Universidad Nacional de Ingeniería Sede: UNI-Norte
12
Universidad Nacional de Ingeniería Sede: UNI-Norte Investigación de Operaciones I
Transcript of Universidad Nacional de Ingeniería Sede: UNI-Norte
Universidad Nacional de Ingeniería
Sede: UNI-Norte
Investigación de Operaciones I
Método Simplex Revisado
Programación Lineal
Ejemplo.
Resolver el siguiente problema de P.L.
Max
s. a:
21 34 xxz
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
Ju
lio R
ito V
arg
as
Avil
és
0,
602
40
21
21
21
xx
xx
xx
Para resolver por el método
simplex revisado, primero
debemos eliminar las
desigualdades en las
restricciones. Eso se logra
introduciendo variables de
holguras.
En la primer restricción
sumamos una variable x3 para
establecer la igualdad. Lo
mismo hacemos con la
segunda, le sumamos una
variable x4.
Método Simplex Revisado
Programación Lineal
Ejemplo.
Modelo ampliado
Max
0,
602
40
:.
0034
21
421
321
4321
xx
xxx
xxx
as
xxxxZ
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
Ju
lio R
ito V
arg
as
Avil
és
Las variables de holguras que hemos introducidos
en las restricciones, serán parte de la función
objetivo pero tendrán coeficiente cero, ya que no
deben alterar los resultados del modelo.
0
:.
max
X
bAX
as
CXZ
Método Simplex Revisado
Programación Lineal
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
Ju
lio R
ito V
arg
as
Avil
és
La matriz A está conformada por los coeficientes de las ecuaciones de
restricción. Esta matriz a su vez se subdivide en la submatriz B y la
submatriz N. De igual manera la Matriz X se subdividirá en la submatriz
XB (variables básicas) y XN (submatriz de variables no básicas). La
matriz de costo se subdividirá en la submatriz de costos básica y no
básicas.
b: matriz del lado derecho.
X: matriz de variables
C : matriz de costos
A : matriz de coeficientes
1012
0111A
60
40b
4
3
2
1
x
x
x
x
X
0,0,3,4c
Método Simplex Revisado
Programación Lineal
Primera solución factible: comenzamos con la base B =(a3, a4),
obviamente N(a1, a2) . Esto indica que:
La primera solución factible se obtiene tomando como matriz base
las variables de holgura introducidas al modelo.
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
Ju
lio R
ito V
arg
as
Avil
és
1
10
01
BB
12
11N 0,0BC
3,4NC
4
3
x
xX B
2
1
x
xX N
Método Simplex Revisado
Programación Lineal
Iteración 0: Debemos obtener la primer solución factible.
60
40
)0,0(
b
cB
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
Ju
lio R
ito V
arg
as
Avil
és
10
011B
4
3
x
xX
X
XX
B
B
N
2
1
x
xX N
60
40
60
40
10
01
4
31
x
xbBX B
060
40)0,0(
BB XCZ
Método Simplex Revisado
Programación Lineal
Test de optimalidad
Debemos investigar los coeficientes de la función objetivo.
llamaremos
Entonces:
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
Ju
lio R
ito V
arg
as
Avil
és
)0,0(10
01)0,0(
w
303
404
22
11
wac
wac
wNcN
NBCC BN
1 1 BCw B
Evaluamos los coeficientes de la función
objetivo correspondiente a las variables no
básicas, hasta encontrar una que sea
estrictamente positiva. Nota: no es necesario
calcular los coeficientes
Solamente debemos calcular hasta encontrar
un coeficiente no negativo.
NobasewaC jj j Entra X1 a la base
Método Simplex Revisado
Programación Lineal
Test de factibilidad
Ahora tenemos que hallar la variable saliente, que más restricción
pone cuando X1 comienza a crecer. Partimos de la ecuación.
esta ecuación se reduce dado de B-1 = I. X1 dejará de ser cero pero
X2 =0. En resumen:
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
Ju
lio R
ito V
arg
as
Avil
és
) x(sale 260
40
414
13
xx
xx
wNcN
11
11 xabNXbNXBbBX NNB
Sale X4 de la base 12
1
60
40
0
1
12
11
60
40
x
Método Simplex Revisado
Programación Lineal
Actualización: Para poder pasar a la próxima iteración (la cual
comienza con el test de optimalidad) debemos actualizar la base de
datos y con ella, los vectores/matrices B,N, XN, CB y CN. Todos ellos
se hallan mediante un reordenamiento de sus componentes (donde
estaba antes la columna/valor correspondiente a la variable entrante,
ahora estará la de la variable saliente y viceversa).
Iteración 1: Es decir B =(a3, a1), obviamente N(a4, a2), XB=(x3,x1),
XN=(x4,x2), CB=(0,4), CN=(0,3).
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
Ju
lio R
ito V
arg
as
Avil
és
2/10
2/11
20
111BB
30
10
60
40
2/10
2/11
1
31
x
xbBX B
12030
10)4,0(
BB XCZ
Método Simplex Revisado
Programación Lineal
Test optimalidad:
Nuevamente volvemos a evaluar los coeficientes de la función objetivo
correspondientes a los nuevas variables básicas. En primer lugar.
Test factibilidad: Ahora tenemos que hallar la variable que más
restricciones pone cuando x2 comienza a crecer
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
Ju
lio R
ito V
arg
as
Avil
és
)2,0(2/10
2/11)4,0(1
Bcw B
303
000
22
44
wac
wac
wNcNEvaluamos los coeficientes de la función
objetivo correspondiente a las variables no
básicas, hasta encontrar una que sea
estrictamente positiva.
Entra x2
Método Simplex Revisado
Programación Lineal
Iteración 2: CB=(3,4), CN=(0,0), XB=(x2,x1), XN=(x4,x3),
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
Ju
lio R
ito V
arg
as
Avil
és
21
1
20
11
2/10
2/11
60
40
2/10
2/11xX B
11
12
21
111BB
NB NXBbBX 11
2/130
) x(sale 2/310
21
323
xx
xx
wNcN
Para la siguiente iteración sale x3 y
entra x2
20
20
60
40
11
12
1
21
x
xbBX B
Método Simplex Revisado
Programación Lineal
Iteración 2:
Solución factible (4,3,0,0) Z=140
Esta es la solución óptima.
Cuando sabemos que hemos terminado? Cuando no hay
coeficientes estrictamente positivos en las variables no básicas.Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
Ju
lio R
ito V
arg
as
Avil
és
140806020
20)4,3(
BB XCZ
