Valuación de Instrumentos de Deuda Indexados al 

Comportamiento de otro Activo  

Un Modelo con y sin Riesgo de Crédito 

 

 

 

Trabajo de Tesis correspondiente al Doctorado en Finanzas 

 

 

Marcelo F. Perillo 

 

 

 

 

 

Universidad del CEMA 

Junio 2009 

 

Comité de Tesis 

 

Director: 

‐ Dr. Guillermo Lopez Dumrauf: ___________________ 

____________________________________________________________________ 

   

Miembros: 

 

‐ Dr. Rodolfo Apreda:___________________________ 

 

‐ Dr. José P. Dapena:____________________________ 

 

‐ Dr. Ignacio Warnes: _______________________ 

 

 

 

 

 

 

 

2

Valuación de Instrumentos de Deuda Indexados al Comportamiento de 

otro Activo 

Un Modelo con y sin Riesgo de Crédito 

 

Junio de 2009 

 

 

Resumen 

 

En el presente  trabajo abordamos  la valuación de una clase 

particular  de  productos  estructurados  consistentes  en 

instrumentos de deuda cuya función de pagos está atada al 

comportamiento de otra variable, como podría ser un índice 

accionario. Su contribución consiste en la proposición de una 

fórmula cerrada o “closed form solution” para la valuación de 

una clase particular de tales instrumentos, bajo los supuestos 

alternativos  de  existencia‐inexistencia  de  riesgo  de  crédito, 

modelado este último apelando a  la metodología propuesta 

por Robert Merton.  

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1.‐ Introducción 

Durante  la  década  de  los  90  los  mercados  asistieron  a  la  aparición  y 

expansión  de  una  clase  especial  de  vehículos  de  inversión,  conocidos 

comúnmente con el nombre de Productos Estructurados, en adelante PE. La 

definición de este  tipo de productos  resulta compleja,  toda vez que bajo  tal 

nombre genérico pueden encontrarse en  la actualidad una amplia gama de 

activos  muy  diferentes  entre  sí.  En  reconocimiento  de  la  dificultad  que 

implica su definición, apelaremos a una caracterización general diciendo que 

un PE es el resultado de  la combinación de diferentes activos, generalmente 

instrumentos  del  mercado  spot,  como  acciones  y  bonos,  e  instrumentos 

financieros derivados. 

La configuración de un activo de esta naturaleza es un trabajo de ingeniería 

financiera  que  permite,  mediante  una  compleja  combinación  de  activos, 

ofrecerles  a  los  inversores  productos  que  se  adaptan  a  sus  objetivos  o 

necesidades  de  inversión  y  cuya  construcción  estaría,  en  general  por  su 

complejidad,  fuera de  su alcance. Las entidades  financieras que  los ofrecen 

cuentan, en cambio, con la capacidad técnica y económica para ello. 

Un tipo particular de producto estructurado que ha devenido muy negociado 

en  diferentes  mercados,  como  por  ejemplo  el  alemán,  consiste  en 

instrumentos de deuda de descuento  o  cupón  cero  cuya  función de pagos 

está atada al  comportamiento de una variable  subyacente,  comúnmente un 

índice accionario. El pago del bono al vencimiento está dado en general por 

su Valor Nominal  si  el  subyacente  termina  por  debajo  de  un  cierto  valor, 

proveyendo al tenedor una protección contra un mercado bajista, y un pago 

ajustable por la rentabilidad del subyacente en caso contrario. En este caso de 

mercado alcista, una gran variedad de configuraciones del producto resultan 

posibles,  como  por  ejemplo  que  el  tenedor  obtenga  una  proporción  de  la 

4

apreciación del subyacente durante el período de vida del bono o el total de 

la misma. El  inversor  tiene acceso, de esta forma, a  la  inversión en el activo 

subyacente con una protección frente a un mercado bajista. 

Instrumentos  como  el descripto podrían  resultar  atractivos para  inversores 

que por su grado de aversión al riesgo no califiquen para la inversión directa 

en  el  subyacente,  inversores  próximos  a  su  retiro  y  que  por  lo  tanto  no 

pueden  exponerse  al  riesgo  del  subyacente  y  la  pérdida  de  capital  o 

simplemente especuladores.  

El objetivo del presente trabajo consiste en proponer una solución analítica o 

“closed  form  solution”  para  la  valuación  de  un  tipo  particular  de  PE,  cuya 

extensión a diferentes estructuras que se observan en los mercados resultaría 

en general simple. El PE tomado como benchmark para el trabajo consiste en 

un  instrumento bastante común en  la banca de  inversión, cuya    función de 

pagos está dada por: 

 

Valor Nominal  si  el  subyacente  termina  por  debajo  de  un  cierto 

valor,  normalmente  el  valor  existente  al momento  de  la  emisión,  definido 

como valor mínimo. 

Valor Nominal más  la rentabilidad del subyacente si este  termina 

por encima del valor mínimo pero por debajo de cierto valor, definido como 

valor máximo. 

Valor Nominal más  un  interés  establecido  en  las  condiciones  de 

emisión  si al vencimiento del bono el  subyacente  se encontrara por encima 

del valor máximo. 

 

Las características de la función de pagos de tal instrumento, esto es su pago 

condicional  al  comportamiento  de  otro  activo  subyacente,  hacen  que  se 

5

entienda  pertinente  la  aplicación  de  la  teoría  estándar  de  valuación  de 

derivados.  

No  obstante  ello,  una  característica  adicional  de  estos  instrumentos  nos 

previene de una simple extensión de aquella teoría tal como se aplica en las 

opciones  estándar.   Dicha  característica  es  que  los mismos  son  negociados 

generalmente en mercados desregulados (over the counter),  situación que nos 

plantea  la necesidad de contemplar especialmente  la existencia de riesgo de 

crédito, esto es el riesgo de que el emisor, que en muchos casos suele ser un 

banco  de  inversión,  no  pueda  cumplir  con  las  obligaciones  derivadas  del 

instrumento.  La  metodología  estándar  de  valuación  de  instrumentos 

financieros derivados no asume la existencia de riesgo de crédito, pudiéndose 

juzgar ello razonable para  la valuación de productos que son negociados en 

un  ámbito  bursátil  en  el  cual  operan  garantías  y  resguardos  que  no  están 

presentes en general en los mercados desregulados, y particularmente en los 

mercados  de  productos  como  el  aquí  analizado.  La  aplicación  de  tales 

modelos nos conduciría en general a una sobrevaluación de activos como los 

aquí analizados. Tal situación representaría para el emisor un incentivo para 

la  financiación mediante  estos  instrumentos de deuda,  en  tanto  que de  tal 

forma  podría  evitar  la  prima  de  riesgo  de  crédito  que  les  demanda  el 

mercado  de  deuda  estándar.  Cabe  esperar,  de  ser  así,  que  tales 

imperfecciones  no  se  sostendrán  en  el  tiempo  y  que  ambos  mercados 

valorarán de la misma forma el riesgo de crédito del emisor. 

La estructura del presente  trabajo  se desarrolla de acuerdo con el  siguiente 

esquema.  Luego  del  repaso  de  la  literatura  relacionada,  en  la  sección  2, 

proponemos,  en  la  sección  3, una  solución  analítica  o  “closed  form  solution” 

para la valuación del instrumento en cuestión bajo los supuestos estándar de 

6

la  teoría de valuación de  instrumentos  financieros derivados, representados 

inicialmente en el modelo de Black, Merton & Scholes. 

En  la  sección  4  incorporamos  al  modelo  anterior  el  riesgo  de  crédito, 

derivando  este  desarrollo  en  el  segundo modelo  de  valuación  propuesto. 

Para ello apelamos a la metodología propuesta por Robert Merton, conocida 

como Approach  Estructural,  y  a  la  literatura  sobre  valuación  de  opciones 

vulnerables, esto es opciones expuestas al riesgo de crédito del emisor. 

Finalmente,  en  la  sección  5  del  presente  documento  desarrollamos  dos 

ejemplos  numéricos  cuyo  objetivo  es  ilustrar  el  funcionamiento  de  ambos 

modelos, apelando para ello a un código desarrollado al efecto en VBA, en 

tanto que la sección 6 la destinamos a las conclusiones del trabajo. 

 

2.‐ Revisión de la Literatura 

La  primera  parte  de  nuestro  trabajo  hace  uso  de  la  teoría  estándar  de 

valuación de opciones, que encuentra su origen en el trabajo de Black, Merton 

y  Scholes  (1973)  y  su  representación  bajo  la  forma  que  aquí  utilizamos, 

conocida como Approach Probabilístico, en los trabajos de Harrison y Kreps 

(1979) y Harrison y Pliska (1981). Los resultados de tales trabajos resultan hoy 

día suficientemente conocidos, motivo por el cual no nos extenderemos sobre 

los mismos. 

Por  su  parte,  y  para  el  tratamiento  del  riesgo  de  crédito,  la  literatura  nos 

provee  diversas  metodologías,  que,  a  fines  de  una  representación 

simplificada, clasificaremos en tres grupos. Una de ellas es la conocida como 

“Approach Estructural” cuya idea central consiste en vincular el default con 

la  relación  entre  el valor del activo y  el valor de  la deuda, o  con un  cierto 

valor de referencia. El evento de default en este modelo se presenta cuando el 

valor del  activo  cae por debajo del  valor de  la deuda  o de dicho  valor de 

7

referencia. En un segundo grupo podríamos incluir a los Modelos Empíricos, 

cuya característica distintiva es la utilización de una metodología de scoring, 

donde  el  score  de  una  firma  es  comparado  con  el  score  de  default 

determinado por  la  evidencia  histórica de  firmas  que  han  incurrido  en un 

evento  de  default.  Finalmente,  la  metodología  conocida  como  “Reduced 

Form  Approach”,  a  diferencia  de  los  dos  anteriores,  no  descansa  en  un 

modelo  sobre  la  firma ni  sobre  su  score,  sino que  asume que  el  evento de 

default está simplemente determinado por una variable o factor externo. 

Una  variedad  de  alternativas  para  la  valuación  de  opciones  vulnerables 

pueden encontrarse también en la literatura,  atendiendo al modelo de riesgo 

de  crédito  utilizado,  la  consideración  del momento  de  default  (antes  o  al 

vencimiento),  la  existencia  de  una  barrera  de  default  variable  o  fija,  la 

configuración  de  la  estructura  de  capital,  la  modelización  del 

comportamiento  de  la  tasa  de  interés  (determinística  o  constante)  y  la 

existencia de correlación o no entre las variables involucradas. La posibilidad 

de arribar a una solución cerrada depende, como ha quedado demostrado en 

la  literatura y en  trabajos que  se  citan a  continuación, de  los  supuestos del 

modelo considerado. 

La valuación de opciones vulnerables apelando al approach estructural  fue 

propuesta originalmente por  Johnson y Stulz  (1987), quienes asumen que el 

evento de default puede  ocurrir  sólo  al vencimiento de  la  opción y que  la 

estructura de capital del emisor está compuesta únicamente por la opción en 

cuestión.    Klein  (1996)  extiende  el  trabajo  anterior,  incorporando  a  la 

estructura de capital del emisor de  la opción otras deudas, bajo el supuesto 

que  la  opción  no  integra  o  determina  la  barrera  de  default. Klein  e  Inglis 

(1999)  proponen  un  modelo  de  opciones  vulnerables  con  tasa  de  interés 

estocástica modelada a la Vasicek (1977), y extienden, posteriormente (2001), 

8

el modelo de Klein  (1996),  incorporando a  la barrera de default a  la deuda 

potencial resultante de  la opción emitida. Como  lo expresan  los autores, no 

resulta  posible,  en  este  último  caso,  obtener  una  solución  cerrada  para  la 

valuación  de  la  opción  debiéndose  recurrir  a métodos  numéricos  para  tal 

propósito. 

La característica común de todos los modelos citados anteriormente es que el 

default  puede  ocurrir  sólo  al  vencimiento  de  la  opción. Cao  y Wei  (2001) 

levantan este  supuesto,   proponiendo un modelo de valuación de opciones 

vulnerables, donde la estructura de capital de la firma está compuesta por la 

opción y otras deudas,  el default puede ocurrir  antes del vencimiento y  la 

tasa de  interés evoluciona de acuerdo con el proceso atribuido por Vasicek. 

La valuación de  la opción  la  realizan mediante simulación de Monte Carlo, 

no pudiendo arribar a una solución analítica para el precio del instrumento. 

Por su parte, Leland y Toft (1996) afirman que introducir una tasa de interés 

estocástica  tiene  un  efecto  de  menor  orden  en  el  valor  de  la  deuda, 

complicando significativamente el análisis. 

La  aplicación  del  Reduced  Form  Approach  a  la  valuación  de  opciones 

vulnerables ha sido explorada entre otros por Hull y White (1995) y Jarrow y 

Turnbull  (1995). Ambos  trabajos asumen que el default puede ocurrir antes 

del vencimiento. 

El supuesto de independencia entre el valor del activo de la firma y el valor 

del subyacente de la opción fue explorado por Hull y White (1995) y Jarrow y 

Turnbull  (1995),  entre  otros.  Tal  supuesto  simplifica  considerablemente  la 

valuación del  instrumento, pero como ha  sido observado por Hull y White 

(1995)  sólo  es  apropiado  cuando  el  emisor  es  una  institución  bien 

diversificada. 

9

Diferencias entre el seniority de la opción y la deuda que integra la estructura 

de capital de la firma constituye también un tema explorado en la literatura. 

Hull y White  (1995), Klein  (1996), Klein  e  Inglis  (2001), Cao y Wei asumen 

que  ambas deudas  tienen  el mismo  seniority. De  acuerdo  a Hull  (2000) un 

derivado es usualmente equiparado a un bono senior desprotegido  frente a 

un evento de default, cobrando  importancia en  tal caso  la consideración de 

este punto en  la valuación de la opción.  

De  lo  expuesto  puede  apreciarse  la  variedad  de  elecciones  posibles  en  la 

problemática  de  la  valuación  de  opciones  vulnerables,  alternativas  que  se 

derivan de las diferentes combinaciones que puede formular el autor respecto 

al modelo de riesgo de crédito utilizado, el momento de default, la existencia 

de una barrera de default  fija o variable,  la composición de  la estructura de 

capital,  el  carácter  determinístico  o  estocástico  de  la  tasa  de  interés  y  la 

independencia o correlación entre las variables involucradas. 

 

3.‐ Modelo sin Riesgo de Crédito. 

Esta  primera  parte  del  trabajo  se  desarrolla  en  línea  con  los  supuestos 

estándar del modelo de Black, Merton y Scholes, a saber: 

 

a.‐ Mercados perfectos, sin  fricciones (ausencia de  impuestos, costos de transacción, 

restricciones para short sales, agentes tomadores de precios).  

b.‐ La negociación de activos es continua. 

c.‐ Mercados completos. 

d.‐ Ausencia de oportunidades de arbitraje. 

e.‐ Posibilidad de prestar y tomar prestado a la tasa de interés libre de riesgo. 

f.‐ Volatilidad constante. 

10

g.‐ El comportamiento del precio del subyacente del instrumento satisface la siguiente 

ecuación diferencial estocástica, bajo la medida de probabilidad “real”, P. 

(t)QσS(t)dWq)S(t)dt-(µdS(t) +=           (1) 

donde:   

  μ := rentabilidad esperada del activo 

  q:= tasa de dividendo 

y W(t) representa un movimiento browniano estándar. 

h.‐ Inexistencia de riesgo de crédito. 

 

Bajo los supuestos planteados de inexistencia de oportunidades de arbitraje y 

mercados completos se ha demostrado en la literatura que existe una medida 

de martingala  equivalente,  esto  es  existe  una medida  de  probabilidad  Q, 

equivalente  a  la  medida  de  probabilidad  “real”,  P,  tal  que  el  precio 

descontado de los activos bajo Q es una martingala, y que tal medida es única, 

representando  esto  último  que  existirá  un  único  precio  para  el  derivado 

consistente  con  la  inexistencia  de  oportunidades  de  arbitraje.  Cuando  el 

numerario utilizado está determinado por el activo libre de riesgo, tal medida 

de probabilidad recibe el nombre de Probabilidad Neutral al Riesgo.  

Bajo esta medida de martingala equivalente el precio del subyacente satisface 

la siguiente ecuación diferencial estocástica: 

 

(t)σS(t)dWq)S(t)dt-(rdS(t) Q+=               (2) 

 

en  tanto  que  el  precio  de  un  derivado  sobre  dicho  activo,  S,  cuyo  payoff 

ocurre en T, debe satisfacer en ausencia de oportunidades de arbitraje: 

 

11

[ ][ ])()(

)()()-(- TfEetf

TfeEetfQtTr

rTQrt

=

= −−

              (3) 

 

donde f(T) representa la función de pagos del instrumento derivado y  f(t) su 

precio en t. 

La  función  de  pagos  del  instrumento  utilizado  como  benchmark  para  el 

presente trabajo presenta las siguientes características: 

 

      VN si S(T) ≤ Xi

  f(T):=    VN(S(T)/S(0)) si  Xi < S(T) ≤ Xs           (4) 

      VNeiT  si S(T) > Xs   

 

donde   

Xi:= límite inferior establecido para el valor del subyacente al vencimiento del 

bono. 

Xs:=  límite  superior establecido para el valor del  subyacente al vencimiento 

del bono. 

i:= tasa de interés que pagará el bono al tenedor si al vencimiento el valor del 

subyacente termina por encima del límite superior. 

 

Como  puede  observarse  de  la  definición  de  la  función  de  pagos,  si  al 

vencimiento  del  instrumento  el  precio  del  subyacente  se  encontrara  por 

debajo del límite inferior establecido en las condiciones de emisión el tenedor 

del  instrumento percibiría sólo el Valor Nominal. Para cualquier valor entre 

ambos límites el tenedor percibirá el VN más la rentabilidad del subyacente 

en el período de vida del instrumento de deuda. Para valores de S por encima 

12

del límite superior el tenedor recibirá simplemente el VN capitalizado a una 

tasa de interés especificada en las condiciones de emisión. 

 

A continuación proporcionamos una representación gráfica de la función de 

pagos del instrumento al vencimiento: 

     

                fT 

 

 

 

 

 

 

 

         

Xi           XS               ST   

 

A efectos de nuestro propósito de valuación,  incorporamos ahora  (4) en  (3), 

obteniendo  la  expresión  que  debe  satisfacer  el  precio  del  instrumento  en 

ausencia de oportunidades de arbitraje: 

 

( ) ( )[ ]ssii XTS

iTXTSXXTS

Qr VNeSTSVNVNEetf >≤<≤ ++= )()()( 11)0()(1τ-(5) 

 

donde por 1 estamos representando a la función indicador. 

 

13

Utilizando  las  propiedades  del  operador  valor  esperado,  podemos 

descomponer  a  la  expresión  obtenida  anteriormente,  (5),  de  la  siguiente 

forma: 

 

321)( ffftf ++=                 (6) 

 

 con: 

 

[ ]XiSQtTr

TVNEef ≤

−−= 1)(1               (7) 

( )[ ]XsSXQtTr

TiSTSVNEef ≤<

−−= 1)0(/)()(2         (8) 

[ ]sT XS

iTQtTr VNeEef >−−= 1)(

3             (9) 

 

Lo que sigue es la evaluación de las expresiones (7), (8) y (9), esto es el cálculo 

de tales valores esperados. 

 

La evaluación de (7) resulta en: 

 

( )

tT

tTqrtSX

d

dNVNef

i

tTr

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

= −−

σ

σ2)(

ln

)(2

1

1)(

1

            (10) 

 

Por su parte de la manipulación de (8) obtenemos: 

 

14

( ) ( )[ ]

tT

tTqrtSX

d

tT

tTqrtSX

d

dNdNeStSVNf

i

s

tTq

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

−= −−

σ

σσ

σ

)(2)(

ln

)(2)(

ln

)0()(

2

3

2

2

32)(

2

          (11) 

 

Finalmente, el  tercer  término de  la  fórmula propuesta para  la valuación del 

PE está representado por la siguiente expresión: 

 

( )

tT

tTqrX)t(Sln

d

)d(NVNef

s

)tT(riT

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

= −−

σ

σ2

2

4

43

          (12) 

 

La expresión final para la valuación del instrumento bajo análisis es entonces 

la siguiente: 

15

[ ]

( )

( )tTd

tT

tTqrX)t(Sln

d

tTdtT

)tT(qr)t(S

Xln

d

tT

)tT(qr)t(S

Xlnd

tT

tTqr)t(S

Xlnd

)d(NVNe)d(N)d(Ne)(S)t(SVN)d(NVNe)t(f

s

i

s

i

)tT(riT)tT(q)tT(r

−−−=−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

−−=−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

+−+= −−−−−−

σσ

σ

σσ

σσ

σσ

σ

2

2

4

1

2

3

2

2

2

1

4321

2

2

2

2

0

(13) 

 Verificaciones  estándar  de  (13)  conducen  a  resultados  consistentes  con  las 

condiciones de frontera del instrumento y con lo que cabría esperar dada su 

función de pagos. Analizaremos a continuación algunas de esas condiciones, 

cuya verificación en general procede simplemente: 

 

a) lim St—›∞  

En este caso puede comprobarse fácilmente que d1=d2=d3= ‐∞ y por lo tanto se 

sigue que N(d1) = N(d2) = N(d2) = 0. Por su parte se verifica que d4=+∞ y N(d4)=1. 

El  valor  que  arroja  en  este  caso  nuestra  fórmula  para  el  PE  estará  dado 

entonces por: 

 

  [ ]iTrt VNeef τ−=  

 

16

resultado  que  era  esperable,  pues  en  tal  caso  el  valor  del  subyacente 

terminaría,  con  probabilidad  1  por  encima  del  límite  superior  y 

consecuentemente el instrumento pagaría en tal caso el VN capitalizado a la 

tasa  de  interés  i.  Consecuentemente,  en  ausencia  de  oportunidades  de 

arbitraje el instrumento debería negociarse al valor presente de dicho flujo de 

fondos cierto, descontando a tal efecto el flujo de fondos a  la tasa de  interés 

libre de riesgo. 

 

b) St —› 0 

En este caso d1=d2=d3—›+∞ y por lo tanto se sigue que N(d1) = N(d2) = N(d2) —› 

1. Por su parte se verifica que d4—›‐∞ y N(d4) —›0. El valor que arroja nuestra 

fórmula para el PE estará dado entonces por: 

 

   VNef tTrt

)( −−=

   

La  explicación  del  resultado  procede  conforme  a  la  proporcionada  en  el 

punto  anterior.  Para  valores  pequeños  del  subyacente  la  probabilidad  que 

este  termine por debajo del  límite  inferior converge a uno y por  lo  tanto  la 

probabilidad que al vencimiento pague el VN también converge a ese valor. 

En tal caso el instrumento debería negociarse a su valor presente. 

 

c) σ = 0 

La fórmula nos proporciona diferentes respuestas en esta situación, según la 

relación  existente  entre  S,  Xs  y  Xi,    Ello  puede  explicarse  por  el 

comportamiento que exhibiría el subyacente bajo los supuestos del modelo y 

sin volatilidad. Puede  apreciarse que bajo  la medida de probabilidad Q  su 

17

precio crecería determinísticamente bajo la situación planteada a la tasa (r‐q). 

En  tal  caso  el  pago  del  bono  dependerá  de  la  posición  relativa  del  precio 

actual  del  subyacente  con  respecto  a  los  valores  de  ambos  límites.  Más 

precisamente, la distancia entre el precio actual del subyacente y los límites, 

conjuntamente con la tasa de crecimiento mencionada, pueden derivar en las 

diferentes situaciones que analizamos a continuación: 

 

 ( )i

tTqrt XeS <−− )(

En  este  escenario  se verificará que  d1=d2=d3=+∞ y por  lo  tanto  se  sigue que 

N(d1)  = N(d2)  = N(d2)  =  1.  Por  su  parte  se  verifica  que  d4=‐∞  y N(d4)=0.  La 

fórmula se reduce en tal caso a la siguiente expresión: 

 

VNef ttrt

)( −−=  

 

Ello  se explica en el hecho que  creciendo determinísticamente el precio del 

subyacente  a  la  tasa  r – q no podrá  alcanzar y  superar  el  límite  inferior  al 

vencimiento del instrumento, consecuentemente este ofrecerá un pago cierto 

igual a su VN. 

 

 ( )s

tTqrti XeSX << −− )(

En  esta  situación  se  verificará  que  d1=d3=d4=‐∞  y  por  lo  tanto  se  sigue  que 

N(d1)  = N(d3)  = N(d4)  =  0.  Por  su  parte  se  verifica  que  d2=+∞ y N(d2)=1.  La 

fórmula se reduce en tal caso a la siguiente expresión: 

 

0

)())(()(

SeSVN

SeSVNef

tTqt

o

tTqrttTr

t

−−−−−− =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=  

18

El  resultado  es  también  aquí  intuitivo,  reconociendo  que  el  valor  del 

subyacente  terminará  entre  ambos  límites  y  que  en  tal  caso  la  función  de 

pagos establece que el tenedor recibirá el valor nominal capitalizado a la tasa 

de rentabilidad del subyacente.  La primera expresión de la derecha nos está 

indicando precisamente  ello,  el precio del  instrumento debería  ser  igual  al 

valor actual (descontado a la tasa de interés libre de riesgo) del valor nominal 

capitalizado a la tasa de rendimiento del activo entre el momento inicial, t=0, 

y su vencimiento en T, rendimiento representado por r‐q. 

 

 ( )s

tTqrt XeS <−− )(

Notar que d1=d2=d3=‐∞ y por lo tanto se sigue que N(d1) = N(d2) = N(d3) = 0. Por 

su parte se verifica que d4=+∞ y N(d4)=1. La fórmula se reduce en tal caso a la 

siguiente expresión: 

 

[ ]iTtTrt VNeef )( −−=  

 

y su explicación procede simplemente como en los casos anteriores. 

 

d) T‐t —› 0 

En este último  caso que analizamos a  continuación  cabe  formular  similares 

consideraciones a las realizadas en el punto anterior. La respuesta del modelo 

será  diferente  según  cuál  haya  sido  el  valor  final  del  subyacente.  Si  se 

verificara  que  ST    <  Xi  la  respuesta  que  obtenemos  analizando  el 

comportamiento de d1, d2, d3, d4, N(d1),  N(d2),  N(d3) y N(d4) es que el valor del 

instrumento debería estar dado por su VN. Similar análisis para el escenario 

Xi < ST  < Xs nos conduce a la siguiente respuesta:  fT=VN(ST/S0). Finalmente de 

19

terminar  el  subyacente  por  encima  del  límite  superior,  ST>Xs  la  fórmula 

arrojaría que fT=VNeiT. 

 

Del  análisis  formulado  se  concluye  que  la  expresión  obtenida  satisface  las 

condiciones de frontera que caracterizan la función de pagos del instrumento 

analizado,  brindándonos  respuestas  coincidentes  con  las  que  podrían 

derivarse mediante un simple análisis intuitivo de dicha función.     

 

4.‐ Modelo con Riesgo de Crédito. 

 

Si  bien  la  metodología  estándar  de  valuación  de  instrumentos  derivados 

resulta apropiada para capturar la característica de opcionalidad presente en 

este tipo de instrumentos, debemos reconocer que dicha metodología ignora 

el  riesgo  de  crédito  del  emisor  del  activo,  omisión  que  no  representa  un 

sacrificio  significativo  cuando  tales  instrumentos derivados  son negociados 

en mercados  regulados  en  los  cuales  operan  garantías  que minimizan  los 

riesgos de default o cuando el emisor cuenta con una solvencia patrimonial 

que justifica tal tratamiento. 

No es sin embargo éste el caso general de  los productos a  los que hacemos 

referencia en el presente  trabajo y por ello  cabe esperar  la existencia de un 

spread  entre  el  precio  de mercado  y  el  valor  que  arroja  nuestro modelo, 

spread que podría servir también, en un ejercicio de ingeniería inversa, para 

apreciar el riesgo de crédito del emisor del PE.  

El propósito de esta sección del documento es obtener una expresión que nos 

permita  incorporar  la  valuación  de  spread  en  el modelo  propuesto  en  la 

sección anterior. 

20

La  modelización  del  riesgo  de  crédito  requiere  la  elección  del  modelo  a 

aplicar.  Como  explicamos  anteriormente  optamos  en  este  punto  por  la 

aplicación  del  conocido  “Approach  Estructural”  propuesto  por  R. Merton 

(1974). 

Para  la  incorporación  del  riesgo  de  crédito  de  emisor  reformularemos  el 

supuesto  h)  del modelo  anterior  e  incorporaremos  un  supuesto  adicional, 

relacionado con el comportamiento atribuido al valor de la firma emisora del 

instrumento de deuda: 

 

h.‐ El  evento  de  default  ocurre  si  al  vencimiento  el  valor  del  activo  del  emisor  se 

encuentra por debajo de un cierto nivel de deuda, que identificaremos como D, el cual 

se asume determinístico.  

 

La formulación de este supuesto implica asumir que el límite de default no se 

ve  afectado  por  el  valor  del  instrumento  bajo  consideración,  o  que  su 

participación en la estructura de capital de la firma es insignificante, tal como 

se asume  en  el  trabajo de Klein  (1996). Como mencionamos anteriormente, 

Klein  e  Inglis  (2001)  han  demostrado  que  la  incorporación  de  la  deuda 

resultante de  la opción al  límite de default no permite obtener una solución 

cerrada. 

 

i.‐ El valor del activo de emisor, que identificaremos como V, satisface, bajo la medida 

de probabilidad Q, la siguiente ecuación diferencial estocástica: 

 

   QVVVdWrVdtdV σ+=

con: 

21

 

       dtdWdWE QV

Qs ρ=)(

 

Con respecto a la notación que utilizaremos en adelante cabe observar que la 

incorporación  de  otro  activo  en  nuestro  modelo  nos  obliga  a  incorporar 

notación  adicional  para  distinguir mediante  subíndices  las  volatilidades  y 

movimientos brownianos que afectan a cada uno de los dos activos, S y V. 

En  este  caso  la  función de pagos del  instrumento  se verá modificada de  la 

siguiente forma:  

 

      VN si S(T) ≤ Xi y V(T) ≥ D 

      δT VN si S(T) ≤ Xi y V(T) < D 

      VN(S(T)/S(0)) si  Xi < S(T) ≤ Xs y V(T) ≥ D 

  f(T):=    δT VN(S(T)/S(0)) si  Xi < S(T) ≤ Xs y V(T) < D                                              

      VNeiT  si S(T) > Xs y V(T) ≥ D   

      δT VNeiT  si S(T) > Xs  y V(T) < D 

 

donde: 

 

 DTV

T)(

=δ  

 

representa la tasa de recupero en caso de default, la cual se determina a partir 

de la relación entre el valor de la firma al vencimiento de la deuda en T y el 

valor de ésta. 

 

22

En  ausencia  de  oportunidades  de  arbitraje  el  precio  del  instrumento  debe 

satisfacer la siguiente expresión: 

 

( ) ( ){ ( )( ) ( )} )(

)()()()()(

)()()()(

11111

.1)0()(111tTr

DTVTDTVXTSiT

DTVTDTV

XTSXiDTVTDTVXiTSQ

eVNe

STSVNVNEtf

s

s

−−<≥><≥

≤<<≥≤

+++

++=

δδ

δ(14) 

 

La expresión anterior puede representarse de la siguiente forma: 

 

654321)( fffffftf +++++=               (15) 

 

con: 

 

( )D)T(VX)T(SQ)tT(r

iVNEef ≥≤

−−= 111  

 

( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ≥≤<

−−D)T(VX)T(SX

Q)tT(rsiS

TSVNEef 1103      

( )D)T(VXi)T(STQ)tT(r VNEef <≤

−−= 11δ2

( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= <≤<

−−DTVXTSX

QtTrsiS

TSVNEef )()(T)(

4 110δ  

( )DTVXTSiTQtTr

sVNeEef ≥>

−−= )()()(

5 11  

( )DTVXTSiTQtTr

sVNeEef <>

−−= )()(T)(

6 11δ  

 

La manipulación de (15) nos conduce a los siguientes resultados para f1, f2, f3, 

f4, f5, f6 y consecuentemente el valor del instrumento en t:  

 

( ρ−= −− ,, 212)(

1 ddNVNef tTr )             (16) 

23

con: 

 

( )

( )

tT

tTrDtV

d

tT

tTqrtSX

d

V

V

S

Si

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

σ

σ

σ

σ

2)(ln

2)(ln

2

2

2

1

   

 

( ρ,,)(4322 ddN

DtVVNf = )               (17) 

( )

( )tTd

tT

tTrtVD

d

tTdtT

tTqrtSX

d

VV

V

VS

VSSi

−−−=−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

−−=−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

σσ

σ

ρσσ

σρσσ

2

2

4

1

2

3

2)(ln

2)(ln

 

 

( ) ( ) ([ ]ρρ −−−= −− ,,,,)0()(

7627523 ddNddNeStSVNf tTq )       (18) 

 

donde: 

 

24

( )

( )

( )tTd

tT

tTrDtV

d

tTdtT

tTqrtSX

d

tT

tTqrtSX

d

SV

VSV

SS

Si

S

Ss

−+=−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

−−=−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

ρσσ

σρσσ

σσ

σ

σ

σ

2

2

7

1

2

6

2

5

2)(ln

2)(ln

2)(ln

 

 

( )( ) ( ) ([ ]ρρσρσ ,,,,)()0()(

109210824 ddNddNeDtV

StSVNf tTqr VS −= −+− )   (19) 

 

con: 

 

( )

( )

( )tTtTd

tT

tTrtVD

d

tTtTdtT

tTqrtSX

d

tTdtT

tTqrtSX

d

SVV

VSV

VSS

VSSi

VS

VSSs

−−−−−=−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

−−−−=−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

−−=−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

ρσσσ

σρσσ

ρσσσ

σρσσ

ρσσ

σρσσ

2

2

10

1

2

9

5

2

8

2)(ln

2)(ln

2)(ln

 

 

( ρ,, 2112)(

5 ddNVNef tTriT −−= )            (20) 

 

con: 

 

25

( )tTd

tT

tTqrXtS

d SS

S

s −−−=−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= σσ

σ

5

2

11

2)(ln

 

 

( ρ−= ,d,dND)t(VVNef iT

41226 )             (21) 

 

con: 

 

( )tTtTd

tT

tTqrX)t(Sln

d VSS

VSS

s −+−−−=−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= ρσσσ

σρσσ

5

2

12

2  

 

donde por N2    estamos  representando a  la probabilidad acumulada de una 

distribución normal bivariada. 

 

La  expresión  final para  el  instrumento  con  el  supuesto de  la  existencia de 

riesgo de crédito es: 

 

{ [] [

( ) }ρρ

ρρρ

ρρρσρσ

-

--

---

41222112--

10921082--

0762

7520--

432212--

,d,dNe)D/V(),d,d(Ne

),d,d(N),d,d(Ne)D/)t(V)(S/)t(S(),d,d(N

),d,d(N)S/e)t(S(),d,d(N)D/)t(V(),d,d(NeVNf

iTt

)tT(riT

)tT)(qr(

)tT(q)tT(rt

VS

+

++

++=+ ]

 

con 

 

26

( )

( )

tT

tTrDtV

d

tT

tTqrtSX

d

V

V

S

Si

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

σ

σ

σ

σ

2)(ln

2)(ln

2

2

2

1

 

( )

( )tTd

tT

tTrtVD

d

tTdtT

tTqrtSX

d

VV

V

VS

VSSi

−−−=−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

−−=−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

σσ

σ

ρσσ

σρσσ

2

2

4

1

2

3

2)(ln

2)(ln

 

( )

( )

( )tTd

tT

tTrDtV

d

tTdtT

tTqrtSX

d

tT

tTqrtSX

d

SV

VSV

SS

Si

S

Ss

−+=−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

−−=−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

ρσσ

σρσσ

σσ

σ

σ

σ

2

2

7

1

2

6

2

5

2)(ln

2)(ln

2)(ln

 

( )

( )

( )tTtTd

tT

tTrtVD

d

tTtTdtT

tTqrtSX

d

tTdtT

tTqrtSX

d

SVV

VSV

VSS

VSSi

VS

VSSs

−−−−−=−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

−−−−=−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

−−=−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

ρσσσ

σρσσ

ρσσσ

σρσσ

ρσσ

σρσσ

2

2

10

1

2

9

5

2

8

2)(ln

2)(ln

2)(ln

 

27

( )tTd

tT

tTqrXtS

d SS

S

s −−−=−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= σσ

σ

5

2

11

2)(ln

 

( )tTtTd

tT

tTqrXtS

d VSS

VSS

s −+−−−=−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= ρσσσ

σρσσ

5

2

12

2)(ln

 

 

5.‐ Ejemplos Numéricos 

 

5.1.‐ Ejemplo N°1: Aplicación del Modelo sin Riesgo de Crédito 

 

Para  la  implementación del modelo  en  cuestión desarrollamos  el  siguiente 

código en VBA, el cual no tiene pretensiones de elegancia ni de eficiencia sino 

la  mera  satisfacción  del  propósito  de  aplicación  del  modelo  teórico 

desarrollado 

 

Function N(x) 

 N = Application.NormSDist(x) 

End Function 

Function BonoSinCreditRisk(St, So, VN, xi, xs, r, q, i, T,T‐t , sigmas) 

D1 = (Log(xi / St) ‐ (r ‐ q ‐ 0.5 * sigmas ^ 2) * (T‐t) / (sigmas * (T‐t) ^ 0.5) 

D2 = (Log(xs / St) ‐ (r ‐ q + 0.5 * sigmas ^ 2) *( T‐t)) / (sigmas * (T‐t) ^ 0.5) 

D3 = D1 ‐ sigmas * (T‐t) ^ 0.5 

D4 = ‐D2 ‐ sigmas * (T‐t) ^ 0.5 

BonoSinCreditRisk = VN * Exp(‐r * (T‐t)) * N(D1) + VN * St * Exp(‐q * (T‐t)) * 

(N(D2) ‐ N(D3)) / So + VN * Exp(i * T ‐ r * (T‐t)) * N(D4) 

End Function 

28

Para  la  aplicación  del  código  utilizamos  los  siguientes  valores  para  el 

subyacente y  las  restantes variables y parámetros del modelo que han  sido 

extraídos del prospecto del  instrumento utilizado  como benchmark para  el 

desarrollo del trabajo: 

 

So  1484,00

St  1484,00

Xi  1484,00

Xs  1795,64

T‐t  2

T  2

r  0,04

Sigmas  0,40

VN  100,00

q  0,02

i  0,05

 

Para un plazo al vencimiento de 2 años, esto es asumiendo que el bono ha 

sido recientemente emitido y que el valor corriente del subyacente es igual al 

valor  mínimo  Xi,  característica  más  frecuente,  el  modelo  arroja  para  el 

instrumento un valor de $96,99 por cada 100 de valor nominal.  

 

Si hacemos T‐t pequeño, por ejemplo 0,01 años, podemos comprobar cómo la 

función de pagos converge a la anteriormente representada, como mostramos 

en la Figura 1 a continuación. 

 

29

95

100

105

110

115

900 1.100 1.300 1.500 1.700 1.900 2.100 2.300

Valor del Subyacente

Val

or d

el B

ono

 

             Figura 1. Valor del bono sin riesgo de crédito 

 

5.2.‐ Ejemplo N°2: Aplicación del Modelo con Riesgo de Crédito 

Para la aplicación del modelo con riesgo de crédito desarrollamos el siguiente 

código: 

 

Function CBND2(A As Double, b As Double, rho As Double) As Double 

Dim g As Double, P As Double, x, y, sum As Double 

 Dim i As Integer     

    x = Array(0.018854042, 0.038088059, 0.0452707394, 0.038088059, 0.018854042) 

    y = Array(0.04691008, 0.23076534, 0.5, 0.76923466, 0.95308992)  

    sum = 0 

    For i = 0 To 4 

        P = y(i) * rho 

30

        g = 1 ‐ P ^ 2 

        sum = sum + x(i) * Exp((2 * A * b * P ‐ A ^ 2 ‐ b ^ 2) / g / 2) / Sqr(g) 

    Next 

    CBND2 = rho * sum + CND(A) * CND(b) 

End Function 

 

Function BonoConCreditRisk(VN, St, So, V, D, xd, xu, r, T‐t, i, q, T, sigmas, 

sigmav, rho As Double) 

Dim D1 As Double, D2 As Double, D3 As Double, D4 As Double, D5 As Double, 

D6 As Double, D7 As Double, D8 As Double 

Dim D9 As Double, D10 As Double, D11 As Double, D12 As Double, D13 As 

Double, D14 As Double 

D1 = (Log(xi / St) ‐ (r ‐ q ‐ 0.5 * sigmas ^ 2) * (T‐t)) / (sigmas * (T‐t) ^ 0.5) 

D2 = (Log(V / D) + (r ‐ 0.5 * sigmav ^ 2) * (T‐t)) / (sigmav * (T‐t) ^ 0.5) 

D3 = D1 ‐ rho * sigmav * (T‐t) ^ 0.5 

D4 = ‐D2 ‐ sigmav * (T‐t) ^ 0.5 

D5 = (Log(xs / St) ‐ (r ‐ q + 0.5 * sigmas ^ 2) * (T‐t) / (sigmas *( T‐t) ^ 0.5) 

D6 = D1 ‐ sigmas * (T‐t) ^ 0.5 

D7 = D2 + rho * sigmas * (T‐t) ^ 0.5 

D8 = D5 ‐ rho * sigmav * (T‐t) ^ 0.5 

D9 = D1 ‐ sigmas * (T‐t) ^ 0.5 ‐ rho * sigmav * (T‐t) ^ 0.5 

D10 = ‐D2 ‐ sigmav * (T‐t) ^ 0.5 ‐ rho * sigmas * (T‐t) ^ 0.5 

D11 = ‐D5 ‐ sigmas * (T‐t) ^ 0.5 

D12 = D2 

D13 = ‐D5 ‐ sigmas * (T‐t) ^ 0.5 + rho * sigmav * (T‐t) ^ 0.5 

D14 = D4 

31

BonoConCreditRisk  = VN  * Exp(‐r  *  (T‐t))  * CBND2(D1, D2,  ‐rho)  + VN  * V  * 

CBND2(D3, D4, rho) / D + VN * St * Exp(‐q * (T‐t)) _ 

* (CBND2(D5, D7, ‐rho) ‐ CBND2(D6, D7, ‐rho)) / So + VN * St * V * Exp((r ‐ q + 

rho * sigmas * sigmav) * (T‐t)) _ 

* (CBND2(D8, D10, rho) ‐ CBND2(D9, D10, rho)) / (So * D) + VN * Exp(i * T ‐ r * 

(T‐t)) * CBND2(D11, D12, rho) _ 

+ VN * Exp(i * T) * V * CBND2(D13, D14, ‐rho) / D 

End Function 

 

En  la  primera  parte  del  código  implementamos  el  algoritmo  simple  de 

Drezner‐Wesolowsky  (1990)  que  es  utilizado  por  la  segunda  función,  de 

valuación del instrumento, para el cálculo de las probabilidades acumuladas 

de la normal bivariada.  

Para  los  mismos  valores  del  ejemplo  anterior,  una  relación  V/D=2,  una 

volatilidad del valor de la firma del 40% y una correlación de 0.4, el modelo 

arroja un valor de $93,99, esto es una diferencia de $3 con el valor sin riesgo 

de crédito. 

Una verificación que resulta pertinente formular en este caso es si el modelo 

converge a su versión sin riesgo de crédito cuando el valor de la firma, V, es 

considerablemente superior al valor de  la deuda, esto es  la probabilidad de 

default es muy pequeña o cercana a cero. 

Tal  verificación  puede  realizarse  analíticamente  haciendo  Vt>>>>>D  o 

equivalentemente que D/Vt converja a cero. En tal caso podemos comprobar 

analizando  el  comportamiento  de  d1,………..d12  y  de  las  correspondientes 

probabilidades acumuladas que aparecen en la expresión final que la misma 

converge  a  (13),  que  es  la  expresión  correspondiente  al primer modelo  sin 

riesgo de crédito. 

32

Tal  comprobación  puede  también  realizarse  numéricamente  mediante  la 

implementación del código anteriormente descripto. 

En la Figura 2 a continuación representamos la valuación que arrojan ambos 

modelos  para  diferentes  valores  del  subyacente,  asumiendo  una  relación 

V/D=2 y un plazo al vencimiento igual a 0,01 años, esto es un escenario donde 

la probabilidad de default es prácticamente cero: 

 

959799

101103105107109111113115

900 1.100 1.300 1.500 1.700 1.900 2.100 2.300

Valor del Subyacente

Val

or d

el B

ono

Valor del Bono sin Credit Risk Valor del Bono con Credit Risk

 

Figura 2. Valor del bono con y sin riesgo de crédito 

 

Analítica o numéricamente puede comprobarse que el resultado esperado se 

satisface, convergiendo el segundo modelo al resultado del primero cuando 

hacemos  que  la  probabilidad  de  default  sea  cercana  a  cero.  Puede 

interpretarse así al primer modelo como un caso especial del modelo general 

presentado en la segunda parte de nuestro trabajo. 

33

6.‐ Conclusiones 

En  el  presente  trabajo  proponemos  una  solución  analítica  o  “closed  form 

solution”  para  la  valuación  de  productos  estructurados  consistentes  en 

instrumentos  de  deuda  cuyo  pago  está  atado  al  comportamiento  de  una 

variable subyacente, como podría ser un índice accionario. 

En la primera parte del documento derivamos una fórmula para valuar tales 

instrumentos  bajo  los  supuestos  estándar  de  la  teoría  de  valuación  de 

opciones. Entre tales supuestos cabe mencionar a la inexistencia de riesgo de 

crédito por parte del emisor de la opción. 

Reconociendo  que  los  productos  estructurados,  como  los  analizados  en  el 

trabajo,  son  negociados  principalmente  en  mercados  desregulados  y  no 

gozan  de  las  garantías  de  las  opciones  negociadas  en  el  ámbito  bursátil, 

extendemos posteriormente el modelo anterior para contemplar la existencia 

de riesgo de crédito, apelando para tal fin al Approach Estructural propuesto 

originalmente por Robert Merton. Obtenemos, bajo estos nuevos supuestos, 

una  expresión  analítica  para  la  valuación  del  instrumento,  solución  que 

puede entenderse como una representación general del modelo de valuación 

del PE. En otros términos, puede interpretarse al modelo sin riesgo de crédito, 

como  queda  demostrado  en  el  trabajo,  como  un  caso  especial  del  último 

modelo propuesto. 

La  implementación de ambos modelos en  la última parte del  trabajo sirve a 

propósito  de  ilustrar  la  sobrevaluación  resultante  de  utilizar  modelos 

familiares  como  el  de  Black, Merton  y  Scholes  o métodos  numéricos  que 

operan  bajo  supuestos  similares,  para  la  valuación  de  instrumentos 

negociados en forma privada y expuestos al riesgo de crédito del emisor. 

Las  expresiones  analíticas  obtenidas  permiten  evaluar  la  sensibilidad  del 

precio  del  instrumento  a  las  diferentes  variables  y  parámetros  que  lo 

34

determinan, objetivo que no satisfacemos en el presente  trabajo. Mostramos 

también  explícita  o  implícitamente  a  partir  de  la  revisión  de  la  literatura 

relacionada,  posibles  direcciones  a  explorar  en  futuros  trabajos  de 

investigación. 

 

7.‐ Referencias 

[1]  Amman,  M.,  (2001),  Credit  risk  valuation:  methods,  models,  and 

applications, Springer‐Verlag, Berlin, Heidelberg, New York. 

[2]  Black,  F.,  Scholes,  M.,  (1973),  The  pricing  of  options  and  corporate 

liabilities, Journal of Political Economy, 81, 637‐654. 

[3] Cao, M., Wei,  J.,  (2001), Vulnerable  options,  risky  corporate  bond,  and 

credit spread, Journal of Futures Markets, 21, 301‐327. 

[4]  Harrison,  J.  M.,  Kreps,  D.  M.,  (1979),  Martingales  and  arbitrage  in 

multiperiod securities markets, Journal of Economic Theory, 20, 381‐408. 

[5] Harrison, J. M., Pliska, S. R., (1981), Martingales and stochastic integrals in 

the  theory of continuous  trading, Stochastc Processes and Their Aplications, 11, 

215‐260. 

[6] Hull,  J., White, A.,  (1995),    The  impact  of  default  risk  on  the  prices  of 

options and other derivative securities, Journal of Banking and Finance, 19, 299‐

322‐ 

[7]  Jarrow,  R.A.,  Turnbull,  S.  M.,  (1995),  Pricing  derivatives  on  financial 

securities subject to credit risk, Journal of Finance, 50, 53‐85. 

[8]  Johnson, H.,  Stulz, R.,  (1987),  The  pricing  of  options with  default  risk, 

Journal of Finance, 42, 267‐280. 

[9] Klein, P., (1996), Pricing Black‐Scholes options with correlated credit risk, 

Journal of Banking and Finance, 20, 1111‐1129. 

35

[10] Klein,  P.,  Inglis, M.,  (1999), Valuation  of  European  options  subject  to 

financial distress and interest rate risk, Journal of Derivatives, 6, 44‐56. 

[11] Klein, P., Inglis, M., (2001), Pricing vulnerable European option when the 

option´s payoff  can  increase  the  risk of  financial distress,  Journal of Banking 

and Finance, 25, 993‐1012. 

[12]  Leland,  H.,  Toft,  K.,  (1996),  Optimal  capital  structure,  endogenous 

bankruptcy,  and  the  term  structure of  credit  spreads,  Journal of Finance, 51, 

987‐1019. 

[13] Merton, R. C., (1973), The theory of rational option pricing, Bell Journal of 

Economics and Management Science, 4, 141‐183. 

[14] Merton, R. C., (1974), On the pricing of corporate debt: the risk structures 

of interest rates, Journal of Finance, 29, 449‐470. 

[15] Vasicek, O., (1977), An equilibrium characterization of the term structure, 

Journal of Financial Economics, 5, 177‐188. 

 

 

 

 

 

 

 

36