UNIDADES DIDACTICAS DE BACHILLERATO A … · repasar las soluciones y para la croquización y otro...

UNIDADES DIDACTICAS DE BACHILLERATO A

DISTANCIA

DIBUJO TÉCNICO I 1º de Bachillerato

REALIZADO POR: Ana M. Lamilla Puente I.E.S. ALTAIR Getafe

BASADO EN EL LIBRO: DIBUJO TÉCNICO I-EDITORIAL SM

J.ÀLVAREZ /J.L.CASADO / Mª. D. GÓMEZ

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UNIDAD 1: INTODUCCIÓN AL DIBUJO TÉCNICO PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD El Dibujo Técnico requiere el uso de unos materiales e instrumentos para poder

ejecutarlo luego debemos conocerlos así como sus características y manejo.

De su correcta utilización del compás, la escuadra y el cartabón, la regla y los

diferentes lápices y estilógrafos, depende la calidad, limpieza y perfección del acabado

evaluable en esta asignatura.

CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD

Indicarte el mínimo material necesario de dibujo:

Lápiz, en principio se necesitan dos: uno de dureza HB(semiblando) para

repasar las soluciones y para la croquización y otro de dureza 2H o

3H(semiduro) para el trazado con instrumental. El uso de portaminas de

diferentes grosores es práctico pero acuérdate de usar las diferentes durezas.

Compás, mejor que tenga el husillo que sirve para abrir o cerrar los brazos y

nos da mayor precisión en el trazado y el manejo es más fácil.

Regla milimetrada, el tamaño más conveniente es de unos 30 o 50 cm.

Escuadra y cartabón, mejor no milimetradas y sin escalón, marca

recomendada Faber-Castell de unos 21 cm.

Papel para dibujo lineal satinado, tamaño DIN-A4

Transportador de ángulos y plantilla de curvas es un material opcional

Otros como sacapuntas, mejor metálico y goma blanca para mina blanda y

dura para mina dura

CRITERIO DE EVALUACIÓN

• Distingue las propiedades y características de los materiales descritos.

• Utiliza de forma correcta; especialmente los lápices el compás, la escuadra y el

cartabón.

• Demuestra, mediante ejercicios prácticos, agilidad y destreza en su manejo.

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ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN

1. En una construcción grafica cualquiera ¿qué tipo de mina utilizarías, de la serie H

o de la serie B? Explica la respuesta.

2. Los formatos de papel A3 y A4, son los más utilizados en este curso,

especialmente el último. ¿Cuáles son sus medidas?

3. Clasifica los tipos de soportes que se utilizan en dibujo técnico

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SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN

1. En una construcción grafica cualquiera ¿qué tipo de mina utilizarías, de la serie H

o de la serie B? Explica la respuesta.

Las minas de la serie H son duras, y las de la serie B blandas.

El trazado general debe hacerse siempre con mina dura, incluyendo líneas y

construcciones auxiliares; sólo el resultado debe repasarse con mina blanda.

Las minas duras generan un trazado más fino, proporcionando a los dibujos mayor

precisión y limpieza, además dejan menos restos de grafito sobre el papel, por lo que hay

menos riesgo de que el dibujo se ensucie.

2. Los formatos de papel A3 y A4, son los más utilizados en este curso,

especialmente el último. ¿Cuáles son sus medidas?

Las medidas del formato A4 son 210 por 297 mm.

Las del formato A3 son 297 por 420 mm.

3. Clasifica los tipos de soportes que se utilizan en dibujo técnico.

Opacos: alisados, texturados, satinados, brillantes

Semi-opacos: vegetal, poliéster

Transparentes: acetato

Pautados: milimetrado, isométrico

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UNIDAD 2: TRAZADOS FUNDAMENTALES EN EL PLANO

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD

En esta unidad se estudian trazados geométricos fundamentales en el plano necesario

como base para iniciar el estudio de esta asignatura y poder conocer sus fundamentos

teóricos para luego poder aplicarlos en trabajos más complejos.

Importancia en la identificación de los diferentes lugares geométricos. De la realización

de trazados geométricos de paralelismo y perpendicularidad entre rectas, así como de

resolver operaciones con segmentos, ángulos de la circunferencia y potencia.


APARTADO 1- PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO

Concepto de lugar geométrico: es el conjunto de puntos que gozan de una propiedad

común.

Mediatriz de un segmento: es el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a los

extremos definidores del segmento son iguales o se define también, como la recta

perpendicular que divide al segmento en otros dos iguales.

Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando ángulos rectos (90º) y son

paralelas cuando no se cortan en un punto propio, es decir, el punto de intersección se

encuentra en el infinito.

QUE TENEMOS QUE APRENDER

A) Rectas perpendiculares y paralelas con ayuda de escuela y cartabón.

B) Rectas perpendiculares y paralelas con ayuda del compás.

- Perpendicular a una recta por un punto M perteneciente a ella.

- Perpendicular una recta por un punto P exterior a ella.

- Perpendicular a una semirrecta por su extremo.

- Paralela a una recta r a una instancia dada d.

- Paralela a una recta r por un punto dado P exterior.

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AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO

Observa que todos los ejercicios están basados en el concepto de mediatriz, así si

queremos hacer una perpendicular por un punto P que pertenece a la recta r o es exterior a

ella, pinchamos en el punto y con un radio auxiliar cortamos a r, en dos puntos AB. La

solución es la mediatriz de AB. La perpendicular a una semirrecta por su extremo es igual si

prolongamos r.

APARTADO 2 - ÁNGULOS Bisectriz de un ángulo: es el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a los lados

del ángulo son iguales o también, recta que divide a un ángulo en otros dos iguales.


- Tipos de ángulos

- Construcción de algunos iguales

- Suma diferencia de ángulos.

- Bisectriz con el vértice fuera del papel.

- Trisección de un ángulo recto.

- Construcción de algunos usuales con el compás


Bisectriz con el vértice fuera del papel tiene otro método (ver unidad de tangencia)

APARTADO 3 - SEGMENTOS

- Media geométrica o proporcional de dos segmentos dados es un segmento que es igual

a la raíz cuadrada del producto. X=√ a x b, o también X x X = a x b

Teorema de la Altura: la altura de un triángulo es media proporcional entre dos

segmentos en que divide la hipotenusa.

Teorema del Cateto: el cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección

sobre ella. (Ver actividades de autoevaluación)

- Tercera proporcional de dos segmentos dados, es el cuadrado de uno de ellos dividido

por el otro. X= a x a/b

- Cuarta proporcional de tres segmentos dados, es el producto de dos de ellos dividido

por el otro. X= a x b/c

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- Suma y diferencia de dos segmentos

- Producto de un segmento por un número.

- División en partes iguales o proporcionales.

- Operaciones: Raíz cuadrada de un segmento.

Producto de dos segmentos

División de dos segmentos

- Media proporcional, tercera proporcional y cuarta proporcional


- Observa que la raíz cuadrada de un segmento se halla igual que media proporcional si

tomamos como valor de un segmento la unidad o también podríamos descomponerlo en

otros dos, por ejemplo la raíz cuadrada de 12 es igual a media proporcional de dos

segmentos de 3 y 4 (3 x 4=12), de 2 y 6, de 1 y 12.

- Observa que producto y división de dos segmentos se halla igual que cuarta

proporcional tomando para el tercer segmento el valor de la unidad.

- En la resolución de producto de dos segmentos, división de dos segmentos, tercera y /o

cuarta proporcional los segmentos sobre las rectas auxiliares se pueden llevar uno a

continuación del otro o podemos partir del vértice del ángulo los dos y por lo tanto la

solución también de dará a partir de ese punto.

APARTADO 4 – CIRCINFERENCIA

Una circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que

equidistan de otro llamado centro. Se llama radio a dicha distancia.

Otras líneas: diámetro, cuerda, secante, tangente y arco.


- Circunferencia que pasa por tres puntos no alineados.

- División de la circunferencia en “n” partes iguales.


- Circunferencia que pasa por tres puntos no alineados esta relacionado con el concepto

de mediatriz.

- División de la circunferencia en “n” partes iguales. El método general está basado en el

Teorema de Tales y es igual para realizar polígonos regulares.

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APARTADO 5 – ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA, ARCO CAPAZ Los ángulos respecto a una circunferencia pueden ocupar distintas posiciones:

- ángulo central, vértice centro de la circunferencia y sus lados la cortan

- ángulo inscrito, vértice en la circunferencia y sus lados la cortan

- ángulo semiinscrito, vértice en la circunferencia y sus lados la cortan

- ángulo interior, vértice dentro de la circunferencia, un lado y otro la cortan

- ángulo exterior, vértice fuera de la circunferencia y sus lados la cortan

- ángulo semiexterior vértice fuera de la circunferencia, un lado y otro la cortan

- ángulo circunscrito vértice fuera de la circunferencia y sus lados tangentes

Relaciones de ángulos:

- El ángulo inscrito α y seminscrito β si abarcan el mismo arco que el central

correspondiente su valor es la mitad, es decir, α = β/2

- El valor del ángulo interior α es la semisuma de los centrales correspondientes β1 y

β2 es decir, α = β1 - β2 /2

- El valor del ángulo que tienen el vértice en el exterior α es la semidiferencia de los

centrales correspondientes β1 y β2 es decir, α = β1 + β2 /2. Se cumple la misma

formula, por lo tanto, en los caso de ángulo semiexterior y en el ángulo

circunscrito.

Arco capaz de un segmento bajo un ángulo dado: es el lugar geométrico de los

puntos del plano bajo ese ángulo.


- Calcular valor ángulos de formas geométricas

- Calcular arco capaz y entender la aplicación de este concepto


En el arco capaz:

- Si el ángulo es menor de 90º sale un arco peraltado

- Si el ángulo es mayor de 90º sale un arco rebajado

- Si el ángulo es igual a 90º entonces media circunferencia

Observa que todo arco capaz que abarca al mismo segmento AB tiene el mismo

ángulo α y su valor será la mitad del ángulo central correspondiente pues serán

ángulos inscritos en la circunferencia si completamos el arco.

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APARTADO 6 – POTENCIA, EJE RADICAL Y CENTRO RADICAL

- Potencia de un punto P respecto de una circunferencia: es el producto de las

distancias PA y PB, siendo A y B los puntos de corte con la circunferencia de una

secante que pasa por P. Es una constante, y se cumple en el caso de la tangente.

PA x PB = PT x PT, también √ PA x PB = PT.

- Relación de potencia con media proporcional. Observa que si PA = b, PB = a y

PT=x, entonces X=√ a x b

Casos de potencia: 1. Si el punto P es exterior la potencia es positiva

2. Si el punto P es interior la potencia es negativa

3. Si el punto P está en la circunferencia la potencia es nula.

- Eje radical de dos circunferencias: es el lugar geométrico de los puntos del plano

que tienen igual potencia respecto ambas. Se demuestra que es perpendicular a la

unión de centros.

- ¡Cuidado! no coincide con la mediatriz de los centros, solo cuando tienen el

mismo radio. (Ver actividades de autoevaluación)

- Centro radical de tres circunferencias: es el punto del plano que tienen igual

potencia, donde se cortan los ejes radicales.


- La resolución gráfica de los diferentes ejes radicales según casos de

circunferencias: secantes, tangentes, exteriores, interiores y concéntricas.

- La resolución gráfica del centro radical cuando tengamos tres circunferencias.

(Ver actividades de autoevaluación)

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Si me piden hallar una circunferencia ortogonal a tres dadas tiene por centro el

centro radical y por radio las longitudes de tangencia que son todas iguales.


• Conoce las características de los trazados geométricos fundamentales.

• Realiza construcciones gráficas relacionadas con el concepto de arco capaz.

• Comprende las características de los trazados geométricos sobre potencia.

• Identifica cómo y cuándo se aplica concepto de lugar geométrico a casos reales.

• Ejecuta con exactitud los distintos trazados geométricos.


1. Dividir un segmento AB, de 5 cm., en 6 partes iguales

2. Construir el arco capaz de un ángulo de 60º respecto al segmento AB=40mm y

otro para un ángulo de135º.

3. Bisectriz de un ángulo con el vértice fuera del papel

4. División de la circunferencia en “n” partes iguales.

5. Media proporcional de dos segmentos dados. Comprueba que la solución es la

misma por los dos métodos.

6. Hallar el centro radical de tres circunferencias dadas.

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ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR

1. Trazar la perpendicular a una recta desde un punto exterior a ella, utilizando el

compás.

2. Trazar la perpendicular a una semirrecta por su extremo, utilizando el compás.

3. Construye con regla y compás ángulos de 60º, 75º, 15º, 120º, 135º, 45º, 22’5º.

4. Dividir un ángulo de 180º en doce partes iguales

5. Hallar la raíz cuadrada de un segmento AB = 45mm

6. Deducir el valor de un ángulo interior de un decágono estrellado. Razonar

adecuadamente la respuesta.

7. Dadas dos circunferencias de centros 0 y 0´ y con radios de 40mm y 25mm

respectivamente, hallar los puntos del eje radical, desde los cuales se ve el

segmento 00´ desde un ángulo de 90º.

8. Hallar el centro radical de tres circunferencias exteriores y de diferentes radios.

Utiliza los dos métodos que conoces.

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1. Dividir un segmento AB, de 5 cm., en 6 partes iguales

1º Por un extremo que queramos, A, trazamos una línea auxiliar formando el ángulo que

deseemos ≈ 30º.

2º Llevamos el número de divisiones, n = 6.

3º Unimos la última división con el otro extremo B.

4º Las paralelas a la recta 6B nos dan las divisiones en nuestro segmento

2. Construir el arco capaz de un ángulo de 60º respecto al segmento AB=40mm y

otro para un ángulo de135º.

1º Sobre el segmento AC, se dibuja el ángulo que nos piden, 60º o 135º.

2º Mediatriz de AB

3º Perpendicular a la prolongación del ángulo que hemos llevado sobre el extremo A

4º Se cortan en O que es el centro del arco solución

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3. Bisectriz de un ángulo con el vértice fuera del papel

1º Se dibuja una secante auxiliar a ambas rectas

2º Se dibujan las bisectrices de los ángulos que se forman y se cortan a su vez en dos puntos

3º La bisectriz es la recta que pasa por esos puntos

4. División de la circunferencia en “n” partes iguales.

1º Se divide el diámetro en tantas partes como n.

2º Con radio el diámetro y pinchando en los extremos AL, se trazan dos arcos que se cortan en

el punto M.

3º Unimos M con la segunda división del diámetro, punto 2, y corta a la circunferencia en B.

4º Se transporta la distancia AB a través de la circunferencia y comprobamos el nº de

divisiones.

NOTA: observa que este método sirve para hacer polígonos regulares, en este caso

tendríamos un endecágono.

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5. Media proporcional de dos segmentos dados. Comprueba que la solución es la

misma por los dos métodos.

Teorema de la altura

1º Colocamos los segmentos AB + CD y dibujamos arco capaz de 90º

2º Por el extremo común BC, perpendicular y corta al arco en G

3º X= (BC) G. Observa que es la altura del triángulo rectángulo

Teorema del cateto

1º Colocamos los segmentos AB - CD y dibujamos arco capaz de 90º

2º Por el extremo interior D, perpendicular y corta al arco en G

3º X= (AC) G. Observa que es el cateto del triángulo rectángulo

6. Hallar eje radical de dos circunferencias exteriores y de diferente radio.

1º Tangente común a ambas saco T y T’

2º Mediatriz de TT’ saco M

3º Por M perpendicular a la unión de centros O1O2

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7. Hallar el centro radical de tres circunferencias exteriores y de diferentes radios.

Será el punto intersección de los ejes radicales de las circunferencias dos a dos.

1º Sacamos e’ que es la ⊥ a la unión de centros por el punto de tangencia, F

2º Trazamos una circunferencia auxiliar de centro O, secantes con la O1O2. Los ejes radicales

serán las rectas AB y CD, respectivamente y ambos se cortan en el punto E.

Sacamos e que es la ⊥ a la unión de centros O1O2, por el punto E.

3º La solución es el punto intersección de e’ y e, punto G, en nuestro dibujo.

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UNIDAD 3: IGUALDAD, SEMEJANZA Y ESCALAS.


En esta unidad se presentan las relaciones métricas entre elementos geométricos que nos

permitirán definir la semejanza, siendo las escalas para la construcción de planos en dibujo

técnico, la aplicación más importante de la semejanza.

Experimentando el uso y la construcción de escalas volantes.


APARTADO 1- IGUALDAD


Dos figuras son iguales cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados que se corresponden

también iguales, es decir se pueden superponer uno encima del otro.

Construcción de una figura igual a otra por distintos métodos:

- por copia de ángulos

- por coordenadas

- por radiación

- por triangulación

- por traslación (ver unidad 5)

- por cuadricula (utilizado en dibujo artístico)


- Para copiar un polígono regular o inscrito en una circunferencia igual a otro primero

dibujaríamos la circunferencia y llevamos luego las medidas.

- Elige el método más adecuado para cada caso.

APARTADO 2 - SEMEJANZA QUE TENEMOS QUE APRENDER

Dos figuras son semejantes cuando tienen sus ángulos ordenadamente iguales y sus lados

proporcionales e inversamente semejantes cuando sus ángulos son iguales tomados en

sentido inverso y sus lados proporcionales.

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La proporcionalidad entre lados se llama razón de semejanza, Κ, así tenemos:

- Proporcionalidad directa razón de semejanza positiva, ejemplo Κ= 2/3

- Proporcionalidad inversa razón de semejanza negativa, ejemplo Κ= -2/3


La construcción de una figura directamente semejante a otra se puede hacer por

coordenadas o tomando un punto arbitrario O, (centro de homotecia, caso particular de

semejanza que se estudiará mas adelante). Este punto también puede ser uno cualquiera

de nuestra figura.

APARTADO 3 - ESCALAS


- Es la relación numérica entre el tamaño de un objeto real y su representación, ya sea en

el plano o en el espacio.

ESCALA = DIBUJO / REALIDAD

- Tipos de escalas:

Escala de reducción, Si ese cociente es menor de uno, ejemplo E= 2/3

Escala de ampliación Si el cociente es mayor de uno, ejemplo E= 5/3

Escala natural el cociente es igual de uno, ejemplo E=1

- Manejo y construcción de las escalas volantes o gráficas, la escala

transversal y el triángulo universal de escalas

- Ejecutar dibujos técnicos a distinta escala, utilizando la escala gráfica

establecida previamente y las escalas normalizadas


La mas utilizada es la escala volante con su contra escala


• Construye figuras iguales y figuras directa o inversamente semejante a otra.

• Resuelve y aplica problemas gráficos relacionados con la semejanza.

• Trabaja y utiliza adecuadamente con las distintas escalas.

• Ejecuta dibujos técnicos a distinta escala, utilizando la escala gráfica establecida

previamente y las escalas normalizadas.

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1. En un dibujo, hecho a escala E: 3/2, medimos un ángulo de 60º. ¿Cuánto mide en

realidad?

2. La distancia en línea recta entre dos ciudades es de 496 Km., pero en el plano

mide 248 mm. ¿A qué escala está dibujado el plano? Razona la respuesta.

3. Construye un triángulo semejante al formado por el cartabón.

4. Dibuja la recta que pasa por el punto P y concurre con las rectas r y s

1. Traza la escala volante 7/5 con su contraescala; debe tener 9 unidades (contando

la contraescala). La unidad considerada es el milímetro; las unidades de la escala

serán de 10 mm. excepto la contraescala.


1. Construir dos segmentos a y b cuya suma sea 70mm y cuya razón de semejanza

sea a/b=3/4

2. Calcula la magnitud real de un segmento que a escala 1/6, mide en el dibujo

45mm.

3. En un mapa, la distancia entre Madrid y Zaragoza es de 60mm. Si la distancia real

entre ambas ciudades es de 300Km. ¿A qué escala está dibujado el mapa?

4. En un dibujo a escala 3/8 se ha tomado una longitud de 120mm. ¿A qué longitud

real corresponde? 5. ¿Qué escala elegirías para dibujar en una lámina de formato DIN A-4 (210mm x

290mm), un campo de fútbol cuyas medidas son 100 x 80mm?

6. En una lámina DIN A-4 construir unas reglas con las siguientes escalas; 1:125,

1;10.000 Y 1;500.000 y su contra escala

7. Construir una escala decimal de transversales 1:500 y medir en el a una distancia

63, 45mm.

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1. En un dibujo, hecho a escala E: 3/2, medimos un ángulo de 60º. ¿Cuánto mide en

realidad?

Los ángulos no varían con la escala, solo lo hacen las magnitudes lineales. Las figuras

semejantes tienen ángulos iguales lados proporcionales.

2. La distancia en línea recta entre dos ciudades es de 496 Km., pero en el plano

mide 248 mm. ¿A qué escala está dibujado el plano? Razona la respuesta.

La escala es E: 1:2.000.000, que sale como resultado de aplicar la formula.

3. Construye un triángulo semejante al formado por el cartabón.

1º Arco capaz de 90º

2º Introducimos ángulo de 30º en vértice B´ y corta al arco en A´

3º Unimos A´ con C´ (el ángulo A´C´B´ forma 60º)

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4. Dibuja la recta que pasa por el punto P y concurre con las rectas r y s

1º Triángulo auxiliar con vértices P, A y B

2º A partir de otro punto auxiliar A´ dibujamos un triángulo por paralelas, obtenemos B´

y luego P´

3º La recta solución es PP´, por ser figuras semejantes y donde se corten las rectas r y

s sería centro de homotecia.

5. Traza la escala volante 7/5 con su contraescala; debe tener 9 unidades (contando

la contraescala). La unidad considerada es el milímetro; las unidades de la escala

serán de 10 mm. excepto la contraescala.

1º Aplicamos el teorema de Tales y dividimos la que mide 7 en 5 partes iguales.

2º Conseguimos más unidades de la escala prolongando las dos rectas.

3º Para trazar la contraescala dividimos la primera unidad en 10 partes iguales.

Otro procedimiento, consiste en dividir numerador entre denominador para hallar la medida

de la unidad de escala 7/5= 1,4; 10 centímetros de l a escala 7/5 son 14 cm. Y se divide en diez

partes iguales.

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UNIDAD 4: POLÍGONOS.


Esta unidad comprende el estudio de polígonos. Se comienza con la definición, propiedades,

clasificación para finalmente saber construirlos. Es de suma importancia saber identificar las

características y diferencias entre los diferentes polígonos así como conocer los fundamentos

teóricos de dichos trazados para aplicarlos después en la realización de trabajos más complejos.

Los polígonos regulares, dentro de la geometría, adquiere un protagonismo, no sólo como entes

geométricos, sino como figuras que se pueden encontrar con suma facilidad la vida cotidiana, en

diseños industriales, constructivos, el mundo animal, etc.


APARTADO 1- TRIÁNGULOS


- Construcción de triángulos a partir de unos datos y conociendo sus propiedades y

clasificación.

EQUILÁTEROS Lados =y ángulos = 60º

ISÓSCELES Dos lados y ángulos = y el otro ≠

SEGÚN SUS LADOS

ESCALENOS Lados y ángulos ≠

ACUTÁNGULO Ángulos < 90º

RECTÁNGULO Un ángulos = 90º

CLASIFICACIÓN TRIÁNGULOS

SEGÚN SUS ÁNGULOS

OBTUSÁNGULO Un ángulos > 90º


- Siempre hacer una figura auxiliar para observar los datos.

- Recordar todos los triángulos son semejantes.

- Si entre los datos hay un lado y el ángulo opuesto normalmente se resuelve por arco

capaz.

- Si entre los datos hay una altura el vértice estará en una paralela a ese lado.

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APARTADO 2 - CUADRILATEROS QUE TENEMOS QUE APRENDER

- Construcción de cuadriláteros los a partir de unos datos y conociendo sus propiedades y

clasificación

CUADRADO Diagonales = , ⊥ y lados =

RECTÁNGULO Diagonales =,NO⊥ y lados = 2 a 2

ROMBO Diagonales ≠ ,⊥ y lados =

PARALELOGRAMOS

Lados ⁄⁄ 2 a 2

ROMBOIDE Diagonales ≠ ,NO ⊥ y lados = 2 a 2

T. ISÓSCELES Simétrico, lados NO ⁄⁄ =

T. RECTÁNGULO 2 ángulos = 90º

TRAPECIOS

2 lados ⁄⁄(bases) y 2 NO ⁄⁄

T. OBLICUO Trapecio puro

CLASIFICACIÓN CUADRIÁTEROS

TRAPEZOIDES Trapezoide puro, solo condición de 4 lados


- Hacer una figura auxiliar para observar los datos

- No todos los cuadriláteros son semejantes

- Se pueden descomponer en triángulos y aplicar sus propiedades

APARTADO 3 – POLÍGONOS REGULARES


- Definición de polígonos, clasificaciones y propiedades.

- Construcción de polígonos regulares a partir de unos datos y conociendo sus

propiedades y clasificación

- Podemos utilizar distintos métodos según el dato que nos den:

- Radio de la circunferencia circunscrita

- Apotema desde el centro al punto medio de uno cualquiera de sus lados que

coincide con el radio de la circunferencia inscrita en el polígono

- Lado o perímetro que es la suma de todos ellos


- Si conocemos el radio método general: División de la circunferencia en “n” partes

iguales, pero hay casos más rápidos si conocemos los métodos particulares así el

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hexágono coincide el radio con la medida del lado. (Ver actividades de autoevaluación)

- Todos los polígonos regulares son semejantes y este puede ser un método general si

me dan conocido el lado o la apotema pues primero divido la circunferencia en “n”

partes iguales con un radio auxiliar y luego aplico semejanza (vista en el tema anterior)

APARTADO 4 – POLÍGONOS ESTRELLADOS


- Son cóncavos. Se obtienen de unir convenientemente los vértices de polígonos

regulares convexos.

- Regla para obtener todos los polígonos regulares estrellados de “n” lados basta

con tomar para valor del paso (forma de unir las divisiones) los números primos con “n”

e inferiores a “n” medios.


¡Cuidado! Tengo que empezar en un vértice y terminar en él sin levantar el lápiz, así por

ejemplo, el hexágono no tiene ningún estrellado pues no se cumple la regla y lo que

obtenemos son dos triángulos equiláteros girados 180º. (Ver más casos en actividades de

autoevaluación)


• Identifica las características y diferencias entre los diferentes polígonos

• Realiza las construcciones de triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares y

estrellados.

• Conocer los fundamentos teóricos de dichos trazados.

• Aplicar dichos trazados a la realización de trabajos más complejos.

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Se pide dibujar

1. Un triángulo equilátero conocido la altura

2. Un triángulo isósceles dado el lado desigual y el ángulo opuesto

3. Un rectángulo conocida la diagonal y la suma de los lados

4. Un trapecio ABCD dados los lados y el ángulo comprendido AB=50, AD=30,

CD= 26 Y BC=27

5. Pentágono regular conocido el lado

6. Obtener los estrellados posibles del heptágono y del eneágono. ¿Cuántos

salen?


1. Un triángulo dados los tres lados: a=50, b=48 y c=35

2. Un triángulo isósceles dado el lado desigual y el ángulo opuesto

3. Un triángulo dados dos lados y el ángulo comprendido: a=50, c=30 y B=75º

4. Un rectángulo conocidos el lado mayor y la diagonal

5. Un romboide ABCD dados los lados y el ángulo comprendido AB=50, AD=35 Y

A=35º

6. Un romboide sabiendo que su lado mayor mide 70 y su diagonal mayor mide 100.

El ángulo que forman las dos diagonales mide 100º

7. Un trapecio sabiendo que sus dos bases miden 70 y 50 respectivamente y sus

diagonales 80 y 60

8. Un cuadrilátero inscriptible ABCD conociendo tres lados y la diagonal AB=30,

BC=20, CD=40 y AC=45

9. Un cuadrilátero inscriptible ABCD conociendo dos lados y el ángulo comprendido

entre ellos, Indicar cuantas soluciones tiene el problema y de todas ellas dibujar la

del perímetro mayor

10. Un octógono regular y todos sus estrellados. ¿Cuántos se pueden trazar y por

qué?

11. Un decágono regular conocida la apotema.

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SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN Dibuja:

1. Un triángulo equilátero conocido la altura

Se dibuja un triángulo equilátero 123 auxiliar y sobre la altura se lleva la que nos dan NA, se

resuelve por paralelas. (Basado en semejanza)

2. Un triángulo conocido AC = 50mm, ángulo opuesto B = 45º y ángulo C= 60º.

1º Sobre el segmento AC, se traza arco capaz de 45º, con centro donde corta la mediatriz y la

perpendicular a la prolongación del ángulo que hemos llevado sobre el extremo A

2º Con vértice C introducimos el ángulo de 60º y corta al arco capaz en B, que unimos con A,

teniendo así nuestra solución.

3. Un rectángulo conocida la diagonal y la suma de los lados

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1º Dibuja un triángulo auxiliar para observar los datos

2º Se construye un triángulo de base AE, ángulo de 45º (pues es la mitad del ángulo de 90º) y

el otro lado la diagonal.

3º Desde el vértice C trazo perpendicular que corta a AE en el punto B.

4º Completo mi rectángulo.

Observa: Este método es igual para un triángulo rectángulo si me dan la suma de los catetos y

la diagonal

4. Un trapecio ABCD dados los lados y el ángulo comprendido AB=50, AD=30, CD=

26 Y BC=27

1º Dibuja un trapecio auxiliar para observar los datos

Observa que al igual que en el ejercicio anterior podemos construir un triángulo ya que DE=BC

y AE= AB menos CD

2º Dibújalo aplicando lo expuesto.

5. Pentágono regular conocido el lado

26

1º Mediatriz de OM, punto L

2º Pincho en L y con radio LA trazo arco que corta en P

Observa: que con está sencilla construcción sacamos:

El lado del pentágono = AP

El lado del decágono = PO

El lado del heptágono = LN siendo N donde corta la mediatriz a la circunferencia.

6. Obtener los estrellados posibles del heptágono y del eneágono. ¿Cuántos salen?

1º El heptágono tiene dos: uno de orden 2 y otro de orden 3.

Porque son los únicos números enteros menor de 7/2 y primos con 7.

2º El eneágono también tiene dos: uno de orden 2 y otro de orden 4.

Porque son los únicos números enteros menor de 9/2 y primos con 9.

27

UNIDAD 5: TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS.


Tras comenzar con las series lineales, se trata de movimientos sencillos en el plano:

translación, giro y simetría donde la figura resultante es igual que de la que partimos.

También analizaremos un caso particular de la semejanza: la homotecia y

aprenderemos a aplicar dichas transformaciones a otro tipo de problemas.


Una transformaciones una operación o conjunto de operaciones geométricas que

permite obtener una figura plana F´ a partir de otra dada F. Se caracteriza por ser

transformaciones biunívocas.

Pueden ser:

A) Según sentido en el plano

- directas aquellas que conservan el sentido de puntos u orientación de puntos en el

plano: traslación, giro, simetría central

- inversas cuando no lo conservan: simetría axial

B) Según punto comparativo entre F y F´

- Isométricas conservan las medidas tanto de ángulos como longitudinales:

traslación, giros, simetrías

- Isomórficas conservan las formas, los ángulos pero no longitudes: figuras

homotéticas, semejantes

- Anamórficas no mantienen las formas pero conservan los ángulos: inversión (se ve

en 2º de Bachillerato)

APARTADO 1- HOMOTECIA Se define homotecia de centro O y razón K, siendo esta distinta de cero, a la transformación

que hace corresponder a todo punto A del plano otro A´, alineado con O y con A, de tal

forma que se verifica: OA =OA x K siendo K= constante

1. Homotético de un punto: se resuelva por el teorema de Tales, así si k = m/n, divido la

distancia del centro 0A en n partes y el punto A’ estará en la paralela por el número m.

28

2. La homotética de una recta se demuestra que es otra paralela a ella.

3. La homotética de una figura se resuelve como consecuencia de lo anterior


Casos de homotecia:

-Homotecia directa. Si K > 0, K es positiva y por tanto A y A´ tienen el mismo sentido (están

al mismo lado de O). Además si K < 1, A´ estará entre 0 y A

-Homotecia inversa. Si K < 0, K es negativa y por tanto A y A´ tienen distinto sentido (A´ está

al otro lado de O), aquí si K < 1, A´ estará al otro lado pero una distancia menor que OA

- Transformada de identidad. Cuando K=1, cualquier punto se transforma en si mismo.

- Simetría central. Cuando K= -1


Desde el centro de homotecia, dibujamos rectas por cada uno de los puntos y teniendo en

cuenta los casos anteriores lo más fácil es sacar el homotético de un punto y el resto por

paralelas como en la figura con K= 1/2

En la circunferencia podemos utilizar dos radios homotéticos directos o inversos o también

utilizar las tangentes comunes:

- Las tangentes exteriores se cortan en un punto que es centro de homotecia directa.

- Las tangentes interiores se cortan en un punto que es el centro de homotecia

inverso.

APARTADO 2 -TRASLACIÓN QUE TENEMOS QUE APRENDER

Es aquella transformación que nos permite pasar de una figura F a otra F´ aplicando a todos

sus puntos un desplazamiento igual, es decir, la misma magnitud, dirección y sentido

29


- Por cada punto se traza paralelas a la dirección dada y tomando la magnitud con el

compás se lleva sobre cada una de ellas en el sentido pedido uniendo finalmente cada

punto como corresponde. ( Ver actividades de autoevaluación)

- Recuerda que la figura solución es igual, siendo suficiente con trasladar un punto y

luego lados paralelos. En la circunferencia sería el centro y otro punto cualquiera, ten

esto en cuenta si nuestro polígono es regular y nos ahorraremos trabajo y mejoraremos

la precisión

APARTADO 3 - GIRO


Es aquella transformación que nos permite pasar de una figura F a otra F´ girando cada

punto un ángulo dado en un sentido establecido alrededor de un punto O fijo, llamado

centro de giro.


Al igual que en los casos anteriores giro punto a punto o giro uno solo uno de ellos y dibujo

una figura igual a partir de ese punto. (Ver actividades de autoevaluación)

APARTADO 4 - SIMETRÍA


Hay dos tipos de simetría:

- Simetría axial o respecto de una recta r. Es aquella transformación que nos permite pasar

de una figura F a otra F´ de tal forma que a cada punto A de F le corresponde otro A´ de F´

situado al otro lado de r a la misma distancia y de tal manera que el segmento AA´ es

perpendicular a r.

- Simetría central o respecto de un punto O. Es aquella transformación que nos permite

pasar de una figura F a otra F´ de tal forma que a cada punto A de F le corresponde otro A´

de F´ situado al otro lado de O y a la misma distancia.


- Basta con aplicar la definición dada. Tener en cuenta que las figuras son iguales y esto

puede ahorrarnos trazados, así, si tengo un polígono inscrito en una circunferencia lo

más práctico es simétrico del centro de la circunferencia y de otro vértice cualquiera de

dicho polígono y luego hacer la figura igual (ver diferentes métodos en la unidad 3)

30

- ¡Cuidado! en simetría axial cambia el sentido de los puntos, en este caso para que no

te confundas mejor saca el simétrico de dos para observar el movimiento.

APARTADO 5- PRODUCTOS DE MOVIMIENTOS


Tienen lugar cuando se aplican dos o más movimientos o transformaciones sobre la

misma figura.

- El producto de dos traslaciones dan por resultado otra traslación

- El producto de dos giros de centro O´ y O´´ y ángulos A y B es otro giro que tiene

por centro O y ángulo C. Su centro O se determina por la intersección de las

mediatrices de los segmentos limitados por las parejas de puntos correspondientes

inicial y final.

- El producto de un giro y una traslación se resuelve igual que el de dos giros, no

olvidar que la traslación es un giro de centro impropio.

- El producto de dos simetrías axiales es un giro cuyo centro es el punto

intersección de los ejes de simetría


Se recomienda comprobar los productos vistos realizando unos ejercicios. (Ver

algunos ejemplos en las actividades de autoevaluación)


• Realizar transformaciones en el plano.

• Resuelve problemas de homotecia

• Aplicar dichas transformaciones a otro tipo de problemas.

31


1. Obtener la figura transformada resultante de efectuar: Una traslación según la magnitud M y la dirección en el sentido indicado, Figura1.

Un giro de 60º con respecto al punto O en sentido horario, Figura2.

2. Construye el triángulo homotético respecto del centro O, sabiendo que k= - 1´5.

3. Halla el centro de giro que ha permitido al triángulo 1 pasar a la posición 2

4. Traza los dos ejes de simetría que han sido necesarios para que la figura 1 pase a

la posición 2

32


1. Construye:

Un polígono igual que el dado sabiendo que es simétrico del dado respecto del centro

O. Un polígono homotético del dado, siendo el centro O y K= - 5/3

2. Unir los puntos A y B, tocando a la recta r en otro P de manera que la distancia AP

+ PB sea mínima.

B. A .

r

3. Hallar la figura transformada de la figura 1 después de efectuar: un giro de +60º y

una homotecia de razón 3/5

4. Dado el módulo de la figura 2: 1º efectuar 4 giros sucesivos de 90º cada uno, 2º

efectuar 8 giros sucesivos de 45º cada uno, con centro en B, 3º dibujar la simetría

axial cuyo eje es la recta que determinan los puntos Ay B.

33


ra 1

Un giro de 60º con respecto al punto O en sentido horario. Figura 2

1. Obtener la figura transformada resultante de efectuar:

Una traslación según la magnitud M y la dirección en el sentido indicado. Figu

Figura1: por cada vértice trazamos rectas paralelas a la dirección en el sentido indicado.

Tomamos la magnitud con el compás y pinchando en A obtenemos A1. Repetimos la operación

cada punto y finalmente los unimos.

mos un arco para obtener A1. Repetimos la operación con cada punto y finalmente los

s.

2. Construye el triángulo homotético respecto del centro O, sabiendo que k= - 1,5

con

Figura 2: Unimos A con O y e introducimos el ángulo de 60º en el sentido indicado. Con radio

OA traza

unimo

A estará en la recta AO al otro lado d1

puntos y los uno para obtener la F1.

Observa: la figura transformada mantiene los valores angul

e O a la distancia AO + 1/2 de AO. Repito con todos los

ares y el paralelismo, sin embargo,

ntación al ser la razón de homotecia negativa. varía la orie

34

3. Halla el centro de giro que ha permitido al triángulo 1 pasar a la posición 2

Hallamos en centro de giro uniendo dos pares de puntos homólogos por medio de dos rectas y

trazamos la mediatriz en los dos segmentos. Estas se cortan en O, como vemos en la solución,

onde hemos trazado los arcos que unen los puntos homólogos.

ejes de simetría que han sido necesarios para que la figura 1 pase a

la posición 2

d

4. Traza los dos

La mediatriz trazada en la recta que une dos puntos homólogos, como B y B”, es el eje de

simetría e que nos permite trazar el triángulo A’B’C’ (posición intermedia) con un punto doble

B” ≡ B’ en el segundo eje de simetría e’. Este es la mediatriz de la recta que une C’ con C” u

tro par de puntos homólogos. o

35

UNIDAD 6: TANGENCIAS

RESENTACIÓN DE LA UNIDAD

P

rencias y entre

plicaciones y lo usaremos para aplicar con corrección los enlaces correspondientes.

e se trata conceptos

ndamentales del mismo como son la precisión y la exactitud.

ONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD

En esta unidad además de conocer las propiedades de las tangencias realizaremos

las construcciones básicas de tangencias entre rectas y circunfe

circunferencias, situando los correspondientes puntos de tangencias.

Analizaremos ordenando todos los casos de tangencias estudiados para posteriores

a

Es un tema muy importante dentro del dibujo técnico, ya qu

fu

C

PARTADO 1- PROPIEDADES DE LAS TANGENCIAS Y ENLACES

A

a, es el pie de la

cunferencias son tangentes, el punto de tangencia, está en la línea unión de

iguales, es decir, que la

ircunferencia tangente a dos rectas se encuentra en la bisectriz

del ángulo que formen.

ben ir acompañadas de un razonamiento

ota:


Propiedades de las tangencias: - Si una recta es tangente a una circunferencia el punto de tangenci

perpendicular trazada por el centro de la circunferencia a la tangente.

- Si dos cir

centros.

- Todo radio perpendicular a una cuerda, la divide en dos partes

mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.

- El centro de cualquier c


Las tangencias tienen por objetivo unir circunferencias y rectas mediante otras

circunferencias y rectas. Las construcciones de

para que no se olviden rápidamente.

N Debemos marcar siempre el punto de tangencia entre las líneas.

36

APARTADO 2 – TRAZADO DE RECTAS

- pasan por un punto:

b) El punto es exterior a la circunferencia

Re nferencias de distinto radio

b) Tangentes interiores


Rectas tangentes a una circunferencia que

a) El punto pertenece a la circunferencia

- ctas tangentes a dos circu

a) Tangentes exteriores


- Rectas tangentes a una circunferencia por un punto dado

- Si el punto T pertenece a la circunferencia de centro O, se resuelve igual que

perpendicular a una semirrecta r= OT por su extremo siendo este el punto. (Ver unidad

corta a la dada en los puntos de tangencia T1T2. La

solución son las rectas PT1 y PT2.

2).

- Si el punto P es exterior a la circunferencia se une con el centro O y por el punto medio

M se dibuja la circunferencia que

- Rectas tangentes a dos circunferencias de distinto radio r1 Y r2,

- Tangentes exteriores, esta basado en el caso tangentes a una circunferencia desde un

punto P es exterior a ella, se reduce la circunferencia de radio menor r1 a un punto P y la

otra r2 – r1 = r3 a una circunferencia de radio r3. Las soluciones serán paralelas hacia a

ancia r2 a las rectas halladas.

(Ver ejemplos en las actividades de autoevaluación).

PARTADO 3 – TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS CONOCIDO EL RADIO

fuera la distancia r2 a las rectas halladas.

- Si son tangentes interiores en lugar de restar radios se suman r2 + r1 = r3 y todo igual.

Las soluciones serán paralelas hacia el interior la dist

A

- n por un punto P y son tangentes a una recta r:

cta


- A dibujar casos sencillos aplicando las propiedades de las tangencias.

Circunferencias que pasa

El punto esta en la re

37

El punto es exterior

- Circunferencias que pasan por un punto P y son tangentes a una circunferencia de

ircunferencia

entro O.

Circunferencias tangentes a dos circunferencias de centro O y O’.

APARTADO

centro O:

El punto esta en la c

El punto es exterior

- Circunferencias tangentes a dos rectas r y s que se cortan

- Circunferencias tangentes a una recta r y a una circunferencia de c

-

AYUDA AL ESTUDIO DEL

Llamemos al radio dado d

- Circunferencias que pasan por un punto P y son tangentes a una recta r:

- Si P está en la recta los centros solución estarán en la perpendicular por P y a la

una paralela a la recta a una distancia d

pasan por un punto P y son tangentes a una circunferencia de

distancia d.

- Si P es exterior los centros solución estarán en

y en una circunferencia con centro P y radio d.

- Circunferencias que

centro O y radio r:

- Si el P está en la circunferencia, los centros solución estarán en la recta PO y en la

solución

ión exteriores a la dada)

circunferencia con centro P y radio d.

- Si el punto P es exterior los centros solución estarán en una circunferencia de centro P

y radio d y en otras circunferencias de centro O y radio d - r (circunferencias

interiores a la dada) y radio d + r (circunferencias soluc

- Circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan

- Los centros solución están en la intersección de las rectas paralelas a las dadas a la

distancia d. Tiene cuatro soluciones.

- Circunferencias tangentes a una recta y a una circunferencia.

- Los centros solución están en las recta paralela a la dada a la distancia d y en las

circunferencias de centro O y radios radio d - r (circunferencias solución tangentes

interiores a la dada) y radio d + r (circunferencias solución tangentes exteriores a la

dada). Es el mismo método independientemente de que la recta dada sea exterior,

tangente o secante a la circunferencia dada. El ejercicio tendrá más o menos soluciones

ngentes a dos circunferencias de centros O y O’ y de radio r y s

dependiendo como estén colocados los datos.

- Circunferencias ta

respectivamente

- Los centros solución para las circunferencias exteriores estarán en la intersección de

circunferencias de centro O y O’ y radios d+r y d+s.

38

- Los centros solución para las circunferencias interiores estarán en la intersección de

rcicio tendrá más o menos soluciones

dependiendo como estén colocados los datos.

PARTADO 4 - ENLACES

circunferencias de centro O y O’ y radios d-r y d-s.

- Observa: es el mismo método, independientemente de que las circunferencias dadas

sean exteriores, tangentes o secantes. El eje

A

io de uno de los arcos.

rectas paralelas mediante dos arcos de igual radio, conociendo puntos de

mediante dos arcos, conociendo el radio de uno de

ellos y los puntos de tangencia.

os principios que

s tangencias, simplemente la solución va de punto a punto de tangencia.

RITERIO DE EVALUACIÓN


- Enlace entre puntos dados, conociendo el rad

- Enlazar rectas cualquiera con un radio dado.

- Enlazar dos

tangencia.

- Enlazar dos rectas cualesquiera


El enlace entre líneas y arcos de circunferencia se fundamenta en los mism

la

C

mente el trazado de

acteres gráficos en los que intervengan rectas y circunferencias

tivos sencillos de uso cotidiano en los que intervengan casos de

tangencias

CTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN

• Conoce las propiedades de tangencias y aplica correcta

tangencias y la determinación de los puntos de tangencias

• Diseña car

enlazadas

• Diseña obje

A

1. Trazar las tangentes exteriores e interiores a dos circunferencias.

2. Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas s y t, conocido el radio r.

39

3. Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas s y t, conocido el punto T de

tangencia en una de ellas.

o exterior P.

T de ella y que pase por otro

P exterior.

ras dos.

4. Trazar las circunferencias tangentes de radio conocido r, a una rectas t y que pase

por un punt

5. Trazar la circunferencia tangentes a otra en un punto

6. Circunferencias exteriores de radio dado a ot


1. Trazar las tangentes a unas circunferencias desde un punto exterior a ella.

ntes entre si.

rencia.

de

tangencia.

7. Dibuja el gancho de la figura determinando los centros y puntos de tangencia.

2. Trazar tres circunferencias de igual radio, tangente interiores a un triángulo

equilátero y tangentes entre si.

3. Trazar cuatro circunferencias de igual radio, tangente interiores a otra

circunferencia y tange

4. Trazar cinco circunferencias de igual radio, tangente interiores a otra circunferencia

y tangentes entre si.

5. Traza las circunferencias de radio dado, que pasan por un punto y son tangentes a

otra circunfe

6. Dibuja la pieza mecánica de la figura determinando los centros y puntos

40


. Trazar las tangentes exteriores e interiores a dos circunferencias.

1

Tangentes exteriores: las circunferencias dadas, de centros O1 y O2 tienen de radios r1 y r2,

respectivamente. Con centro en O2 se traza una circunferencia de radio r2 – r1 y desde O1 se

trazan las tangentes a ella, rectas m y n. Las rectas tangentes soluciones son paralelas a ellas,

s puntos de tangencia F, G, D y E se obtienen trazando por O1 y O2 las perpendiculares a las

puntos de tangencia B y C al unirlos con O2

btenemos D y E y si trazamos radios paralelos por O1 sacamos F y G obteniendo nuestras

angentes interiores:

lo

tangentes auxiliares.

Observa que también una vez sacados los

o

tangentes solución sin haber dibujado m y n.

T se resuelve como el anterior, pero trazando con centro en O2 la

2. Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas s y t, conocido el radio r.

circunferencia auxiliar de radio r1 + r2.

41

1º Se trazan paralelas a las rectas t y s a la distancia dada r por ambos lados, estas se cortan

en los puntos O1, O2, O3 y O4, centros de las circunferencias solución.

2º Al trazar desde los centros solución radios perpendiculares a la recta dada, obtenemos los

puntos de tangencia de las circunferencias con dicha recta.

3. Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas s y t, conocido el punto T de

tangencia en una de ellas.

1º Los centros solución O1y O2, estarán en la perpendicular a T por el punto de tangencia T y

en la bisectrices de los ángulos que forman las rectas dadas s y t con vértice V.

2º Al trazar desde los centros solución radios perpendiculares a la recta s, obtenemos los

puntos de tangencia T1 Y T2 de las circunferencias con dicha recta.

4. Trazar las circunferencias tangentes de radio conocido r, a una rectas t y que pase

r un punto exterior P. po

42

1º Los centros solución O1 y O2, estarán en la paralela a t a una distancia r y en la

circunferencia de radio r y centro P.

2º Al trazar desde los centros solución radios perpendiculares a la recta t, obtenemos los

puntos de tange 1 Y T2 de las circunferencias con dicha recta.

. Trazar la circunferencia tangentes a otra en un punto T de ella y que pase por otro

ncia T

5

P exterior.

El centros solución O’ estará en la mediatriz de los puntos PT y en la recta OT.

Circunferencias exteriores de radio dado a otras dos.

6.

43

1º A r1 y r2, radios de las circunferencias dadas, le sumamos s

2º Pinchando con centros O1 y O2, trazamos arcos que se cortan

rencias solución.

O3 y O4, centros de las

º Al unir por medio de rectas los cuatro centros, obtenemos los puntos de tangencia de las

circunfe

3

circunferencias solución con las dadas.

UNIDAD 7: CURVAS TÉCNICAS

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD Las curvas técnicas son la respuesta del dibujo geométrico que da la trayectoria o

pués dibujarlas,

istinguiendo el origen y características de cada una de ellas.

ONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD

comportamiento que algunos elementos tienen, en disciplinas tan dispares como la

mecánica o el diseño de carreteras. Las teorías surgen precisamente como

respuestas y solución a los problemas que se plantean en la práctica.

Estudiaremos las propiedades de las curvas técnicas para des

d

C

APARTADO 1- OVALOS


44

- Construcción de un óvalo conocido el eje mayor.

eje menor.

dado.

YUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO

ía está formada por cuatro arcos de

ircunferencia iguales dos a dos. La aplicación práctica más importante en dibujo

erspectivas, pues suelen sustituirse, de forma

n de un óvalo inscrito

- Construcción de un óvalo conocido el

- Construcción de un óvalo conocido los dos ejes.

- Construcción de un óvalo inscrito en un rombo

A

Al ser una curva que tiene dos ejes de simetr

c

técnico está en el trazado de p

aproximada, las elipses por óvalos, sobre todo con la construcció

en un rombo dado. (Ver unidad 14, circunferencia en axonométrico).

APARTADO 2 - OVOIDES QUE TENEMOS QUE APRENDER

u eje.

nocido su eje y su diámetro

onstrucción de un ovoide conocido su diámetro se realiza igual que la mitad de la

onstrucción de un óvalo conocido el eje menor.

- Construcción de un ovoide conocido s

- Construcción de un ovoide conocido su diámetro

- Construcción de un ovoide co


C

c

(Ver actividades de autoevaluación de la unidad).

APARTADO 3 – ESPIRALES Y HÉLICES QUE TENEMOS QUE APRENDER

Construcción de la espiral de Arquímedes conocido el paso.

cido el paso.

Construcción de la evolvente del círculo conocido el radio

cción de una hélice cónica conocido el diámetro y el paso

las

-

- Construcción de una voluta de varios centros cono

-

- Construcción de una hélice cilíndrica conocido el diámetro y el paso

- Constru


Estás curvas son menos utilizadas que las anteriores por lo que se recomienda conocer

pero no dedicarlas tanto tiempo.

45


• Domina los procedimientos de construcción de las curvas estudiadas

• Reconoce las características y particularidades de cada una de ellas

Aplica las construcciones en ejercicios de mayor complejidad •


1. Construcción de un óvalo de cuatro centros, conociendo los ejes que miden 70 y

idas

que faltan, al saber que estas tienen que ser

tangentes a la cabeza en T y T’, respectivamente. (ver figura actividad 6 para

enviar al tutor)

3. En un tocadiscos en funcionamiento hay un disco que tarda 6 segundos en dar una

vuelta. En el centro del disco se coloca una bolita a la que empujamos de tal

forma que recorre1,5 cm. por segundo. Dibujar la trayectoria que describe la bolita

en 12 segundos

4. Construcción de una voluta de cuatro centros sabiendo que el paso son 20 mm.

CTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR

55mm.

2. Una conducción de aguas fecales tiene sección recta de forma ovoidal. Conoc

las circunferencias de pie y de cabeza, se pide determinar el ovoide al trazar las

dos circunferencias laterales

A

. Construcción de un óvalo conociendo su eje mayor AB = 70 mm.

. Inscribir un óvalo en un rombo conocido el lado 54 mm. y una diagonal 93 mm.

. Construcción de un ovoide conocido su eje mayor AB = 60 mm.

. Construcción de la espiral de Arquímedes de paso 60mm.

. Construcción de una voluta de tres centros sabiendo que el paso son 15 mm.

. Construcción de un ovoide dadas las circunferencias de cabeza y pie y el punto de

tangencia T en una de ellas.

1

2

3

4

5

6

46

DE AUTOEVALUACIÓN

SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES

1. Construcción de un óvalo de cuatro centros, conociendo los ejes que miden 70 y

55mm

1º Trazo los ejes perpendiculares en el punto medio O y uno AC

2º Pincho en O y con radio OA saco el punto E y pincho en C y con radio CE saco el punto F.

3º La mediatriz de AF corta al eje en los puntos G y H y saco sus simétricos I y J.

ia K, L, N y M.

. Una conducción de aguas fecales tiene sección recta de forma ovoidal. Conocidas

las circunferencias de pie y de cabeza, se pide determinar el ovoide al trazar las

4º Los centros solución son G, H. I y J, y marco los puntos de tangenc

2

47

dos circunferencias laterales que faltan, al saber que estas tienen que ser

tangentes a la cabeza en T y T’, respectivamente.

1º Se trazan los ejes DA y TT’, la semicircunferencia con centro en A es parte de la solución.

2º A partir de los puntos T y T’ trazo hacia adentro y con radio R los puntos E y F

3º Se trazan las mediatrices de los segmento B y FB, que cortan a la prolongación del

iámetro TT’ en los puntos G y H, que son centros de arcos solución.

. En un tocadiscos en funcionamiento hay un disco que tarda 6 segundos en dar una

forma que recorre1, 5 cm. por segundo. Dibujar la trayectoria que describe la bolita

en 12 segundos

s E

d

4º Si unimos G y H con B, obtenemos los puntos de tangencia S y S’

3

vuelta. En el centro del disco se coloca una bolita a la que empujamos de tal

Se trata de una espiral de Arquímedes en la que sobre el radio se han tomado distancias y

a bolita en 1 segundo a recorrido

,5 cm. en el tocadiscos ha girado 60º.

4. Construcción de una voluta de cuatro centros sabiendo que el paso son 20 mm.

sobre la circunferencia tiempos. De tal forma que mientras l

1

48

1º divido el paso en cuatro partes iguales para construir un cuadrado y prolongo sus lados.

º Pincho en M y con radio MQ saco el punto R. 2

3º Pincho en N y con radio NR saco el punto S.

4º Repito la operación para ir dando forma a nuestra voluta.

UNIDAD 8: CURVAS CÓNICAS


Una vez conocido el origen de estas curvas llamadas cónicas, veremos que son de

ran utilidad por las aplicaciones que las mismas tienen en la técnica. Se hace un

iferenciando las distintas formas de generarse y las

aracterísticas de cada una para una futura resolución de diferentes ejercicios.

CO TES DE LA UNIDAD

g

estudio pormenorizado d

c

Al contrario que las curvas técnicas, estas no se pueden dibujar por arcos de compás,

sino que se unen los puntos hallados a mano.

NCEPTOS IMPORTAN

Las cónicas son unas curvas que se obtienen al cortar un cono de revolución por un plano

de manera que si el p

- no perpendicular la sección que se genera es una

lano de corte lo hace:

Cortando a todas las generatrices y

elipse (si es perpendicular es una circunferencia).

- Si cortamos por un plano paralelo a una generatriz, la cónica que se origina es una

49

parábola.

- Cuando el plano es paralelo a dos generatrices se origina una hipérbola.

APARTADO 1 - ELIPSE QUE TENEMOS QUE APRENDER

- Definición es una curva cerrada, plana y cuyos puntos constituyen un lugar geométrico

que tiene la propiedad de que la suma de distancias de cada uno de sus puntos a otros

e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor. dos fijos, llamados focos es constante

PF+ PF’ = 2a = AB = CTE.

- Elementos y propiedades.

La elipse es simétrica respecto de los dos ejes y por tanto de su centro, el punto O.

Eje mayor = AB = 2a

Circunferencia principal: centro en O y diámetro el eje mayor.

ro en F o FL y cuyo radio es el eje mayor.

Diámetros conjugados: son aquellos en que uno es el lugar geométrico de los puntos

al otro. Hay infinitas parejas de diámetros conjugados.

Eje menor = CD = 2b

Distancia focal = FF’ = 2c

Circunferencia focal: su cent

medios de las cuerdas paralelas

Excentricidad e = c/a, valores 0 < e< 1

- Construcción de la elipse por los diferentes métodos: por puntos (basada en la

definición, ver actividades), por afinidad y conociendo una pareja de diámetros

AYU

- Si nos dan conocidos los ejes

conjugados.

DA AL ESTUDIO DEL APARTADO

podemos sacar los focos pues la distancia

CF la mitad del eje mayor, AB

- Si n

=CF’=DF=DF’=a, siendo a,

os dan la distancia focal FF’ y uno de los ejes AB o CD podemos hallar el otro de la

- es muy sencillo si

AP

misma forma.

A partir de aquí sacar puntos de la curva para luego unirlos a mano

aplicamos la definición PF + PF’ = 2a y vamos tomando puntos entre los focos.

ARTADO 2 - HIPÉRBOLA

e los

puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos, llamados focos es constante e


- Definición es una curva plana, abierta y con dos ramas. Es el lugar geométrico d

50

igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje real.

PF- PF’ = 2a = AB = CTE.


La hipérbola es simétrica respecto de los dos ejes y por tanto de su centro, el punto O.

Eje real= AB = 2a

Eje imaginario = CD = 2b

Distancia focal = FF’ = 2c

Circunferencia principal: centro en O y diámetro el eje mayor.

Circunferencia focal: su centro en F o F´ y cuyo radio es el eje mayor.

Hipérbolas conjugadas: son aquellas en que el eje real de una es el eje imaginario de la

otra.

Hipérbola equilátera cuando el eje real = al eje imaginario.

s 1< e<∞

Las asíntotas

Excentricidad e = c/a, valore

- de una hipérbola son tangentes a la curva en el infinito.

puntos- Construcción de la hipérbola por (basada en la definición, ver actividades).


- Si nos dan conocidos los ejes que son perpendiculares y simétricos respecto al punto

podemos sacar los focos F y F’, construimos un rectángulo ⊥ por A y B al eje

je por los puntos C y D y la distancia focal es igual a las

-

medio O,

que se corta con las ⁄⁄ al e

diagonales de este rectángulo.

Si nos dan la distancia focal y uno de los ejes, ejemplo CD podemos hallar el otro, AB,

inscribiendo el rectángulo de lado CD en una circunferencia de diámetro FF’.

-

s diagonales de ese rectángulo y que nunca serán rebasadas por la

A partir de aquí sacar puntos de la curva para luego unirlos a mano, es muy sencillo si

aplicamos la definición PF - PF’ = 2a. Podemos también dibujar las asíntotas, que

coinciden con la

curva.

APARTADO 3 - PARÁBOLA


y de una sola rama. Es el lugar geométrico de los - Definición es una curva plana, abierta

puntos del plano que equidistan de un fijo F, llamado foco y de una recta d, llamada

directriz. Si llamamos a la distancia del punto a la directriz PM, se cumple:

PF= PM


La parábola es simétrica respecto del eje, que es perpendicular a la directriz.

51

El vértice como otros puntos equidista del foco y de la directriz, siendo también la mitad

del parámetro.

El parámetro es un dato suficiente para definir la curva, es la semicuerda perpendicular

el eje en el foco, es decir, igual a la distancia del foco y del punto intersección del eje

En la parábola será la tangente en el vértice la que haga de circunferencia principal y la

encia focal de radio ∞.

con la directriz.

directriz la que haga de circunfer

- Construcción de la parábola por puntos (basada en la definición, ver actividades de

autoevaluación de la unidad)


co y la directriz- Si nos dan conocidos el fo podemos hallar el vértice que está en el punto

medio del foco y del punto intersección del eje con la directriz, es decir, AV = VF.

- Si nos dan el parámetro entonces FN = FA, siendo A el punto intersección del eje con la

ego unirlos a mano es muy sencillo, solo

tenemos que aplicar la definición PF = PM, siendo M un punto intersección de la directriz

directriz y siendo N el punto que pertenece a la parábola. N es extremo de la

semicuerda junto con F.

- A partir de aquí sacar puntos de la curva para lu

con la paralela al eje desde P.

APARTADO 4 – TANGENTES A LAS CURVAS CÓNICAS QUE TENEMOS QUE APRENDER

- Las tangentes en un punto de la curva se obtienen como bisectriz del ángulo formado

por los radios vectores del punto, FPM.

- La normal es la recta perpendicular a la tangente en el punto de tangencia.

stá en la circunferencia focal del

en la parábola.

pse e hipérbola, de los focos sobre cualquier

tangente están en la circunferencia principal. En la parábola caerá sobre la tangente en

el vértice, tv.


az un dibujo para observar las propiedades explicadas.

Propiedades interesantes: - El simétrico de un foco respecto de cualquier tangente e

otro foco (elipse e hipérbola) y en la directriz

- Las proyecciones ortogonales en eli

A

H

52

Otra forma para obtener las tangentes en las curvas: dibujamos una de las circunferencias

cales y unimos FP hasta cortar a la circunferencia focal de centro F en el punto M. La

la mediatriz de MF’.

fo

tangente solución es

Recuerda: en la parábola la directriz hace de circunferencia focal


• Reproduce las construcciones de las diferentes curvas

• Conoce sus propiedades, elementos y puntos notables

• Aplica su trazado en dibujos más complejos

• Crea diseños utilizando dichas curvas


1. Construir por puntos una elipse. Dibuja los diferentes elementos y da se definición

con un punto.

2. Construir la elipse empleando la circunferencia principal y la circunferencia de

3. Determinar un punto de la hipérbola cuyos datos son: 2a=60mm y 2d=70mm y

dibuja la tangente en ese punto.

4. Dibuja los diferentes elementos y da la definición con un punto P de una parábola,

dibuja por P la tangente y la normal a la curva.

5. Construir una parábola cuya distancia del foco al vértice es de 15mm.


diámetro 2b. Datos: 2a=80mm y 2b=50mm

. Construir por puntos la elipse cuyos ejes miden 2a=80mm y 2b=50mm

. Construir la elipse de la que se conocen una pareja de diámetros conjugados de

80mm y 60m que forman entre si un ángulo de 60º.

Construir la hipérbola cuyos datos son: 2a=60mm y 2c=80mm

1

2

3.

53

4. Determinar un punto de la hipérbola cuyos datos son: 2a=60mm y 2d=70mm y

dibuja la tangente y la normal en ese punto.

arábola conocido el eje, la tangente en el vértice y un punto de ella.

5. Construir una parábola conocido el parámetro=23 mm.

6. Construir una p


1. Construir por puntos una elipse. Dibuja los diferentes elementos y da se definición

con un punto.

1º Trazo los ejes perpendiculares en el punto medio O. Pincho en C y con radio a, saco F y F’.

: Eje mayor AB 2a, eje menor CD 2b y distancia focal FF’ 2c

. Construir la elipse empleando la circunferencia principal y la circunferencia de

diámetro 2b. Datos: 2a=80mm y 2b=50mm

Saco los diferentes puntos. M pertenece a la curva porque se cumple que: MF+ MF’= 2a

2º Elementos = = =

3º Radios vectores r y r’, que cumplen r + r’ = 2a.

2

54

1º Trazo los ejes perpendiculares en el punto medio O Y dibujo las dos circunferencias

2º Trazo diámetros cualquiera de la circunferencia mayor, corta a las circunferencias en los

je mayor, se cortan en C, punto

3. Determinar un punto M de la hipérbola cuyos datos son: 2a=60mm y 2d=70mm y

dibuja la tangente en ese punto.

puntos A y B. Por B paralela al eje menor y por A paralela al e

de la elipse.

3º Repito la operación, es más fácil si los diámetros dividen a la circunferencia en partes

iguales.

1º M pertenece a la curva porque se cumple que: MF- MF’= 2a

trico de F’ al del otro foco.

. Dibuja los diferentes elementos y da la definición con un punto P de una parábola,

dibuja por P la tangente y la normal a la curva.

2º Circunferencia focal, pincho en F y con radio 2a

3º La tangente es la bisectriz del ángulo formado por FMF’, Observa que el simérespecto a la tangente es el punto M’ y que está en la circunferencia foc

4

55

1º Trazo el eje perpendicular a la directriz. VF = a la distancia de V la directriz. M pertenece a

la curva porque se cumple que: MF= M’F

erva que el simétrico de F’ .

. Construir una parábola cuya distancia del foco al vértice es de 15mm.

a

2º La tangente es la bisectriz del ángulo formado por M’MF, Obsrespecto a la tangente es el punto M’ y que está en la directriz de la parábola3º La normal es la perpendicular a la tangente en su punto de tangencia, M.

5

º Trazo el eje perpendicular a la directriz. VF = VA = 15 mm.

º Tomo puntos arbitrarios en el eje y por ellos paralelas a la directriz

º Tomamos la distancia de esos puntos a el punto A y pinchando en F corto a la paralela

orrespondiente.

º La curva se traza a mano, con ayuda de plantilla de curvas.

1

2

3

c

4

56

UNIDAD 9: SISTEMA DIÉDRICO: MÉTODOS.

RESENTACIÓN DE LA NIDAD

P U

ras dejar atrás la ge metría

descr ecir, n una ter

Estudiaremos los elementos geométricos fundame pun

las relaciones que hay entre ellos como la pe

Es necesario en principio entender la necesidad y la importancia los

de representación y conocer el fundamento teórico del sistema diédrico, resolviendo

roblemas del punto, la recta y el plano. Importancia de la utilidad de la tercera

cionarla con las pistas de perfil.

LA UNIDAD

T ometría plana, se com

se introduce una dimensión co

ienza con el estudio de la geo

iptiva, es d cera coordenada.

ntales como to, recta y plano y

rtenencia.

distintos sistemas

p

proyección empezando a rela

CONCEPTOS IMPORTANTES DE

presentar objetos reales de 3D en soporte plano de 2D y viceversa.

Finalidad: re

57

Fundamento: está basado en la Proyección.

Sistema Diédrico Sist. Axonométrico

Ortogonal

ORTOGONAL Rayos de proyección

perpendiculares al plano

de proyección. Sistema acotado

CILÍNDRICAS Rayos de proyección

pa

TIPOS DE ralelos entre sí. Observador en el infinito OBLICUAS

Rayos oblicuos al plano.

Sist. Axon. Oblicuo

Perspectiva caballera

PROYECCIONES

CÓNICAS Rayos forman haz cónico

ropio.

Sistema Cónico

Perspectiva cónica desde un punto p

Características importantes:

- La proporcionalidad de segmentos se cumple en la proyección cilíndrica pero por lo

general no en las proyecciones cónicas.

- La disposición de los elementos, (observador - objeto - plano de proyección) y distancia

entre estos no influye en proyección cilíndrica pero si en las proyecciones cónicas.

APARTADO 1- REPRESENTACIÓN DEL PUNTO Y POSICIONES El sistema diédrico utiliza dos planos de proyección PV y PH perpendiculares entre si y se

l) Y F1

cortan en la LT, divide al espacio en cuatro cuadrantes o diedros. En la representación

diédrica se dibuja la LT y las dos proyecciones del objeto F2 (proyección vertica

(proyección horizontal).

Podemos hablar de los planos bisectores que pasan por la LT formando 45º con los planos

e proyección. El primer bisector atraviesa el primer y tercer cuadrante y es segundo


El punto queda representado por sus dos proyecciones A1 y A2.

d

bisector el segundo y cuarto cuadrante.

58

• Cota es la distancia de un punto al PH (se ve reflejada en el PV). Cota positiva si el

l PH. punto esta por encima del PH, cota negativa si el punto esta por debajo de

• Alejamiento es la distancia de un punto al PV, (se ve reflejada en el PH). Alejamiento

positivo si está por delante del P V y alejamiento negativo si está por detrás del P V.

Representación de los diferentes tipos de puntos:


erencia que son

erpendiculares a la LT.

ntos situados:

Los puntos de ambas proyecciones se corresponden mediante líneas de ref

p

Si observas su representación los pu

- en el primer cuadrante tienen la proyección vertical por encima de la LT y la horizontal

por debajo.

- en el segundo cuadrante tienen las dos proyecciones por encima de la LT.

- en el tercer cuadrante tienen la proyección horizontal por encima de la LT y la vertical

por debajo, ( al revés que los situados en primer cuadrante).

- en el cuarto cuadrante tienen las proyecciones por debajo de la LT.

- en el PV tienen solo proyección vertical y la horizontal está sobre la LT.

- en el PH tienen solo proyección horizontal y la vertical está sobre la LT.

59

Representación de puntos por coordenadas

El punto queda definido por sus proyecciones diédricas P(X,Y,Z) cuyo significado es (distancia

l origen, alejamiento, cota) y cuyos sentidos positivos y negativos se representan en la figura.

a

APARTADO 2 – REPRESENTACIÓN Y TIPOS DE RECTAS Una recta se representa por sus dos proyecciones r1 y r2 o se puede definir por dos

puntos: A1-A2 y B1-B2

Las trazas son los puntos intersección con los planos de proyección: V y H.

enta

ontinua, la parte de la recta que pasa por primer

ectores, ángulos, etc.

ectas oblicuas, suelen atravesar tres cuadrantes.

Observa los siguientes ejemplos de cómo hallar trazas y cuadrantes por los que pasan las

rectas oblicuas.


Hallar trazas y cuadrantes por los que pasa, dibujar partes vistas y ocultas (se repres

como visto y por tanto con línea c

cuadrante), intersecciones con los planos bis

R

Posiciones particulares de las rectas:

- Recta horizontal o ⁄⁄ al PH (r2 ⁄⁄ LT y r1 forma ángulo α en verdadera magnitud con LT)

- Recta frontal o ⁄⁄ al PV (r1 ⁄⁄ LT y r2 forma ángulo α en verdadera magnitud con LT)

- Recta vertical o ⊥ al PH (r2 ⊥ LT y r1 es un punto en el PH)

- Recta de punta o ⊥ al PV (r1 ⊥ LT y r2 es un punto en el PV)

60

- Recta ⁄⁄ a la LT(r2 ⊥ r1, quedan ⁄⁄ al a LT)

s de perfil y 3ª proyección)

ores

- Recta de perfil, (r2 y r1⊥ LT, ver plano

- Recta que pasan o se cortan con la LT ( V y H sobre la LT)

- Recta oblicua contenidas en los planos bisectores (r2 y r1 = α con respecto a la LT)

- Rectas paralelas a los bisectores

- Rectas perpendiculares a los bisect


contenidas en los planos de perfil, sus

royecciones quedan superpuestas y perpendiculares a la LT por lo que hay que observar

tes, trazas, partes vistas y ocultas, ángulo que forma

iones hay que dar dos

Las rectas de perfil son aquellas que están

p

tercera proyección para ver cuadran

con el PV y PH, distancia a la LT, etc.

Una recta de perfil no queda definida solo al conocer sus proyecc

puntos de ella.

61

APARTADO 3 - REPRESENTACIÓN Y TIPOS DE PLANOS Un plano se representa por sus trazas, que son la intersección con los planos de

proyecciones. El punto en el que se cortan con la LT se llama vértice de trazas.

Un plano se puede definir por:

- Tres puntos no alineados.

- Una recta y un punto exterior a ella.

- Dos rectas paralelas

- Dos rectas que se cortan (no que se crucen)


Hallar trazas y conocer la representación y características de los diferentes tipos de planos.

Si el plano es oblicuo, caso general atraviesa los cuatro cuadrantes

Tipo de planos:

- Plano horizontal o paralelo al PH (solo tiene α2 ⁄⁄ LT y la figura,F1 se en verdadera

magnitud en el PH)

- Plano frontal o paralelo al PV (solo tiene α1 ⁄⁄ LT y la figura F2 se en verdadera magnitud

en PV)

- Plano proyectante horizontal o perpendicular al PH (α2 ⊥ LT y α1 forma ángulo ϕ en

verdadera magnitud con LT)

- Plano proyectante verticales o perpendicular al PV (α1 ⊥ LT y α2 forma ángulo ϕ en

verdadera magnitud con LT)

LT, trazas confundidas, observar 3ª

ª

proyección)

- Plano de perfil o perpendicular al PH y PV(α2 y α1 ⊥

proyección)

- Plano paralelos a la LT (α2 y α1 ⁄⁄ LT, observar 3º proyección)

- Plano que pasa por la LT, se define con un punto, (α2 y α1 contenidas en LT, observar 3

62

- Planos oblicuos perpendiculares a los bisectores.

Representación del plano mediante coordenadas.

Como en el caso del punto, nos dan tres coordenadas α(X,Y,Z) cuyo significado es distinto,

(distancia al origen al vértice del plano, alejamiento de la traza horizontal α1 en el origen,

o dan definido por dos rectas r y s, se reduce a

a pues P1 y P2 se cortan en LT.(Ver pertenencias)

IÓN

cota de la traza vertical α2 en el origen) y cuyos sentidos positivos y negativos son iguales.


Para hallar trazas del plano cuando me l

sacar las trazas de las rectas y P2 pasará por Vr y Vs y P1 pasará por Hr y Hs. No es

necesario sacar todas las trazas de la rect

APARTADO 4- TERCERA PROYECC

MOS QUE APRENDER

QUE TENE

63

Además de PV y PH se necesita un tercer plano de proyección que es de perfil y se

abate sobre el PV o PH. Aprenderemos en tercera proyección:

Representación de un punto

Representación de una recta

Representación de un plano


tos se deben girar en el mismo sentido. Para recordar

razaremos paralela a la LT por la proyección

A

Para que sea efectivo todos los pun

como quedan, si abatimos sobre el PV, t

vertical y giraremos la horizontal:

- en el primer cuadrante se giran hacia arriba a la derecha hasta la LT Y perpendicular

hasta encontrar a la anterior paralela.

- en el segundo cuadrante se giran hacia abajo a la izquierda hasta la LT Y perpendicular


- en el tercer cuadrante se giran hacia abajo a la izquierda hasta la LT Y perpendicular


- en el cuarto cuadrante se giran hacia arriba a la derecha hasta la LT Y perpendicular


Evidentemente si observamos la cruz del sistema cada uno de ellos caerá en su respectivo

cuadrante.

Una aplicación inmediata de la tercera proyección es la de hallar las trazas de las rectas de

erfil, así como ángulos, cuadrantes, etc. (Ver apartado 2 de la unidad)

aralelos a la LT y los que pasa por la LT

p

Los plano de perfil, p , normalmente para trabajar

mbién, en tercera proyección con ellos hay que hacerlo, ta

APARTADO 5 - PERTENENCIAS


64

Pertenencias, (observa la primera imagen):

- De un punto a una recta, un punto pertenece a una recta cuando sus proyecciones

están sobre las homónimas de la recta.(P2 sobre r2 y P1 sobre r1)

- De una recta a un plano, una recta pertenece a un plano cuando sus trazas están sobre

las homónimas del plano. (Vr sobre α2 y Hr sobre α1)

De un punto a un plano,- un punto pertenece a un plano cuando pertenece a una recta

de dicho plano.

Rec

Rectas horizontales

tas singulares:

, (r1 ⁄⁄ α1)

Rectas frontales, (r2 ⁄⁄ α2)

Rectas de máxima pendiente o ⊥ a las horizontales del plano ( r1 ⊥ α1)

Rectas de máxima inclinación o ⊥ a las frontales del plano (r2⊥ α2)

Rectas de perfil (Vr sobre α2 y Hr sobre α1)

AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO)

Las rectas de máxima pendiente o de máxima inclinación definen un plano.

Por otro lado con horizontales o frontales podemos sacar fácilmente una de las

tra y si me dan las dos proyecciones de la


proyecciones de una figura cuando me dan la o

figura puedo hallar una de las trazas del plano.

65

• Comprende la necesidad y la importancia los distintos sistemas de representación.

• Conoce los fundamentos teóricos del sistema diédrico.

• Resuelve problemas relacionados con el punto, la recta y el plano.

• Realiza una proyección conocida la otra de una figura dada.

• Entiende la unidad de la tercera proyección empezando a relacionarla con las

pistas de perfil.

DES DE AUTOEVALUACIÓN

ACTIVIDA

1. Trazar las proyecciones diédricas de estos puntos:

A, situado en el 3 cuadrante, con mayor cota que alejamiento.

B, situado en el 1 cuadrante, que solo tiene alejamiento.

C, situado en el 4º cuadrante, con mayor alejamiento que cota.

2. Hallar las trazas de las rectas r y s, conocidas sus proyecciones diédricas. Dibuja

partes vistas y ocultas. Señala cuadrantes por los que pasa.

D, situado en el 2º cuadrante, con igual cota que alejamiento.

ección con los planos bisectores.

3. Dada la recta definida por dos puntos, hallar; partes vistas y ocultas, cuadrantes

por los que pasa e inters

4. Trazar el plano proyectante vertical de la recta r y el proyectante horizontal de la

recta s.

66

5. Hallar el plano que determinan tres puntos no alineados.

6. que determinan dos rectas que se cortan m y s, conocidas sus Hallar el plano

proyecciones diédricas.

7. Hallar la proyección vertical del cuadrilátero dado, para que esté contenido en el

plano α.

67


1. Determinar las proyecciones de los diferentes puntos dados por coordenadas y

señala los cuadrantes y el dato que falta :

A (10, 30,?) está en el 3 cuadrante y pertenece al bisector

B (30, 30, 40)

D (60, 50,?) está en la parte posterior del plano horizontal

E (70, - 15, 40)

F (-10, -20, -20)

G (-15, -15, -15)

H (30, 0, 0)

y el punto A. Hallar su traza horizontal.

C (40,?, 20) pertenece al 2º bisector

2. Dibujar las proyecciones diédricas de una recta r determinada por sus puntos: la

traza V

3. Dibujar la proyección vertical de la recta s de manera que corte a la recta r y pase

por el punto P

68

4. ra n que se corten Determinar en el plano, una recta frontal f y otra recta cualquie

en un punto A.

5. Definir el plano determinado por dos rectas que se cortan, r y s.

6. Dada la pieza, dibujar en la cara que determinan los puntos A, B y C las siguientes

rectas:

Las horizontales que parten de los puntos D y E.

Las rectas de máxima pendiente que parten de f y G.

69


1. Trazar las proyecciones diédricas de estos puntos:

A, situado en el 3 cuadrante, con mayor cota que alejamiento.

B, situado en el 1 cuadrante, que solo tiene alejamiento.

C, situado en el 4º cuadrante, con mayor alejamiento que cota.

D, situado en el 2º cuadrante, con igual cota que alejamiento.

Hallar las trazas de las re2. ctas r y s, conocidas sus proyecciones diédricas.

Dibuja partes vistas y ocultas. Señala cuadrantes por los que pasa.

1º Para sacar las trazas, prolongamos la r2 y al llegar a la LT obte mos H2 y por esa

proyección perpendicular hasta cortarse con r1, donde obtenemos H1 o traza horizontal

ara ver los cuadrantes ocurre igual que con los puntos, así, si la r2 esta por encima

ajo sería del cuarto, etc.

3º Se traza como visto en una recta todo lo que está en primer cuadrante.

ne

de la recta. Si hago lo mismo con la r1, obtendré Vr.

2º P

de la LT y r1 por debajo, el segmento esta en primer cuadrante, si las dos están por

deb

70

3. Dada la recta definida por dos puntos, hallar; partes vistas y ocultas e

intersección con los planos bisectores.

1º Se resuelve igual que en el ejercicio anterior

2º Los puntos de intersección con los planos bisectores tendrán igual cota que

cortan las dos

proyecciones r1 y r2 (en este caso N, que está además en el segundo cuadrante) y si a

emos el punto M, punto

intersección con el primer bisector. Daría el mismo punto si hubiéramos metido el

ángulo en la otra proyección.

4. Trazar el plano proyectante vertical de la recta r y el proyectante horizontal de

la recta s.

alejamiento. Con el segundo se ve directamente pues el punto donde se

partir de V1 metemos el ángulo que forma la r1 con la LT obten

1º Proyectante vertical, es ⊥ al PV, por lo que α1, queda ⊥ a la LT y α2 coincide con

r2.

2º Proyectante horizontal, es ⊥ al PH, por lo que β2, queda ⊥ a la LT y β1 coincide con

s1.

71

5. Hallar el plano que determinan dos rectas que se cortan s y n, conocidas sus

proyecciones diédricas.

1º La traza α2, contendrá a las trazas homónimas de las rectas VS y Vn.

6. es puntos no alineados.

2º La traza α1, contendrá a las trazas homónimas de las rectas HS y Hn.

Hallar el plano que determinan tr

Se resuelve igual que el ejercicio anterior ya que tres puntos no alineados definen dos

rectas que se cortan en un punto y por tanto un plano.

72

7. Hallar la proyección vertical del cuadrilátero dado, para que esté contenido en

el plano α.

1º Metemos a los puntos en rectas horizontales o frontales

proyecciones de los puntos.

del plano y sacamos las

2º Los unimos convenientemente.

ción horizontal. Se resuelve igual si me dan la proyec

73

UNIDAD 10: INTERSECCIONES, PARALELISMO, PERPENDICULAR Y DISTANCIAS.


Tras estudiar los elementos geométricos fundamentales como punto, recta y plano, se

trata ahora de representar la posición relativa que estos elementos pueden adoptar

entre sí, tales como: intersecciones, paralelismo, perpendicularidad, distancia, etc.

El alumno debe dibujar en el sistema diédrico, resolviendo problemas de

intersecciones, paralelismo, perpendicular y hallar verdaderas magnitudes de

distancias entre los distintos elementos.


APARTADO 1- INTERSECCIONES Procedimiento general La intersección de dos planos P y Q será una recta. Para hallarla se corta por un plano

auxiliar W y se obtiene la intersección s y t y el punto de intersección H. Repetimos la

operación con otro plano X y se obtienen las rectas l y m siendo el punto común V. Si

unimos H y V obtenemos r, recta solución. El éxito de la operación consiste en elegir en

cada sistema los planos auxiliares adecuados. En diédrico por lo general serán los propios

planos de proyección.


- Intersecciones entre rectas será un punto, no es suficiente con que las proyecciones

homónimas se corten tiene que existir una única línea de referencia para el punto

común sino, las rectas no se cortan, se cruzan. También pueden ser paralelas. (Ver en

el siguiente apartado)

- Intersecciones entre planos la intersección de dos planos es una recta común a

ambos cuyas trazas deben pertenecer simultáneamente a las trazas homónimas de

ambos planos.

74

- Intersecciones entre rectas y planos. Método general de resolución:

1. Dibujamos plano β que contenga a la recta r, preferentemente uno de los planos

proyectantes de la recta.

2. Se halla la intersección del plano auxiliar β con el plano dado α, recta a.

3. Se determina el punto de intersección de la recta dada r y a , punto A solución


Observa los casos particulares.

75

- Si al hallar la intersección de dos planos las trazas no se cortan en el papel, se trazan

planos auxiliares, normalmente horizontales o verticales, cuyas intersecciones nos dan

puntos de la recta solución, ejemplo en nuestra figura el punto M.

Las secciones que produce un plano al cortar a de superficies como prismas, pirámides,

APARTADO 2 – PARALELISMO

conos, etc. Se pueden hallar como intersección de recta y plano tomando cada arista o

generatrices como rectas.


- Entre rectas, las proyecciones homónimas son paralelas. Excepto rectas de perfil.

- Entre planos, las trazas homónimas son paralelas. Excepto planos paralelos a la LT.

- Entre recta y plano, para que una recta sea paralela aun plano debe ser paralelo a una

recta contenida en el y para que un plano sea paralelo a una recta debe contener una

paralela a ella.

76


Aplicación: Trazar un plano paralelo a la recta r por un punto A, dibujamos una recta s que

contenga al punto y sean sus proyecciones homónimas paralelas a las proyecciones de la

recta r y cualquier plano que contenga a las trazas de la recta s será solución, hay infinitas

para que solo tenga una habría que poner otra condición por ejemplo que además sea

paralelo a la LT. (Ver actividades de autoevaluación)

APARTADO 3 – PERPENDICULARIDAD Teoremas relativos a la perpendicularidad (teorema de las tres perpendiculares)

- ralela al plano de

se corten o se

rpendicular a α tiene su

- Si r es perpendicular a un plano es perpendicular a todas las rectas de dicho plano.

Si r y s son perpendiculares en el espacio y una de ellas es pa

proyección, las proyecciones de r y s también son perpendiculares

crucen.

- Si r pertenece al plano y s es perpendicular a r, las proyecciones también son

perpendiculares.

- Si hα es la recta intersección de los planos α y H y r es pe

proyección perpendicular r1 a hα.


- Recta perpendicular a un plano sus proyecciones son perpendiculares a las trazas

homónimas del plano.

- Plano perpendicular a una recta sus trazas son perpendiculares a las proyecciones

homónimas de la recta.

- Perpendicularidad entre rectas

Si la recta es horizontal la perpendicular se ve en proyección horizontal.

Si la recta es frontal la perpendicular se ve en proyección vertical.

Si la recta es oblicua la perpendicular no se ve ni en proyección horizontal ni vertical.

77

- Perpendicularidad entre planos para que un plano sea perpendicular a otro debe

contener a una recta perpendicular a ese otro


- Recta s perpendicular a otra dada r y que contenga a el punto A. Tres operaciones:

1. Por A se traza un plano P perpendicular a la recta dada r.

sección de la recta y el plano, punto I. 2. Se halla el punto inter

3. Se une A con I y obtenemos la recta solución s.

- Plano P perpendicular a una r por el punto A, las proyecciones de las horizontales o de

las frontales del plano que estamos buscando son perpendiculares a una de las

proyecciones de la recta r, por lo tanto nos ayudamos de ellas.

dicular a Q y que contenga a un punto A- Plano P perpen , trazo por A una recta

s soluciones todos los planos que contengan a la

perpendicular al plano Q, tiene infinita

recta r, habría que poner más condiciones (caso siguiente).

- Plano P perpendicular a Q y que contenga a una recta r, una solución, tomamos un

a perpendicular r al plano Q. El plano solución P está

an en el punto B y por lo tanto definen un plano.

punto B de r y por el trazamos un

definido por las rectas s y r, que se cort

APARTADO 4 – DISTANCIAS Distancia entre dos puntos o verdadera magnitud: - Si el segmento es horizontal se ve verdadera magnitud en proyección horizontal pero si

royección vertical. además la recta es vertical entonces se ve en p

- Si el segmento es frontal se ve verdadera magnitud en proyección vertical pero si

horizontal. además la recta es de punta entonces se ve en proyección

- Si el segmento es oblicuo no se ve verdadera magnitud ni en proyección horizontal ni

na abatiendo uno de los planos proyectantes, girando

pidamente si usamos incremento de cotas o alejamiento. Si observamos

nuestro ejemplo del dibujo ∆z, es la diferencia de cotas del punto A y B, por cualquiera de

en proyección vertical. Se determi

o haciendo cambios de plano que veremos en la siguiente unidad.

Se resuelve rá

78

las dos proyecciones horizontales llevamos en una perpendicular esa medida siendo la

ngulo que se forma. verdadera magnitud la hipotenusa del triángulo rectá

QU

Com

E TENEMOS QUE APRENDER

o medir en una recta oblicua una distancia a partir de un punto de esa recta

Tomamos un punto arbitrario en la recta K, obtenemos la verdadera magnitud de AK y sobre

e luego llevamos a las proyecciones de la recta.

Casos particulares

esa línea podemos medir la distancia, qu

- Distancia de un punto A a un plano P

1. Trazar recta r perpendicular al plano por A.

2. Hallar punto de intersección de r con el plano P, punto I.

3. Hallar verdadera magnitud AI

- Distancia de un punto A a una recta r.

1. Trazar plano P perpendicular a la recta r y que contenga al punto A.

2. Hallar punto de intersección de r con el plano P, punto I.


Otra forma: A y r definen un plano que podemos abatir sobre el PV o PH y ver verdadera

magnitud.

- Distancia de una recta r paralela a un plano P.

1. Tomamos un punto cualquiera A sobre la recta.

2. Trazamos recta s por A, perpendicular al plano P.

3. Hallamos la intersección de s con el plano P, punto I.


Otra forma: Plano Q paralelo a P y que contenga a r. (Ver distancia entre dos planos

paralelos)

79

- Distancia entre dos rectas paralelas r y s.

1. Plano P perpendicular a ambas rectas r y s.

2. Hallar punto I y J de intersección del plano P con ambas rectas r y s.

mos abatir sobre el PV o PH

3. Verdadera magnitud de IJ

Otra forma: dos rectas paralelas definen un plano que pode

y ver verdadera magnitud.

- Distancia entre dos planos paralelos P y Q.

1. Recta r perpendicular a ambos planos P y Q.

2. Hallar punto I y J de intersección de la recta r con los planos P y Q.

3. Verdadera magnitud de IJ

- Distancia entre dos rectas que se cruzan

Esta en la perpendicular común a ambas.

aralela a la otra y ambas definen un

pla e distancia de una recta r paralela a un plano P.


Por un punto cualquiera de una de ellas se traza p

no, pasamos al caso ya visto d

Se recomienda que realices ejercicios con cada uno de los casos vistos.

80


• Resuelve problemas de intersecciones, paralelismo y perpendicularidad entre

rectas, entre planos y entre recta y plano.

• Halla secciones de superficies por intersección de rectas y planos

• Reconoce si los elementos son paralelos o perpendiculares

• Calcula diferentes problemas de distancias entre puntos, rectas y planos, y calcula


verdaderas magnitudes de esas distancias.

1. Hallar la intersección de los siguientes planos:

Dos planos paralelos a la LT

Dos planos concurrentes en un punto de la LT

2. Hallar la intersección d tres planos: oblicuo, proyectante vertical y el tercero e

vertical.

3. Hallar el plano definido por las dos rectas paralelas dadas.

81

4. Trazar un plano paralelo a otro por un punto A.

5. Recta paralela a un plano por un punto B. Dibuja también un punto A que

pertenezca al plano dado.

6. Por un punto P traza una recta perpendicular al plano α, definido por el punto A

y su traza horizontal.

7. allar la distancia de un punto A a una recta r, conocidas las proyecciones

iédricas del punto y de la recta. H

d

82


1. Hallar la intersección de los planos α(-7, -4, 4) y β(4, -4, 4).Origen en el centro.

ecta que corte a las dos r: A( 7,

C( 3´5, -1, 0) y D(4´5, 0, 1). Origen en margen

3. Trazar el plano paralelo a la recta r : A( 10, 0, 8´5) y B(14, 3, 0) y que contenga

a la recta s: C( 1, 4, 0) y D(8, 0, 7)

4. Por una recta r: A( -6, -1, -3) y B(-2, -3, -1) hacer pasar el plano perpendicular a

otro dado : α ( 4, 2, 4). Origen en el centro.

5. Hallar la verdadera magnitud de la mínima distancia existente entre el punto

P(8, 0, 0) y la recta r: A( 12, 3, 0) y B(12, 1´5, 5). Origen en margen izquierdo.

6. Comprobar si la recta r es paralela al plano α. (Figura 1)

7. Por el punto P trazar una recta perpendicular a la recta r. (Figura 2)

2. Por un punto dado P(8´5, 2´´5, 2´5) trazar una r

5´5, 0) y B(11´5, 0, 2´5) y s:

izquierdo.

8. Determinar la verdadera magnitud de la distancia que hay entre el plano α y el

punto P. (Figura 3)

83


1. Hallar la intersección de los siguientes planos:

Dos planos paralelos a la LT

Dos planos concurrentes en un punto de la LT

- Los planos paralelos a la LT, observamos en tercera proyección que se cortan en un punto

r3, y al desabatir obtenemos las proyecciones r2 y r1 solución.

- Dos planos concurrentes en un punto de la LT, tienen las dos trazas de la recta solución en

los vértices comunes, por lo tanto hay que buscar otro punto de esa recta, M. Para ello

cortamos por un plano horizontal y lo realizamos igual que cuando las trazas del plano no

se cortan en el papel(Ver apartado? de la unidad).

2. al y el tercero

vertical.

Hallar la intersección de tres planos: oblicuo, proyectante vertic

ntersección de tres planos será un punto, donde se cortan las rectas dos a dos.

lo tanto tenemos: que la intersección de α y γ, es la recta r y la interse

La i

Por cción de α y β,

es

la recta f. Finalmente la intersección de r y f es el punto A buscado.

84

3. Hallar el plano definido por las dos rectas paralelas dadas.

Hallamos las trazas de las rectas por donde pasarán las homónimas del plano buscado.

4. Trazar un plano paralelo a otro por un punto A.

Un plano sea paralelo a otro, cuando sus trazas homónimas lo son, para ello nos

ayudamos de una horizontal o frontal del plano que vamos buscando.

5. Recta paralela a un plano por un punto B. Dibuja también un punto A que

pertenezca al plano dado.

Para que una recta sea paralela a un plano debe contener una paralela a ella. El

s r2 // a s2 y por B1 dibujamos r1 // a s1.

El punto A pertenece al plano porque pertenece a una recta que pertenece a él.

ejercicio tiene infinitas soluciones, si trazamos una recta cualquiera, s, contenida en el

plano y por B2 dibujamo

85

6. Por un punto P traza una recta perpendicular al plano α, definido por el punto A

y su traza horizontal.

1º Nos ayudamos de una horizontal para sacar α2, h1 // a α1 y por Vh trazamos α2.

2º Para que una recta sea perpendicular a un plano las proyecciones de la recta deben

ces por P2 dibujamos r2 ⊥

a α2 y por P1 dibujamos r1 ⊥ α1.

to A a una recta r, conocidas las proyecciones

diédricas del punto y de la recta.

ser perpendiculares a las trazas homónimas del plano. Enton

7. Hallar la distancia de un pun

1º S

2º Halla terse

3º Falta agnitu iento do

4- d

e traza por A un plano α ⊥ r, para ello nos ayudamos de una frontal, f.

mos el punto de in cción de α con r, punto B.

ría hallar verdadera m d por incremento de cotas o alejam (ver aparta

istancias de la unidad)

86

UNIDAD 11: ABATIMIENTOS, LOS CAMBIOS DE PLANO Y LOS GIROS.


En esta unidad veremos las distintas operaciones que pueden efectuarse con puntos,

rectas o planos, tales como giros, abatimientos o cambios de plano. Enfocadas, entre

otras cosas, a poder calcular verdaderas magnitudes de los elementos con los que se

trabaja. También se utilizan para hallar secciones o desarrollos de cuerpos de una

manera relativamente fácil que veremos en el próximo curso.

Debemos saber aplicar el método más adecuado en cada caso según el ejercicio que

estemos realizando.

A UNIDAD

CONCEPTOS IMPORTANTES DE L

APARTADO 1- ABATIMIENTOS Si tenemos una figura en un plano paralelo a los de proyección, (planos horizontales o

era magnitud sino tenemos que abatir el plano sobre el

- Si abatimos sobre el PH la charnela será la traza horizontal del plano.

- Si abatimos sobre el PV la charnela será la traza vertical del plano.


- Abatimiento de un punto

verticales) la figura se ve en verdad

PH o el PV:

supongamos que abatimos sobre el PH por la proyección

horizontal del punto se dibuja una perpendicular ala charnela y en la paralela llevamos la

cota del punto. Pinchando en la charnela giramos la distancia que corta a la

perpendicular en el punto abatido.

- Abatimiento de una recta se resuelve abatiendo dos puntos.

En el caso de rectas singulares del plano:

- Horizontales, siendo r1 ⁄⁄ α1, entonces la r abatida se verá ⁄⁄ α1

- Rectas de perfil contenidas en el mismo plano al abatirlas salen ⁄⁄.

- Frontales, siendo r2 ⁄⁄ α, entonces la r abatida se verá ⁄⁄ a la α2 abatida.

⊥ α ⊥ α- Máxima pendiente, r1 1, abatida seguirá 1

- Máxima inclinación, r2 ⊥ α2, abatida será ⊥ a la α2 abatida.

87

Abatimiento de un plano tomamos un punto A cualquiera en la traza vertical, α2, del plano y

adio OA2 corto a la

batida es uniendo O con A0.

por A1 trazo ⊥ a la charnela, α1. Pincho en el vértice de trazas y con r

perpendicular anterior en A0. La traza a


APARTADO 2 – CAMBIOS DE PLANO

l método consiste en cambiar algún plano de proyección. Han de hacerse de uno en uno y

ridad entre planos del sistema.

E

siempre han de conservar la perpendicula


Como cambian las proyecciones de un punto

Cambio de plano vertical, la proyección horizontal del punto no cambia y la nueva

proyección vertical está en una perpendicular a la nueva LT y a la misma cota.

Cambio de plano horizontal, la proyección vertical del punto no cambia y la nueva

proyección horizontal está en una perpendicular a la nueva LT y con el mismo alejamiento.

88

Como cambia una recta

Basta con tomar dos puntos de ella y aplicar lo estudiado para el punto.

Como cambian las trazas de un plano

Para cambian las trazas de un plano basta con tomar 3 puntos, 1 punto y una recta, 2 rectas

que se corten o sean paralelas y aplicarles el cambio correspondiente. Lo más fácil es

tilizar la traza que hace de charnela pues su cambio de plano es ella misma y un punto,

cortan las dos LT. También se puede utilizar

Observa las imágenes.

u

preferentemente de la otra traza y donde se

una horizontal del plano en casos particulares.


Aplicaciones más utilizadas: - Poner un segmento o recta en posición horizontal o frontal para medir o ver verdadera

magnitud. Consiste en trazar la nueva LT // a una de las proyecciones de la recta y

de plano. aplicar el cambio

- Convertir un plano cualquiera en proyectante horizontal o vertical para hallar secciones

más fácilmente y verdaderas magnitudes. Consiste en trazar la nueva LT ⊥ a una de las

trazas del plano y aplicar el cambio de plano correspondiente.

89

APARTADO 3 – GIROS Consiste en girar los elementos del espacio manteniendo fijos los planos de proyección.

Para que los giros sean operativos hay que girarlos alrededor de ejes perpendiculares al PH

o al PV.


Como cambian las proyecciones de un punto.

El punto gira alrededor del eje vertical (recta vertical), luego gira en un plano horizontal

anteniendo su cota y el ángulo de giro se ve sobre el PH en verdadera magnitud.

l (recta de punta), luego gira en un plano vertical

y el ángulo de giro se ve sobre el PV en verdadera magnitud.

m

El punto gira alrededor de eje horizonta

manteniendo su alejamiento

Giros de una recta

Para girar una recta normalmente se giran dos puntos de ella con el mismo ángulo y

sentido.

- Cuando la recta corta con el eje de giro es suficiente con girar un punto, pues el otro

seguirá en el punto intersección con el eje.

- Cuando la recta es paralela al eje de giro, con gira un punto es suficiente pues la nueva

proyección será paralela a la dada.

- Cuando la recta se cruza con el eje de giro, se giran dos puntos.

Como cambian las trazas de los planos.

- Si el eje es vertical giraremos la traza horizontal y la horizontal del plano que se corte

con el eje.

- Si el eje es de punta giraremos la traza vertical y la frontal del plano que se corte con el

eje.

90


Aplicación más utilizada: tical- Convertir el plano en proyectante horizontal o ver , se toma el punto más próximo de

la traza, M y se gira hasta poner la traza ⊥ a la LT. Se une O´con V´r.

- Poner la recta en posición horizontal o frontal para observar verdadera magnitud entre

, r´2 puntos. Ejemplo frontal, por A1 proyección // a la LT y giramos el punto B1 hasta ella

es uniendo A2 y B´2.

- Cuando la recta se cruza con el eje de giro, se toma un punto más próximo y se gira

hasta poner la proyección r´1 paralela a la LT. L

uego se gira otro punto cualquiera.

91


• Comprender la utilidad y finalidad práctica de estos métodos operativos

• Aplicar adecuadamente los procedimientos a sí como su elección de abatimientos,

cambios de planos y giros, en la resolución de los ejercicios propuestos.

• Analizar el por qué s la verdadera magnitud de figuras planas con

• Elección de cambios de planos para hallar secciones con planos proyectantes por

su rapidez

• Comprender la aplicación de giros el la determinación de la verdadera magnitud


e obtiene

abatimientos

un plano

oblicuo a los dos de proyección, conociendo la proyección vertical del

cuadrilatero.

1. Hallar la verdadera magnitud del cuadrilátero ABCD, situado en

2. Hallar las proyecciones diédricas de un triángulo equilátero situado en el plano

α, conocida la medida de su lado AB dada en la recta r abatida que lo

contiene y la proyección vertical de ésta. Nota: el otro vértice C, tiene menor

cota que los vértices A y B.

3. Dado el segmento AP, buscar un punto B, que pertenezca a él tal que la

distancia AB=l. Resolver mediante giros.

92

4. Hallar la distancia del punto P al plano mediante giros.

5. Girar un plano oblicuo alrededor de un eje de punta el ángulo dado.

6. Hallar la verdadera magnitud del segmento AB, mediante un cambio de plano.

7. Obtener la verdadera magnitud de las vistas laterales de una pirámide con un

cambio de plano vertical.

93


1. Halla la verdadera magnitud de las siguientes figuras.

2. Dibujar el triángulo equilátero que tiene uno de sus lados en la recta r y que

está contenido en el plano formado por la recta r y el punto P.

3. Mediante cambios de plano, obtener el segmento que mida la distancia del

4.

5.

punto A a la recta r. Figura 1

Mediante giros obtener la verdadera magnitud del segmento AB. Figura 2

Calcula la verdadera magnitud del ángulo formado por las dos rectas. Figura 3

94


1. Hallar la verdadera magnitud del cuadrilátero ABCD, situado en un plano

oblicuo a los dos de proyección, conociendo la proyección vertical del

cuadrilátero.

1º Sacamos la proyección horizontal del cuadrilátero, para ello me ayudo de las

horizontales del plano.

2º Abatimos la traza α2 sobre el PH con todas las horizontales, que recordamos

quedan paralelas a la charnela α1, obteniendo los puntos en la intersección de éstas

con las perpendiculares por las proyecciones horizontales de los puntos a la charnela.

3º Dibujamos el cuadrilátero.

95

2. Hallar las proyecciones diédricas de un triángulo equilátero situado en el plano

recta r abatida que lo

contiene y la proyección vertical de ésta. Nota: el otro vértice C, tiene menor

cota que los vértices A y B.

α, conocida la medida de su lado AB dada en la

1º Dibujamos la r1 y ayudándonos de Hr abatimos el plano sobre el PV.

2º Dibujamos el triángulo en verdadera magnitud.

3º Desabatimos sus puntos(se ha resuelto por afinidad), pero podríamos aplicar lo

3. Dado el segmento AP, buscar un punto B, que pertenezca a él tal que la

distancia AB=l. Resolver mediante giros.

explicado en el ejercicio 1.

1º Si queremos llevar una longitud l sobre una recta r a partir de un punto A de ella,

ta con deshacer el

giro para conseguir las proyecciones del punto solución B2 y B1.

bastaría con girar un punto cualquiera, (nosotros tomaremos el punto P dado) hasta

dejarla en posición frontal.

2º Después, a partir de A’2 llevamos la longitud l, obteniendo B’2. Bas

96

4. Hallar la distancia del punto P al plano mediante giros.

1º Giraremos el plano alrededor del eje vertical (no dibujado) que pasa por el punto P,

zontal h hasta ponerla en posición frontal P1-A’1 y P2-A’2,

siendo ésta, la distancia buscada.

5. Girar un plano oblicuo alrededor de un eje de punta el ángulo dado.

hasta dejarlo de canto.

2º Para ello giramos α1 y la hori

1º Puesto que el eje m es de punta, lo más sencillo es girar la traza vertical Vα y la frontal f,

2º La traza Vα gira un ángulo δ en el plano V, alrededor de m2, y toma la posición V’α.

3º La frontal f gira en el plano frontal tal que pertenece y se conserva paralela y

quidistante de V’α, hallándose enseguida la nueva traza H’f de f’ y la h’α del plano.

º De forma análoga se procedería con cualquier otra frontal como la a.

de éste que corta al eje.

e

4

97

6. Hallar la verdadera magnitud del segmento AB, mediante un cambio de plano.

1º Dibujamos la nueva LT ⁄⁄ a la proyección horizontal.

2º En las perpendiculares a la nueva LT por las proyecciones horizontales y a partir de

la LT llevamos las cotas correspondientes de los puntos.

3º Unimos A’2 con B’2, que al estar en una recta frontal es elmagnitud.

segmento en verdadera

e una pirámide con un

cambio de plano vertical.

7. Obtener la verdadera magnitud de las vistas laterales d

Solo es necesario situar el nuevo plano vertical paralelo a la proyección horizontal de las arístas V1-A1 y V1-B1.

98

UNIDAD 12: SISTEMAS AXONOMÉTRICO.


Debemos entender la necesidad e importancia de los distintos sistemas de

representación y conocer los fundamentos prácticos de los sistemas axonométricos.

diaremos los nuevos sistemas basados en el sistema de En esta unidad estu

proyección cilíndrico ortogonal, igual que el sistema diédrico, pero con la ventaja de

tener una proyección directa, o lo que es lo mismo, se consigue visualizar de una

forma más rápida e intuitiva las tres dimensiones de una figura.


APARTADO 1- ELEMENTOS Y CLASES DE SISTEMA AXONOMÉTRICO QUE TENEMOS QUE APRENDER

Fundamentos: utiliza proyección cilíndrica ortogonal. Se establecen tres ejes coordenados

(x, y, z) dos a dos que forman un triedro recto (⊥ entre si).

Divide al espacio en ocho zonas u octantes. Planos coordenados:

- Plano coordenado horizontal YOX

- V Plano coordenado vertical I XOZ

- W Plano coordenado vertical II ZOY

O Vértice del sistema

π Plano del cuadro sobre el que se proyectan ortogonalmente los ejes.

triángulo ABC y se llama Triángulo de trazas de Se demuestra que O es el ortocentro del

la perspectiva axonométrica y los ejes formarán unos ángulos α, β y γ.

99

Tipos de axonometría

ro en tres posiciones distintas, dando lugar a

metría ortogonal, donde se formaran distintos triángulos y

El plano del cuadro puede cortar al tried

las tres variantes de la axono

habrá un coeficiente de reducción en los ejes según el tipo de axonometría.

- Trimétrica: los tres ángulos son diferentes y por tanto también los tres ejes

tienen diferente coeficiente de reducción. El triángulo formado es escaleno.

- Dimétrica: dos ángulos iguales y otro desigual y dos ejes mismo coeficiente de

reducción. El triángulo formado es isósceles.

- Isométrica: los ángulos son iguales, 120 º y el coeficiente de reducción vale 0’8.

El triángulo es equilátero.


Perspectiva dimétrica normalizada, ángulos 131º25’, 131º25 y 97º10’, donde se

redondean los coeficientes de reducción y tenemos μz=1, μx=1 y μy= 0’5. Ventajas

perspectivas agradables. Los ejes x y z no llevan reducción y el eje y reduce a la mitad.

Isométrica: la reducción existe pero, en general, no la vamos a tener en cuenta, si es

necesario, se construye la escala gráfica. Para ello sólo necesitamos trazar, en el borde del

papel, una recta que mida 0’816 x 10 = 8’16 cm. y dividirla en 10 partes iguales (teorema de

Tales).

100

APARTADO 2 – ESCALA AXONOMETRICA Y COEFICIENTE DE REDUCCIÓN QUE TENEMOS QUE APRENDER

Procedimiento gráfico para hallar las unidades reducidas de los ejes XYZ consiste en trazar

o.

Abatimiento del plano YOX.

la escala axonométrica que corresponde a cada eje, para lo cual, abatimos dos caras del

triedro sobre el plano del cuadr


Método 1: Dibujamos un triángulo cualquiera, ABC, con lados ⊥ a los ejes de proyección y

vértices en ellos.

(O) esta en la intersección de la ⊥ de CB y del arco capaz de 90º del segmento CB

Se llevan las unidades en esos ejes (Y) y (X) que están en verdadera magnitud y se

traza ⊥ CB, que hace de charnela

de los ejes en las unidades buscadas. Estas dividen a las proyeccionesHacemos lo mismo para sacar la reducción del eje Z.

Método 2: También podemos obtener las escalas axonométricas o la reducción

correspondiente a una medida determinada, hallando los ángulos α, β y γ que forman lo

ejes reales con el plano del cuadro.

Para abatir el eje X trazamos una semicircunferencia de diámetro BH y una perpendicular al

eje X en O hasta cortar con la semicircunferencia. Al unir con una recta (O) con B,

en verdadera magnitud y el ángulo α que éste forma con el plano obtenemos el eje real (X)

del cuadro. En el dibujo también hemos abatido el eje real (Z), hallando el ánguloγ.

101

APARTADO 3- REPRESENTACIÓN DEL PUNTO Y POSICIONES QUE TENEMOS QUE APRENDER

Situar puntos en perspectiva axonométrica y obtener sus proyecciones.

erspectiva o proyección directa y otra sobre cada El punto tiene 4 proyecciones: una la p

plano coordenado. Deben conocerse al menos dos de ellas.

Un punto puede estar en el espacio (en uno de los ocho octantes), sobre los planos

coordenados o sobre los ejes.


APARTADO 4 – REPRESENTACIÓN Y TIPOS DE RECTAS


Obtener sus proyecciones, trazas, partes vistas y ocultas y octantes por los que pasa.

Al igual que el punto, tiene 4 proyecciones: una la perspectiva o proyección directa y otra

sobre cada plano coordenado. Deben conocerse al menos dos de ellas.

Las trazas de una recta son las intersecciones con los planos coordenados. Se obtienen

como intersección de la perspectiva de la recta con cada una de ellas.

Posiciones de la recta:

- Rectas paralelas a uno de los planos coordenados. Las horizontales son // al plano

XOY, r y r1 son //, r2 // al eje X y r3 // al eje Y.

102

- Rectas contenidas en uno de los planos coordenados. Proyecciones confundidas

con los ejes y dos trazas.

o de los planos coordenados, es decir, // a uno de los

s que se cortan con el eje.

- Rectas que pasan por el origen de coordenadas. Sus proyecciones pasan por O.

- Rectas perpendiculares al plano del cuadro y que pasan por el origen de

coordenadas. (Rectas visuales). Sus proyecciones coinciden sobre los ejes, y la

proyección directa es un punto coincidente con O.

- Rectas perpendiculares al plano del cuadro sin pasar por el origen. (rectas paralelas

a las virtuales)


Observa la representación de las más importantes.

- Rectas perpendiculares a un

ejes coordenados y por tanto una única traza.

- Recta

103

APARTADO 5 - REPRESENTACIÓN Y TIPOS DE PLANOS

ordenados, cada una de ellas se corta

QUE TENEMOS QUE APRENDER Se representa mediante sus trazas con los planos co

sobre el eje.

Posiciones particulares del plano:

104

- Planos paralelos a uno de los planos coordenados.

- Planos perpendiculares a uno de los planos coordenados (planos proyectantes). Son

planos útiles para hallar trazas de rectas en intersecciones.

- Planos que pasan por un eje coordenado.

- Plano que pasa por el origen de coordenadas.

- Plano perpendicular al plano del cuadro(plano visual)

- Plano paralelo al plano del cuadro.


ecta a un plano, y de un punto a un plano.

A

Pertenencias: de un punto a una recta, de una r

Igual que en el sistema diédrico. Observa la figura.

APARTADO 6- INTERSECCIONES Y PARALELISMO QUE TENEMOS QUE APRE R

- Entre rectas,

NDEIntersecciones:

será un punto A, si construimos un paralelepípedo deben coincidir

también sus otras proyecciones, es decir A1 deben cortarse r1 y s1, en A2 deben

cortarse r2 y s2, etc. Sino se cruzan - Entre planos, se hallan los puntasen que se cortan las trazas del mismo nombre, que serán

las trazas de la recta intersección.

- Entre rectas y planos. Recordar método para hallar intersecciones. Los planos auxiliares de

corte serán los propios planos coordenados y si fallan será preferentemente planos paralelos

a los coordenados.

Paralelismo: - Entre rectas, son paralelas si sus proyecciones son paralelas

- Entre planos, son paralelos cuando lo son sus trazas correspondientes como ocurre con

planos P y Q, R y T de la figura.

AYUDA AL ESTUDI

los

O DEL APARTADO

Intersecciones y paralelismo son iguales que en sistema diédrico.

105

APARTADO 7- ABATIMIENTOS. QUE TENEMOS QUE APRENDER

Abatimiento de los planos coordenados para obtener la verdadera magnitud de las

figuras que están en los planos del triedro. Para ello abatimos el plano sobre el plano

del cuadro que es el mismo método que hemos explicado para obtener las escalas

axonométricas.

Ver en el dibujo el abatimiento de un punto y de un segmento.

Trazado de la perspectiva isométrica y representación de figuras: polígonos regulares,

circunferencias, etc. Para trazar la perspectiva de otros polígonos regulares,

s a los ejes axonométricos en la

necesitamos obtener sus medidas en el polígono real, bien sea por el procedimiento

de abatir los vértices o por el de obtener las diagonales o las alturas que corten

perpendicularmente para dibujarlas paralela

perspectiva.

106

Trazado de la perspectiva de figuras conociendo sus proyecciones diédricas. Es igual

eje Y no

reduce a la mitad)

Circunferencia en perspectiva es una elipse para trazarla, en general, se inscribe en

un cuadrado cuyo lado sea igual al diámetro de la circunferencia.

En isométrica, se acepta sustituir la elipse por el óvalo inscrito en el cuadrado.

en isométrica que en la perspectiva caballera. (Ver vistas en unidad 14)


Ejemplos:

Triángulo y pentágono (ver en unidad 13, el método es el mismo pero el

Trazado de la perspectiva de una circunferencia situada en el plano abatido XY. Se

procede al revés que cuando queremos abatirla par obtener su verdadera magnitud.


• Conoce los fundamentos teóricos del sistema axonométrico y las diferentes tipos.

• Resuelve en dicho sistema, ejercicios sobre definición de puntos, rectas y planos;

así como intersección de estos últimos

• Dibuja piezas y figuras en perspectiva axonométrica isométrica.

107

ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 1. Hallar el triángulo de trazas que corresponde a los ejes X, Y, Z, y trazar los ejes

escalas axonométricas de los ejes X, Y, Z. Figura 2.

axonométricos que corresponden al triángulo de trazas ABC. Determinar a que

variante del sistema axonométrico corresponden en cada caso. Figura 1.

2. Trazar las

3. Hallar el ángulo γ que forma el eje z con el plano del cuadro. Figura 3.

4. Dibujar la perspectiva isométrica de las figuras representadas por sus

proyecciones diédricas ortogonales. Figuras 4,5 y 6.

108


1. En un sistema axonométrico XOY= 168´, ZOY=93´ y ZOY= 99º, representar los

siguientes puntos: A(3, 2, 5), B(2, 4, -3), C(-3, -2, 4), D(4, 0, -5), E(-2, 5, -4), y

F(6, 6, 6)

2. Hallar en un sistema isométrico, la intersección de los tres planos siguientes:

α(8, -9, 2), β(2, 9, 7) y δ(-8, 5, 5)

3. Hallar la intersección de los planos dados en las diferentes figuras.

4. Hallar la intersección de los planos y rectas dados en las diferentes figuras.

5. En la perspectiva isométrica, figura 1, dibuja la pieza que resulta al seccionar la

figura con un plano paralelo al eje Z que contenga a los puntos Ay B y suprimir

la parte delantera.

6. Dada la perspectiva isométrica, figura 2, hallar la sección que le produce el

plano que contiene al punto P y es paralelo al plano del cuadro.

109


1. Hallar el triángulo de trazas que corresponde a los ejes X

axonométricos que corresponden al tr

, Y, Z, y trazar los ejes

iángulo de trazas ABC. Determinar a que

variante del sistema axonométrico corresponden en cada caso. Figura 1.

étrica de las figuras representadas por sus

proyecciones diédricas ortogonales. Figuras 4,5 y 6.

2. Trazar las escalas axonométricas de los ejes X, Y, Z. Figura 2.

3. Hallar el ángulo γ que forma el eje z con el plano del cuadro. Figura 3.

4. Dibujar la perspectiva isom

110

UNIDAD 13: SISTEMA DE PERSPECTIVA CABALLERA.


Al igual que en la unidad anterior estudiaremos los sistemas basados en el sistema

de proyección cilíndrico, esta vez oblicuo., siendo la perspectiva caballera un caso

particular del sistema axonométrico.

Conviene resolver también, en dicho sistema, problemas de abatimientos, figuras

planas y representación de sólidos.


APARTADO 1- AXONOMETRÍA OBLICUA


Fundamentos: es una axonometría oblicua sobre un plano coordenado XZ = plano del

del cuadro, formando con estos dos ejes ángulos que

cuadro. Los ejes X y Z están en verdadera magnitud, mientras que el eje Y se proyecta

oblicuo a los ejes X y Z en el plano

pueden determinarse libremente (0≤ξ≤360º)

Ejes axonométricos y coeficiente de reducción: los ejes X y Z forman un ángulo de 90º, así

en la perspectiva, las aristas de la figura que tengan estas direcciones estarán en verdadera

afectará a las aristas que tenga su dirección.

magnitud.

El eje Y tiene un coeficiente de reducción que

Una perspectiva caballera queda determinada si conocemos la dirección del eje Y y su

coeficiente de reducción.

111


Llamando c al coeficiente de reducción, u a la unidad real y u´ a la unidad reducida del eje

Y, tenemos

Gráficamente, hallamos la dirección dp y el ángulo que éste forma con el plano del cuadro al

abatir el triángulo rectángulo AOA que forma la dirección de proyección con el eje Y real y el

eje Y proyectado. Para, ello conocidas las unidades u y u´ del eje Z y del eje Y,

spectivamente, centrado con el compás en O y hasta A, trazamos un arco que corte en

enemos la dirección dp y el ángulo ξ que ésta forma con

l plano del cuadro.

suele dar en forma de fracción, eligiendo reducciones

El

re

(A) la perpendicular trazada al eje Y desde O.

Al unir con una recta A´ con (A), obt

e

El coeficiente de reducción de Y se

como ½, ⅔ que resulten cómodas para realizar los trazados de las perspectivas.

coeficiente siempre será menor que 1.

APARTADO 2- PERSPECTIVCA CABALLERA NORMALIZADA. QUE TENEMOS QUE APRENDER

La Norma UNE 1-035-75 recomienda para el coeficiente de y ½ y los ángulos de 45º,

135º, 225º Y 315º para el ángulo α, según las vistas del cuerpo que sea necesario

presentar.

el plano del cuadro, quedando el cubo en

je Y.

- α = 135º. Alzado, planta superior y vista lateral izquierda.

re

Recomienda situar el alzado anterior en

segundo triedro y el ángulo α es de 45º en vez de 135º.


Bajo estas líneas tenemos un cubo representado con las diferentes posiciones del e

112

- α = 225º. Alzado, planta inferior y vista lateral izquierda.

- α = 315º. Alzado, planta inferior y vista lateral derecha.

APARTADO 2- PERSPECTIVCA DE FIGURAS CONOCIENDO SUS PROYECCIONES DIÉDRICAS. QUE TENEMOS QUE APRENDER

- Trazado de la perspectiva y representación de figuras: polígonos regulares,

circunferencias, etc. Para trazar la perspectiva de otros polígonos regulares,

necesitamos obtener sus medidas en el polígono real, bien sea por el

procedimiento de abatir los vértices o por el de obtener las diagonales o las

alturas que corten perpendicularmente para dibujarlas paralelas a los ejes

axonométricos en la perspectiva.

- Trazado de la perspectiva de figuras conociendo sus proyecciones diédricas.

Es igual que en el sistema axonométrico.


Trazado de la perspectiva y representación de figuras: polígonos regulares,

circunferencias, etc. Ejemplos:

Triángulo, sobre AB y por H trazamos paralela en este caso al eje Y y a partir de H

llevamos la medida de la altura a la mitad para obtener C. Terminamos el triángulo

113

Pentágono, trazamos en él la diagonal EC y la altura DH que se cortan

erpendicularmente. Por H paralela al eje Y, sacamos D, llevando la mitad de la altura

ctiva. Por N paralela al eje X y llevamos distancia de los vértices E y C.

p

en la perspe

Circunferencia, consiste en inscribir la circunferencia real en un cuadrado que se sitúa

en un plano paralelo al del cuadro. Ya en la perspectiva sale un romboide e

inscribimos en él la elipse como vemos en la figura.

El segundo procedimiento consiste en abatirle plano XY y dibujar en él la

circunferencia real, el eje X actúa como charnela y el eje Y abatido es la prolongación

del eje Z. La circunferencia se divide en 8 partes iguales por los que se trazan

perpendiculares al eje X y luego paralelas al eje Y, desde los puntos de la

circunferencia se trazan perpendiculares al eje Y que corta a las paralelas anteriores

e la elipse solución.

razado de la perspectiva de figuras conociendo sus proyecciones diédricas.

en puntos d

T

(Ver vistas en unidad 14)

114


• Reconocimiento de la relación que existe entre los sistemas axonométrico

ortogonal y oblicuo.

•

empleados en sistema diédrico, pero en axonométrico.

erspectivos pueden tener y elección adecuada de estos y entre la

Ejecución y aplicación de sistemas análogos en la resolución de problemas

• Apreciar el efecto que sobre la figura tiene la elección de las distintas aperturas

que los ejes p

perspectiva isométrica o caballera.

• Analiza la capacidad de comprensión


1. Trazar la perspectiva caballera según las proyecciones diédricas de la figura 1

μcon y=1/2. Indica según las normas, el ángulo α que corresponda a esta

perspectiva.

2. Dibuja la perspectiva caballera de esta figura según sus proyecciones

diédricas. Estas nos indican que en la perspectiva deben verse la planta inferior

y la vista lateral izquierda, μy=1/2. Dibuja el ángulo α que corresponda.

3. Traza la perspectiva caballera de la figura anterior, sabiendo que μy=1/2 y el

ángulo XY= 45º.

4. Dibuja a continuación, las proyecciones diédricas ortogonales de la figura en la

posición del ejercicio 3.

115


1. Representar, en perspectiva caballera (ángulo del eje Y = 225º y y= 3/4), las

s: C(0, 8, 2) D(6, 0, 5), m: E(-1, -2, 5) F(2, 7, -3), n: G(-4, -1, 4)H(2, 4, 11)).

δ μ

siguientes rectas, determinando partes vistas y ocultas: r: A(2, 3, 1) B(1, 4, 2),

d

caballera, figura 2, dibujada con ángulo del eje Y δ= 225º y

5. Dibuja la pieza que resulta de seccionar la perspectiva de la figura 3 (ángulo

del eje Y δ= 225º y μy= 1/2), con el plano que contiene a los puntos A, B y C,

suprimiendo la parte de delante.

2. Dado los tres puntos A (1´5, 3, 1) B (5, 1, -3) y C (1’5, -5, 8), ibujar en

perspectiva caballera el plano que determinan, datos: ángulo del eje Y δ= 210º

y μy= 2/3.

3. Dibuja la perspectiva caballera de la pieza de la figura 1.

4. En la perspectiva

μy= 1/2, hallar la intersección de la recta que une los puntos A y B con la cara

que determinan los puntos C, D y E.

116


ballera según las proyecciones diédricas de la figura:

μy=1/2. Indica según las normas, el ángulo α que corresponda a esta

perspectiva.

esta figura según sus proyecciones

diédricas. Estas nos indican que en la perspectiva deben verse la planta inferior

s de la figura en la

posición del ejercicio 3.

1. Trazar la perspectiva ca

2. Dibuja la perspectiva caballera de

y la vista lateral izquierda, μy=1/2. Dibuja el ángulo α que corresponda.

3. Traza la perspectiva caballera de la figura anterior, sabiendo que μy=1/2 y el

ángulo XY= 45º.

4. Dibuja a continuación, las proyecciones diédricas ortogonale

117

NORMALIZACIÓN, VISTAS, CORTES Y UNIDAD 14: SECCIONES PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD

Uno de los aspectos que rigen la práctica del dibujo técnico es la creación de la

dibujo.

y alcance actual de las normas UNE e ISO respecto

a formatos, rotulaciones y líneas y también respecto a vistas, cortes y secciones.

Aprenderemos a usar convencionalismos y simplificaciones en la representación

distintas formas.


norma, ya que partimos de la base de quien solicitamos un lenguaje universal.

Consecuentemente, se hace necesario un conjunto de reglas y recomendaciones que

harán fiable la transmisión de información que se hacen en

Conoceremos por tanto el origen

APARTADO 1- ESTUDIO DE LA NORMALIZACIÓN QUE TENEMOS QUE APRENDER

a normalizaciónL es el conjunto de reglas, recomendaciones y prescripciones que

inalidad de favorecer el comercio, la obtención y la

s unificados.

lización son: especificaciones, reglamentos y normas que

onales.

oración de la norma UNE.

establecen los diferentes países con la f

realización de objeto

Formas de expresión de la norma

se dividen en nacionales e internaci

La normalización española y elab

Elección de formatos. Las hojas de dibujo deben contener los siguientes elementos, (el

ivo):

ión. Conocer contenido y forma de rotular.

ado

resto de elementos es facultat

- Cuadro de rotulac

- Recuadro que limite la zona de ejecución del dibujo.

- Señales de centr

118

Líneas normalizadas:

- Línea continua gruesa, contornos y aristas visibles.

- Línea de trazos gruesa, contornos y aristas ocultas.

n

- Línea continua fina a mano alzada, límite de vistas o cortes parciales, líneas de

- Línea de trazo y punto fina, ejes de revolución, planos de simetría, trayectorias

on trazos grueso en los extremos, trazas de plano de

- Línea continua fina, contorno y aristas ficticias, líneas de cota y referencia, e

rayados, contornos de secciones abatidas, ejes cortos.

rotura.

- Línea de trazo y punto fina c

corte

- Línea de trazo fino y dos puntos, contorno piezas adyacentes, posiciones extremas

de piezas móviles.


Prioridad de líneas:

- Contornos y aristas vistas

- Contornos y aristas ocultas

- Trazas de plano de corte

- Ejes de revolución y trazas de plano de simetría

- Líneas de centro de gravedad

- Líneas de proyección

Utilización de las líneas:

- Líneas de ejes deben sobrepasar de los contornos de las piezas ligeramente y

circunferencias.

- En las circunferencias los ejes deben cortarse en los centros.

119

- Si dos líneas de trazos son paralelas y próximas se harán éstos alternados.

u oculta arranca de otra no se dejan espacios.

- Si dos o más líneas de trazos concurren en un mismo vértice, los trazos acaban en

ni a una línea oculta.

QUIS

- Si una línea sea vista

él.

- Una línea de trazos no corta, al cruzarse, ni a una línea vista

- Los arcos de trazos acaban en los puntos de tangencia.

APARTADO 2 -CRO

ma croquis al trazado a mano alzada, prescindiendo de la ayuda de

los instrumentos de precisión. En ocasiones, este tipo de dibujo llega a ser tan explícito y

pormenorizado que puede proporcionar igual información que un trabajo delineado, ya que

debe reproducir lo más fielmente posible la forma y proporción del objeto.


Proceso para trazar un croquis:


En dibujo técnico se lla

- Observación de la estructura formal de la pieza y el análisis de las partes de que se

compone.

- Se calculan las proporciones, vistas y secciones que se deban contemplar. Se toma

como alzado la cara que sea más representativa del cuerpo y solo se dibujan las

vistas necesarias para que quede totalmente definido.

- Se estudia la distribución sobre el papel. Descripción del grosor de las líneas.

- Medición del objeto.

120

APARTADO 1- VISTAS


Para la disposición de las 6 vistas de un cuerpo, hay dos sistemas:

- El español y europeo (normas UNE y DIN), las figuras se proyectan en el

primer cuadrante y después de abatirlo el alzado se encuentra situado sobre la

parte superior.

- El sistema americano (normas ASA), las figuras se proyectan en el tercer

cuadrante y después de abatirlo la parte superior queda situada sobre el

alzado.

Trazado de la perspectiva caballera e isométrica Recordamos, en el sistema europeo, cada proyección corresponde aun punto de vista

concreto, siempre el mismo:

- La planta debajo del alzado

- La vista lateral derecha, a la izquierda del alzado

- La vista lateral izquierda, a la derecha del alzado

121

De la vista lateral depende la situación del alzado y por lo tanto la posición de la figura.

erspectiva caballeraP , tendremos siempre el alzado en verdadera magnitud. Te

la perspectiva de la planta inferior y a resultará más fácil si empiezas a dibujar

continuación trazas paralelas al eje Z por todos sus vértices, determinando después la

longitud de estas rectas con las alturas medidas en el alzado. Ver figura.

Perspectiva isométrica, de la vista lateral depende la situación del alzado y por lo

so por las proyecciones

croquis medidas fundamentales del cuerpo: longitud, anchura y altura. Se

De

o hemos borrado las líneas ocultas ni el proceso utilizado para trazar

tanto, la posición de la figura, determinada de modo riguro

diédricas cuando sabemos interpretarlas. Se recomienda empezar haciendo un

con las tres

procede como en perspectiva caballera.

bes de practicar para adquirir visión espacial.

En este ejemplo n

la base del cilindro en perspectiva. La figura solo tiene dos vistas pues la tercera no es

necesaria por ser simétrica respecto de los dos planos que indican los ejes de la

planta.

122

APARTADO 2 – CORTES Y SECCIONES QUE TENEMOS QUE APRENDER

Los cortes y secciones son también cambios de plano. Se trata de representaciones

convencionales en las que se supone la pieza cortada por un plano paralelo a uno de los

ejes de la figura.

En la representación de la vista seleccionada se elimina la parte que corresponde a la

sección, (la sección es solo la parte de la pieza en contacto con el plano que secciona, lo

que se dibuja es el corte), para dejar al descubierto su interior.


Normas:

- La parte seccionada lleva un rayado a 45º y a 2mm. de distancia entre las líneas,

finas y de trazo continuo, que termina en el contorno. En diferentes piezas se

trazan con inclinaciones diferentes.

- Cota dentro se interrumpe el rayado.

- Si es de pequeño grosor se ennegrece totalmente

- Si es una pieza muy grande se raya el alrededor del contorno y no todo el

interior.

- No se seccionan: brazos, pernos, husillos, dientes de ruedas dentadas, tuercas,

etc. (si se cortan transversalmente si).

Tipos de cortes:

- Si el plano de sección no coincide con los planos de simetría o se trata de una

sección quebrada, la dirección de los rayos visuales se indica con dos flechas.

- En las piezas mecánicas, las secciones se realizan por planos horizontales o

frontales y en sección total o media sección, también llamada sección al cuarto. Esta

última tiene grandes ventajas, se ve la pieza por dentro y por fuera y ahorra tiempo a

la hora de realizar el dibujo.

- Cuando el corte es por planos concurrentes girados, a veces el alzado puede ser

más ancho o más corto que la planta, pero no se da la confusión.

- En piezas simétricas se puede simplificar dibujando sólo la mitad o cuarta parte.

- En piezas de gran longitud se interrumpen las vistas ahorrando espacio.

- Otras vistas auxiliares, basadas en los abatimientos, facilitan la comprensión de la

pieza cuando alguno de sus elementos se encuentra en un plano oblicuo. En estos

casos se representa solamente la parte oblicua de la pieza en un plano abatido, que

no se dibuja. Con esa vista y el alzado, la pieza queda bien representada, como

vemos al final de los ejemplos que muestra los dibujos a continuación.

123


Conocer el origen y alcance actual de las normas, valorando su necesidad e

eas.

Conoce las normas UNE e ISO respecto a la vistas cortes y secciones

a

• Usa convencionalismos y simplificaciones más usuales en la representación de

distintas formas.


•

importancia.

• Conocer las normas UNE e ISO respecto a los formatos, rotulación y lín

•

• Traza croquis de piezas ya diseñadas y crea otras nuevas, aplicando los tipos de líne

adecuados.

• Visiona el interior de piezas a través de cortes y secciones.

1. ¿Cuántos formatos A4 contiene un formato AO?

2. ¿Para qué se utilizan las líneas gruesas y continuas?

3. ¿Qué líneas tienen prioridad, las de trazos o los ejes?

4. ¿Cómo son las líneas de referencia? 5. ¿Qué elementos gráficos debe llevar un formato preimpreso obligatoriamente?

6. Dibuja la sección al cuarto de la figura dada.

7. Trazar las proyecciones diédricas ortogonales de las figuras representadas por

su perspectiva isométrica.

125


1. , planta y perfil de las piezas dadas en perspectiva, figuras 1, 2 y 3.

2. Dibuja la vista as que se representan en las figuras 4 y 5.

3. Dibuja los cort pieza de las figuras 6,7 y 8.

Dibuja alzado

de perfil de las piez

es indicados en cada

126


ontiene un formato AO? Recordamos: A3 = 2 x A4

A2 = 2 x A3 = 9 x A4

A1 = 2 x A2 = 8 x A4

A0 = 2 x A1 = 16 x A4

Luego el A0 contiene 16 formatos A4

2. ¿Para qué se utilizan las líneas gruesas y continuas? Para las líneas vistas, tanto de contornos como de interiores.

3. ¿Qué líneas tienen prioridad, las de trazos o los ejes? Tienen preferencia la de trazos sobre la de los ejes.

4. ¿Cómo son las líneas de referencia? Son finas y continuas y pueden terminar de tres formas:

- En círculo blanco, si la línea acaba en el interior del elemento.

- En una flecha, si acaba en una línea del elemento.

- En nada, si acaba en una línea de cota.

5. ¿Qué elementos gráficos debe llevar un formato preimpreso obligatoriamente?

Debe llevar: el cuadro de rotulación, el recuadro y las señales de centrado.

6. Dibuja la sección al cuarto de la figura dada.

1. ¿Cuántos formatos A4 c

127

7. Trazar las proyecciones diédricas ortogonales de las figuras representadas por su

perspectiva isométrica.

128

UNIDAD 15: ACOTACIÓN.

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD Por último haremos ver al alumno la importancia de conocer y representar formas

mediante croquis acotados, usando instrumentos de medida así como las normas UNE e

ISO respecto a la acotación para finalmente saber interpretar y representar cualquier

objeto.


APARTADO 1- ELEMENTOS DE ACOTACIÓN


Acotación es el conjunto de medidas, signos y líneas que aparecen en un dibujo y que

configuran las dimensiones de una pieza.

La dimensión acotada es la medida real del objeto, sin tener en cuenta la escala a la que esté

Las ndo se trate de segmentos

y en

Ele

realizado el dibujo.

medidas deben darse preferentemente en milímetros, cua

grados cuando se acoten ángulos.

mentos básicos de la acotación: - Líneas de cota. Se dibujan con línea continua fina.

Se dibujan paralelas a la dimensión que se pretende acotar.

de 5mm.

ta.

Deben colocarse como mínimo a unos 8mm. de las aristas de los cuerpos. Las líneas de

cota paralelas han de estar unas de otras a una distancia uniforme y nunca menos

Nunca deben rebasar las líneas auxiliares de cota ni las aristas de la pieza.

Los ejes y las aristas no deben utilizarse como líneas de co

- Líneas auxiliares de cota o de referencia. Se dibujan con línea continua fina.

es

te, pero siempre paralelas entre si.

En piezas cuyos extremos sean chaflanes o estén redondeados, se acotará entre los

puntos de intersección de las prolongaciones de las aristas.

Delimitan y son perpendiculares al segmento que se va a acotar, en casos excepcional

se dibujan oblicuamen

129

Sobresalen aproximadamente unos 2mm. de las líneas de cota.

En lo posible estas líneas no deben cruzarse con otras líneas.

- La cota. Cifra que representa numéricamente la superficie acotada.

Se debe utilizar escritura normalizada y altura adecuada.

i está en otra unidad se debe

indicar expresamente.

os por líneas.

riba y de

-

Las medidas de longitud se indican siempre en milímetros y s

No deben estar separados ni cruzad

Las cifras de cota deben situarse siguiendo el orden de lectura de abajo hacia ar

derecha a izquierda.

Límites de las líneas de cota. Los extremos de las líneas de cota se señalan con flechas

os a 45º he

delimitando el segmento que se va a medir. La punta de la flecha forma unos 15º.

Si entre aristas del cuerpo o líneas de referencia no hay suficiente espacio para la flecha

de al cota, se limita por puntos o sacando las cifras fuera.

También se puede limitar por dos traz chos con línea más gruesa.

La línea de cota puede estar delimitada por una sola flecha en casos de radios y de

diámetros acortados.

130

APARTADO 2 – PRINCIPIOS DE ACOTACIÓN QUE TENEMOS QUE APRENDER

-

- istas no vistas.

- Se evitará la acotación en el interior de las piezas. Se permite una excepción para eludir el

cruce de las líneas de cota en el interior de las vistas.

- No sobrecargar las vistas con cotas siempre que sean deducibles por la suma o resta de

otras cotas.

- En los dibujos figurarán todas las cotas necesarias para que quede perfectamente definido,

no omitir ninguna ni repetirla.

Cada cota se colocará en la vista que de mejor idea de la forma de la pieza.

Se debe evitar acotar sobre ar

APARTADO 3 – ACOTACIÓN DE CURVAS Y ÁNGULOS

QUE T

- Acotación de círculos.

ENEMOS QUE APRENDER

Se acotan siempre el diámetro y nunca el radio.

arán preferentemente formando 45º con los ejes de

e 60º siempre referidas al eje horizontal.

as vistas.

Las líneas de cota se coloc

simetría de la circunferencia.

En caso de círculos concéntricos se usará la inclinación de 45º, luego de 30º y

posteriormente la d

Las cotas llevan el signo de diámetro φ si éstos se acotan en otr

- Acotación de radios. La línea de cota debe partir del centro del radio y tener una sola flecha

en el extremo del mismo. En el caso de no tener, un centro conocido se antepondrá a la

cifra de cota la letra R.

- Acotación de ángulos. Las líneas de cota pasan a ser curvas, arcos de circunferencia con el

131

centro en el vértice del ángulo. Debe evitarse la acotación en el espacio comprendido entre

0 y 30º con respecto al eje horizontal ya que las cifras de cota quedarían con los números

invertidos.

- Acotación entre centros. Cuando la figura tiene círculos que no son concéntricos, la

distancia entre los centros es una cota fundamental par situarlos en su lugar.

En acotación, ésta se determina prolongando los ejes paralelos y acotando su distancia,

como vemos en los ejemplos.

APARTADO 4 - SISTEMAS DE ACOTACIÓN

El proceso de fabricación

Comprobación o verificación de control


Para acotar una pieza correctamente se debe tener en cuenta:

Función a desempeñar

Según el proceso de fabricación:

- Acotación en serie, cada elemento se acota a continuación del otro.

- Acotación en paralelo cuando varias cotas de la misma dirección tiene en un elemento de

binada

referencia común.

- Acotación com cuando combinamos en serie y paralelo.

- Acotación por coordenadas se utiliza en piezas que tienen varios taladros. Se elige un

as de los centros, así como el valor de los diámetros,

nto a la pieza.

origen de referencia y las coordenad

se colocan en una tabla ju

132


• Conocer el origen y alcance actual de las normas de acotación, valorando su

necesidad e importancia.

• Conocer las normas UNE e ISO respecto a la acotación.

Representa formas mediante croquis acotados.

sentación de distintas formas.

AUTOEVALUACIÓN

•

• Usa convencionalismos y simplificaciones en la repre

ACTIVIDADES DE

, ¿se pueden cortar por

alguna línea?

5. ¿En qué vistas se ponen las cotas dimensionales?

6. ¿Cómo se acota en zonas rayadas?

7. Acotar las piezas dadas.

1. ¿Qué elementos intervienen en la acotación?

2. Las líneas de cota, ¿cómo deben ser respecto a las aristas que miden?

3. ¿Las circunferencias se acotan por su radio?

4. La cifra de cota, junto con los símbolos que la acompañen

133

8. Acotar la pieza según normas, teniendo en cuenta la cota señalada.


1. Dada la perspectiva isométrica de las figuras 1 y 2, dibujar a escala 1:1 y acotar

las vistas, tomando como alzado la dirección A.

2. Dada la perspectiva isométrica de la pieza dibujada, figura 3, se pide: las vistas

alzado, planta y perfil de dicha pieza, a escala 1:1, en el sistema europeo,

acotándola debidamente para su correcta definición.

3. Acotar la pieza dada de las figuras 4 y 5, según normas.

134


1. ¿Qué elementos intervienen en la acotación?

Las líneas de cota, líneas de proyección o auxiliares, líneas de referencia, cotas y flechas.

2. Las líneas de cota, ¿cómo deben ser respecto a las aristas que miden?

Las líneas de cota deben ser paralelas respecto a las aristas.

3. ¿Las circunferencias se acotan por su radio?

Nunca, se acotan por su diámetro.

4. La cifra de cota, junto con los símbolos que la acompañen, ¿se pueden cortar por alguna

línea?

La cifra de cota no se puede cortar por ninguna línea, es ésta la que debe interrumpirse.

5. ¿En qué vistas se ponen las cotas dimensionales?

En aquellas vistas en las que se vea mejor la forma del elemento dimensionado.

6. ¿Cómo se acota en zonas rayadas?

Hay que interrumpir el rayado para situar la cota.

7. Acotar las piezas dadas.

136

137

8. Acotar la pieza según normas, teniendo en cuenta la cota señalada.

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