Unidad Tematica 2 Asociacion de Dos Variables

8/4/2019 Unidad Tematica 2 Asociacion de Dos Variables

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UNMSM FCM EAPE CURSO: ESTADISTICA II-semestre 2011-2______________________________________________________________________

Profesoras del curso: Mg. Ana Mara Crdenas y Lic. Caridad Huaroto Pgina 1

UNIDAD TEMATICA 2: ANALISIS DE RELACION O ASOCIACION ENTRE DOSVARIABLES. (Correspondiente a las semanas 4, 5 y 6 del slabo)

INTRODUCCIN

INDEPENDENCIA DE DOS VARIABLES X e Y

Uno de los propsitos del estudio de variables bidimensionales es analizar la relacin o asociacinexistente entre ellas (X , Y). Antes de hacer el anlisis de asociacin, debemos saber si las variablesson independientes. Si no son independientes, posiblemente estn relacionadas o asociadas y elsiguiente paso es determinar en qu medida estn asociadas, o sea cul es el grado o intensidad de larelacin o asociacin.La independencia de variables se determina tericamente y tambin grficamente.

DEFINICIN DE INDEPENDENCIA

1) Dados los datos bidimensionales ( xi , y i), donde i =1, 2, 3, , n valores de la variablebidimensional (X, Y), organizados en una tabla de contingencia de k filas por r columnas,presentando sus frecuencias absolutas conjuntas (f i j) y frecuencias absolutas marginales de X (f i . ),frecuencias absolutas marginales de Y (fj .),diremos que X e Y son independientes si:

n

fff

ji

ij

.. *= o h i j = h i . * h . j

2) Haciendo uso de las distribuciones de frecuencias condicionales de Y /X o de X / Y presentadasrespectivamente en tablas denominadas perfil fila y perfil columna con sus grficoscorrespondientes:

a) Dados (xi , y j) valores de X e Y respectivamente, si para cada i fijo las frecuencias condicionalesde X i / Y = y j ,( h ij) ,son iguales para todo j se dice que X e Y son independientes.b) Dado (xi , y j) valores de X e Y respectivamente, si para cada j fijo las frecuencias condicionalesde Y j / X= x i ,(h j

i), son iguales para todo i se dice que X e Y son independientesEJEMPLO 1.-Tabla 1: Tabla de frecuencias absolutas conjuntas y absolutas marginales

X i / Y j BA ME AL f. a. m.X:f i .

AP 40 30 20 90

DE 35 15 10 60NO 30 15 5 50f. a. m.Y:f . j

105 60 35 n = 200

Usando la definicin dada en (1), debemos comparar cada frecuencia conjunta con el producto delas frecuencias marginales:f11 = (105x90) / 200=47.25 f21 = (105x60 / 200 = 31.5 f31 = (105x50) / 200 = 26.25f12 = (60x90) / 200 = 27.0 f22 = (60x60) / 200 = 18.0 f32 = (60x50) / 200 = 15.0f13 = (35x90) / 200 = 15.75 f23 = (35x60) / 200 = 10.5 f33 = (35x50) / 200 = 8.75Como f

ij ( f

i .f

. j) / n ,

)y,(x ji , entonces X e Y no son independientes.

Tabla 2: Tabla de frecuencias relativas condicionales de X i / Y= y j : h ij (en %)


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Xi : Opinin Xi / Y 1= BA

h ij = 1

Xi / Y 2 = ME

h ij = 2

Xi / Y 3 = AL

h ij = 3

AP 38.1 50 57.1DE 33.3 25 28.6NO 28.6 25 14.3TOTAL 100.0 100 100.0

Segn 2 (a) y usando la tabla de perfiles columna:

Para i = AP (dado) , las h ij toman los siguientes valores para todo j : 38.1, 50.0, 57.1.

Para i = DE (dado), las h ij toman los siguientes valores para todo j : 33.3, 25, 28.6.

Para i = NO (dado), las h ij toman los siguientes valores para todo j : 28.6, 25, 14.3.

Tal como se observa, numricamente, las frecuencias condicionales de cada fila de la tabla sondiferentes; por lo tanto, las variables X e Y no son independientes.

Grficamente: haciendo el grfico de perfiles columna, se apreciar en cada barra correspondiente alnivel socioeconmico la diferencia de frecuencias para las categoras de opinin respectivas,indicando sto que las variables no son independientes.

Tabla 3: Tabla de frecuencias relativas condicionales de Y j / X = x i : h ji (en %)

Segn 2 (b) y usando la tabla de perfiles fila:

Para j = BA (dado) , las h ji toman los siguientes valores para todo i: 45, 58.3, 60.

Para j = ME (dado) , las h ji toman los siguientes valores para todo i: 33, 25, 30.

Para j = AL (dado) , las h ji toman los siguientes valores para todo i: 22, 16.7, 10.

Tal como se observa, numricamente, las frecuencias condicionales de cada columna de la tabla sondiferentes; por lo tanto, las variables X e Y no son independientes.Grficamente: haciendo el grfico de perfiles fila, se apreciar en cada barra de opinin la diferenciade frecuencias para las categoras de nivel socioeconmico respectivas, indicando sto que lasvariables no son independientes.Consideremos un ejemplo de independencia de variables X e Y.- A 470 operarios de una plantaindustrial se registro informacin respecto al tipo de medio de transporte (pblico o privado)utilizado para concurrir a su centro de trabajo y el gnero (hombre, mujer).M.Transporte/Gnero Hombre Mujer Marginal filaPblico 90 (40) 135 (60) 225Privado 206 (40) 309 (60) 515Marginal columna 296 (40) 444 (60) 740

Observamos que los hombres representan el 40% del total de operarios y las mujeres el 60 %.Tambin observamos que tanto para los 225 operarios que utilizan el transporte pblico como para

Y j : Nivel de instruccin BA ME AL TOTALYj / X 1 = AP

h i = 145.0 33 22.0 100

Yj / X 2 = DEh i = 2

58.3 25 16.7 100

Yj / X 3 = NOh i = 3

60.0 30 10.0 100


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los 515 que utilizan el transporte privado, la distribucin de porcentajes de hombres y mujeres siguesiendo 40% y el 60 % respectivamente. Es decir la distribucin de gnero de los operarios de laplanta industrial no se ve modificada por el hecho de considerar por separado a los operarios queutilizan uno u otro tipo de transporte; se mantiene constante dichos porcentajes. Podramos afirmarque la distribucin de la variable gnero para este conjunto de operarios es independiente de lavariable medio de transporte utilizado.Tambin se muestra la independencia de dichas variables al comparar la odds para la variablegnero del conjunto de los operarios con la que obtenemos dentro de cada tipo de transporte que esde 1.5 mujeres por cada hombre ( odds = 1.5 = 444/296= 309/206 = 135 / 90).Se traduce los ODDS como ventaja, posibilidad, razn y se puede definir como la posibilidadde ocurrencia de un suceso respecto a su posibilidad de no ocurrencia, de ah que en el numerador seconsidera la frecuencia de individuos que presentan el suceso (n) y en el denominador la frecuenciade individuos que no la presentan (m); por lo tanto representa el nmero de individuos en los que seproduce el suceso por cada uno que no lo presenta. Los odds varan de: 0 odds


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(existencia, magnitud,sentido)Yule estableci lo siguiente para una tabla de contingencia 2 x 2

22111221

22111221

**

**

ffff

ffff

+

=

11 + = 0 significa relacin nula entre X e Y = 1 significa asociacin perfecta entre X e Y

EJEMPLO 4A 100 universitarios extranjeros se les pregunt sobre la religin que profesan (Y) y su raza (X),obtenindose los siguientes resultados:

TABLA 4Yj

Xi Catlico Protestante Total

Sajn 0 1 1

Latino 99 0 99

Total 99 1 100

de Yule = 99x1 0x0 / 99x1 + 0x0 = 99 / 99 =1Existe una relacin positiva perfecta entre X e YTodo catlico es latino y todo latino es catlicoTodo protestante es sajn y todo sajn es protestante.

Qu sucede si se invierte el orden de las filas de la tabla de contingencia 2 x 2 ?

TABLA 5Yj


Latino 99 0 99

Sajn 0 1 1

Total 99 1 100

de Yule = 0 x 0- 99x1 / 0 x 0 + 99x1= -99 / 99 = -1Existe una relacin negativa perfecta entre X e YRelacin negativa entre ser catlico y ser sajn y entre ser sajn y ser catlico.Relacin negativa entre ser latino y ser protestante y entre ser protestante y ser latino.

El alumno podr hacer la representacin grfica de los datos de ambas tablas y notar la relacinexistente.

NOTANo todo valor de de Yule = 1 indica relacin perfecta


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EJEMPLO 5TABLA 6

YjXi Catlico Protestante Total

Sajn 30 40 70

Latino 75 0 75

Total 105 40 145

= 75x40 30x0 / 75x40 + 30x 0 = 3000/3000 =1Existe una clara relacin positiva entre ser catlico y ser latino y entre ser latino y sercatlico, y todo protestante es sajn y no todo sajn es protestante.

2.- MEDIDAS DE ASOCIACIN BASADAS EN EL ESTADSTICO CHI CUADRADO o JI

CUADRADO:2

(Propuesto por Karl Pearson 1900)

Con el smbolo 2

se denota a un estadstico cuya distribucin de probabilidad se aproxima a ladistribucin de probabilidad llamada chi cuadrado, a medida que se aumenta ms y ms el tamao dela muestra. Dicho estadstico se define como sigue:

= =

k

i

r

j ji

ji

ij

n

ff

n

fff

1 1 ..

2

..

*

*

:entoncestericas,oesperadassfrecuencia,

ymuestraladeobservadassfrecuencia,hacemosSi

..

e

ji

oji

fn

*ff

ff

=

=

2 =

jie

eo

f

ff

,

)(

Si para todo (i, j) f0 = fe , X e Y son independientesa) COEFICIENTE PHI de Pearson: (ambas variables dicotmicas) (existencia,magnitud)Se usa cuando X e Y son dicotmicas y estn medidas en escala nominal

= n/2 0 < < 1 = 0 las variables son independientes

= 1 las variables no son independientesCuando 0 < < 1 , es difcil interpretar su resultado. Uno de los criterios es:

30 Nivel bajo de asociacin.0.30 < < 0.50 Nivel medio de asociacin0.50 Nivel alto de asociacin

NOTA: No se recomienda usar para tablas de contingencia de orden mayor de 2 x 2.

EJEMPLO 6X: Raza: sajn, latino Y: Religin: catlico, protestante


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TABLA 7: Frecuencias observadas TABLA 8: Frecuencias esperadasYj


Sajn 20 70 90

Latino 100 10 110

Total 120 80 200

YjXi Catlico Protestante Total

Sajn 54 36 90

Latino 66 44 110

Total 120 80 200

2 = (20-54)2 / 54 + (70-36)2 /66 + (100-66)2/66 + (10-44)2/44 = 97.306

= n/2 = (97.306 / 200)1/2 = 0.6975

Existe una ligera dependencia entre religin y raza, los catlicos tienden a ser latinos y los latinostienden a ser catlicos. Los protestantes tienden a ser sajones y los sajones tienden a ser protestantes.

b) COEFICIENTE DE CONTINGENCIA C de Pearson (existencia,magnitud)

nC

+=

2

2

0 C < 1 C prximo a 0 indica ausencia de relacinC prximo a 1 indica existencia de relacin

NOTA: Para tablas cuadradas el valor mximo de C es

C max =t

t 1

Donde t es el mnimo entre el nmero de filas y el nmero de columnas de la tabla de contingencia.

Tabla de 2 x 2 C max = 2/1 = 0.707Tabla de 3 x 3 C max = 3/2 = 0.816

NOTA: Se recomienda usar este coeficiente en tablas de contingencia de cualquier tamao.

Algunos prefieren usar el coeficiente de contingencia ajustado: C aj

C aj = C / C max

EJEMPLO 7:

X: Despenalizacin del aborto: en contra, indiferente, a favorY: Implantacin de la pena de muerte: en contra, indiferente, a favor

TABLA 8: Frecuencias observadas: fo

Despenalizacin del aborto

Implantacin de la pena de muerte

En contra Indiferente A favor Total


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En contra 161 436 121 718Indiferente 209 678 132 1019A favor 118 144 155 417Total 488 1258 408 2154

TABLA 9: frecuencias esperadas: fe

Despenalizacin del aborto

Implantacin de la pena de muerte

En contra Indiferente A favor Total

En contra 162.6667 419.3333 136 718

Indiferente 230.8598 695.1263 193.0139 1019A favor 94.4735 243.5404 78.9861 417Total 488 1258 408 2154

2 = (161-162.6667)2/ 162.6667 + .+ (155-78.9861)2 / 78.9861= 154.9282

nC

+=

2

2

C = [154.9282 / (154.9282 + 2154 )]1/2

= 0.2590C aj = C / C max = 0.2590/0.816 = 0.3174Se puede decir que entre X e Y hay ausencia de relacin, pues los valores de C son muy pequeos,no son significativos.

c) COEFICIENTE DE CONTINGENCIA V DE CRAMER (variables pluricotmicas, f*c)(existencia,magnitud)

V =)1(

2

tn

donde t = mnimo (#filas, #columnas)

0 V 1 V = 0 ausencia de relacinV = 1 existencia de relacin perfecta

NOTA: Se usa en tablas de contingencia de cualquier dimensin, siendo similar al coeficiente cuando la tabla es de 2 x 2

Considerando los datos del ejemplo 7: t = min (3, 3) = 3

V =)13(2154

9282.154

= 0.1896


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Un resultado muy conservador respecto al anterior, no hay relacin entre la implantacin de la penade muerte y despenalizacin del aborto.

3.- MEDIDAS DE ASOCIACIN BASADAS EN LA REDUCCIN PROPORCIONAL DELERROR DE PREDICCION: RPELas medidas de asociacin estudiadas nos proporcionan informacin sobre el grado de dependenciade dos variables categricas; en cambio las medidas del error de prediccin fueron ideadas paracuantificar y describir la reduccin proporcional del error en una clasificacin.Estas medidas descansan sobre las especificaciones de las probabilidades marginales de fila ymarginales de columna para cada una de las variables X e Y de la tabla de contingencia.Al poseer informacin de una variable, se pretende predecir el valor de la otra variable y nospreguntamos El conocimiento que tenemos de una variable modifica la prediccin que podramosrealizar a priori de la otra variable? Cul es la magnitud del error que se cometera en unaprediccin de este tipo?Si el error de prediccin es muy elevado, no resultar conveniente utilizar la informacin disponible

de una variable para predecir el valor de la otra. Se sabe que la tasa del error de prediccin estntimamente ligada al concepto de la intensidad de la asociacin, En la medida en que es menor laintensidad, mayor ser la tasa de error de prediccin, y a la inversa, cuanto mayor sea la intensidadde la asociacin, menor ser la tasa de error en la prediccin.Un valor igual a cero nos indicara que no existe disminucin en la proporcin del error deprediccin respecto a la que realizaramos a priori desconociendo cualquier informacin de lavariable predictora. Por el contrario un valor igual a 1 indicara que la reduccin proporcional delerror de prediccin es mxima.

Aqu debemos distinguir dos casos: cuando la relacin es asimtrica y cuando es simtrica. En amboscasos se usar el coeficiente (lambda) de Kruscal.

CASO 1: En relaciones asimtricasEs lo mismo predecir los valores de una variable X a partir de los valores de la variable Y que a lainversa?. La tasa de reduccin proporcional del error no tiene por qu ser la misma segn ladireccionalidad en que se realiza la prediccin en la clasificacin.

Esta medida se basa en la reduccin proporcional del error de prediccin cuando se utilizan losvalores de la variable independiente para predecir los valores de la variable dependiente.

Tomando X como variable respuesta: X = f (Y) o Y XFactor respuesta

independiente dependiente

(columnas) (filas)X = j p ij

max p i .max / (1 - p i .

max )

Tomando Y como variable respuesta: Y = f ( X ) o X YFactor respuestaIndependiente dependiente

Y = i p ijmax p . j

max / (1 - p .jmax )

CASO 2: En relaciones simtricas


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Una versin simtrica de lambda , apropiada para el caso en que no se distingue ninguna variablecomo respuesta, es un promedio de las dos anteriores.Es decir, cuando X R Y o X Y, usamos:

= i p ijmax + j p ij

max - p i .max - p .j

max / 2 - p i .max - p .j

max

0 < < 1 = 0 (Mximo error en la prediccin) indica ausencia de relacin= 1 (No existe error de prediccin) indica presencia de relacin

EJEMPLO 8 : Adaptamos el ejemplo 7 para mostrar el clculo de lambda

1.- Clculo de las probabilidades p ij: Se divide cada fij entre n

2.- Clculo de las probabilidades marginales p i . y p .j : Se divide fi . entre n y f.j entre n

TABLA N 10 (p i j)

Despenalizacin

del aborto (X)

Implantacin de la pena de muerte (Y)

En contra Indiferente A favor Total pi.

En contra 0.0747 0.2024 0.0562 0.3333

Indiferente 0.0970 0.3148 0.0613 0.4731

A favor 0.0548 0.0669 0.0720 0.1936

Total p.j 0.2266 0.5840 0.1894 1.0000

Para el caso: X = f(Y) o Y XDespenalizacin del aborto = f( Implantacin de la pena de muerte)

x = 0.0970 +0.3148 + 0.0720 0.4731 / 1 0.4731 = 0.0203(suma de mximos de cada columna - mximo de filas marginales)

Para el caso: Y = f ( X ) o X YImplantacin de la pena de muerte = f(Despenalizacin del aborto)

y = 0.2024 + 0.3148 + 0.0720 0.5840 / 1 0.5840 = 0.0123

(suma de mximos de cada fila - mximo de columnas marginales)Para el caso: X R Y X Y

= 0.4838+0.5892 0.4731 0.5840 / 2 0.4731 0.5840 =(1.073 1.057) / 0.7429 = 0.016 / 0.7429 = 0.0169

Podemos concluir que X e Y no estn relacionados.

MEDIDAS DE ASOCIACIN DE VARIABLES CATEGRICAS ORDINALES

MEDIDAS CONCORDANTES


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Cuando se considera la ordenacin de individuos en dos variables X e Y , es posible determinarcomparativamente si el par es concordante ( cuando un sujeto con puntuacin alta en X tambintiene una puntuacin alta en Y) o discordante ( cuando un sujeto con puntuacin alta en X obtieneuna puntuacin baja en Y)El par se dice empatado si ambos sujetos obtienen la misma puntuacin en X e Y.

NOTACIONES:C: Nmero total de pares concordantesD: Nmero total de pares discordantes.E: Nmero total de pares empatadosa i j : frecuencia total de casos concordantesb i j : frecuencia total de casos discordantes

a) El estadstico a usar es gamma de Goodman y Kruskall ( 1979) para el caso simtrico:(existencia, magnitud,direccin)

= C D / C + D-1 < < 1

Si D = 0 = 1 (cuando todos los pares son concordantes)y si C = 0 = -1 (cuando todos los pares son discordantes)

Cuando = 0 hay ausencia de relacin = 1 existe relacin positiva perfecta = -1 existe relacin negativa perfecta

NOTA: Se usa para tablas de contingencia de cualquier dimensin, pero es apropiado para tablas decontingencia cuadradas ( igual nmero de filas y columnas)

Clculo de gamma:

C = ij fi j a i j donde a i j = k>il>j fkl

D = ij fi j b i j donde b i j =k>il


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EJEMPLO 9: Se seleccion una muestra de 45 personas y se registr su nivel social (X): alto,medio, bajo y su nivel econmico (Y): alto, medio, bajo, cuyos resultados se muestran acontinuacin.

TABLA N 11

Nivelsocial, X

Nivel econmico, YBajo Medio Alto f i .

Bajo 7 6 1 14

Medio 3 9 4 16Alto 2 5 8 15f . j 12 20 13 45

Clculo de C: pares concordantes

a i j fi j a i j totala 11 = k>1l >1 fkl = k=2, 3l=2, 3 fkl

= f22+ f23+ f32+ f33 = 9 + 4 + 5 + 8 = 26 7 (26) 182a 12 = k>1l >2 fkl = k=2, 3l=3 fkl

= f23 + f33 = 4 + 8 = 12 6 (12) 72a 13 = 0 1 (0) 0a 21 = 5 + 8 = 13 3 (13) 39a 22 = 8 9 (8) 72a 23 = 0 4 (0) 0a 31 = 0 2 (0) 0a 32 = 0 5 (0) 0a 33 = 0 8 (0) 0

El nmero total de pares concordantes es: C = 182 + 72 + 39 + 72 = 365.

Clculo de D: pares discordantesb i j fi j b i j totalb 11 = k>1l1l


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valor bastante alto, si nos atenemos a los resultados obtenidos ordinariamente con variables de estetipo.

NOTA: Cuando se cambia el orden de las categoras de una variable, cambia el signo de .

Clculo de pares empatados: EEx = {14(13)+16(15)+15(14)} / 2 = 316E y = {12(11)+20(19)+13(12)} / 2 = 334Ex y = {7(6)+6(5)+1(0)+3(2)+9(8)+4(3)+2(1)+5(4)+8(7)} / 2 = 120

b) Estadtico Tau-b de Kendall : bEs una variante de

b = C D / { n(n-1)/2 - Ex } { n(n-1)/2 Ey }

-1

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