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VALORACION Y ELABORACION DE UNA ESTRATEGIA DE

CUBRIMIENTO PARA UNA OPCION UP-AND-IN SOBRE EL REAL

BRASILERO

Prashant Bhatia Ramos*

Asesor: Diego Jara, Ph.D**

Resumen

Las recientes intervenciones del banco central en Brasil han tenido un impacto considerable

en el mercado cambiario ya que han ubicado al Real en un rango de 2 a 2.1 durante un año.

Esta situación se ha traducido en un incremento en la demanda de opciones up-and-in sobre

el Real. Este trabajo recoge ese contexto económico por el cual está pasando Brasil para

valorar y elaborar una estrategia de cobertura estática para una opción up-and-in. Para ello,

se parte de una extensión al modelo de Black-Scholes para construir un árbol que describe

la evolución del Real a partir de la superficie de volatilidad. Este instrumento permitirá

valorar la opción de forma consistente con el mercado. Además, el árbol es el input

principal para la replicación de la opción barrera utilizando opciones regulares. El resultado

que se obtiene al emplear esta metodología es un árbol a cinco periodos que permite

obtener un portafolio replicante compuesto por cinco opciones regulares.

Palabras Claves: Opciones, Opciones Barrea, Árbol implícito, Cobertura estática.

Clasificación JEL: G12 G13 G21

*E-mail: p.bhatia25@uniandes.edu.co

** El profesor Diego Jara es Ph.D. en Matemáticas Financieras y M.S en Matemáticas de la

Universidad de Carnegie Mellon, Pittsburg, Estados Unidos. Diego jara es director de Quantil

S.A.S y dicta el curso de maestría Riesgo y Valoración de Derivados en la Facultad de Economía de

la Universidad de Los Andes.

2

1. INTRODUCCIÓN

El mercado financiero abarca el mercado de acciones, bonos, bienes raíces, divisas,

materias primas, diversas clases de activos e instrumentos como los derivados financieros.

Según el Deutsche Borse Group1, los derivados financieros se han convertido en el

segmento más importante de este mercado. Además, los instrumentos derivados han

registrado el crecimiento más alto de todos los segmentos en los últimos años. Es

importante mencionar que el mercado de derivados es un contribuyente esencial a la

estabilidad del sistema financiero y un importante factor en el funcionamiento de la

economía.

El uso de este instrumento permite que los riesgos futuros sean transables, lo cual da lugar a

que los derivados tengan dos usos principales. El primero es eliminar la incertidumbre

mediante el intercambio del riesgo de mercado, comúnmente conocido como cobertura. Los

derivados sirven como un seguro ante un movimiento de precios no deseado y permiten

reducir la volatilidad de los flujos de caja de las compañías, esto resulta en pronósticos más

confiables, menores requerimientos de capital y una mayor productividad del mismo. El

amplio beneficio de los instrumentos derivados ha llevado a que la gran mayoría de las 500

compañías más grandes administren su riesgo mediante el uso de derivados. El segundo uso

es inversión: Los derivados son una alternativa de inversión sin tener que comprar el activo

subyacente directamente

Un derivado financiero es un contrato entre un comprador y un vendedor pactado hoy, el

cual concierne una transacción cuyo cumplimiento se da en una fecha futura. La vida del

contrato derivado puede ser bastante larga, en algunos casos más de diez años. Estos

contratos pueden ser transados en bolsas de derivados, pero también bilateralmente entre

participantes del mercado-mercado mostrador-. Para el 2007, en el mercado mostrador se

realizaban el 84% de las transacciones de derivados de renta fija, divisas, renta variable,

crédito y materias primas.

Uno de los factores que ha llevado al mercado mostrador a convertirse en la fuerza

dominante en la industria financiera es la posibilidad de ofrecer nuevos, “exóticos”,

1 El Deustche Borse Group es una compañía líder en operaciones de corretaje.

3

derivados que se ajustan a las necesidades del cliente. Entre los más sobresalientes

productos en este mercado, se destacan las opciones con barrera2.

Las opciones con barrera son extensiones de las opciones regulares y vienen de dos

formas. Las opciones de tipo “knock-in” entran en existencia si el precio subyacente toca la

barrera. También, se ofrecen opciones con barrera de tipo “knock-out” donde la opción

deja de existir si el precio subyacente llegase a tocar la barrera. Por ejemplo, una “up-and-

out” call tiene el mismo perfil de pagos de una opción regular call, si el precio subyacente

permanece por debajo de la barrera durante la vida de la opción, pero pierde su valor tan

pronto el precio subyacente cruza la barrera.

Las opciones con barrera satisfacen diferentes necesidades económicas y son ampliamente

utilizadas en los mercados de derivados de renta fija y de divisas desde los noventas. Estas

opciones permiten reducir el costo de modificar la exposición al riesgo dado que son más

económicas que sus contrapartes regulares. A su vez, son de gran ayuda para los traders que

realizan apuestas direccionales ya que aumentan el apalancamiento. También, son útiles

para los inversionistas que aceptan tener algo de riesgo residual en sus libros para reducir

sus costos de cobertura.

Los bancos son las entidades financieras que usualmente ofrecen este tipo de instrumentos

a sus clientes. Por lo general, los bancos prefieren cubrir sus posiciones, es decir, cuando se

vende una opción barrera el banco queda expuesto a que la opción se ejerza. Por lo tanto, el

banco toma la posición contraria, de esta forma se mitiga cualquier riesgo.

Las opciones con barrera son difíciles de cubrir ya que no se tiene certeza si la opción se

activará o desactivará según corresponda. Sin embargo, los bancos son muy activos en este

tipo de instrumentos.

Se tomará como referencia opciones con barrera sobre el Real Brasilero. El contexto

económico para Brasil durante el año pasado, ha presentado intervenciones del Banco

central en el mercado cambiario que contribuyeron a que el Real se ubicara en un rango

2 Una opción otorga el derecho más nos la obligación de comprar o vender el activo sobre el cual está

subscrita la opción, a un determinado precio durante un tiempo determinado.

4

estrecho (2-2.1). Debido a una perspectiva de crecimiento bajo, por parte de algunos

participantes en el mercado, se crearon expectativas negativas sobre el Real, que han

forzado al banco central de ese país, a defender el Real ante escenarios que deprecien la

moneda rápidamente mediante la venta de contratos Swap3. La situación anterior se ha

traducido en la compra de opciones call europea up-and-in4 con un knock (barrera) de 2.1

sobre el Real, por parte de inversionistas que cuestionan la efectividad de las acciones que

pueda tomar el banco central ante una mayor depreciación de la moneda.

Este trabajo presenta una extensión del modelo de Black-Scholes. Este modelo será

utilizado para extraer de la superficie de volatilidad un árbol binomial, que permitirá

valorar y desarrollar una estrategia de cobertura para una opción call up-and-in sobre el

Real ya que uno de los problemas más antiguos en la valoración de opciones ha sido como

reconciliar la superficie de volatilidad con el modelo de Black-Scholes. Los valores que

arroja el modelo son consistentes con los precios observados en el mercado.

Este árbol binomial desarrollado por Derman y Kani (1994), el cual recibirá el nombre de

árbol implícito, permite calcular la distribución como la volatilidad futura para el Real. El

árbol es especialmente útil para realizar estrategias de cobertura estática, y generar

simulaciones de Monte Carlo para valorar opciones que dependen de una trayectoria.

El objetivo en este trabajo es valorar y generar una estrategia de cobertura estática para una

opción con barrera call up-and-in sobre el Real a través del uso del árbol binomial que

permite encontrar precios consistentes a los observados en el mercado.

Este trabajo presenta varios resultados: Para empezar, se exhiben los tres resultados que

arroja la calibración del modelo mencionado. En segunda instancia, se presenta el árbol que

describe el perfil de pagos de la opción call up-and-in. Finalmente, se presenta en detalle la

elaboración de una estrategia de cobertura estática para la opción relevante en este trabajo.

3 Un swap es un contrato derivado donde se intercambia algún tipo de flujo.

4 Una opción up-and-in es una opción que inicialmente no existe, esta se activa cuando el valor del subyacente

alcanza la barrera. Si la opción se activa, esta se comporta igual que una opción regular. Este tipo de opciones

son útiles cuando se tiene una perspectiva definida, en este caso ascendente, sobre el precio del activo

subyacente.

5

Esta memoria de grado está organizado de la siguiente manera: En primera instancia, se

exhibe un breve repaso sobre algunos de los trabajos más importantes en la valoración de

opciones y opciones con barrera. En segunda instancia, se presenta el marco teórico

relevante para este trabajo. Después, se aborda en detalle la metodología que permitirá

construir el árbol para dar lugar a la valoración y elaboración de una estrategia de

cobertura. Finalmente, se realizan las conclusiones pertinentes.

2. REVISIÓN DE LITERATURA

Esta sección se divide en dos: En primer lugar, se presentará una revisión literaria de la

valoración de opciones regulares. Después, se realizará un repaso literario sobre las

opciones con barrera.

La historia de la valoración de opciones comienza con el trabajo de Bachelier (1900),

donde deriva una formula suponiendo que el activo subyacente sigue un movimiento

browniano aritmético y su retorno se distribuye normal. Merton (1973) en su trabajo tiene

dos críticas sobre el trabajo realizado por Bachelier. En primer lugar, la fórmula admite

números negativos, esto no es coherente ya que los precios por definición no pueden ser

negativos, dado que Bachelier asume retornos normales. En segundo lugar, Bachelier pasa

por alto el valor del dinero en el tiempo.

Sprenkle (1961) es el primero que corrige la negatividad de los precios al suponer que el

retorno del activo se distribuye log-normal. También, considera que los inversionistas son

adversos al riesgo. Sin embargo, ignora la importancia de descontar a valor presente.

Boness (1964) añade un parámetro de descuento, este equivale al retorno esperado del

activo.

Samuelson y Merton (1969) derivan una formula asumiendo que el precio de la opción es

una función del precio del activo subyacente. La tasa de descuento se determina a partir de

la conformación de una estrategia de cobertura por parte de los inversionistas. Sin embargo,

lo anterior no resulta ser una aproximación correcta ya que se omite el hecho de que los

inversionistas mantienen posiciones en otros activos para que el riesgo de una opción o

acción, que afecta la tasa de descuento del inversionista represente solo la cuantía del riesgo

no diversificarle. La fórmula para la valoración del activo en este trabajo depende de la

6

forma de la función de utilidad que los autores consideraban como representativa para un

inversionista típico.

Thorp y Kassaouf (1967) logran obtener una fórmula de valoración mediante el uso de

elementos empíricos para warrants5 por medio de la calibración de una curva con precios

de warrants actuales. Los autores utilizan la fórmula para calcular la proporción de

unidades del activo subyacente que se necesitan para cubrir una posición en opciones. No

obstante, Thorp y Kassaouf (1967) no contemplaron el hecho de que en un estado de

equilibrio, el retorno esperado de la posición cubierta debe ser igual al retorno de un activo

libre de riesgo

Los trabajos precedentes al de Black y Scholes (1973) se caracterizan por presentar dos

rasgos comunes: por un lado, permitir situaciones de arbitraje de mercado, en la cual se

puede realizar una estrategia que con absoluta certeza no se obtendrán pérdidas. Y por el

otro, fórmulas que dependen del perfil de riesgo del inversionista.

Black y Scholes (1973) proponen una formula innovadora que permite obtener un precio

único, es decir, sin importar la aversión de riesgo del inversionista la formula permite

obtener un solo precio. A su vez, la fórmula es libre de arbitraje ya que el retorno esperado

de la opción es equivalente a la tasa libre de riesgo. Por su importancia, el modelo de

Black-Scholes es considerado el marco teórico para esta memoria de grado.

El marco de Black-Scholes no solo provee de fórmulas analíticas para valorar opciones

regulares, también es útil para valorar opciones con barrera. Reiner & Rubinstein (1991)

deducen fórmulas para estimar el valor de los ocho tipos de opciones con barrera bajo un

mundo Black-Scholes. Haug (1998) propone una generalización del conjunto de fórmulas

propuestas por Reiner & Rubinstein (1991) mediante el uso de variables binarias.

Los trabajos de Haug (1998) y Reiner & Rubinstein (1991) se caracterizan por presentar

un método para valorar opciones con barrera en tiempo continuo. Sin embargo, en la

industria financiera usualmente se utilizan muestreos discretos para valorar activos. Por

ejemplo, Chance (1994), Flesaker (1992) y Kat y Verdonk (1995), indican que pueden

5 Un Warrant es un instrumento derivado que le otorga al comprador el derecho, más no la obligación de

comprar o vender un activo a determinado precio

7

existir diferencias de precios significativas entre opciones con barrera discretas y continuas.

En consecuencia, han surgido una serie de trabajos que valoran opciones con barrera

discretas, el trabajo de Glasserman et al (1997) permite valorar opciones con barrera

discretas al introducir una corrección simple de continuidad. El método utiliza fórmulas

para encontrar precios de opciones con barrera continuas, no obstante, la barrera es

monitoreada de forma discreta.

Como la mayoría de opciones que dependen de una trayectoria, las opciones con barrera

pueden ser valoradas por árboles binomiales, trinomiales o por un proceso de difusión con

saltos, dentro de la investigación de procesos de difusión con saltos para opciones con

barrera se destaca el trabajo de Leisen (1998), que discretiza el espacio del activo en vez

del espacio del tiempo para incorporar el riesgo de salto dentro del modelo. En lo que

respecta a los trabajos que involucran marcos entramados, se destaca el trabajo de Derman

y Kani (1994) que desarrollan, dentro de un marco binomial, un modelo libre de arbitraje

que extiende el modelo Black-Scholes al incorporar una función de volatilidad local que

depende del precio del activo y del tiempo. El árbol binomial que arroja el modelo es útil

para valorar opciones con barrera, donde la probabilidad de tocar la barrera es sensible a la

función de volatilidad local.

3. MARCO TEÓRICO

Aunque la fórmula de B-S es para una opción regular call europea, se expone porque es la

base del modelo que se utilizará para valoración y replicación de la opción con barrera.

Después, se presenta la extensión pertinente. A continuación se presenta la deducción de la

fórmula que realizan Black y Scholes.

En el marco teórico planteado por B-S, se asumen condiciones ideales en el mercado para

el activo subyacente como para la opción:

1. Las tasas de interés de corto plazo son conocidas y constantes a lo largo del tiempo.

2. El precio del activo sigue una caminata aleatoria en tiempo continuo con una taza

de varianza proporcional al cuadrado del precio del activo subyacente. La

8

distribución de posibles valores al final de cualquier intervalo finito es log-normal.

A su vez, la tasa de varianza del retorno del activo es constante

3. El activo subyacente no paga dividendos u otra clase de distribuciones

4. La opción es de tipo europea, solo puede ser ejercida cuando esta madure.

5. No existen costos transaccionales al comprar o vender el activo o la opción.

6. Es posible endeudarse en cualquier fracción del precio de un activo para comprarlo

o simplemente para tenerlo a la tasa de interés de corto plazo.

7. No existen penalidades por vender en corto.

Bajo estos supuestos, el valor de la opción dependerá solo del precio del activo subyacente

y del tiempo, dado que las otras variables relevantes permanecen constantes. El propósito

de B-S es crear una posición de cobertura que consiste en una posición larga en el activo

subyacente y una posición corta en la opción. es el valor de una opción en función

del precio del activo y el tiempo el número de opciones que son necesarias para vender

en corto para cubrir una posición larga en la acción es:

(1)

En la expresión anterior, el subíndice se refiere a la derivada parcial de la función con

respecto al primer argumento .

Es importante mencionar que el valor de la posición cubierta puede no llegar a depender de

ningún modo del precio del activo subyacente, vale la pena notar que si el precio del activo

cambia por un monto , el precio de la opción cambia . El número de

opciones en la expresión anterior cambia en . Por lo tanto, el cambio en el valor de una

posición larga en el activo neutraliza el valor de una posición corta en 1/ opciones.

Si la posición en la cobertura se mantiene continuamente, la aproximación mencionada se

sostiene. A su vez, el retorno de la misma es completamente independiente del cambio en el

precio del activo. De hecho, el retorno de la posición cubierta se convierte cierto. Por lo

tanto, el riesgo en la posición cubierta es nulo, si la posición corta en la opción es ajustada

continuamente. Si la posición en la cobertura no se sostiene continuamente, el riesgo es

pequeño y consiste enteramente del riesgo que puede ser diversificado formando un

portafolio de un gran número de posiciones cubiertas.

9

En general, dado que la posición cubierta contiene una posición larga en el activo y 1/

opciones en corto, el valor de la posición en el activo es:

(2)

El cambio en el valor de la posición en el activo en un intervalo corto de tiempo es:

(3)

Asumiendo que la posición corta es ajustada continuamente, B-S utilizan cálculo

estocástico para expandir lo cual viene siendo de la

siguiente manera:

(4)

Los subíndices en se refieren a derivadas parciales, es la tasa de varianza del retorno

del activo. Substituyendo la expresión anterior en la expresión (3), se obtiene el cambio del

valor del activo en la posición cubierta:

(5)

Dado que el retorno del activo en la posición cubierta es conocido, el retorno debe ser igual

a Si la posición cubierta no cambia continuamente, el retorno esperado para esta

posición en el corto plazo debe ser la tasa de interes. Si lo anterior no fuese cierto, los

especuladores tratarían de obtener una ganancia pidiendo prestado cantidades considerables

de dinero para crear la posición de cobertura; y en el proceso fuerzan que el retorno de la

posición sea la tasa de interés.

Por lo tanto, el cambio del valor del activo debe igualar el valor del activo multiplicado por

(

)

(

) (6)

Cancelando para ambos lados, y reordenando términos, se obtiene una ecuación

diferencial para el valor de la opción.

10

(7)

Sea la fecha de madurez de la opción y el precio de ejercicio, entonces se sabe que:

(8)

Solo existe una fórmula que satisface la ecuación diferencial (7) sujeto a la

condición de frontera (8). Esta fórmula debe ser la formula de valoración para opciones.

Para resolver la ecuación diferencial es necesario hacer la siguiente sustitución:

(9)

[

(

) ]

(

)

Con la sustitución la ecuación diferencial se convierte:

(10)

Y la condición de frontera se convierte:

0, (11)

⌊

⌋

La ecuación diferencial (10) es la ecuación de transporte de calor en física, y su solución es

dada por Churchill (1963, p 155). En la notación de B-S, la solución es:

√ ∫

√

[

( √ )( )

]

(12)

11

Al substituir desde la ecuación (12) en la ecuación (9), y simplificando B-S obtienen lo

siguiente:

(

)

√

(

)

√

En las ecuaciones anteriores, es la función de densidad normal acumulada.

Cox-Ross-Rubistein (1979) realizan una implementación binomial que recoge los

principios económicos fundamentales de no arbitraje y de neutralidad al riesgo planteados

por Black-Scholes, donde el activo evoluciona sobre un árbol binomial riesgo neutral con

volatilidad constante.

Los precios de las opciones en el mercado no son consistentes con los precios teóricos que

se derivan del modelo de Black-Scholes. En un mundo B-S, se asume que el activo sigue

un proceso aleatorio con volatilidad constante. Por lo tanto, un resultado del modelo es que

todas las opciones sobre un mismo activo deben tener la misma volatilidad implícita. Sin

embargo, después de la caída de la bolsa de Nueva York en el 87, las volatilidades

implícitas que arrojaban el modelo de Black-Scholes mostraban una correlación negativa

con los precios de ejercicio de las opciones. Es decir, los Traders6 en el mercado valoraban

las opciones con distintas volatilidades dependiendo del precio del ejercicio (Strike) y

expiración. Derman y Kani (1994) describen el proceso anterior, matemáticamente,

argumentado que el precio del activo no sigue una distribución log-normal como

consecuencia de un proceso aleatorio modificado, cuya raíz reside en que el activo

subyacente tiene una volatilidad variable que depende del precio que posee el activo y del

tiempo.

6 Persona natural o jurídica que compra o vende títulos financieros.

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Derman y Kani (1994) extienden el modelo de Black-Scholes utilizando el smile7 -precios

de opciones de tipo europeo con diferentes expiraciones y niveles de strike- como input

para deducir el proceso aleatorio del activo. La extensión del modelo de Black-Scholes

permite acomodar la estructura de volatilidades implícitas en el mercado ya que incorpora

una función de volatilidad local que depende del precio del activo y del tiempo,

.Específicamente, el enfoque de los autores determina numéricamente del

smile, al exigir que los precios de las opciones calculados a partir del modelo sean

coherentes con el smile de volatilidad. Este modelo contrasta con otras extensiones que

usualmente involucran una forma paramétrica específica para la función de volatilidad

local, por ejemplo, Lin Chen (1996).

A continuación, se presentan las ecuaciones que resumen el párrafo anterior: En primer

lugar, se muestra la ecuación que sintetiza el modelo de Black y Scholes. Después, se

introduce la ecuación que describe la extensión de la ecuación de Black-Scholes. Ambas

ecuaciones están calibradas para describir el proceso del Real ya que es el activo relevante

en este trabajo.

El proceso de difusión del activo subyacente sobre un tiempo infinitesimal esta descrito

por la siguiente ecuación diferencial estocástica.

Donde S es la tasa de cambio (Real/Dólar americano). Aplicando el lema de Ito se puede

encontrar el drift ( del modelo, el cual es la diferencia entre una tasa money-market en

Brasil y la correspondiente tasa money-market en dólares americanos.

El proceso de difusión que plantea Derman y Kani (1994) es el siguiente.

Donde el parámetro es la función de volatilidad local.

7 El termino smile incorpora el “skew” como la estructura a término de la volatilidad.

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El modelo planteado por Derman & Kani (1994) se aborda desde un marco binomial. De

esta manera, los precios de las opciones para todos los strikes y expiraciones, obtenidos a

partir de interpolar o extrapolar precios conocidos de opciones, determinarán la posición y

la probabilidad de llegar a cada nodo en el árbol, como el árbol incorpora la estructura de

volatilidades implícitas a partir de los precios conocidos de opciones, se puede valorar la

opción barrera y todos los instrumentos de cobertura de forma consistente con el mercado.

En adición, este árbol permite capturar lo sensible que es la probabilidad de tocar la barrera

a la forma que tiene el smile. Por las características del árbol mismo, este recibirá el

nombre de árbol implícito. En la siguiente sección de este trabajo se describe

detalladamente la construcción del árbol implícito para el Real.

4. METODOLOGIA

Esta sección aborda la construcción del árbol implícito creado por Derman & Kani (1994)

utilizando inducción. Los niveles del árbol están uniformemente espaciados en . A

continuación, se presenta la notación de los parámetros relevantes en el modelo. Después,

se detalla en la construcción misma.

La tasa de interés foward libre de riesgo domestica (Brasil) y la tasa de interés foward libre

de riesgo extranjera (EE.UU), y respectivamente, capitalizan continuamente. Estas

tasas no son constantes a lo largo del tiempo; pueden variar de nivel a nivel. Sin embargo,

por simplicidad se suponen constantes para todos los niveles del árbol.

Se requiere determinar los nodos en el nivel ( del árbol. Específicamente,

existen nodos para ser fijados, que corresponden a precios aún desconocidos

del Real . La siguiente figura muestra para un nodo en el nivel , el precio conocido del

Real que evoluciona hacia un nodo arriba y hacia un nodo abajo cuyo precio es

para el nivel donde el precio foward correspondiente a es 8. El

gráfico también muestra la probabilidad de transición , neutral al riesgo, hacia el nodo

de arriba y el precio Arrow-Debreu ( para el mismo nodo . ) es el precio de una

opción que paga 1 unidad en un solo estado en el nivel enésimo y paga cero de lo

8 Cabe mencionar que el gráfico supone que todos los precios que preceden el nivel han sido previamente

determinados.

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contrario. El precio Arrow-Debreu para cada nodo es computado por inducción hacia

adelante y es la suma sobre todos los caminos desde la raíz del nodo del producto de

las probabilidades de transición descontadas libres de riesgo en cada nodo y para cada

camino que conduce al nodo . Por lo tanto, todos los en el nivel son conocidos ya

que las probabilidades de transición y los nodos anteriores han sido computados para el

nivel .

En el modelo existen parámetros que definen la transición del nivel al nivel

( . Específicamente, los precios del Real y las probabilidades de

transición neutrales al riesgo ( . Los parámetros serán determinados a partir del

smile.

Ilustración 1. Construcción del Árbol implícito en el (n+1)esimo nodo del árbol.

Fuente: Derman y Kani (1994)

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Para determinar los parámetros, se utiliza el árbol para calcular el valor teórico de

valores conocidos, los cuales se distribuyen de la siguiente manera: valores foward y

opciones, el modelo permitirá que los valores teóricos de las opciones y los fowards

concuerden con los valores interpolados del mercado. Como el modelo presenta más

parámetros que incógnitas, Derman & Kani (1994) utilizan ese grado libertad para que el

centro del árbol sea coherente con un árbol binomial recombinante, planteado por Cox-

Ross-Rubinstein. La condición de centralidad depende si el nivel del árbol es par o

impar. Si es impar, el nodo central tiene como valor el precio actual del activo, para este

caso particular será el precio spot del Real. Si lo contrario sucede, se toma el promedio de

los logaritmos naturales de los dos nodos centrales para que igualen el logaritmo del precio

spot del Real.

A continuación se detallara en la derivación realizada por Derman & Kani (1994) de las

ecuaciones para los valores teóricos de los fowards y de las opciones.

El árbol implícito es riesgo neutral. Por lo tanto, el valor esperado un periodo después para

el Real en cualquier nodo debe ser su precio foward.

(1)

La tasa foward es conocida, por medio de la siguiente ecuación

Existen ecuaciones, una para cada .

El segundo conjunto de ecuaciones describe el valor de las opciones. Es importante

mencionar que solo hay opciones independientes ya que las opciones puts y calls con el

mismo precio de ejercicio están relacionadas a través de la paridad put-call, la cual se

sostiene en el modelo de los autores ya que el árbol implícito está atado a valorar todos los

fowards de forma correcta.

Existe una ecuación para cada opción con strike , el strike es igual al precio conocido para

el Real en el nivel que expira en el periodo siguiente. El strike separa el nodo

hacia arriba y el nodo hacia abajo, y respectivamente, en el siguiente nivel. Esto

permite que el nodo de arriba y todos lo que estén arriba de él serán deducidos a partir de

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una opción call con strike De forma análoga, el nodo de abajo y los nodos que ubiquen

debajo de él serán deducidos por una opción put con strike

Las opciones call y put, y respectivamente, se valoraran a precios de

mercado. Es decir, se interpola el smile para conocer el precio actual de las calls y puts con

strike y expiración El siguiente aparte de este capítulo ilustrará al lector como las

opciones calls y puts contribuyen a la deducción de los nodos de arriba y de abajo que

conforman el árbol. Las ecuaciones de opciones, junto a la ecuación (1) y la condición

de centralidad permitirán construir el árbol.

A continuación, se muestra la contribución que hacen las opciones de tipo call para la

deducción de los nodos de arriba.

Derman & Kani (1994) parten de la ecuación que describe el valor teórico de una opción

tipo call en un marco binomial, donde el precio de una opción de este tipo puede ser

expresado como el pago esperado en su expiración descontado a valor presente.

Matemáticamente, el precio se puede ver como la sumatoria de todos los nodos sobre el

nivel descontados por la probabilidad de llegar a cada nodo y

multiplicado por su pago.

∑ { } (2)

Cuando el strike de la opción es igual a , se puede conocer la contribución de la opción

para deducir el nodo de arriba utilizando la ecuación (1). El uso de la ecuación (1) permite

encontrar una expresión en términos de los precios Arrow-Debreu, los precios conocidos ,

y los precios foward.

∑ (3)

La expresión anterior tiene dos parámetros aún desconocidos y , como se conoce

y se puede resolver simultáneamente la ecuación (3) y (1) para y la

probabilidad de transición , en función de .

[

∑ ]

[ ∑ ]

(4)

17

De esta forma, se obtiene una ecuación que iterativamente determinará los nodos que se

ubiquen arriba del centro del árbol y la probabilidad de transición neutral al riesgo si se

conoce .

(5)

La ecuación (4) es útil cuando el número de nodos en el nivel es inpar ya

que se puede identificar el inicial para los

con el nodo central cuyo valor es el

precio spot del Real. Si el número de nodos en el nivel es par se identifican

el y iniciales para los , con los nodos que están justo abajo y arriba

del centro en el nivel. La condición de centralización escogida por los autores equivale a

escoger los dos precios centrales para que satisfagan , donde y equivale

al precio spot del Real, esa relación al ser reemplazada en el ecuación (4) proporcionará una

fórmula para encontrar el nodo más arriba de los dos nodos centrales.

[

]

(5)

El parámetro equivale a la sumatoria en la ecuación (3).

El desarrollo que se realizó para determinar los nodos de arriba aplica de forma análoga

para encontrar un fórmula que permita hallar los nodos de abajo, el perfil de pago de una

opción put está definido como el . La sumatoria pertinente para este caso

se hace sobre todos los nodos que están por debajo del nodo con precio . A continuación,

se presenta la expresión para encontrar el valor de .

[

( ) ∑ ]

[ ( ) ∑ ]

Para el cálculo de los precios Arrow-Debreu se utiliza la siguiente formula iterativa

donde equivale a 1 por definición.

18

{

[( ) ]

[ ( )]

[ ]

}

Por último, para que el árbol sea riesgo neutral, la probabilidad de transición en

cualquier nodo debe estar entre 0 y 1. Si es mayor que uno, en el siguiente nivel

sería menor al precio foward . Si es menor que cero, entonces el precio sería mayor

a Cualquiera de las dos situaciones daría lugar a una oportunidad de arbitraje. Por lo

tanto, para que esa condición no se presente en el modelo se debe cumplir la siguiente

desigualdad.

5. VALORACIÓN

Esta sección ilustra la construcción del árbol implícito para el Real. El modelo fue

calibrado de la siguiente manera: El árbol está espaciado en intervalos semanales, donde el

nodo inicial corresponde al valor spot del Real para el 17 de abril de 2013. El nivel ,

que corresponde al tiempo es 5 semanas, es decir, el árbol describe los posibles

valores que el Real puede tomar durante 5 semanas, partiendo del 17 de abril del presente

año.

Para calibrar el árbol se utilizaron las tasas de depósito en ambas monedas que determinan

la devaluación implícita en la tasa foward. Como se mencionó en el capítulo anterior las

tasas varían de nivel en nivel. La siguiente tabla corrobora ese hecho y muestra las tasas de

depósito para ambas monedas en función de la expiración del contrato foward (BRL/USD).

Sin embargo, por simplicidad se supone que las tasas de depósito relevantes son constantes

a lo largo del árbol.

Los valores de ambas tasas que se utilizaron para construir el árbol son los siguientes:

0.28% en Dólares y 6.58% en Reales.

19

0.00%

0.05%

0.10%

0.15%

0.20%

0.25%

0.30%

0.00%

1.00%

2.00%

3.00%

4.00%

5.00%

6.00%

7.00%

0 2 4 6

T

A

S

A

U

S

D

T

A

S

A

B

R

L

SEMANAS

TASAS DE DEPOSITO

BRL

USD

.

También, se utiliza la superficie de volatilidad de las opciones regulares sobre el Real para

el 17 de Abril. Extrapolando o interpolando la superficie de volatilidad se encontrará el

valor de las opciones calls y puts necesarias para deducir los valores del Real en los nodos

de arriba y de abajo del árbol respectivamente.

Gráfico 1. Tasas de Deposito por Semanas en USD Y BRL.

Gráfica 2. Superficie de volatilidad asociada a las opciones sobre el Real (17/04/2013)

Fuente: Bloomberg Finance L.P Tomado el (17/04/2013)

Fuente: Bloomberg Finance L.P tomado el (17/0472013)

20

0 1 2 3 4 5

Tiempo

(Semana) 2,3267

Árbol Implicito 2,1444

2,1073 2,1103

2,0773 2,0576

2,0262 2,0256 2,0309

2,0021 2,0021 2,0021

1,9783 1,9788 1,9737

1,9441 1,9568

1,9260 1,9419

1,9024

1,8776

La gráfica anterior muestra la volatilidad implícita en función del delta y la madurez.

Usualmente los traders de opciones utilizan este gráfico para determinar rápidamente la

forma de la superficie de volatilidades implícitas, y para identificar áreas donde las

volatilidades implícitas relativas puedan ofrecer oportunidades de trade. En los mercados de

divisas, las volatilidades implícitas usualmente tienden a subir a mayor o menor sea el

precio strike. En la gráfica, el termino ATM muestra la volatilidad de una opción At-the-

money. Es decir, un opción donde el precio ejercicio es igual al precio Forward.

A continuación, se presentan los tres resultados principales del modelo. Primero, se

presenta el árbol que permitirá valorar y encontrar una estrategia de cobertura para una

opción up-and-in, cuyas características se describirán a continuación. Segundo, se

presentan las probabilidades de transición hacia un nodo de arriba para cada nodo . Por

último, se presentan los precios Arrow-Debreu ( .

ÁRBOL 1: Árbol implícito para el Real, los nodos muestran el valor de 𝒔𝒊.

Fuente: Elaboración Propia.

21

0 1 2 3 4

Tiempo

(Semanas) 0,1698

0,6024

Probabilidad 0,6637 0,3679

0,3532 0,4687

0,5483 0,5496 0,5393

0,6319 0,5400

0,3870 0,5445

0,4777

0,4215

0 1 2 3 4 5

Tiempo

(Semanas) 0,0131

Arrow-Debreu 0,0770

0,1280 0,0058

0,1932 0,2452

0,5476 0,4153 0,3758

1 0,6385 0,4099

0,4511 0,3513 0,3029

0,1658 0,2098

0,1015 0,1179

0,0530

0,0306

Según Derman y Kani (1994) el árbol implícito es especialmente útil por las aplicaciones

que de él se derivan para las opciones con barrera. En primer lugar, el árbol puede valorar

una opción con barrera de forma adecuada, ya que este permite capturar lo sensible que es

la probabilidad de tocar la barrera a la superficie de volatilidad. En segundo lugar, el árbol

puede ser usado para crear estrategias de cobertura mediante portafolios estáticos.

A continuación, se detalla en las características de la opción con barrera. También, se

presenta al lector el contexto económico que da lugar al uso de opciones barrera.

ÁRBOL 2: Probabilidades de transición, los nodos muestran 𝒑𝒊.

ÁRBOL 3: Árbol de precios Arrow-Debreu, los nodos muestran el valor de 𝝀𝒊.

Fuente: Elaboración Propia.

Fuente: Elaboración Propia.

22

opcion call up-and-in

Spot 2.0021

Strike 2.0256

Barrera 2.1000

Tipo Europea

Fecha Inicio 17 de Abril de 2013

Fecha Expiracion 24 de Mayo de 2013

Posteriormente, se aborda la valoración de la opción con barrera, utilizando el árbol

implícito.

La opción barrera relevante para el ejercicio tiene las siguientes características.

En el contexto actual de la economía brasilera, un inversionista que desee tomar una

posición larga en una opción con esas características considera que el Real seguirá una

tendencia depreciativa. Los recientes datos de la economía de ese país no son favorables. El

dato de inflación para marzo del presente año se ubicó en 6.59 % anual. Sin embargo, el

banco central en Brasil ha declarado que no permitirá que el Real se deprecie rápidamente

debido a que una mayor depreciación puede tener efectos negativos sobre la inflación. No

obstante, el mismo banco ha actuado ante escenarios que revalúen el Real ya que dentro de

las políticas monetarias del banco está establecido mantener una tasa de cambio

competitiva.

Para valorar la opción barrera se utiliza inducción hacia atrás. El pago para una opción call

regular europea en la expiración es igual al . Por lo tanto, existen

pagos que corresponden a los nodos que hay en la expiración. El pago para los

nodos en la expiración también está condicionado a si el precio spot del Real en la

expiración proviene de una trayectoria que active la opción. Si la opción no se activa, el

pago de la misma toma el valor de cero para ese nodo al momento que finaliza el contrato.

Ambas condiciones determinaran el valor de la opción barrera para los nodos en la

expiración. Las probabilidades de transición riesgo-neutrales permiten computar el valor

esperado de la opción para cada nodo . El valor de la opción equivale a la sumatoria de

los valores esperados en los nodos traídos a valor presente utilizando la tasa de interés

Tabla 1: Parámetros para la opción call up-and-in.

Fuente: Elaboración Propia.

23

domestica . A continuación, se presenta el árbol que describe el perfil de pagos para la

opción con las características definidas.

ÁRBOL 4: Representación binomial del valor de la opción a lo largo del tiempo, los nodos muestran el valor intrínseco.

Fuente: Elaboración Propia.

El valor que se presenta el nodo inicial, 0.0170 Real/ Dólar Americano, es el valor teórico

de la opción call up-and-in con las características definidas.

6. CUBRIMIENTO

Cubrir una posición blinda a la entidad financiera que emite una opción barrera de los

riesgos inherentes de mercado que el instrumento derivado conlleva. Esta sección aborda la

elaboración de una estrategia de cubrimiento estática para la opción call up-and-in europea.

La opción se cubre utilizando la metodología propuesta por Derman et al (1994) donde se

describe la construcción de un portafolio compuesto de opciones regulares con diferentes

precios de ejercicio y fechas de expiración, cada opción dentro del portafolio tiene un peso

fijo que no necesitará ajuste. El valor del portafolio replicante aproximadamente coincidirá

con el valor de la opción barrera para una amplia gama de precios del Real sobre un

determinado tiempo, en general el portafolio presentará el mismo comportamiento que la

opción barrera.

0 1 2 3 4 5

0,3011

Opcion Barrera 0,1213

0,0853 0,0847

0,0614 0,0311

0,0268 0,0146 0,0000

0,0170 0,0080 0,0000

0,0050 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000

0,0000 0,0000

0,0000

0,0000

24

El método propuesto por los autores difiere de otros trabajos. Los estudios que preceden la

metodología propuesta por Derman et al (1994) se pueden dividir en dos grupos: El primero

reúne aquellos trabajos que se han caracterizado por emplear algún método de optimización

para minimizar la discrepancia entre el valor de la opción barrera y el portafolio replicante

para determinadas condiciones de mercado. El segundo grupo, se ha enfocado en encontrar

portafolios de cubrimiento estático para ciertos casos donde un número pequeño de

opciones puede replicar la opción con barrera.

El método de Derman et al (1994) se caracteriza por sistematizar la construcción de un

portafolio que replicará la opción con barrera para futuros precios del Real. El método de

los autores parte de la premisa que una replicación estática perfecta requeriría un infinito

número de opciones, aún así, un portafolio de cubrimiento estático compuesto de varias

opciones provee una replicación adecuada para una amplia gama de condiciones futuras de

mercado.

Para finalizar esta breve introducción se hablará un poco de las ventajas que ofrece la

cobertura estática. Después, se explicará cómo implementar la metodología propuesta por

los autores.

La cobertura estática tiene varias ventajas, una de ellas se refiere a la valoración. Una

estrategia de cobertura estática descompone una opción barrera en un portafolio de

opciones regulares, por lo tanto, el valor de mercado del portafolio proporciona un

estimado práctico del valor justo de una opción barrera. Este valor podría reflejar el

verdadero costo de la opción de forma más realista que el valor teórico ya que en el

mercado se presentan costos de transacción, superficies de volatilidad y otras condiciones

de mercado que quebrantan algunos de los supuestos que están detrás del modelo de

Black-Scholes. En adición, el cubrimiento estático es útil para cubrir opciones exóticas de

alto gamma, como es el caso de las opciones barrera, donde se requiere frecuentemente

cubrir la posición dinámicamente con el portafolio replicante. Por consiguiente, el

cubrimiento estático es una alternativa más económica debido a que no se presentan los

altos costos de transacción al optar por un cubrimiento dinámico.

25

El método está compuesto por tres componentes: El primero es un árbol binomial riesgo

neutral, el árbol relevante para el ejercicio fue calibrado en el capítulo anterior utilizando la

metodología propuesta por Derman & Kani (1994). El segundo componente se denomina

las condiciones de frontera. Las condiciones de frontera son los valores de la opción en una

frontera en algún nivel del árbol donde su valor está determinado por los términos de la

opción. Los valores de la opción dentro de la frontera están determinados por los valores

sobre la frontera. El último componente es la valoración de las opciones que conforman el

portafolio replicante, se utiliza inducción hacia atrás utilizando las probabilidades de

transición riesgo neutrales calculadas en el capítulo anterior.

La siguiente ilustración muestra las condiciones de frontera para la opción up-and-in.

Fuente: Elaboración Propia.

El método de replicación de los autores consiste en replicar el valor de la opción en la

frontera. De esta forma, se podrá replicar los valores dentro de la frontera ya que estos

dependen de los valores sobre la frontera. Para cada punto sobre la frontera que cuyo valor

sea mayor al precio spot actual, se puede utilizar opciones call con strike sobre o más arriba

de la frontera. Esto previene que la call tenga un valor dentro de la frontera, ya que si lo

tuviese alteraría el valor de las opciones que han sido computados por inducción de los

valores en la frontera. De forma análoga, sobre fronteras que se encuentren por abajo del

Precio Actual

Tiempo

Precio

Real Frontera de pago tipo In

Frontera Expiración

Ilustración 2: Condiciones de Frontera para una opción call up-and-in.

26

Posición Tipo Strike Expiración

Largo Call 2,0256 5

Corto Put 2,0363 5

Largo Put 2,0309 4

Largo Put 1,9802 3

Corto Put 1,9755 2

Portafolio

0 1 2 3 4 5

2,0256

PAGO ARBOL 0,3011

Portafolio Replicante 0,1213

0,0853 0,0847

0,0614 0,0311

0,0268 0,0146 0,0000

0,0170 0,0080 0,0000

0,0050 0,0000 -0,0626

0,0000 -0,0029

0,0513 -0,0944

-0,0029

-0,1587

precio actual, se puede utilizar opciones put sobre o por debajo de la frontera. Para replicar

el pago en la expiración se puede utilizar opciones put o call con un strike conveniente.

A continuación, se presenta el árbol que replica el perfil de pagos de la opción call up-and-

in que se valoró anteriormente. El árbol representa la conformación de un portafolio de

opciones europeas para la misma fecha pertinente de valoración de la opción barrera. La

tasa spot es igual para todas las opciones y equivale a la tasa spot del árbol que muestra los

posibles valores futuros del Real. Después, se detallara brevemente en la forma como el

portafolio fue construido.

Los guiones en rojo marcan las condiciones de frontera. Las posiciones que conforman el

portafolio se muestran a continuación.

ÁRBOL 5: Representación binomial del valor del portafolio en el tiempo.

Tabla 2: Canasta de opciones que conforman el portafolio.

Fuente: Elaboración Propia.

Fuente: Elaboración Propia.

27

Para la elaboración del portafolio replicante fue necesario partir de una opción regular call

con un precio de ejercicio de 2.0256, igual que el de la opción barrera, con una fecha de

expiración dentro de cinco semanas. Esta opción se comporta similar para un subconjunto

de nodos que se ubican en la parte de arriba del árbol. Sin embargo, existe una trayectoria

que genera un pago, en la expiración, diferente para ambas opciones. En la opción barrera

este perfil de pago es cero, debido a que la trayectoria no toca la barrera. Para replicar la

frontera de pago en la expiración se utiliza una opción put con strike 2,0363. El resto de

las opciones permiten replicar la condición de frontera diagonal.

Es importante fijarse que el valor del portafolio replicante difiere considerablemente del

valor de la opción barrera para el subconjunto de nodos que se ubican debajo de la frontera.

En general, el portafolio se comporta igual a la opción barrera si la última vale algo. Este

resultado es consecuencia de solo replicar la opción en las condiciones de frontera y no en

todos los nodos que conforman el árbol.

En resumen, el portafolio resulta en una cobertura adecuada en las trayectorias que

conducen a un valor de la opción en la expiración. Sin embargo, existen trayectorias que

conducen a que la opción deje de valer antes de la expiración, lo cual discrepa con el

portafolio replicante.

A continuación, se calculará el valor que el portafolio en términos del precio de mercado de

las opciones que conforman el portafolio. Para encontrar el valor de estas opciones se

utilizará la superficie de volatilidad para extrapolar o interpolar la volatilidad implícita en

cada una de las opciones que conforman el portafolio replicante. El valor de cada opción

tiene en consideración el Bid-Ask spread para cada volatilidad implícita. Las tasa spot es

igual para todas, como las tasas de depósito relevantes, y corresponde al nodo inicial del

árbol que describe la transición del Real hacia el futuro.

28

Corta 0,0476

Larga 0,0610

Valor Inicial Portafolio 0,0134

Valor Portafolio (Consolidado por posición)

Posición Tipo Strike Expiración Vol BID (%) Vol ASK (%) Precio

Largo Call 2,0256 5 9.819 10.833 0,0192

Corto Put 2,0363 5 10.060 11.124 0,0416

Largo Put 2,0309 4 9.775 11.033 0,0344

Largo Put 1,9802 3 9.268 10.301 0,0074

Corto Put 1,9755 2 9.398 10.877 0,0060

Portafolio

La siguiente tabla presenta las posiciones consolidadas y el valor inicial del portafolio que

corresponde con la fecha de valoración.

El precio justo de mercado para la opción de acuerdo con la estrategia empleada es 0.0134

Reales por Dólar Americano. Este valor se diferencia del valor teórico computado, el cual

es 0.0170 Reales por Dólar Americano. El valor del desajuste equivale a 27% del valor

teórico, en términos monetarios equivale a 0.0036. Para calcular el desajuste en los

siguientes periodos se vuelve a calibrar el árbol implícito para las semanas restantes

utilizando la superficie de volatilidad de la semana correspondiente. Se calibra cada árbol

con las tasas que determinaban el precio foward para cada fecha, esas tasas se asumen

constantes a lo largo del árbol.

Tabla 3: Precio componentes del portafolio.

Tabla 4: Valor del portafolio.

Fuente: Elaboración Propia.

Fuente: Elaboración Propia.

29

Calibración 4: Cuatro semanas después.

Fuente: Elaboración Propia.

Los resultados de la calibración para el resto de semanas muestran que la opción barrera

solo vale hasta la segunda semana, ya que para la tercera en adelante no hay posibilidad

Calibración 1: Una semana después.

Calibración 2: Dos semanas después.

Calibración 3: Tres semanas después.

30

0 1 2 3 4

Tiempo

0.1239

0.0806

0.0554 0.0361

0.0235 0.0160

0.0153 0.0085 0.0000

0.0056 0.0000

0.0000 0.0000

0.0000

0.0000

que el Real llegue a 2.1 durante lo que queda de la vigencia del contrato. El valor teórico de

la opción barrera una semana después es 0.153. El siguiente árbol describe el perfil de

pagos.

El valor del portafolio replicante una semana después es de 0.122, lo que implica un

desajuste del 25% del valor teórico, monetariamente equivale a 0.003. De acuerdo a la

nueva calibración realizada, a partir de la tercera semana de haber hecho el contrato el valor

de la opción barrera es 0. Por lo tanto, se debería liquidar el portafolio replicante en esa

semana a un valor de 0.0068.

El ejercicio realizado permite ver que existe un desajuste considerable en el portafolio

replicante. Este podría ser menor si se emplea un mayor número de opciones para replicar

la opción barrera en sus condiciones de frontera. Para ello, se tendría que espaciar el árbol

con un tiempo significativamente menor al empleado en este trabajo.

7. CONSIDERACIONES

Este breve capítulo cubre algunos aspectos que se deben tener en cuenta cuando se

emplean los métodos utilizados en este trabajo. Para empezar, el árbol implícito se debe

calibrar para un activo que sea líquido ya que se modela a partir de la superficie de

volatilidad -está condición aplica de forma análoga para la metodología de replicación dado

que se necesita un mercado liquido de opciones. Además, es importante resaltar que el

Calibración 5. Valor de la opción barrera una semana después.

Fuente: Elaboración Propia.

31

modelo no siempre es estable; este puede permitir arbitrajes si se obtienen probabilidades

de transición mayores que uno o menores que cero. Algunas reformas al modelo de Deman

y Kani (1994) han sido desarrolladas para otorgarle una mayor estabilidad al modelo.

Barle y Cakici (1998) proponen modificar la condición de centralidad, siendo esta ahora el

precio foward del activo y no el precio spot como lo plantean los autores iniciales. Sin

embargo, los cambios propuestos no solucionan el problema.

8. CONCLUSIONES

Este trabajo presentó una extensión del modelo de Black-Scholes para valorar y replicar

una opción barrera sobre el Real en un marco binomial de forma consistente con el

mercado. El árbol mostró de forma coherente la evolución del Real durante las 5 semanas

pues el Real se ha comportado como lo predijo el árbol.

El método empleado para cubrir la opción barrera es novedoso porque se reduce a replicar

el perfil de pagos de la opción barrera en sus condiciones de frontera. De esta manera, se

logra obtener un instrumento de cobertura que, en general, exhibirá el mismo

comportamiento que la opción barrera.

Aunque el portafolio en este trabajo replica las condiciones de frontera de la opción

barrera, este presenta un desajuste considerable. Para lograr un nivel de desajuste menor se

podría replicar las condiciones de frontera con un árbol que este espaciado en intervalos

menores a los semanales. De este modo, un mayor número de opciones conformarían el

portafolio replicante, aumentando las probabilidades de obtener un portafolio más

confiable.

32

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