V.1 Asentamientos Boussinesq
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1 4.4 EL SUELOS COMO SEMIESPACIO ELÁSTICO 4.4.1. DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES EN EL SUELO DEBIDOS A UNA CARGA SUPERFICIAL. (TEORÍA DE BOUSSINESQ) Teoría de Boussinesq − Los esfuerzos que una carga vertical concentrada, actuante en la superficie horizontal de un medio semiinfinito, homogéneo, isotrópico, linealmente elástico e infinitamente resistente, fueron determinados por Boussinesq. 2 3 2 3 R Pz z π σ = ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = ψ ψ ψ ψ π σ cos 1 cos 2 1 cos 3 2 2 2 2 v sen z P r ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − − = ψ ψ ψ π σ θ cos 1 cos cos 2 2 1 2 3 2 z P v ψ ψ π τ sen z P rz 4 2 cos 2 3 = De estas ecuaciones nos interesa la referente al esfuerzo vertical σ z ( ) 2 5 2 2 3 2 3 2 3 2 3 z r z P R Pz z + = = π π σ
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4.4 EL SUELOS COMO SEMIESPACIO ELÁSTICO
4.4.1. DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES EN EL SUELO DEBIDOS A UNA CARGA SUPERFICIAL.
(TEORÍA DE BOUSSINESQ) Teoría de Boussinesq − Los esfuerzos que una carga vertical concentrada, actuante en la superficie
horizontal de un medio semiinfinito, homogéneo, isotrópico, linealmente elástico e infinitamente resistente, fueron determinados por Boussinesq.
2
3
23
RPz
zπ
σ =
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−−=
ψψψψ
πσ
cos1cos21cos3
2
222 vsen
zP
r
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−−−=
ψψψ
πσθ cos1
coscos2
212
32z
Pv
ψψπ
τ senzP
rz4
2 cos23
=
De estas ecuaciones nos interesa la referente al esfuerzo vertical σz
( ) 2522
3
2
3
23
23
zr
zPR
Pzz
+==
ππσ
2
2/5
22 )/(11
23
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+=
zrzP
zπ
σ (Ecuación 1)
La ecuación anterior puede extenderse para el caso de una carga distribuida:
qdAdP =
( )
25
22 11
23
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+=
zrzqdAd zπ
σ
- Por integración se puede encontrar el esfuerzo bajo el centro de una zapata circular
de radio R0 (área circular con carga uniforme q).
θrdrddA =
( )( )∫ ∫ ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+=
0
0
2
0
25
22 11
23R
zzrz
rdrdqπ
πθσ
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−=
2/3
20 )/(111
zRqzσ (Ecuación 2)
− Para una zapata rectangular, de lados a y b, podemos calcular el esfuerzo bajo un
vértice a una profundidad “z”.
( )1>⇒>= mbabam
bzn = mnA = 221 nmB ++=
Si 022 <− mBn , reemplazar 222
mBnBA
−=ω por πωω +=′ , en el cálculo del
arco tangente. Para calcular sz en el centro de una zapata rectangular, se consideran 4 sub-zapatas. En general es aplicable el Principio de Superposición.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++
+=⇒ 22
2
222arctg2
4 mBnBA
BnB
mBnAq
z πσ
3
4.4.2. DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS. ISÓBARAS
4
4.4.3. CARTAS DE INFLUENCIA DE NEWMARK: Método de Newmark De la ecuación 2 tenemos:
( )
23
20111
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−=
zRqzσ
Tabulando diversos valores de sz/q vs. R0/z, obtenemos:
1.911.391.110.920.770.640.520.400.27R0/z
1.00.90.80.70.60.50.40.30.20.1σz/q
∞
5
- Es decir, si se tiene un circulo de radio 0.27z el esfuerzo a z será 0.1q. - Si este circulo se divide en 20 partes, por cada sector circular cargado, el esfuerzo a
z será 0.005q. - Este valor de 0.005q es el “valor de influencia” de cada uno de los sectores
circulares considerados. - Si el circulo cargado tuviese un radio 0.4z, el esfuerzo en z es 0.2q, es decir que la
corona produce un incremento de 0.1q, y cada veinteavo de la misma 0.005q. - Esto es extensible a las demás coronas indicadas, incluyendo la última de radio
infinito.
6
7
