UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL

F I S I C A I

V E C T O R E S

Profesor: Luis Alberto Bolarte Canals

2012 – I

Magnitudes Magnitudes físicasfísicas

Masa, densidad, temperatura, energía,

trabajo, etc

Velocidad, fuerza, cantidad de movimiento, aceleración, torque, etc.

Escalares

Vectoriales

Movimiento planoMovimiento plano

Coordenadas Cartesianas

y (m)

x (m)O

origenabcisa

ordenada

(x,y)

Q (-2,2)

P (8,3)

Coordenadas Polares

O

origen

(r,)

Movimiento planoMovimiento plano

Relacion entre (x,y) y (r,)

y (m)

x (m)O

origenabcisa

ordenada

(x,y)

r

θcosrx θrseny

θtanxy22 yxr

VECTOR

X

Ā

*

*

P

Q

A=11 ua

O

VectoresVectores

Notación A

Módulo A > 0

A

Dirección θ,

x

y

z

θ

Ap

x

y

Propiedades Propiedades de Vectoresde Vectores

• Dados A y B, si A = B entonces A = B

• Todo vector se puede desplazar paralelamente a si mismo

A

B

C

CBA

Suma de Suma de VectoresVectores

BA

R

BA C

C

Ley del polígono

El vector resultante es aquel que vector que va

desde el origen del primer vector hasta el extremo del

ultimo

A

B

C

D

Entonces si se tiene los siguientes vectores

El vector resultante de la suma de todos ellos será:

A B

C

D

DCBAR

R

Propiedades Propiedades de Vectoresde Vectores

A

Opuesto-A

Nulo 0 = A + ( )-A

Vector unitario

A

A

μ

ˆAA

Propiedades Propiedades de la suma de de la suma de

VectoresVectores

Ley Conmutativa

ABBAR

Ley Asociativa

C)BA)CBAR

((

Diferencia

B-AR

)B(-AR

A

B A

-BR

Ley conmutativa

¿Como se explica esta regla?

Los vectores A y B pueden ser desplazados paralelamente para

encontrar el vector suma

B

R = A+B

A

B R = B+A

(Método paralelogramo)

B R = A+B

Multiplicación de un vector por un escalar

Dado dos vectores ByA

Se dicen que son paralelos si BA

BAsi

0

BAsi

0BAsi

1

A

B

AB

21

A

B

AB

41

Ejemplo 8:

Hallar el vector resultante de la suma de los siguientes vectores

A B

C

A B

CR = 2

Vectores unitarios en el plano

ijx

y

i Vector unitario en la dirección del eje x+

j Vector unitario en la dirección del eje y+

Vectores unitarios en el espacio

xy

z

ij

k

Representación Representación de un vectorde un vector

x

y

z

θ

A

Ax

Ay

Az

θsenAAx cosθsenAsenAy

θcosAAz 222zyx AAAAA

kAjAiAA zyx

Observaciones:

Las componentes rectangulares de un vector dependen del sistema coordenado elegido.

La magnitud del vector no cambia. Permanece invariante en cualquier sistema coordenado

Determínese la resultante de los siguientes vectores

A4u 3u

B

BAR

7u

+

A

B

8u 4u =

BAR

4u

Observamos que, cuando los vectores están en la misma dirección podemos determinar fácilmente su magnitud

¿Que sucede si los vectores no están en la misma dirección ? , ¿ podremos determinar directamente su magnitud ?

4u

3uA

B

La magnitud en este caso no puede determinarse directamente , por lo que debemos tratar de buscar otra forma de determinarla

BAR

A

B

yA

xA

xB

yB

4u

3u

5u

6u

8u

10u

yA

xA

xB

yB

4u

3u

6u8u

yx AAA

yx BBB

yy BA

xx BA

10u

5u

yyxx BABAR

Por pitagoras podemos ahora determinar la magnitud del vector resultante uR 55510 22

yA

xA

xB

yB

xCyC

xD

yD

yyyyy DCBAR

xxxxx DCBAR

xR

yR

15 u5 u

yx RRR

105R

xy

z(x1,y1,z1)

(x2,y2,z2)

A

Dados los puntos indicados el vector que los une esta representado por

xy

z(x1,y1,z1)

(x2,y2,z2)

A

k)z(zj)y(yi)x(xA 121212ˆˆˆ

Producto Producto escalar de dos escalar de dos

vectoresvectoresθABBA cos

cosθAAB Proyección de A sobre B

cosθBBA

Proyección de B sobre A

1ˆˆ ii1ˆˆ jj

0ˆˆ ji

0ˆˆ kj

0ˆˆ ki

xAiA

1ˆˆ kk

yAjA ˆ

zAkA ˆ

ZZYYXX BABABABA

Producto Producto vectorial de dos vectorial de dos

vectoresvectores BAC

θABC sen

0ii

0ˆˆ

jj

0ˆˆ

kk

kji ˆˆˆ ikj ˆˆˆ

jik ˆˆˆ

)kBjBiB()kAjAiA(BAC zyxzyx

YZZYX BABAC

zxxzy BABAC

xyyxz BABAC

Demostrar:

E J E M P L O S

Determinese la suma de los siguientes vectores:Ejemplo 1:

k5j8i3A ˆˆˆ

kji-5B ˆ3ˆ2ˆ

kji4C ˆ2ˆ7ˆ

Ejemplo 2:

8m

10m

5m

A

B

C

Determine la suma de los vectores indicados

x

y

z

Ejemplo 9

Dados los vectores:

k3j5i4B

k5j3i3A

Determine :

a) El producto escalar entre ellos.

b)el producto vectorial entre ambos

e) el ángulo que forman entre sí.

Tarea 9c, 9d y 10

E J E R C I C I O S