Volumenes de revolucion
69
Ingeniería De Sistemas E Informática CALCULO II El método de capas cilíndricas de discos. Sistemas Paul Sanchez
-
Upload
majo-llamuca -
Category
Documents
-
view
543 -
download
0
Transcript of Volumenes de revolucion
Ingeniera De Sistemas E Informtica El mtodo decapas cilndricas y de discos.CALCULO IISistemas Paul Sanchez
Volumenes de solidos por cscarasHaga clic para modificar el estilo de subttulo del patrn
Qu es el mtodo de capas cilndricas?Es un mtodo de clculo integral que permite evaluar volmenes de slidos de revolucin. En ciertas situaciones es el nico mtodo viable. El mtodo de las secciones transversales no siempre es fcil de aplicar y a veces no puede aplicarse en absoluto.
Ejemplo:Hallar el volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar sobre el eje y la regin comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = x3 + 4x2 3x + 1 y la vertical x = 3.
El mtodo de las secciones transversales
Para calcular el volumen se podra pensar en utilizar el mtodo de las secciones transversales. En este caso seran secciones horizontales.
Peroy = x3 + 4x2 3x + 1 x=? Las secciones transversales son, en unas zonas del slido, discos completos y, en otras, arandelas, es decir, discos con hueco. Adems es necesario expresar tanto el radio de los discos como el radio interior y exterior de las arandelas en funcin de la variable y, lo que no es fcil de lograr en este caso.
En cambioEl mtodo de los casquetes cilndricos funciona muy bien en este caso. Consiste en dividir el slido de revolucin en una serie de casquetes cilndricos que se incrustan los unos dentro de los otros y en integrar luego los volmenes de estos casquetes para obtener el volumen total.
Cebollas y troncos de madera
Es importante entender bien la estructura geomtrica involucrada en el mtodo de los casquetes cilndricos.
Otros nombres del mtodode las capas cilndricas. de los cascarones cilndricos. de las cscaras cilndricas de las envolturas o envolventes cilndricas. En ingls: cylindrical shells
Planteamiento general
El mtodo de los casquetes cilndricos
Antes que nadaEl volumen de un casquete cilndrico se calcula restando el volumen del cilindro interior al volumen del cilindro exterior:
As que
El volumen de un casquete cilndrico
V = (circunferencia)(altura)(grosor)
El volumen de un casquete cilndrico
V = (circunferencia)(altura)(grosor)
El problema generalHallar el volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar alrededor del eje y la regin que est comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b.
El problema generalHallar el volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar alrededor del eje y la regin que est comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b.
El problema generalHallar el volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar alrededor del eje y la regin que est comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b.
El mtodo de los casquetes cilndricos el intervalo [a, b] Dividimosen n subintervalos todos del mismo ancho. Sea xi* el punto medio del subintervalo i-simo. Consideramos el rectngulo Ri construido sobre el subintervalo i-simo con una altura de f (xi*). Lo hacemos girar en torno del eje y.
El mtodo de los casquetes cilndricosSe produce un casquete cilndrico que tiene como volumen:
El mtodo de los casquetes cilndricosSe ponen n casquetes cilndricos de stos, los unos dentro de los otros. Se suman todos sus volmenes:
El mtodo de los casquetes cilndricosLa aproximacin al volumen del slido ser mejor entre ms grande sea n, el nmero de casquetes cilndricos. Se puede mostrar que:
Regla generalEl volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar alrededor del eje y la regin que est comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b, est dado por la integral:
Ejemplo 1
El problema del comienzo
RecordandoHallar el volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar sobre el eje y la regin comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = x3 + 4x2 3x + 1 y la vertical x = 3.
RecordandoHallar el volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar sobre el eje y la regin comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = x3 + 4x2 3x + 1 y la vertical x = 3.
El mtodo de los casquetes cilndricosDividimos el slido de revolucin en una serie de casquetes cilndricos que se incrustan los unos dentro de los otros.
El mtodo de los casquetes cilndricosLa altura de los casquetes cilndricos vara de acuerdo a la funcin: f(x) = x3 + 4x2 3x + 1
La integral para el volumen es:
Ejemplo 2 El volumen de un cono
El problema del conoDemostrar, empleando el mtodo de los casquetes cilndricos, que el volumen de un cono de altura h y con radio r en su abertura est dado por:
Generando el conoEl cono puede ser visto como el slido que se produce al hacer girar, alrededor del eje y, la regin triangular cuyos vrtices son (0,0), (r,0) y (0,h), donde h y r son nmeros reales positivos.
Generando el conoLa ecuacin de la recta que pasa por los puntos (r,0) y (0,h) es y = ( h/r ) x + h, puesto que su pendiente es m = h/r y su intercepto con el eje y es el punto (0,h).
El mtodo de los casquetes cilndricosh Construimos el cono mediante una serie de casquetes cilndricos, incrustados los unos dentro de los otros. Los radios varan de 0 a r y las alturas de 0 a h. r
El mtodo de los casquetes cilndricosLos casquetes cercanos al centro son altos y su radio es pequeo, mientras que los que se sitan ms al exterior tienen un radio amplio pero su altura es pequea.
El mtodo de los casquetes cilndricos
La altura de los casquetes cilndricos est dada por la recta y = ( h/r ) x + h.
La integral para el volumen es:
Ejemplo 3Una regin delimitada por dos curvas
Una regin delimitada por dos curvasHallar el volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar, alrededor del eje y, la regin que est delimitada por la parbola y = x2 + 4x 3, por la cbica y = x3 6x2 + 12x 5 y por las verticales x = 1 y x = 3.
El slido de revolucin
Dos funciones involucradasEn este caso, a diferencia de los ejemplos anteriores, hay dos funciones involucradas que son:
El mtodo de los casquetes cilndricosConsideremos que este slido est formado por una serie de casquetes cilndricos incrustados los unos dentro de los otros.
La altura de un casquete cilndricoEsta vez, los casquetes no slo varan en cuanto a su radio y a su altura, sino que varan adems en cuanto a su ubicacin respecto del eje x: Arriba: y = x3 6x2 + 12x 5 Abajo: y = x2 + 4x 3
La altura de un casquete cilndricoEn este caso, un casquete cilndrico de radio x tiene como altura:
La integral para el volumen es:
Ejemplo finalLa regin gira alrededor de una vertical distinta al eje y
El problemaHallar el volumen del slido de revolucin que se produce al hacer girar alrededor de la recta vertical x = 1, la regin que est comprendida entre el eje x, la curva y = f (x) y las rectas verticales x = 2, x = 3, donde
El slido de revolucin
Lo especial de este ejemploEl radio de un casquete cilndrico cualquiera, que tiene como altura f (x), es x 1, y no x como en los casos anteriores, porque el slido tiene como eje de rotacin a la recta x = 1.
La integral del volumenEn este caso, la integral del volumen es:
La integral del volumen
La primera integral no tiene problema. Para evaluar la segunda podemos hacer la sustitucin u = x2 2x. Por lo tanto, du = 2(x 1)dx. Los lmites de integracin: si x = 2, entonces u = 0 y si x = 3, entonces u = 3. As:
La integral del volumen
Volumenes de solidos por discosHaga clic para modificar el estilo de subttulo del patrn
VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCINSi una regin R en el plano XY se hace girar en torno a un eje L, generar un slido, denominado Slido de revolucin. Nuestro problema consistir en determinar el volumen del slido de revolucin, generado al girar en torno a un eje L una regin en el plano XY .
VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN Cul
es el slido generado al rotar la regin alrededor del eje indicado?
VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN
Al rotar la regin se genera el slido mostrado.
VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN Cul
es el slido generado al rotar la regin alrededor del eje indicado?
VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN Al
rotar la regin se genera el slido mostrado.
VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN Cul
es el slido generado al rotar la regin alrededor del eje indicado?
VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN Al
rotar la regin se genera el slido mostrado.
VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN Cul
es el slido generado al rotar la regin alrededor del eje indicado?
VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN Al
rotar la regin se genera el slido mostrado.
VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN Analizaremos
ahora el proceso para la determinacin del volumen de un slido de revolucin mediante la utilizacin de la integral definida. Para ello, consideraremos una regin en el plano XY que rotar alrededor del eje x similar a la mostrada en la siguiente figura:
VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN
VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN El
slido es similar al mostrado.Se puede observar que al tomar un elemento diferencial de volumen, se tiene un disco cuyo volumen es igual al producto del rea de un crculo de radio f(x) y una altura xi.
VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN Si
el slido se divide en n discos de igual magnitud:
VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN El
volumen del slido se puede obtener como una aproximacin mediante la suma de los n discos. Slo cuando el nmero de discos considerados tiende a infinito se puede hablar de una igualdad respecto del volumen del slido. Mediante el uso de la integral definida es posible decir que en general, cuando se tiene una representacin similar a la anterior, el volumen es:
