Vector Tangente Unitario Clase III
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Vector tangente unitario La geometría diferencial constituye el estudio de las curvas y superficies en el espacio. Sea C una curva en el espacio definida por la función R(t), dR/dt es un vector en la dirección de la tangente a C. A dicho vector le llamaremos T(t). Vector normal unitario Consideramos la longitud de arco S medida a partir de un punto fijo de C. La variación de T con respecto de S es una medida de la curvatura de C y se obtiene por dT/ds. La dirección de dT/ds en un punto cualquiera de C es la correspondiente a la normal a curva en dicho punto. El vector unitario N en la dirección de la normal se llama normal principal a la curva. Así, dT/ds = k N, siendo k la curvatura de C en el punto dado. El recíproco de la curvatura = 1/k se llama radio de curvatura. Vector binormal unitario El vector unitario B definido por el producto vectorial B = T x N, perpendicular al plano formado por T y N se llama binormal a la curva. Los vectores T, N, B, forman un triedro tri-rectángulo a derechas en cualquier punto de Fórmulas Vector Tangente Unitario
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Vector tangente unitario
La geometría diferencial constituye el estudio de las curvas y superficies en el espacio. Sea C una curva en el espacio definida por la función R(t), dR/dt es un vector en la dirección de la tangente a C. A dicho vector le llamaremos T(t).
Vector normal unitario
Consideramos la longitud de arco S medida a partir de un punto fijo de C. La variación de T con respecto de S es una medida de la curvatura de C y se obtiene por dT/ds. La dirección de dT/ds en un punto cualquiera de C es la correspondiente a la normal a curva en dicho punto. El vector unitario N en la dirección de la normal se llama normal principal a la curva. Así, dT/ds = k N, siendo k la curvatura de C en el punto dado. El recíproco de la curvatura = 1/k se llama radio de curvatura.
Vector binormal unitario
El vector unitario B definido por el producto vectorial B = T x N, perpendicular al plano formado por T y N se llama binormal a la curva. Los vectores T, N, B, forman un triedro tri-rectángulo a derechas en cualquier punto de
Fórmulas
Vector Tangente Unitario
Vector Curvatura
Vector Curvatura
Vector Normal Unitario
Vector Binormal
Fórmulas de Frenet - Serret
En donde el escalar se llama torsión. El recíproco de la torsión = 1/ es el radio de torsión.
Ejemplo1: Siendo R(t) = (t - t3/3) i + t2 j + (t + t3/3) k, hallar:
a) Vector Tangente Unitario T
R(t) = (t - t3/3) i + t2 j + (t + t3/3) k
x(t) = t - t3/3
y(t) = t2
z(t) = t + t3/3
Derivando:
x'(t) =1 - t2
y'(t) =2t
z'(t) = 1 + t2
R'(t) = (1 - t2) i + 2t j + (1 + t2) k
| R'(t) | =
Considerando el radicando:
=[1 - 2t2 + t4] + [4t2] + [1 + 2t2 + t4]
=2 + 4t2 + 2t4
=2 [1 + 2t2 + t4]
=2 [1 + t2] 2
| R'(t) | =
T(t) =
T(t) =
b) Curvatura k
T(t) =
T1(t) =
T2(t) =
T3(t) =
Derivando:
T1'(t) =
Considerando el numerador:
= [1 + t2].[-2t] - [1 - t2].[2t]
= -2t - 2t3 - 2t + 2t3
=- 4t
T1'(t) =
T2'(t) =
Considerando el numerador:
= [1 + t2].[2] - [2t].[2t]
=2 + 2t2 - 4t2
=2 - 2t2
=2 [1 - t2]
T2'(t) =
T3'(t) =0
T'(t) =
K(t) =
=
=
K(t) =
| K(t) | =
Considerando el numerador del integrando:
=4t2 + 1 - 2t2 + t4
=1 + 2t2 + t4
=[1 + t2]2
| K(t) | =
=
| K(t) | =
k =
c) Normal Principal N
N(t) =
=
N(t) =
Vector Binormal B
B(t) =T(t) x N(t)
=
=
Considerando el numerador de la expresión asociada a k:
= [1 - 2t2 + t4] + 4t2
=[1 + 2t2 + t4]
= [1 + t2]2
=
=
B(t) =
d) Torsión
B(t) =
B1(t) =
B2(t) =
B3(t) =
B1'(t) =
Considerando el numerador:
= [t2 + 1].[2t] - [t2 - 1].[2t]
=2t3 + 2t - 2t2 + 2t
=4t
B1'(t) =
B2'(t) =
Considerando el numerador:
= [t2 + 1].[1] - [t].[2t]
= t2 + 1 - 2t2
=1 - t2
B2'(t) =
B3'(t) =0
B'(t) =
=
=
- N
=
Ejemplo 2:
Una curva en el espacio viene dada, en función de la longitud de arco s, por las ecuaciones paramétricas
x = arc tan (s) z = s - arc tan (s)
Vector Tangente Unitario T
T(s) =R'(s)
x(s) =arc tan (s)
y(s) =
z(s) =s - arc tan (s)
Derivando:
x'(s) =
y'(s) =
z'(s) =
=
z'(s) =
T(s) =
Vector Normal Unitario N
N(s) =
N(s) =
T'(s) =
| K(s) | =
N(s) =
=
N(s) =
Vector Binormal B
B(s) =T(s) x N(s)
B(s) =
=
Considerando el factor de i:
=
Considerando el numerador:
=2s2 - s2 + s4
=s2 + s4
=s2 [1 + s2]
=
=
Considerando el factor de j:
=
=
Considerando el factor de k:
=
=
B(s) =
Curvatura k
K(s) =T'(s)
T1(s) =
T2(s) =
T3(s) =
Derivando:
T1'(s) =
T2'(s) =
Considerando el numerador:
=[s2 + 1].[1] - [s].[2s]
=s2 + 1 - 2s2
=1 - s2
T2'(s) =
T3'(s) =
Considerando el numerador:
= [s2 + 1].[2s] - [s2].[2s]
=2s3 + 2s - 2s3
=2s
T3'(s) =
K(s) =
k = | K(s) |
| K(s) | =
Considerando el numerador del radicando:
=[4s2] + 2[1 - 2s2 + s4] + [4s2]
=4s2 + 2 - 4s2 + 2s4 + 4s2
=2 + 4s2 + 2s4
=2[1 + 2s2 + s4]
=2[1 + s2] 2
| K(s) | =
=
| K(s) | =
Torsión
- N(s)
B(s) =
B1(s) =
B2(s) =
B3(s) =
Considerando el numerador:
= [s2 + 1].[2s] - [s2].[2s]
=2s3+ 2s - 2s3
=2s
Considerando el numerador:
= [s2 + 1].[1] - [s].[2s]
=s2+ 1 - 2s2
=1 - s2
- N(s)
Considerando las componentes i en cada lado de la ecuación anterior:
=
Radio de Curvatura r
r =
r =
Radio de Torsión
=
=
